高考数学知识点总复习教案空间几何体的结构、三视图和直观图

高一数学教师教案1.2. 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影一、教学目标1、知识与技能。

（1）了解什么是投影和投影线以及投影面（2）掌握什么是中心投影和平行投影。

2、过程与方法。

主要通过学生自己阅读来理解和掌握。

3．情感态度与价值观提高学生空间想象力二、教学重点、难点对陌生知识的临时理解与掌握能力，要引导好学生自学。

三、学法与教学用具学法：主要通过自学。

教具：三角板，手，以及身边的东西。

四、教学思路1、投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫投影；其中我们把光线叫投影线，把物体留下的影子的屏幕叫做投影面。

2、中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。

3、平行投影：我们把一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。

五、板书（略）1.2.2 空间几何体的三视图一、教学目标1．知识与技能（1）掌握画三视图的基本技能（2）丰富学生的空间想象力2．过程与方法主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

3．情感态度与价值观（1）提高学生空间想象力（2）体会三视图的作用二、教学重点、难点重点：画出简单组合体的三视图难点：识别三视图所表示的空间几何体三、学法与教学用具1．学法：观察、动手实践、讨论、类比2．教学用具：实物模型、三角板四、教学思路（一）创设情景，揭开课题“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。

在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？（二）实践动手作图1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图（1）画出球放在长方体上的三视图（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。

高一数学必修二教案下图中的手影游戏，你玩过吗？光是直线传播的，一个不透明物体在光的照射下，在物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.思考1:不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？一、中心投影与平行投影思考2:用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？思考3:用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？思考4:用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？思考5:在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？思考6:一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？投影的分类：把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形.从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面，并给出下列概念：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图.侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图.俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图.几何体的正视图、侧视图和俯视图，统称为几何体的三视图.思考1:正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的哪三个角度观察得到的几何体的正投影图？它们都是平面图形还是空间图形？思考3:圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？思考5:球的三视图是什么？下列三视图表示一个什么几何体？例1：如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放，试分别画出其三视图，并比较它们的异同.1.空间几何体的三视图：正视图、侧视图、俯视图；2.三视图的特点：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图和正视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样；高一数学必修二教案思考1:在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎么处理？思考2:如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图是什么？思考4:如图，桌子上放着一个长方体和一个圆柱，若把它们看作一个整体，你能画出它们的三视图吗？一个空间几何体都对应一组三视图，若已知一个几何体的三视图，思考2:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并作适当描述.例2：将一个长方体挖去两个小长方体后剩余的部分如图所示，试画出这个组合体的三视图.例3：说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.画出下面几何体的三视图2.画出左下图几何体的三视图.3.画出者个组合体的三视图本节我们主要学习了1、画简单组合体的三视图2、根据三视图还原几何体高一数学必修二教案空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形.思考1:把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？思考2:把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？思考4:你能用上述方法画水平放置的正六边形的直观图吗？思考5:上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法，对于水平放置的多边形，常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.你能概括出斜二测画法的基本步骤和规则吗？思考6:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出思考2:怎样画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图？思考3:怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？思考4:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？思考5:已知一个几何体的三视图如下，这个几何体的结构特征如何？试用斜二测画法画出它的直观图.例1：如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积.空间几何体的直观图的作法:1.斜二测画法：画多边形2.正等测画法：画圆形空间几何体的直观图的特点:3、保持平行关系和竖直关系不变．。

7.1空间几何体【高考目标定位】一、空间几何体的结构及其三视图和直观图1、考纲点击（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。

2、热点提示1、高考考查的热点是三视图和几何体的结构特征，借以考查空间想象能力；2、以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。

二、空间几何体的表面积与体积1、考纲点击了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；2、热点提示（1）通过考查几何体的表面积和体积，借以考查空间想象能力和计算能力；（2）多与三视图、简单组合体相联系；（3）以选择、填空的形式考查，属容易题。

【考纲知识梳理】一、空间几何体的结构及其三视图和直观图1、多面体的结构特征（1）棱柱（以三棱柱为例）如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等。

各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C。

（2）棱锥（以四棱锥为例）如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形。

（3）棱台棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台。

2、旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴。

3、空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。

4、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x’轴、y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行。

学习资料第一节空间几何体的结构、三视图和直观图授课提示:对应学生用书第119页［基础梳理]1．空间几何体的结构特征（1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且相等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2）旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形全等的圆侧面展开图矩形扇形扇环（1）画法：常用斜二测画法．（2）规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°（或135°），z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．简记为：横同竖半，平行性不变．3．三视图（1）几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．（2)三视图的画法①基本要求:长对正,高平齐,宽相等．②画法规则：主左一样高,主俯一样长，左俯一样宽；看到的线画实线,看不到的线画虚线．1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝错误!S原图，S原图＝2错误!S直观图．2．球心到截面的距离d＝错误!（其中R为球的半径，r为截面半径）．［四基自测]1．（基础点:三视图的画法规则)若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为()A．2，2错误!B．2错误!,2C．4，2D．2，4答案:D2．（易错点：三视图的识别)将正方体(如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图(2）所示的几何体,则该几何体的左视图为()答案：B3。

(基础点：直观图的画法规则）如图，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.答案：矩形8授课提示：对应学生用书第120页考点一空间几何体的结构特征［例]（1）下列结论正确的是（)A．以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台［解析］∵这条腰必须是垂直于两底的腰，∴A错；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形,∴C错；必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台，D错．故选B.［答案] B(2）下列结论正确的是（)A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[解析］A错误．如图（1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥．图(1）B错误．如图（2)，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．图（2）C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．［答案] D(3）给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．［解析]①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD。

高中数学《1.2空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修（含五篇）第一篇：高中数学《1.2空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修高中数学《1.2 空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修2一、二、三、教学目标：1知识与技能：了解中心投影与平行投影；能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表示的空间几何体。

2过程与方法：通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成“观察、思考”栏目中提出的问题。

3情感态度与价值观：培养学生空间想象能力和动手实践能力，激发学习兴趣。

二、教学重点：画出简单组合体的三视图三、教学难点：识别三视图所表示的空间几何体四、教学过程：(一)、新课导入：问题1：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？引入：从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。

不识庐山真面目，只缘身在此山中。

” 对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上.三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形；直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形.用途：工程建设、机械制造、日常生活.(二)、讲授新课： 1.中心投影与平行投影：① 投影法的提出：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。

人们将这种自然现象加以的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。

② 中心投影：光由一点向外散射形成的投影。

其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.③平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影.分正投影、斜投影.讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果.2.柱、锥、台、球的三视图：① 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上到下）② 讨论：几何体三视图在形状、大小方面的关系？→ 画出长方体的三视图，并讨论所反应的长、宽、高的关系，得出结论：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高。

高考数学空间几何体的结构及其三视图和直观图知识点复习教案第八编立体几何§8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图下列不正确的命题的序号是.①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答案①②③如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角是.答案60°如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是c2.答案一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为.答案已知正三角形ABc的边长为a,那么△ABc的直观图△A′B′c′的面积为.答案a2例1下列结论不正确的是.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案①②③解析①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.②错误.如下图，若△ABc不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.④正确.例2已知△ABc的直观图A′B′c′是边长为a的正三角形，求原三角形ABc的面积.解建立如图所示的xoy坐标系，△ABc的顶点c在y轴上，AB边在x轴上，oc为△ABc的高.3分把y轴绕原点顺时针旋转45°得y′轴，则点c变为点c′，且oc=2oc′，A、B点即为A′、B′点，AB=A′B′.6分已知A′B′=A′c′=a，在△oA′c′中，由正弦定理得=，9分所以oc′==,所以原三角形ABc的高oc=a，12分所以S△ABc=×a×a=2.14分例3一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.解由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA′=BB′=cc′=4c,正三角形ABc和正三角形A′B′c′的高为2c.∴正三角形ABc的边长为|AB|==4.∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42sin60°=48+8.体积为V=S底•|AA′|=×42sin60°×4=16.故这个三棱柱的表面积为c2,体积为16c3.例4棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形的面积.解如图所示，△ABE为题中的三角形，由已知得AB=2，BE=2×=,BF=BE=,AF===,∴△ABE的面积为S=×BE×AF=××=.∴所求的三角形的面积为.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是.①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案①③④一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形,则原平面四边形的面积等于.答案2a2已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.求该几何体的体积V；求该几何体的侧面积S.解由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABcD是边长为6和8的矩形，高Vo=4，o点是Ac与BD的交点.∴该几何体的体积V=×8×6×4=64.如图所示，侧面VAB中，VE⊥AB，则VE===5∴S△VAB=×AB×VE=×8×5=20侧面VBc中，VF⊥Bc，则VF===4.∴S△VBc=×Bc×VF=×6×4=12∴该几何体的侧面积S=2=40+24.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2c的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1c，那么该棱柱的表面积为c2.答案2+4。

专题38 空间几何体的结构及其三视图和直观图1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2。

能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3。

会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式．1．空间几何体的结构特征2.【方法与技巧】1．三视图的画法特征“长对正、宽相等，高平齐”,即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．2．求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法（1）转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值．【失误与防范】1．画三视图应注意的问题（1）若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．（2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同,所画的三视图也不同．2．求空间几何体的表面积应注意的问题（1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．（2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错。

高频考点一空间几何体的结构特征例1、给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是（)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【方法技巧】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析，多观察实物，提高空间想象能力；（2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；(3)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．【变式探究】下列结论正确的是( )A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B。

第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特理解空间直线、平面位置关系的定义．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空理解直线的方向向量与平面的法向量．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看到的线画实线，看不到的线画虚线．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( )(4)在正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( )(6)菱形的直观图仍是菱形．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：选B.根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析：选B.根据选项A、B、C、D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．(教材习题改编)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体为________．答案：四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2. 答案：矩形8空间几何体的结构特征[典例引领](1)下列结论正确的是( )A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台(2)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A 错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错．(2)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台．【答案】(1)B (2)B空间几何体概念辨析问题的常用方法[通关练习]1．给出下列命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③显然错误．2．下列说法正确的是( )A．以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解析：选D.球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，A错误．对于B，如图，满足有两个面平行，其余四个面都是等腰梯形，但它不是棱台，故B错．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．C错误．由母线的概念知，选项D正确．空间几何体的三视图(高频考点)空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题．高考对三视图的考查主要有以下三个命题角度：(1)由空间几何体的直观图识别三视图；(2)由空间几何体的三视图还原直观图；(3)由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图．[典例引领]角度一由空间几何体的直观图识别三视图(2018·惠州市第三次调研考试)如图所示，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视图为( )【解析】从几何体的左面看，对角线AD1在视线范围内，画实线，棱C1F不在视线范围内，画虚线．【答案】 B角度二由空间几何体的三视图还原直观图(2017·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A ．3 2B ．2 3C ．2 2D ．2【解析】 由三视图还原为如图所示的四棱锥A －BCC 1B 1，从图中易得最长的棱长为AC 1＝AC 2＋CC 21＝（22＋22）＋22＝23，选B. 【答案】 B角度三 由空间几何体的部分视图画出剩余部 分视图(2018·广州市综合测试(一))如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )【解析】由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．【答案】 D三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )解析：选B.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.空间几何体的直观图[典例引领]如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形【解析】如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2 cm，所以OC＝OD2＋CD2＝（42）2＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形，因此选C.【答案】 C若本例中直观图为如图所示的一个边长为1 cm的正方形，则原图形的周长是多少？解：将直观图还原为平面图形，如图．可知还原后的图形中OB＝22，AB＝12＋（22）2＝3，于是周长为2×3＋2×1＝8(cm)．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.[通关练习]1．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：选D.由斜二测画法可知在原四边形ABCD 中DA ⊥AB ，并且AD ∥BC ，AB ∥CD ，故四边形ABCD 为矩形．2．在等腰梯形ABCD 中，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________． 解析：因为OE ＝（2）2－12＝1， 所以O ′E ′＝12，E ′F ′＝24.所以直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.答案：22常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．根据几何体的三视图判断几何体的结构特征(1)三视图为三个三角形，一般对应三棱锥；(2)三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥；(3)三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥；(4)三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱；(5)三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱．明确三视图与几何体的数量关系正(主)视图、侧(左)视图的高就是空间几何体的高；正(主)视图、俯视图的长就是空间几何体的最大长度；侧(左)视图、俯视图中的宽就是几何体的最大宽度．易错防范(1)台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．(2)空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．(3)对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．1．下列说法正确的有( )①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选 A.①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．2.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.3．如图所示，上面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )A．①②B．②③C．③④D．①⑤解析：选D.圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件；故截面图形可能是①⑤.4．(2018·惠州市第三次调研考试)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B. 2C. 3 D．2解析：选 C.根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V­ABCD，其中VB⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.5．(2017·高考全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A．10 B．12C．14 D．16解析：选B.由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为（2＋4）×22×2＝12，故选B.6．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________．解析：由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝24S＝52(cm2)．答案：5 2 cm27．如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是________．解析：过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．答案：两个圆锥的组合体8．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．解析：由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．答案：29.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2 cm.由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝（62）2＋62＝6 3 (cm)．10.如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V­ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求△AEF周长的最小值．解：如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．取AA1的中点D，连接VD，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°.在Rt△VAD中，AD＝VA·sin 60°＝3，所以AA1＝2AD＝6，即△AEF周长的最小值为6.1．某几何体的正视图和侧视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图(2)，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为( )A．48 B．64C．96 D．128解析：选C.由题图(2)及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC，设CB与y轴的交点为D，则易知CD＝2，OD＝2×22＝42，所以CO＝CD2＋OD2＝6＝OA，所以俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选C.2．一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )解析：选D.由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.3．(2018·福建泉州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )A ．圆弧B ．抛物线的一部分C ．椭圆的一部分D ．双曲线的一部分解析：选D.根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.4．(2018·广东文雅中学、江西南昌二中联考)某四面体的三视图如图所示，在该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是( )A ．2B ．4C ．2＋ 5D ．4＋2 5解析：选C.由三视图可得原几何体如图所示，由三视图知该几何体的高PO ＝2，底面ABC 是边长为2的等腰直角三角形，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，则BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥PC ，所以直角三角形有△PBC 和△ACB ，易求得PC ＝22＋12＝5，又BC ＝2，所以S△PBC＝12×2×5＝5，又S △ABC ＝12×2×2＝2，所以该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为2＋5，故选C.5．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．解：(1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．6．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．解：(1)正六棱锥．(2)其侧视图如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝3a，AD的长是正六棱锥的高，即AD＝3a，所以该平面图形的面积S＝12·3a·3a＝32a2.。

第十章立体几何高考导航知识网络10.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图典例精析题型一结构特征判断【例1】以下命题错误的个数是 ( )①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥；②圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；④三棱锥的四个面可能都是直角三角形；⑤有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】①错：只能以直角边为轴旋转一周才可；②错：必相交；③对：如图，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD时，四个侧面均为直角三角形；④对：如图，∠ABC＝90°，PA⊥底面，则四个面均为直角三角形；⑤错：只有侧棱延长交于一点时才是棱台.综上，错误的个数是3，故选C.【点拨】判断结构特征必须严格依据柱、锥、台、球的定义，结合实际形成一定的空间想象能力.【变式训练1】给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线互相平行.其中正确命题的序号是.【解析】②④.题型二直观图的斜二测画法【例2】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )【解析】按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A符合题意. 【点拨】本题已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力.要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系. 【变式训练2】已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求原三角形的面积.【解析】因为直观图的坐标轴成45°，横长不变，竖长画成原来的一半，则还原成原图时将45°还原成90°，则过A′作A′O′与O′C′成45°，将其还原成90°，且AO＝2A′O′.而A′D′＝32a.所以A′O′＝32a×2＝62a，所以AO＝6a.所以S△ABC＝12BC· AO＝12a×6a＝62a2.题型三三视图与直观图【例3】四棱柱ABCD－A1B1C1D1的三视图如下.(1)求出该四棱柱的表面积；(2)求证：D1C⊥AC1；(3)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由. 【解析】(1)求得该四棱柱的表面积为S＝11＋2 2.(2)证明：由三视图得该四棱柱为直四棱柱且底面为直角梯形.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D.因为DC＝DD1，所以四边形DCC1D1是正方形.所以DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，所以AD⊥平面DCC1D1.又D1C⊂平面DCC1D1，所以AD⊥D1C.因为AD，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，所以D1C⊥平面ADC1.又AC1⊂平面ADC1，所以D1C⊥AC1.(3)连接AD1，AE，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN.因为平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，又M是AD1的中点，所以N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN，所以AB＝DE，即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.【点拨】本题以三视图为载体考查空间线面位置关系的证明以及表面积的计算，解决此类问题的关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现相应的位置关系与数量关系，然后在直观图中解决问题.【变式训练3】如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的标号依次是( )①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱.A.④③②B.①③②C.①②③D.④②③【解析】选A.总结提高学习空间几何体的结构要以对实物的观察想象为基础，再以课本中给定的柱、锥、台、球的概念为标准对实物进行再认识，通过这一过程提高空间想象能力.。

第7章立体几何初步第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图[考纲传真] 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式．1．多面体的结构特征2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.(1)在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴,y′轴的夹角为45°或135°,z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．[常用结论]1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积的关系如下．S直观图＝24S原图形,S原图形＝22S直观图．2．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．3．正棱柱、正棱锥的结构特征(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)夹在两个平行的平面之间,其余的面都是梯形,这样的几何体一定是棱台．()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)如图所示,长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分,其中EH∥A′D′,则剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体C[由几何体的结构特征,剩下的几何体为五棱柱．]3．下列说法正确的是()A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行D[根据斜二测画法的规则知,A,B,C均不正确,故选D.]4．某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱A[由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形,而圆柱的正视图不可能为三角形．]5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．2π[由题意得圆柱的底面半径r＝1,母线l＝1,所以圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π.]空间几何体的结构特征1．给出下列命题：(1)棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形；(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直；(3)在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；(4)存在每个面都是直角三角形的四面体；(5)棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的个数为()A．2B．3C．4D．5C[(1)不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等；(2)正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；(3)正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面；(4)正确,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形；(5)正确,由棱台的概念可知．]2．以下命题：(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(4)一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3B[命题(1)错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥；命题(2)错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题(3)对；命题(4)错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．] 3．下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D[A错误．如图①所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥．图①图②B错误．如图2,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边所在直线,所得的几何体都不是圆锥．C错误．由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长．D正确．] [规律方法]解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例即可.(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.空间几何体的三视图►考法1已知几何体,识别三视图【例1】(1)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()(2)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图可能为()(1)A(2)D[(1)由题意可知,咬合时带卯眼的木构件如图所示,其俯视图为选项A中的图形．(2)由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面ACD⊥平面BCD,故选D.]►考法2已知三视图,判断几何体【例2】(1)(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)(2019·郑州模拟)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为________．(1)C(2)22[(1)在正方体中作出该几何体的直观图,记为四棱锥P-ABCD,如图,由图可知在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为3,故选C.(2)由三视图可知该三棱锥的底面是斜边长为2的等腰直角三角形,有一条长度为2的侧棱垂直于底面,所以三条侧棱长分别是2,6,2 2.故该三棱锥中最长棱的棱长为2 2.] ►考法3已知三视图中的两个视图,判断另一个视图【例3】(1)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为()(2)(2018·衡水模拟)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为1 2,则该几何体的俯视图可以是()(1)C(2)C[(1)由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示,所以该几何体的俯视图为C.(2)由该几何体的正视图和侧视图可知该几何体是柱体,且其高为1,由其体积是12,可知该几何体的底面积是12,由图知A的面积是1,B的面积是π4,C的面积是12,D的面积是π4,故选C.][规律方法] 1.已知几何体,识别三视图的技巧,已知几何体画三视图时,可先找出各个顶点在投影面上的投影,然后再确定线在投影面上的实虚.2.已知三视图,判断几何体的技巧(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.(2)明确三视图的形成原理,“直角本由垂线生,虚线皆因遮挡起”,并能结合空间想象将三视图还原为直观图.(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.(4)对于简单组合体的三视图,应注意它们的交线的位置,区分好实线和虚线的不同.A．1 B.2 C.3D．2(2)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2,且侧棱AA1⊥底面ABC,其正视图是边长为2的正方形,则此三棱柱侧视图的面积为()A. 3 B．2 3 C．2 2 D．4(1)C(2)B[(1)由三视图可知AD＝BC＝CD＝DE＝EB＝1,AE＝AC＝2,AB＝ 3.所以最长棱棱长为 3.(2)其侧视图为一矩形,其宽为三棱柱底面正三角形的高．所以面积S＝2 3.]空间几何体的直观图【例4】(1)已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2C.68a2 D.616a2(2)如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′＝6 cm,O′C′＝2 cm,则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形(1)D(2)C[(1)如图①②所示的实际图形和直观图,由图②可知,A′B′＝AB＝a,O′C′＝12OC＝34a,在图②中作C′D′⊥A′B′于D′,则C′D′＝22O′C′＝68a,所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2,故选D.(2)如图,在原图形OABC中,应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm),CD＝C′D′＝2 cm.所以OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm),所以OA＝OC,故四边形OABC是菱形,故选C.][规律方法] 1.用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出．2．平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图,除掌握斜二测画法外,记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝24S,能更快捷地进行相关问题的计算．腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是________．(2)如图正方形OABC 的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是________cm.(1)2＋2 (2)8 [(1)把直观图还原为平面图形得：在直角梯形ABCD 中,AB ＝2,BC ＝2＋1,AD ＝1,所以面积为12(2＋2)×2＝2＋ 2.(2)由题意知正方形OABC 的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,所以OB ＝2 cm,对应原图形平行四边形的高为2 2 cm,所以原图形中,OA ＝BC ＝1 cm,AB ＝OC ＝(22)2＋12＝3 cm,故原图形的周长为2×(1＋3)＝8 cm.]1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )A．217B．2 5C．3 D．2B[设过点M的高与圆柱的下底面交于点O,将圆柱沿MO剪开,则M,N的位置如图所示,连接MN,易知OM＝2,ON＝4,则从M到N的最短路径为OM2＋ON2＝22＋42＝2 5.]2．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A．10B．12C．14D．16B[观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B.]。