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第11讲 全等三角形的概念和性质及判定本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单．模块一：全等三角形的概念和性质知识精讲全等形、全等三角形及其相关的概念（1） 全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.（2） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．如下图所示：已知：△ABC ≌DFE ，A 与D ，B 与F 是对应顶点，则：(C 与E 是对应顶点) 对应边有：AB 与DF ，AC 与DE ，BC 与FE ．对应角有：A D B F C E ∠∠∠∠∠∠与，与，与．全等三角形的数学语言：三角形ABC 与三角形A ′B ′C ′全等，记作△ABC ≌△A ′B ′C ′，读作“三角形ABC 全等于三角形A ′B ′C ′”．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等．全等三角形中应注意的问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；（2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等；（3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上；A B C D E F画三角形：确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：两角及其夹边；两边及其夹角；三边.例题解析例1．（2019·上海浦东新区·）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（）A．周长相等的两个等边三角形B．三个内角分别相等的两个三角形C．两条边和其中一个角相等的两个三角形D．面积相等的两个等腰三角形【答案】A【分析】依据全等三角形的概念即可做出选择.【详解】解：A. 周长相等的两个等边三角形，三边都相等，故A正确；B. 三个内角分别相等的两个三角形，三角形相似，不一定全等，故B错误；C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形,只有这个角是两边夹角三角形才全等，故C错误；D. 面积相等的两个等腰三角形，不一定全等，故D错误；答案为：A.【点睛】本题考查了全等三角形的定义，即全等三角形不仅形状相同，而且大小相等.例2.下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的三角形C．全等三角形的周长和面积都相等 D．所有的等边三角形都全等【难度】★【答案】C【解析】A错，形状相同，大小也要相同；B错，面积相等不一定全等，反例同底等高的三角形；D错，大小不一定相等．【总结】本题主要考查全等三角形的概念．例3.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等【难度】★【答案】C【解析】等底同高，所以面积相等．【总结】本题主要考查同底等高的两个三角形的面积相等的运用．例4.如图所示，△ABC≌△CDA，且AB＝CD，则下列结论错误的是（）A ．∠1＝∠2B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC【难度】★【答案】D【解析】全等三角形对应角相等，对应边相等．【总结】考察学生对全等三角形性质的理解及运用．例5.下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边【难度】★【答案】C【解析】C 选项是边边角，不能作为全等的判定条件．【总结】考查全等三角形的判定定理的运用．例6.练习画出下列条件的三角形：（1） 画,ABC ∆使40,45,4A B AB cm ∠=︒∠=︒=；（2） 画,ABC ∆使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===；（3） 画,ABC ∆使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=︒；（4） 画,ABC ∆使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=︒．例7.下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★【答案】B【解析】（1）错，大小不一定相等；（2）面积相等不一定全等，反例同底等高；（3）对；（4）对，故选B ．【总结】考察学生对全等三角形的概念及性质的理解．例8.下列说法中错误的是（ ）A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角B ．全等三角形的公共边也是对应边C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边【难度】★★【答案】C【解析】全等三角形的公共顶点不一定是对应顶点，两个全等三角形任意放置，使得三 角形的一个顶点与另一个三角形的不对应的顶点重合．【总结】考察学生对全等三角形的概念的辨析能力，以及正确的举反例．例9.如图所示，ABE ADC ABC ∆∆∆和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ）A ．80°B ．100°C ．60°D ．45°【难度】★★【答案】A【解析】设1=28x ∠，25x ∠=，33x ∠=，则36180x =，解得：5x =．1140∴∠=︒，225∠=︒，315∠=︒，22ABC ACB ∴∠∂=∠+∠212280=∠+∠=︒．【总结】考察学生对全等三角形的应用以及翻折知识的理解及运用．例10．（2021·安仁县思源实验学校七年级期末）若ABC DEF △≌△，70A ∠=︒，50B ∠=︒，点 A 的对应点是D ，AB DE =，那么F ∠的度数是_______．【答案】60︒【分析】根据全等三角形的性质求解；【详解】解：ABC DEF ≌，70A ∠=︒，50B ∠=︒，18060F C A B ︒︒∴==--=∠∠∠∠．故答案为：60︒．【点睛】本题考查全等三角形的性质，理解相关性质正确推理计算是解题关键．例11．（2020·福建泉州市·七年级期末）如图，△ABC≌△ADE，且点E在BC上，若∠DAB＝30°，则∠CED＝_____．【答案】150°【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．【详解】∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∵∠BHE＝∠DHA，∴∠BED＝∠DAB＝30°，∴∠CED＝180°﹣∠BED＝150°.故答案为：150°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．△≌△，DEF的例12．（2020·黑龙江省红光农场学校七年级期末）已知ABC DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=12cm，则AB=_______， BC=______，CA=_____【答案】9cm 12cm 11cm【分析】作出图形，先求出DF，再根据全等三角形对应边相等解答即可．【详解】解：∵△DEF的周长是32cm，DE=9cm，EF=12cm，∴DF=32-9-12=11cm，∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE=9cm，BC=EF=12cm，DF=AC=11cm．故答案为：9cm；12cm；11cm．【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．∆≅∆，例13．（2020·河南周口市·七年级期末）如图，ABC DEF120,20∠=︒∠=︒，则DB F∠=__________°.【答案】40【分析】根据全等三角形的性质得出∠E=∠B=120°，再根据三角形的内角和定理求出∠D 的度数即可．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠E=∠B=120°，∵∠F=20°，∴∠D=180°-∠E-∠F=40°，故答案为40．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．例14．（2019·海南七年级期末）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2=_______度.【答案】90【分析】根据网格特点可知两个三角形全等，故可求解.【详解】由网格的特点可知两个三角形全等∴∠2=∠3∴∠1+∠2=∠1+∠3=90°，故答案为：90°.【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知全等三角形的性质及网格的特点.例15．（2019·山东泰安市·七年级期中）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y =________．【答案】11【分析】根据全等三角形的性质求出x和y即可.【详解】解：∵这两个三角形全等∴x=6，y=5∴x + y =11故答案为11.【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键.例16．（2018·全国七年级课时练习）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出对应边和其他对应角．【答案】AB与AC，AE与AD，BE与CD是对应边；∠D与∠E是对应角．【分析】先根据△ABE≌△ACD，可以确定点A的对应点是A，点B的对应点是C，点D的对应点是E，然后根据对应顶点，结合图形即可找出对应边和对应角．【详解】∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴点A的对应点是A，点B的对应点是C，点E的对应点是D，∴∠E与∠D是对应角，AB与AC，BE与CD，AE与AD是对应边．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一般情况下，对于图形的全等来说，能够完全重合的部分是相互对应的，实际应用中，应结合图形将对应点写在对应位置上，以免出现错误．例17．（2019·沂源县中庄中学七年级月考）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10.（1）求△ABC的周长；（2）求△ACE的面积.【答案】（1）24；（2）50【分析】（1）根据三角形全等得到AC=CE，即可得出答案；（2）根据三角形全等得到∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE，进而求出∠ACB+∠DCE=90°，即可得出答案.【详解】解：（1））∵△ABC≌△CDE∴AC=CE∴△ABC的周长=AB+BC+AC=24（2）∵△ABC≌△CDE∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE又∠B=90°∴∠ACB+∠BAC=90°∴∠ACB+∠DCE=90°∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°∴△ACE的面积=150 2AC CE⨯⨯=【点睛】本题考查的是全等三角形的性质以及三角形的周长和面积公式，需要熟记三角形的周长和面积公式.例18.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于F.（1）∠DEF和∠CBE相等吗?请说明理由；（2）请找出图中与ED相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.【难度】★★【答案】（1）相等；（2）ED BC AD ==．【解析】（1）90DEF CEB ∠+∠=︒，90CBE CEB ∠+∠=︒，DEF CBE ∴∠=∠（同角的余角相等）（2）AE 平分DAB ∠， 45DAE ∴∠=︒，DE AD ∴=． AD BC =， DE AD BC ∴==．【总结】考察学生对图形的理解和掌握，能够迅速的根据图形发现同角的余角相等，再 利用特殊的角度45得出等腰直角三角形，从而解题．例19.如图所示，30255ADF BCE B F BC cm ∆≅∆∠=︒∠=︒=，，，，14CD cm DF cm ==，．求：（1）1∠的度数；（2）AC 的长．【难度】★★【答案】（1）1=55∠°；（2）4AC cm =．【解析】（1）ADF BCE ≅，30A B ∴∠=∠=︒，AD BC =，155A F ∴∠=∠+∠=︒；（2）ADF BCE ≅，AD BC ∴=， 514AC AD CD cm ∴=-=-=．【总结】考察学生对全等三角形对应边相等，对应角相等的掌握，并且学会正确运用． 例20.如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠ACB =2:5:11，若将△ABC 绕点C 逆时针旋转，试旋转前后的△A ’B ’C ’中的顶点B ’在原三角形的边AC 的延长线上，求∠BCA ’的度数．【难度】★★【答案】40︒．【解析】设2A x ∠=，5B x ∠=，11ACB x ∠=，则18180x =， 解得：10x =，∴110BCA ∠=，70BCB '∠=．110A CB ''∠=， 40BCA '∴∠=．【总结】考察学生对旋转的理解，注意利用全等三角形的性质进行解题．例21.如图，已知△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交AD 于点F ，交AE 的延长线于G ，∠ACB =1050，∠CAD =100，∠ADE =250，求∠DFB 和∠AGB 的度数．【难度】★★【答案】∠DFB =85︒，∠AGB =45︒．【解析】证明：ABC ADE ≅，25ADE ABC ∴∠=∠=︒，50CAB EAD ∠=∠=︒，10502585DFB ∴∠=︒+︒+︒=︒，1801102545AGB ∠=︒-︒-︒=︒．【总结】本题主要考察学生对全等三角形的性质及三角形外角性质和内角和定理的综合 运用．例22.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED 的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少?（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．【难度】★★★【答案】（1）AED A ED '≅，A A '∠=∠，AED A ED '∠=∠，ADE A DE '∠=∠；（2）11802x ∠=-，21802y ∠=-；（3）()1122A ∠=∠+∠． 【解析】（3）证明：∵()180A x y ∠=-+，1+2=3602()x y ∠∠-+，∴()1122A ∠=∠+∠． 【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查全等三角形的性质及三角形内角和 定理的运用．例23.如图（1）所示，把△ABC 沿直线BC 移动线段BC 那样长的距离可以变到△ECD 的位置；如图（2）所示，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图（3）所示，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：如图（4），△ABC ≌△DEF ，B 和E 、C 和F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．AB CD E （1）AB C D （2）AB C D E （3）A B C （4）D E F【难度】★★★【答案】翻折变换，平移变换或旋转变换，平移变换．【解析】AB ED =，BC EF =，AC DF =．【总结】考察学生对图形的运动的理解和掌握，需要学生进行一定的空间想象． 模块二：全等三角形的判定知识精讲本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应 相等（SAS ）”，“两角及夹边对应相等（ASA ）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS ）”“三边对应相等（SSS ）”的两个三角形全等．例题解析例1.如图，已知∠B =∠D ，∠1=∠2，AC =AE ，说明△ABC ≌△ADE 的理由．【难度】★★【解析】证明：12∠=∠，12DAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠．在ABC 和DAE 中，B D BAC DAE AC AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ADE （A.A.S ）．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．例2.如图，已知∠C =∠E ，BE =CD ，说明△ABE 与△ADC 全等的理由，AB 与AD相等吗?为什么?【难度】★【解析】证明：在ABE 和ADC 中，A A C E BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE ADC ∴≅（A.A.S ）， AB AD ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．例3.如图，已知AD =BC ，AE =BE ．说明AC =BD ，∠C =∠D 的理由．【难度】★【解析】证明：AD BC =，AE BE =，DE CE ∴=．在ACE 和BDE 中，AE BE =AEC BED ∠=∠，ACE BDE ∴≅（S.A.S ）AC BD ∴=，C D ∠=∠（全等三角形的对应边相等，对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．例4如图，已知AB =CD ，AD =BC ，说明∠A =∠C 的理由．【难度】★【解析】证明：连接BD在ABD 和CDB 中，AB CD AD BC BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABD CDB S S S ∴≅A C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．例5.如图，已知BD 是△ABC 的中线，B 、D 、E 、F 在一条直线上，且AE ∥CF ，说明△ADE 与△CDF 全等的理由．【难度】★★【解析】//AE CF ， E EFC ∴∠=∠．∵BD 是△ABC 的中线， ∴AD CD =．在ADE 和CDF 中，ADE FDC AD CD ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ADE CDF ∴≅（A.A.S ）． 【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．例6.如图，已知AC ∥BD ，AC =BD ，（1）说明△AOC 与△BOD 全等的理由；（2）说明EO =FO 的理由．【难度】★★【解析】证明：（1）//AC BD ，C D ∴∠=∠．在AOC 和BOD 中，C D AOC BOD AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AOC BOD ∴≅（A.A.S ）； （2）AOC BOD ≅， CO DO ∴=．在CEO 和DFO 中，C D CO DOCOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()CEO DFO ASA ∴≅， EO FO ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．例7.如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD =OE ，说明AB =AC 的理由．【难度】★★【解析】CD AB BE AC ⊥⊥，， 90BDC DEC ∴∠=∠=︒．在BDO 和CEO 中，DO EODOB COE ⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)BDO CEO A S A ∴≅． DO EO ∴=，B C ∠=∠， BO CO =， BE CD ∴=．在ABE 和ACD 中，A A BE CDBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABE ≌ACD （A.S.A ）， AB AC ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意利用多次全等． 例8.如图，已知AD ∥BC ，BF ∥DE ，AE =CF ．（1） △ADE 与△CBF 全等吗，为什么?（2） 说明AB =CD 的理由；（3） 图中有哪几对全等三角形?【难度】★★【解析】证明：（1）全等，//AD BC ， DAC ACB ∴∠=∠．//BF DE ，DEF BFE ∴∠=∠， AED BFC ∴∠=∠．在AED 和BFC 中，DAC ACB AE CF AED BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)ADE CBF A S A ∴≅；（2）ADE CBF ≅， AD BC ∴=．在ABC 和ADC 中AD BC DAC ACB AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABC ADC S A S ∴≅，AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）；（3）AED CFB ≅；DEC BFA ≅；ABC CDA ≅．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用．例9.如图，已知AB =CD ，BM =CM ，AC =BD ，说明AM =DM 的理由．【难度】★★【解析】在ABC 和BCD 中，AB CD AC BD BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABC DCB S S S ∴≅， ABC BCD ∴∠=∠，在ABM 和DCM 中，AB CD ABC BCD BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABM DCM S A S ∴≅， AM DM ∴=．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用，利用多次全等进行证明． 例10.如图，∠1=∠2，AC =BD ，E 、A 、B 、F 在同一条直线上，说明：∠CAD =∠DBC 的理由．【难度】★★【解析】12∠=∠， CAB DBA ∴∠=∠．在CAB 和DBA 中，AC BD CAB DBA AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)CAB DBA S A S ∴≅，CBA DAB ∴∠=∠，又CAB DBA ∠=∠，CAD DBC ∴∠=∠．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与角的和差的综合运用．例11.如图所示，AB =AC ，CE =BE ，连结AE 并延长交BC 于D ，说明AD ⊥BC 的理由．【难度】★★【解析】证明：在ABE 和ACE 中，AB AC BE CE AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(..)ABE ACE S S S ∴≅，BAD CAD ∴∠=∠．在ABD 和ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ABD ACD S A S ∴≅，90ADB ADC ∴∠=∠=， AD BC ∴⊥．【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，通过多次全等得到垂直． 例12.如图所示，BE 、CD 相交于O ，AB =AC ，AD =AE ，说明OD =OE 的理由．【难度】★★【解析】证明：在ADC 和AEB 中，AD AE A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴(..)ADC AEB S A S ≅B C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）AB CA =，AD AE =，BD CE ∴=．在BDO 和CEO 中，DOB COE ∠=∠B C ∠=∠BD CE =(..)BDO CEO A A S ∴≅， OD OE ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，注意对全等的多次运用． 例13．（2019·上海奉贤区·七年级期末）阅读并填空：如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OE OD ，那么CD BE =，为什么？解：过点E 作EF AC 交BC 于F所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）D OEF ∠=∠（________）在OCD 与OFE △中()________COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以OCD OFE △≌△，（________）所以CD FE =（________）因为AB AC =（已知）所以ACB B =∠∠（________）所以EFB B ∠=∠（等量代换）所以BE FE =（________）所以CD BE =【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．【详解】解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），在OCD 与OFE △中()()()COD FOE OD OED OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）∴CD FE =（全等三角形对应边相等）∵AB AC =（已知）∴ACB B =∠∠（等边对等角）∴EFB B ∠=∠（等量代换）∴BE FE =（等角对等边）∴CD BE =；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.例14．（2019·上海市民办新竹园中学七年级期中）如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过点D 的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥GF ，交AB 于点E ，连接EG ，EF.（1）说明：BG=CF ；（2）BE ，CF 与EF 这三条线段能否组成一个三角形？【分析】（1）由BG ∥AC 得出∠DBG=∠DCF,从而利用ASA 得出△BGD 与△CFD全等，进一步证得结论（2）根据△BGD与△CFD全等得出GD=FD,BG=CF,再又因为DE⊥GF，从而得出EG=EF,从而进一步得出结论【详解】（1）∵BG∥AC∴∠DBG=∠DCF又∵D为BC中点∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF∴△BGD≅△CFD（ASA）∴BG=CF（2）能证明如下：∵△BGD≅△CFD∴BG=CF，GD=DF又∵DE⊥GF∴GE=EF∵BE,BG,GE组成了△BGE∴BE,BG,GE三边满足三角形三边的关系同理，与BG,GE相等的两边CF,EF与BE三条线段亦满足三角形三边关系∴BE,CF,EF这三条线段可以组成三角形【点睛】本题主要考查了三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判断及性质是关键例15．（2018·华东理工大学附属中学七年级月考）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=DE，BF=CD，∠FDE=∠B,请说明∠B=∠C【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠B+∠DFB ，再根据∠FDE=∠B ，证明∠DFB=∠EDC ，然后根据边角边定理证明△DFB 与△EDC 全等，根据此思路进行解答即可.【详解】证明：∵∠FDC=∠B+∠DFB （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 即∠FDE+∠EDC=∠B+∠DFB又∵∠FDE=∠B （已知）∴∠DFB=∠EDC在△DFB 与△EDC 中FB=ED （已知），∠DFB=∠EDC ，BF=CD （已知）∴△DFB ≌△EDC （SAS ）∴∠B =∠C .【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键.例16．（2019·上海浦东新区·）公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB CD ∥，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE CF =，M 是BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上.（提示：可通过证明180EMF =∠）【分析】先根据SAS 判定△BEM ≌△CFM ，从而得出∠BME=∠CMF.通过角之间的转换可得到E ，M ，F 在一条直线上.【详解】证明：∵AB CD ∥（已知）∴B C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）在EBM △与FCM △中，BE CF B CBM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（中点的意义）∴(...)EBM FCM S A S △≌△∴BME CMF ∠=∠（全等三角形的对应角相等）∵180BMF CMF +=∠∠（平角的意义）∴180BMF BME ∠+∠=（等量代换）∴E ，M ，F 三点共线（平角的意义）【点睛】本题主要考查了学生对全等三角形的判定的掌握情况，关键是共线的证明方法. 例17．（2019·上海浦东新区·）如图，已知ABC △中，AB AC =，O 是ABC △内一点，且OB OC =，试说明AO BC ⊥的理由.【分析】先证明AOB AOC △≌△，再利用全等三角形的性质得到BAO CAO ∠=∠，然后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明.【详解】证明：在AOB 与AOC △中，AB AC OB OCAO AO （已知）（已知）（公共边）=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴(...)AOB AOC S S S △≌△∴BAO CAO ∠=∠（全等三角形的对应角相等）∵AB AC =（已知）∴AO BC ⊥（等腰三角形的三线合一）【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题和等腰三角形三线合一性质的运用.例18．（2018·上海市第八中学七年级月考）如图，点E 、F 位于线段AC 上，且 AF=CE ， AB ∥CD ， BE ∥DF 。
实数的概念课时目标1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类；2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根；3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系.知识精要1. 无理数的定义无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数.2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数.3. 实数的分类4. 平方根的定义如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即，那么x 就叫做a 的平方根.5. 平方根的性质与表示（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根.（2）正数a 的两个平方根可以用“的正平方根，叫做的正平方根，也叫做的算术平方根；的负平方根.6. 开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方.7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2x a =a a a a a8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…；； 第三类：小数型：如0．1010010001…．9. 立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数.10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0．12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系.13. n 次方根的定义如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数.14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方.15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系.16. n 次方根的性质（1）实数的奇次方根有且只有一个，用“”表示；（2）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示；负次方根用“－”表示（>0，是正偶数）；（3）负数的偶次方根不存在；（4）0的次方根等于0，表示为“”.3a a n a a n n a n n a a n n 00 n热身练习1. 将下列各数填在相应括号内：， ， 3.14， ， ， ，，有理数集合{ …}；整数集合 { …}；正数集合 {…}； 分数集合 { …}；实数集合 { …}；2. 判断 （1）无限小数都是无理数（ ）（2）无理数都是开方开不尽的数（ ） （3）不带根号的数都是有理数（ ） （4）带根号的数都是无理数（ ）3.（1介于哪两个整数之间？（2）写出一个比－1大的负有理数是 ，比－1大的负无理数是 .4. 在实数范围内，下列方根是否存在？如果存在，用符号表示这些方根，并求出它的值.（1）－16的四次方根 （2）16的四次方根（3）－32的五次方根（4）的六次方根 （5）－0.00243的五次方根 （6）的六次方根π32⋅⋅12.0327-21-3333+-28-2(27)-（1）121 （2）（3）0.0009 （4）3616．求下列各数的算术平方根 （1）81（2）（3）289（4）0.00017．求下列各数的值.（1（2）（3）8.求下列各式的值（1） （2） （3） （4（5（69. 一个正数的两个平方根为2a +1,5－a 求这个数.10. 已知a 的两个平方根为的一组解，求a 的平方根.6491625222(0)a >2((0)a >0)a >)a 是实数,x y 322x y +=（1）－64 （2）343 （3） （4）12. 求下列各式的值（1）（2（313. 解简单的高次方程（1）（2）（3） （4）（5） （6）精解名题例1 如图，四个同样大小的正方形排列在一起面积和是80，求小正方形的边长.1918-0.72916842=-x 81)3(42=-x 3918x +=3(1)27x +=-60444=-x 7645=x例2 用移位法求平方根被开方数的小数点向右（或左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一位.，求下列各式的值.（1）（2）（3）（4注意: 被开方数平方根移动的位数与方向.第一: 小数点是同向移动；第二: 被开方数移动的位数是平方根移动的位数的2倍.例3 用移位法求立方根被开方数的小数点向右（或左）移动 位，它的立方根的小数点相应地向右（向左）移动位.若的值..巩固练习一、填空1.把下列各数分别填到相应的数集里边，，，0整数集合 { …}；无理数集合{ …}；有理数集合{…}；2．如果，那么x ＝_______；如果，那么_______．2.236≈7.071≈≈≈≈≈3333330029.0290002906619.029.0072.329426.19.2，，，求，，-≈≈≈-523π3.141-1-9=x 92=x =x3．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_______．4．算术平方根等于它本身的数有______，立方根等于本身的数有______．5.，若.6．的平方根是_____， 的算术平方根是 ．7．若一个正数的平方根是和，则a =，这个正数是．8．的最小值是_______，此时的取值是_______．二、选择题1. 下列说法正确的个数是（）（1）无理数都是实数 （2）实数都是无理数（3）无限小数都是有理数（4）带根号的数都是无理数（5）除了之外不带根号的数都是有理数. A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若，则（ ）A.B.C.D. 3．的值是（ ） A ．B ．3C ．D ．94．设、为实数，且，则的值是（ ）A ．1B ．9C ．4D ．55．如果有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36. 若能开偶次方，则的取值范围是（ ）A ．B.C.D. x ==则,x x =-=则81210-12-a 2+-a 21++a a π2x a =0x >0x ≥0a >0a ≥2)3(-3-9-x y 554-+-+=x x y y x -53-x 5x -x 0x ≥5x >5x ≥5x ≤7. 若为正整数,则等于（）A ．－1B.1C.±1D.8. 若正数的算术平方根比它本身大，则（ ）A.B.C.D. 自我测试一、填空1. 把下列各数分别填到相应的数集里边，，－3.1415926927，，，，，1.732，有理数{ …}无理数{ …}非负实数{…}2.= ，=.3.的立方根是 .4.－0.001的立方根是 ；－1的9次方根是.5.；=.二、选择题 1.（）A. 9B. ±3C. 3D. －32. 下列计算正确的是（ ）A.B.C.D.n 221n +a 01a <<0a >1a <1a >2π10372-0.2010010001- ()332-()337-641-()=-553363）（-=2=-3=±2=3. 下列各数中，没有平方根的是（）A．－2 B. 0 C. D. 4．下列实数，，，，中无理数有（ ）A．个B．个C．个D．个5．下列各式中，无论取何实数，都没有意义的是（ ）A BCD6．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）A．与B．与C．D．三、计算1、求值（1）的平方根（2）（3）（4）（5）的平方根（6）（7）（8）的立方根13317π- 3.14159212345x2--4-491440.0036641-（9）（10） 2、解方程（1）（2）（3） ；（4）.实数的运算课时目标1. 学习将无理数用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点的对应关系；2. 会求无理数的绝对值、相反数和倒数，会对实数进行大小比较；3. 理解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍适用，能够熟练进行实数的四则运算，并按要求进行化简；4. 进一步认识近似数与有效数学的概念，能够按要求对结果取近似数.知识精要1. 点和实数的关系数轴上的点与实数是一一对应关系.2. 绝对值的定义实数a 的绝对值就是数轴上表示实数a 的点与原点之间的距离.记作.()次方根的531277⎪⎭⎫⎝⎛-()次方根的421.12-272=x 0183=-x ()2512=-x ()016223=++x a则： 3. 相反数的定义绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 非零实数a 的相反数是－a ，0的相反数是0.4. 倒数的定义乘积为1的两个数互为倒数.任意非零实数a 的倒数是，0没有倒数.5. 两数大小的比较（1）正数大于0，负数小于0；（2）两个正数比较大小，绝对值大的比较大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；（3）从数轴上看，右边的数总比左边的大.6. 数轴上两点的距离公式在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，则距离AB=.7. 实数的四则运算有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立，运算顺序：先乘方，开方，再乘除，最后加减. 同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号里.8. 实数的运算法则（1） （2）9. 准确数和近似数准确数：完全符合实际地表示一个量多少的数.近似数（或近似值）：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.精确度：对近似数与准确数的接近程度的要求，叫做精确度.10．有效数字对于一个近似数，从左边第一个非零的数字起，往右到末位数字为止的所有⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a a1b a -)0()(≥+=+c c b a c b c a )0,0(≥≥⋅=b a b a ab )0,0(>≥=b a ba b a数字，叫做这个近似数的有效数字.热身练习1．求下列各数的相反数，倒数和绝对值.（1）（2（32. 已知为两个连续整数，且，则 .3. 一个正数的平方是3，这个数的准确数是 ；近似数（精确到千分位）是 ；近似数的有效数字有 位，有效数字是.4. 计算（1= （2（3）= （4） （5（6（7）（8） （9）（10（11）（1234-,a b a b <<a b +======+-=--(5-6(（13）5. 用四舍五入法,按括号内的要求对下列数取近似值.(1)0.008435(保留三个有效数字) ≈ (2)12.975(精确到百分位) ≈ (3)548203(精确到千位) ≈ (4)5365573(保留四个有效数字) ≈精解名题例1 比较大小1.（近似值法）比较的大小2.与3.（求差法）比较与（）的大小.222222513683)4(--++--52+ 2.11+2+a 1a01a <<例2 已知数轴上A,B,C 三点表示的数分别是，求A 与B ，A 与C两点之间的距离.例3 已知，化简下列各式：（1）； （2）例4巩固练习一 选择题1的平方根是（ ）A ．±7B ．－7C ． D2．下列各式计算正确的是（ ）A=±2B =±2C－1D ．3．下列各组数中，互为相反数的一组是（）A ．－2B ．－211.2,3-13x <<3131x x x x --+--13x x-+-1+C ．－2与－D ．│－2│与24x －3=0，则x 的取值范围是（ ）A ．x >3B ．x <3C ．x ≥3D ．x≤35．下列计算正确的是（）A ．B ．C D 6. 下列式子，正确的是（ ）A.B. C.D. 7.计算的结果是（ ）A ． B ．C ．D ．8. ，的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69. aa 的大小关系是（ ）Aa B ≥aC ≤aD a二、计算题1. 化简（1）（2）（a <b <c ）（3）（4）的大小120(2)0-=239-=-3==3+=1)1-=122-=-2222()x xy y x y +-=-29328+-22-2222232a =+2b =-12--a b b c c a -+---0,0)a b a ab --+<<2. 计算（1（2）（3）（4）（5）（6）3. 解方程（1）（2） 三、解答题1. 在数轴上分别标出所对应的点的大致位置，并用“<”把这些数连接起来.++12+--3)138)(138(-+)625()23(2-+20(5(5⨯++-()27183=-x ()0481232=-+x 12.4,1,4-2.和的两个点之间有几个点表示整数？3. 实数a在数轴上所对应的点是P ，化简代数式.4. 在数轴上表示的点分别是A,B ，点B 关于点A 的对称点C，求点C 所对应的实数.自我测试一、选择题1.的平方根是（）A 、B 、C 、D 、2. 下列运算正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、3. 若、为实数，且，则的值为 （）A 、B 、C 、或D 、4. 下列说法错误的是（ ）A 、是2的平方根B、两个无理数的和，差，积，商不一定是无理数12a a +++x 2)5(-5±55-5±3311--=-3333=-3311-=-3311-=-a b 471122++-+-=a a a b b a +1±5±3552－2C 、 无限小数是无理数D 、—27的立方根是—35. 若，且，则的值为 （ ）A 、B 、C 、D 、6. 判断下列说法正确的个数是（ ）(1)无限小数都是无理数;(2)无理数都是无限小数;(3)正实数包括正有理数和正无理数；(4)实数可以分为正实数和负实数两类.A 、 1个B 、 2个C 、3个D 、 4个7. 下列等式正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、二、填空题1．比较大小：－7－2=0，那么x=，y =．3. 上海市统计局公布去年我市各级各类学校在校生约为625900人，用科学记数法表示为人（保留两个有效数字）.4．若a ，小数部分是b ，则a －b=．5．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简a +│a +b │－│b －c │=．6. 已知，则= .7. 若则x = .8. 若 则x = .三、解答题1.计算（1（2）9,422==b a 0<abb a -2-5±55-864-=-()222=-()662=--636±=3y =+x y 2163610x -=38(3)27x --=)1112-⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）（4）2. 对下列各数按括号中的要求取近似数.（1）4.0056（保留三个有效数字）≈ （2）9.23456（精确到0.0001）≈（3）5678999（精确到万位）≈ （4）5678999（保留两个有效数字）≈3. ，求的值.4. 求值（1）（）（）（2）-11(1)52-⎛⎫π-+-+- ⎪⎝⎭0)(324100=++-+-+z y x z y x z y x ++235+-235--22)32()32(-++分数指数幂课时目标1. 理解分数指数幂的意义，会进行方根和分数指数幂间的转化；2. 理解有理数数指数幂的运算性质，并能熟练应用于计算；知识精要1. 分数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，规定：，其中m ，n 为正整数，.和叫做分数指数幂，是底数.注：当与互素时，如果为奇数，那么分数指数幂中的底数可为负数.2. 有理数指数幂整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.3. 有理数指数幂运算性质设，为有理数，那么 （1）， （2） （3）4. 分数指数幂的运算（1）应用幂的运算性质进行分数指数幂的运算.（2）将方根化成幂的形式后能运用幂的性质，可使运算简便，所得结果中如有分数指数幂一般应化为方根.(0)m na a =≥m na-=(0)a >1n >m na m na-a m n n a 0,0a b >>,p q ()p q pq a a =p q p q a a a -÷=()p q pqa a =(),()ppppp pa a ab a a b b==热身练习1.把下列方根化为幂的形式（1（2）（3（4）（5（6说明：根据（）进行求解，但要记住：当是偶数时，若，则没有意义.2.计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.计算（1） （2） （3）1na =0a ≥n 0a <131()27-238()27121()16-0.57(1912(32)3121)64(138()2721331010⨯112228⨯（4） （5）4.利用幂的运算性质运算：（1（2（3精解名题例1 计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）111362a a a ÷ 211055(25)⨯43555÷⋅251232)3(32)27(2-+---643321648⋅÷⋅1243aaa a ⋅⋅05321)15(125259(+---34141331064.028|48|÷⨯--（7）（8）（9）（10）例2 ，求的值.例3 例4 .例5 化简4141241)21()41()21(+⋅+⋅-a a a )4()2(3312161326561y x y x y x ⨯-÷212131])27[()3(6427(-+----22121])32()32[(--++94,24==βαβα2122-）（，求下列各式的值已知121211:3--+=+x x xx ）（222-+x x 的值，求已知32131313133124---++⨯⨯=a a aa ab c备选例题例1 已知，求下列各式的值：（1）；（2）.例2 已知，求的值.例3 已知：，化简.巩固练习1.用幂的形式表示下列各数（1）13x x -+=1122x x -+3322x x -+210(0)xaa =>x xxxa a a a--+-01522≤--x x 25109622+--++x x x x 635-323-（2）2. 计算（1）（2（3） （4）3. 化简(3)(4)自我测试一、选择3m na 2-127+-n 1320.83211[0.125(32](234----+÷211 1.53424910.000127()(649---+-+1431333422560.06416((2)25----+++0)a >11112424(23)(23)ab ab --+-+2112211233333333a b a b a a b ba ab b+-+-+++1、下列运算中，正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、2、下列根式与分数指数幂的互化中．正确的是（ ）A 、 BC 、D 、3、式子化简正确的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、4、的值等于（ ）A 、B 、C 、D 、二、填空1、化简：（1）．（2） ．（3．2化为分数指数幂的形式为．3、=．4、若，则的值是．5、已知，则的值为 ．6、若，则x = ．5552a a a ⋅=56a a a +=5525a a a ⋅=5315()a a -=-12()(0)x x =->13(0)y y =<340)xx -=>130)x x -=≠a 111144a b 111142a 114a 114b 3216842111111(1)(1)(1222222++++++64112-63122-651122-32314(1)2-131121373222[()()()]ab ab b ---⋅⋅⋅=21131133344()()x y z x y z ---⋅⋅⋅⋅⋅=)0a >=(1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦11225x x-+=21x x +103,102mn==3210m n -1312x-=7、 ．8、若，则 ．9、 ．10、．三、计算（1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7） （8）四、化简（1） （2）113366()0,||a a a a <+=设则化简（）103,104x y ==10x y -=259,a a -==若则2-=213255⨯6631÷366⨯43)22(⨯4132)8(-6133)412(⨯312121)9121(-3723÷11112244()()x y x y -÷-211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-（3）★（4）．★五、解答题1、计算： ．2、已知，求的值.3、已知，求的值.)31()3()(656131212132a a b a b a ÷⋅-⋅1111124242(1)(1)(1)x x x x x x -+++-+407407-++11223x x-+=22332223x x x x--+-+-12,9,x y xy x y +==<11221122x y x y-+4、已知，求的值.相交线与平行线课时目标1. 理解对顶角和邻补角的概念和性质；2. 理解垂线、垂线段的概念以及垂线段的性质，体会点到直线距离的意义；3. 理解三线八角的概念，明确这八个角之间没有确定的数量关系；4. 理解垂直公理和平行公理，以及平行公理的推论,会进行简单说理.知识精要1.对顶角和邻补角定义（1）互为邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.（2）互为对顶角：两个角有一个公共点，并且一个角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角.2.对顶角的性质：对顶角相等.3.垂线与斜线（1）夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角.（2）斜线：如果两条直线的夹角为锐角，那么就说这两条直线互相斜交，其中一条直线叫做另一条直线的斜线.（3）垂直：如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.（4）垂直公理：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（5）垂直平分线（中垂线）：过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条122+=nann nn aa a a --++33DC A线段的垂直平分线.4.点到直线的距离（1） 垂线段的性质：联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.（2）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.5.同位角，内错角，同旁内角（三线八角） 若直线a ,b 被直线所截：（1）同位角（F ）：两个角都在截线的同旁，又分别处在直线a ,b 相同一侧的位置，具有这样位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角（Z ）：两个角在截线的两旁，又在直线a ,b 之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（3）同旁内角（U ）：两个角在截线的同旁，并且这两个角在直线a ,b 之间，具有这样位置关系的一对角叫同旁内角. 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系.5. 平行线: 同一平面内不相交的两条直线叫平行线.6. 平行公理：在平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.热身练习一、填空题1. 同一平面上的任意三条直线，可以有个交点.2. 在同一平面内，两条直线（不重合）的位置关系只有两种，即 .3. 经过直线外一点，4. 5. 6O ，OE ⊥AB ，l l l l ∠a bl12345678(6题图) (7题图)7. 如图，与是同位角的角有个，与是同旁内角的有个.8. 如图，如果与∠1是同位角的角有 个，与成内错角的角的个数为个.(8题图) (9题图) (10题图)9. 如图，写出一个可以使AB ⊥CD 成立的条件.10. 如图，AB ⊥CD ，垂足为C ，AC=4，BC=3,那么点A 与BD 的距离为.(11题图)(12题图)11. 如图，,,那么CDAB.12. 如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，垂足为O ，CD=5厘米，则点D 到直线AB 的距离是 厘米.二、判断题1．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 （ ）2．两条直线不相交则平行（ ）3．与已知直线垂直的直线有且只有一条 （ ）4．与已知直线平行的直线有且只有一条（ ）1∠1∠1∠FCBBADAC A090ACB ∠=12∠=∠CDBA5．在平面内，经过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 （ ）6．经过一点与已知直线平行的直线有且只有一条（ ）三、选择题1. 已知，如图（1）直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角是 （ ）A ．∠AMFB ．∠BMFC ．∠ENCD ．∠END2. 如果AB ，CD 分别是直线的垂线段和斜线段B ，D 分别为垂足和斜足，那么AB 和CD 的大小关系是（）A. AB>CDB. AB=CDC. AB=CDD. 以上三种情况都有可能3. 点A 到直线的距离是指（ ）A. 过点A 垂直于的垂线B. 过点A 垂直于的垂线的长度 C ．过点A 垂直于的垂线段D. 过点A 垂直于的垂线段的长度4. 两条直线a ,b 被直线所截，在形成的八个角中，如果与是同位角，与是内错角，那么与是（）A. 同位角B. 同旁内角C. 邻补角D. 对顶角精解名题例1 l l l l l ll 1∠2∠1∠3∠2∠3∠cba例2 在下左图所标出的七个角中，（1）哪些是直线AB 和CD 被直线AD 所截得的内错角？ （2）哪些是直线AC 和BD 被直线AD 所截得的内错角？ （3）哪些是直线AB 和AD 被直线BD 所截得同位角？ （4）哪些是直线AD 和CD 被直线AC 所截得的同旁内角？例3 在上右图中，直线a 与b 被直线c 所截，直线b 与c 被直线a 所截，直线c 与a 又被直线b 所截，则：（1）与 是直线a 所截得的一对同旁内角，与是另一对同旁内角.（2）与，与是直线b 所截得的 角.（3）∠5 与∠12 ，与是直线c 所截得的角.1∠10∠4∠11∠（4）与，与是直线a 所截得的 角.（5）直线b 所截得的同位角是.（6）与是直线与 被直线 所截得的同位角.例4 如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ，∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．例5 如图，与是邻补角，OD 、OE 分别是与的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．（即邻补角的平分线互相垂直）巩固练习1. 如图，与是直线 、 直线 所截而成的角.4∠6∠3∠7∠AOC ∠BOC ∠AOC ∠BOC ∠1∠2∠DCODBA2. 如图，OD ⊥OC ，且，那么= 度，= 度.(1题图) (2题图)3. 如图，和是内错角，这是直线 和 被直线 所截得的；和是直线和被直线所截得的同旁内角；直线AB 和CD 被直线AC 所截得的内错角是.(3题图) (4题图)4. 如图，∠ACD ＝120°,∠ECD ＝128°,CG 平分,那么=度.5. 如图，与构成内错角的有 ，与构成同位角的有.(5题图) (6题图)6.如图，下列说法中，正确的是（ ）A .和是内错角 B. 和是同位角 C. 和∠1是内错角 D. ∠5和同旁内角7.）A. ABB. CD 2:13:2∠∠=1∠3∠1∠4∠3∠4∠CACE ∠ACG ∠1∠2∠3∠4∠1∠4∠5∠6∠CB DGE FA35261412C. 和直线AB 相交且过A 点的直线是AB 的中垂线D. 和线段AB 相交且成90度的直线是AB 的中垂线8. 如图，已知OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，比大，.则的度数为.(8题图) (9题图)9. 如图，OC 平分∠AOB ，∠AOD=2∠BOD ，∠COD=28°，则∠AOC 为.10. 如图，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC=120°，求∠BOD 、∠AOE 的度数.11. 如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OB 平分∠DOF ，∠COF=∠BOD.求∠AOC 、∠EOD 、∠COE 的度数.BOC ∠AOC ∠︒20BOD ∠B74ODBCAAB自我测试1、判断下列语句的正确与否（1）两个角开口相反，所以他们是对顶角（ ）（2）∠A 与∠B 互为邻补角，所以他们相等（ ）（3）∠1和∠2相等，并且他们有一条边在同一直线上，那么∠1=∠2=90°（ ）（4）两条不相交的直线，一定不会垂直（ ）（5）经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直（ ）（6）同一平面内，经过确定的一点，到已知直线距离相等的直线只有一条（ ）（7）同一平面内，点到直线的各条线段中，垂线段最短（ ）（8）邻补角和对顶角的共同特点是，都有一个公共顶点（ ）（9）对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角（ ）（10）邻补角一定是补角，补角不一定是邻补角（ ）2、如图所示AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，FO ⊥CD 于O ，∠EOD 与∠FOB 的大小关系是（ ）A ．∠EOD 比∠FOB 大 B ．∠EOD 比∠FOB 小C ．∠EOD 与∠FOB 相等D ．∠EOD 与∠FOB 大小关系不确定3、下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（）ABCD4、如图，OD ⊥OC ，且，那么= ，=.121212122:13:2∠∠=1∠3∠5、如图5，直线a ，b 相交，∠1=40°，则∠2= ,∠3= ,∠4=.6、如图6，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是 ，∠COF的邻补角是，若∠AOE=30°，那么∠BOE=，∠BOF= .7、如图7，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=.8、如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，C ，D 是分别位于公路AB 两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB 上点M 的位置时，距离加油站C 最近；行驶到点N 的位置时，距离加油站D 最近，请在图中的公路上分别画出点M ，N 的位置并说明理由．9、如图所示，有一个破损的扇形零件， 利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是多少度吗？你的根据是什么？ODBAba4321图5FEOD CB A图6FEOD C B A图7平行线的判定和性质课时目标1. 理解平行线的判定定理，并熟练应用于说理证明；2. 理解平行线的性质定理，并熟练应用于说理证明；3. 会用尺规作图法画已知直线的平行线和垂线.知识精要1. 平行线的判定（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简记为：同位角相等，两直线平行.（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简记为：内错角相等，两直线平行.（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简记为：同旁内角互补，两直线平行.（4）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）.（5）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.2. 平行线的性质（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等.（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等.（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补相等.BCA3.平行线的距离两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离. 平行线间的距离处处相等.热身练习1. 如图，△ABC 中DE 垂直于AC 与E ，∠ACB=90°，求证：DE ∥BC.2. 如图，∠2=120°，∠1=65°，∠3=55°，直线AB 与CD 平行吗？为什么？3. 如图， ∠B=∠C ，∠A=∠D ，证明：AE//DFBCDAA4. 如图，∠ABE=∠E+∠D ，证明：AB//CD5. 已知∠EDC+∠B=180°，∠EDC=∠A ，求证：AE//BC.6. （1）在四边形ABCD 中，与是内错角，与相等吗？ （2）若AB ∥CD ，AD ∥BC ，试说明和，∠A 和∠C 的关系.1∠2∠1∠2∠1∠2∠C 精解名题例1 已知AB∥CD，(1) 如图1，与相等吗？为什么？(2) 将图1改为图2，、间的关系如何？为什么？(3) 将图1改为图3，、、间的关系如何？为什么？例2如图所示，AB∥CD∥GH∥EF，BC ∥FG∥DE∥HI.与∠H相等吗？为什么？EBD图2CAAC图1DBCFEA图3BB D∠+∠BED∠B∠D∠E∠B∠D∠E∠F∠B∠BcC E例3 已知直线a，b，c被d所截，例4如图，∠A=40°，∠C=∠ABC=30°，∠E=∠ADE-100°013,34180∠=∠∠+∠=巩固练习1．如图5-1，MN ⊥AB ，垂足为M 点，MN 交CD 于N ，过M 点作MG ⊥CD ，垂足为G ，EF 过点N 点，且EF ∥AB ，交MG 于H 点，其中线段GM 的长度是点 到直线的距离， 线段MN 的长度是点到直线的距离，又是平行线 和 间的距离，点N 到直线MG 的距离是．2. 如图5-2，AD ∥BC ，EF ∥BC ，BD 平分∠ABC ，则与∠ADO 相等的角有．3．a 、b 、c 是直线，且a ∥b ， b ⊥c ， 则a c ； a 、b 、c 是直线，且a ∥b ， b ∥c ， 则a c ； a 、b 、c 是直线，且a ⊥b ， b ⊥c ， 则ac .4．如图5-4，直线AB 、CD 、EF 相交于同一点O ，而且∠B O C=∠AOC ，∠DOF =∠AOD ，那么∠FOC = 度．2313G H NMFEDC BAFEODCBA图5-1 图5-2b al12BA2.5. 如图5-5，直线a 、b 被c 所截，a ⊥l 于M ，b ⊥l 于N ，∠1=66°，则∠2=．6．下列说法中，正确的是（ ）A ．两直线不相交则平行B ．若两线段平行，那么它们不相交C ．两直线不平行则相交D ．两条线段不相交，那么它们平行7．在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．下列说法中，错误的有（）①若a 与c 相交，b 与c 相交，则a 与b 相交；②若a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④.A ．3个B ．2个C ．1个9．如图，过P 点，画出OA 、OB 的垂线．10．如图，是一条河，C 河边AB 外一点：（1）过点C 要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．（2）现欲用水管从河边AB ，将水引到C 处，请在图上测量并计算出水管至少要多少?（本图比例尺为1：2000）NMFE DCBA11．如图，AB ⊥BD ，CD ⊥MN ，垂足分别是B 、D 点，∠FDC =∠EBA ．（1）判断CD 与AB 的位置关系；（2）BE 与DF 平行吗?为什么?自我测试一、选择题1．若a ⊥b ，c ⊥b 则a 与c 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对2．如图2，∠ADE 和∠CED 是（）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．互为补角3．如图3，，则（ ）A ．B ．C ．D ． l l 1211052140//，，∠=∠= ∠=α556065704．如图4，能与构成同旁内角的角有（ ）A ． 5个B ．4个C ． 3个D ． 2个5．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角是（ ）A ．B ． 都是C ． 或D ． 以上都不对6．如图6，a ∥b ，∠1与∠2互余，∠3=1150，则∠4等于（ ）A ．115０B ． 155０C ． 135０D ．125０7．如图7，∠1=15０ ， ∠AOC =90０，点B 、O 、D 在同一直线上，则∠2的度数为（ ）A ．75０B ．15０C ．105０D ． 165０8．如图8，能表示点到直线（或线段）距离的线段有（）A ． 2条B ．3条C ．4条D ．5条9．下列语句错误的是（）A ．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离B ．两条直线平行，同旁内角互补∠α30 42138、10 42138 、4210、图3图6 图7 图8O µÚ£¨19£©ÌâDCBA2187654321DCBA图12C ．若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，则这两个角为邻补角D ．平移变换中，各组对应点连成两线段平行且相10. 下列与垂直相交的写法：①平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直； ③平面内， 一条直线不可能与两条相交直线都垂直；其中说法正确个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个11．如图11，已知，等于（ ）A ．B ．C ．D ．图1112．如图12，如果AB ∥CD ，那么图中相等的内错角是（ ）A ．∠1与∠5，∠2与∠6；B ．∠3与∠7，∠4与∠8；C ．∠5与∠1，∠4与∠8；D ．∠2与∠6，∠7与∠313．下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（）A ．①、②是正确的命题B ．②、③是正确命题C ．①、③是正确命题D ．以上结论皆错三、解答题AB CD //∠α7580 85 95AB 120°α25°C DFE21DCBAC EG1．如图，∠1+∠2=180°，∠A =∠C. （1）AE 与FC 会平行吗?说明理由．（2）AD 与BC 的位置关系如何?为什么?2．如图，已知：E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、A =D ，1=2，求证：B =C ．平行线的补充练习精解名题例1 已知DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∠DEH=∠GFC ，求证：EH ∥AC.例2 如图，已知AB ∥CD ，∠B+∠BED+∠D=192°，∠BEF=∠BED ，求∠FED 的度数.∠∠∠∠∠∠13。
1、平面上两条不重合直线的位置关系 相交：两条直线有一个交点；平行：两条直线没有交点．2、邻补角的意义两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 3、邻补角的性质 互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．【例1】 如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对邻补角，并把他们写出来．邻补角、对顶角及垂线知识结构模块一 邻补角的意义和性质例题解析知识精讲ABC DEFOOE DCBA 【例2】 判断：（1）平面内两条直线的位置关系，不是相交就是平行； （ ） （2）平面内两条直线有交点，则这两条直线相交； （ ） （3）有一条边是公共边的两个角互为邻补角．（） （4）有两个角互为补角，并且有一条公共边，那么他们互为邻补角．（ ）【例3】 如图，∠AOD 的邻补角是______________．【例4】 如图，OC 平分∠AOB ，∠AOD =2∠BOD ，∠COD =28°，求∠AOC 的大小．【例5】 如图，直线a 、b 相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数．【例6】 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC=120°，求∠BOD ，∠AOE 的度数．【例7】 同一平面上的任意三条直线，可以有________________个交点．ABCDEFOab12 34ABC D O1、对顶角的意义：两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角． 2、对顶角的性质： 对顶角相等．【例8】 下列说法中，正确的是()A ． 有公共的顶点，且方向相反的两个角是对顶角B ． 有公共顶点，且又相等的两个角是对顶角C ． 由两条直线相交所成的角是对顶角D ． 角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角【例9】 如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对对顶角，并 把他们写出来．【例10】 下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A. B. C. D.12121212例题解析知识精讲模块二 对顶角的意义和性质ABC DEFO【例11】判断：（1）有公共顶点，且度数相等的两个角是对顶角．（）（2）相等的两个角是对顶角．（）【例12】若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3=60°，那么∠1=__________．若∠1与∠2是对顶角，且∠1与∠2互余，则∠1=__________，∠2=__________．【例13】如图，直线AB、CD交于点O，则（1）若∠1+∠3=68°，则∠1=__________．（2）若∠2 : ∠3=4 : 1，则∠2=__________．（3）若∠2 -∠1=100°，则∠3=__________．【例14】如图（1）所示，两条直线AB与CD相交有几对对顶角？（2）如图（2）所示，三条直线AB、CD、EF相交有几对对顶角？（3）试猜想n条直线相交于一点会有多少对对顶角？32 1O D BC A1、垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2、垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：CD AB ，读作“AB 垂直于CD ”．注：垂直是特殊的相交．3、垂直公理：在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直 4、中垂线过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．5、垂线段的性质联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线l 上，那么就说这个点到直线l 的距离为零．【例15】 判断：（1）经过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直． （ ） （2）两条直线的交点叫垂足． （ ） （3）线段和射线没有垂线．（ ） （4）两条直线不是平行就是互相垂直．（） （5）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离． （ ）例题解析知识精讲模块三 垂线(段)的意义和性质AB CD 【例16】 如图，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，那么点B 到线段CD 的距离是线段__________的长度；线段CD 的长度是点C 到线段________的距离；线段AC 是点________到线段_______的距离．【例17】 下列选项中，哪个是直线l 的垂线（ ）【例18】 如图，AC BC ⊥，垂足为C ，AC =4，BC =3，那么点A 与BC 的距离为______．【例19】 如图，直线AB ，CD 交于点O ，OE ⊥AB ，:1:2AOC COE ∠∠=，则 COE ∠=_________．【例20】 如图，已知OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，BOC ∠比AOC ∠大20︒，则BOD ∠的 度数为_______．ABC DEOABCDllllABCDOC【例21】 如图，一棵小树生长时与地面成80°角，它的主根深入泥土，如果主根和小树在同一条直线上，那么∠2等于多少度?【例22】 如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OB 平分∠DOF ，∠COF =47∠BOD ．求∠AOC 、∠EOD 、∠COE 的度数．【例23】 如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．【例24】 下列结论不正确的是()A ．互为邻补角的两个角的平分线所成的角为90°B ．相等的两个角是对顶角C ．两直线相交，若有一个夹角为90°，则这四个角中任取两个角都互为补角D ．同角的余角相等例题解析模块四 综合运用ABCD E FOABCD EO【例25】 如图，AB 与CD 为直线，图中共有对顶角()．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【例26】 如图所示，已知AB 、CD 相交于O 点，OE ⊥AB ，∠EOC =28°，则∠AOD =_______．【例27】 如图，直线AD 和BE 相交于O 点，OC ⊥AD ，∠COE =70°，求∠AOB 的度数．【例28】 如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ， ∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．【例29】 已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE 的度数．【例30】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，且∠AOC =∠AOD －80°，A BCD EFABCDEOABCDEFGOA BCDE O A B CD E F12 O3F E ODCBAFEOD C B AOE DC BA 求∠AOE 的度数．【习题1】 下列语句中正确的是（）A ．过直线AB 的中点且和AB 垂直的直线叫做中垂线 B ．过线段CD 的中点且和CD 垂直的直线叫做CD 的中垂线C ．和直线AB 相交且过A 点的直线是AB 的中垂线D ．和线段AB 相交且成90度的直线是AB 的中垂线【习题2】 如图，直线a ，b 相交，∠1=40°，则∠2=_______，∠3=_______，∠4=_______．【习题3】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE =30°，那么∠BOE =_______，∠BOF =_______【习题4】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE =90°，∠AOC =30°，∠FOB =90°，则∠EOF =________．【习题5】 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠随堂检测ABC DE Oa b1234AOC =120°，求∠BOD ，∠AOE 的度数．【习题6】 如图所示，直线a ，b ，c 两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数．【习题7】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOE =40°，∠BOC =2∠AOC ，求∠DOF ．【习题8】 如图，已知∠2与∠BOD 是邻补角，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2∶∠1=4∶1，求∠AOF 的度数．【习题9】 已知点O 是直线AB 上一点，OC ，OD 是两条射线，且∠AOC =∠BOD ，则∠AOC与∠BOD 是对顶角吗?为什么?ABCD EF OABC DE F 2 1Ob a c2314课后作业【作业1】判断：（1）两个角开口相反且有公共点，则他们是对顶角（）（2）∠A与∠B互为邻补角，所以他们相等（）（3）∠1和∠2相等，并且他们有一条边在同一直线上，那么∠1=∠2=90°（）（4）同一平面内，两条不相交的直线，一定不会垂直（）（5）经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直（）（6）同一平面内，点到直线的各条线段中，垂线段最短（）（7）邻补角一定是补角，补角不一定是邻补角（）【作业2】如图所示AB，CD相交于点O，EO⊥AB于O，FO⊥CD于O，∠EOD与∠FOB的大小关系是（）A．∠EOD比∠FOB大B．∠EOD比∠FOB小C．∠EOD与∠FOB相等D．∠EOD与∠FOB大小关系不确定【作业3】如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB 两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置并说明理由．【作业4】如图，AOB为直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分∠COB．（1）求∠AOC 的度数；（2）判断AB 与OC 的位置关系．【作业5】 若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为_________度．【作业6】 作图：已知线段AB 及线段外一点P ．（1） 过点P 作线段AB 的垂线； （2） 画线段AB 的垂直平分线．【作业7】 如图所示，这是某位同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少?（比例尺为1:100）【作业8】 如图所示，直线、b 、c 相交，∠1=60°，∠2=23∠4，求∠3、∠5的度数．【作业9】 如图，OD ⊥OC ，且2:13:2∠∠=，那么1∠=________，3∠=_______．a bc1 2 34 5 ABCDO123 A BP起跳线【作业10】 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，DOB ∠是它的余角的2倍，2AOE DOF ∠=∠，且有OG OA ⊥，求EOG ∠的度数．ABCDE FGO。
第5讲邻补角、对顶角及垂直（练习）夯实基础1.下列语句中正确的是（）A．有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角B．互为邻补角的两个角不等C．两边互为反向延长线的两个角是对顶角D．交于一点的三条直线形成3对对顶角【难度】★【答案】C【解析】A错误，另一边互为反向延长线；B错误，不一定，有可能相等；D错误，6对．【总结】考察邻补角，对顶角的内容．2.直线AB上有一点P和此直线外的一点Q的距离为3cm，则Q到直线AB的距离（）A．等于3cm B．大于或等于3cmC．小于或等于3cm D．都不对【难度】★【答案】C【解析】考察点到直线的距离的知识点及其运用．⊥，垂足为O．若3．（2018·上海松江区·七年级期中）如图，已知BO DE∠=︒，则AODBOC42∠=_______︒．【答案】48【分析】先根据垂直求得BOC ∠的余角EOC ∠的度数，再根据对顶角相等即可得出答案．【详解】,42BO DE BOC ⊥∠=︒90904248EOC BOC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒48AOD EOC ∴∠=∠=︒故答案为：48．【点睛】本题考查了余角、对顶角的计算，熟练掌握余角和对顶角的定义是解题的关键．4．（2018·上海松江区·七年级期中）如图，已知直线,a b 相交，12280∠+∠=︒，则1∠=_______︒．【答案】140【分析】根据对顶角相等可得12∠=∠，然后求解即可．【详解】12280,12∠+∠=︒∠=∠112801402∴∠=⨯︒=︒ 故答案为：140．【点睛】本题考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．5．（2018·上海杨浦区·七年级期末）已知直线AB 和直线CD 相交于点O ，200AOC BOD ∠+∠=︒，那么这两条直线的夹角等于___________度．【答案】80【分析】如下图，先根据对顶角相等求得∠AOC 的大小，再根据邻补角互补可得∠AOD 的大小，两直线的夹角用小于90°的那个角表示，据此可得夹角大小．【详解】如下图∵200AOC BOD ∠+∠=︒∴∠AOC=∠BOD=100°∴∠AOD=80°故答案为：80【点睛】本题考查对顶角和邻补角的性质，解题关键是绘制出图形，然后才好方便分析求解．6．（2016·上海奉贤区·七年级期中）如图，已知直线AB 、CD 相交于O 点，∠AOC ＋∠BOD ＝80°，那么∠BOC=_____度.【答案】140【分析】本题考查的是对顶角知识，根据∠AOC与∠BOD是对顶角，相等且和为80°解答即可【详解】∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC=∠BOD；又∵∠AOC＋∠BOD＝80°，∴∠AOC=∠BOD=40°，∴∠BOC=180°-∠BOD=180°-40°=140°【点睛】本题的关键是掌握对顶角相等的知识7.直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥AB于O，则图中∠1和∠2的关系是__________．【难度】★【答案】互余．【解析】考察对顶角的性质以及互余的意义及运用．8．（2019·上海七年级单元测试）如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，若∠1+∠2＝90°，∠3＝40°，求∠1的度数，并说明理由．【答案】50°【分析】根据题意已知了∠1与∠2的关系,要求∠1的角度,只要求出∠2的度数即可.观察图形,可得知∠2与∠3是对顶角,而题目中又已知了∠3的角度,计算即可得到∠1的度数. 【详解】解：因为∠2＝∠3(对顶角相等)，∠3＝40°(已知)，所以∠2＝40°(等量代换)．又因为∠1+∠2＝90°(已知)，所以∠1＝90°-∠2＝50°．【点睛】此题考查对顶角、邻补角，解题关键在于掌握其性质定义.能力提升1．（2018·上海金山区·七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠=︒，则直线AB与直线CD的夹角是______︒．BOC135【答案】45【分析】先根据邻补角的定义求出∠AOC，再根据直线的夹角为锐角解答．【详解】解：∵∠BOC=135°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-135°=45°，∴直线AB与直线CD的夹角是45°．故答案为：45．【点睛】本题考查了邻补角的定义，要注意直线的夹角是锐角．2．（2017·上海长宁区·七年级期末）如图，直线AC与直线BD交于点O，∠=∠，那么AOD2AOB BOC∠=______度．【答案】60【分析】直接利用已知结合邻补角的定义得出答案．【详解】∵直线AC 与直线BD 交于点O ，∠AOB=2∠BOC ，∴∠AOB+∠BOC=180°，∴2∠BOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=60°，∴∠AOD=∠BOC=60°．故答案为：60．【点睛】此题考查邻补角以及对顶角，正确得出∠BOC 的度数是解题关键．3．（2018·上海嘉定区·七年级期中）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，135BOC ∠=︒，那么它们的夹角的度数是____.【答案】45︒【分析】根据邻补角和夹角的定义，结合题意即可得到答案.【详解】因为135BOC ∠=︒，BOC ∠和AOC ∠是邻补角，则18013545AOC ∠=︒-︒=︒，则夹角的度数是45︒.【点睛】本题考查邻补角和夹角的定义，解题的关键是掌握邻补角和夹角的定义.4．（2018·上海浦东新区·七年级期中）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，∠AOE=90°,且∠EOD=14∠COE ，∠BOD=__________°.【答案】54°【解析】解：设∠EOD=x，则∠COE=4x，∴x+4x=180°，解得：x=36°．∵∠AOE=90°，∴∠EOB=90°，∴∠BOD=90°－36°=54°．故答案为54．5．（2018·上海普陀区·七年级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，COE∠=___________°.∠=︒，则BOE∠=︒，20140AOD【答案】120分析：观察图形可知∠AOD与∠COB是一对对顶角，根据对顶角相等可得∠COB的度数；结合图中的隐含条件∠BOE=∠COB-∠COE，即可求出∠BOE的度数.详解：∵直线AB、CD相交于点O.∴∠AOD=∠COB=140°.∵∠COE=20°，∠COB=140°，∴∠BOE=∠COB-∠COE=140°-20°=120°.点睛：本题考查了角的运算，关键是观察图形中各角之间的关系.6.从钝角∠AOB的顶点O在∠AOB内引射线OC使OC⊥OA，若∠AOC：∠COB=3：1，求∠AOB的度数．【难度】★★【答案】120︒．【解析】因为OC OA⊥（已知），所以90∠=︒（垂线的意义）AOC因为∠AOC：∠COB=3：1（已知）所以30∠=︒（等式性质）COB所以120∠=︒（等式性质）AOB【总结】考查学生画图能力，并且学会分析题目．7.如图：AO⊥BC于点O，OA平分∠DOE，∠COE=64°，求∠AOD的度数．【难度】★★【答案】26︒．【解析】因为AO BC⊥（已知）所以90∠=︒（垂直的意义）AOC因为64COE∠=︒（已知）所以26∠=︒（等式性质）AOE因为OA平分∠DOE（已知）所以26∠=∠=︒（角平分线的意义）AOD AOEQ P Q P B OAB O A 【总结】考察学生对简单几何题的分析，注意互余，角平分线等概念的理解及运用．8.作图：已知线段AB 上一点Q 及线段外一点P ．（1） 过点Q 作线段AB 的垂线；（2） 过点P 作线段AB 的垂线．【难度】★★【答案】如下图．【解析】注意标注垂直符号，以及字母的标注．【总结】画图一定要写结论．9.（1）用三角尺画一个30°的∠AOB ，在边OA 上任取一点P ，过P 作PQ ⊥OB ，垂足为Q ，量一量OP 的长，你发现点P 到OB 的距离与OP 长的关系吗?（2）若所画的∠AOB 为60°，重复上面的测量，你会发现什么?【难度】★★【答案】（1）12PQ OP =； （2）12PQ OP ≠，12OQ OP =．【解析】画图，测量，猜想结论．【总结】考察学生的作图能力，并且量出相应的长度，从而得出结论．10.如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE=70°，求∠DOG的度数．【难度】★★【答案】55︒．【解析】因为BOF AOE∠=∠（对顶角相等）又70AOE∠=︒（已知）所以70BOF∠=︒（等量代换）因为OG平分∠BOF（已知）所以35FOG BOG∠=∠=︒（角平分线的意义）因为CD EF⊥（已知）所以90EOD FOD∠=∠=︒（垂线的意义）所以903555DOG∠=︒-︒=︒（互余的意义）【总结】考察角平分线，垂线的意义，对顶角的内容等等．11.如图所示，O为直线AB上一点，∠AOC=13∠BOC，OC是∠AOD的平分线（1）求∠DOC的度数；（2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由．【难度】★★【答案】（1）45︒；（2）垂直．【解析】（1）因为180AOC BOC∠+∠=︒（邻补角的意义）又∠AOC=13∠BOC（已知），所以11803BOC BOC∠+∠=︒（等量代换），所以135BOC∠=︒（等式性质），所以45AOC∠=︒（等式性质）因为OC是∠AOD的平分线（已知），所以45AOC DOC∠=∠=︒（角平分线的意义）（2）垂直．因为45AOC DOC∠=∠=︒（已知），所以90AOD∠=︒（等式性质）所以OD AB⊥（垂直的意义）．【总结】本题主要考查邻补角的意义及角平分线的意义的理解及运用．12.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥EF，OG平分∠FOC，OH平分∠DOG，（1）若∠AOC：∠COG=4:7，求∠DOF的度数；（2）若∠AOC：∠DOH=8:29，求∠COH的度数．【难度】★★★【答案】（1）110︒；（2）107.5︒．【解析】（1）因为OG平分∠FOC（已知）所以COG GOF∠=∠（角平分线的意义）因为∠AOC：∠COG=4:7（已知）所以设4COG x∠=，∠=，7AOC x因为AB⊥EF（已知），所以90∠=︒（垂直的意义）AOF即47790x=︒，x x x++=︒，解得：5所以20∠=︒（等式性质）COG∠=︒，35AOC因为180∠+∠=︒（邻补角的意义）COF DOF所以1803535110∠=︒-︒-︒=︒（等式性质）DOF（2）因为OG平分∠FOC（已知）所以COG GOF∠=∠（角平分线的意义）因为∠AOC：∠DOH=8:29（已知）所以设8∠=．∠=，COG xAOC kDOH k∠=，29因为AB⊥EF（已知），所以90AOF ∠=︒（垂直的意义）， 即890k x x ++=︒①因为180DOH GOH COG ∠+∠+∠=︒（平角的意义），即2929180k k x ++=︒②联立①、②，解得：35x =︒，52k =． 所以35GOC ∠=︒，52972.52HOG ∠=⨯=（等式性质） 因为COH COG GOH ∠=∠+∠（角的和差）所以3572.5107.5COH ∠=︒+︒=︒（等式性质）【总结】本题综合性较强，主要考查角平分线意义与邻补角意义的综合运用，解题时注意对题目中的条件认真分析．13.如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，DOB ∠是它的余角的2倍，2AOE DOF ∠=∠，且有OG OA ⊥，求EOG ∠的度数．【难度】★★★【答案】50︒．【解析】因为DOB ∠是它的余角的2倍所以设DOB x ∠=， 则2(90)x x =-， 解得：60x =︒因为AOC BOD ∠=∠（对顶角相等），所以60AOC ∠=︒（等量代换）设DOF y ∠=，则由2AOE DOF ∠=∠，得2AOE y ∠=，因为DOF EOC ∠=∠（对顶角相等）， 所以EOC y ∠=， 即360y =︒．解得：20y =︒， 所以40AOE ∠=︒（等式性质）因为OG OA ⊥（已知）， 所以90AOG ∠=︒（垂直的意义）所以50EOG ∠=︒（等式性质）【总结】主要考察学生对基本知识点的掌握，以及对题目的分析，包括垂线的意义，对顶角的意义，设未知数解方程等等．。
第2讲用数轴表示实数及运算模块一：用数轴上的点表示实数知识精讲1、实数的绝对值、相反数（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．实数a的绝对值记作a．（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．非零实数a的相反数是a．2、两个实数的大小比较两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样．负数小于零；零小于正数．两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能，以下介绍几种常用的方法：1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；2．平方法：将两个数平方，再来判定两个数大小的方法；3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法．4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的a ，b 两数，若11a b <，则a b >；若11a b>，则a b <． 3、数轴上两点之间的距离在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离为AB a b =-．例题解析1.下列各组数中互为相反数的是（ ）A ．2-B ．2-C ．22(与D ．2.）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N3.下列说法正确的是（）A ．一个有理数的绝对值一定大于它本身B ．只有正数的绝对值等于它本身C ．负数的绝对值是它的相反数D ．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数．4.下列四个结论，中正确的是（ ）A .3522<< B .5342<<C .322<< D .514< 5.填空：（1）若m ，n 互为相反数，则5m +5n -5=_________；（2）已知|x |=5，y =3，则x -y =_______________．6.实数m 、n 在数轴上的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（）．A ．n ＜mB ．n 2＜m 2C ．n 0＜m 0D ．| n |＜| m |．7.已知数轴上A 、B 、C 、D 四点所对应的实数分别为－2.5、123．（1）在数轴上描出这四个点的大致位置；（2）求A 与D ，B 与C 两点间的距离． 8.填空：（1）已知数轴上A ，B ，C 三点表示的数分别是-2，2，3，则A 与B ，A 与C 两点之间的距离分别是__________；（2）A 、B 两点在数轴上，点A 对应的数为2，若线段AB 的长为3，则点B 对应的数为________． 9.比较下列各式的大小：① _____2- ；②2________2(；② ；10.（1）已知实数n <m <0，比较m 、|n |、m -n 的大小；（2）如果1a a +，求整数a 的值．11.已知实数a、b在数轴上的位置如图所示：+．a b12（2019·上海全国·七年级单元测试）如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x.(1)求x的值；(2)求(x)2的立方根．13.如图，一辆小车从点A 沿数轴向右直爬2个单位到达点B ，点A 表示，设点B 所表示的数为m（1）求的值；（2）求的值.14.已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2，求2||4321a b m cd m ++-+的值．模块二：实数的运算m 01(6)m m -++知识精讲实数的运算在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：第一组：2(0)a a =≥a =；(00)a b a b =≥≥，00)a b =≥>，． 例题解析1.化简：（1；（2）+（3）2(+（4． 2.填空：（1）2=_____________；（2；（3）1-=__________．3.填空：（1；（2）2=_________．4.填空：（1； （2．5.不用计算器，计算：（1 （2）（3（4）02)( 3.14)π+-．6.化简求值：（1；（2）2(3-；（3；（4）05)．7.计算：（1）3111||(1)255--+； （2）⋅8.如果3()2x -有平方根，且满足|21|6x -=，试求3()2x -的平方根．9.求值：（1（24÷．10.11.计算：（1）| （2）2011(2)2()2---++12.计算：（1）227788⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）((2017201711⋅+；（3）0221)-⨯．13.已知2510x x -+=，求2212x x +-的算术平方根．14.已知x，求6543234x x x x---+-+的值．15．（2019·上海市廊下中学七年级月考）如果规定a bad bcc d=-，（1）求75 38；（2）当(1)(3)2(21)x xx x+--的值为1时，求x的值．16．（2019=_______=_____________=____________，=_________________．(1)(2n1)++-=_____________．(2)102++．17．（2019·上海全国·七年级单元测试）如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积是，边长是；（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．18．（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）对于实数a，我们规定：用符号表=，=3．的最大整数，称为a的根整数，例如：3(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．=，写出满足题意的x的整数值______．(2)若1如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=→=1，这时候结果为1．3(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．随堂检测1.和数轴上的点一一对应的是（）A．整数B．有理数C．无理数D．实数2.（1）1____________；相反数是___________；（2的数是_________；数轴上离原点的距离等于π的是_______．3.求出下列各数的绝对值和相反数：（1）（23；（3；（4）3.15π-．4.比较大小：（1）；（2）-4_______-（311；（4+25.化简求值：-（2）3-（a＜-6）．（1）3π6.如果在数轴上点A表示的数是-2，点B表示的数是2，求数轴上所有到点A，点B的距离为3的点到原点的距离之和．7.实数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示：（1）24b ac-的值是正数还是负数?为什么．（2）化简：||||||||-++---a ab bc a c8.求值：（12)；（22；（3）22)； （4）22．9.计算：（1）22(1(1-+；（2）22(2(2+⨯；（3）（4）22+⋅．10.计算：（1）34+；（207)；（32（4）22⋅．11.已知：1xa =，求22x xx xa a a a ----的值．第2讲用数轴表示实数及运算模块一：用数轴上的点表示实数知识精讲2、实数的绝对值、相反数（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．实数a的绝对值记作a．（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．非零实数a的相反数是a．2、两个实数的大小比较两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样．负数小于零；零小于正数．两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能，以下介绍几种常用的方法：1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；2．平方法：将两个数平方，再来判定两个数大小的方法；3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法．4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的a，b两数，若11a b<，则a b>；若11a b>，则a b<．3、数轴上两点之间的距离在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点之间的距离为AB a b=-．例题解析1.下列各组数中互为相反数的是（）A．2-B．2-C．22(与D．【难度】★【答案】A【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确．【总结】本题考查了实数的性质及相反数的概念．2.）A．点P B．点Q C．点M D．点N【难度】★【答案】C3.87≈，即34<<M．【总结】本题考察实数与数轴上的点的对应关系，应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．3.下列说法正确的是（）A．一个有理数的绝对值一定大于它本身B ．只有正数的绝对值等于它本身C ．负数的绝对值是它的相反数D ．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数．【难度】★ 【答案】C【解析】A 中若这个有理数是0，则它们相等，错误；B 中0的绝对值也等于本身； C 正确；D 中0的相反数也是本身．【总结】本题考查绝对值的性质及其应用，利用举反例进行求解． 4.下列四个结论，中正确的是（ ）A .3522<< B .5342<<C .322<< D .514< 【难度】★ 【答案】D【解析】四个选项都是正数，乘以最简公分母，即可比较． 【总结】本题考查无理数和有理数的大小判断． 5.填空：（1）若m ，n 互为相反数，则5m +5n -5=_________； （2）已知|x |=5，y =3，则x -y =_______________． 【难度】★★【答案】（1）-5 （2）2或-8【解析】（1）m ，n 互为相反数，m +n=0，所以5m +5n -5= -5； （2）x =5或-5，所以2x y -=或8x y -=-．【总结】本题考查相反数和绝对值的知识，注意绝对值的分类讨论． 6.实数m 、n 在数轴上的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（）．A ．n ＜mB ．n 2＜m 2C ．n 0＜m 0D ．| n |＜| m |．【难度】★★ 【答案】A【解析】因为-2＜n ＜-1＜m ＜0，所以B 中n 2＞m 2，C 中n 0=1，m 0=1，相等．【总结】本题考查了实数与数轴上的点之间的一一对应关系及实数的大小比较，比较简单．7.已知数轴上A 、B 、C 、D 四点所对应的实数分别为－2.5、123．（1）在数轴上描出这四个点的大致位置；（2）求A 与D ，B 与C 两点间的距离． 【难度】★★【答案】（1）略； （2）296+【解析】（2）129| 2.52|36AD =--=，|BC ==【总结】本题考查了在数轴上描出实数以及求数轴上两个店的距离方法，首先根据数轴三要素画出数轴，然后在数轴上描出各点，A 、D 两点的距离就是A 点表示的数减去D 点表示的数，然后求它们差的绝对值，同样可求BC 的距离． 8.填空：（1）已知数轴上A ，B ，C 三点表示的数分别是-2，2，3，则A 与B ，A 与C 两点之间的距离分别是__________；（2）A 、B 两点在数轴上，点A 对应的数为2，若线段AB 的长为3，则点B 对应的数为________． 【难度】★★【答案】（1）4，5； （2）1-或5．【解析】（1）224AB =--= ，235AC =--=；（2）分两种讨论，一种是A 向左移动3个单位长度，B 为5，另一种是A 向右移动3个 单位，B 为1-．【总结】本题考查数轴上两点之间距离，及分类讨论． 9.比较下列各式的大小：③ _____2- ；②2________2(；④ ；【难度】★★【答案】（1）= ； （2）= ； （3）< ； （4）＞．【解析】（12-，所以2-= （2）22(=；（3=，=，-（4，【总结】本题考查实数比较大小，常用的方法是作差法和取倒数法． 10.（1）已知实数n <m <0，比较m 、|n |、m -n 的大小；（2）如果1a a +，求整数a 的值．【难度】★★【答案】（1）m m n n <-<； （2）a =2．【解析】（1）n n =-，因为0n <-，所以m m n <-，又因为m ＜0，所以m n n -<-；（2）因为23<，所以a =2．【总结】本题考查数轴上的点比较大小和无理数与整数比较大小． 11.已知实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示：a b +．【难度】★★ 【答案】2a ．【解析】由数轴可得：0a b ->，0a b +<||2a b a b a b a +=-++=．【总结】本题考查了二次根式的化简，得出各项符号是解题关键．12（2019·上海全国·七年级单元测试）如图，数轴的正半轴上有A ，B ，C 三点，表示1A ，B ，点B 到点A 的距离与点C 到点O 的距离相等，设点C 表示的数为x.(1)求x 的值；(2)求(x )2的立方根．【答案】（1）﹣1；（2）1．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB 之间的距离即为x 的值； （2）把x 的值代入所求代数式进行计算即可．【详解】解：（1）∵点A 、B 分别表示1，∴AB1，即x－1； （2）∵x1，∴原式＝(x)2＝1)2＝1，∴(2x 的立方根为1．【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．13.如图，一辆小车从点A 沿数轴向右直爬2个单位到达点B ，点A 表示，设点B 所表示的数为m（1）求的值；（2）求的值.【难度】★★★【答案】（1）2； （2【解析】（1）点B 表示的数比点A 表示的数大2，所以点B表示的数是2；（2）原式112m m =-+=-=【总结】本题主要考察实数运算以及实数与数轴，根据已知得出m 的值是解题关键． 14.已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2，求2||4321a b m cd m ++-+的值．【难度】★★★ 【答案】5或11-．【解析】由题意值：a +b =0，cd =1，m =2或-2，所以原式04235=+⨯-=或 原式04(2)311=+⨯--=-．【总结】本题主要考查倒数，相反数和绝对值的概念及性质，注意分类讨论．m 01(6)m m -++模块二：实数的运算 知识精讲实数的运算在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：第一组：2(0)a a =≥a =；(00)a b a b =≥≥，00)a b =≥>，．例题解析1.化简：（1；（2）+（3）2(+ （4． 【难度】★【答案】（1）1； （2）16； （3）4； （4）0.7． 【解析】（1）原式121=-+=； （2）原式=121236-+=；（3）原式=2+2=4； （4）原式=0.2+0.5=0.7．【总结】本题考察实数的运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2.填空：（1）2=_____________；（2；（3）1-=__________．【难度】★【答案】（1）3； （2）2 ； （3【解析】（1）原式=3； （2）原式2； （3）原式+【总结】本题考察实数的运算，以及有理数的混合运算．3.填空：（1；（2）2=_________．【难度】★【答案】（1）0.3-； （2）20．【解析】（1）原式=70.050.320-=-； （2）原式=22220⨯=． 【总结】本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根及平方运算法则是解题关键． 4.填空：（1；（2．【难度】★【答案】（1）30； （2）4．【解析】（1）原式6530=⨯=； （2）原式4==．【总结】本题考查实数的计算及化简． 5.不用计算器，计算：（1（2）（3（4）02)( 3.14)π+-．【难度】★★【答案】（1）10； （2）-； （3） （4）0．【解析】（1）原式10； （2）原式==-（3）原式= （4）原式3410=-+=．【总结】本题考查了实数的运算，熟练运用相关运算法则． 6.化简求值：（1；（2）2(3-；（3； （4）05)．【难度】★★【答案】（1）3； （2） 17- （31； （4）1．【解析】（1）原式3=； （2）原式=9817+--（3）原式=1|1=； （4）原式=1．【总结】本题考查无理数计算，熟悉各运算公式是解题关键． 7.计算：（1）3111||(1)255--+； （2）⋅【难度】★★【答案】（1）1； （2）30-．【解析】（1）原式=311111025-++=； （2）原式=63630--=-【总结】本题考查无理数的计算及化简．8.如果3()2x-有平方根，且满足|21|6x-=，试求3()2x-的平方根．【难度】★★【答案】2±．【解析】（1）因为32x-有平方根，所以32x-≥，又因为|21|6x-=，所以 2.5x=-，所以3()2x-的平方根是2=±．【总结】本题考查了绝对值的意义和解一元一次方程以及平方根的概念，非负数有平方根，负数没有平方根，一个负数的绝对值是它相反数，0的绝对值是0．9.求值：（1（24÷．【难度】★★【答案】（1）；（2）17．【解析】（1）原式=（2）原式54217÷==．【总结】本题考查无理数的计算，注意简便算法．10.【难度】★★【答案】1．【解析】原式321-=．【总结】本题考查无理数的计算与化简．11.计算：（1）| （2）2011(2)2()2---++【难度】★★★ 【答案】（1）1712； （2）0． 【解析】（1）原式74517331212=-+=； （2）原式=412230-+--=． 【总结】本题考察实数的运算，数值绝对值的性质及数的开方法则，0指数幂的运算法则是本题关键． 12.计算：（1）227788⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）((2017201711-⋅+；（3）0221)-⨯．【难度】★★★【答案】（1）- （2）1-； （3）3-．【解析】（1）原式=77777)(2)()88884+-=-=-； （2）原式=20172017(12)(1)1-=-=-；（3）原式=2143=-=-．【总结】本题考查实数计算，熟练运用公式和简便方法是本题关键． 13.已知2510x x -+=，求2212x x +-的算术平方根． 【难度】★★★【解析】由已知得150x x -+=，所以222112()425421x x x x+-=+-=-=，所以2212x x+- 【总结】由已知条件求代数的值，一定要找到已知条件与要求结果之间的联系．14.已知x ，求6543234x x x x ---+-+的值．【难度】★★★【答案】【解析】原式=4242(2)5(5)x x x x x x -+---+++4242(5(x x x x x x =---+(5x ==∴原式=44552x x x x x --++=-+=．【总结】有关代数式求值的问题，解题技巧一般有以下几种，利用有关概念，利用整体思想 方法，利用分类讨论方法，利用数形结合的思想方法，利用非负数的性质，利用新定义等．15．（2019·上海市廊下中学七年级月考）如果规定a b ad bc c d=-，（1）求7538；（2）当(1)(3)2(21)x x xx +--的值为1时，求x 的值．【答案】（1）41；（2）27x =； 【分析】（1）先展开，再根据有理数的运算法则求出即可；（2）先展开，再根据整式的运算法则进行计算，最后求出x即可．【详解】解：（1）7538＝7×8﹣3×5＝56﹣15＝41；（2）∵(1)(3)2(21)x xx x+--＝1，∴（x+1）（2x﹣1）﹣2x（x﹣3）＝1，∴7x﹣1＝1，即27x=．【点睛】此题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算和解一元一次方程，能正确根据整式的运算法则和有理数的混合运算法则进行化简和计算是解此题的关键．16．（2019=_______=_____________=____________，=_________________．(1)(2n1)++-=_____________．(2)102++．【答案】1,2,3,4,5；（1）n；（2）【分析】（1）先计算出各二次根式的值，根据计算结果找出其中的规律，然后用含n的式子表示；（2=，=，然后找出其中的规律进行计算即可．【详解】（1=1；；=；3=4=5…．（2=，=++=2+6+10+14++426⨯-=102【点睛】本题主要考查的是探索数字的变化规律，找出其中蕴含的规律是解题的关键．17．（2019·上海全国·七年级单元测试）如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积是，边长是；（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．【答案】（1）5（2【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根；（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方的且互相垂直的线段，进而拼合即可．【详解】（1）拼成的正方形的面积是：5（2【点睛】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键.18．（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）对于实数a，我们规定：用符号表=，=3．的最大整数，称为a的根整数，例如：3(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．=，写出满足题意的x的整数值______．(2)若1如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=→=1，这时候结果为1．3(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．【答案】（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255【分析】（1的大小，再由并新定义可得结果；（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【详解】解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,∴5＜6，∴]=[2]=2，]=5，故答案为2，5；（2）∵12=1，22=4，且＝1，∴x=1，2，3，故答案为1，2，3；（3）第一次：，第二次：]=3，第三次：，故答案为3；（4）最大的正整数是255，理由是：∵]=15，，]=1，∴对255只需进行3次操作后变为1，∵，，]=2，]=1，∴对256只需进行4次操作后变为1，∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为255．【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．随堂检测1.和数轴上的点一一对应的是（）A．整数B．有理数C．无理数D．实数【难度】★【答案】D【解析】数轴上的点与实数一一对应【总结】本题考查实数的概念．2.（1）1____________；相反数是___________；（2的数是_________；数轴上离原点的距离等于π的是_______．【难度】★【答案】（111； （2）π±．【解析】（1）11，相反数是(1-1；（2）|±=||ππ±=．【总结】本题考查绝对值和相反数的概念．3.求出下列各数的绝对值和相反数：（1） （23； （3； （4）3.15π-．【难度】★【答案】（11 （2）33； （3； （4）3.15π-，3.15π-．【解析】（1）|-=(-=（2）3|3=3)3-=（3）=-=（4）|3.15π-|=3.15π-，(3.15) 3.15ππ--=-．【总结】本题考查绝对值和相反数的概念．4.比较大小：（1）； （2）-4_______-（311； （4+2【难度】★★【答案】（1）＜ ； （2）＞ ； （3）＞ ； （4）＞．【解析】（1）因为222.2<，所以2.2；（2）因为22(4)(-<，所以4->；（31=1=11；（4）因为22(2>+2>+【总结】本题考查实数比较大小，常用的方法有作差法和取倒数法．5.化简求值：（1）3π- （2）3-（a ＜-6）．【难度】★★【答案】（1）1； （2）6a --．【解析】（1）原式=3|4|341ππππ-+-=-+-=；（2）原式|3|3|||33||6|6a a a a =-+=++=+=--．【总结】本题考查实数的计算和绝对值的性质与化简．6.如果在数轴上点A 表示的数是-2，点B 表示的数是2，求数轴上所有到点A ，点B 的距离为3的点到原点的距离之和．【难度】★★【答案】12．【解析】到点A 距离为3的点是-5和1，到点B 距离为3的点是-1和5，这些点到原点的距 离和为5+1+1+5=12．【总结】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离是解答本题的关键．7.实数a ，b ，c 在数轴上所对应的点的位置如图所示：（1）24b ac -的值是正数还是负数?为什么．（2）化简：||||||||a a b b c a c -++---【难度】★★【答案】（1）正数；（2）a ．【解析】（1）因为ac 异号，所以4ac -为正，因为b 2为正，所以24b ac -为正数；（2）原式a a b b c a c a =-++-++-=．【总结】本题考查绝对值的代数意义，注意化简．8.求值：（12)； （22；（3）22)； （4）22．【难度】★★【答案】（1）5- （2）12 ； （3）9- （4）25．【解析】（1）原式=5-； （2）原式=5712+=；（3）原式=549+-- （4）原式=2272525-==（）．【总结】本题考查实数计算及公式的运用．9.计算：（1）22(1(1-+； （2）22(2(2+⨯；（3） （4）22+⋅．【难度】★★【答案】（1）- （2）1； （3） （4）1．【解析】（1）原式=(111---=-（2）原式=2(43)1-=； （3）原式=÷（4）原式=2(56)1-=．【总结】本题考查实数的计算和公式运用．10.计算：（1）34+； （207)；（32 （4）22⋅．【难度】★★★【答案】（1） （2）8π-； （3）6 ； （4）1．【解析】（1）原式=； （2）原式718ππ=-+=-；（3）原式=22516÷=+=；（4）原式=2(20172016)1-=．【总结】本题考查实数的计算及乘法运算法则的综合运用．11.已知：1xa =，求22x xx x a a a a ----的值． 【难度】★★★【答案】【解析】原式=1n n a a -++=． 【总结】本题考查平方差公式的应用及化简．。
学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题实数的概念与开平方教学内容1．知道开平方、平方根的概念，理解无理数和实数的概念以及实数的分类；2．会求平方根，会进行开平方相关的混合运算；3. 理解实数相关的相反数、绝对值，会进行相关运算；（以提问的形式回顾）练习：1. 和统称为有理数.2.把分数17化成小数，则结果一定是小数.3. 如果把圆周率π化成小数，它一定是小数.4. 如果一个分数的分母，那么这个分数一定能化成有限小数.5 判断对错：①存在面积为2的正方形.②有理数可以统一用qp（p、q均为整数，且p≠0）来表示.6.有理数包括小数和小数.【参考答案】1. 整数和分数；2.无限循环3. 无限不循环；4.只含有素因数2或5；5.①对②对；6.有限小数和无限循环小数.（采用教师引导，学生轮流回答的形式）一、无理数的概念问题：什么是无理数？【参考答案】无限不循环小数叫做无理数.练习：7.如果2n -6与3n +1是同一个数的平方根，则这个数是_______.8.一个自然数的算术平方根是m ，则比这个自然数大1的数的平方根是 .9.已知a-1没有平方根，则a 的取值范围是 .【参考答案】1.①有两个平方根，②没有平方根，③有一个平方根，④当0x =时有一个平方根，0x ≠没有平方根；2. 81256，34±，34；3. 3±，3；4.23；5.0，0或1；6.4；7.16或400（提示：两种情况，相等或互为相反数）；8.21m ±+；9.a <1练习二：1.求下列各数的平方根，并指出其算术平方根：①225；②0.0001；③9121；④729；⑤2(5)- 2.若216x =，那么5-x 的算术平方根是 .3.计算：216(3)81+--- 【参考答案】1.①225的平方根是±15，算术平方根是15，②0.0001的平方根是±0.01，算术平方根是0.01，③9121的平方根是311±，算术平方根是311，④729的平方根是43±，算术平方根是43，⑤2(5)-的平方根是5±，算术平方根是5；2.1或3；3.-2.例题：已知实数a 、b 、c 满足a ＜0，b ＞0，c ＜0，且a b c >>，化简：a b c a b b c a c ++--+--+解：∵a ＜0，b ＞0，c ＜0，且a b c >>，∴0a b c ++<，0a b -<，0b c ->，0a c +<，∴a b c a b b c a c ++--+--+=()()()()a b c a b b c a c -++---+---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=a b c a b b c a c ---+-+-++=a b c --即a b c a b b c a c ++--+--+=a b c --.练习：如图表示的是数轴上的三个实数a 、b 、c ，求a b b c -+-的值.【参考答案】解：由图可知，a ＜0，c ＞b ＞0，∴0a b -<，0b c -<，∴a b b c -+-=()()a b b c --+--⎡⎤⎣⎦=a b b c -+-+=c a -，即a b b c -+-=c a -.（选讲题）例题2：已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图所示，试化简()222a b a c a b c --+-+-.解析：根据a 、b 、c 在数轴上的位置，可以得到a ＜0，b ＜0，c ＞0，并且得到b a -＜0，c a -＞0，b c -＜0，所以原式2a b a c a b c =--+-+-2()a b a c a b c =-+-+---32233a b c b c a b c =-++-+=--+四、综合应用类型1 实数范围内因式分解例题 在实数范围内分解因式：（1）44x -；（2）537x x -【参考答案】（1）424(2)(2)(2)x x x x -=++-；（2）5337(7)(7)x x x x x -=+- 类型2 解方程例题 解方程211802x -= 练习 2112269x += 【参考答案】例题：6x =±，练习：13x =±类型3 被开方数非负性的应用例题 已知3a b --与5a b +-互为相反数，求22a b +的值. 【参考答案】17例题：x x +-= .练习：1.224a a -+-+= .【参考答案】743-；3624- 类型6 开平方运算中小数点的移动案例：填写下表：a0.0004 0.04 4 400 40000(1)观察上表，总结当被开方数a 的小数点向右(或向左)每移动两位时，a 的小数点移动规律是怎样的？(2)已知，，请用你观察到的结论直接写出结果： ①；；； ②如果，那么x ＝________． 【参考答案】略（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1. 下列实数是无理数的有（ ）1-2，π，4，33，5 A .2个 B . 3个 C .4个 D .5个【参考答案】B2.下列说法正确的是（ ）A . 4的平方根是±2；B . 2a -一定没有算术平方根；C . 2-表示2的算术平方根的相反数；D . 0.9的算术平方根是0.3【参考答案】C3.已知某数的平方根是21a +和10a -，则该数是（ ）A .3B . -3C .-49D .49【参考答案】D4.()232-=___________，245⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________. 【参考答案】18，45 5. 解不等式12)21(->-x ，结果为___________.【参考答案】1x <-6.化简()24π-= . 【参考答案】4π- 7.若()222x x -=-，则x 的取值范围是___________.【参考答案】2x ≥8. 计算()()2236-+-= ，化简27= .【参考答案】3，339.已知14的小数部分是b ，则b = .【参考答案】143-10. 已知，，则a = .【参考答案】324000011. 已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示.（1）比较a －b 与a +b 的大小；（2）化简|b －a |+|a +b |.-101a b【参考答案】（1）a －b >a +b ；（2）-2b本节课主要知识点：实数的概念及分类，开平方的运算，绝对值相反数的运算及应用【巩固练习】1．和数轴上的点一一对应的是（ ）A ．整数；B ．有理数；C ．无理数；D ．实数．【答案】 D ．2．在3223,0,-0.001,,3.14,,0.1010010001 (723)π（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数的个数有（ ）【答案】（1）=5x ±；（2）=4x 或=2x -；（3）=4x -．11．10在两个连续整数a 和b 之间，<10<a b ， 那么a ，b 的值分别是 ．【答案】3，4．【预习思考】1. －0.064的立方根是_________，4的立方根是__________.2. 若x 21=，则x 3=___________.3.下列各数是无理数的是21-，0，722，3，0.15，3，3π，-83，|352|-，3.14159，319，0.2020020002… 4.为最大的负整数，则a 的值为___________.。
学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题三角形的有关概念和内角和教学内容1．理解三角形的有关概念及三角形的分类，体会分类思想；2．理解三角形内角和定理的是如何推导出来的，能够熟练的运用三角形内角和定理解决一些常见的计算问题；3．灵活运用三角形的内角和性质及三角形的外角的性质进行简单的几何推理.（以提问的形式回顾）1. 三角形的分类：按角分类：锐角三角形（三个内角都是锐角的三角形）直角三角形（有一个内角是直角的三角形）钝角三角形（有一个内角是钝角的三角形）按边分类：不等边三角形（三边互不相等的三角形）等腰三角形（有两边相等的三角形）2. 三角形的主要性质：（1）三角形的任何两边之和第三边，任何两边之差第三边；（2）三角形的内角之和等于；（3）三角形的一个外角等于和它；三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角。
（4）三角形的外角和等于。
（1）大于，小于；（2）180°；（3）不相邻的两个内角和，大于；（4）360°小练习：1．△ABC 中，如果∠B =∠A ＋∠C ，那么这个三角形是______________三角形； 2．在，则此三角形是，中，已知︒=∠︒=∠∆5535C B ABC 三角形。
3．=∠∠∠∆C B A ABC ：：中，已知在1：2：3，则最大的一个角度数是 度。
4．如果等腰三角形两边长分别为3，7，那么三角形的周长是________________； 5．△ABC 中，AB ＝9，BC ＝4,那么AC 的取值范围是 ； 6．等腰三角形周长为16，且边长都为整数，则能构成不同形状的三角形共有 ( ) （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个7．一个三角形的两边长分别为3和8，第三边的长为奇数，那么第三边的长为（ ） （A ）3或5 （B ）5或7 （C ）7或9 （D ）9或118．下列说法正确的是 ( )（A ）直角三角形的高只有一条 （B ）三角形的角平分线、中线、高都在三角形内部 （C ）三角形中至少有一条高在形内 （D ）直角三角形的三条高不能相交于一点 9．下列说法错误的是 ( )（A ）三角形的三条中线交于一点 （B ）三角形的三条角平分线交于一点 （C ）三角形的三条高交于一点 （D ）三角形的三条边的垂直平分线交于一点 10．下列说法正确的个数有（ ）个（1） 三角形的外角大于它的任何一个内角 （2）外角都是钝角的三角形是锐角三角形 （3）三角形的外角和是指三角形所有外角的和 （4）外角中有一个角为︒90的三角形是直角三角形 A 1B 2C 3D 4参考答案：1、直角； 2、直角； 3、90； 4、17； 5、513AC <<； 6、C ； 7、C ； 8、C ； 9、C ； 10、B（采用教师引导，学生轮流回答的形式）a c b-<∴<<c b3因此，c是最小边，所以：c<解不等式得，PRQFEABCD参考答案：360°试一试： 如图，求出任意一个五角星的顶角∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数？ABCDE参考答案：180°（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1．一个三角形的三个内角中，最多有 个钝角，有 个直角。
七年级数学下寒假预科班第九讲（变量之间的关系）一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
一.列表法。
采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。
列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。
列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。
例1：在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素。
据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（分钟）之间的关系近似地满足下表：时间0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 (分钟)含药量0 2 4 6 5.7 5.2 4.8 4.4 4 3.6 3.2 2.8 2.4 2 (微克)（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当注射药液60分钟后血液中含药量是多少？（3）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的。
如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？【解】（1）（2）（3）二.关系式法。
关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。
例2：已知梯形上底的长是 x，下底的长是 15，高是 8，梯形面积为y。
（1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是什么？（2）用表格表示当x从 10 变到 20 时（每次增加1），y 的相应值；（3）当x每增加 1 时，y如何变化？说说你的理由；（4）当x＝0时，y 等于什么？此时它表示的什么？【解】（1）。
的立方根我们用符号是绝对不可省的，否则就会与平方根混淆了，例如立方根，而Ｃ、-3是27的负的立方根Ｄ、（－１）2的立方根是－１3、1的平方根是____；立方根为____；算术平方根为____。
4、平方根是它本身的数是____;立方根是其本身的数是____;算术平方根是其本身的数是________．5、一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是____________；立方根是____________．6、求下列方程中x的值（1）9x2-16=0 （2）（-2+x）3=-216．7、若x+3是9的平方根，-27的立方根是y+1，则x+y的值。
8、已知x+2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y的立方根为。
9、已知2a-1的算术平方根是5，a+b-2的平方根是±3，c+1的立方根是2，求a+b+c的值．10、已知：x-6和3x+14是a的两个不同的平方根，2y+2是a的立方根．（1）求x，y，a的值；（2）求1-4x的算术平方根．例7：已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b的值．巩固练习1、一个实数的两个平方根分别是m-5和3m+9，则这个实数是？2、已知一个正数的平方根是2x和x-6，这个数是？3、如果一个数的平方根是a+1和2a-7，求这个数．4、求x的值：（1）（2x-1）2=25；（2）9x2-16=0．5、已知数a的平方根是x+3和3x-11，求2a-1．6、若一个正数的平方根是2a+3和3a-8．求这个正数．的取值范围是。
在日常生活中，随处可以看到两条直线平行的物体，同学们是否可以举出一些例子答：四种情况，如图2—30)(1)三条直线都没有交点 (2)两条直线平行被第三条直线所截(3)三条直线两两相交，有三个交点(4)三条直线交于一点今天我们就对三条直线相交后形成的八个角如图2—30(3)进行研究，简称为：(5)如图2—39(6)，①∠1和∠4是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠2和∠7是内错角；④∠1和∠4是同旁内角；知识拓展1．在直角△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC于E，交AB于D．（1）试指出BC、DE被AB所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角；（2）试说明∠1=∠2=∠3的理由．（提示：三角形内角和是180°）2．如图，按要求解答下列问题．（1）写出∠A的同位角和同旁内角；（2）写出∠4的内错角和同旁内角．3．如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5这五个角中哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的角．4．如图，在图中标示的角∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8中，内错角有几对，它们分别是哪两条直线被哪两条直线所截而构成的？课堂练习1．如图，（1）指出直线AB，CD被AC所截形成的内错角；（2）指出直线AB，CD被BE所截形成的同位角；（3）找出图中∠1的所有同旁内角．2．探索活动：观察图中∠1和∠2的位置特点？①∠1与∠2它们是一对______角．由直线______和直线______被直线______所截得的，你发现∠1和∠2相对于直线AB，CD，EF的位置有什么特点？②∠3和∠4它们是由直线______和直线______，被直线______所截得的，它们是一对______角．相对于直线AB，CD，EF的位置有什么特点？③∠5与∠6，∠7与∠8呢？3．如图所示，a、b两条直线交于一点，生成∠9，探索∠9与原有角的位置关系．（1）直线b、c被直线a所截，∠9与∠4是______．（2）∠9与∠5是直线______被直线______所截形成的______．（3）∠9还与哪些角成内错角？（4）图形继续发展变化，图中共有几对同旁内角？4．如图，在线段AB，BC，AC两两所夹的角中，同旁内角共有几对？把它们列举出来．5．图1中，划一条直线，使图中的∠C有3个同旁内角．图2中，划一条直线，使图中的∠C有4个同旁内角．6．分别指出下列图中的同位角，内错角，同旁内角．7．如图，∠1和∠2，∠3和∠4分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么角（“同位角”“内错角”或“同旁内角”）8．如图，指出图形中的同位角，内错角及同旁内角．9．说出下列各对角分别是哪一条直线截哪两条直线形成什么角？（1）∠A和∠ACG（2）∠ACF和∠CED（3）∠AED和∠ACB（4）∠B和∠BCG．10．如图所示，在图中：（1）同位角共有______对，内错角共有______对；（2）∠1与∠2是______，他们是直线______被直线______所截形成的；（3）∠3和∠4是______，它们是直线______被直线______所截形成的．3．如图，先填空后证明．已知：∠1+∠2=180°，求证：a∥b．证明：∵∠1=∠3______，∠1+∠2=180°______∴∠3+∠2=180°______∴a∥b______请你再写出另一种证明方法．4．MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1=140°，∠2=50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．5．如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，且AD平分∠BAC．请问：（1）AD与EF平行吗？为什么？（2）∠3与∠E相等吗？试说明理由．巩固练习1．如图，AB和CD相交于点O，∠C=∠COA，∠D=∠BOD，判断AC与BD的位置关系，并说明理由．2．将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠EFC的度数．3．完成下面的推理过程，并在括号内填上依据．如图，E为DF上的一点，B为AC上的一点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AC∥DF 证明：∵∠1=∠2（______）∠1=∠3（对角线相等）∴∠2=∠3（______）∴______∥______（______）∴∠C=∠ABD（______）又∵∠C=∠D（已知）∴∠D=∠ABD（______）∴AC∥DF（______）4．如图，BD丄AC 于D，EF丄AC 于F．∠AMD=∠AGF．∠1=∠2=35°（1）求∠GFC的度数：（2）求证：DM∥BC．。
第6讲同位角、内错角、同旁内角及平行线的判定模块一：三线八角知识精讲同位角、内错角、同旁内角(三线八角)若直线a，b被直线l所截：（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．（如15和）∠∠（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．（如35和）∠∠（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．（如36和）∠∠注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．例题解析例1．（2020·上海静安区·七年级期中）如图所示，下列说法正确的是（）．A ．1∠与2∠是同位角B ．1∠与3∠是同位角C ．2∠与3∠是内错角D ．2∠与3∠是同旁内角例2．（2020·上海闵行区·七年级期末）如图中∠1、∠2不是同位角的是（ ）A ．B ．C ．D ．例3．（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）如图，与CDE ∠构成内错角的角是______；例4．（2019·上海兰田中学七年级期中）如图，∠B 的同位角是__________.例5．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）如图，∠B的内错角是_______________.例6.在直线AB、CD被直线EF所截的八个角中∠1和∠5是一对________角，∠3和∠5是一对________角，∠4和∠5是一对________角．例7.（1）如图∠1和∠2是直线________与________被直线_______所截，所形成的______角；（2）∠3和∠4是直线_____与_______被直线______所截，所形成的_______角；（3）∠C的同旁内角是_________．例8.如图，下列说法错误的是（）A．∠5和∠3是同位角B．∠1和∠4是同位角C．∠1和∠2是同旁内角D．∠5和∠6是内错角例9.如图，与∠C是同旁内角的有（）A．5个 B．4个C．3个D．2个例10.如图，同旁内角的对数是（）A．5对B．4对C．3对D．2对例11.如图，∠1和∠2是同位角的是（）A．（1）(2) B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）例12.指出下图中：（1）∠C与∠D的关系；（2）∠B与∠GEF的关系；（3）∠A与∠D的关系；（4）∠AGE与∠BGE的关系；（5）∠CFD与∠AFB的关系．例13.如图（1）直线DE、BC被直线AB所截，射线DF在∠ADE内部，指出∠1的同位角；（2）如果∠1和∠2相等，那么∠1和∠4相等吗? ∠1和∠ADE相等吗?为什么?例14.三条直线两两相交，且不交于同一点，则在所成的图形中，共有多少对同位角?多少对内错角?多少对同旁内角．模块二：平行线的意义及基本性质知识精讲1、平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．2、平行线的基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（2）平行线之间的距离处处相等；（3）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性）．（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．例题解析例1.（1）在同一平面内，两条不重合的直线有两种位置关系_______和________；（2）如果两条直线都_______于同一条直线，那么这两条直线平行．例2.在同一平面内，和已知直线平行的直线（）A．有且只有一条B．有无数条C．一条也没有 D．条数不确定例3.已知两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线（）A．垂直B．平行C．相交 D．可能垂直，也可能平行例4.判断题：（1）同位角一定相等（）（2）不相交的两条直线叫平行线（）（3）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行（）（4）和已知直线平行的直线有无数条（）例5.下列各图中，不能判断直线a∥b的是（）例6.判断题：（1）在同一平面内，不相交的两条线段是平行线（）（2）两条直线不相交则必平行（）（3）与已知直线平行的直线有且只有一条（）（4）与已知直线垂直的直线有且只有一条（）例7.直线AB、CD、a、b在同一平面内，且AB∥CD，若直线a与AB、CD都相交，直线b与AB、CD也都相交，则直线a、b的位置关系是（）．A．垂直B．平行C．相交 D．相交或平行例8.下列四个说法中，正确的个数是（）．①在同一平面内不相交的两条线段必平行；②在同一平面内不相交的两条直线必平行；③在同一平面内不平行的两条线段必相交；④在同一平面内不平行的两条直线必相交A．1 B．2 C．3 D．4例9.如图，经过点P画直线PE∥OA，交OB于点E；画直线PF∥OB，交OA于点F．例10.如图，直线AB、CD相交于点O，P是直线AB、CD外的一点，经过点P画出直线EF，与直线CD相交于点E，与直线AB平行．例11.在同一平面内有互不重合的五条直线a1、a2、a3、a4、a5，若a1∥a2，a2⊥a3，a3∥a4，a4⊥a5，那么a1与a5的位置关系是什么．模块三：平行线的判定平行线的三种判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单地说，内错角相等，两直线平行．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单地说，同旁内角互补，两直线平行． 一、单选题例1．（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）如图，不能推断//AD BC 的是（ ）A ．∠1=∠5B ．∠2=∠4C ．∠3=∠4+∠5D ．12180B ∠+∠+∠=︒ 例2．（2019·上海闵行区·七年级期中）如图：150∠=︒，270，360∠=︒，下列条件能得到//DE BC 的是（ ）A ．60B ∠=︒ B ．60C ∠=° C ．70B ∠=︒D ．70C ∠=︒例3.看图填空，并在括号里写出适当的理由．（1） 如图；因为∠1=__________（已知） 所以AD ∥BC （）（2） 因为∠1=∠A （已知） 所以_________∥_________（）例4.如图，如果∠1等于它的余角，∠2的补角是它的3倍，那么AB 与CD 的关系是（）． A ．垂直B ．平行C ．相交D ．不能确定例5.（2019·上海市培佳双语学校七年级月考）填写理由：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，4BAE ∠=∠，试说明//AD BE ．解：∵∠1=∠2（已知）∴12CAF CAF ∠+∠=∠+∠（______） 即BAF ∠=∠______∵∠3=∠4，4BAE ∠=∠（已知）∴∠3=∠______（______）∴∠3=∠______AD BE（______）∴//例6．（2019·上海市江宁学校七年级期中）如图，AC⊥AB,EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2,试问AC⊥DG吗?例7．（2019·上海市江宁学校七年级期中）已知，如图，DE//BC，∠ADE=∠EFC,将说明∠1=∠2成立的理由填写完。
第7讲平行线判定及性质模块一：平行线的性质定理知识精讲平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补．例题解析例1．（2019·上海静安区·新中初级中学七年级期中）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（）A． B．C． D．∠=︒，则例2．（2019·上海杨浦区·）如图，直线a、b被直线c所载，a//b，已知160∠= ______︒2例3．（2019·上海市江宁学校七年级期中）已知∠A 与∠B 的两边分别平行，如果∠A=55°,那么∠B=_________度例4．（2019·上海市江宁学校七年级期中）如图，直线a//b,∠1=25°，∠p=75°,则∠2=________例5.如图，AC //DB ，56DBC ∠=，则ACB ∠=__________．例6.（1）如图，已知DE //BC ，A C ∠=∠，则与AED ∠相等的角（不包含AED ∠）有______个；（2）如图，若AB //FD ，则B ∠=____________，若AC //ED ，则DFC ∠=__________．例7.如图，直线//a b ，则x y -的值等于（ ）A ．20B ．80C ．120D ．180例8.如图，直线//a b ，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=，则2∠的度数 是（ ）A ．35B ．45C ．55D ．125例9.如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（） A ．相等或互补 B ．互补C ．相等D ．相等且互余 例10.如图，已知//AB CD ，x ∠等于（ ）A ．75B ．80C ．85D ．95例11.如图，////AB CD MP AB MN ，，平分4030AMD A D ∠∠=∠=，，，则NMP ∠等于（ ）A ．10B ．15C ．5D ．7.5例12.如图，//AB CD ，1(220)x ∠=+，2(840)x ∠=-，求1∠及2∠的度数．例13.如图，已知140∠=，2140∠=，340∠=，能推断出////AB CD EF 吗？为什么？例14.已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的2倍少30°，求∠A 与∠B 的度数．例15.已知：如图，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H ，∠A =∠D ，∠1=∠2，试说明：∠B =∠C ．例16.如图，直线GC 截两条直线AB 、CD ，AE 是GAB ∠的平分线，CF 是ACD ∠的平分线，且//AE CF ，那么AB CD ∥吗？为什么？例17.如图12∠=∠，//DC OA ，//AB OD ，那么C B ∠=∠，为什么？例18.如图，已知AD 平分BAC ∠，12∠=∠，试说明1F ∠=∠的理由．例19.已知：如图，AGH B CGH BEF ∠=∠∠=∠，，EF ⊥AB 于F ，试说明CG ⊥AB ．例20.已知，正方形ABCD 的边长为4cm ，求三角形EBC 的面积．例21.如图，AD //BC ，52BC AD =，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比．例22.如图，//AB GE ，//CD FG ，BE =EF =FC ，三角形AEG 的面积等于7，求四边形AEFD 的面积．例23.已知E 是平行四边形ABCD 边BC 上一点，DE 延长线交AB 延长线于F ，试说明ABE CEF S S ∆∆与相等的理由．模块二：辅助线的添加例题解析例1.如图，已知AB∥ED，试说明：∠B+∠D＝∠C．例2.如图所示，已知，++360∠∠∠=，试说明AE∥CD．A B C︒例3.如图，已知：AB//CD，试说明：∠B+∠D+∠BED=360︒（至少用三种方法）．例4.如图所示，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=∠D，∠B=∠E，试说明BC∥EF的理由．例5.如图已知，AB//CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，求∠E和∠F的关系．例6.如图，已知：AC//BD，联结AB，则AC、BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点P落在某个部分时，联结PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当点P落在第①部分时，试说明：∠PAC+∠PBD=∠APB；（2）当点P落在第②部分时，试说明：∠PAC+∠PBD=∠APB是否成立?（3）当点P落在第③部分时，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系是__________，并写出动点P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．随堂检测1.填空：（1） 如图（1），AB //CD ，CE 平分ACD ∠，120A ∠=，则ECD ∠________；（2） 如图（2），已知AB //CD ，100B ∠=，EF 平分BEC ∠，EG EF ⊥，则DEG ∠=__________．2.填空：（1）如图，直线//a b ，三角形ABC 的面积是422cm ，AB =6cm ，则a 、b 间的距离为_________；（2）如图，在三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，则三角形ACD 和三角形ABC 的面积之比为____________．3.如图，已知FC //AB //DE ，::2:3:4D B α∠∠∠=,则α∠、D ∠、B ∠的度数分别为______________．4.如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍多12°，则这两个角是( )．A ．42°和138°B ．都是10°C ．42°和138°或都是10°D ．以上都不对5.如图，已知QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线PQ 、MN 的位置关系．6.如图，已知：AB ∥CD ，EF 和AB 、CD 相交于G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ．7.如图所示，在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点O 到各边的距离相等，求这个距离是多少．8.如图，已知AB ，CD 分别垂直EF 于B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．试说明：//BM AF ．9.如图，已知直线12//l l ；（1）若1(2)x y ∠=+，2x ∠=，4(30)y ∠=+ 求1∠，2∠，4∠的度数；（2）若2x ∠=，3y ∠=，[]42(2)x y ∠=-，求x 、y 的值．10.如图，∠ADC=∠ABC，∠1+∠FDB=180°，AD是∠FDB的平分线，试说明BC为∠DBE的平分线．11.如图，已知∠ABC=∠ACB，AE是∠CAD的平分线，问：△ABC与△EBC的面积是否相等?为什么?第7讲平行线判定及性质模块一：平行线的性质定理知识精讲平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补．例题解析例1．（2019·上海静安区·新中初级中学七年级期中）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】分析：根据平行线的性质应用排除法求解：A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°．故本选项错误．B 、如图，∵AB ∥CD ，∴∠1=∠3．∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．故本选项正确．C 、∵AB ∥CD ，∴∠BAD=∠CDA ，不能得到∠1=∠2．故本选项错误．D 、当梯形ABDC 是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项错误．故选B ．例2．（2019·上海杨浦区·）如图，直线a 、b 被直线c 所载，a//b ，已知160∠=︒，则2∠= ______︒【答案】120【分析】由a ∥b ，得3160∠=∠=︒，进而即可求解．【详解】∵a ∥b ，160∠=︒，∴3160∠=∠=︒，∴21801∠=︒-∠18060120=︒-︒=︒．故答案是：120【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和平角的定义，掌握两直线平行，同位角相等，是解题的关键．例3．（2019·上海市江宁学校七年级期中）已知∠A 与∠B 的两边分别平行，如果∠A=55°,那么∠B=_________度【答案】125°或55°【分析】根据角的两边分别平行，可以得出∠A+∠B=180°或∠A=∠B，代入求解即可. 【详解】∵∠A与∠B的两边分别平行，∴∠A+∠B=180°或∠A=∠B，∵∠A=55°，∴∠B=125°或55°.故答案为：125°或55°.【点睛】本题考查了平行线性质的运用，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补.例4．（2019·上海市江宁学校七年级期中）如图，直线a//b,∠1=25°，∠p=75°,则∠2=________【答案】50°【分析】过点P作直线a的平行线，根据平行线性质可得∠1=∠4=25°，∠2=∠3，再根据已知角的度数即可求出∠3的大小，即∠2的大小求出.【详解】如图，过点P作PM∥直线a,∵a∥b,∴a∥PM∥b,∴∠1=∠4=25°，∠2=∠3，∴∠3=75°-25°=50°，∴∠2=50°.故答案为：50°.【点睛】本题考查了平行线性质的应用，能正确根据平行线的性质进行推理是解题的关键，同时注意两直线平行，内错角相等.例5.如图，AC //DB ，56DBC ∠=，则ACB ∠=__________．【难度】★【答案】124度．【解析】因为AC //DB （已知），所以180DBC ACB ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），因为56DBC ∠=（已知），所以18056124ACB ︒︒︒∠=-=（等式性质）【总结】考察平行线的性质的运用．例6.（1）如图，已知DE //BC ，A C ∠=∠，则与AED ∠相等的角（不包含AED ∠）有______个；（2）如图，若AB //FD ，则B ∠=____________，若AC //ED ，则DFC ∠=__________．【难度】★【答案】（1）2个；（2）3∠；∠2．【解析】（1）因为DE //BC （已知）， 所以AED C ∠=∠（两直线平行，同位角相等）， 又因为A C ∠=∠（已知），所以A C AED ∠=∠=∠（等量代换）；（2）B ∠=3∠（两直线平行，同位角相等）；2∠=∠DFC （两直线平行，内错角角相等）．【总结】考察平行线的性质的运用．例7.如图，直线//a b ，则x y -的值等于（ ）A ．20B ．80C ．120D ．180【难度】★【答案】A【解析】因为//a b ，所以 30=x又因为3180y x +=，解得 50=y ，故305020x y ︒-=-=．【总结】考察平行线的性质及等式性质的综合运用．例8.如图，直线//a b ，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=，则2∠的度数 是（ ）A ．35B ．45C ．55D ．125【难度】★【答案】A【解析】因为AB BC ⊥（已知），所以90ABC ∠=︒（垂直的意义）因为//a b （已知），所以 1CBD ∠=∠（两直线平行，同位角相等）因为155∠=（已知）， 所以55CBD ∠=（等量代换）因为2180ABC CBD ∠+∠+∠=（平角的意义）所以2180559035︒︒︒︒∠=--=（等式性质）【总结】本题考查平行线的性质及垂直的意义的综合运用．例9.如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（） A ．相等或互补B ．互补C ．相等D ．相等且互余 【难度】★★【答案】A【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A ．【总结】本题考查平行线的基本应用，注意分类讨论．例10.如图，已知//AB CD ，x ∠等于（） A ．75 B ．80 C ．85D ．95【难度】★★【答案】C【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．上半部分与角B 互补；下半部分与角D 互为内错角；所以易知(180120)2585x ︒︒︒︒∠=-+=．【总结】本题考查平行线的基本应用，老师可以让学生自己动手添加辅助线． 例11.如图，////AB CD MP AB MN ，，平分4030AMD A D ∠∠=∠=，，，则NMP ∠等于（ ）A ．10B ．15C ．5D ．7.5【难度】★★【答案】C【解析】因为//AB MP （已知）所以A AM P ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为//AB CD （已知）， 所以//MP CD （平行的传递性）所以D DMP ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为AMD AMP DMP ∠=∠+∠（角的和差），4030A D ∠=∠=，（已知）所以304070AMD ∠=+=（等式性质）因为MN AMD ∠平分（已知）， 所以 35=∠=∠NMD AMN （角平分线的意义） 所以40355NMP ∠=︒-︒=︒（等式性质）【总结】本题考查平行线的基本应用，以及角平分线的性质的综合运用．例12.如图，//AB CD ，1(220)x ∠=+，2(840)x ∠=-，求1∠及2∠的度数．【难度】★★【答案】140240∠=︒∠=︒，．【解析】因为//AB CD （已知），所以12∠=∠（两直线平行，同位角相等）即 )408()202(-=+x x解得：10=x所以140240∠=︒∠=︒，（等式性质）【总结】本题考查平行线的基本性质．例13.如图，已知140∠=，2140∠=，340∠=，能推断出////AB CD EF 吗？为什么？【难度】★★【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：2118023180∠+∠=︒∠+∠=︒，所以AB //CD ，CD //EF （同旁内角互补，两直线平行）所以AB //EF ，即AB //CD //EF ，即证．【总结】本题考查平行线的判定定理的综合运用．例14.已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的2倍少30°，求∠A 与∠B 的度数．【难度】★★【答案】3030B A ∠=︒∠=︒，或70110B A ∠=︒∠=︒，．【解析】由题意可知，180A B A B ∠=∠∠+∠=︒或，又因为∠A 是∠B 的2倍少30°，所以230A B ∠=∠-︒，即3030B A ∠=︒∠=︒，或70110B A ∠=︒∠=︒，【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．例15.已知：如图，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H ，∠A =∠D ，∠1=∠2，试说明：∠B =∠C ．【难度】★★【解析】因为121AHB ∠=∠∠=∠（已知），（对顶角相等）所以2AHB ∠=∠（等量代换）， 所以//AF ED （同位角相等，两直线平行）所以D AFC ∠=∠（两直线平行，同位角相等）因为A D ∠=∠（已知）， 所以A AFC ∠=∠（等量代换） 所以//AB CD （内错角相等，两直线平行）所以B C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）【总结】本题主要考察平行线的性质定理和判定定理的综合运用．例16.如图，直线GC 截两条直线AB 、CD ，AE 是GAB ∠的平分线，CF 是ACD ∠的平分线，且//AE CF ，那么AB CD ∥吗？为什么？【解析】因为AE 是GAB ∠的平分线，CF 是ACD ∠的平分线（已知）所以GAE EAB ACF FCD ∠=∠∠=∠，（角平分线的性质）因为//AE CF （已知），所以GAE ACF ∠=∠（两直线平行，同位角相等）所以EAB FCD ∠=∠（等量代换）所以//(AB CD 同位角相等，两直线平行)【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．例17.如图12∠=∠，//DC OA ，//AB OD ，那么C B ∠=∠，为什么？【难度】★★【解析】因为//DC OA （已知），所以COA C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）， 即1COB C ∠+∠=∠ 因为//AB OD （已知）， 所以DOB B ∠=∠（两直线平行，内错角相等）即2COB B ∠+∠=∠， 又因为12∠=∠（已知），所以B C ∠=∠（等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．例18.如图，已知AD 平分BAC ∠，12∠=∠，试说明1F ∠=∠的理由．∠（已知），【解析】因为AD平分BAC所以2BAD∠=∠（角平分线的意义）因为12∠=∠（等量代换）∠=∠（已知），所以1BADEF AD（同位角相等，两直线平行）所以//所以2∠=∠（两直线平行，同位角相等）F所以1F∠=∠（等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．例19.已知：如图，AGH B CGH BEF，，EF⊥AB于F，试说明CG⊥AB．∠=∠∠=∠【难度】★★【解析】因为AGH B∠=∠（已知）所以//HG CB（同位角相等，两直线平行）所以CGH BCG∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为CGH BEF∠=∠（等量代换）∠=∠（已知），所以BEF BCG所以//EF CG（同位角相等，两直线平行）因为EF⊥AB（已知），所以CG⊥AB．【总结】本题主要考察平行线的判定定理、性质定理及垂直的判定的综合运用．例20.已知，正方形ABCD的边长为4cm，求三角形EBC的面积．【难度】★★【答案】8平方厘米．【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC ，且其高即是正方形的边DC ，故三角形面积为正方形面积的一半：24428cm ⨯÷=【总结】本题考查三角形的面积的计算，注意三角形与正方形同底等高．例21.如图，AD //BC ，52BC AD =，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比．【难度】★★★【答案】5:2．【解析】因为//AD BC （已知）所以三角形ABC 与三角形ACD 的高相等（平行线间的距离处处相等）所以::52ABC ACD S S BC AD ∆∆==：（两三角形高相等，面积比等于底之比）【总结】本题考查平行线距离处处相等及三角形的面积比问题．例22.如图，//AB GE ，//CD FG ，BE =EF =FC ，三角形AEG 的面积等于7，求四边形AEFD 的面积．【难度】★★★【答案】21【解析】联结BG 、CG ．因为//AB GE （已知）所以BEG AEG S S ∆∆=（同底等高的两个三角形面积相等）因为BE =EF （已知）， 所以BEG GEF S S ∆∆=（等底等高的两个三角形面积相等）所以AEG GEF S S ∆∆==7（等量代换）， 同理7GEF DFG S S ∆∆==．所以77721AEG GEF DFG AEFD S S S S ∆∆∆=++=++=四边形．【总结】本题主要考查平行线间的距离处处相等．例23.已知E 是平行四边形ABCD 边BC 上一点，DE 延长线交AB 延长线于F ，试说明ABE CEF S S ∆∆与相等的理由．【难度】★★★ 【解析】因为12ADE DCF ABCD S S S ==△△四边形，所以12CEF DCF DCE DCE ABCD S S S S S ∆∆∆=-=-△四边形， 所以1122ABE ADE DCE DCE DCE ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆=--=--=-四边形四边形四边形四边形所以ABE CEF S S ∆∆=【总结】本题综合性较强，主要考查几何图形的面积关系，注意认真观察图形特征． 模块二：辅助线的添加例题解析例1.如图，已知AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ．【难度】★★【解析】过点C 作AB 的平行线CF ，因为AB ∥ED （已知）所以////AB CF ED （平行的传递性）所以B BCF D DCF ∠=∠∠=∠，（两直线平行，内错角相等）所以B D BCF DCF BCD ∠+∠=∠+∠=∠（等式性质）【总结】本题考查平行线的性质及辅助线的添加．例2.如图所示，已知，++360A B C ︒∠∠∠=，试说明AE ∥CD ．【难度】★★【解析】过点B 向右作BF //AE ，所以180∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）A ABF因为++360A B C︒∠∠∠=（已知）所以180∠+∠=︒（等式性质）FBC C所以//BF CD（同旁内角互补，两直线平行）所以//AE CD（平行的传递性）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意简单的辅助线的添加方法．例3.如图，已知：AB//CD，试说明：∠B+∠D+∠BED=360︒（至少用三种方法）．【难度】★★【解析】方法一：连接BD则∠EBD+∠EDB+∠E=180°（三角形内角和等于180°）因为AB//CD（已知），所以∠ABD+∠BDC=180°（两直线平行，同旁内角互补）所以∠ABD+∠EBD+∠EDB+∠BDC+∠E=360°，即∠B+∠D+∠BED=360°方法二：过点E作EF//CD，因为//AB CD（已知），所以//EF AB（平行的传递性）所以∠B+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）所以∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=360°（等式性质）即∠B+∠D+∠BED=360°；方法三：过点E作//EF BA因为//EF AB（平行的传递性）AB CD（已知），所以//所以180180，（两直线平行，同旁内角互补）ABE BEF FED EDC∠+∠=︒∠+∠=︒所以∠B+∠D+∠BED=360︒（等式性质）；方法四：过点E作EF⊥CD的延长线与F，EG垂直于AB的延长线于G，则有：∠B=∠BGE+∠GEB，∠D=∠EDF+∠DFE，所以∠B+∠D+∠BED=∠BGE+∠DFE+∠GED=180+180=360°．【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意多种方法的归纳总结．例4.如图所示，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=∠D，∠B=∠E，试说明BC∥EF的理由．【难度】★★★【解析】连接AD、BE因为AF∥CD（已知）所以FAD ADC∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为BAF CDE∠=∠（已知），所以BAD ADE∠=∠（等式性质）所以AB∥DE（内错角相等，两直线平行）所以ABE BED∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为ABC FED∠=∠（已知），所以EBC BEF∠=∠（等式性质）所以BC∥EF（内错角相等，两直线平行）【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．例5.如图已知，AB//CD，∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，求∠E和∠F的关系．【难度】★★★【答案】:32E F ∠∠=：．【解析】过点E 、点F 分别作AB 的平行线EG 、FH ．因为////EG AB FH AB ，所以/////(AB EG FH CD 等量代换)所以ABF BFH ∠=∠（两直线平行，内错角相等）所以CDF DFH ∠=∠（两直线平行，内错角相等）所以BFD DFH BFH CDF ABF ∠=∠+∠=∠+∠（等量代换）同理：BED DEG BEG ABE CDE ∠=∠+∠=∠+∠（等量代换）因为∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE 所以22()33BFD DFH BFH CDF ABF ABE CDE BED ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠ 所以:32E F ∠∠=：【总结】本题考查平行线的性质定理及角的和差的综合运用，注意辅助线的添加．例6.如图，已知：AC //BD ，联结AB ，则AC 、BD 及线段AB 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点P 落在某个部分时，联结PA 、PB ，构成∠PAC 、∠APB 、∠PBD 三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（3） 当点P 落在第①部分时，试说明：∠PAC +∠PBD =∠APB ；（4） 当点P 落在第②部分时，试说明：∠PAC +∠PBD =∠APB 是否成立?（3）当点P 落在第③部分时，全面探究∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系是__________， 并写出动点P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．【难度】★★★【解析】（1）过点P 作PE // AC ．//////AC BD AC PE BD 因为，所以（平行的传递性）所以PAC APE BPE PBD ∠=∠∠=∠，（两直线平行，内错角相等）因为APB APE BPE ∠=∠+∠（角的和差）所以APB PAC PBD ∠=∠+∠（等量代换）（2）不成立，过点P 作AC 的平行线即可证明．（3）分类讨论如下：①当动点P 在射线BA 的右侧时，结论是PBD PAC APB ∠=∠+∠；②当动点P 在射线BA 上时，结论是0PBD PAC APB PAC PBD APB APB PAC PBD ∠=∠+∠∠=∠+∠∠=︒∠=∠或或，（任写一个即可）③当动点P 在射线BA 的左侧时，结论是APB PAC PBD ∠+∠=∠．【总结】本题综合性较强，一方面要通过添加平行线来寻找角度之间的关系，另一方面要从多个角度去讨论题目中的条件及结论．随堂检测1.填空：（3） 如图（1），AB //CD ，CE 平分ACD ∠，120A ∠=，则ECD ∠________；（4） 如图（2），已知AB //CD ，100B ∠=，EF 平分BEC ∠，EG EF ⊥，则DEG ∠=__________．【难度】★【答案】（1）30°； （2）50°．【解析】（1）因为AB ∥CD （已知），所以180A ACD ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）因为120A ∠=（已知）， 所以18012060ACD ∠=-=（等式性质）又因为CE 平分∠ACD （已知）， 所以∠ECD =30°（角平分线的意义）（2）因为AB ∥CD （已知）， 所以180B BEC ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）因为100B ∠=（已知）， 所以18010080BEC ∠=-=（等式性质）又因为EF 平分BEC ∠（已知）， 所以∠BEF =40°（角平分线的意义）因为EG ⊥EF （已知）， 所以90GEF ∠=（垂直的意义）因为180DEG GEF CEF ∠+∠+∠=（平角的意义）所以180904050DEG ∠=--=（等式性质）【总结】本题考查平行线的性质的运用．2.填空：（1）如图，直线//a b ，三角形ABC 的面积是422cm ，AB =6cm ，则a 、b 间的距离为_________；（2）如图，在三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，则三角形ACD 和三角形ABC 的面积之比为____________．【难度】★【答案】（1）14厘米 ；（2）12． 【解析】（1）三角形ABC 的高为：422614⨯÷=，所以a 、b 间的距离为14厘米；（2）因为三角形ACD 和三角形ABC 高相等，所以面积之比等于底之比， 21==∆∆AB AD S S ABC ACD 即．【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．3.如图，已知FC //AB //DE ，::2:3:4D B α∠∠∠=,则α∠、D ∠、B ∠的度数分别为______________．【难度】★【答案】72α∠=︒，108D ∠=︒，144B ∠=︒．【解析】因为FC //AB //DE （已知），所以互补）两直线平行，同旁内角(180=∠+∠CFB BD CFD ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 设234x D x B x α∠=∠=∠=，，，则可列方程：180423x x x -+=，解得：36x =︒则72α∠=︒，108D ∠=︒，144B ∠=︒．4.如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍多12°，则这两个角是( )．A ．42°和138°B ．都是10°C ．42°和138°或都是10°D ．以上都不对【难度】★★【答案】A 【解析】由题意假设这两个角分别为A 、B ，则有：180A B A B ∠=∠∠+∠=︒或，又因为∠A 是∠B 的3倍多12°，则有：312A B ∠=∠+︒，即180********B B B A ︒-∠=∠+︒∠=︒∠=︒，解得：，．【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．5.如图，已知QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线PQ 、MN 的位置关系．【难度】★★【解析】因为QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM （已知）所以21PQN ∠=∠，22MNQ ∠=∠（角平分线的意义）因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN +∠MNQ =180°（等式性质）所以PQ ∥MN （同旁内角互补，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．6.如图，已知：AB ∥CD ，EF 和AB 、CD 相交于G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ．【难度】★★【解析】//AB CD （已知）BGH DHF ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）又MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF111,222BGH DHF ∴∠=∠∠=∠ 12∴∠=∠（等量代换） //GM HN ∴（同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定7.如图所示，在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点O 到各边的距离相等，求这个距离是多少．【难度】★★【答案】1．【解析】设这个距离是x ，则有： ()1662ABC S AC BC AB x x ∆==++⨯=， 解得：1x =．【总结】本题可以用面积法求解比较简单．8.如图，已知AB ，CD 分别垂直EF 于B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．试说明：//BM AF ．【难度】★★【解析】因为CD ⊥EF ， 所以90CDF ∠=（垂直的意义）因为∠DCF =60°（已知）， 所以∠F =30°（三角形的内角和等于180°）因为∠1=30°（已知）， 所以∠1=∠F （等量代换）所以BM ∥AF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．9.如图，已知直线12//l l ；（1）若1(2)x y ∠=+，2x ∠=，4(30)y ∠=+ 求1∠，2∠，4∠的度数；（2）若2x ∠=，3y ∠=，[]42(2)x y ∠=-，求x 、y 的值．【难度】★★【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以2180x y x ++=︒，即x +y =90° 因为12l l ∥ （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即x = y +30， 解得：x =60°，y =30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°；（2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义）， 所以x +y =180°，因为12l l ∥ （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即42x x y =-， 解得：x =72°，y =108°．【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算．10.如图，∠ADC =∠ABC ，∠1+∠FDB =180°，AD 是∠FDB 的平分线，试说明BC 为∠DBE 的平分线．【难度】★★★【解析】因为∠1+∠FDB =180°（已知），又因为1ABD ∠=∠（对顶角相等）所以180ABD BDF ∠+∠=（等量代换）所以//AB FD （同旁内角互补，两直线平行）所以2ABD ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为ADC ABC ∠=∠（已知）， 所以ADB CBD ∠=∠（等式性质）因为//AE FC （已证）， 所以EBD FDB ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 即ADB ADF CBD CBE ∠+∠=∠+∠（角的和差）因为AD FDB ∠是平分线， 所以ADB ADF CBD EBC ∠=∠=∠=∠（角平分线的意义） 即BC 为∠DBE 的平分线【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．11.如图，已知∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线，问：△ABC 与△EBC 的面积是否相等?为什么?【难度】★★★【答案】相等，证明见解析．【解析】因为180∠+∠+∠=（平角的意义）DAE EAC BAC又180∠+∠+∠=（三角形内角和等于180°）ABC ACB BAC所以DAE EAC ABC ACB∠+∠=∠+∠（等式性质）因为∠ABC=∠ACB，AE是∠CAD的平分线（已知）所以ABC ACB DAE CAE∠=∠=∠=∠所以//AE BC（内错角相等，两直线平行）所以AE与BC间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等）所以△ABC与△EBC的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．。
