《点集拓扑学》第一章2

《点集拓扑学》第一章集合论初步本章介绍有关集合论的一些基木知识.从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识.至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述.旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。

这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑，可以去研读有关公理集合论的专著.即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基木知识，以及其中的四则运算，大小的比较（＜和W）,和实数理论中关于实数的完备性的论断（任何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的.此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早己熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理.§1.1集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体.例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”，“所有整数的集合”等等.集合也常称为集，族，类.集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”构成的.例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素.元素也常称为元，点，或成员.集合也可以没有元素.例如平方等于2的有理数的集合，既大于1 又小于2的整数的集合都没有任何元素.这种没有元素的集合我们称之为空集，记作0・此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集.集合的表示法：（1）用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样）, 是定义集合的一个重要方式.（2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号匕|关于x的一个命题P｝表示使花括号中竖线后而的那个命题P成立的所有元素x构成的集合.例如，集合｛* X为实数，并且0<Xl｝即通常所谓开区间（0, 1）.在运用集合这种定义方式时有时允许一些变通，例如集合｛戏以是实数｝便是集合｛刃丿=/,其中％是实数｝的简略表示,不难明口这个集合实际上是由全体非负实数构成的.集合表示方式中的竖线“丨”也可用冒号“：”或分号”来代替.（3）列举法：也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合.例如表示由元素 TJ构成的集合.如果确实不至于发生混淆，在用列举的办法表示集合时容许某种省略.例如，有时我们可以用｛1, 2, 3,・・・｝表示全体正整数构成的集合，用｛1, 3, 5,…｝表示全体正奇数相成的集合.但我们并不鼓励这种做法，因为后而的规律不是很清楚，容易产生误解.我们再三提请读者注意：不管你用任何一种方式定义集合，最重要的是不允许产生歧义，也就是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的.在本书中，我们用：乙表示全体正整数构成的集合，称为正整数集；Z表示全体整数构成的集合，称为整数集；Q表示全体有理数构成的集合，称为有理数集；R表示全体实数构成的集合，称为实数集；并且假定读者熟知这些集合.以下是一些常用的记号：e：表示元素与集合的关系，如：xex , xe｛x｝等G表示集合与集合的关系，如：AUB （等价于（这个记号即是通常数学课木中的匚）二：表示与上述相反的含义.表示两个集合相等，女口：A二B （等价于以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题，从直觉着去看也是自明的.定理1.1.1设A, B, C都是集合，贝!J(1)A=A；(2)^A=B,则B=A；(3)^A=B, B=C,则A=C.定理1. 1.2设A, B, C都是集合，则(1)A"；(2)若AuB, BUA,则A=B；(3)若AUB, BUC,则A".证明(1)显然.(2)AUB 意即:若xWA,贝iJxGB；BS意即：若xGB,则xWA.这两者合起来正好就是A=B的意思.(3)xGA.由于AUB,故xGB；又由于B UC,从而x^C.综上所述，如果xeA就有xec.此意即AUC.因为空集0不含任何元素，所以它包含于每一个集合之中.由此我们可以得出结论：空集是惟一的.设A, B是两个集合.如果AUB,我们则称A为B的子集;如果A是B的子集，但A又不等于B,即AUB, AHB,也就是说A 的每一个元素都是B的元素，但B中至少有一个元素不是A的元素，这时，我们称A为B的真子集.我们常常需要讨论以集合作为元素的集合，并且为了强调这一特点，这类集合常称为集族.例如,缶{⑴，{1,2}, {1,2,3}}是一个集族. 它的三个元素分别为:{1}, {1,2}, {1,2, 3}及d设X是一个集合，我们常用尸（X）表示X的所有子集构成的集族, 称为集合X的幕集.例如，集合{1, 2}的幕集是P{⑴，{1, 2},⑵，0}.木章中所介绍的集合论是所谓“朴素的”集合论.在这种集合论中，“集合”和“元素”等基本概念均不加定义而被认作是自明的.正因为如此，历史上曾经产生过一些悖论.而对于绝大多数读者来说了解朴素的集合己是足够的了，只是要求他们在运用的时候保持适当的谨慎，以免导致逻辑矛盾•例如，我们应当知道一个集合本身不能是这个集合一个元素.即：若A是集合则AWA不成立.这一点是容易理解的.例如，由一些学生组成的一个班级决不会是这个班级里的一名学生.因此，我们不能说“所有集合构成的集合”，因为如果有这样一个“集合”的话，它本身既是一个集合，就应当是这个“所有集合构成的集合”的一个元素了.也因此，我们应当能够了解一个元素a和仅含一个元素a的单点集4}是两回事，尽管我们有时为了行文的简便而在记号上忽略这个区别.作业:掌握集合、元素的概念、表示法熟练区分“G”与“U”的意义§1.2集合的基本运算在这一节中我们介绍集合的并、交、差三种基本运算，这三种运算的基本规律，以及它们与集合的包含关系之间的基本关联.定义1.2. 1设A与B是两个集合.集合｛x|xeA或xWB｝称为集合A与集合B的并集或并，记作AUB, 读为A并B.集合｛x|x eA且xWB｝称为集合A与集合B的交集或交，记作AAB, 读为A交B.若AQB二0,则称集合A与集合B无交或不相交；反之，若AQBH0,则称集合A与集合B有（非空的）交.集合｛x|xeA且x吃B｝称为集合A与集合B的差集，记作A\B或A -B,读为A差B,或A减B.关于集合的并、交、差三种运算之间，有以下的基本规律.定理1.2.1设A, B, C都是集合.则以下等式成立：（1）幕等律AUA=AADA=A（2）交换律AUB=BUA AnB=BnA(3)结合律(AUB) UC=AU (BUC)(AAB) nc=An (BAC)(4)分配律(APB) UC=(AUC) Cl (BUC)(AUB) nc=(Anc)u (Bnc)(5)DeMongan 律A-(BUC)= ( (A-B) A (A-C)A-((BnC) = (A-B)U(A-C)集合的并、交、差三种运算与集合间的包含关系之间有着以下基本关联.定理1.2.2设A, B是两个集合.下列三个条件等价：(1)A UB；(2)AnB=A；(3)AUB=B・定义1.2.2设X是一个基础集.对于X的任何一个子集A,我们称X-A 为A (相对于基础集X而言)的补集或余集记作占.我们应当提醒读者，补集占的定义与基础集的选取有关.所以在研究某一个问题时，若用到补集这个概念，在整个工作过程中基础集必须保持不变.定理1.2.3设X是一个基础集.若A, B为X的子集，则Au0=A,Ar^0 = 0,AuX = X,Ar^X =AAuA = X,Ar\A r = 0}{AuBy =A r\B，XAr\B')' = A以上证明均只须用到集合的各种定义，此处不证,略去. 作业：熟记这两节的各种公式.掌握证明两个集合A二B与AUB的基本方法KugO冷亡虫,=疋B(/ = E o 且 u R A B u 力)§1.3关系我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、次序、运算，以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系.为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念.定义1.3. 1设X和Y是两个集合.集合{ (x, y) |xex, yey}称为X与Y的笛卡儿积，记作XXY,读为X叉乘Y.其中(x, y)是一个有序偶，x称为(x, y)的第一个坐标，y称为(x, y)的第二个坐标.X称为XXY的第一个坐标集，Y称为XXY的第二个坐标集•集合X与自身的笛卡儿积XXX称为X的2重(笛卡儿)积,通常简单记作胪.有点儿不幸的是我们用于有序偶的记号和用于“开区间”的记号是一样的，有时容易混淆.因此在可能发生混淆的情形下应当加以说明，以避免误解.给定两个集合，通过取它们的笛卡儿积以得到一个新的集合，这个办法对于读者并不陌生.以前学过的数学中通过实数集合构作复数集合，通过直线构作平面时，用的都是这个办法.我们应当注意，一般说来集合X与集合Y的笛卡儿积XXY完全不同于集合Y与集合X的笛卡儿积YXX.定义1. 3. 3设X,Y是两个集合•如果R是X与Y的笛卡儿积XXY 的一个子集，即RUXXY,则称R是从X到Y的一个关系.定义1. 3.4设R是从集合X到集合Y的一个关系，即RCXXY.如果(x, y) WR,则我们称x与y是R相关的，并且记作xRy・如果AUX, 则Y的子集{yWY|存在xeA使得xRy}称为集合A对于关系R而言的象集，或者简单地称为集合A的象集，或者称为集合A的R象，并且记作R (A) , R (X)称为关系R的值域.关系的概念是十分广泛的.读者很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数(映射)，等价，序，运算等等概念都是关系的特例.这里有两个特别简单的从集合X到集合Y的关系，一个是XXY 本身，另一个是空集(1).请读者自己对它们进行简单的考查.定义1. 3.5设R是从集合X到集合Y的一个关系，即RCXXY.这时笛卡儿积YXX的子集{ (y, x) eYXX|xRy}是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且记作尺一】.如果BUY, X的子集氏"(B)是集合B的氏一】象，我们也常称它为集合B对于关系R而言的原象，或者集合B的R原象.特别，关系氏" 的值域氏"(Y)也称为关系R的定义域.定义1. 3.6设R是从某个X到集合Y的一个关系，即RuXX Y, S 是从集合y到集合Z的一个关系，即SuYX乙集合{ (x, z) exXY 存在yGY使得xRy并且ySz}是笛卡儿积XXZ的一个子集，即从集合X到集合Z的一个关系，此关系称为关系R与关系S的复合或积，记作SoR.定理1.3.1设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y 到集合Z的一个关系，T是从集合Z到集合U的一个关系.贝!J：(1)(L)J 二R证明(略)定理1.3.2设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从某个Y 到集合Z的一个关系.则对于X的任意两个子集A和B,我们有：(1)R (AUB) =R (A) UR (B)；(2)R (AAB) UR (A) AR (B)；(3)(SoR) (A) =S(R(A)).证明(略)在本节的最后我们要提到有限个集合的笛卡儿积的概念，它是两个集合的笛卡儿积的概念的简单推广.定义1. 3. 7 设瓦耳必是n>l个集合.集合I x i e X、® € X2e X x")称为舟‘兀*•••** 的笛卡儿积,并且记作或者［］益其中(心心…石为有次序的n元素组，勺(i=l, 2, —n)称为n 元素组(忑旳…心)的第i个坐标，X i (i = l, 2,…, n)称为笛卡儿积乂\莫2”••召的第i个坐标集.n>l个集合X的笛卡儿积XXXX-XX常简单地记作炉n个集合的笛卡儿积的概念读者必然也不会感到陌生，在线性代数中n维欧氏空间作为集合而言就是n个直线(作为集合而言)的笛卡儿积.需要提醒读者的是，如果你在给定的n个集合中交换了集合的次序，一般说来得到的笛卡儿积会是完全不同的集合.至今我们并未定义“0个集合的笛卡儿积”，此事将来再以某种方式补充・(参见§9.1) 作业：理解“关系”的概念，掌握“关系”与“映射”的异同，“映射” 与“函数”的异同.(映射要求象惟一，关系没要求.函数要求定义域与值域是数域，而映射不一定)掌握运算乘积的概念与性质掌握集合的笛卡儿积中元素的形式§1.4等价关系初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的.这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念.在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间.定义1. 4. 1设X是一个集合.从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系.集合X中的关系｛(x, x) |xex｝称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△ (X)或△・定义1.4.2设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如果厶(X) CR,即对于任何xex,有xRx；关系R称为对称的，如果恥L , 即对于任何x, yex,如果xRy则yRx；关系R称为反对称的，如果RnR-1 =0,即对于任何x, yex, xRy和yRx不能同时成立；关系R 称为传递的，如果RoRUR,即对丁-任何x, y, zGX,如果xRy, yRz, 则有xRz.集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合X中的一个等价关系.容易验证集合X中的恒同关系△ (X)是自反、对称、传递的，因此是X中的一个等价关系.集合X的幕集尸(X)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“相等关系”可以理解为集合尸(X) X尸(X)的子集{ (A, B) |A, B"(X), A=B}从定理1.1.1中可见，它是自反、对称、传递的，因此是尸(X) 中的一个等价关系.集合X的幕集尸(X)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“包含关系”可以理解为集合尸(X) X尸(X)的子集{ (A, B) |A, B" (X), AuB}根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是尸(X)中的一个等价关系.集合X的幕集尸(X)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“真子集关系”可以理解为集合尸(X) X尸(X)的子集{(A, B) |A, BW尸(X), A U B,AHB}根据定理1.1.3可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的, 因而不是尸(X)中的一个等价关系.实数集合R中有一个通常的小于关系＜,即RXR的子集{ (x, y) |x, yGR, x＜y}容易验证关系＜是反对称的，传递的，但不是自反的.设p是一个素数，我们在整数集合Z中定义一个关系三p如下：=?-{ (x, y) WZXZ］存在nGZ 使得x —y 二np}关系J常称为模P等价关系，容易验证模P等价关系J是自反的, 对称的，传递的，因此是z中的一个等价关系.定义1. 4.3设R是集合X中的一个等价关系.集合X中的两个点x, y,如果满足条件：xRy,则称x与y是R等价的，或简称为等价的; 对于每一个xeX,集合X的子集：｛yWXlxRy｝称为x的R等价类或等价类，常记作【心或[x],并且任何一个yG【心都称为R等价类【心的一个代表元素；集族｛t^l xeX｝称为集合X相对于等价关系R而言的商集，记作X/R.我们考虑整数集合Z中的模2等价关系勺，易见，1巳3和2巳8.因此1与3是勺等价的，2和8也是三2等价的.整数2所属的等价类是所有偶数构成的集合，每一个偶数都可以叫做这个等价类的一个代表元素.此外易见，商集Z/三2有且仅有两个元素：一个是所有奇数构成的集合，另一个是所有偶数构成的集合.下面这个定理说明，给定了一个等价关系，等于说给定了一个分类的原则，把一个非空集合分割成一些非空的两两无交的等价类，使得这集合的每一个元素都在某一个等价类中.定理1.4.1设R是非空集合X中的一个等价关系.贝!(1)如果xex,则xW【心，因而【刃宀；(2)对于任意x, yGX,或者MlwAL,或者证明(1)设xex,由于R是自反的，所以xRx,因此*丘闪匚・・・【刃上工0・（3）对于任意x, yWX,如果，设zW[x]C[y].此时有zRx,且zRy.由于R是对称的，所以xRz・又由于R是传递的，所以xRy・对于任何一个t e【刃丘，有t Rx,由上述xRy和R的传递性可见tRy, 即tel-xh.这证明MbuAL同理可证【刃上ukk.因此【刃2【词上（注意：要证或者…或者…，应从以下入手：否定掉一个，去证另一个）在初等数论中我们早就知道整数模（素数）P的等价关系J将整数集合Z分为互不相交的等价类，每一个等价类记作[刘去，称为整数X的模P同余类.让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程：首先将固定向量定义为平面（或n维欧氏空间）中的有序偶；然后在全体固定向量构成的集合（暂时记为X）中定义一个关系〜，使得两个固定向量x和y 〜相关（即x〜y）当且仅当x能通过平而（或n维欧氏空间）的一个平移与y重合.容易验证这个关系〜是X中的一个等价关系.每一个~等价类便称为一个自由向量.作业：熟练掌握等价关系，等价类的概念.掌握商集的概念.明确商集的构成§1.5映射数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线性代数中的线性变换概念等等都是读者所熟知的概念.这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的映射概念.定义1. 5. 1设F是从集合X到集合Y的一个关系.如果对于每一个x WX存在惟一的一个y丘Y使得xFy,则称F是从X到Y的一个映射, 并且记作F： X-Y.换言之，F是一个映射，如果对于每一个xex：（1）存在yWY,使得xFy；（2）如果对于H必GY有^^和入绥，则HT2.定义1. 5.2设X和Y是两个集合，F： X-Y（读做F是从X到Y的一个映射）.对于每一个xex,使得xFy的唯一的那个yGY称为x的象或值，记作F （x）；对于每一个yGY,如果xex使得xFy （即y是x的象），则称x是y的一个原象（注意：yeY可以没有原象，也可以有不止一个原象）.由于映射本身便是关系，因此，如果F是从集合X到集合Y的一个映射，那么：（1）对于任何AUX,象F （A）有定义，并且F（A） = {F（x） xeA}（2）对于任何BUY,原象F- （B）有定义，并且厂】（B） ={xex F（x）eB} （y±意：厂匕）与严（g）的异同，前者不一定有意义，而后者总存在；前者表示元素，后者表示集合）（3）如果Z也是一个集合并且G： Y-Z,则关系的复合GoF作为一个从X到Z的关系有定义；（4）尺一】作为从Y到X的一个关系有定义，但一般说来应"不是一个从Y到X的映射（这要看F是否是一一映射）；（5） F的定义域有定义，并且它就是X；（意味着X中的每个元素都必须有象）（6） F的值域有定义，并且它就是F （X）・（F（X）不一定充满Y）定理1.5.1设X, Y和Z都是集合.如果F： X-Y和G： Y-乙则SF： X-Z；并且对于任何xGX,有GoF（X）=G（F（x））（这实际上是映射的积的本质）证明（略）（但要理解上式等号左右两边的不同含义,前者是两个映射的积（也是一个映射）作用在x上,后者是F先作用在x上，然后G 再作用在F （x）±）.今后我们常用小写字母f, g, h,……表示映射.定理1. 5.2设X和Y是两个集合，f:X~Y・如果A, BUY 则(1)r1(AUB)=广" (A)U厂(B)；(2)(AAB)=广" (A)nr1(B)；(3)(A-B)=厂(A)-了' (B)・简言之，映射的原象保持集合的并，交，差运算.证明（略）・定义1. 5.3设X和Y是两个集合，X-Y.如果Y中的每一个点都有原象（即f的值域为Y,亦即f （X）二Y）,则称f是一个满射，或者称f为一个从X到Y上的映射；如果X中不同的点的象是Y中不同的点（即对于任何如果心工乃，则有八1"了（心），则称f 是一个单射；如果f既是一个单射又是一个满射，则称f为一个既单且满的映射，或者一一映射.如果f （X）是一个单点集，则称f是一个常值映射，并且当f（X）二｛y｝时，我们也说f是一个取常值y的映射.易见，集合X中的恒同关系△ （X）是从X到X的一个一一映射，我们也常称之为（集合X上的）恒同映射或恒同，有时也称之为单位映射，并且也常用记号“或i： X-X来表示它.根据定义易见，对于任何xex,有i （x）=x.概言之，恒同映射便是把每一个点映为这个点自身的映射.由于下面的这个定理，一一映射也称为可逆映射.定理1. 5.3设X和Y是两个集合.又设f:X-Y.如果f是一个一一映射，则厂便是一个从Y到X的映射（因此我们可以写广:Y-X）,并且是既单且满的.此外我们还有：广'n和"厂=妆证明（略）定理1. 5.4设X, Y和Z都是集合，f:XfY, g： Y-Z.如果f 和g都是单射，则gof:X~Z也是单射；如果f和g都是满射，则g。

2024年河北师大点集拓扑课件 1[1]0一、教学内容本节课我们将学习《点集拓扑》教材的第一章“集合与映射”，具体内容包括集合的基本概念、集合的运算、映射的定义与性质、特殊类型的映射等。

重点在于让学生理解集合与映射的基本理论，为后续的点集拓扑学打下坚实基础。

二、教学目标1. 理解并掌握集合的基本概念，能够运用集合的运算解决实际问题。

2. 理解映射的定义及其相关性质，能够判断不同类型的映射。

3. 培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，为学习点集拓扑学奠定基础。

三、教学难点与重点教学难点：映射的性质及其判断，特殊类型的映射。

教学重点：集合的基本概念，集合的运算，映射的定义与性质。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：教材、笔记本、文具。

五、教学过程1. 导入：通过实际生活中的例子，引导学生理解集合的概念。

举例：一个班级的学生、所有的偶数、所有的三角形等。

2. 新课讲解：（1）集合的基本概念：集合的定义、元素、集合的表示方法。

（2）集合的运算：交集、并集、补集、幂集。

（3）映射的定义：映射的概念、映射的表示方法。

（4）映射的性质：单射、满射、双射。

（5）特殊类型的映射：恒等映射、投影映射、线性映射。

3. 例题讲解：（1）求集合A和B的交集、并集、补集。

（2）判断给定的映射是否为单射、满射、双射。

4. 随堂练习：（1）已知集合A，求A的幂集。

（2）判断给定映射的类型。

六、板书设计1. 集合的基本概念、运算及表示方法。

2. 映射的定义、性质及特殊类型的映射。

3. 例题及解答。

七、作业设计1. 作业题目：（1）设A为集合，求A的幂集。

（2）已知映射f：A→B，判断f是否为单射、满射、双射。

2. 答案：（1）幂集的求解方法：列举法、公式法。

（2）判断映射类型的依据：映射的定义及性质。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对集合与映射的基本概念掌握程度，对例题的解答情况。

2. 拓展延伸：（1）研究集合的势（cardinality）。

P13第1。

2节6* 证明：0n >个集合经过并，交，差三种运算最多能生成212n-个互不相同的集合，并且确有0n >个集合，它们经过并，交，差三种运算恰能生成212n -个互不相同的集合。

证：分两步完成。

第一步，证明m 个两两无交的集合经过并，交，差三种运算最多能生成2m 个互不相同的集合。

因为，通过并运算，m 个两两无交的集合最多能生成1221m m m m m C C C +++=-个互不相同的集合，而交运算仅能产生空集，差运算也不能产生新的不同的集合，第一步的结论得证。

第二步，证明任意n 个集合经过并，交，差三种运算最多能产生21n -个互不相交的集合。

事实上，记11121212312310112121212312123121ˆ1,2,,ˆˆˆˆˆ,,,n nii i i n i i i i ni i i i i i n n i i jn E A E A A A A i nE A A A A A i i E A A A A A A i i i E A j i i i =-='===<=<<=≠ˆiA 表示去掉i A ，0E 的个数至多为1，11i E 的个数至多为1n C ，122i i E 的个数至多为2n C ，…，1211n n i i i E -- 的个数至多为1n n C -，故它们总的个数为1221n n n n n C C C +++=-它们的并集为1n i i A =。

令()()()()()()()()()111121122111111222212313111111222(1)2(1)2(1)1222121111,,,,,,,,,n n n n n n n n n n n n i n i in nn n i i i n n n n i i n in n i i i B E B E B B E B B E B B E B B E B BE B B A B B A B B A B ++++++--===++-+-+-+----=====-=-=-=-=-=-=-=-=-1221,,,n B B B - 至多有21n -个两两无交的非空集，且每一i A 可由1221,,,n B B B - 经过并，交，差三种运算表出，所以12,,,n A A A 经过并，交，差三种运算生成的集簇与1221,,,n B B B - 经过这三种运算生成的集簇相同。

《点集拓扑学教案》word版教案章节一：引言1.1 课程介绍本课程旨在帮助学生理解点集拓扑学的基本概念和性质，掌握基本的拓扑空间及其性质，了解拓扑学在数学和物理学中的应用。

1.2 知识点1.2.1 拓扑空间的定义与性质1.2.2 开集、闭集和边界1.2.3 拓扑关系的传递性1.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解拓扑空间的基本概念，掌握开集、闭集和边界的定义及其性质，理解拓扑关系的传递性。

教案章节二：拓扑空间2.1 基本概念2.1.1 拓扑空间的定义2.1.2 拓扑空间的性质2.1.3 常见的拓扑空间2.2 拓扑关系2.2.1 拓扑关系的定义2.2.2 拓扑关系的性质2.2.3 拓扑关系的传递性2.3 教学目标通过本章的学习，使学生掌握拓扑空间的基本概念和性质，理解拓扑关系的定义及其性质，掌握拓扑关系的传递性。

教案章节三：开集与闭集3.1 开集与闭集的定义3.1.1 开集的定义3.1.2 闭集的定义3.2 开集与闭集的性质3.2.1 开集与闭集的举例3.2.2 开集与闭集的关系3.2.3 开集与闭集的运算3.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解开集与闭集的定义及其性质，掌握开集与闭集的举例和运算。

教案章节四：边界4.1 边界概念4.1.1 边界的定义4.1.2 边界的性质4.2 边界定理4.2.1 边界定理的定义4.2.2 边界定理的证明4.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解边界的定义及其性质，掌握边界定理及其证明。

教案章节五：拓扑关系与边界关系5.1 拓扑关系与边界关系的联系5.1.1 拓扑关系与边界关系的定义5.1.2 拓扑关系与边界关系的性质5.2 拓扑关系与边界关系的应用5.2.1 拓扑关系与边界关系在几何学中的应用5.2.2 拓扑关系与边界关系在物理学中的应用5.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解拓扑关系与边界关系的联系及其性质，掌握拓扑关系与边界关系在数学和物理学中的应用。

《点集拓扑学》教学大纲课程名称：《点集拓扑学》Point Set Topology课程性质：数学与应用数学专业必修课学时数：36教材:《点集拓扑讲义》熊金城编著.高等教育出版社, 2011年12月第4版.主要参考书：《点集拓扑学》徐森林编著，高等教育出版社，2007年7月第1版.《基础拓扑学》胡适耕编著，华中科技大学出版社，2007年8月第1版.《基础拓扑学讲义》尤承业编著，北京大学出版社，1997年11月第1版.《拓扑学》 [美] 芒克里斯编著，熊金城等翻译，机械工业出版社，2006年4月第1版. 授课方式：课堂讲授为主所属院系：数学学院数学与应用数学系课程基础：《数学分析》、《实变函数论》一、课程简介拓扑学是近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科，它具有高度的概括性和抽象性.点集拓扑学产生于19世纪.G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果.1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始.泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，促进了把点集当作空间来研究.数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题.为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念.如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系.1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑.对一个非空集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）.该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域，这就给出了X的一个拓扑结构，X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间.X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念.若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射.具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）.要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可.在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚；二维球面挖去一个点S2－p与欧几里得平面K2同胚.要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射.方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空间不具有，则此二空间不同胚.一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等.在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间；弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系；帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松对紧空间进行了系统研究，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献；1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来；维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线（一种可填满整个正方形的“曲线”）时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，由乌雷松等人加以改进.二、教学目的点集拓扑近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科.该课程从点集拓扑学的发展简史出发，深入浅出地阐述了点集拓扑学的基本理论、基本问题和基本方法.内容包括：点集拓扑基础、拓扑空间与连续映射、子空间、积空间、商空间及有关可数性的公理等.其中各部分主题鲜明，逻辑性强，通过对各部分内容由浅入深的讲解，使学生透彻地理解基本概念，努力将每个知识点与中学数学的知识及已经学过的大学其它数学课程(例如实变函数论)联系起来，便于学生比较理解，增加对知识背景的认识.三、教学要求本课程研究点集拓扑学的基本理论和基本方法。