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第六节 高斯公式和斯托克斯公式一、高斯公式定理1：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P或()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβαcos cos cos这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上 点()z y x ,,出的法向量的方向余弦。
证明：我们只需证明三个等式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Pdydz dv x P ，⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Qdzdx dv y Q ，⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Rdxdy dv z R证明等式最重要的是处理好积分区域！ 证明⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Rdxdy dv z R（如图1） 例1：计算⎰⎰∑++dxdy zx dzdx yz dydz xy 2222，其中∑为椭球面12222=++z y x 的内侧。
解：利用高斯公式⎰⎰∑++dxdy zx dzdx yz dydz xy2222=()⎰⎰⎰∑++-dxdydz x z y 2222()()⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--+-=++-=123222222121212222222222221342122y x y x y x y x dxdy y x y x y x dzz y xdxdy()⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=123223201232212dr r r r r d πθ ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2423sin cos sin 32cos sin 22ππdt t t t t tr ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2053sin 322sin 32sin 322ππdt t t t πππ5225332232543223232322-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= 例2:计算曲面积分⎰⎰∑++xdzdx ydydz dxdy e z ，其中积分曲面∑为)20(22≤≤+=z y x z ，并取下侧。
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
华南理工大学版微积分下课件19
第六节高斯公式和斯托克斯公式
一、高斯公式
定理1：设空间闭区域«Skip Record If...»是由分片光滑的闭曲面
«Skip Record If...»所围成，函数
«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有一阶连续偏导数，则有
«Skip Record If...»
或
«Skip Record If...»
这里«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的整个边界曲面的外侧，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上
点«Skip Record If...»出的法向量的方向余弦。
证明：我们只需证明三个等式
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
证明等式最重要的是处理好积分区域！
证明«Skip Record If...»（如图1）
例1：计算«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为椭球面
«Skip Record If...»的内侧。
解：利用高斯公式
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
例2:计算曲面积分«Skip Record If...»，其中积分曲面«Skip Record If...»
为«Skip Record If...»，并取下侧。
（00华）
解：做辅助曲面«Skip Record If...»并取上侧，利用高斯公式
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
点评：高斯公式可以用来简化第二类曲面积分的计算，首先
利用高斯公式时一定要注意积分曲面必须是封闭的，否则要
做辅助曲面，如例2；其次要注意积分曲面所选定的侧，如
例1中的负号就是因为积分曲面选定的内侧；
例3：设函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在闭区域«Skip Record If...»具有一阶及二
阶连续的偏导数，证明：
«Skip Record If...»
其中«Skip Record If...»为闭区域«Skip Record If...»的整个边界曲面，«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»沿«Skip Record If...»
的外法向量的方向导数，符号«Skip Record If...»。
证明：«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
二、斯托克斯公式
定理2：设«Skip Record If...»为分段光滑的空间有向闭曲线，
«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为边界
的分片光滑有向曲面，«Skip Record If...»的正向与«Skip Record If...»的侧符合右手规则，函
数
«Skip Record If...»
在包含曲面«Skip Record If...»在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，
则有
«Skip Record If...»
或
«Skip Record If...»
证明：我们分别证明以下三式（如图2）
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»。
设«Skip Record If...»与平行«Skip Record If...»轴的直线的交点不多于一点，即«Skip Record If...»的方程可记
为«Skip Record If...»。
并取上侧
«Skip Record If...»
因为«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»在«Skip Record If...»面上的投影为«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»（这步由格林公式得出，其中«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的
边界）
如果«Skip Record If...»从«Skip Record If...»变到«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»从«Skip Record If...»变到«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
注：闭曲线«Skip Record If...»对应的曲面«Skip Record If...»不是唯一的。
例4：计算«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为椭圆
«Skip Record If...»，若从«Skip Record If...»轴正向看去，这椭
圆取逆时针方向。
解：利用斯托克斯公式计算，曲线«Skip Record If...»所围成的曲面«Skip Record If...»为
«Skip Record If...»
利用右手准则应取上侧，所以曲面对应的法向量为
«Skip Record If...»
其单位向量为«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»。
