第4章 相对论指导(统稿

第4章 相对论内容提要1． 力学相对性原理在一切惯性系中，力学现象的规律都是相同的， 即力学规律具有相同的数学形式. 2． 绝对时空观和伽俐略变换时间间隔和长度的测量与参考系（或观察者）无关，叫绝对时空观. 在惯性系s s '和中，同一事件p 的时空坐标的变关系换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='='-='tt z z y y ut x x力学相对性原理可表述为：经伽俐略变换后牛顿定律的数学形式不变. 3． 狭义相对论的两个基本原理（狭义）相对性原理：在一切惯性系中，物理现象的规律都是相同的.即物理规律具有相同的数学形式.光速不变原理：在一切惯性系中，光在真空中的速率都相同恒为C. 4． 洛仑兹变换在惯性系s s '和中，同一事件p 的时空坐标的变关系换为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=='='--='2222211c u x c ut t zz y y c u ut x x伽俐略坐标变换 （s s '→） 洛仑兹坐标变换 (s s '→)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='--='--='222222111112c uv c u v v c uv c u v v c uv u v v xz z xy y x xx （狭义）相对性原理可表述为：经洛仑兹变换后物理规律的数学形式不变.5． 狭义相对论的时空观同时是相对的 同时发生在s '系中的两个异地事件，在s 系中观察一般不是同时的.只有同时发生在s '系中的两个同地事件, 在s 系中观察才是同时的.时间延缓（时钟变慢） 在相对于观察者为静止的惯性系中测得两同地事件发生的时间间隔（固有时间）0τ,要比对事件发生地点有相对运动的惯性系中测得的时间间隔（非固有时间）τ短,其关系为221c v -=ττ长度收缩 物体沿运动方向的长度l 会比其固有长度0l 短,其关系为2201cv l l -=6． 相对论质量和相对论动量 质量随物体速度而变化,即2201c v m m -=动量2201c v v m v m P -==相对论动力学方程 v dtdm dt v d m dt p d F+==洛仑兹速度变换 （s s '→）7． 相对论中的能量相对论动能 202c m mc E k -= 总能量 2mc E = 静能 200c m E =静能释放 20c m E k ∆=∆ 0m ∆叫质量亏损 质能守恒定律 在一个孤立系统内，∑∑+=i i ki ii c m E cm )(202=恒量相对论质量守恒定律 在一个孤立系统内，=∑iim恒量8． 动量和能量关系420222c m c p E +=解题指导与示例例4-1，对于由两个质点组成的系统，证明动量恒定律经伽利略变换后数学形式不变. 分析：已知牛顿定律经伽利略变换后数学形式不变，而动量守恒定律可从牛顿定律导出，所以经伽利略变换后数学形式也不变.解：设惯性系s '相对惯性系s 以速度u 运动，在s 系中动量守恒定律为恒矢=+2211v v m m （1）设两质点在s '系的速度分别为1v '和2v '，由伽利略速度变换式得 u v v +'=11 u v v +'=22 （2）将（2）式代入（1）式得恒矢=++'+'=+'++'u v v u v u v )()()(212212211m m m m m m所以 恒矢='+'211v v m m （3）（3）式说明动量守恒定律经伽利略变换后数学形式不变.例4-2，试用狭义相对论的两个基本原理说明迈克耳逊—莫雷实验的零结果.分析：1、由相对性原理，在一切惯性系中物理规律都相同，得知光学现象在“以太”参考系与地球参考系中规律相同，具体在迈克耳逊一莫实验中是条纹移动数λtc δN =∆. 由光速不变原理知，光对“以太”参考系和地球参考系的速度都是 c ，在迈克耳逊一莫雷实验中，光线1与光线2往返对地球的速度都是c ，因而往返的时间相同21t t =，由此可得条纹移动数0N =∆.2、由相对性原理知道，在惯性系中不能用任何实验（力学的、电磁学的、光学的等）确定系统相对某惯性系（如“以太”）是静止还是作匀速直线运动. 即不能在地球上测地球相对“以太”的漂移速度u ，因此“以太”漂移实验得出的是零结果.解1：由于光速不变，光线1往返的时间c 2Lc L c L t 1=+=光线2往返的时间c2Lc L c L t 2=+=两光线的时间差 0t t t 21=-=∆ 将仪器转动90°后，时间差 0t t =∆-='∆时间差改变 0t -t t δ='∆∆= 条纹移动数 0λtc δN ==∆ 解2：由分析2知，迈克耳逊一莫雷实验的零结果是相对性原理的必然推论.例4-3，一列火车长0.30km （火车上观察者测得），以100km •h -1速度行驶，地面上观察者发现有两个闪电同时击中火车的前后两端.问火车上的观察者测得闪电击中火车前后两端的时间间隔为多少？分析：这是相对论中同时不同地的两事件的时空变换问题.设地面为S 系，火车为S '系，把两闪电击中火车前后端视为两个事件（有两组不同的时空坐标）.地面观察者看到两闪电同时击中，即两闪电在S 系中的时间间隔012=-=∆t t t .火车的长度是相对火车静止的观察者测得的长度，即两事件在S '系中的空间间隔m 1030.0312⨯='-'='∆x x x ，S '系相对S 系的速度即为火车速度.由洛伦兹变换可得两事件时间间隔之间的关系式为221221212/cυ1)(c υ)t t (t -t -'-'+'-'=x x （1）221221212/cυ1)(c υ)t (t t t ----='-'x x （2） 将已知条件代入式（1）可直接解得结果. 也可利用式（2）求解，此时应注意，式中12x x -为地面观察者测得两事件的空间间隔，即S 系测得的火车长度，而不是火车原长. 根据相对论，运动物体（火车）有长度收缩效应，即221212cυ1)(-'-'=-x x x x , 考虑这一关系方可利用式（2）求解.解1 根据分析，由式（1）可得火车（S '系）上的观察者测得两闪电击中火车前后端的时间间隔为s 109.26)(cυt t 1412212-⨯-='-'-='-'x x 负号说明12t t '<',火车上的观察者测得闪电先击中车头2x '处. 解2 根据分析，把关系式2212121)(cv x x x x -'-'=-代入式（2）亦可得与解1相同的结果.相比之下解1较简便，这是因为解1中直接利用了km x x 30.012='-'这一已知条件.例4-4.在惯性系S 中观察到有两个事件发生在同一地点，其时间间隔为4.0s ，从另一惯性系S '中观察到这两个事件的时间间隔为6.0s ，试问从S '系测量到这两个事件的空间间隔是多少？设S '系以恒定速率相对S 系沿x x '轴运动.分析：这是相对论中同地不同时的两事件的时空变换问题.可以根据时间延缓效应的关系式先求出S '系相对S 系的运动速度v ，进而得到两事件在S '系中的空间间隔t v x '∆='∆（由洛仑兹时空变换同样可得到此结果）.解 由题意知在S 系中的时间间隔为固有时，即,0.4τos =而s 0.6τ=. 根据时间延缓效应的关系式22o /1ττcv -=，可得S '系相对S 系的速度为c c v 35])ττ(1[2/12o =-=两事件在S '系中的空间间隔为m 1034.1τ9⨯=='∆v x例4-5，一固有长度为100m 的火箭相对地球以v=0.8c 的速度向右飞行.（1）地球上的观察者测得的火箭长是多少？（2）若火箭头部发生两次闪光，地球上的观察者测得其时间间隔为1s ，问火箭上的观察者测得的时间间隔是多少？（3）一流星从火箭头部到达尾部，火箭上的观察者测得时间间隔为10-6s ，问地球上的观察者测得的时间间隔是多少？流星的速度多大？分析：（1）对火箭上的观察者来说火箭是静止的，其长度是固有长度m 100=o l .对地球上的观察者来说，火箭是运动的，速度c v 8.0=，其长度为非固有长度（动长）l ,由长度收缩公式可得221cv l l o-=.（2）对火箭来说，两次闪光是同地不同时事件，其时间间隔为固有时间o τ.对地上观察者两次闪光是不同地事件，其时间间隔是非固有时间（运动时）τ=1s ，由时间延缓公式可得22ocv 1ττ-=.（3）设火箭为S '系，地球为S 系. 流星到达火箭头、尾，在S '系中是两个不同时不同地事件，既不能用时间延缓公式求S 系的时间间隔，也不能用长度收宿公式求S 系的空间距离，应该使用普遍的洛仑兹变换公式.解 （1）根据分析得m 60)8.0(110012222=-=-=cc c v l l o（2）根据分析得s cv 6.08.0111ττ222o=-⨯=-=（3）设流星到达火箭头部为事件1，到达火箭尾部为事件2.取x 轴的正向向右，以题设m 10012-='-'='∆x x x s t t t 61210-='-'='∆ 代入洛仑兹变换式221)(c ut u x x -'∆+'∆=∆2221)(cu t c ut t -'∆+'∆=∆ 可得地上测出的两事件的空间间隔和时间间隔m 2238.01)108.0100(26≈-⨯+-=∆-c xs c ct 62261022.18.018010--⨯≈--+=∆ 从而得流星速度 m/s 1091.18⨯≈∆∆=txv 流 流星的速度亦可由速度变换公式求出.设流星相对火箭的速度为流v '，根据题设条件容易算出m/s 108-='∆'∆='t x v 流将其代入速度变换公式，即得28828.01018.0101c ccc u v u v v ⨯-++-='++'=流流流m/s 1091.18⨯≈计算结果表明，流星和火箭都是相对地球向右运动，由于火箭速度大于流星速度，实际上是火箭追赶流星，造成流星相对火箭的向左运动.例4-6，如果将电子由静止加速到速率为0.10c ，需对它作多少功？如将电子由速率为0.80c 加速到0.90c ，又需对它作多少功？分析 在相对论力学中，动能定理仍然成立，即k1k2k E E E A -=∆=，但需注意动能k E 不能用221mv 表示.解 由相对论性的动能表达式和质速关系可得当电子速率从1v 增加到2v 时，电子动能的增量为)c m c (m )c m c (m E E E 2o 212o 22k1k2k ---=-=∆⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=--2/1212/1222])(1[])(1[c v c v c m o 根据动能定理，当c v v 10.0,021==时，外力所作的功为eV 102.58E A 3k⨯='∆= 当c v c v 90.0,80.021==时，外力所作的功为eV 103.21E A 5k ⨯='∆='由计算结果可知，虽然同样将速率提高0.1c ，但后者所作的功比前者要大得多，这是因为随着速率的增大，电子的质量也增大.例4-7、在宇宙射线中能遇到能量为1010GeV 数量级的质子，若银河系的直径为105光年，分别以银河系和质子为参考系，计算质子飞越银河系所需的时间（已知质子的静能E=938MeV ）.分析：由能量的相对论公式2222221c m cv c m c m mc E o o o --=-=，可以求出质子对银河系的速度v.质子飞越银河系的时间，以银河系为参考系为非固有时（运动时）τ，以质子为参考系为固有时0τ，两者的关系为221c v -=ττ .解 因1010GeV=1013MeV>> 938Me,故E k =mc 2-m 0c 2≈mc 2所以 10310222010938101011≈⨯=-==MeV MeV moc mc E E K β，c v =β 即 c u ≈≈→=-,1,01011102ββ 若以银河系为参考系则质子飞越银河系需时间551010==光速光年τ年，而在质子参考系中，它飞越银河系的时间为分钟年51010101510520≈==-=-βττ或者，质子参考系测得银河系的直径c cc l l 51052521010101101-==-⨯=-=ββ则质子飞越银河系的时间分钟年51050≈==-clτ例4-8一粒子静质量为m 0，在沿x 方向变力F=kt （k 为恒量）的作用下由静止开始运动，求任意t 时刻的粒子速度v.分析：在相对论动力学中，用动力学基本方程等基本规律求解动力学问题的方法，与牛顿力学的方法相似.解 在相对论中，力和质点动量或速度的关系是dtm d dt d )(v p F ==在一维情况下可简化为dtdpF =或dp=Fdt ,以F=kt 代入，可得 dp=ktdt积分后得 221kt p = 即222211kt cv v m o =-解之即得 4222024tk c m kct v +=由v dtdx=可求x=x(t). 教材习题解答6-1解：0122=-'+'=c vt v x xt v x '-='()221cv x c v t t --=' t c v t '⎪⎭⎫⎝⎛-=21()22201211tc v g t c v v y y '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--'-==' 6-2解：在S 系中s t t t 71210-=-=∆ m x x x 4012-=-=∆因为21⎪⎭⎫ ⎝⎛--='c v vt x x 221⎪⎭⎫ ⎝⎛--='c v x c vt t所以221c vt v x x -∆-∆='∆2221cv x c vt t -∆-∆='∆()m x 5.72='∆ ()s t 71025.1-⨯='∆6-3 解：北京为原点 地球系m x 6102.1⨯=∆，0=∆t飞船系2221cv x c v t t -∆-∆='∆=()s 94.8- 长沙先起飞。