山西省运城市新绛县第二中学2021届高三数学1月联考试题理

山西省运城市绛县第二中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集U=R，集合，则（）A．B．C．D．参考答案：C,所以,故选.2. 已知、是三次函数的两个极值点，且，，则的取值范围是( )A． B． C． D．参考答案：A3. 已知全集，集合，则（）．A．B．C．D．参考答案：B解：∵集合或，∴．故选．4. 已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量b在a方向上的投影为3，则实数m＝（）A．2B．C．0 D．－参考答案：B5. 已知函数f（x）周期为4，且当x∈（﹣1，3]时，f（x）=，其中m ＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为( )A．（，）B．（，）C．（，） D．（，）参考答案：B【考点】函数的周期性；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．【解答】解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线 y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣8）2+=1=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将 y=代入（x﹣4）2+=1=1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得 m ，同样由 y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1=1 （y≥0）由△＜0可计算得 m＜，综上可知m∈（）故选B．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析是解答本题的关键．6. 已知函数，且，则等于（）A.－2013B．－2014C．2013D．2014参考答案：D解:当为奇数时,当为偶数时，所以7. 执行如图所示的程序框图，若，则输出的结果是（）A． B．C． D．参考答案：C8. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．32πB．16πC．12πD．8π参考答案：D9. 下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．参考答案：C10. 设，则有（）A．B．C ．D ．参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ①对任意； ②对任意；③对任意，则函数的最小值为 .参考答案： 312. 设正整数数列满足：，且对于任何，有，则__________．参考答案：100 略13. 在平面直角坐标系中，，分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，平面内三点A ，B ，C 满足，=+2，=3+m ．若A ，B ，C 三点构成以∠B 为直角的直角三角形，则实数m 的值为 ．参考答案：1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【专题】平面向量及应用．【分析】写出两个向量的坐标，利用向量的运算法则求出的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出m 的值． 【解答】解：∵ =+2，=3+m ，∴=（1，2），=（3，m ），∴=﹣=（2，m ﹣2），∵A，B ，C 三点构成以∠B 为直角的直角三角形， ∴⊥， ∴?=0，∴2+2（m ﹣2）=0， 解得：m=1，故答案为：1．【点评】本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件． 14. 用min{a ，b}表示a ，b 两个数中的较小的数，设f （x ）＝min{，}，那么由函数y ＝f （x ）的图象、x 轴、直线x ＝和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为_____________．参考答案：15. 若两函数与的图像有两个交点、，是坐标原点，当是直角三角形时，则满足条件的所有实数的值的乘积为 .参考答案：.16. 若实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣y 的最小值为 ．参考答案：﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=x ﹣y 对应的直线进行平移，可得当x=3，y=5时，z=x﹣y取得最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（7，1），C（3，5）设z=F（x，y）=x﹣y，将直线l：z=x﹣y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（3，5）=﹣2故答案为：﹣217. 已知，定义.经计算，……，照此规律，则_____.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

山西省运城市新绛县阳王中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等比数列的各项为正，公比满足，则的值为（）A．B．2 C．D．参考答案：D2. 已知数列的通项公式为，是数列的前n项的和，则与最接近的整数是（）A 20B 21C 24D 25参考答案：略3. 甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁参考答案：B【分析】分别假设甲阅读，乙阅读，丙阅读，丁阅读，结合题中条件，即可判断出结果.【详解】若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意；若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；故选B【点睛】本题主要考查逻辑推理的问题，推理案例是常考内容，属于基础题型.4. 已知某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为 ( )A． B． C．D．参考答案：C解析:由三视图易知，该几何体是底面积为，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得5. 已知，且，则（）A．B．C．D．参考答案：D∵，∴，∴，，，∴，∴或，即或，∵，∴或，故选D.6. f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对?x1∈－1,2，?x0∈－1,2，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值范围是()A． B．C．3，＋∞) D．(0,3参考答案：A7. 若集合A＝{－2＜x＜1}，B＝{0＜x＜2}，则集合A∩B＝()A．{－1＜x＜1} B．{－2＜x＜1}C．{－2＜x＜2} D．{0＜x＜1}参考答案：D8. 下列命题中是假命题的是（）A． B．C． D．参考答案：B略9. 已知等比数列的前项和为，若，且满足，则使的的最大值为（）（A）6 （B）7 （C）8 （D）9 参考答案：D略10. 函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=π，得到f（π）＜0，排除C．【解答】解：f（﹣x）=（﹣x+）cos（﹣x）=﹣（x﹣）cosx=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，当x=π时，f（π）=（π﹣）cosπ=﹣π＜0，故排除C，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，则=___________________.参考答案：-7略12. 若，则．参考答案：13. 设．若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______．]参考答案：略14. 已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）（m ，n∈R ），则m ﹣n 的值为 ．参考答案：﹣3【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．【解答】解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2bcosB=acosC+ccosA ，且b 2=3ac ，则角A 的大小为 ．参考答案：或【考点】正弦定理．【分析】由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin （A+C ），得B=60°，A+C=120°．又b 2=3ac ，即sin 2B=3sinAsinC ，利用积化和差公式求得cos （A ﹣C ）=0，得A ﹣C=±90°， 由此可得A 的大小．【解答】解：△ABC 中，∵2bcosB=acosC+c?cosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinC?cosA ，∴sin2B=sin（A+C ）．得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C ），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）． A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b 2=3ac ，故 sin 2B=3sinAsinC ，∴=3sinAsinC=3× [cos （A ﹣C ）﹣cos （A+C ）]=（cos （A ﹣C ）+），解得 cos （A ﹣C ）=0，故A ﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．故答案为A=，或A=16. 一组数据中每个数据都减去构成一组新数据，则这组新数据的平均数是 ，方差是，则原来一组数的方差为________．参考答案：略17. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．:高&考%资(源#网]参考答案： 25 [来源 略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021-2022学年山西省运城市新绛育才中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ，则点的轨迹一定过的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心参考答案：B略2. 已知集合，则满足条件A?C?B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：D【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A?C?B的集合C的个数即可．解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A?C?B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．【点评】本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想．3. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.A． B． C． D．4参考答案：B【知识点】由三视图求面积、体积G2解析：根据该几何体的三视图可得该几何是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×4×2=4，棱锥的高h=1，故棱锥的体积V=Sh=，故选：B．【思路点拨】根据该几何体的三视图可得该几何是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出棱锥的底面积和高，代入棱锥体积公式可得答案．4. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．13π B．20π C. 25π D．29π参考答案：D5. 方程（t为参数）表示的曲线是（）。

A.一条直线B.两条直线C. 一条射线D. 两条射线参考答案：D6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有个面是矩形，体积为，则A．B．C．D．参考答案：D7. 定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f （x）=2x+，则f（log220）=( )A．1 B．C．﹣1 D．﹣参考答案：C【考点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（﹣x）=﹣f （x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1故选C【点评】本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性，其中根据已知中f（﹣x）=﹣f （x），f（x﹣2）=f（x+2）判断函数的奇偶性，并求出函数的周期是解答的关键．8. 集合（其中是虚数单位）中元素的个数是（）A． 1 B．2 C． 4 D．无穷多个参考答案：C略9. 设函数，其中，则导数的取值范围是（）A．[-2,2] B．C．D．参考答案：D10. 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ）A．B． C. D．参考答案：B由三视图可知正方体边长为，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示，故该几何体的表面积为：，故选B.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则__________.参考答案：【知识点】二倍角公式C6sin2x=cos （-2x ）=1-2sin 2（-x ）=【思路点拨】利用诱导公式和两角和公式对sin2x 化简整理，然后把sin （-x ）=代入即可得到答案．12. 设为图象上任意一点，为在点处的切线，则坐标原点到距离的最小值为 ．参考答案：213. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的 直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为.参考答案： 11.14. 设集合A=，若,则实数的值为参考答案： 115. 设，则二项式的展开式中含有的项是参考答案：16. 阅读右边的框图填空：若a ＝0.80.3，b ＝0.90.3，c ＝log 50.9，则输出的数是__ _．参考答案：b(或0.90.3)17. 若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点、与点、，则三角形面积之比为：. 若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点、与点、和、，则类似的结论为： .参考答案： 略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

山西省运城市绛县高级职业中学2020-2021学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果，那么（）A、 B、 C、 D、参考答案：D2. 如图所示，曲线，围成的阴影部分的面积为（）A． B．C． D．参考答案：A3. 设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题不正确的是( )①若l⊥α，α⊥β，则l?β②若l∥α，α∥β，则l?β③若l⊥α，α∥β，则l⊥β④若l∥α，α⊥β，则l⊥βA．①③B．②③④C．①②④D．①④参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理对四个命题分别分析选择．【解答】解：对于①，若l⊥α，α⊥β，则l?β或者l∥β，故①错误；对于②，若l∥α，α∥β，则l?β或者l∥β；故②错误；对于③，若l⊥α，α∥β，则l⊥β，正确；对于④，若l∥α，α⊥β，则l与β的位置关系不确定；故④错误；故选：C．【点评】本题考查了空间线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理的运用；熟练运用定理，掌握定理成立的条件是关键．4. （5分）（2015?陕西一模）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A． 3 B． 2 C． D．参考答案：【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：三视图复原的几何体的三棱锥，是长方体的一个角出发的三条棱的顶点的连线组成的三棱锥，三度分别为：2，1，2，三棱锥的体积为：．故选：D．【点评】：本题考查三视图求解几何体的体积，注意三视图复原几何体的形状是解题的关键．5. 已知函数f(x)的导函数为，若，，则不等式的解集为A．(0,+∞) B．(－∞,0) C．(－∞,0)∪(1,+∞) D．(1,+∞)参考答案：A6. 执行右边的框图，若输入的N是6，则输出p的值是A.120B.720C.1440D.5040参考答案：7. 命题“存在为假命题”是命题“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A依题意，“存在为假命题”得，解得，所以命题“存在为假命题”是命题“”的充要条件.8. 在区间[﹣3，3]中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1相交”发生的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】CF：几何概型．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆（x﹣2）2+y2=1的圆心为（2，0），半径为1．要使直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1相交，则圆心到直线y=kx的距离＜1，解得﹣＜k＜．在区间[﹣3，3]中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1相交”发生的概率为=．故选A．9. 用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A． B． C． D．参考答案：B10. 过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量与向量的夹角为120°，若向量，且，则的值为________．参考答案：略12. （不等式选做题）不等式的解集为参考答案：略13. 已知函数，（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求函数在区间上的最大值.参考答案：略14. 在的展开式中，含的项的系数是______．参考答案：32 【分析】利用二项展开式的通项公式求出含的项，进而可得其系数.【详解】，令，得，所以含的项的系数为.故填:32.【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式，根据通项公式可求出对应项的系数.15. 若关于的不等式的解集为，则________.参考答案：(二)必做题（14-16题）16. _____________．参考答案：．17. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+中的为7．据此模型预报广告费用为10万元时销售额为 （万元）．参考答案：73.5【考点】回归分析的初步应用． 【专题】图表型；概率与统计．【分析】根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数，再将x=10代入，即可得到预报销售额． 【解答】解：由题意，=4.5，=35∵回归方程：为7．∴35=7×4.5+， ∴=3.5∴x=10时， =7×10+3.5=73.5元 故答案为：73.5．【点评】本题考查求回归方程，考查利用回归方程进行预测，解题的关键是根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

山西省运城市盐湖第二中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．6 B．2C．3 D．3参考答案：D2. 现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A．①④③②B．①④②③C．④①②③D．③④②①参考答案：B【知识点】函数的奇偶性B4分析函数的解析式，可得：①y=x?sinx为偶函数；②y=x?cosx为奇函数；③y=x?|cosx|为奇函数，④y=x?2x为非奇非偶函数且当x＜0时，③y=x?|cosx|≤0恒成立则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③【思路点拨】从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于Y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．3. 三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A．7 B．7.5 C．8 D．9参考答案：C【考点】球内接多面体．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由小圆面积为16π，可以得小圆的半径；由图知三棱锥高的最大值应过球心，故可以作出解答．【解答】解：设小圆半径为r，则πr2=16π，∴r=4．显然，当三棱锥的高过球心O时，取得最大值；由OO1==3，∴高PO1=PO+OO1=5+3=8．故选C．【点评】本题考查了由圆的面积求半径，以及勾股定理的应用，是基础题．4. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，f￠(x)是f(x)的导函数，当x＞0时总有xf￠(x)＜f(x)成立，则不等式f(x)＞0的解集为（A）{x|x＜－1或x＞1} （B）{x|x＜－1或0＜x＜1}（C）{x|－1＜x＜0或0＜x＜1} （D）{x|－1＜x＜1且x≠0}参考答案：B略5. 已知集合，且、都是全集的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A． B．C．D．参考答案：C6. 函数的反函数是A．B．C．D．参考答案：A略7. 已知函数是幂函数且是上的增函数,则的值为（）A．2 B．-1 C．-1或2 D．0参考答案：【知识点】函数的性质及应用．B8【答案解析】B 解析：因为函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3是幂函数，所以m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0，解得m=2或m=﹣1．又因为幂函数在（0，+∞），所以﹣5m﹣3＞0，即m＜﹣，所以m=﹣1．故选B．【思路点拨】依题意利用幂函数的概念，由m2﹣m﹣1=1，且﹣5m﹣3＞0即可求得m的值．8. 已知α∈（，π），sin（π+α）=﹣，则tan（α﹣）等于（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．参考答案：A【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα，结合α的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角差的正切函数公式即可计算求值．【解答】解：∵sin（π+α）=﹣sinα=﹣，∴可得：sin，∵α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，tan==﹣，∴tan（α﹣）===﹣7．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角差的正切函数公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．9. 若集合= ，,则A B=（）A. B. C. D.参考答案：B10. 已知实数x，y满足约束条件，若函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则8a+16b的最小值为（）A解答： 解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z （a ＞0，b ＞0）过直线x ﹣y+1=0与直线2x ﹣y ﹣2=0的交点A （3，4）时， 目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）取得最大1， ∴3a+4b=1． ∴8a +16b ≥2=2=2，则8a +16b 的最小值为2．故选A ．11. 已知x ，y 满足，则z =y －3x 的最小值为 ．参考答案：12. 函数的定义域为 .参考答案：（13. 一块边长为的正方形铁板按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥）形容器，为底面的中心，则侧棱与底面所成角的余弦值为 ．参考答案：14. 函数f （x ）=2x 2﹣3x+1在区间上的最小值是，最大值是 ．参考答案：;0.考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的增减区间，然后根据函数的增减性求其最大值和最小值．解答：解：∵f（x）=2（x﹣）2﹣，∴为f（x）的减区间，为f（x）的增区间．∴当x=时，f（x）min=﹣，当x=﹣1时，f（x）max=0．故答案为：﹣；0．点评：掌握函数增减区间的判断并会根据其增减性求函数的最大最小值．15. 已知集合，则。

2021年山西省运城市绛县县直中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若，，则的取值范围是A. B.C. D.参考答案：C2. 已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案：B【分析】作出不等式表示的平面区域，整理得：，利用表示点与原点的连线斜率，即可求得，问题得解。

【详解】将题中可行域表示如下图，整理得：易知表示点与原点的连线斜率，当点在处时，取得最小值-3.且斜率小于直线的斜率-1，故，则，故.故选：B【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题。

3.参考答案：A略4. 已知是实数，是纯虚数（是虚数单位），则=（）A．1 B．－1 C．D．－参考答案：B略5. 已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则的最小值为（）A．B．C．2 D．4参考答案：B【考点】7F：基本不等式．【分析】由4=2a+b可求ab的范围，进而可求的最小值【解答】解：∵a＞0，b＞0，且4=2a+b∴ab≤2∴∴的最小值为故选B6. 函数的导数为（）A. B.C. D.参考答案：A7.已知等比数列{}的各项都是正数，且，则数列的前10项和为（A）（B）（C）10 （D）20参考答案：答案：C8. 四面体的一条棱长为x，其余棱长均为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）A B. C. D.参考答案：D 【知识点】球内接多面体G8解析：底面积不变，高最大时体积最大，所以，面BCD与面ABD垂直时体积最大，由于四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径R==；经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S==15π；故选D．【思路点拨】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．9. 已知是单位向量,.若向量满足（）A． B． C． D．参考答案：A10. 已知集合，则（）A．B．C．D．M参考答案：C由得：，，则，故，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是____.参考答案：略12. 点N 是圆上的动点，以点为直角顶点的直角△ABC 另外两顶点B ,C 在圆上，且BC 的中点为M ，则的最大值为________.参考答案：∴，则即表示以为圆心，为半径的圆∴的最大值为13. 若全集U ＝R ，集合M ＝{x|x2>4}，N ＝{x|>0}，则M∩(?UN)等于________．参考答案：略14. 已知向量，其中，且，则向量的夹角是 ．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由及便可以得到，再由便可由向量数量积的计算公式得到，从而便可得出向量和的夹角的大小． 【解答】解：；∴；∴；即；∴；∴向量的夹角为．故答案为：．15. 在等比数列{a n }中，a 1=，a 4=-4，则公比q=____________；____________。

2021年高三数学上学期1月月考试卷文（含解析）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．D．A．①B．①②C．②③D．①②③7．（5分）已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点成中心对称B．两个函数的图象均关于直线成轴对称C．两个函数在区间上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同8．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．32 C．D．10．（5分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣12．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）13．（5分）设z=x+2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是．14．（5分）已知圆O：x2+y2=1，直线x﹣2y+5=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为．15．（5分）观察下列等式；12=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…根据上述规律，第n个等式为．16．（5分）表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为．三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n=1，数列{b n}中，b1=1，b2=，=+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．18．（12分）云南省xx年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的平均身高为170.5cm．现从我校xx届高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，…，第6组，图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估我校xx届高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；（2）已知我校这50名男生中身高排名（从高到低）在全省前100名有2人，现从身高在182.5cm以上（含182.5cm）的人中任意抽取2人，求该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名的概率．19．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．（1）求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．（2）求证：平面AFC⊥平面CBF．（3）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．21．（12分）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）如果对任意x1、x2∈，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k|﹣|，求实数k的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．23．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．xx-云南省部分名校xx届高三上学期1月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．D．∴故选A点评：本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．解答：解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣2，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣2﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣2﹣4﹣8，i=4；∴S0﹣2﹣4﹣8=﹣4解得S0=10故选D．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列．6．（5分）设 a＞b＞1，C＜0，给出下列三个结论：①＞；②a c＜b c；③log b（a﹣c）＞log a（b﹣c）．其中所有的正确结论的序号（）A．①B．①②C．②③D．①②③考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：利用作差比较法可判定①的真假，利用幂函数y=x c的性质可判定②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假．解答：解：①﹣=，∵a＞b＞1，c＜0∴﹣=＞0，故＞正确；②考查幂函数y=x c，∵c＜0∴y=x c在（0，+∞）上是减函数，而a＞b＞0，则a c＜b c正确；③当a＞b＞1时，有log b（a﹣c）＞log b（b﹣c）＞log a（b﹣c）；正确．故选D．点评：本题主要考查了不等式比较大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于基础题．7．（5分）已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点成中心对称B．两个函数的图象均关于直线成轴对称C．两个函数在区间上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：化简这两个函数的解析式，利用正弦函数的单调性和对称性，可得 A、B、D不正确，C 正确．解答：解：函数①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，由于①的图象关于点（﹣，0 ）成中心对称，②的图象不关于点（﹣，0 ）成中心对称，故A不正确．由于函数②的图象不可能关于（﹣，0）成中心对称，故B不正确．由于这两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数，故C正确．由于①的周期等于2π，②的周期等于π，故 D不正确．故选 C．点评：本题考查正弦函数的单调性，对称性，化简这两个函数的解析式，是解题的突破口．8．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．解答：解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，此时S△APC=S△A BC故黄豆落在△APC内的概率为，故选A．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．32 C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知可得该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案．解答：解：由已知可得该几何体是一个以假视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其中底面面积S=×4×4=8，棱柱的高为8，故棱柱的体积为：8×8=64，棱锥的高为4，故棱柱的体积为：×8×4=，故该几何体的体积V=64﹣=，故选：A点评：本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．10．（5分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：首先由三角形面积公式得到S△ABC=，再由余弦定理，结合2S=（a+b）2﹣c2，得出sinC ﹣2cosC=2，然后通过（sinC﹣2cosC）2=4，求出结果即可．解答：解：△ABC中，∵S△ABC=，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，且 2S=（a+b）2﹣c2 ，∴absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得sinC﹣2cosC=2，∴（sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得 3tan2C+4tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=﹣，故选C．点评：本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角C的范围，属于中档题．11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．﹣1 B．C．1 D．﹣考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得函数f（x）为奇函数，函数f（x）为周期为4是周期函数，4＜log220＜5，f（log220）=﹣f（log2），由f（log2）=1，能求出f（log220）=﹣1．解答：解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1故f（log220）=﹣1．故选：A．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质和对数运算法则的合理运用．12．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1 C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（） 2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A点评：本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）13．（5分）设z=x+2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，结合z在目标函数中的几何意义，求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数z的范围．解答：解：约束条件对应的平面区域如图示：由图易得目标函数z=2y+x在O（0，0）处取得最小值，此时z=0在B处取最大值，由可得B（），此时z=故Z=x+2y的取值范围为：故答案为：点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件，利用目标函数中z的几何意义是关键．14．（5分）已知圆O：x2+y2=1，直线x﹣2y+5=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为2．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用数形结合确定圆心到直线的距离最小时，即可．解答：解：∵|PA|=，∴当OP最小时，|PA|的距离最小，此时圆心到直线的距离d==，此时|PA|的最小为=2，故答案为：2点评：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．15．（5分）观察下列等式；12=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…根据上述规律，第n个等式为13+23+33+43+…+n3=（）2．考点：归纳推理．专题：计算题；推理和证明．分析：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，进而可得答案．解答：解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，则13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2 =（）2，故答案为：13+23+33+43+…+n3=（）2点评：本题考查归纳推理，解题的关键是发现各个等式之间变化的规律以及每个等式左右两边的关系．16．（5分）表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为27．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：棱锥S﹣ABC的底面积为定值，欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大，应有S到平面ABC 的距离取最大值，由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值．解答：解：∵表面积为60π的球，∴球的半径为，设△ABC的中心为D，则OD=，所以DA=，则AB=6棱锥S﹣ABC的底面积S=为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为，∴V=．故答案为：27．点评：本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足2S n+a n=1，数列{b n}中，b1=1，b2=，=+（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}满足c n=，求证：c1+c2+c3+…+c n＜．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由2S n+a n=1，得S n=（1﹣a n），由此推导出{a n}是首项为，公比为的等比数列，从而求出a n．由b1=1，b2=，=+（n∈N*），得=1，=2，d==1，由此推导出{}是首项为1，公差为1的等差数列，从而求出b n；（Ⅱ）c n==n•（）n，设T n=c1+c2+c3+…+c n，由错位相减求和，即可证明结论．解答：解．（Ⅰ）由2S n+a n=1，得S n=（1﹣a n），当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（1﹣a n）﹣（1﹣a n﹣1），∵a n﹣1≠0，∴=而S1=（1﹣a1），∴a1=∴{a n}是首项为，公比为的等比数列，∴a n=（）n．由b1=1，b2=，=+（n∈N*），得=1，=2，d==1，∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，∴b n=．（2）c n==n•（）n，设T n=c1+c2+c3+…+c n，则T n=1•+2•（）2+…+n•（）n，T n=1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，由错位相减，化简得：T n=＜．点评：本题考查数列通项公式的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是xx届高考的重点．解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．18．（12分）云南省xx年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的平均身高为170.5cm．现从我校xx届高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组，第二组，…，第6组，图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估我校xx届高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；（2）已知我校这50名男生中身高排名（从高到低）在全省前100名有2人，现从身高在182.5cm以上（含182.5cm）的人中任意抽取2人，求该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）xx届高三男生的平均身高用组中值×频率，即可得到结论；（2）列举出所有的基本事件，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校xx届高三年级男生平均身高为：160×0.1+165×0.2+170×0.3+175×0.2+180×0.1+185×0.1=171高于全市的平均值170.5；（II）这50人中182.5 cm以上的有5人，分别设为A，B，C，D，E，其中身高排名在全省前100名为A，B．故总得事件 AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名，有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，7种，设“该2人中至少有1人身高排名（从高到低）在全省前100名”为事件A，故P（A）=点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，频率分面直方图，属于基础题．19．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．（1）求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．（2）求证：平面AFC⊥平面CBF．（3）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）由题意求出四棱锥F﹣ABCD的高，然后求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．（2）要证平面AFC⊥平面CBF．只需证明AF垂直平面CBF内的两条相交直线BC、BF即可；（3）在线段CF上是存在一点M，取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN，MNAO 为平行四边形，即可说明OM∥平面ADF．解答：解：（1）∵AD=EF=AF=1∴∠OAF=60°作FG⊥AB交AB于一点G，则∵平面ABCD⊥平面ABEF∴FG⊥面ABCD（3分）所以（2）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．∵AF⊂面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF；（3）取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN则MN，又AO，则MNAO，所以MNAO为平行四边形，（10分）∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF．（12分）点评：本题是中档题，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，考查棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定，常考题型．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求实数a的值及f（x）的极值；（2）如果对任意x1、x2∈，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k|﹣|，求实数k的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立条件关系即可求实数a的值及f（x）的极值；（2）根据不等式单调函数的单调性关系，将不等式进行转化，利用导数求函数的最值即可得到结论．解答：解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）==，∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴f′（0）=，∴a=1，∴f（x）=，f′（x）=﹣，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值（2）由（1）的结论知，f（x）在⇔函数F（x）=f（x）﹣=在∴k≤lnx在请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：（1）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程．（2）曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ），利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．解答：解：（1）由ρ=4cosθ，得出ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=4x即曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l的方程是：x+y=0…（4分）（2）将曲线C横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ）到直线l距离d==．当sin（θ+α）=0时到直线l距离的最小值为0．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．23．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：（1）先求得|x+1|+|x﹣2|＞7，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案．（2）由关于x的不等式f（x）≥2，得到|x+1|+|x﹣2|≥m+4．因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x﹣2|≥3，令m+4≤3，求解即可得到答案．解答：解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，等价于m+4≤3，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．点评：本题主要考查绝对值不等式的应用问题，题中涉及到分类讨论的思想，考查学生的灵活应用能力，属于中档题目．37571 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2021年高三数学上学期1月调考试卷理（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设复数z满足，则 =( )A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣ix（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是2．设集合P={x|∫( )A．2 B．3 C．7 D．83．下列结论正确的是( )A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1 D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞04．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A．36πB．9πC．πD．π5．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=( ) A．27 B．81 C．243 D．7296．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数( )（1）f（x）的图象过点（0，）（2）f（x）的一个对称中心是（）（3）f（x）在[]上是减函数（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．A．4 B．3 C．2 D．17．若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是( )A．（﹣4，2）B．（﹣1，2）C．（﹣4，0）D．（﹣2，4）8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )（1）AC⊥BE．（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为．（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值．（4）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．（5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．A．0 B．1 C．2 D．39．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为( )A．B．4 C．D．910．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为( )A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|﹣2|=__________．12．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为__________．13．设正数a，b，c满足++≤，则=__________．14．已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为__________．(15，16为选做题，二选一即可)15．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为__________．16．直线l的参数方程是（其中t为参数），若原点O为极点，x正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值范围．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？19．已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；（Ⅱ）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．21．（13分）如图，已知点A（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O 和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆O上的动点，PD⊥AB交AB于D，=λ，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值．（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）一直线L过定点S（4，0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0）（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）；（3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（lnxx≈7.6079，lnxx≈7.6084）xx学年湖北省六校联考高三（上）1月调考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设复数z满足，则 =( )A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：先设出复数的代数形式，再由题意求出复数z，根据共轭复数的定义求出即可．解答：解：设z=a+bi（a、b∈R），由题意知，，∴1+2i=ai﹣b，则a=2，b=﹣1，∴z=2﹣i，=2+i，故选C．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位i 的幂运算性质，共轭复数的概念，难度不大，属于基础题．2．设集合P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是( ) A．2 B．3 C．7 D．8考点：定积分的简单应用；子集与真子集．专题：计算题．分析：先根据定积分求出集合P，根据集合子集的公式2n（其中n为集合的元素），求出集合A的子集个数，然后除去空集即可得到集合A的非空真子集的个数．解答：解：∵P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，∴P={2，3}因为集合A中有2个元素，所以集合A子集有22=4个，则集合A的非空子集的个数是4﹣1=3．故选B．点评：此题考查学生掌握子集与真子集的定义，会利用2n﹣1求集合的非空子集，是一道基础题．3．下列结论正确的是( )A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞0考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．若，则不存在实数λ使得=2λ；B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角；C．利用逆否命题的定义即可判断出；D．利用命题的否定即可判断出．解答：解：A．若向量∥，，则不存在实数λ使得=2λ，不正确；B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角，不正确；C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1，正确；D．命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，不正确．故选：C．点评：本题考查了向量共线定理及其夹角公式、逆否命题的定义、命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A．36πB．9πC．πD．π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，求出底面外接圆半径和棱锥的高，进而利用勾股定理，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案．解答：解：∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，故底面外接圆半径r=，由主视图中棱锥的高h=1，故棱锥的外接球半径R满足：R==，故该几何体外接球的体积V==π，故选：C点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，进而求出外接球半径，是解答的关键．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=( ) A．27 B．81 C．243 D．729考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 从而可求a2，结合S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）考虑n=1可得，S2=a1+a2=4a1从而可得a1及公比 q，代入等比数列的通项公式可求a6解答：解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 即a2=3因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=1×35=243故选C点评：本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的前 n项和公式及通项公式，属基础题．6．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数( )（1）f（x）的图象过点（0，）（2）f（x）的一个对称中心是（）（3）f（x）在[]上是减函数（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．A．4 B．3 C．2 D．1考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的周期求出ω，再由图象关于直线x=对称结合φ的范围求得φ，则函数解析式可求．①求得f（0）=说明命题①错误；②由f（）=0说明命题②正确；③求出原函数的减区间，由[]是一个减区间的子集说明命题③正确；④通y=Asin（ωx+φ）图象的平移说明命题④错误．解答：解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的周期是π，∴ω=2，又图象关于直线x=对称，则2×φ=kπ+，即φ=，k∈Z．∵﹣＜φ＜，∴取k=1得φ=．∴f（x）=3sin（2x+）．①∵f（0）=3sin=．∴f（x）的图象过点（0，）错误；②∵f（）=3sin（2×+）=3sinπ=0．∴f（x）的一个对称中心是（）正确；③由，得：．取k=0，得．∵[]⊆，∴f（x）在[]上是减函数正确；④∵φ=＞0，∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+）是把y=3sinωx向左平移个单位得到，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=3sinωx的图象．∴命题④错误．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了复合函数的单调性的求法，是中档题．7．若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是( )A．（﹣4，2）B．（﹣1，2）C．（﹣4，0）D．（﹣2，4）考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=﹣x+，相当于直线y=﹣x+的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=﹣x+，相当于直线y=﹣x+的纵截距，则由目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值可知，﹣1＜﹣＜2，则﹣4＜a＜2，故选A．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )（1）AC⊥BE．（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为．（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值．（4）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．（5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．A．0 B．1 C．2 D．3考点：命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，依次分析：如图可知BE⊂平面BB1D1D，AC⊥BE，进而判断出（1）正确；根据AA1∥BB1，判断出AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，计算出A1到平面BEF的距离，即可判断出（2）项；设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，可分别求得S△BEF和AO，则三棱锥A﹣BEF的体积可得判断（3）项正确；再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定（4）和（5）项正确．解答：解：对于（1），∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE．故（1）正确．对于（2），∵AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1DD1，BB1⊂平面BB1DD1，∴AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，又∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，A1到平面BEF的距离为A1到B1D1的距离，∴若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为，故（2）正确；对于（3），∵S△BEF==，设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，AO=，∴V A﹣BEF==，故（3）正确；对于（4）在正方体中，AA1∥DD1，AD∥B1C1，则AC，AA1，AD相交于A点，故空间中与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．故（4）正确；对于（5）由于过CC1的中点与直线AC1所成角为40°的直线有2条．并且这两条直线与平面BEF所成角为50°，故（5）正确；故答案为：A．点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直，考查线面角、线线角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．9．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为( )A．B．4 C．D．9考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出，由此能求出4e12+e22的最小值．解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴=4c2，③①2+②2，得=，④将④代入③，得，∴4e12+==+=≥=．故选：C．点评：本题考查4e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．10．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x•求导数判断，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，y=x﹣2﹣lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．解答：解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），∴可得：＞，对于x＞1恒成立．设h（x）=x•，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，∴k的最大值为3．故选：B点评：本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|﹣2|=2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=||•||•cos120°的值，再根据|﹣2|=，计算求得结果．解答：解：由题意可得=||•||•cos120°=2×1×（﹣）=﹣1，∴|﹣2|====2，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．12．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：求得sinβ和cosβ的值，根据已知条件判断出α+β的范围，进而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解答：解：∵α，β∈（0，π），tanβ=，sin（α+β）=，∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜，∴0＜α+β＜，∵0＜sin（α+β）=＜，∴0＜α+β＜，或＜α+β＜π，∵tanβ=＞1，∴＞β＞，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣=﹣，∴sinα=sin（α+β﹣β）=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×+×=．故答案为：．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．解题过程中判断出α+β的范围是解题的最重要的一步．13．设正数a，b，c满足++≤，则=．考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质“取等号的条件”即可得出．解答：解：∵a，b，c为正数，∴（a+b+c）=14+++++=36．当且仅当a：b：c=1：2：3．∵++≤，∴++=，∴==．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．14．已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为21．考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析： p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1；第二次得：c2=（p+1）2（q+1）﹣1；所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，故可得结论．解答：解：因为p＞q＞0，所以第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1，因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）﹣1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）﹣1，所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）﹣1=（p+1）3（q+1）2﹣1，第四次可得：c4=（c3+1）（c2﹣1）﹣1=（p+1）5（q+1）3﹣1，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，因为经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），所以m=8，n=13，所以m+n=21．故答案为：21．点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，求出经过6次操作后扩充所得的数是关键．(15，16为选做题，二选一即可)15．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．解答：解：连接OC，BE，如下图所示：则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4故答案为：4点评：本题考查的知识点是切线的性质，圆周角定理，其中根据切线的性质，圆周角定理，判断出△ABE是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．16．直线l的参数方程是（其中t为参数），若原点O为极点，x正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是2．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：将圆的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离d，求出d，由勾股定理可求切线长的最小值．解答：解：∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴x2+y2=x﹣y，即（x﹣）2+（y+）2=1，∴圆C是以M（，﹣）为圆心，1为半径的圆…2分化直线l的参数方程（t为参数）为普通方程：x﹣y+4=0，…4分∵圆心M（，﹣）到直线l的距离为d==5，…6分要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心M（，﹣）到直线的距离d，由勾股定理求得切线长的最小值为 ==2．故答案为：2．点评：本题考查圆的极坐标方程，直线的参数方程、直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值范围．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A化简后，根据cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可；（2）根据CD为AB边上的中线，得到=，两边平方并利用平面向量的数量积运算法则变形得到关系式，利用余弦定理列出关系式，将cosC与c的值代入得到关系式，代入计算即可确定出|CD|的范围．解答：解：（1）由sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，即C=，∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sinBcosA=2sinAcosA，当cosA=0，即A=，此时S△ABC=；当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，此时此时S△ABC=；（2）∵=，∴|CD|2==，∵cosC=，c=2，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4，∴|CD|2==＞1，且|CD|2=≤3，则|CD|的范围为（1，]．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项解答：解（I）当n=1时，∴a1（λa1﹣2）=0若取a1=0，则S n=0，a n=S n﹣S n﹣1=0∴a n=0（n≥1）若a1≠0，则，当n≥2时，2a n=，两式相减可得，2a n﹣2a n﹣1=a n∴a n=2a n﹣1，从而可得数列{a n}是等比数列∴a n=a1•2n﹣1==综上可得，当a1=0时，a n=0，当a1≠0时，（II）当a1＞0且λ=100时，令由（I）可知∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b6=＞0当n≥7时，∴数列的前6项和最大点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．19．已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；（Ⅱ）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．分析：（1）利用导数研究函数的单调区间的方法步骤求解f（x）的单调区间和值域．（2）在a≤﹣1，x∈[0，1]的条件下，判断g（x）的单调性，进而求解g（x）的值域，依题意得f（x）的值域是g（x）值域的子集，列出关于a的不等式组，解出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）令f'（x）=0解得：（舍去）列表：可知f（x）的单调减区间是，增区间是；因为，所以当x∈[0，1]时，f（x）的值域为（Ⅱ）g′（x）=3（x2﹣a2）因为a≤﹣1，x∈（0，1）所以g′（x）＜0，g（x）为[0，1]上的减函数，g（1）≤g（x）≤g（0）所以g（x）∈[1﹣4a﹣3a2，﹣4a]因为当x∈[0，1]时，f（x）的值域为由题意知：所以又a≤﹣1，得．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、值域等函数知识，对于（2）解答的关键是，f（x）的值域是g（x）的值域的子集，在学习中，同学们应熟练掌握这一方法，本题是一道好题，属于教学中的重点和难点．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．法二：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．解答：解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴…在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t=3．…点评：本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．21．（13分）如图，已知点A（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O 和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆O上的动点，PD⊥AB交AB于D，=λ，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值．（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）一直线L过定点S（4，0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据，|CM|+|CN|为定值，建立条件关系即可求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）根据直线和椭圆的位置关系，转化为一元二次方程问题即可．解答：解：（1）易得B（2，0），M（﹣1，0），N（1，0），设P（x0，y0），C（x，y），则E（x0，），直线PA与BE交于C，故x≠±2，①且，②①②相乘得，又因为点P（异于A，B）是圆O上的动点，故，即，要使|CM|+|CN|为定值，则4﹣，解得，此时，（x≠±2），即时，点C的轨迹曲线E的方程为，（x≠±2），（2）联立，消x得（3m2+4）y2+24my+36=0，判别式△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4设Q（x1，y1），R（x2，y2，则Q′（x1，﹣y1），由韦达定理有直线RQ的方程为y=，令y=0，得x===将①②代人上式得x=1，又====当时取得．点评：本题主要考查直线和圆以及直线和圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算能力．22．（14分）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0）（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）；（3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（lnxx≈7.6079，lnxx≈7.6084）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；（2）由（1）可知a≥时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx 在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论；（3）运用（2）的结论和S=1+++…+＜1×2++…+×28=9，即可得到整数部分．解答：解：（1）∵函数f（x）=ax++（1﹣2a），f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min≥0，又∵g′（x）=a﹣﹣=，而当=1，即a=时，①当≤1即a时，g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min=g（1）=0≥0；②当＞1即0＜a＜时，g′（x）=0时x=；且1≤x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＞0；则g（x）min=g（）≥0①，又∵g（）≤g（1）=2a﹣1＜0与①矛盾，不符题意，故舍．∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．（2）证明：由（1）可知a时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，令x依次取，，，…，时，则有×（﹣）≥ln ，×（﹣）≥ln ，…×（﹣）≥ln ，由同向不等式可加性可得[（+++…+）﹣（+++…+）]≥ln（n+1），即 [（1+++…++n）﹣（n﹣﹣﹣﹣…﹣）]≥ln（n+1），也即 [2（1+++…+）+﹣1]≥ln（n+1），也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．（3）由（2）的结论，可得，S=1+++…+≥lnxx+∈（8，9），又S=1+++…+＞dx=lnx|=lnxx≈7.6，则有S的整数部分为9．点评：本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想．39680 9B00 鬀•31643 7B9B 箛37086 90DE 郞b<29857 74A1 璡21012 5214 刔36108 8D0C 贌0d25839 64EF 擯-32621 7F6D 罭26285 66AD 暭。

2021年高三1月模拟数学理试题含解析一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】试题分析：因为，所以对应的点的坐标是，所以在第二象限，故选B．考点：1、复数的乘法运算；2、复平面．2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：使有意义，必须满足，，，故选B．考点：1、函数的定义域；2、集合的交集运算．3.设向量，, 若方向相反, 则实数的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：，解得：，当时，，，此时，方向相同，不符合题意，舍去；当时，，，此时，方向相反，符合题意．所以实数的值是，故选D．试题分析：考点：1、向量的坐标运算；2、平行向量（共线向量）．4.一算法的程序框图如图1，若输出的， 则输入的的值可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由程序框图知：．当时，，解得：（舍去）；当时，，解得：（）或（），当时，或（舍去），所以输入的的值可能是，故选C ．考点：1、框图；2、分段函数．5.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：将函数的图象向左平移个单位，得到函数sin 2sin 2cos 2662y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再向上平移个单位，得到函数的图象．所得函数的函数解析式是，故选A ．考点：1、三角函数的图象变换；2、诱导公式；3、倍角公式．6.用,,表示空间中三条不同的直线, 表示平面, 给出下列命题:① 若, , 则∥; ② 若∥, ∥, 则∥;③ 若∥, ∥, 则∥; ④ 若, , 则∥.其中真命题的序号是（ ）A ．① ②B ．② ③C ．① ④D ．② ④【答案】D【解析】试题分析：若, , 则∥或与相交或与异面，所以①是假命题；平行于同一直线的两条直线平行，所以②是真命题；若∥, ∥, 则∥或与相交或与异面，所以③是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以④是真命题．故选D ．考点：空间点、线、面的位置关系．7.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点 的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，因为点的横坐标为，所以轴，由，解得，所以，因为点、在双曲线上，所以，，所以1122F QF F QF Q P +=P +=P ==，所以△的周长为11F QF Q P ++P ==，故选A ． 考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的弦长；3、焦点三角形的周长．8.已知映射.设点，，点是线段上一动点，.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：因为点，，所以线段的方程为（），设，则，因为点是线段上一动点，所以（），所以点的对应点的轨迹是一段圆弧，且圆心角为，所以点的对应点所经过的路线长度为，故选B ． 考点：1、映射；2、轨迹方程；3、弧长．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（9～13题）9.不等式的解集是 .【答案】【解析】当，即时，不等式恒成立；当，即时，不等式可化为，化简得，解得或，或，故所求不等式的解集是．试题分析：考点：绝对值不等式10.已知数列是等差数列，且，则的值为.【答案】28【解析】试题分析：因为，所以，所以．考点：等差数列的性质11.在平面直角坐标系中，设不等式组所表示的平面区域是，从区域中随机取点，则的概率是.【答案】【解析】试题分析：作出可行域如图所示：不等式组所表示的平面区域是图中正方形，则正方形的面积是．从区域中随机取点，使，则点落在图中阴影部分．在中，，，所以阴影部分的面积是，故所求的概率是．考点：1、线性规划；2、几何概型．12.由，，，…，这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于的四位数的个数是.【答案】280【解析】试题分析：当十位数字为，千位数字为时，四位数的个数是；当十位数字与千位数字为，时，四位数的个数是；当十位数字与千位数字为，时，四位数的个数是，故所求的四位数的个数是．考点：排列与组合13.已知函数, 则12340292015201520152015f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为. 【答案】-8058【解析】试题分析：因为()()()2sin 32sin 23f x f x x x x x ππ+-=+-+-+--⎡⎤⎣⎦ ，所以12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4029140294029480582201520152f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+=⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 考点：1、函数值；2、推理与证明．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图2，圆的直径，直线与圆相切于点，于点D ，若，设，则______．OD EC BA【答案】 【解析】试题分析：因为直线与圆相切于点，所以，因为是圆的直径，所以，在中，，在中，，所以，故．考点：1、弦切角；2、直径所对的圆周角．15.（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，，则线段的垂直平分线的极坐标方程为 .【答案】【解析】试题分析：曲线的普通方程为，曲线的普通方程为，所以的方程为，又易知的垂直平分线斜率为，经过圆的圆心，所以的垂直平分线的方程为，即为，或化成．考点：1、极坐标方程与直角坐标方程互化；2、两圆的公共弦所在直线方程． 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知函数R，是函数的一个零点.（1）求的值，并求函数的单调递增区间；（2）若，且，，求的值.【答案】（1），Z；（2）．【解析】试题分析：（1）由是函数的一个零点得，代入，用辅助角公式化简，得，利用正弦函数的单调递增区间即可求出函数的单调递增区间；（2）先将已知条件进行化简，再利用求出和的值，进而展开，代入数值．试题解析：（1）解：∵是函数的一个零点，∴ . …………………………………………1分∴ . ………………………………………………2分∴………………………………………………3分. ………………………………………………4分由，Z，得，Z，………………………………………………5分∴ 函数的单调递增区间是Z. …………………6分（2）解：∵，∴.∴ . ………………………………………………7分∵ ，∴ . ………………………………………………8分∵，∴.∴ . ………………………………………………9分∵ ，∴ . ……………………………………………10分∴ …………………………………………11分. ………………………………………………12分考点：1、函数的零点；2、辅助角公式；3、三角函数的单调性；4、诱导公式；5、同角三角函数的基本关系；6、两角和的正弦公式．17.（本小题满分12分）广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频 率分布直方图（如图）．图3日销售量/个a a a a a表1将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求，的值.（2）求在未来连续3天里，有连续．．2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；（3）用表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1），；（2）；（3）分布列见解析，．【解析】试题分析：（1）利用计算出，的值；（2）计算日销售量都高于100个与日销售量不高于50个的概率，即可求出在未来连续3天里，有连续．．2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；（3）先分析确定随机变量的所有可能取值，再计算各个取值的概率，即可得其分布列，利用数学期望公式求数学期望.试题解析：（1）解：，. …………………………2分(2) 解：设表示事件“日销售量高于100个”，表示事件“日销售量不高于50个”，表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．，，. ………………………………………………………5分(3)解：依题意，的可能取值为，，，，且. ……………………6分，，，，…………10分∴的分布列为……………………………………11分∴. ……………………………………12分考点：1、频率分布直方图；2、频率分布表；3、概率；4、离散型随机变量的分布列与数学期望.18.（本小题满分14分）如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.图4E FD C BAP【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知可得，，，先证平面，得到，再证平面，得到，进而证平面，即可得；（2）先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可算出二面角的平面角的余弦值，利用，即可得二面角的平面角的正弦值.试题解析：（1）证明：∵是的中点，且，∴ . ……………………………………………1分∵ △与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴ ，.∵ ，平面，平面，∴ 平面.∵ 平面，∴ . ……………………………………2分∵ 四边形是正方形，∴ .……………………………………3分∵ ，平面，平面，∴ 平面.∵ 平面，∴ .………………………………………………………4分∵ ，平面，平面，∴ 平面. ………………………………………………………5分∵ 平面，∴ .………………………………………………………6分HEF D C BAP（2）解法1：作于，连接，∵ ⊥平面，平面∴ .………………………………………………………7分∵ ，平面，平面，∴ ⊥平面. ………………………………………………………8分∵ 平面，∴ .……………………………………………………9分∴∠为二面角的平面角. …………………………………………………10分设正方形的边长为，则，，在Rt△中，，…………………11分在Rt△中，，，………………12分在Rt△中， . ………………………………………………13分∴ 二面角的平面角的正弦值为. ……………………………………14分zyxEFD CBAP解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，,.……………7分∴，.设平面的法向量为，由得…………………8分令，得，∴ 为平面的一个法向量. …………………………………………9分∵ 平面，平面，∴ 平面平面.连接，则.∵ 平面平面，平面，∴ 平面. ………………………………………………10分∴ 平面的一个法向量为. ………………………………………………11分设二面角的平面角为，则. ……………………………………………12分∴.………………………………………………13分∴ 二面角的平面角的正弦值为. ……………………………………14分考点：1、线线垂直、线面垂直；2、二面角.19.（本小题满分14分）已知数列的前项和满足：，为常数，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，设，且数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）利用，即可得数列的通项公式；（2）先将代入，化简，再放缩，进而得到，即可得与的大小关系．试题解析：（1）解：∵，∴ . ………………………………………1分当时，， ………………………………………3分得， ………………………………………………4分 ∴ 数列是首项为，公比也为的等比数列． ………………………………………5分 ∴. ……………………………………………6分（2）证明：当时，， ………………………………………………7分∴. …………………………8分由，， ………………………………………………10分∴. …………………………………………… 11分 ∴ 122231111111333333n n n n T b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………13分 ∵ ，∴ ，即. …………………………………………………14分考点：1、数列的通项公式；2、数列求和；3、不等式证明；4、放缩法.20.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，且经过点．圆.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆C 有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，问是否成立？请说明理由．【答案】（1）；（2）不成立.【解析】试题分析：（1）由离心率为，可得：，由椭圆经过点，可得：，即可得椭圆的方程；（2）先将直线的方程与椭圆的方程联立，可得，利用，可得，再求出点的坐标，进而可得点不是线段的中点，即可得不成立.试题解析：（1）解：∵ 椭圆过点，∴ . …………………………………………1分 ∵， …………………………………………2分∴．…………………………………………3分∴椭圆的方程为. …………………………………………4分（2）解法1：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ………………………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点，∴方程组（*）有且只有一组解．由（*）得．……………………………………6分从而,化简得．① …………………7分，. ……………9分∴ 点的坐标为. ……………………………………10分由于，结合①式知，∴. ……………………………………11分∴ 与不垂直. ……………………………………12分∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分∴不成立. ……………………………………14分解法2：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ………………………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点，∴方程组（*）有且只有一组解．由（*）得．……………………………………6分从而,化简得．① …………………7分，…………………………………………………8分由于，结合①式知，设,线段的中点为,由消去,得.………………………………9分∴ . ……………………………………10分若,得 ,化简得,矛盾. ………………………………11分∴点与点不重合. ……………………………………12分∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分∴不成立. ……………………………………14分考点：1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线.21.（本小题满分14分）已知函数，R .（1）讨论函数的单调性;（2）若函数有两个极值点,, 且, 求的取值范围;（3）在（2）的条件下, 证明:.【答案】（1）当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增；当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增；当时, 函数在上单调递增.（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，再对函数求导，进而令导函数为零，得到方程，对方程是否有实数根进行讨论，即可得函数的单调性；（2）将函数有两个极值点,转化为方程在有两不等实根，结合（1），即可得的取值范围；（3）先将化简，再令, ，进而可证，即可得. 试题解析：(1)解: 函数的定义域为,, ………………………………………………1分令, 得, 其判别式,① 当,即时, ,, 此时,在上单调递增;………………………2分② 当, 即时, 方程的两根为,,………………………3分若, 则, 则时, , 时, ,此时, 在上单调递减, 在上单调递增; ………………………4分若,则, 则时, ,时, ,时, ,此时, 在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增. ……5分综上所述, 当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增. ………………………6分(2) 解:由(1)可知, 函数有两个极值点,,等价于方程在有两不等实根, 故. ………………………7分(3) 证明: 由(1), (2)得, , 且, . ………8分()22222222222212ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--, …………………9分 令, ,则, ………………………………………………10分由于, 则, 故在上单调递减. ………………………11分故. ………………………………………………12分∴. ………………………………………………13分∴. ………………………………………………14分考点：1、用导数判断函数的单调性；2、参数的取值范围；3、用导数证明不等式.728162 6E02 渂34135 8557 蕗 32180 7DB4 綴331287 7A37 稷26014 659E 斞G24590 600E 怎22888 5968 奨S36283 8DBB 趻Y35390 8A3E 訾。

山西省2021届高三一模数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2120A x x x =+-<∣，集合{50}B x x =-≤<∣，则AB =（ ）A ．{53}x x -≤<∣B ．{54}x x -≤<-∣C ．{40}x x -<<∣D ．{|03}x x <<2．已知点P ⎝⎭是角α的终边与单位圆的交点，则sin 2α=（ ）A ．45-B ．35C D ． 3．高斯函数也称取整函数，记作[]x ，是指不超过实数x 的最大整数，例如[6.8]6,[4.1]5=-=-，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．下列关于高斯函数[]y x =的性质叙述错误的是（ ） A ．[]y x =值域为Z B ．[]y x =不是奇函数 C ．[]y x x =-为周期函数D ．[]y x =在R 上单调递增4．某公司计划招收600名新员工，共报名了2000人，远超计划，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取．现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如下：则录取分数线可估计为（ ） A ．70B ．73C ．75D ．775．在同一直角坐标系中，指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，二次函数2y ax bx =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线的两条渐近线夹角为α，且4tan 3α=，则其离心率为（ ）AB ．2CD 7．已知,,+∈a b c R ，且4,4a ab ac >+=，则2232a b c a b c+++++的最小值是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．28．木工师傅将一个长方体形的木块切去一部分，得到一个新木件，其三视图如图所示，则这个木件的切面与底面所成锐二面角的正切值为（ ）A ．2B ．3C ．3D 9．十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为四段，去掉其中的区间段11,42⎛⎤⎥⎝⎦记为第一次操作；再将剩下的三个区间11330,,,,,14244⎡⎤⎛⎤⎛⎤⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎝⎦⎝⎦，分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；···如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于1920，则需要操作的次数n 的最小值为（参考数据：lg 20.3010,lg30.4771≈≈）（ ） A ．11B ．10C ．9D ．810．一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为29，则这个圆锥体积与球体积的比值为（ ） A ．881B ．827C ．481或881D ．427或82711．函数()log 1xa f x a x =-（0a >，且1a ≠）有两个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞B ．1e (1,)e-⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭C ．{}e e (1,)-⋃+∞D ．1(1,)e ⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭12．已知数列{}n a 中1231,7a a ==，对于3n ，且n N ∈，有21212n n n n n a a a a a ----⋅=-，若2021pa q=（*,p q ∈N ，且,p q 互质），则p q +等于（ ） A ．8089 B ．8088C ．8087D ．8086二、填空题13．若1z =-（其中i 为虚数单位），则3z =____________． 14．观察下列各式：211121122C -+=， 3122211211233C C -++=， 41233331112112344C C C -+++=， 512344444111121123455C C C C -++++=， ……照此规律，当*n N ∈时，121111231nn n n C C C n ++++=+_________________． 15．已知函数2()3nf x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列关于()f x 展开式的命题中，所有真命题的序号是__________．①当11n =时，()f x 展开式共有11项；②当8n =时，()f x 展开式第3项与第6项的二项式系数之比为1:2； ③当7n =时，()f x 展开式中，各项系数之和为1-； ④当5n =时，()f x 展开式中，系数最小的项是3810x -． 16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点,02p M ⎛⎫-⎪⎝⎭，过点F 的直线与此抛物线交于,A B 两点，若||24AB =，且tan AMB ∠=p =___________．三、解答题17．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．若2,cos 7b c C -==，再从条件①与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题： （1）求,b c 的值；（2）求角A 的值及ABC 的面积．条件①：cos cos 14a B b A +=；条件②：2cos 27b C a =-． 18．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，APB △为等腰直角三角形，PA PB =，AD =，2,,AB PD AB PC =⊥=（1）求证：BD AD ⊥；（2）求直线BD 与面PAD 所成角的正弦值．19．已知6只小白鼠中有且仅有2只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验呈阳性即为患病，阴性为不患病，现将6只小白鼠随机排序并化验血液，每次测1只，且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液，直到能确定哪两只小白鼠患病为止，并用X 表示化验总次数． （1）在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求3X =的概率； （2）求X 的分布列与数学期望．20．已知椭圆2C 与221:143x y C +=的离心率相同，过2C 的右焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆2C截得的线段长为 （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）若直线:l y m =+与椭圆1C 、2C 的交点从上到下依次为C 、A 、B 、D ，且45AC =，求m 的值． 21．已知函数21()ln ,()ln 2f x x x kx xg x x kx =--=-． （1）当1k =时，求()g x 的最大值； （2）当10e<<k 时， （i ）判断函数()g x 的零点个数；（ii ）求证：()f x 有两个极值点12,x x ，且()()12121f x f x x x +>-． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4cos 37sin 3x t y t αα⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为243cos 2ρθ=-．（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若点47,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，且2PA PB =，求直线l的方程．23．已知函数()|31|2|3|f x x x =-+-．（1）若关于x 的方程|31|2|3|x x a -+-=有两个不同的实数根，求a 的取值范围； （2）如果不等式()f x bx ≤的解集非空，求b 的取值范围．参考答案1．C 【分析】根据不等式的解法求得集合A ，再结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由不等式2(4)(32)10x x x x +-+-=<，解得43x -<<，所以{43}A x x =-<<∣， 又由集合{50}B xx =-≤<∣，所以{40}A B x x ⋂=-<<∣． 故选：C. 2．A 【分析】先用三角函数的定义得sin 55αα=-=，再用二倍角公式求出sin 2α. 【详解】由三角函数的定义得sin ,cos 55αα=-=，所以4sin 22sin cos 2=555ααα⎛==⨯-⨯- ⎝⎭． 故选：A 【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x ,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论． 3．D 【分析】根据高斯函数的定义，结合值域、函数的奇偶性、函数的单调性对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】由高斯函数的定义可知其值域为Z ，故A 正确；[0.5]0,[0.5]1,[]y x =-=-∴=不是奇函数，故B 正确；易知(1)[1][]x x x x +-+=-，所以[]y x x =-是一个周期为1的周期函数，故C 正确； 当01x <时，[]0x =，所以[]y x =在R 上不单调，故D 错误． 故选：D 4．C 【分析】先计算录取率，再利用频率直方图判断录取分数线在70~80之间，最后择高录取列方程使计算面积和为0.3，求得录取分数线即可. 【详解】根据题意，录取率为600100%30%2000⨯=，故应录取成绩最高的30%的报名者． 根据频率直方图可知，80~100分占总体的比例可估计为20%,70~100分占总体的比例可估计为40%，故录取分数线在70~80之间.设录取分数线为x ，则()800.020.150.050.3x -⨯++=，解得75x =． 故选：C. 5．B 【分析】根据指数函数的单调性、二次函数的零点确定正确选项. 【详解】指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象位于x 轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数2()y ax bx ax b x =-=-，有零点,0b a ．A ，B 选项中，指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故1b a >，故A 错误、B 正确．C ，D 选项中，指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故01ba<<，故C ，D 错误． 故选：B 6．D 【分析】根据正切倍角公式，求得1tan 22α=，结合双曲线的几何性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意双曲线的两条渐近线夹角为α，可得[0,]2πα∈，由22tan42tan 31tan2ααα==-，解得1tan 22α=或tan 22α=-（舍去），当双曲线的焦点在x 轴上时，即12b a =，则c e a =====； 当双曲线的焦点在y 轴上时，即12a b =，则c e a =====故选：D ． 7．A 【分析】 根据题意，化简2232322a b c a b c a b c a b c++++=++++++,结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为,,+∈a b c R ，且4ab ac +=， 所以22322()32328()2a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c++++++=+=+≥++++++++, 由322a b c a b c++=++，可得8a b c ++=，所以8b c a +=-， 代入4ab ac +=，得解得4a =±又因为4a >，所以44a b c =++=-“等号”成立， 故所求最小值为8． 故选：A.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8．C 【分析】作出切面与底面所成锐二面角的平面角，解直角三角形求得其正切值. 【详解】如图，过B 作点A 所在侧棱的垂线，垂足为E ，连接DE ，易知平面//BDE 长方体的底面，故二面角A BD E --即为所求二面角．由题意可知30,2,ADE ABE DE BE AE AD AB BD ∠=∠=︒======BD 中点O ，则由,ED EB AD AB ==可知,EO BD AO BD ⊥⊥，故AOE ∠即为二面角A BD E --的平面角，于是3tan 1122AE AE AOE OE BD ∠====⨯即为所求．故选：C 9．A【分析】利用等比数列前n 项和公式求得去掉的各区间长度之和，由此列不等式，解不等式求得n 的最小值. 【详解】第一次操作去掉的区间长度为14； 第二次操作去掉3个长度为214的区间，长度和为2134⨯； 第三次操作去掉23个长度为314的区间，长度和为23134⨯； …，第n 次操作去掉13n -个长度为14n 的区间，长度和为1134n n-⨯． 于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为21231314411113333134444414nn n n n S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯+⨯++⨯==- ⎪⎝⎭-．由题意知：3191420n⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得1lg 210.42lg 2lg 3n+≈-， 又n 为整数，n ∴的最小值为11．故选：A 10．D 【分析】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，由圆锥的底面面积与球面面积比值为29，得到r 与R 的关系，计算出圆锥的高，从而求出圆锥体积与球体积的比. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，∵圆锥的底面面积与球面面积比值为29，∴22249r R ππ=，则r =；设球心到圆锥底面的距离为d，则13d R ==， 所以圆锥的高为43h d R R =+=或23h R d R =-=， 设圆锥体积为1V 与球体积为2V ，当43h R =时，圆锥体积与球体积的比为2213321413383442733R R r h V V R R ππππ⎫⎪⎝⎭===， 当43h R =时，圆锥体积与球体积的比为2213321213343442733R R r h V V R R ππππ⎫⎪⎝⎭===. 故选：D 【点睛】求球的内接圆锥的体积关键是找球心到圆锥底面的距离，从而可以求出圆锥的底面半径和圆锥的高，代公式即可求出圆锥体积. 11．B 【分析】令()0f x =，将题意转化为函数1log ay x =图象与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象有两个交点，结合图象确定正确选项. 【详解】()0f x =，得1log a x x a =，即11log xax a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由题意知函数1log a y x =图象与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象有两个交点． 当1a >时，11log ,xay x y a ⎛⎫== ⎪⎝⎭草图如下，显然有两交点．当01a <<时，函数1log ay x =图象与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象有两个交点时，注意到11,log xay y x a ⎛⎫== ⎪⎝⎭互为反函数，图象关于直线y x =对称，可知函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象与直线y x =相切，设切点横坐标0x ，则00111ln 1x x x a a a ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得01e,e .e x a -=⎧⎪⎨⎪=⎩ 综上，a 的取值范围为1ee (1,)-⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭. 故选：B ．12．D 【分析】 对21212n n n n n a a a a a ----⋅=-的两边取倒数，利用等差中项的结论可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用已知条件求出首项和公差，即可得出数列n a 的通项公式，求出2021a ，即可得出结果. 【详解】 对21212n n n n n a a a a a ----⋅=-的两边取倒数，得2121122121n n n n n n n a a a a a a a -------==-⋅， 即1121111n n n n a a a a ----=-， 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，其首项111a ， 公差为211143a a -=， 故144131(1),3341n n n n a a n -=+-==-， 于是202138083a =， 所以380838086p q +=+=． 故选：D. 【点睛】 关键点睛：对21212n n n n n a a a a a ----⋅=-的两边取倒数，利用等差中项的结论得到数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列是解决本题的关键. 13．8 【分析】根据复数的乘法运算，准确计算，即可求解. 【详解】由复数1z =-，可得22(12z =-=--，进而可得3(2)(1)8z =---=. 故答案为：814．1211n n +-+【分析】根据给出的等式，找出运算结果的结构形式，利用归纳推理，即可求解. 【详解】由已知等式观察，等式右边为21k k-形式，其中k 比等式左侧各组合数下标大1，照此规律，当*n N ∈时，1121112112311n nn n n C C C n n +-++++=++． 故答案为：1211n n +-+. 15．②④ 【分析】利用二项式定理对4个命题逐一分析，由此确定真命题的序号. 【详解】对于①，易知当11n =时，()f x 展开式共有12项，故①错误；对于②，8n =时，()f x 展开式第3项与第6项的二项式系数之比为2288538887C C 121876C C2321⨯⨯===⨯⨯⨯⨯，故②正确；对于③，7n =时，设77577602()3f x x a x a x a x x -⎛⎫=-=+++ ⎪⎝⎭，令1x =，得760(1)1f a a a ==+++，故③错误；对于④，5n =时，()f x 展开式的通项55521552(3)(1)32rrrr r r r r r T C x C x x ---+⋅⎪⋅⎭⋅⋅⋅⋅⎛⎫=-=- ⎝，其中{0,1,2,3,4,5}r ∈，显然当{0,2,4}r ∈时，1r T +系数为正数，{1,3,5}r ∈时，1r T +的系数为负数；当1r =时，32810,3T x r =-=时，14720,5T x r -=-=时，5632T x -=-， 故系数最小的项是32810T x =-，④正确．故答案为：②④ 16．6 【分析】设AB 的方程为2px my =+，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，计算得0MA MB k k+=，故AMF BMF ∠=∠，根据tan AMB ∠=tan 2AMF ∠=，进而求得sin AFH ∠，从而求得m ，利用24AB =列方程，解方程求得p 的值. 【详解】设AB 的方程为()()1122,,,,2px my A x y B x y =+， 则由222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得222121220,2,y pmy p y y pm y y p --=∴+==-，()()()()1221121212121222MA MB y my p y my p y y y y k k p p my p my p my p my p x x +++∴+=+=+=++++++()()()()()()22121212122220m p mp my y p y y my p my p my p my p -+++===++++，22tan ,tan 1tan AMFAMF BMF AMB AMF∠∴∠=∠∠==-∠AMF ∠为锐角，tan AMF ∴∠=不妨设AF BF >，如图，作AH x ⊥轴，垂足为H ，过M 作直线l x ⊥轴，AA l '⊥，垂足为A '，则tan sin AH AH AHAMF AFH MH AA AF'∠====∠，sin 45,12AFH AFH m ∴∠=∴∠=︒∴=，12||424AB y p ∴=-===，故6p．故答案为：6 【点睛】直线和圆锥曲线相交所得弦长有关计算问题，要注意熟练应用弦长公式.17．（1）6,4b c ==； （2）3A π=，S =【分析】（1）选用条件①：由正弦定理求得a =2b c -=，即可求解；选用条件②：由正弦定理求得cos B =，得出sin 14B =，再由cos C =，求得得sin C =，结合正弦定理，即可求解； （2）由余弦定理求得A 的值，结合面积公式，即可求解． 【详解】（1）选用条件①：因为cos cos 14a Bb A ac +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin 14A B B A C +=，可得sin sin 14C C =，又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得a =又由cos 7C =，由余弦定理得22227a b c ab +-=，将2b c -=代入上式，解得6,4b c ==．选用条件②：因为2cos 2b C a =，由正弦定理得2sin cos 2sin 7B C A C =-2sin()7B C C =+-2(sin cos cos sin )B C B C C =+即2cos sin 0B C C =，又因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，可得cos B =，则sin B =又由cos C =，可得221sin 1cos C C由正弦定理sin sin b cB C =，得sin 3sin 2b Bc C ==， 又由2b c -=，可得6,4b c ==．（2）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=．所以ABC 的面积为11sin 6422S bc A ==⨯⨯= 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.18．（1）证明见解析；（2）7． 【分析】（1）设AB 的中点为E ，连接PE 与DE ，利用已知条件得到PE AB ⊥，再利用线面垂直的判定定理得到AB ⊥平面PED ，得到AB DE ⊥，BD AD ==即可得出结论；（2）由（1）知，AB PD ⊥，利用已知条件得到PD ，60PDE ∠=︒，以D 为原点，,DE DC 所在直线为,x y 轴，以,DE DC 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，过D 在PDE △所在平面内作DE 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系．写出点坐标，利用空间向量求解线面角即可. 【详解】解：（1）设AB 的中点为E ，连接PE 与DE ，因为PAB △是等腰三角形，PA PB =， 所以PE AB ⊥，又因为,AB PD PD PE P ⊥⋂=， 所以AB ⊥平面PED ， 所以AB DE ⊥，2BD AD AB ∴==，所以ABD △是等腰直角三角形， 则AD BD ⊥．（2）由（1）可知AB ⊥平面PED ， 故AB PD ⊥，平面PED ⊥平面ABD ，又因为PC ，//,CD AB CD PD ∴⊥，1PD ∴==，易知1PE DE ==， 所以60PDE ∠=︒．如图，以D 为原点，,DE DC 所在直线为,x y 轴， 以,DE DC 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，过D 在PDE △所在平面内作DE 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系．则1(0,0,0),,(1,1,0),(1,1,0)2D P A B ⎛- ⎝⎭．得13(1,1,0),,0,,(1,1,0)2DB DP DA ⎛⎫===- ⎪⎪⎝⎭， 设平面PAD 的法向量(,,)n x y z =，则1020x z x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩， 取(3,3,1)n =-， 所以42cos ,7|DB nDB n DB n ⋅>==∣，因此直线BD 与平面PAD所成角的正弦值为7． 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 19．（1）15；（2）分布列见解析，期望()6415E X =. 【分析】（1）=i A “第i 次验血结果呈阳性”，{1,2,3,4,5,6}i ∈，表示i A 的对立事件，根据条件概率的计算公式，即可求解；（2）根据题意，得到随机变量X 的可能取值，结合独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得期望. 【详解】（1）=i A “第i 次验血结果呈阳性”，{1,2,3,4,5,6}i ∈，表示i A 的对立事件． 若1A 发生，则需从2只患病小白鼠中选择1只排在第一位，其他位置可随意排， 故符合条件的排列顺序共有1525C A 种,若1A 与3X =同时发生，则2只患病小白鼠一定排在第一、第三两个位置， 其他位置可随意排不患病的小白鼠，对应的排列顺序共有2424A A 种．所以概率为()()()241324115125A A 13C A 5P A A P X A P A ====∣． （2）随机变量X 的可能取值为2,3,4,5，可得()24241266A A 1(2) A 15P X P A A ====，()()242412312366A A 2(3)2 A 15P X P A A A P A A A ==+=⨯=，()()()()2424123412341234123466A A 4(4)4 A 15P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯=，故8(5)1(2)(3)(4)15P X P X P X P X ==-=-=-== 故X 的分布列是数学期望124864()23451515151515E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 1、理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 2、求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；4、若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解. 20．（1）22186x y +；（2）m =【分析】（1）设椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，由此可得出椭圆2C 的标准方程；（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y 、()44,D x y ，将直线l 的方程分别与椭圆1C 、2C 联立，列出韦达定理，分析得出2CD ABAC -=，可得出关于实数m 的等式，进而可解得实数m 的值. 【详解】（1）设椭圆2C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，将x c =代入2C 的方程可得22221c y a b+=，解得2by a =±.由题意得2222122c a b a c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2C 的方程为22186x y +；（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y 、()44,D x y ，由2243x y y m λ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22154120x m λ++-=（1λ=或2），l 与1C 、2C 相交，只需当1λ=时，()()22216436041248150m m m ∆=⨯--=->，解得m <<当2λ=时，()()22226436042448300m m m ∆=⨯--=->，由韦达定理可得1234x x x x +=+=，所以，AB 与CD 的中点相同，所以，2CD ABAC -=， 即()3412122AC x x x x =⨯⨯---=4155==，整理可得23m =，解得m =. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.21．（1）-1；（2）①两个；②证明见解析. 【分析】求导，当0k >时，利用导函数分析原函数的单调性；（1）当1k =时，利用单调性求最值即可；（2）（i ）利用单调性以及零点存在性定理可判断函数()g x 的零点个数；（ii ）ln ()x kx g x -=，由（i ）知()g x 有两个零点，设为12,x x ，且1210x x k<<<，通过()g x 的单调性，分析()f x 的单调性，可得12,x x 为()f x 的两个极值点，代入函数可得()()121212ln ln 22f x f x x x x x ++=-，用分析法证明12ln ln 212x x +->-，整理令211x t x =>，记2(1)()ln 1t h t t t -=-+，求导，得到()(1)0h t h >=即可. 【详解】解：()g x 定义域为11(0,),()kx g x k x x'-+∞=-=．当0k >时，令()0g x '>， 得10x k<<， 令()0g x '<，得1x k>， 故()g x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（1）当1k =时，()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以max ()(1)1g x g ==-． （2）（i ）()g x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()g x ∴至多有两个零点．11ln 10,(1)0,()g g k g x k k ⎛⎫=->=-<∴ ⎪⎝⎭在11,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点．由（1）可证ln 10,ln x x x x --<<，从而224442424ln 2ln 20g k k k k k k k ⎛⎫=-=-<⨯-=⎪⎝⎭， 又10g k ⎛⎫> ⎪⎝⎭， ()g x ∴在214,k k ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点．综上，函数()g x 有两个零点．（ii ）()f x 的定义域为(0,),()ln 11ln ()f x x kx x kx g x '+∞=+--=-=． 由（i ）知()g x 有两个零点，设为12,x x ，且1210x x k<<<， 且1122ln ,ln x kx x kx ==．又()g x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．∴当10x x <<，或2x x >时，()0<g x ；当12x x x <<时，()0>g x ．()f x ∴在()10,x 上单调递减，在()12,x x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，故12,x x 为()f x 的两个极值点．()1111111111ln 1ln ln 1ln 1222f x x kx x x x x =--=--=-， 同理()2221ln 12f x x x =-． 欲证()()121212ln ln 212f x f x x x x x ++=->-， 即证12ln ln 2x x +>．1122ln ,ln x kx x kx ==，()()21212121ln ln ln ln x x k x x x x k x x ⎧+=+⎪∴⎨-=-⎪⎩， ()22121211221212212121111ln ln ,ln ln ln ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++∴=+=-=----， 令211x t x =>， 即证1ln 21t t t +>-， 即证()2t 1ln 001t t -->+．记2222(1)14(1)()ln ,()01(1)(1)t t h t t h t t t t t t --'=-=-=>+++，()h t ∴在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0h t h >=， 命题得证． 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<；③写出单调区间，并判断极值点.22．（1）2212x y +=；（2）10x y --=或6915570x y -+=．【分析】（1）利用极坐标转直角坐标的公式求得曲线C 的直角坐标方程.（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，结合直线参数方程中参数的几何意义以及向量运算求得tan α也即直线l 的斜率，由此求得直线l 的方程. 【详解】（1）由222,sin x y y ρρθ=+=， 又22443cos 222sin ρθθ==-+，即22222sin 4ρρθ+=， 得22244x y +=，即C 的直角坐标方程为：2212x y +=（2）将4cos 37sin 3x t y t αα⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22:12x C y +=有2247cos 2sin 233t t αα⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()2223cos 6sin 4(2cos 7sin )320t t αααα+-++=①，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121222224(2cos 7sin )32,3cos 6sin 3cos 6sin t t t t αααααα++==++， 由2PA PB =，得()212121212212,2t t t t t t t t t t +==++，因此222(2cos 7sin )96cos 12sin 2αααα+=+即25tan 28tan 230αα-+=， 解得23tan 5α=或1，经检验此时①对应的0∆>，直线l 的方程为10x y --=或6915570x y -+=．23．（1）16|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）{5b b <-∣或83b ⎫≥⎬⎭【分析】（1）对()f x 去绝对值写成分段函数的形式，作出()f x 的图象，利用y a =与()y f x =图象有两个交点数形结合即可求解；（2）作函数y bx =的图象，结合()f x 的图象，求出直线与()f x 图象有交点的临界值，即可求解. 【详解】（1）57,3,1()31235,3,3157,.3x x f x x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=-+-=+≤<⎨⎪⎪-+<⎪⎩当3x ≥时，函数()f x 单调递增，并且()8f x ≥； 当133x ≤<时，函数()f x 单调递增，并且16()3f x ≥； 当13x <时，函数()f x 单调递减，并且16()3f x >． 综上:当13x >时，函数()f x 单调递增， 当13x <时，函数()f x 单调递减，且16()3f x ≥． 作出()f x 的图象如图所示：要使关于x 的方程|31|2|3|x x a -+-=有两个不同的根，则a 的取值范围16|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭． （2）因为(3)8f =，记点(3,8)M ，坐标原点为(0,0)O ，则直线OM 的斜率为83k =． 当直线y bx =与57y x =-+平行时，无交点， 所以当5b <-或83b ≥时， 该直线与函数()|31|2|3|f x x x =-+-的图象相交． 因为不等式()f x bx ≤的解集非空，所以b 的取值范围是{5bb <-∣或83b ⎫≥⎬⎭. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。

山西省运城市新绛县第二中学2025届数学高三第一学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．433C ．1D ．22．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A ．−8 B ．−6 C ．6D ．83．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则AB =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤<4．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A 3B ．51)C ．5D ．46．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．27．已知复数z 满足11i z=+，则z 的值为（ ） A ．12B ．2C ．22D ．28．a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（ ） A ．2B ．3C ．2D ．19．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．1210．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 311．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =12．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A 2?B 10C 10D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山西省运城市中学2020-2021学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对于函数，下列选项中正确的是( )A.在上是递增的B.的图像关于原点对称C.的最小正周期为D.的最大值为2参考答案：B2. 已知为等差数列，若，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：D略3. 设曲线y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，6）处的切线方程为y=3x，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【分析】求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得a﹣1=3，即可得到a的值．【解答】解：y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）的导数为：y′=a﹣，在点（2，6）处的切线斜率为a﹣1=3，解得a=4，故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键．4. 复数，则在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D5. （5分）（2015?钦州模拟）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0参考答案：D【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先求出c，利用抛物线的定义求出m，再由双曲线的定义求出a，进而求得b，从而求得两条渐近线方程．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线为x=﹣2，∴c=2．设P（m，n），由抛物线的定义得|PF|=5=m+2，∴m=3．由双曲线的定义得=，∴=，∴a=1，∴b=，∴两条渐近线方程为x±y=0，故选D．【点评】：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，求出a值是解题的关键．6.为迎接2008年北京奥运会，某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学。

绝密★启用前山西省运城市普通高中2021届高三年级上学期期末教学质量调研考试数学(理)试题2021年1月本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区城（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}0,1,2,3A =，(){}20B x R x x =∈-≤，则A B =（ ）A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}2,3D. {}0,2,3 2. 若复数z 满足(1)2i z i -=(i 为虚数单位)，则z 为（ ）A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i -- 3. 已知函数212()log f x x x =-+，则满足(2)1f x -≤-的实数x 的取值范围是（ ）A. (,3]-∞B. (2,3]C. [3,)+∞D. [1,2) 4. 已知实数320.23log 3,2,log 8a b c ===,那么a ,b ,c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b c a <<D. a c b <<5. 若实数x ,y 满足约束条件21022020x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩,则3z y x =-的最小值为（ ）A. 1B. 3-C. 2D. 66. 已知ABC 中,2AB AC ==,120CAB ∠=,若P 是其内一点,则AP AB ⋅的取值范围是（ ）A. (4,2)--B. (2,0)-C. (2,4)-D. (0,2)7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A. 43B. 83C. 4D. 88. 将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的13,再向右平移29π个单位得到函数()g x 的图象,若()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1,则θ的最小值为（ ） A. 12πB. 6πC. 3πD. 18π 9. 已知圆锥的高为3,3,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A. 53 B. 329 C. 43 D. 259。

2021年高三1月月考数学试题 含答案xx.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 设集合M ＝{x |x ＋3x －2<0}，N ＝{x |(x －1)(x －3)<0}，则集合M ∩N ＝________． 2. 复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|＜|z 2|， 3. 则实数a 的取值范围是_______．4. 某公司生产三种型号A 、B 、C 的轿车，月产量分5. 别为1200、6000、xx 辆．为检验该公司的产品6. 质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，7. 则型号A 的轿车应抽取________辆．8. 有红心1、2、3和黑桃4、5共5张扑克牌，9. 现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的 10. 概率是__________．11. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值 12. 是________．13. 设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列 14. {a n }是递增数列”的_________条件．15. 取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为V 1，该正方体的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.16. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120º，AB ＝AC ＝2， 17. D 为BC 边上的点，且→AD ·→BC ＝0，→CE ＝2→EB ， 18. 则→AD ·→AE ＝_______.19. 对任意的实数b ，直线y ＝－x ＋b 都不是曲线y ＝x 3－3ax 的切线，则实数的取值范围是________． 20. 如图，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝121. (a ＞b ＞0)的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ， 22. 则该椭圆的离心率为 ．23. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (0＜x ≤10)|6－12x | (x ＞10)，若a ,b ,c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )， ABCDE24. 则a ＋b ＋c 的取值范围为 ．25. 若函数f (x )＝sin(ωπx －π4)（ω＞0）在区间(－1,0)上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是___________．26. 若实数a ,b ,c 成等差数列，点P (－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N (3,3)，则线段MN 长度的最大值是__________．27. 定义：若函数f (x )为定义域D 上的单调函数，且存在区间(m ,n )⊆D (m ＜n )，使得当x ∈(m ,n )时，f (x )的取值范围恰为(m ,n )，则称函数f (x )是D 上的“正函数”． 已知函数f (x )＝a x (a ＞1)为R 上的“正函数”，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．28. 在△ABC 中，A 、B 、C 为三个内角，f (B )＝4sin B ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos2B ．29. （Ⅰ）若f (B )＝2，求角B ；30. （Ⅱ）若f (B )－m ＜2恒成立，求实数m 的取值范围．31. 正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，且AE ⊥平面CDE ． 32. （1）求证：AB ∥平面CDE ； 33. （2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ．34. 如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线l 1、l 2的距离分别为4米、8米，河岸线l 1与该养殖区的最近点D 的距离为1米，l 2与该养殖区的最近点B 的距离为2米．35. （1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得∠BAD ＝60º，请据此算出养殖区的面积S ，并求出直线AD 与直线l 1所成角的正切值；36. （2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试求养殖区面积S 的最小值，并求出取得最小值时∠BAD 的余弦值．37. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0,3)，离心率为12，经过椭圆C 的右焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E ． 38. （1）求椭圆C 的方程；39. （2）若直线l 交y 轴于点M ，且→MA ＝λ→AF ，→MB ＝μ→BF ，当直线l 的倾斜角变化时，探究λ＋μ是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；若不是，说明理由；40. （3）连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．（图甲） （图乙）1l 1l 2l 2l AABBCCDD41. 设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *，都有a 31＋a 32＋a 33＋···＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋a 3＋···＋a n )2．42. （1）求数列{a n }的通项公式；43. （2）若b n ＝3n ＋(－1)n −1·λ·2an (λ为非零常数，n ∈N *)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N *，都有b n ＋1＞b n ． 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57.58. 已知函数f (x )＝mxx 2＋n(m ,n ∈R )在x ＝1处取到极值2．59. （1）求f (x )的解析式；60. （2）设函数g (x )＝ax －ln x ，若对任意的x 1∈[12, 2]，总存在唯一的．．．x 2∈[1e 2, e ](e 为自然对数的底)，使得g (x 2)＝f (x 1)，求实数a 的取值范围．附加题1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20d ，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20－20，2.（Ⅰ）求实数a ,b ,c ,d 的值；3. （Ⅱ）求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程．4.5.6.7.8.9. 10. 11. 12. 13. 14.15. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2t y ＝1－t(t 为参数)，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，试在椭圆C 上求一点P ，使得P 到直线l 的距离最小．16. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，F 在线段AA 1上．17. （1）AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？18. （2）设AF ＝1，求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.AC 1B 1 A F班级___________ 学号________ 姓名_____________………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………19. 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分. 20. （1）设抛掷5次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望E (X )； 21. （2）求恰好得到n (n ∈N *)分的概率．高三数学试卷参考答案xx.11、(1,2)2、(－1,1)3、64、355、636、充要 7、168、19、(－∞,13)10、2－1 11、(25,34)12、5413、5＋ 2 14、(1, e 1e)15、解：(Ⅰ) f (B )＝4sin B cos 2(π4－B2)＋cos2B ＝2sin B (1＋sin B )＋1―2sin 2B ＝2sin B ＋1＝2 ∴sin B ＝12 又∵0＜B ＜π ∴B ＝π6或5π6．(Ⅱ) ∵f (B )－m ＜2恒成立∴2sin B ＋1－m ＜2恒成立 ∴2sin B ＜1＋m ∵0＜B ＜π，∴2sin B 的最大值为2，∴1＋m ＞2 ∴m ＞1． 16、证明：（1）正方形ABCD 中，， 又平面CDE ，平面CDE ，所以平面CDE ． （2）因为，且， 所以， 又且，， 所以， 又， 所以．17、解：（1）设与所成夹角为，则与所成夹角为，对菱形的边长“算两次”得， 解得， 所以，养殖区的面积()()22231sin 6091sin 6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=；（5分） （2）设与所成夹角为，， 则与所成夹角为 ， 对菱形的边长“算两次”得，解得， 所以，养殖区的面积，由得，【要修改为：列表求最值】经检验得，当时，养殖区的面积． 答：（1）养殖区的面积为；（2）养殖区的最小面积为．（15分） 18、解：（1）x 24＋y 23＝1 （2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (0,y 0)∵→MA ＝ →AF ∴(x 1,y 1－y 0)＝ (1－x 1,－y 1) ∴ ＝x 11－x 1，同理， ＝x 21－x 2∴ ＋ ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 2x 1x 2－x 1－x 2＋1∵⎩⎨⎧l ：y ＝k (x －1)3x 2＋4y 2－12＝0∴(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3∴x 1＋x 2－2x 1x 2＝8k 24k 2＋3－2×4k 2－124k 2＋3＝244k 2＋3，x 1x 2－x 1－x 2＋1＝4k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝－94k 2＋3∴ ＋ ＝－249＝－83（3）当l ⊥x 轴时，易得AE 与BD 的交点为FK 的中点(52,0) 下面证明：BD 过定点P (52,0)B 、D 、P 共线⇔k BP ＝k DP ⇔y 14－52＝y 2x 2－52⇔32y 2＝x 2y 1－52y 1⇔3y 2＝2x 2y 1－5y 1⇔3k (x 2－1)＝2x 2k (x 1－1)－5k (x 1－1)⇔2kx 1x 2－5k (x 1＋x 2)＋8k ＝0⇔2k ·4k 2－124k 2＋3－5k ·8k 24k 2＋3＋8k ＝0⇔2k (4k 2－12)－40k 3＋8k (4k 2＋3)＝0成立．得证．同理，AE 过定点P (52,0)，∴直线AE 与BD 相交于一定点(52,0)． 【注】：书写可证明：k BP －k DP ＝···－···＝·······，证明值为0． 19、证明：(1)在已知式中, 当n ＝1时, a 31＝a 21∵a 1＞0∴a 1＝1 当n ≥2时, a 31＋a 32＋a 33＋···＋a 3n ＝(a 1＋a 2＋···＋a n )2···········① a 31＋a 32＋a 33＋···＋a 3n －1＝(a 1＋a 2＋···＋a n －1)2(n ≥2)········② 由①－②得, a 3n ＝a n [2(a 1＋a 2＋···＋a n －1)＋a n ] (n ≥2) ∵a n ＞0 ∴a 2n ＝2(a 1＋a 2＋···＋a n －1)＋a n (n ≥2) ········③ a 2n －1＝2(a 1＋a 2＋···＋a n －2)＋a n －1(n ≥3) ········④ ③－④得, a 2n －a 2n －1＝2a n －1＋a n －a n －1＝a n －1＋a n (n ≥3) ∵a n －1＋a n ＞0, ∴a n －a n －1＝1(n ≥3),∵a 1＝1，a 2＝2∴a 2－a 1＝1∴a n －a n －1＝1(n ≥2) ∴数列{a n }是等差数列,首项为1,公差为1, 可得a n ＝n（2） ∵a n ＝n , ∴b n ＝3n ＋(－1)n −1 ·2n∴b n ＋1－b n ＝3n +1＋(－1)n ·2n +1－[3n ＋(－1)n −1 ·2n ]＝2·3n －3 (－1)n −1·2n ＞0 ∴ (－1)n −1＜(32)n −1········⑤当n ＝2k －1,k ＝1,2,3,···时, ⑤式即为 ＜(32)2k −2········⑥ 依题意, ⑥式对k ＝1,2,3,···都成立, ∴ ＜1当n ＝2k ,k ＝1,2,3,···时, ⑤式即为 ＞－(32)2k −1·········⑦ 依题意, ⑦式对k ＝1,2,3,···都成立 ∴ ＞－32∴－32＜ ＜1又 ≠0, ∴存在整数 ＝－1, 使得对任意n ∈N *, 都有b n ＋1＞b n ．20、解： （1）∵f '(x )＝m (x 2＋n )－2mx 2(x 2＋n )2＝－mx 2＋mn(x 2＋n )2∵由f (x )在x ＝1处取到极值2，∴⎩⎨⎧f '(1)＝0f (1)＝2∴－m ＋mn (1＋n )2＝0，m 1＋n ＝2,∴⎩⎨⎧m ＝4n ＝1，经检验，此时f (x )在x ＝1处取得极值，故f (x )＝4x x 2＋1（2）记f (x )在[12,2]上的值域为A ，函数g (x )在[1e 2,e ]上的值域为B ，由（1）知：f '(x )＝－4x 2＋4(x 2＋1)2＝－4(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2∴f (x )在[12,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减， 由f (1)＝2，f (2)＝f (12)＝85，故f (x )的值域A ＝[85,2]依题意g '(x )＝a －1x ∵x ∈[1e 2,e ] ∴1e ≤1x ≤e 2①当a ≤1e 时，g '(x )≤0 ∴g (x )在[1e 2,e ]上递减 ∴B ＝[g (e ),g (1e 2)]，由题意得：[85,2]⊆B ．∵g (e )＝ae －1，g (1e 2)＝a 1e 2＋2，∴⎩⎨⎧g (e )＝ae －1≤85g (1e 2)＝a 1e 2＋2≥2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤135e a ≥0 ∵135e ＞1e ∴0≤a ≤1e ②当1e ＜a ＜e 2时，e ＞1a ＞1e 2 ∴当x ∈[1e 2,1a )时，g '(x )＜0；当x ∈(1a ,e ]时，g '(x )＞0；∵对任意的y 1∈[85,2]，总存在唯一的．．．x 2∈[1e 2,e ]，使得g (x 2)＝y 1∵g (e )－g (1e 2)＝ae －a 1e 2－3＝a (e －1e 2)－3∴当3e 2e 3－1＜a ＜e 2时，g (e )＞g (1e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (1e 2)≤85g (e )≥2∴⎩⎨⎧a ≥3e a ≤－25e2 无解 当1e ＜a ＜3e 2e 3－1时，g (e )＜g (1e 2) ∴⎩⎨⎧g (e )＝ae －1≤85g (1e 2)＝a 1e 2＋2≥2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤135e a ≥0 ∵135e ＜3e 2e 3－1 ∴1e ＜a ＜135e当a ＝3e 2e 3－1时，g (e )＝g (1e 2)不成立；③当a ≥e 2时，1a ＜1e 2 ∴g '(x )＞0 ∴g (x )在[1e 2,e ]上递增 ∴B ＝[g (1e 2), g (e )]∵[85,2]⊆B ∴g (e )≥2，g (1e 2)≤85 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ea －1≥2a e 2＋2≤85 ∴⎩⎨⎧a ≥3e a ≤－25e2 无解 综上，0≤a <135e 附加题1、解：（Ⅰ）由题设，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20－20得⎩⎨⎧c ＝22＋ad ＝0bc ＝－22b ＋d ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－1c ＝2d ＝2； （Ⅱ）取直线y ＝3x 上的两点(0,0)、(1,3)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22得：点(0,0)、(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换下的像是(0，0)，(－2，2)，从而直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y ＝－x ．2、解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2ty ＝1－t(t 为参数)∴x ＋2y ＝4设P (2cos θ,sin θ)∴P 到l 的距离为d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝|22sin(θ＋ π4)－4|5≥|22－4|5＝4－225当且仅当sin(θ＋ π 4)＝1，即θ＝2kπ＋ π 4时等号成立．此时，sin θ＝cos θ＝22∴P (2,22) 3、解：（1）因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝ π2． 以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为AC ＝2，∠ABC ＝90º，所以AB ＝BC ＝2，(2,0,0)从而B (0，0，0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(0，0，3)，A 1 A (2,0,3)，C 1(0,2,3)，D (22,22,3)，E (0,22,32)．所以→CA 1＝(2,－2,3)，设AF ＝x ，则F (2，0，x )， →CF ＝(2,－2,x )，→B 1F ＝(2,0,x －3) ，→B 1D ＝(22,22,0) ∴→CF ·→B 1D ＝···＝0，所以→CF ⊥→B 1D 要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F .由→CF ·→B 1F ＝2＋x (x －3)＝0，得x ＝1或x ＝2， 故当AF ＝1或2时，CF ⊥平面B 1DF ．4、解：（1）所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )＝C i -55·(12)5(i ＝5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：∴ E ξ＝152（2）令P n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－P n ，“恰好得到n －1分”的概率是P n －1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－P n ＝12P n －1，即P n －23＝－12( P n －1－23). 于是{P n －23}是以P 1－23＝12－23＝－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以P n －23＝－16(－12)n −1，即P n ＝13[2＋(－12)n ]. 答：恰好得到n 分的概率是13[2＋(－12)n ].20345 4F79 佹N~24895 613F 愿N38290 9592 閒Uxcf@J uF。

2020-2021学年山西省运城市绛县中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某程序框图如图所示，若输入输出的n分别为3和1，则在图中空白的判断框中应填入的条件可以为（）A．i≥7？B．i＞7？C．i≥6？D．i＜6？参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=0，n=3满足条件n为奇数，n=10，i=1，不满足条件，不满足条件n为奇数，n=5，i=2不满足条件，满足条件n为奇数，n=16，i=3不满足条件，不满足条件n为奇数，n=8，i=4不满足条件，不满足条件n为奇数，n=4，i=5不满足条件，不满足条件n为奇数，n=2，i=6不满足条件，不满足条件n为奇数，n=1，i=7由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为1．故在图中空白的判断框中应填入的条件可以为i≥7？故选：A．2. 设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（）参考答案：A3. 已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g （x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）参考答案：D【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h （x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．4. 已知函数,其中为实数,若对恒成立,且.则下列结论正确的是ks5uA. B.C.是奇函数D.的单调递增区间是参考答案：D 5. 将函数y=cos(x－)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式是 ( )A. y=cos xB. y=cos(2x－)C. y=sin(2x－)D. y=sin(x－) 参考答案：D6. 等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和是( )A.130B.170C.210D.26 0参考答案：C略7. 将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( ) A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．D．y=cos2x参考答案：A考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：按照向左平移，再向上平移，推出函数的解析式，即可．解答：解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数=cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，故选A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查图象变化，是基础题．8. 如图1，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. B. C. D.参考答案：B由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是斜边长为6的等腰直角三角形（斜边上高为），有一条长为3的侧棱垂直于底面，所以几何体的体积为,选B.9. 在各项均为正数的等比数列中，则（）A．4 B．6 C．8D．参考答案：C略10. 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在Rt△ABC中，AB=AC=3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则的值为．参考答案：4考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量垂直的条件，可得=0，由M ，N是斜边BC 上的两个三等分点，得=（+）?（+），再由向量的数量积的性质，即可得到所求值．解答：解：在Rt△ABC中，BC为斜边，则=0，则=（）?（+）=（+）?（+）=（+）?（）=++=×9+=4．故答案为：4．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．12. 已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于_________.参考答案：213. 三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分15（1）、（坐标系与参数方程选做题）设曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为15（2）、（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为参考答案：（1）（2）【0,4】14. x，y满足约束条件，则目标函数的最大值__________．参考答案：17【分析】由题意画出可行域，改写目标函数，得到最值【详解】由约束条件可画出可行域为如图所示，目标函数，则目标函数则当取到点即时目标函数有最大值，故目标函数的最大值为17【点睛】本题考查了线性规划，其解题步骤：画出可行域、改写目标函数、由几何意义得到最值，需要掌握解题方法15. 在中，，，是的外心，若，则.参考答案：16. 函数y＝＋lg（2－x）的定义域是________．参考答案：[－1,2）略17. 已知，且，∠AOB=60°，则=____；与的夹角为_____.参考答案：答案：2,三、解答题：本大题共5小题，共72分。

山西省运城市绛县第二中学2021年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果α=450+ k·180°则α 是第A、第一或第三象限角B、第一或第二象限角C、第二或第四象限角D、第三或第四象限角参考答案：A2. 若三个实数a，b，c成等比数列，其中，，则b＝（）A. 2B. －2C. ±2D. 4参考答案：C【分析】由实数a，b，c成等比数列，得,从而得解.【详解】由实数a，b，c成等比数列，得.所以.故选C.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本性质，属于基础题.3. 下列说法正确的是( ).A.掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是0.5，因此掷一枚硬币10次，恰好出现5次正面向上；B.连续四次掷一颗骰子，都出现6点是不可能事件；C.某厂一批产品的次品率为，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品D.若P(A+B)=1，则事件A与B为对立事件参考答案：D略4. 函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（1，3] D．[3，+∞）参考答案：B【考点】复合函数的单调性．【分析】由已知中f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，结合底数的范围，可得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得a的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则解得a∈（1，3）故选B5. 存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有（）A．f（|x|）=x B．f（|x|）=x2+2x C．f（|x+1|）=x D．f（|x+1|）=x2+2x参考答案：D【考点】函数的对应法则；函数的概念及其构成要素．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】在A、B中，分别取x=±1，由函数性质能排除选项A和B；令|x+1|=t，t≥0，则x2+2x=t2﹣1，求出f（x）=x2﹣1，能排除选项C．【解答】解：在A中，取x=1，则f（1）=1，取x=﹣1，则f（1）=﹣1，不成立；在B中，令|x|=t，t≥0，x=±t，取x=1，则f（1）=3，取x=﹣1，则f（1）=﹣1，不成立；在C中，令|x+1|=t，t≥0，则x2+2x=t2﹣1，∴f（t）=t2﹣1，即f（x）=x2﹣1，故C不成立，D成立．故选：D．【点评】本题考查抽象函数的性质，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．6. 已知函数的定义域为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D7. 已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则=（）A． B． C．1 D．－1参考答案：A8. 2100°的弧度数是（）A. B. 10π C. D.参考答案：A【分析】利用角度与弧度的互化公式计算即可.【详解】由题意得，故选A.【点睛】本题考查了弧度制的转化，考查了角的表示方法，属于基础题.9. 已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：x2+y2﹣6x+8y+9=0，则两圆的位置关系为（）A．相交B．内切C．外切D．相离参考答案：C 【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过弦心距与半径和与差的关系，判断两个圆的位置关系．【解答】解：圆O1：x2+y2=1的圆心（0，0），半径为：1；圆O2：x2+y2﹣6x+8y+9=0，圆心（3，﹣4），半径为：4．两个圆的圆心距为： =5，恰好是两个圆的半径和，所以两个圆外切．故选：C．【点评】本题考查两个圆的位置关系的判断，求出圆心距与半径和与差的关系是解题的关键．10. 下列说法正确的是（）A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．过点P（x0，y0）的所有直线的方程都可表示为y﹣y0=k（x﹣x0）C．已知点A（x0，y0）是圆C：x2+y2=1内一点，则直线x0x+y0y﹣1=0与圆C相交D．圆柱的俯视图可能为矩形参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；函数思想；简易逻辑．【分析】利用棱柱的定义判断A的正误；直线的方程判断B的正误；直线与圆的位置关系判断C的正误；三视图判断D的正误．【解答】解：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱，不满足棱柱的定义，所以A不正确；过点P（x0，y0）的所有直线的方程都可表示为y﹣y0=k（x﹣x0），直线的斜率不存在时，没有表示出来，所以B不正确；已知点A（x0，y0）是圆C：x2+y2=1内一点，则直线x0x+y0y﹣1=0与圆C相交，∵P（x0，y0）是圆C：x2+y2=1内一点，∴x02+y02＜1，∴圆心（0，0）到直线x0x+y0y=1的距离：d=＜1，∴直线x0x+y0y=1与圆相离．所以C不正确．圆柱的俯视图可能为矩形，当圆柱放倒时，满足题意，所以D正确．故选：D ．【点评】本题列出命题的真假的判断与应用，考查棱柱的定义，直线方程的应用，直线与圆的位置关系，三视图的知识，是基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ．已知函数，若方程f （x ）﹣a=0有三个不同的实数根，则a 的取值范围为．参考答案：0＜a ＜1【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数f （x ）的解析式，作出分段函数的图象，方程f （x ）﹣a=0有三个不同的实数根，即为函数y=f （x ）的图象与y=a 的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数a 的取值范围．【解答】解：∵函数，∴作出函数f （x ）的图象如右图所示， ∵方程f （x ）﹣a=0有三个不同的实数根，则函数y=f （x ）的图象与y=a 的图象有三个不同的交点， 根据图象可知，a 的取值范围为0＜a ＜1． 故答案为：0＜a ＜1．【点评】本题考查了分段函数的应用，考查了分段函数图象的作法．解题的关键在于正确作出函数图象，能将方程f （x ）﹣a=0有三个不同的实数根的问题转化为函数图象有三个不同的交点的问题．解题中综合运用了数形结合和转化化归的数学思想方法．属于中档题． 12. 已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围是_______----------__参考答案：13. 求的定义域 __________________．参考答案：【分析】利用定义域，求得的定义域.【详解】由于的定义域为，故，解得，所以的定义域.故填：.【点睛】本小题主要考查正切型函数定义域的求法，属于基础题. 14. 已知圆和圆相交于A 、B 两点，则直线AB 所在直线方程为_______________；线段AB 的长度为____________．参考答案：；由两圆，，圆的方程作差可得两圆，公共弦AB 所在直线方程为，∴圆的标准方程为：，则圆心到公共弦的距离为.∴弦长.15. 已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－ 1五个实数成等比数列，则。