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力法(对称结构的计算)(上课)

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力法的计算步骤和举例七对称性的利用教学内容模块三结构力学基本

力法的计算步骤和举例七对称性的利用教学内容模块三结构力学基本

六、 力法的计算步骤和举例
例1：作图(a)所示单跨超静定梁的内力图。已知梁的EI、EA均 为常数。
解： （1）确定超静定次数，选取基本结构
三次超静定梁，选取图(b)所示的悬臂梁作为基本结构。 (2) 建立力法方程
根据原结构支座B处位移为零的条件，建立如下方程：
δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0 δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0 δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0
由∑MA=0得 QBA=-ql/2 所以由∑Y=0得 QAB=ql/2
因为AB梁受到均匀分布荷载，剪力图应为斜直线，如图(h)所示。
七、对称性的利用
用力法解算超静定结构时，结构的超静定次数愈高，多余 未知力就愈多，计算工作量也就愈大。但在实际的建筑结构工 程中，很多结构是对称的，我们可利用结构的对称性，适当地 选取基本结构，使力法典型方程中尽可能多的副系数等于零， 从而使计算工作得到简化。
当结构的几何形状、支座情况、杆件的截面及弹性模量等 均对称于某一几何轴线时，则称此结构为对称结构。
七、对称性的利用
如图a所示刚架为对称结构，可选取图b所 示的基本结构，即在对称轴处切开，
以多余未知力x1, x2, x3来代替所去掉的三 个多余联系。
七、对称性的利用
相应的单位力弯矩图如图c,d,e所示，
超静定次数(degree of static indeterminacy )：多余联系的 数目或多余力的数目
确定超静定次数最直接的方法就是在原结构上去掉多余联系， 直至超静定结构变成静定结构，所去掉的多余联系的数目，就是原 结构的超静定次数。
四、 超静定次数的确定与基本结构

力法(对称结构的计算)(上课)

力法(对称结构的计算)(上课)

6m
81 207 103.5 103.5 103.5
kNm kNm 198 198 396
23kN/m
EI
EI EI
M K kN· m 135
等代结构
6m
135
135
198
等代结构的计算
无弯矩状态的判定：
在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。
常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
P2
X1=1
13 31 23 32 0
X2
X3
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
M1
一般荷载
X2=1 X2 X3=1
M2
M3
部分副系数为0，力法方程降阶
§5-5 对称结构的计算
支座、 刚度 都对称的结构. 1、结构的对称性：对称结构是几何形状、
EI EI EI 对称轴 EI EI EI2 对称轴
P1
m ↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ EI1
P
l/2 EI2
q 对称轴
P1
EI1 a/2
l/2
a/2
2、荷载的对称性： 对称荷载——绕对称轴 对折后，对称轴两边的荷载 等值、作用点重合、同向。 反对称荷载——绕对称 轴对折后，对称轴两边的荷 载等值、作用点重合、反向。
16
在各种节点情形下 c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变
C P 2EI P P C 2EI P
C P P EI 2EI P EI P

结构力学-力法-对称性应用-去一半计算

结构力学-力法-对称性应用-去一半计算

例8-5 试计算如图示圆环的内力。EI=常数。 P
R
o
取1/4
基本体系
P 解：这是一个三次超静定。有两个对称轴，故取四分之一结构，
则为一次超静定。
M1 =1，
Mp=-PRsin/2
X1=1
P
R
o M1图
R
PR/2
o
Mp图
PR(-2)/2
PR/
P M图
如图示，则系数和自由项为：
11=M12ds/EI=1/EI0/2Rd=R/2EI 1P=M1Mpds/EI=1/EI/2(-PRsin)rd=-PR2/2EI
转到下一节
M图(a)
1
C
K
B
a/4
A
MK图(d)
若取(d)的基本结构则有：
Ky=-1/EI1(a/2a/4)1/23pa/88=-3pa3/1408EI1 综上所述，计算超静定结构的步骤是：
（1） 解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。 （2） 任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。 （3） 按位移计算公式或图乘法计算所求位移。
Ky

1 EI1
1 2
a 2
a 2
5 3 Pa 6 88
1 2EI1
1 2


3 88
Pa
15 Paa 88
a 2
1 2
Pa a 4
a 2
3Pa3 1408EI1
3pa/88
B
C I1
p
15pa/88
2I1
A
于是得：
X1=- 1P/11=PR/
最后弯矩为：M=M1X1+MP=PR/-Prsin=PR(1/-sin/2)

结构力学课件--6力法

结构力学课件--6力法

2m 2m
4m
1
4m
125
15
11.3
15
M kN m
Q kN
3.7 75
200
15 147.5
11.3 22.5
11.3 3.7
22.5
2021/4/9竖向力不平衡
147.5
N kN
二、变形条件的校核
25
200
100 60
2
2 30
1
40
1
150
4m
1
1
20 2m 2m
15 4m
11
M kN m
2) 3
4a 3EI
X2 1
22
1 EI
(1 2
a 1
2) 3
a 3EI
M2
12
1 EI
(1 2
a 1 1) 3
a 6EI
1 1 Pa
1 Pa 2 5Pa2
1P
EI
( 2
2
a1 2
2
a ) 3 12EI
2P
1 EI
1 2
Pa 2
a
1) 3
Pa 2 12EI
Pa 2
P 2 MP 1
X1 1 M1
EA
0 E1A1
1P
M1M P EI
ds
=
1P
l N12 dx l 12 dx l
0 E1A1
0 E1A1
E1 A1
11
M12 ds EI
N12 ds EA
l E1 A1
11
l E1 A1
两类拱的比较： 无拉杆 H 1P
11
E1A1 H H 相当于无拉杆

第六章-力法(二) ,同济大学结构力学课件,朱慈勉版教材,吕凤悟老师课件

第六章-力法(二) ,同济大学结构力学课件,朱慈勉版教材,吕凤悟老师课件
根据对称结构的受力特征，在对称或反对称荷载作用下，可以取半结构 计算，另外半结构的内力可通过对称或反对称镜像得到。
半结构选取的关键在于正确判别另外半结构对选取半结构的约束作用。 判别方法有两种：
根据对称轴上的杆件和截面的变形（或位移）特征判别。(适用于所有结构)
根据对称轴上的杆件和截面的内力特征判别。 (一般只适用于奇数跨结构)
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。 各杆 EI C 。
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆 EI C 。
【解】利用对称性简化为一次超静定。
11X1 1p 0
11

144 EI
,
1 p

1800 EI
X1 12.5kN
M M1X1 M p
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。
支承不对称
对称结构
几何对称 支承对称 刚度对称
非对称结构
刚度不对称
对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向

13X 3 23X 3

1 p 2p
0 0
31X1 32 X 2 33 X 3 3 p 0

力法的对称性

力法的对称性
法2:1)将刚架上的荷载分组
正对称荷载下的计算: 2) 正对称荷载下的计算: δ11=144/EI 1P =1350/EI x1 = - 1P /δ11 = -9.935 δ 左侧受拉) MAB =33.75 kNm (左侧受拉) 右侧受拉) MAB中 =-28.125kNm (右侧受拉)
反对称荷载下的计算: 3) 反对称荷载下的计算: δ22=704/3EI 2P =-2240/EI x2 = - 2P /δ22 = 9.545 δ 上侧受拉) MBC =-1.82 kNm (上侧受拉) 下侧受拉) MBC` = 1.82 kNm (下侧受拉) 右侧受拉) MBA =-3.64 kNm (右侧受拉)
考虑对称性后: 考虑对称性后: δ13= δ31 = δ23= δ32= 0 代入式( ),得 代入式(a),得: δ11x1+δ12x2+1P=0 δ δ21x1+δ22x2+2P=0 δ δ33x3+3P=0 (b) 原方程分解成两相 互独立的方程. 互独立的方程.
二,荷载具有正或反对称性(考虑荷载情况) 荷载具有正或反对称性(考虑荷载情况) 正对称荷载作用下: 正对称荷载作用下:只有正对称的多余力
x`2=x`1+x x1= x`1+x /2 x2= x/2
一,了解力法的基本思路以及力法基本未知量,基 了解力法的基本思路以及力法基本未知量, 本体系(基本结构),基本方程的概念. ),基本方程的概念 本体系(基本结构),基本方程的概念. 弄清力法的基本原理. 二,弄清力法的基本原理.深刻理解力法典型方程 的物理意义. 的物理意义. 熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算; 三,熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算; 掌握结构在支座移动时的内力和位移计算以及力法 对称性的利用. 对称性的利用. 力法计算步骤: 四,力法计算步骤: 确定结构的力法基本未知量及基本体系, 1)确定结构的力法基本未知量及基本体系,建立 力法方程; 力法方程; 作基本结构分别在各因素下的内力( 2)作基本结构分别在各因素下的内力(图); 计算力法方程中的系数和自由项; 3)计算力法方程中的系数和自由项; 解力法方程,求出多余未知力; 4)解力法方程,求出多余未知力; 叠加做结构内力图; 5)叠加做结构内力图; 校核. 6)校核.

力法习题课及对称性的利用

力法习题课及对称性的利用
C
P
C P
等代结构
P
P
P 等代结构
21
b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆。 2、对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。 a）位于对称轴上的截面的位移 vc=0 ， 内力 NC=0，MC=0
C EI P EI EI P P
QC NC MC NC
计算单位荷载下的内力图 计算支座反力：
1 4 1 3
1
1
代入位移计算公式得：
N s


5 12
Mds R k ck 0
1
5 1 1 1 1 0.001 1 2 3 1 0.002 0.003 4 12 200 2 3
1 2 0.005 m
9m
4m »
20o C
5o C
解： （1）选择基本体系 （2）列典型方程
5o C
q 15 kN m
X2
X1
151.875 4m
5o C 20o C
2 1
5o C
11 X 1 12 X 2 1P 1t 1c 0 21 X 1 22 X 2 2 P 2t 2c 0
»
. 5.05 X 1 0.03 X 2 5119 0 . 0.03 X 1 5.7 X 2 11143 0
X 1 10.02 kN X 2 19.5 kN
（3）绘制弯矩图
M X1 M 1 X 2 M 2 M P
10.02 A B 34.98 4m
19.5 C 4m 35.25 3m 3m
5o C

力法 ppt课件

力法 ppt课件

力法课件包含了大量的信息和内容，可能 导致学生无法消化和理解，造成信息过载 。
替代传统教学
技术更新快
力法课件虽然可以辅助教学，但不能完全 替代传统的教学方式，过分依赖课件可能 影响学生的思考能力和实践能力。
力法课件所依赖的技术更新换代较快，导 致课件的维护和更新成本较高，对学校和 教师提出了更高的要求。
扩展应用领域
随着研究的深入和技术的发展，展望
更高效的求解算法
针对大规模、复杂问题，寻 求更快速、稳定的求解算法 是力法未来的重要研究方向 。
跨学科交叉融合
力法将与其它工程学科、数 学方法及计算科学进一步交 叉融合，形成更综合、系统 的分析方法。
力法的基本原理
总结词
力法的基本原理包括虚功原理、虚位移原理和最小势能原理。
详细描述
力法的基本原理包括虚功原理、虚位移原理和最小势能原理。虚功原理是力法的基本依据，它表明在平衡状态下 ，实功和虚功相等；虚位移原理表明在平衡状态下，虚位移和外力所做的虚功相等；最小势能原理则表明结构的 平衡状态对应于势能的最小值。
结果分析
解析解的意义
对求解得到的力学模型结果进行深入分析，理解其物理意义 ，并评估其对实际问题的指导价值。这一步骤有助于将力学 模型解转化为实际应用的指导。
03
力法的应用实例
桥梁结构的力法分析
总结词
桥梁结构的力法分析是利用力学原理对桥梁结构进行受力 分析和评估的过程。
计算模型
力法分析基于力学原理建立计算模型，通过计算和分析桥 梁结构的内力和变形，评估其承载能力和稳定性。
详细描述
通过力法分析，可以确定桥梁结构的承载能力、稳定性以 及在不同载荷下的变形情况。这对于确保桥梁安全运行和 预防潜在的损坏至关重要。

力法习题课及对称性的利用.ppt

力法习题课及对称性的利用.ppt

4
40 •
21
0.5 40 k
0.25 15 k
51.19
106
2P
1 EI
1 2
6 45 •
21
0.25 40 k
(5 / 12) 15 k
111.43 106
»
50..0053XX11
0.03X 2 51.19 5.7 X 2 111.43
0 0
X1 X2
10.02 19.5
例：绘制图示结构的内力图。
EI
EI
EI 2EI EI
6m
46kN/m
↑↑↑↑↑↑↑
6m
6m
81
81 81 103.5 101320.0537.5 M
kNm kNm K kN·m
135 135
135
198 131999868
23kN/m
EI
6m
↑↑↑↑↑↑↑
EI
EI
等代结构
6m
等代结构的计算 24
无弯矩状态的判定： 在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。 常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
（3）绘制弯矩图
M X1M 1 X2 M 2 M P
85.13
X1 85.13 kN
X
2
95.48
kN
66.75
95.48
10.3
9m
12
例6：图示结构支座 B发生支座沉降，已知 c1 0.002 cm2 m 0，.003
杆AC制造时长了 0.001m，杆BCD制造时作成了半径为
解： 200 m的圆弧曲线，试求截面 D的角D位移 。

力法

力法

（2）去掉多余约束后的体系，必须是几何不变的体系，因 此，某些约束是不能去掉的。
§7-1
举例：
概述
X1
X2
X3 X1 X2 X1 X2
§7-1
举例：
概述
X3
X4
X1
X2
X2
X1
§7-1
举例：
概述
X3 X1
X2
X3 X1 X2
每个无 铰封闭 框超三 次静定
超静定次数 3×封闭框数=3×5=15
超静定次数 3×封闭框数－单铰数目 =3×5－5=10
+
§7-2
力法的基本概念
q B
l
由于 X1是未知的，△11无法求出， A 为此令： △11= δ11×X1
=
δ11——表示X1为单位力时， 在B处沿X1方向产生的位移。
q
式：Δ1 ＝Δ11＋Δ1P＝0
可改写成：
A
B q
X1
1P
=
δ11X1＋Δ1P＝0
一次超静定结构的力法方程
A
B
+
A
δ11X111 B
3ql （与所设方向一致） 8 ④ 按静定结构求解其余反力、内力、绘制内力图
其中：
M M 1 X1 M p
ql 2 8
A
q
——迭加原理绘制
l M图
B
§7-2
力法的基本概念
3）力法概念小结 解题过程
（1）判定超静定次数，确定基本未知量； （2）取基本体系； （3）建立变形协调方程（力法方程）； （4）求力法方程系数、自由项（作Mp、M图）； （5）解力法方程，求基本未知量（X）； （6）由静定的基本结构求其余反力、内力、位移。

力法

力法

33 x 3 3 p 0
二： 取半边结构进行计算
1 正对称荷载作用下 （1）奇数跨正对称结构
C 截面有轴力、弯矩，无剪力；有竖直位移，无水平位 移和转角；简化为定向支座
（2）偶数跨正对称结构
C C
C截面 有轴力、弯矩，无剪力；无竖直位移，无水平位移 和转角；简化为固定端
2 反对称荷载作用下 （1）奇数跨正对称结构
FP 2
C截面 有剪力，无轴力和弯矩；有水平位移和转角，无竖直 位移；简化为滑动支座
（2）偶数跨正对称结构
FP
FP
FP
FP
FP
F P FQC
FQC
FP
C截面只有剪力，无轴力和弯矩；无竖直位 移，有水平位移和转角；简化为刚接点
这对剪力只使两柱 分别产生等值反向 轴力，而不使其它 杆件产生内力；又 因原结构中间柱的 内力等于该两柱内 力之代数和，故该 剪力对原结构的内 力无影响，可略去
图A
图B
（3）作单位弯矩图和荷载弯矩图
M
计算：
1
M
p
11
1 66 26 1 1 22 22 224 2 2 3 2 EI 2 3 3 EI EI 2 EI
1 2 EI 6 216 3 6 3 4 1 2 24 3 2 984 1 2 EI 3 4 EI EI
A B l 基本结构（一）
X1
11 x 1 A
原结构
A L 1 基本结构（二） B X1
11 x 1 1 C 0
单位荷载法与力法的联系
（1）核心思想：变形体虚功原理
we
=
wi
单位荷载法是应用变形体虚功原理求未 知位移，力法是应用变形体虚功原理求 未知力

课件：力法-解对称结构

课件：力法-解对称结构

南京工业大学 力学部
结构力学教研室
二、非对称结构的简化计算
对于非对称结构，为简化计算，应尽量使 M 图
及MP图局部化，以简化方程系数的计算。所以， 取基本结构时应考虑这一因素。
q
A
X1
X2
X3
B
C
D
连续梁基本体系
南京工业大学 力学部
结构力学教研室
X7
X3 X5
X8 X9
X1 X2
X6
X4
X1 EA→ ∞
降阶为两组，一组只含
M2
M3
有对称未知力，一组只 对称未知力产生的弯矩图和变形曲 含有反对称未知力。 线是对称的，反对称未知力产生的
弯矩图和变形曲线是反对称的。
南京工业大学 力学部
结构力学教研室
11 X1 12 X 2 1P 0
21 X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
反对称荷载——绕对称轴对 折后，对称轴两边的荷载等值、 作用点重合、反向。
南京工业大学 力学部
q
FP
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
FP1
FP1
对称轴 对称荷载
结构力学教研室
对称结构的计算
任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。
FP a
FP/2 a a FP/2
FP/2 a a FP/2
FP1
FP2 F
FW
W
➢位于对称轴上的截面的位移 vC 0 ， 内力 FNC=0，MC=0
C
FNC MC
FNC
EI
FP EI
FP EI
FP
FP FQC
EI C FP EI
等代结构
南京工业大学 力学部

【结构力学课件】7 力法 对称结构

【结构力学课件】7 力法 对称结构
§7-5 对称结构的计算
11 X 1 12 X 2 1n X n 1 P 0
21 X 1 22 X 2 2 n X n 2 P 0 力法基本方程 n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nP 0
X2 X3
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P
X1=1 X2=1
0 0
X1 0 X2 0 X 0 3
X3 X 3 X3 X3
11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
33 X 3 3 P 0
例1：P386习题7-3（a）
EI2 EI1 EI1 q q
=
X1
q
基本结构
一、弹性支座：
q q
基本体系
X1
q
q
q
基本体系
X1
q
基本体系
X1
11 X 1 1P 0
11 X 1 1P
q
X 1h EA
11 X1 1P
q
X1 k
h ( 11 ) X 1 1P 0 EA
X1
1 ( 11 ) X 1 1P 0 k
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P
X1=1

(完整)2012年结构力学(龙驭球、包世华)第三版教学课件

(完整)2012年结构力学(龙驭球、包世华)第三版教学课件
计算：
M X1M1 X2 M 2 Xn M n MP Q X1Q1 X2Q2 XnQn QP N X1 N1 X2 N2 Xn Nn NP
(7-4)
2020/2/11
结构力学
33
解题步骤:
① 选取力法基本体系； ② 列力法基本方程； ③ 绘单位弯矩图、荷载弯矩图； ④ 求力法方程各系数，解力法方程； ⑤ 绘内力图。
2C
FP B
M
图
P
A FPa
(c)
2
2020/2/11
结构力学
37
4) 利用图乘法求得各系数和自由项如下：
11

1 EI1
a2 (
2

2a ) 3

a3 3EI1
22

1 2EI1
(a2 2

2a ) 3

1 EI1
(a2
a)

7a3 6EI1
12

21


1 EI1
a2 (
2

a)
2是基本体系上B点沿X2方向的位移，即B点的
竖向位移。
3是基本体系上B截面沿X3方向的位移，即B截
面的转角。
2020/2/11
结构力学
25
3）应用叠加原理把位移条件1=0， 2=0， 3=0写
成展开式。
设11、21和31分别表示当X1=1单独作用在基本 结构上时，B点沿X1、X2和X3方向的位移。如图
11
M 1 M 1dx EI
1 l 2 2l l 2
EI 2 3 3EI
1P
M 1M Pdx EI
1 (1 l ql2 ) 3 l EI 3 2 4

7.6_对称结构的简化计算

7.6_对称结构的简化计算
基本结构的荷载弯矩图MP和变形图是反对称的。
FP/2 FP/2 FP/2 X3 FP/2 X1=1
MP图 (反对称)
Δ1P
X3 X1=0 X2=0
（对称）
M1
图
X2=1
M M M 1M P ds 0 Δ2 P 2 P ds 0 EI EI
可知，对称未知力X1=0，X2=0， 只需用式（c）计算反对称未知力X3。
FP/2
EI2 A
EI2 B
EI2 A
EI2 B
对称荷载
FP X2 X1 X1 X2
反对称荷载
FP/2 X3 X3 FP/2
FP/2 X2
X1 X1
FP/2
X2
X3
(X3=0) 基本体系1
基本体系
(X1 =X2 =0) 基本体系2
11 X 1 12 X 2 Δ1 P 0 21 X 1 22 X 2 Δ2 P 0
All Rights Reserved
11 X1 1P 0
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c: 分别作出 M 1 、MP图，仍然利用静定刚架的对称性
3kN
X1
3kN
4m
FX=？对称 FY 反对称
X1=1 反对称
3m 3kN
3 3 3 X1=1
3
3
6m X1 X1=1
3
3m
3m
X1=1作用下 FXP=？对称
FP l 4 FP l 4 FP l 4
FP/4
FP l 4
FP/2
FP
FP l 4
FP l 4
1/4结构M图
1/2结构M图
原结构M图
All Rights Reserved
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B
P
P
Pl/8 C P
Pl/8
B
18
P
A
Pl 12
P
Pl 12
l/2
P/2
Pl 6 EI=常数
l/2
l/2 P X1 P/2 l/4
l/2
P/2
解:
11=
1 1 l 3l 1 1 1 1 EI 2 4 4 EI 2 1 l Pl l l Pl Δ1P= 1 Pl EI 2 8 4 4 8EI
P2
X1=1
13 31 23 32 0
X2
X3
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
M1
一般荷载
X2=1 X2 X3=1
M2
M3
部分副系数为0，力法方程降阶
P
M=0
P
MP=0
22
作业
350，
5-5-1
（e）、（f）、（h）
（利用等代结构法计算，看书时参考P380）
23
P
P2
X1=1
M1
力法方程降阶
进一步地
如果荷载对称，MP对称， Δ3P=0，X3=0； 如果荷载反对称，MP反对称 Δ1P=0， Δ2P=0， X1= X2 =0。
一般荷载
X2=1 X2 X3=1
M2
M3
对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 4 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
l/4
11 x1+Δ1P=0
P/2
基本体系
l/2
l/2 P/2 1
Pl X 1= 6
pl 4
先叠加等代结构的弯矩图， 再利用对称性绘出全部弯矩图。
Mp
l/2
M
X1=1 l/2
19
例：绘制图示结构的内力图。
EI EI
EI 6m 6m
20
46kN/m
↑↑↑↑↑↑↑
2EI
EI
6m 81 ↑↑↑↑↑↑↑ 81
对称轴 反对称荷载 对称轴
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
P
P1 对称轴
P1
对称荷载
1
任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。
P a
P/2
a
a P/2
P/2
a
a P/2
P1
P2
F
F
W
W
一般荷载
对称荷载
反对称荷载
P1=F+W，P2=W—F
2
3、利用对称性简化计算： 1）取对称的基本体系(荷载任意)
X1
P
X2
11 l h l 1 l l l 1
6k2 Ph 6k1 4
X1
基本体系 等代结构
P/2
l/2 X1=1
M
P/2
MP
l/2
Ph/2
6
6k Ph 6k 1 4
k很小 弱梁强柱
Ph 2
6k 2 Ph 6k 1 4
Ph 2
Ph 4
k很大 强梁弱柱
I2 h k I1l
16
在各种节点情形下 c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变
C P 2EI P P C 2EI P
C P P EI 2EI P EI P
等代结构
等代结构
17
例：求图示结构的简化结构。 EI=常数。
l/2
P C
P B
l/2
P
P
l/2
P
Pl/8 P
l/2
l/2
P C
l/2
A
Pl/8
3
3、利用对称性简化计算： 1）取对称的基本体系(荷载任意) 13 31 23 32 0 X1 11 X 1 12 X 2 1P 0 X2 X2 21 X 1 22 X 2 2 P 0 X3 33 X 3 3 P 0
①对称结构在对称荷载作用下，其等代结构的取法。
9
对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。
位于对称轴上的截面的位移 uc=0、θc=0 ， 内力
C P
NC MC NC
QC=0
EI EI
EI
P
P
QC
P
P
C
等代结构
a）奇数跨对称结 构的等代结构是将 对称轴上的截面设 置成定向支座。
定向支座的受力和变形条件与C点完全相同。
P P －P M=0 P －P M=0 M=0 P
2）一集中力沿 一柱轴 作用，只有该柱有轴力.
3）无结点线位移的结构， 受结点集中力作用，只有轴力。
21
3）无结点线位移的结构， 受结点集中力作用，只有轴力。 MP=0 Δ1P=0 δ11>0 M=M1X1+MP=0
为什么？
X1= Δ1P/δ11=0
任何荷载均可分解为正对称荷载和反对称荷载的叠加， 因此，在一般荷载作用下，对称结构计算可以有两种 处理方法： 方法A：对荷载不作处理，直接取非对称荷载进行计算。 计算时取对称的基本体系； 方法B：进一步将荷载也分成对称和反对称的组合，对 这两部分荷载分别进行计算，最后将两种计算结果叠 加。
两种方法各有利弊。（教材P277底段的评述）
QC
QC
P EI
P EI EI
P
等代结构 由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力QC
先分析刚节点
当不考虑轴向变形时，QC对原结构的内力和变 形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后 15 再利用对称关系作出另半边结构的内力图。
C
P
2EI
P
P
EI
等代结构
中柱的荷载减半（如果在中柱上 有荷载作用），惯性矩减半，
5
求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。
P EI1 EI2 EI1
P/2
6k Ph ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk1 4
P/2
－P/2 M=0
P/2
P/2
l
h
2 2EI1 2 2 2 3 EI2 2 3 lh l 4EI1 24EI2 2 1 Ph l Ph l 11 h 2 2 2EI1 8EI1 1P - 6k Ph X1 k I2 h 11 I1l 6k 1 2l
§5-5 对称结构的计算
支座、 刚度 都对称的结构. 1、结构的对称性：对称结构是几何形状、
EI EI EI 对称轴 EI EI EI2 对称轴
P1
m ↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ EI1
P
l/2 EI2
q 对称轴
P1
EI1 a/2
l/2
a/2
2、荷载的对称性： 对称荷载——绕对称轴 对折后，对称轴两边的荷载 等值、作用点重合、同向。 反对称荷载——绕对称 轴对折后，对称轴两边的荷 载等值、作用点重合、反向。
6m
81 207 103.5 103.5 103.5
kNm kNm 198 198 396
23kN/m
EI
EI EI
M K kN· m 135
等代结构
6m
135
135
198
等代结构的计算
无弯矩状态的判定：
在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。
常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
C P P
C
P P
对称：uc=0,θc=0 中柱： vc=0 对称：uc=0, θc=0 中柱： vc=0
C
P C P
对称：uc=0 中柱： vc=0
P 等代结构
等代结构
P
12
下面讨论反对称荷载情况：
②对称结构在反对称荷载作用下，简化结构的取法 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
13
a）、位于对称轴上的截面的位移 vc=0， 内力 NC=0，MC=0
C P EI EI EI P P
QC NC MC NC
P
C
P
等代结构
b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆
14
C）偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法
C P 2EI P P 2EI EI
C
P EI
10
下面讨论偶数跨结构承受对称荷载作用时的简化方法： 偶数跨结构的中柱与横梁连接的节点有3种情况
C P P P
C P P
C
P
刚节点
组合节点
铰节点
11
b）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴 位于对称轴上的截面的位移 uc=0、θc=0 上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。
k=3
18 Ph 19 4
Ph 4
20 Ph 19 4
•荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有 关，而与各杆的刚度绝对值无关。
•内力分布与各杆刚度大小有关，刚度增大， 7 内力也增大。
以下介绍一种采用简化结构进行计算的方法，有 关内容需参考教材 P380 – 381（第六章第六节）
8
讨论对称结构在对称荷载（正对称或反对称）作用下，取 简化的等代结构（半结构）进行计算的方法。 这种方法不仅适用于力法，也适用于位移法（下一章）。 2）取等代结构计算(对称或反对称荷载)