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第二章 控制系统的数学模型书后习题答案

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第一章 控制系统导论1-1a 电冰箱制冷原理图如图1-1所示，简述系统工作原理，指出被控对象，被控量和给定量，并画出系统方框图。

解：被控对象是看得见的实体， 不能与物理量相混淆。

被控制量则是 被控对象中表征被控制对象工作状态 的物理量。

确定控制对象要看控制的 目的与任务。

控制的任务是保持冰箱内的温度 Tc 等于设定的温度Tr 。

冰箱的箱体是 被控对象，箱内温度是被控量。

由控制 器旋钮设定出电位器输出电压（与希望温度Tr 值对应）是给定量。

温度控制器中的双金属温度传感器（测量元件）感受冰箱内的温度，并把它转换为电压信号，与控制器旋钮设定出电位器（给定元件）输出电压（对应于与希望温度Tr ）相比较，利用偏差电压u ∆（表征实际温度和希望温度的偏差）控制继电器。

当u ∆大到一定的值时，继电器接通压缩机起动将蒸发器中的高温低压气态制冷液送到冷却器散热。

降温后流出的低温低压冷却液被压缩成低温高压液态进入蒸发器急速降压扩散成气体，吸收箱体内的热量，使箱体内温度降低，而高温低压制冷剂又被吸入冷却器。

如此循环，使冰箱达到制冷效果。

继电器，压缩机，蒸发器和冷却器组成系统的执行机构，完成降温功能。

冰箱制冷系统方框图如图1-2所示。

1-2a 图1-3为液位控制系统的示意图，试说明其工作原理并绘制系统的方框图。

说明 液位控制系统是一典型的过程 控制系统。

控制的任务是：在各种扰动的 作用下尽可能保持液面高度在期望的位置 上。

故它属于恒值调节系统。

现以水位控 制系统为例分析如下。

解 分析图1-3可以看到：被控量为水位 高度h （而不是水流量Q 2或进水流量Q 1）； 受控对象为水箱；使水位发生变化的主要 原因是用水流量Q 2，故它为系统的负载扰 动；而进水流量Q 1是用以补偿用水流量的改变，使水箱的水位保持在期望的位置上的控制作用；控制进水流量的使由电动机驱动的阀门V 1，故电动机-减速器-阀门V 1一起构成系统的执行机构；而电动机的供电电压u d 取决于电位器动触点与接零点之间的电位差，若记接零点与电位参考点之间的电压为u g ，则它便是系统的给定信号，记动触点与电位参考点之间的电压为u f ，而u d =u g -u f ，故u f 为负反馈信号。

于是可绘制系统方框图，如图1-4所示。

系统的调节过程如下：调整系统和进水阀V 1的开度使系统处于平衡状态，这时进水流量Q 1和额定的用水流量Q 2保持动态平衡，液面的高度恰好在期望的位置上，而与浮子杠杆相联接的电位器动触头正好在电位器中点（即接零点）上，从而u d ＝0电动机停止不动；当用水流量发生变化时，比如用水流量增大使得液面下降，于是浮子也跟着下降，通过杠杆作用带动电位器的动触点往上移，从而给电动机电枢提供一定的电压，设其极性为正的(即u d >0),于是电动机正转，通过减速器驱动阀门V 1增大其开度。

1-3b 图1-5是烤面包机的原理图。

面包的烘烤质量烤箱内的温度决及烘烤时间决定。

（1）试说明传动带速度自动控制的工作原理，并绘制相应的原理方框图。

（2）绘制烤面包机的方框图。

解 （1）传送带由电动机和减速器驱动，传送带的 线速度与电动机及减速器的角速度 是固定比例关系，因此控制电动机 减速器的角速度就控制了传送器的 线速度。

传送器的希望速度与温度 有关。

温度高，要求速度快，温度 低要求速度慢。

烤箱内温度检测器测出烤箱内 的温度，传给指示调节器。

指示调节器根据预先规定的函数关系求出希望的速度，并变成相应的电信号作为调速系统的控制输入加到控制器上。

控制器带动电动机，减速器驱动传送带运动。

转速表测出减速器的实际速度，反馈到控制器，若与要求转速不等，则产生偏差信号。

通过控制器控制电动机加速或减速，使速度趋于希望的速度。

该调速系统的方框图如图1-6所示。

（2） 面包的烘烤质量与烤箱温度与面包在烘箱内的时间有关，而烘烤时间又与传送带的速度有关。

在该烤面 包机中，只控制烘烤时间 而未控制烘烤温度。

但希 望的烘烤时间又与温度有关。

该系统可以看作一个按扰动补偿的开环控制系统，温度就是扰动量，方框图如图1-7所示。

第二章 控制系统的数学模型2-1 试证明图2-77(a)所示电气网络与图2-77(b)所示的机械系统具有相同的传递函数。

解：对于图（a ）所示的电气网络，其传递函数()/()c i U s U s ，可以求得为1)(1)(1111)()(2122112212122112212122111122+++++++=++++=s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R s C R sC R s C R sC R s U s U r c (1)而图(b)所示的机械系统的运动方程)()()(11212∙∙∙∙-=-+-y x b x x k x x b c c c (2)y k y x b c 12)(=-∙∙ (3)假设初始条件为零 对上述二个微分方程进行拉氏变换得到21211[()()][()()][()()]c c c b sX s sX s k X s X s b X s sY s -+-=- (4) 11[()()]()c b X s sY s K Y s -= (5)从(4)(5)两个方程中消去Y （S ）得到 即122122111()()()()c b s b s k x s b s k b s x s b s k +=++-+ (6)因此，)7(1)111(11)11(1)()()()(1211222212111222212121111221221211212211+++++++=+++++++=s B k B k B k s k k B B s B k B k s k k B B k k s B k B k B k s B B k k s kB B k s B B s X s X c比较式（1）与式（7）可知，两个系统传递函数相同，且两系统变量间有如下相似对应关系电压u 对应 位移x电阻R 对应 粘滞阻尼系数B 电容C 对应 弹性系数得倒数1/k2-2 试分别写出图2-2中各有源网络的传递函数U c (s)/U r (s)。

解： 图2-78（a ）所示的有源网络传递函数U c (s)/U r (s)可以求得为，2111121212/11*1//1)()(R R cs R R cs R cs R R cs R z z s U s U r c +=+===应有负号?图2-78（b ）示的有源网络传递函数U c (s)/U r (s)可以求得为，1/1*1//1)()(21212212+=+==cs R R R R R cs R cs R R css U s U r c 应有负号?图2-78（c ）所示的有源网络传递函数U c (s)/U r (s)可以求得为，csR cs R R R cs s U s U r c 111211)()(+=+= 应有负号?2-4 图2-80是一个转速控 制系统，输入量是电压U ， 输出量是负载的转速ω,画 出系统结构图，并写出输入 输出间的数学表达式。

解：1 列出各部分的微分方程1）a iab di R Le U dt++=2}b e e K =ω 3) M d =K m i a 4）dl d JB MM dtωω+=-，,d l M M 为电磁力矩与负载力矩2 对上面的方程组进行拉氏变换，并画出系统结构图如图2-4所示1）()()()()b a a u s E s I s L s b-=+2）E b (s)=K e ω(s) 3）M d (s)=K m i a (s) 4）BJs s M s M L d +-=)()(U(s)ω(s)3消除中间变量()a I s ，得到系统传递函数：ae m aamJL K K s J B l R s JL K +++=)(U(s)ω(s)22-6 图2-81是一个模拟控制器的电路示意图。

1）写出输入U r 与输出U c 之间的微分方程；2）建立该控制器的结构图；3）求闭环传递函数U c (s)/U r (s)；4）当R 1=R 2= R 3= R 4=100K Ω；5121;10R M C C uf=Ω==；输入1()r u t =，求()C U t 的稳态输出。

解：(1) 列出输入U r 与输出U c 之间的微分方程11211()()(())()c r u t u t cd u t u t R dt R R --+=+213()()cdu t u t dt R -=254()()c u t u t R R -=（2）将上式两边拉氏变换并画出系统结构图如图2-6所示。

21121()[()()](1)r c R U s U s U s R R C S -=++21321()())U s U s R C S -=524()()c R U s U s R -=（3）求闭环传递函数U c (s)/U r (s)11)1(11*)1()()(52243121543112243152452312122++-=+++-=R R SC R R R SC C R R R R S C R S C R R R R R R R S C R S C R R R s U s U r c（4）当1234100R R R R K ====Ω；5121;10R M C C uf =Ω==2()111()11010c r U s U s s s -=++ 1()r U s s=)(1111011011lim )(2V ss s sU s c -=++-=∞→。

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自动控制原理-第2章习题解答精选全文完整版

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第2章 控制系统的数学模型习题及解答2-1 已知质量-弹簧系统如题2-1图所示，图中标明了质量和弹簧的弹性系数。

当外力F (t )作用时，系统产生运动，如果在不计摩擦的情况下，以质量m 2的位移y (t )为输出，外力F (t )为输入，试列写系统的运动方程。

解： 设 质量m 1的位移量为x (t ),根据牛顿第二定律有y k y x k dt yd m 21222-)(−= ①)(1221y x k F dtxd m −−= ②①式可以写作y k k x k dtyd m )(211222+−= ③由①式也可以得到y k dtyd m y x k 22221)(+=− ④③式两端同时求二阶导数，可得2221221442)(dty d k k dt x d k dt yd m +−= ⑤将②、③式代入⑤式中，整理可得F m k y m k k dty d m k m k m m dt y d m 1112122122121442)(=−++++ 2-2 求题2-2图中由质量-弹簧-阻尼器组成的机械系统，建立系统的运动方程。

其中，x (t )为基底相对于惯性空间的位移，y (t )为质量相对于惯性空间的位移。

z (t )= y (t )- x (t )为基底和质量之间的相对位移，z (t )由记录得到， x (t )和z (t )分别为输入量和输出量。

解：应用牛顿第二定律可得dtt dz f kz dt y d m )(22−−= 将z (t )= y (t )- x (t )代入上式，整理可得2222dtx d m kz dt dz f dt z d m −=++题2-2图题2-1图解：（a ）引入中间变量u c (t)表示电容器两端的电压。

根据基尔霍夫电流定律有o c c u R u R dt du C2111=+ 根据基尔霍夫电压定律有o i c u u u −=联立消去中间变量，可得描述输入量u i (t )和输出量u o (t )之间关系的微分方程为i i o o u R dt du C u R R R R dt du C121211+=++ （b ）引入回路电流i (t )和电容器两端的电压u c (t)作为中间变量，根据基尔霍夫电压定律有i o u u i R =+1 另有电容元件的元件约束关系方程dtdu Ci c =和i R u u o c 2−=联立求解，消去中间变量可得i i o o u R dt du C u R R R R dt du C121211+=++（c ）设电容器C 2两端的电压为u c 2(t)，根据基尔霍夫电流定律有dtduC u u R dt u u d C c o i o i 2211)(1)(=−+− ①求导可得22221221)(1)(dtu d C dt u u d R dt u u d C c o i o i =−+− ② 另有输出支路电压方程o c c u u dtdu C R =+2222 等式两边求导有dtdu dt du dt u d C R oc c =+222222 ③将①、②代入③式，整理可得i ii ooo u C R dt du C R C R C R dt u d C R u C R dt du C R C R C R C R dt u d C R 2121221121221212122112121122+++=++++2-4 试求题2-4图所示有源RC 电路的微分方程，其中u i (t )为输入量，u o (t )为输出量。

自动控制原理C作业(第二章)答案

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4 3
0.1
图 3-1 二阶控制系统的单位阶跃响应
解 在单位阶跃作用下响应的稳态值为 3，故此系统的增益不是 1，而是 3。系统模型为
(s)
s2
3
2 n
2n s
2 n
然后由响应的 p % 、 t p 及相应公式，即可换算出 、 n 。
p%
c(t p ) c() c()
4
3
3
33%
t p 0.1（s）
P1 G1G2
1 1
P2 G2G4
2 1
因此，传递函数为
C(s) P11 P2 2
R(s)
G2G1 G4G2 1 G1G2G3
3
自动控制原理 C 习题答案（第二章）
2.4 用梅森公式求系统传递函数。
R(S)
－
_
＋ G1(s)
－ _
G2(s)
+ C(S)
+
图 2－4 解： 单独回路 5 个，即
L1
1 R
1 C1S
1 R1C1S
11
1
L2
R2
C2S
R2C2 S
L3
1 C1S
1 R2
1 R2C1S
回路相互不接触的情况只有 L1 和 L2 两个回路。则
L12
L1L2
1 R1C1R2C2S 2
由上式可写出特征式为：
1
( L1
L2
L3 )
L1 L2
1
1 R1C1S
1 R2C2 S
1 R2C1S
1 R1C1R2C2S 2
益 K1 和速度反馈系数 Kt 。同时，确定在此 K1 和 Kt 数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。
第2章 控制系统的数学模型习题答案

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第2章 自动控制系统的数学模型2.1 学习要点1 控制系统数学模型的概念、描述形式与相互转换；2 物理系统数学模型的编写方法和步骤；3 非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法；4 系统方框图等效变换原则与应用；5 信号流图等效变换与梅逊增益公式应。

2.2 思考与习题祥解题2.1思考与总结下述问题。

（1）我们学习的动态物理系统的数学模型有哪些形式？ （2）非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法。

（3）传递函数的意义、作用和性质；与微分方程模型相比，这种模型有何优点？答：（1）自动控制系统的数学模型指的是描述系统运动特性的数学描述。

我们学习的动态物理系统的数学模型有微分方程、传递函数和频率特性等表达式描述形式，还有方框图和信号流图等图形化描述形式。

（2）实际系统中变量之间的关系都或多或少地具有某种非线性特性。

由于求解非线性微分方程比较困难，因此提出了线性化问题。

如果控制系统的工作状态是在工作点的一个小偏差范围内变化，就可以用一条过工作点的切线代替工作曲线在这个小偏差范围内的变化关系，这样，就把非线性特性线性化了。

应用线性化的数学模型就可以简化系统分析和设计的过程，虽然这是一种近似的处理方法，但却很有实际意义。

只要这样做所造成的误差在允许范围内，不会对控制系统的分析和设计造成本质影响，就可以进行非线性系统线性化。

具体方法是：对任意函数，在某一点（工作点）处对函数进行泰勒级数展开，忽略二阶以上高次项，就可以得到线性化的函数关系。

（3）系统输入和输出在零初始条件下拉氏变换的比)(s G 称为系统的传递函数。

传递函数表示了系统输入输出之间的关系，是控制系统的一种数学模型，可以直接从微分方程导出。

传递函数只与系统结构与参数有关，与外部输入无关，传递函数反映了系统的结构特征和参数特性。

由于传递函数是以复数s 为变量，避免了许多求解微分方程的麻烦。

因此，经典控制论中更常用传递函数这种数学模型形式对控制系统进行分析和设计。

机械控制工程课后习题解答

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机械控制工程基础答案提示第二章 系统的数学模型2-1 试求如图2-35所示机械系统的作用力)(t F 与位移)(t y 之间微分方程和传递函数。

)(t F )(t y f图2-35 题2-1图解：依题意：()()()()22d y t dy t a m F t f ky t dt b dt ⋅=⋅-⋅-故 ()()()()t F b at ky dt t dy f dt t y d m ⋅=+⋅+22 传递函数: ()()()kfs m s b as F s Y s G ++==22-2 对于如图2-36所示系统，试求出作用力F 1(t )到位移x 2(t )的传递函数。

其中，f 为粘性阻尼系数。

F 2(t )到位移x 1(t )的传递函数又是什么？m 2m 1k 1 f k 2F 1(t )F 2(t ) x 2(t )x 1(t )图2-36 题2-2图解：依题意：对1m ：()()()()212121111dt t x d m dt t dx dtt dx f t x k F =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---对两边拉氏变换：()()()[]()s X s m s sX s sX f x k s F 12121111=---①对2m ：()()()()()222222212dt t x d m t x k dt t dx dt t dx f t F =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ 对两边拉氏变换：()()()[]()()s X s m s x k s sx s sx f s F 22222212=--+②故： ()()()()()()()()⎩⎨⎧=+++-=-++S F s x k fs s m s fsx s F s fsx s x k fs s m 222221121121 故得：()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+++++++=-+++++++⋅=22221212212122222121222211fs k fs s m k fs s m k fs s m s F s fsF s x fs k fs s m k fs s m s fsF k fs s m s F s x 故求()t F 1到()t x 2的传递函数令：()02=s F()()()()()()()()()2122211122432121212211212x s fsG s F s m s fs k m s fs k fs fsm m s f m m s m k m k s f k k s k k ==++++-=+++++++求()t F 2到()t x 1的传递函数 令：()01=s F()()()()()()()()()1122221122432121212211212x s fsG s F s m s fs k m s fs k fs fsm m s f m m s m k m k s f k k s k k ==++++-=+++++++2-3 试求图2-37所示无源网络传递函数。