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北师大版七年级数学辅导班讲义（1）完成日期 月 日 家长检查1． 把下列各数填在相应的集合里：2.5 ,32-, －0.35 , 0 , －(－1) , 2)2(- , 722 , 2- , 2007)1(- ……整数集合： …负数集合： … 2．判断正误，对的画“√”，错的画“×”：（1）一个数的绝对值一定不是负数； （ ） （2）一个数的相反数一定是负数； （ ） （3）两个数的和一定大于每一个加数； （ ） （4）若b a ,ab 与则0>都是正数； （ ）（5）一个非零数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是负数。
（ ） 3． 计算题（1）33)6(1726--+- （2）23)23(942-⨯÷- （3） )12116545()36(--⨯- （4）142312-+=-y y4．列方程解应用题：学校准备拿出2000元资金给22名“希望杯”竞赛获奖学生买奖品，一等奖每人200元奖品，二等奖每人50元奖品，求得到一等奖和二等奖的学生分别是多少人？北师大版七年级数学辅导班讲义（2）完成日期 月 日 家长检查1．下列方程是一元一次方程的是( )A 、x +2y =9B .x 2－3x =1C .11=xD .x x 3121=- 2．方程13521=--x x ，去分母和去括号后得( ) A 、3x －2x +10=1 B 、3x －2x －10=1 C 、3x －2x －10=6 D 、3x －2x +10=6 3．如果关于x 的方程01231=+m x是一元一次方程，则m 的值为( )A 、31B 、3C 、 －3D 、不存在 4．一件上衣按成本价提高50%后标价为105元，这件上衣的成本价为 元；5．在右边的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数， 设中间一个数为a ，则这三个数之和为：（用含a 的代数式表示） ；6．时钟5点整时，时针与分针之间的夹角是； ；7．如图，∠AOC 和∠BOD 都是直角，如果∠DOC =︒36，则∠AOB 是__ ______；8．列方程解应用题：小芳把2004年春节压岁钱存入银行，3年后如果不扣除利息税她可从银行取回2180元，银行的年利率是3 %，问她存了多少压岁钱？如果扣除利息税，那么3年后她从银行只能取回多少元？9．列方程解应用题：甲乙两人从学校到1000米远的展览馆去参观，甲走了5分钟后乙才出发，甲的速度是80米/分，乙的速度是180米/分，问乙多长时间能追上甲？追上甲时离展览馆还有多远？北师大版七年级数学辅导班讲义（3）完成日期 月 日 家长检查1．如果关于x 的方程012=+mx是一元一次方程，则m 的值为( )A 、1-B 、1C 、1±D 、不能确定2．下列说法错误．．的是（ ）A 、长方体、正方体都是棱柱B 、六棱柱有六条棱、六个侧面、侧面为长方形C 、三棱柱的侧面是三角形D 、球体的三种视图均为同样大小的图形 3．下列各对数中，数值相等的是 （ ）A 、23+与22+ B 、32-与3)2(- C 、23-与2)3(- D 、223⨯与2)23(⨯ 4． －42的值是( )A 、－16B 、16C 、8D 、－8 5．若|a |=a ，则a 的取值范围是( )A 、a >0B 、a <0C 、a ≤0D 、a ≥0 6．5.0-的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ； 7．五棱柱有 个顶点，有 条棱，有 个面； 8．若23b a m与nab 32是同类项，则__________,==n m ； 9．初一（8）班共有学生54人，其中男生有30人，女生24人，若在此班上任意找一名学生，找到男生的可能性比找到女生的可能性 （填“大”或“小”） 10．设1511+=x y ，4122+=x y ，当x 为何值时，1y 、2y 互为相反数？ 11．先化简，后求值： ]2)(5[)3(2222mn m mn m m mn +-----，其中2,1-==n m 。
第一讲 整式的乘方一.同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.例题：1．已知n 是大于1的自然数，则（﹣c ）n ﹣1•（﹣c ）n+1等于（ ）A ．B ．﹣2ncC ．﹣c 2nD ．c 2n同步练习：1.（﹣p ）2•（﹣p ）3= ．2．规定a*b=2a ×2b ，求：（1）求2*3； （2）若2*（x+1）=16，求x 的值．3．阅读材料：n 个相同的因数a 相乘，可记为a n ，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n =b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．根据以上材料，解决下列问题：（1）计算以下各对数的值：log 24= ，log 216= ，log 264= ；（2）根据（1）中的计算结果，写出log 24，log 216，log 264满足的关系式；（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：log a M+log a N= （a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0）；（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．二．幂的乘方与积的乘方幂的乘方法则： ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.积的乘方法则：()=⋅n n nab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()nn n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 例题：1．图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答方法解答下面的问题：（1）计算：①82008×（﹣0.125）2008； ②（）11×（﹣）13×（）12．（2）若2•4n•16n=219，求n的值．同步练习：1.计算：x4•x5•（﹣x）7+5（x4）4﹣（x8）2．2．已知常数a、b满足3a×32b=27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，求a2+4b2的值．3．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c=b，那么（a，b）=c．例如：因为23=8，所以（2，8）=3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）= ，（5，1）= ，（2，）= ．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）=（3，4），小明给出了如下的证明：设（3n，4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n所以3x=4，即（3，4）=x，所以（3n，4n）=（3，4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）三．单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.例题：1．若（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）=a5b3，则求m+n的值．2．计算（1）. a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2（2）. （﹣3x2y）2•（﹣xyz）•xz2．同步练习：1．已知x3m=2，y2m=3，求（x2m）3+（y m）6﹣（x2y）3m•y m的值．2.计算：2x 3（x 3）2﹣（3x 3）3+5x 2•x 7四．单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++. 要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.例题：1．计算：x （x ﹣1）+2x （x+1）﹣3x （2x ﹣5）同步练习：1．计算：．2．若ab 2=﹣1，求﹣ab （a 2b 5﹣ab 3﹣2b ）的值．五．多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()++=+++.a b m n am an bm bn要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2++=+++.x a x b x a b x ab例题：1．探究应用：（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）= ；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）= ．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含a、b的字母表示该公式为：．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m+2n）（m2﹣2mn+2n2）C．（3+n）（9﹣3n+n2）D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）同步练习：1．已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值2．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+1）展开后的结果中不含x3、x2项．求m+n的值．3．根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2可以用图（1）表示（1）根据图（2），写出一个多项式乘以多项式的等式；（2）从A，B两题中任选一题作答：A．请画出一个几何图形，表示（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，并仿照上图标明相应的字母；B．请画出一个几何图形，表示（x﹣p）（x﹣q）=x2﹣（p+q）x+pq，并仿照上图标明相应的字母．综合考查：1．若a m=a n（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果（27﹣x）2=38，求x的值．2.计算:（1）.用简便算法计算：（﹣9）3×（﹣）3×（）3．(2)．解方程：2x（x+1）﹣（3x﹣2）x=1﹣x2．第二讲 乘法公式一．平方差公式平方差公式： 22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 例题：1.若a 2﹣b 2=，a+b=，则a ﹣b 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．1D ．22．3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）A ．4B ．6C ．2D ．8同步练习：1．化简（m 2+1）（m+1）（m ﹣1）﹣（m 4+1）的值是（ ）A ．﹣2m 2B ．0C ．﹣2D ．﹣12．计算下列各题：（1）（a ﹣2b ）2﹣（2a+b ）（b ﹣2a ）﹣4a （a ﹣b ）两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 例题：1．已知x+y=5，xy=6，则x 2+y 2的值是（ ）A ．1B ．13C ．17D ．252．已知a+b=﹣5，ab=﹣4，则a 2﹣ab+b 2=（ ）A ．29B ．37C ．21D ．33同步练习：1．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘方（a+b ）n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b ）64的展开式中第三项的系数为（ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．20192．若x ，y 满足x 2+y 2=，xy=﹣，求下列各式的值．（1）（x+y ）2 （2）x 4+y 4 （3）x 3+y 3两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 例题：1．已知a ﹣=5，则a 2+的值是 ．2．当4x 2+2（k ﹣3）x+25是一个完全平方式，则k 的值是 ．同步练习：1．若4次3项式m 4+4m 2+A 是一个完全平方式，则A=2．已知4x 2+8（n+1）x+16n 是一个关于x 的完全平方式，则常数n 的值为 ．综合考查：1. 计算：（2x+3y ）2﹣（4x ﹣9y ）（4x+9y ）+（3x ﹣2y ）2．2. 已知x+y=6，xy=5，求下列各式的值：（1）（2）（x ﹣y ）2 （3）x 2+y 2．3. 若二次三项式x 2+（2m ﹣1）x+4是一个完全平方式，则m 的值是多少？第三讲相交线及三线八角一．对顶角和邻补角对顶角1. 对顶角的模型：∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③角的两边互为反向延长线.2. 对顶角的性质：对顶角相等.邻补角1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.2. 邻补角的模型：∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.例题：1.如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示138°的点在直线b上，则∠1=_________°．2.如图，直线AB、CD、EF相交于点O．（1）写出∠BOE的对顶角和邻补角；（2）若∠AOC：∠AOE=2：1，∠EOD=90°，求∠BOC的度数.同步练习：1．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=70°，则∠COE的度数是（）A．110°B．120°C．135°D．145°2．如图，两条直线相交于点O，若射线OC平分平角∠AOB，∠1=56°，则∠2等于（）A．44°B．56°C．45°D．34°3．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°，则∠AOE的度数是（）A．90°B．150°C．180°D．不能确定4．如图所示，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE=5：2，则∠AOF等于（）A．140°B．130°C．120°D．110°二．垂线垂线1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.2. 垂直的模型：说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线段1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.2. 垂线段模型：线段AB是点A到直线a的垂线段.3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注意：距离是长度，不是线段.例题：1.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是_________________.2.如图,直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB,垂足为O.（1）写出图中与∠1互为余角的角；（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1的度数．3.如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是________________.4.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是________cm，点A到BC的距离是________cm，C到AB的距离是___________cm．同步练习：1．如图直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB垂足为O，（1）与∠1互为补角的角是_ ___；（2）若∠AOC：∠2=3：2，求∠1的度数．2．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．3．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，则∠2的余角有___________．（2）若∠1=∠BOC，求∠AOD和∠BOD的度数．三．三线八角模型：1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.例题：1.如图，图中∠1与∠2是同位角的序号是___________.2.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？同步练习：1．如图所示，下列说法中：①∠A与∠B是同旁内角；②∠2与∠1是内错角；③∠A与∠C是内错角；④∠A与∠1是同位角．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，点E在BC的延长线上，则下列两个角是同位角的是（）A．∠BAC和∠ACD B．∠D和∠BAD C．∠ACB和∠ACD D．∠B和∠DCE3．如图，按各组角的位置判断，下列结论：①∠2与∠6是内错角；②∠3与∠4是内错角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是同旁内角．其中正确的是（）A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④综合考查：1.如图是一把剪刀，其中∠1=∠2，其理由是__________．2.如图，线段AD、AE、AF分别是△ABC的高线，角平分线，中线，比较线段AC、AD、AE、AF的长短，其中最短的是_________________.3.如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段_________的长度．4.如图所示，直线AD与直线BD相交于点D，BE⊥AD，垂足为点E，AC与DC垂直于点C.点B到直线AD的距离是线段_______的长度，点D到直线AB的距离是线段______的长度．5.如图，直线a、b被直线c所截，互为同旁内角是______________.6.如图所示，两只手的食指和拇指在同一平面内，它们构成的一对角可以看成__________.7.如图，OC⊥AB于点O，∠1=∠2，则图中互余的角有____________对．8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=76°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．9.如图所示：（1）与∠B是同旁内角的有哪些角？（2）与∠C是内错角的有哪些角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？第四讲平行线一．平行公理及推论1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.例题：1.如图，已知OA∥CD，OB∥CD，那么∠AOB是平角，为什么？2.如图，AD∥BC，E为AB上任一点，过E点作EF∥AD交DC于F．问EF与BC的位置关系怎样，为什么？同步练习：1．下列说法正确的是（）A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行B．两个相等的角是对顶角C．互补的两个角一定是邻补角D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短2．下列说法中不正确的有（）①两条不相交的直线叫做平行线；②经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；③经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④一个角的两边与另一个角两边互相垂直，那么这两个角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个二．平行线的判定1. 平行线的判定方法：判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.例题：1.AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？为什么？解：BE∥DF．∵AB⊥BC，∴∠ABC=____°，即∠3+∠4=____°．又∵∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，∴____=____．理由是：_________．∴BE∥DF．理由是：_____________．同步练习：1．如图，条件（填写所有正确的序号）一定能判定AB∥CD．①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；2．如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4：③∠A=∠DCE；④∠D+∠ABD=180°．其中能判断AB∥CD的有．（填写所有满足条件的序号）3．如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠B=∠5；④∠B+∠BAD=180°．其中能得到AB∥CD的是____（填写编号）．三．平行线的性质平行线的性质：性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.例题：1.如图，∠ACB=90°，BD平分∠ABE，CD∥AB交BD于点D，若∠1=20°，求∠2的度数．同步练习：1.如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是（）A．∠A=∠C+∠E+∠F B．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F=180°C．∠A﹣∠E+∠C+∠F=90°D．∠A+∠E+∠C+∠F=360°2．如图，已知AB∥DE，∠ABC=50°，∠CDE=150°，则∠BCD的值为（）A．20°B．50°C．40°D．30°3．如图，已知直线AB∥CD，若∠C=118，∠A=26°，则∠E的度数为（）A．70°B．82°C．92°D．102°四．平行线的判定与性质的综合运用两直线平行⇔同位角相等.两直线平行⇔内错角相等.两直线平行⇔同旁内角互补.“⇔”叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.例题：1.把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD=∠CED，连接BE交DF于点G，试说明：∠EGF+∠AEG=180°．理由：∵DE∥AB（已知），∴∠A=∠CED（___________________________），又∵∠BFD=∠CED（已知），∴∠A=∠BFD（___________________），∴DF∥AE（___________________________）∴∠EGF+∠AEG=180°（___________________________）.2.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：∠A=∠F．同步练习：1.已知：如图，点E、F分别在直线AB、CD上，点G、H在两直线之间，线段EF与GH相交于点O，且有∠AEF+∠CFE=180°，∠AEF﹣∠1=∠2，则在图中相等的角共有（）A．5对B．6对C．7对D．8对2．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，下列说法：①EF∥CD；②∠B+∠BDG=180°；③若∠1=∠2，则∠1=∠BEF；④若∠ADG=∠B，则∠DGC+∠ACB=180°，其中说法正确的是（）A．①②B．③④C．①②③D．①③④3．如图，已知∠A+∠C=180°，∠APM=118°，则∠CQN= °．4．填写理由：如图所示∵DF∥AC（已知），∴∠D+∠DBC=180°．（）∵∠C=∠D（已知），∴∠C+ =180°．（）∴DB∥EC（）∴∠D=∠CEF．（）五．命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.例题：1.如图，已知：点A、B、C在一条直线上．（1）请从三个论断①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题：条件：__________________________．结论：___________________________．（2）证明你所构建的是真命题．同步练习：1．下列命题中，为真命题的是（）A．同位角相等B．若a＞b，则﹣2a＞﹣2bC．若a2=b2，则a=b D．对顶角相等2．命题：①一个三角形中至少有两个锐角；②垂直于同一条直线的两条直线垂直；③如果两个有理数的积小于0，那么这两个数的和也小于0．其中为真命题的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若，则x＞﹣2C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若3x＞﹣6，则x＜﹣2综合考查：1．下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与b的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是．2．下列结论正确的是（）A．同位角相等B．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行3．已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求证：ED∥FB．4．如图，∠A=22°，∠E=30°，AC∥EF，则∠1的度数为．5．如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q．求证：∠1=∠2．6．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，求∠C的度数．第五讲函数一．常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.注意：字母可以表示数，但不一定是变量.例题：1.我国是一个严重缺水的国家，我们都应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.5毫升．小燕子同学在洗手时，没有拧紧水龙头，当小燕子离开x（时）后水龙头滴了y（毫升）水．在这段文字中涉及的量中，哪些是常量，哪些是变量？当堂练习：1．下列说法中正确的是（）A．用图象表示变量之间关系时，用水平方向上的点表示自变量B．用图象表示变量之间关系时，用纵轴上的点表示因变量C．用图象表示变量之间关系时，用竖直方向上的点表示自变量D．用图象表示变量之间关系时，用横轴上的点表示因变量2．世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：千瓦时）时，收取电费为y（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（）A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量B．y是自变量，x是因变量C．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量D．x是自变量，y是因变量二．函数的相关概念1. 函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数.2. 函数值：在一个函数中，如果当x=a时y=b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值.3. 解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数解析式.4. 函数自变量的取值范围确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.例题：1.某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中__________是自变量，_______________是因变量．2.下列四个图象中，y是关于x的函数的是____________.3.判断下列选项中的变量y是否为x的函数？①y=2x；②y=2x2；③y2=2x；④y=2|x|；⑤|y|=2x．同步练习：1.求下列函数自变量x的取值范围．（1）y=﹣x2﹣5x+6；（2）y=√4x −3；（3）y=√7−x 4+5x．2.著名的狄利克雷（DcicHer ）函数是这样定义的：y={1，x 是有理数0，x 是无理数. （1）这个函数的自变量与因变量分别是什么？（2）这个函数的自变量的取值范围和函数值的取值范围分别是什么？（3）请分别写出当x ═1，√2，6.4，3.1415时的函数值．3．如图所示能表示y 是x 的函数是（ ） A ． B ．C ．D ． 4．函数y=，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1B ．x ≥1 且 x ≠﹣2C ．x ≥1D ．x ≠﹣2 5．函数y=的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣3B ．x ≠﹣3C ．x ≥﹣3D ．x ＞﹣3且x ≠0三．函数的表示方法①函数的表示方法——图象法1. 函数图象对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值y分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.注：①以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；②函数图象上点的坐标满足函数解析式.2. 画函数图象的步骤：①列表（表中随机取出一些自变量的值及其对应的函数值）；②描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表中数值对应的各点）；③连线（按横坐标由小到大的顺序把描出的各点用平滑的曲线连接起来）.3. 用图象法表示函数的优缺点优点：直观的反应两个变量之间的关系，形象的反应函数的一些性质及变化趋势.缺点：由图象所得到的有关数据和数量关系不准确.例题：1.小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？（2）结合图象回答：①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．②秋千摆动第一个来回需多少时间？同步练习：1.一天，王亮同学从家里跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到某书店去买书，然后散步走回家如图反映的是在这一过程中，王亮同学离家的距离s（千米）与离家的时间t（分）之间的关系，请根据图象解答下列问题：（1）体育馆离家的距离为________千米，书店离家的距离为________千米；王亮同学在书店待了________分钟．（2）分别求王亮同学从体育馆走到书店的平均速度和从书店出来散步回家的平均速度．②函数的表示方法——列表法列表法的优缺点：优点：可以直接找到函数值.缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，总结出的规律不一定可靠.例题：1.父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格．根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答．（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？（4）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？③函数的表示方法——解析式法解析式法表示函数的优缺点优点：简单准确的反应两个变量之间的关系.缺点：不能形象直观的反应函数关系的变化趋势.有些函数关系不能用解析式表示.例题：1.将长为40cm，宽为15cm的长方形白纸，按图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为5cm．（1）根据图，将表格补充完整．（2）设x张白纸粘合后的总长度为y cm，求y与x之间的函数解析式.（3）你认为粘合起来白纸的总长度可能为2017cm吗？为什么？。
第8讲三角形11、三角形的概念三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．【典例】例1（2019秋•达孜区期中）如图，图中三角形的个数是（）A．7B．6C．5D．4【解答】解：BC上有6条线段，所以有6个三角形．故选：B．【方法总结】本题主要考查了三角形，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形的定义中应注意“首尾顺次连接”这一含义．例2（2019秋•麻城市校级期中）如图所示的图形中，三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：三角形的个数有△BED，△AED，△ADC，△ABD，△ABC，故选：C．【方法总结】此题考查三角形，关键是根据三角形的概念数出个数解答．【随堂练习】1．（2019秋•朝阳区期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为4．【解答】解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，∴以BC为公共边的三角形的个数是4个．故答案为：4．2．（2019秋•碑林区校级月考）如图所示，图中共有24个三角形．【解答】解：图中三角形的个数是24个．故答案是：24．2、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．【典例】例1（2020春•大埔县期末）一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的周长为（）A．16B．14C．12D．10【解答】解：第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，故第三边是6．则该三角形的周长是14．故选：B．【方法总结】考查了三角形的三边关系，首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边是偶数确定第三边的长．例2（2020春•锦江区校级期中）长度分别为1，5，x的三条线段首尾连接能组成一个三角形，则x的值可以是（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：5﹣1＜x＜5+1，4＜x＜6，只有选项5符合题意．故选：B．【方法总结】此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．【随堂练习】1．（2020春•陈仓区期末）一个三角形的两边长分别为3和8，则它的第三边长可能是（）A．5B．12C．10D．无法确定【解答】解：∵此三角形的两边长分别为3和8，∴第三边长的取值范围是：8﹣3＜第三边＜8+3．即5＜第三边＜11，观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．2．（2020春•新野县期末）已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+4、n+8，则n的取值范围是（）A．n＞﹣1B．n＞0C．n＞2D．n＞3【解答】解：∵三角形的三边长分别是n+2、n+4、n+8，∴n+2+n+4＞n+8，解得n＞2．故选：C．综合运用1．图中三角形的个数是（）A．8个B．9个C．10个D．11个【解答】解：∵图中的三角形有：△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB，∴共9个三角形．故选：B．2．（2019秋•长白县期末）如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形．【解答】解：如图所示，以A，B为顶点，得△ABC，△ADB，△ABE，以A，C为顶点，得△ACD，ACE，以A，D为顶点，得△ADE，以B，C为顶点，得△BCE，△BCD，以B，D为顶点，得△BDE，以C，D为顶点，得△CDE，故以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，故答案为：10．3．如图所示，图中有8个三角形，其中以AB为边的三角形为△ABC，△ABD，△ABO，含∠OCB的三角形为△OCB，△ACB，在△BOC中，OC的对角是∠OBC，∠OCB的对边是OB．【解答】解：，图中有8个三角形，其中以AB为边的三角形为△ABC，△ABD，△ABO，含∠OCB的三角形为△OCB，△ACB，在△BOC中，OC的对角是∠OBC，∠OCB的对边是OB，故答案为：8；△ABC，△ABD，△ABO；△OCB，△ACB；∠OBC；OB．4．（2020春•溧阳市期末）一个三角形的3条边长分别为xcm ，（x ﹣1）cm ，（x ﹣2）cm ，它的周长不超过39cm ，则x 的取值范围 3＜x ≤14 ．【解答】解：由题意得：{x −1+x −2＞x x +x −1+x −2≤39， 解得：3＜x ≤14，故答案为：3＜x ≤14．5．（2020春•市北区期末）小颖已有两根长度分别为5cm 、7cm 的木棒，再给一根多长的木棒，能方便她把三根木棒首尾相接摆成一个三角形？请你提供一个合适的木棒长度．你提供的长度是 5（答案不唯一） cm ．【解答】解：∵两个长分别为5cm 和7cm 的木棒，再取一根木棒与前两根搭成一个三角形，∴第三根木棒的长x 应满足：2cm ＜x ＜12cm ．∴5cm 适合，故答案为：5（答案不唯一）．6．（2020秋•椒江区校级月考）一个不等边三角形的两边长分别为3和13，且第三边长为整数，符合条件的三角形有 5 个．【解答】解：设第三边长为x ，根据题意得13﹣3＜x ＜13+3，即10＜x ＜16，又∵三角形为不等边三角形，且第三边长为整数，∴x 为11、12、13、14、15，符合条件的三角形有5个，．故答案为：5．7．（2020春•海淀区校级月考）两根木棒的长度分别为7和9，要选择第三根木棒，把它们钉成一个三角形框架，则第三根木棒x 的长度范围为 2＜x ＜16 ．【解答】解：由题意得：9﹣7＜x ＜9+7，即：2＜x ＜16，故答案为：2＜x ＜16．8．（2016春•九台市期末）观察以下图形，回答问题：（1）图②有 3 个三角形；图③有 5 个三角形；图④有 7 个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有（2n﹣1）个三角形（用n的代数式表示结论）．【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．9．如图，线段AC与BD相交于点E，连接AD，AB，BC．（1）指出图中有几个三角形，并分别用字母表示出来；（2）∠AED是哪个三角形的角？∠DBC呢？（3）AE是哪两个三角形的公共边？AB是哪几个三角形的公共边？图中还有哪些三角形有公共边？（4）∠D是哪两个三角形的公共角？图中还有哪些三角形有公共角？【解答】解：（1）图中有△ADE，△ECB，△ABE，△ABD，△ABC，共5个三角形；（2）∠AED是△AED的角，∠DBC是△EBC的角；（3）AE是△AED和△AEB的公共边，AB是△ABD、△ABE和△ABC的公共边，图中还有△EBC和△ABE有公共边，还有△ABC和△EBC有公共边，还有△ABD和△ADE有公共边；（4）∠D是△ADE和△ADB的公共角，图中还有△ABC和△EBC有公共角，图中还有△ABD和△AEB有公共角，图中还有△ABC和△ABE有公共角．。
北师大版七年级数学辅导班讲义（1）完成日期 月 日 家长检查 1． 把下列各数填在相应的集合里： , 32- , － , 0 , －(－1) , 2)2(- , 722 , 2- , 2007)1(- …… 整数集合： …负数集合： …2．判断正误，对的画“√”，错的画“×”：（1）一个数的绝对值一定不是负数； （ ）（2）一个数的相反数一定是负数； （ ）（3）两个数的和一定大于每一个加数； （ ）（4）若b a ,ab 与则0>都是正数； （ ）（5）一个非零数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是负数。
（ ）3． 计算题（1）33)6(1726--+- （2）23)23(942-⨯÷- （3） )12116545()36(--⨯- （4）142312-+=-y y 4．列方程解应用题：学校准备拿出2000元资金给22名“希望杯”竞赛获奖学生买奖品，一等奖每人200元奖品，二等奖每人50元奖品，求得到一等奖和二等奖的学生分别是多少人北师大版七年级数学辅导班讲义（2）完成日期 月 日 家长检查1．下列方程是一元一次方程的是( )A 、x +2y =9 －3x =1 C .11=x D .x x 3121=-2．方程13521=--x x ，去分母和去括号后得( ) A 、3x －2x +10=1 B 、3x －2x －10=1 C 、3x －2x －10=6 D 、3x －2x +10=63．如果关于x 的方程01231=+m x是一元一次方程，则m 的值为( ) A 、31B 、3C 、 －3D 、不存在4．一件上衣按成本价提高50%后标价为105元，这件上衣的成本价为 元；5．在右边的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数， 设中间一个数为a ，则这三个数之和为：（用含a 的代数式表示） ；6．时钟5点整时，时针与分针之间的夹角是； ；7．如图，∠AOC 和∠BOD 都是直角，如果∠DOC =︒36，则∠AOB 是__ ______；8．列方程解应用题：小芳把2004年春节压岁钱存入银行，3年后如果不扣除利息税她可从银行取回2180元，银行的年利率是3 %，问她存了多少压岁钱如果扣除利息税，那么3年后她从银行只能取回多少元9．列方程解应用题：甲乙两人从学校到1000米远的展览馆去参观，甲走了5分钟后乙才出发，甲的速度是80米/分，乙的速度是180米/分，问乙多长时间能追上甲追上甲时离展览馆还有多远北师大版七年级数学辅导班讲义（3）完成日期 月 日 家长检查1．如果关于x 的方程012=+m x 是一元一次方程，则m 的值为( )A 、1-B 、1C 、1±D 、不能确定2．下列说法错误．．的是（ ）A 、长方体、正方体都是棱柱B 、六棱柱有六条棱、六个侧面、侧面为长方形C 、三棱柱的侧面是三角形D 、球体的三种视图均为同样大小的图形3．下列各对数中，数值相等的是 （ ）A 、23+与22+B 、32-与3)2(-C 、23-与2)3(-D 、223⨯与2)23(⨯4． －42的值是( )A 、－16B 、16C 、8D 、－85．若|a |=a ，则a 的取值范围是( )A 、a >0B 、a <0C 、a ≤0D 、a ≥06．5.0-的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ；7．五棱柱有 个顶点，有 条棱，有 个面；8．若23b a m 与n ab 32是同类项，则__________,==n m ；9．初一（8）班共有学生54人，其中男生有30人，女生24人，若在此班上任意找一名学生，找到男生的可能性比找到女生的可能性 （填“大”或“小”）10．设1511+=x y ，4122+=x y ，当x 为何值时，1y 、2y 互为相反数 11．先化简，后求值： ]2)(5[)3(2222mn m mn m m mn +-----，其中2,1-==n m 。
第9讲三角形21、三角形的内角和（1）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（2）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（3）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．【典例】例1如果一个三角形的三个内角的度数之比为1：5：6，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法判断【解答】解：设该三角形最小的内角为x°，则另外两角分别为5x°，6x°，依题意，得：x+5x+6x＝180，解得：x＝15，∴5x°＝75°，6x°＝90°，∴这个三角形一定是直角三角形．故选：A．【方法总结】本题考查了三角形内角和定理，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．例2 （2020春•泰兴市校级期中）在△ABC中，若∠C＝50°，∠B﹣∠A＝100°，则∠B 的度数为115°．【解答】解：∵∠C＝50°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝130°，∵∠B﹣∠A＝100°，∴∠B＝115°，故答案为115°．【方法总结】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．例3（2020春•福绵区期末）如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠2＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠A+∠1＝90°，∴∠ADE＝90°，∴△ADE是直角三角形．【方法总结】本题考查了三角形的内角，互余关系及直角三角形的判定，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余的性质，属于基础题型．【随堂练习】1．（2020春•陈仓区期末）在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝35°，则△ABC是钝角三角形．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝35°，∴∠C＝115°，∴△ABC是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．2．（2020秋•江岸区校级月考）一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．斜三角形【解答】解：∵一个三角形的三个内角度数比为4：5：9，∴设三个内角的度数分别为4x，5x，9x，∴4x+5x+9x＝180°，解得x＝10°，∴9x＝90°，∴此三角形是直角三角形．故选：C．3．（2020春•桂林期末）在Rt△ABC中，∠A＝70°，那么另一个锐角∠B的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝70°，则∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，故选：B．4．（2020春•兴化市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A ＝32°，则∠BCD＝32°．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝32°，故答案为：32．2、三角形的角平分线、中线和高线（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.【典例】例1（2020春•溧阳市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E，则△ABD的BD边上的高是（）A．AD B．DE C．AC D．BC【解答】解：∵∠C＝90°，∴AC⊥BD，∴△ABD的BD边上的高是AC，故选：C．【方法总结】本题考查的是三角形的三角形的角平分线、中线和高，掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解题的关键．例2（2020•西城区校级三模）如图所示，△ABC中，BC边上的中线是（）A．线段AD B．线段AE C．线段AF D．线段AG【解答】解：用尺规作图得出中点E，△ABC中，BC边上的中线是线段AE，故选：B．【方法总结】此题考查三角形的中线，关键是根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线解答．例3（2020•白云区模拟）如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC ＝4cm，则在△ABD中，BD边上的高是4cm．【解答】解：如图，∵AC⊥BC，∴BD边上的高为线段AC．又∵AC＝4cm，∴BD边上的高是4cm．故答案是：4．【方法总结】本题主要考查了三角形角平分线、中线和高．从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高．例4（2020秋•南岗区校级月考）如图，△ABC中，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，并相交于点O，∠BOC＝140°，则∠A＝100°．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∵∠BOC＝140°，∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，∴∠A＝180°﹣80°＝100°，故答案为：100【方法总结】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．AD B．BE C．BF D．CG【解答】解：由图可知，△ABC中，BC边上的高为AD，故选：A．2．（2020秋•尚志市期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝6cm，BC＝4cm，则△ABD和△BCD的周长差为2cm．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝6﹣4＝2cm．故答案为：2．3．（2020春•合浦县期中）如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE ＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长．【解答】解：∵CF、BE分别是AB、AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，∴AB＝2AF＝2×3＝6，AC＝2AE＝2×2＝4，∵△ABC的周长为15，∴BC＝15﹣6﹣4＝5．综合运用1．（2020春•太原期末）用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：A，B，C都不是△ABC的边BC上的高．故选：D．2．（2020春•历城区校级期中）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∠A+∠B＝∠C，是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，是直角三角形；③∠A＝2∠B＝3∠C，则设∠A＝x，∠B=x2，∠C=x3，则x+x2+x3=180°，解得x=1080°11，∴∠A=108011，∠B=540°11，∠C=360°11，∴△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，不是直角三角形，是等边三角形，能确定△ABC是直角三角形的条件有2个，故选：B．3．（2020春•渝中区校级期中）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝24°，BD 平分∠ABC，CD平分∠ACB，其角平分线相交于D，则∠BDC＝（）A．141°B．142°C．143°D．145°【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=12×50°＝25°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=12∠ACB=12×24°＝12°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣25°﹣12°＝143°．故选：C．4．（2020春•青羊区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C═90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E．若∠DBE＝25°，则∠CAB＝50°．【解答】解：∵BE⊥AE，∴∠E＝∠C＝90°，∵∠ADC＝∠BDE，∴∠CAD＝∠DBE＝25°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠CAD＝50°，故答案为50°．5．（2020春•溧阳市期末）如图，在直角三角形ABC中，点P、Q分别是AC、BC边上的两个动点，MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP，交AB于点M、N，MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ，两条角平分线交于点R，则∠R＝67.5°．【解答】解：∵∠C+∠A+∠B＝180°，∠C+∠CPQ+∠CQP＝180°，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠CPQ+∠CQP＝90°，∴∠APQ+∠BQP+∠CPQ+∠CQP＝360°，∴∠APQ+∠BQP＝270°，∵MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP，∴∠MPQ+∠NQP＝∠APM+∠BQN＝135°，∵∠MPQ+∠NQP+∠PMN+∠QNM＝360°，∴∠PMN+∠QNM＝225°，∵MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ，∴∠NMR+∠MNR＝112.5°，∵∠NMR+∠MNR+∠R＝180°，∴∠R＝67.5°．故答案为67.5．6．（2020春•扬中市期中）如图，若△ABC的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI 分别交AB、AC于点D、E，则图中与∠ICE一定相等的角（不包括它本身）有∠ICB，∠DIB．【解答】解：∵AI平分∠BAC，∴∠IAD＝∠IAE，∵AI⊥DE，∴∠AID＝∠AIE＝90°，∴∠ADI+∠DAI＝90°，∠AEI+∠IAE＝90°，∴∠ADE＝∠AEI，∴∠BDI＝∠IEC＝180°﹣（90°﹣∠IAE）＝90°+12∠BAC，∵IB，IC分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠BAC）＝90°+12∠BAC，∴∠BDI＝∠IEC＝∠BIC，∵∠IBC+∠BIC+∠ICB＝180°，∠ICE＝∠ICB，∠IBC＝∠DBI，∴∠ICE＝∠ICB＝∠DIB，∴与∠ICE一定相等的角有∠ICB，∠DIB．故答案为：∠ICB，∠DIB．7．（2020春•内江期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．8．（2019春•平昌县期末）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．（1）试说明CD是△ABC的高；（2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．【解答】解：（1）∵∠1+∠BCD＝90°，∠1＝∠B∴∠B+∠BCD＝90°∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；（2）∵∠ACB＝∠CDB＝90°∴S△ABC=12AC•BC=12AB•CD，∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴CD=AC⋅BCAB=6×810=245．9．（2020秋•江岸区校级月考）如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC．（1）若AD⊥BC于D，∠C＝35°，求∠DAE的大小；（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC．【解答】（1）解：∵∠C＝35°，∠B＝2∠C，∴∠B＝70°，∴∠BAC＝75°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝37.5°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝55°，∴∠DAE＝55°﹣37.5°＝17.5°；（2）证明：∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AED+∠FEC＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠FEC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠C）=12（180°﹣3∠C）＝90°−32∠C，∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°−32∠C）＝90°﹣∠C﹣90°+32∠C=12∠C，∴∠FEC=12∠C，∴∠C＝2∠FEC．。
七年级寒假衔接班讲义第四讲命题、平移章节复习命题：(1)判断一件事情的语句，叫做命题.或能判断真假的陈述句（语句）叫做命题(2)许多命题都是由题设和结论两部分组成．其中题设是已知条件，结论是得到的结果．(3)命题通常写成“如果……，那么……．”的形式．这时，“如果”后接的部分是______，“那么”后接的部分是______．(4)所谓真的命题就是：如果题设成立，那么结论就______的命题．相反，所谓假的命题就是：如果题设成立，不能保证结论______的命题．正确的命题叫做______，错误的命题叫做______.平移：如图所示，线段AB在下面的平移中(AB→A1B1→A2B2→A3B3)，具有哪些性质．(图a)(图b) (图c)(1)线段AB上所有的点都是沿______移动，并且移动的距离都______．因此，线段AB、A1B1、A2B2、A3B3的位置关系是__________________；线段AB、A1B1、A2B2、A3B3的数量关系是__________________．(2)在这个平移变换中，连结各组对应点的线段之间的位置关系是____________；数量关系是______.3．如图所示，将三角形ABC平移到△A/B/C/．(图a) (图b)在这个平移中：(1)△ABC的整体沿____移动，得到△A/B/C/．△A/B/C/与△ABC的____和______完全相同．(2)连结各组对应点的线段即AA/、BB/、CC/之间的数量关系是____；位置关系是______. 一个图形沿着某个方向．．移动一定的距离．．,图形的这种移动,叫做平移变换,简称平移.例1.指出下列命题的题设和结论：(1)垂直于同一条直线的两条直线平行．题设是_________________________；结论是_________________________. (2)同位角相等，两直线平行．题设是________________________；结论是_________________.(3)两直线平行，同位角相等．题设是_____________________；结论是________________________.(4)对顶角相等．题设是_____________________；结论是_____________________.例2.将下列命题改写成“如果……那么……”的形式：(1)900的角是直角．__________________________(2)末位数字是零的整数能被5整除．_______________________________(3)等角的余角相等．______________________________(4)同旁内角互补，两直线平行．_____________________________例3.已知：如图，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA,∠1+∠2=900，求证：DA⊥AB.课堂练习：1.下列语句哪些是命题，哪些不是命题?(1)两条直线相交，只有一个交点．( )．(2)不是有理数．( )．(3)直线a与b能相交吗?( )． (4)连结AB．( )．(5)作AB⊥CD于E点．( )． (6)三条直线相交，有三个交点．( )．2.判断下列各命题中，哪些命题是真命题?哪些是假命题?(对于真命题画“√”，对于假命题画“×”)(1)0是自然数．( )．(2)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．( )．(3)相等的角是对顶角．( )．(4)如果AC=BC，那么C点是AB的中点．( )．(5)若a∥b，b∥c，则a∥c．( )．(6)如果C是线段AB的中点，那么AB＝2BC．( )．(7)若x2=4，则x=2．( )． (8)若xy=0，则x=0．( )．(9)同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交．( )．(10)邻补角的平分线互相垂直．( )．(11)同位角相等．( )． (12)大于直角的角是钝角．( )．3.按要求画出相应图形．(1)已知:如图,AB∥DC,AD∥BC,DE⊥AB于E点,将三角形DAE平移,得到三角形CBF．(2)已知:如图,AB∥DC,将线段DB向右平移，得到线段CE．(3)已知:平行四边形ABCD及A/点,将平行四边形ABCD平移,使A点移到A/点,得平行四边形A/B/C/D/．(4)已知:五边形ABCDE，及点A/点,将五边形ABCDE平移,使A点移到A/点,得到五边形A/B/C/D/E/．11.如图，BD平分∠ABC，DF∥AB，DE∥BC，求∠1与∠2的大小关系．12.如图,已知∠ABC+∠ACB=1100，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点O 与BC平行，求∠BOC的度数。
初一寒假讲义目录第1讲同底数幂的乘法第2讲幂、积、商的乘方第3讲整式的乘法第4讲平方差公式及其应用第5讲完全平方公式及其应用第6讲乘法公式综合应用第7讲整式的除法第8讲半期复习与测试第9讲平行线与相交线第10讲平行线与相交线第11讲三角形的边角关系第12讲全等三角形的性质和判定第13讲全等三角形的综合应用第14讲期末复习与检测第1讲 同底数幂的乘法一、新知探索1．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即nm nmaa a +=⋅ (m ，n 都是正整数)．注意：① 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质．如：p n m p n m a a a a ++=⋅⋅ (m ，n ，p 都是正整数)． ② 此性质可以逆用：n m nm a a a⋅=+说明：在幂的运算中，经常会用到以下的一些变形：（－a ）n＝⎪⎩⎪⎨⎧-);(),(为奇数为偶数n a n a n n （b －a ）n＝⎪⎩⎪⎨⎧---).()(),()(为奇数为偶数n b a n b a n n二、典例剖析1、顺用公式：例1、计算：（1）35aa a （2）35xx- (3) 231mm bb +⋅（4）m n p a a a ⋅⋅ （5）()()7633-⨯- （6）()()57a a a ---变形练习：（1）234aa a a （2）()()48x x x ---2、常用等式： ()()b a a b -=-- ()()22b a a b -=-()()33b a a b -=--()()44b a a b -=-()()2121n n b a a b ++-=--()()22nnb a a b -=-例2、（1）()()()38b a b a b a --- （2）()()()21221222n n n x y y x x y +----（3）()()()48x y y x y x --- （4）()()()37x y y x y x ---3、逆用公式：例3、已知：64,65mn== ，求：6m n+的值。
..21,,C A ADC ABC DF BE ABC ADC ∠=∠∠∠∠∠∠=∠求证：＝且、分别平分、已知：如图， 七年级数学寒假班讲义--------------平行与平移一、知识梳理（回顾所学知识，完成填空） 1．下图中，是同位角的是； 是内错角的是 ； 是同旁内角的是 ．2．直线平行的条件：（1）基本事实： ，两直线平行； （2） 定理： ，两直线平行； （3） 定理： ，两直线平行． 3．平行线的性质： （1）基本事实：两直线平行， ； （2） 定理：两直线平行， ； （3） 定理：两直线平行， ．4．在平面内， ， （2）一个图形 ． 二、典型例题证明：因为BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC （ ），所以∠1=，∠3=（ ）．（已知）， 所以∠1=∠3（ ），因为∠１=∠2（已知），所以 ∥ （ ）所以∠A +∠ =180°, ∠C +∠ =180°( )． 所以∠A ＝∠C （ ）． 三、课堂检测 1．如图，能判定EB ∥AC 的条件是（ ） A ．∠C ＝∠ABE B ．∠A ＝∠EBD C ．∠C ＝∠ABC D ．∠A ＝∠ABEABC ∠21ADC ∠21ADC ABC ∠=∠因为如何由基本事实证明后面两个定理？ 同位角、内错角一定相等吗？同旁内角一定互补嘛？描述平移，必须说清：按...方向，平移...距离画“平移”的依据和方法平行的条件与平行线性质的综合运用2．如图，直线a ∥b ，∠1＝70°，那么∠2= °．3．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝130°，则∠2＝ °．（第2题） （第3题） （第4题） （第5题） 4．如图，把边长为3cm 的正方形ABCD 先向右平移1cm ，再向上平移1cm ，得到正方形 EFGH ，则阴影部分的面积为 cm ²．5．把图中的一个三角形先横向平移x 格，再纵向平移y 格，可以与另一个三角形拼合成一 些不同形状的四边形．那么移动的总格数(x +y )的值最小为 ． 6．如图，点D 在AB 上，直线DG 交AF 于点E ．请从①DG ∥AC ，②AF 平分∠BAC ，③∠ADE ＝∠DEA ． 中任选两个作为条件，余下一个作为 结论，构造一个真命题，并说明理由． 已知： ， 求证： ．（填写序号） 证明：7．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在BC 上，EF ⊥AB ，垂足为F ． （1）CD 与EF 平行吗？为什么？（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB 的度数．四：拓展归类1.如图、直线a 、b 被c 所截，所标出的角中有哪些角是同位角？同位角一定相等吗？8765cab 4321b ac 78126543 a bc 56 4 81 23 7 ab122.三类角的位置特征、基本图形、图形结构特征如下表：3.（1）同位角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？内错角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？ （2）这三类角的共同特征是什么？总结：五、范例点睛例1、如图（1），∠1和∠2是直线_______、_______被直线_______所截得的_______角，∠2和∠3是直线_______、_______被直线_______所截得的_______角；如图（2），∠1和∠2是直线_______、_______被直线_______所截得的_______角，∠4和∠3是直线_______、_______被直线_______所截得的_______角。
第10讲全等三角形1、全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.【典例】例1（2019秋•越城区期末）下列图形中全等图形是⑤和⑦（填标号）．【解答】解：由全等形的概念可知：共有1对图形全等，即⑤和⑦能够重合．故答案为：⑤和⑦．【方法总结】本题考查的是全等形的识别，做题时一定要看是否重合，属于较容易的基础题．例2 （2020春•梁平区期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有②③．（填番号）【解答】解：由图可知，图上由实线围成的图形与①是全等形的有②，③，故答案为：②③．【随堂练习】1．（2019秋•新乐市期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：图形分割成两个全等的图形，．故选：B．2．（2019秋•淮阴区期中）全等图形是指两个图形（）A．大小相同B．形状相同C．能够完全重合D．相等【解答】解：全等图形是指两个图形的形状和大小都相等，故选：C．2、全等三角形的判定与性质（1）能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.（2）对应顶点，对应边，对应角两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B 和∠E，∠C和∠F是对应角.（3）找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.（4）全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.（5）全等三角形的判定①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．【典例】例1（2020春•抚州期末）如图，已知：AD与BC交于O点，OA＝OB，要使△AOC≌△BOD，添加一个你认为合适的条件为 OC ＝OD 或∠A ＝∠B 或∠C ＝∠D ．【解答】解：OC ＝OD ，理由是：∵在△AOC 和△BOD 中， {OA =OB∠AOC =∠BOD OC =OD， ∴△AOC ≌△BOD （SAS ），故答案为：OC ＝OD 或∠A ＝∠B 或∠C ＝∠D ．【方法总结】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以∠C ＝∠D 或∠A ＝∠B ．例2 （2020春•鼓楼区校级月考）如图，点E 在AB 上，∠A ＝∠B ＝∠CED ＝90°，CE ＝ED ．求证：△ACE ≌△BED ．【解答】证明：∵∠A ＝∠B ＝∠CED ＝90°， ∴∠C +∠CEA ＝90°，∠CEA +∠DEB ＝90°， ∴∠C ＝∠DEB ， 在△ACE 和△BED 中，∵{∠A =∠B∠C =∠DEB CE =DE，∴△ACE ≌△BED （AAS ）．【方法总结】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS．【随堂练习】1．（2020春•桂林期末）如图，点E，F在线段BD上，已知AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF．求证：△AFD≌△CEB．【解答】证明：∵DE＝BF，∴DE+EF＝BF+EF；∴DF＝BE；在Rt△ADF和Rt△BCE中{DF=BEAD=CB，∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL）．2．（2020春•西乡县期末）如图所示，O是线段AC、BD的交点，并且AC＝BD，AB＝CD．小明认为证明图中的△AOB和△DOC全等，他说连接BC或AD就可以了，请你用一种方法试一试看．【解答】证明：连接BC，在△ABC 和△DCB 中， {AB =DC BC =CB AC =DB， ∴△ABC ≌△DCB （SSS ）， ∴∠A ＝∠D ，又在△AOB 和△DOC 中 {∠AOB =∠DOC∠A =∠D AB =CD，∴△AOB ≌△DOC （AAS ）．3、全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．【典例】例1（2020春•富平县期末）如图，A ，B 两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A 、B 间的距离：现在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C ，连接AC 并延长到点D ，使CD ＝AC ，连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ；连接DE 并测量出它的长度．DE＝8m，求AB的长度．【解答】解：在△CDE和△CAB中，CD＝CA，∠DCE＝∠ACB，CE＝CB，所以△CDE≌△CAB（SAS），所以DE＝AB＝8m．【方法总结】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．例2（2020春•会宁县期末）要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的．【解答】证明：∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠BDE又∵CD＝BC，∠ACB＝∠DCE∴△EDC≌△ABC（ASA），∴DE＝BA．【方法总结】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．【随堂练习】1．（2020春•彭州市期末）两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上，其中直角三角尺的短直角边分别与∠AOB的两边上，两个直角三角尺的长直角边交于点P，连接OP，且OM＝ON，若∠AOB＝60°，OM＝6cm，则线段OP＝4√3cm．【解答】解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM＝ON，OP＝OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP＝∠NOP，∵∠AOB＝60°，∴∠MOP＝∠NOP＝30°，∵∠OMP＝90°，∴OP＝2MP，OM=√3MP＝6cm，∴MP＝2√3cm，∴OP＝4√3cm，故答案为：4√3．2．（2020春•顺德区校级期末）如图，一个三角形纸片被撕成三片，如果将其中的碎纸片拿去重新制作和原来三角形一模一样的三角形，应选第③片，原因是：ASA．【解答】解：应选第③片，原因是：ASA，故答案为：③，ASA．综合运用1．（2020秋•中原区校级月考）如图，下列各组条件中，不得到△ABC≌△BAD的是（）A．BC＝AD，∠BAC＝∠ABD B．AC＝BD，∠BAC＝∠ABDC．BC＝AD，AC＝BD D．BC＝AD，∠ABC＝∠BAD【解答】解：A．根据AB＝BA，BC＝AD，∠BAC＝∠ABD不能推出△ABC≌△BAD，故本选项符合题意；B．根据AC＝BD，∠BAC＝∠ABD，AB＝BA能推出△ABC≌△BAD（SAS），故本选项不符合题意；C．根据BC＝AD，AC＝BD，AB＝B能推出△ABC≌△BAD（SSS），故本选项不符合题意；D．根据BC＝AD，∠ABC＝∠BAD，AB＝BA能推出△ABC≌△BAD（SAS），故本选项不符合题意；故选：A．2．（2020春•锦江区校级期中）根据下列条件，能够唯一确定△ABC的是（）A．∠A＝40°，AB＝3.5cm，BC＝2.5cmB．AB＝5cm，AC＝4cm，∠C＝30°C．∠A＝60°，BC＝5cmD．AB＝4cm，BC＝3cm，AC＝5cm【解答】解：A、边边角不能确定三角形，本选项不符合题意．B、边边角不能确定三角形，本选项不符合题意．C、一边一角不能全等三角形，本选项不符合题意．D、边边边能全等三角形，本选项符合题意．故选：D．3．（2020春•肃州区期末）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（）A ．aB ．bC ．b ﹣aD ．12（b ﹣a ）【解答】解：连接AB ． 在△AOB 和△DOC 中， {OA =OD∠AOB =∠DOC BO =OC， ∴△AOB ≌△DOC ， ∴AB ＝CD ＝a ， ∵EF ＝b ，∴圆形容器的壁厚是12（b ﹣a ），故选：D ．4．（2020春•郏县期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB ＝AD ，BC ＝DC ，将仪器上的点与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，这样就有∠QAE ＝∠P AE ．则说明这两个三角形全等的依据是（ ）A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．SAS【解答】解：在△ADC 和△ABC 中，{AD =AB DC =BC AC =AC，∴△ADC ≌△ABC （SSS ），∴∠DAC ＝∠BAC ，即∠QAE ＝∠P AE ．故选：A ．5．（2020•顺德区模拟）如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ 135° ．【解答】解：∵在△ABC 和△ADE 中{AB =AD ∠B =∠D CB =DE，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴∠4＝∠3，∵∠1+∠4＝90°，∴∠3+∠1＝90°，∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝135°，故答案为：135°．6．（2020•怀柔区模拟）已知：点A ，D ，C 在同一条直线上，AB ∥CE ，AC ＝CE ，∠ACB ＝∠E ，求证：△ABC ≌△CDE ．【解答】证明：∵AB ∥CE ，∴∠A ＝∠ECD ．∵在△ABC 和△CDE 中，{∠A =∠ECDAC =CE ∠ACB =∠E，∴△ABC ≌△CDE （ASA ）．7．（2020春•青岛期末）如图，AB ∥CD ，∠B ＝∠D ，O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ．（1）试判断AD 与BE 有怎样的位置关系，并说明理由；（2）试说明△AOD ≌△EOC ．【解答】解：（1）AD ∥BE ，理由：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠DCE ，∵∠B ＝∠D ，∴∠DCE ＝∠D ，∴AD ∥BE ；（2）∵O 是CD 的中点，∴DO ＝CO ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠OCE ，在△ADO 和△ECO 中{∠D =∠OCEDO =CO ∠AOD =∠COE，∴△AOD ≌△EOC （ASA ）．8．（2020春•楚雄州期末）王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【解答】解：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC ，在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠CEB∠DAC =∠BCE AC =BC，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；由题意得：AD ＝EC ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ， ∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ），答：两堵木墙之间的距离为20cm ．。
七年级寒假衔接班讲义 第五讲 平方根1。
乘方:“n a ".乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数，读作a 的n 次方或a 的n 次幂.2.平方:“2a ”,读作a 的平方或a 的二次方.3.平方的性质:任何数的平方都是非负数；算术平方根概念:一般地，如果一个正数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的算术平方根，也就是说，如果x 2=a ，（x 〉0）那么x 叫做a 的算术平方根。
则a x = 算术平方根性质：（1)当a ≥0时a ≥0（由定义得出）即非负数的算术平方根是非负数⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a （由定义得出）（2)个数性质：正数和0的算术平方根据都只有一个（3)还原性质：当0≥a 时，a a =2)(，即非负数算术平方根的平方等于该非负数 完全平方数：能够完全开方开的尽的数。
如1,4，9,16，。
平方根概念:一般地,如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，也就是说，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根。
则a x ±=开平方:求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.即求a ±的运算叫开平方。
表示方法:一个正数a 的平方根表示为a ±;若x 2=a （a >0）则x=a ±。
平方根的性质:(1）个数性质：正数有两个平方根，它们互为相反数,0只有一个平方根就是0本身.负数没有平方根(2）还原性质：（由定义得出）当a ≥0时(a ±)2=a 即：非负数的平方根的平方等于该数（三）a a a ±-,,的含义:a :当a ≥0时，表示a 的算术平方根a -:当a ≥0时,表示a 的算术平方根的相反数 a ±：当a ≥0时,表示a 的平方根平方根的求法： 逆运算法，查表法，计算器,式子计算查表法的理论根据： 如果正数的小数点向右或向左移动2位，那么它的算术平方根的小数点就相应地向右、向左移动一位。
