高等数学(微积分)课件--83偏导数与全微分培训教材

dz
A
.
dz
( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y fx z z 0 =AB
0 P y
dz=AB : 切面竖坐标的增量
z dz ( x y )
=AB+BN
y
当x , y 很小时
z dz
x
Q
3、可微性的几何意义与应用
0
y =y0
由一元函数导数的几何意义：
z x
= tan
M
( x , y )
y
x

. .
同理，
z y
?
M
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x , y y ) f ( x , y ) z lim y y M y
M
Tx
偏导数与全微分 的几何意义
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) z lim x x M x 0
M
Tx
L
z= f (x,y)
固定 y =y0
得曲线
z f ( x, y) L： y y 0
z =AN ：曲面竖坐标的增量
用切面竖坐标的增量近似曲面竖坐标的增量 N
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B
过点M的切平面：
( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) fx ( z z0 ) 0 即：
z z0
得曲线
z f ( x , y) x x

∂2z y2 − x2 ∂2z = = 2 2 2 ∂y∂x (x + y ) ∂x∂y
例6. z = x 3 y 2 − 3 xy 3 − xy + 1
∂2z ∂2z ∂2z ∂2z ∂3z , , , 求 2 , 2 ∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂y ∂x 3
∂z = 3x 2 y 2 − 3 y3 − y, ∂x
例4. f ( x, y ) =| x | + | y |
y →0
在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?
lim f ( x, y ) = 0 = f (0,0) 故在(0,0)点连续. x →0
由定义易知在(0,0)点偏导数不存在. 注意: 对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上 两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系. 2. 偏导数的几何意义 f x ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 y = y0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Tx 对x 轴的斜率tan α
例7.求 u = x + sin
y + e yz 的全微分 2 ∂u ∂u 1 y ∂u yz = 1, = ye yz = cos + ze , ∂x ∂z ∂y 2 2 1 y ∴ du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz 2 2
注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别 一元函数: 一元函数 可导 连续 多元函数: 多元函数 可微
f ( x0 + ∆x, y0 , z0 ) − f ( x0 , y0 , z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) = lim ∆x → 0 ∆x

若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
由微分定义 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y x y
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
偏导数连续
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思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八)
2. 选择题 函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
将 x , z 看成常数: u x w , w y z .
u y
( 2 , 2 ,1)
yz yz x ln x z y z 1 ( 2, 2,1) ( x ) ( 2, 2,1) y 4 ln 2
将 x , y 看成常数:u x w , w y z .
u y
第三节
2. 可微的条件
全微分
1. 全微分的定义
3. 连续、可导与可微的关系
4. 小结、作业
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
近似计算 估计误差
机动
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结束
一、全微分的定义

200(cm 3)
即受压后圆柱体体积减少了200cm3.
11
例4.计算 1.042.02的近似值. 解: 设 f(x,y)xy,则
fx(x,y)y xy1, fy(x,y)xy lnx 取 x1,y2, x 0 .0, 4 y 0 .02 则 1.02.4 0 2f(1.0,4 2.0)2
f( 1 ,2 ) f x ( 1 ,2 ) x f y ( 1 ,2 ) y 1 2 0 . 0 0 0 4 . 0 1 . 0 28
求计算面积时的绝对误差与相对误差.
解：δ S
S a
δa
S b
δb
S c
δc
1 2
bsinCδa12
asinC
δb12
abcoC s δC
故a 绝 1 对误.5 ,差2 b 约 为8 .3 δ,SC 03 .1 3,δ 0 a δ b 0 .0 ,δ 1 C 18
又 S1 2absiC n1 21.2 58.3si3n02.5 94
解: z ye xy , x
z xexy y
x z(2,1)e2, y z(2,1)2e2
dz e2dx2e2dye2(dx2dy)
(2,1)
例2. 计算函数 uxsinyeyz的全微分. 2
解: du 1dx(1 2co 2 y sz e y z )dyyeyz dz
9
*二、全微分在数值计算中的应用
所以 S 的相对误差约为 δ S 0.13 0.5% S 25 .94
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例6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,相对误差为 0.3; 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 , 求用欧姆 定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .