信号与系统第10章

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10.0 引言 (Introduction)
Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立 叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多性 质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。 当然，Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要 的差异。
2
10.1 双边 Z 变换
The z-Transform 一. 双边Z变换的定义
,
z2 = 2
在有限Z平面上极点
零点：z = 0 （二阶） 总数与零点总数相同
若其ROC为：
1 z > 2 则 x(n)为右边序列，且是因果的，
但其傅立叶变换不存在。
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2 z < 1 时 x(n)是左边序列，且是反因果的， 3
其傅立叶变换不存在。
3
1 < z < 2时 x(n)是双边序列，其傅立叶变换
∞
∑ X (z) = x(n)z−n 其中 z = re jω是一个复数。 n=−∞
当r = 1时，z = e jω 即为离散时间傅立叶变换。
这表明：DTFT就是在单位圆上进行的Z变换。
∞
∑ X (re jω ) = x(n)r−ne− jωn = F[x(n)r−n ] n=−∞
3
可见：对 x(n)做 Z 变换就等于对 x(n)r−n做DTFT。 因此，Z 变换是对DTFT的推广。 二. Z变换的收敛域（ROC）：
4
3
ROC1 ROC2
1< z <1
4
3
R O C1 : | z |> 1 / 4 R O C 2 : | z |< 1 / 3
所以前一项按降幂长除，后一项按升幂长除。
幂级数展开法的缺点是当 X (z)较复杂（含 多个极点时）难以得出 x(n)的闭式。
幂级数展开法适合用来求解非有理函数形 式 X (z)的反变换。
z > a 时收敛
当 a < 1 时， ROC包括了单位圆。
此时， x(n)的DTFT存在。 Z平面 Im 单位圆
X
(e
jω
)
=
1
−
1 ae−
jω
a <1
显然有 X (z) |z=e jω = X (e jω )
Re
a1
5
例2. x(n) = u(n)
∑ X (z)
=
∞ n=0
z−n
=
1 1− z−1
10
三. X (z) 的几何表示——零极点图：
如果 X (z)是有理函数，将其分子多项式与分 母多项式分别因式分解可以得到：
∏ X (z) = N (z) = M
(z − zi )
i
∏ D(z)
(z − zp)
p
由其全部的零、极点即可确定出 X (z)，最多
相差一个常数因子 M 。
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因此，若在 Z 平面上表示出 X (z)的全部零、 极点，即构成 X (z)的几何表示——零极点图。
1−
1 2 z −1
2
ROC : 1 < z < 2 2
Im Z平面
Re
1/2 2
单位圆
一般情况下， X (z)的ROC是 Z 平面上一个以
原点为中心的圆环。
8
结 论：
1）Z变换存在着收敛问题，不是任何信号都存 在Z变换，也不是任何复数Z都能使 X(z) 收敛。 2）仅仅由 X (z)的表达式不能唯一地确定一个信 号，只有X (z)连同相应的ROC一道，才能与信 号x(n) 建立一一对应的关系。 3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中 心的环形区域。
∫ ∴ x(n)r−n = F −1[ X (re jω )] = 1 X (re jω )e jωndω
2π 2π
∫ x(n) = 1 X (re jω )rne jωndω
2π 2π z = re jω，则 dz = jre jω dω = jzdω
23
当 ω 从 0 → 2π 时，Z沿着ROC内半径为 r 的圆
3
存在。
ROC是否包括 z = ∞，是 x(n)是否因果的标志。
ROC是否包括 z = 0，是x(n)是否反因果的标志。
22
10.3 Z-反变换
The Inverse Z-Transform
一. Z-反变换：
∞
∑ Q X (re jω ) = x(n)r−ne− jωn = F[x(n)r−n ] n=−∞
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极点：z = a（一阶）
z = 0 （N－1阶）
j 2π k
−a
零点： z = ae N
(k = 0,1⋅⋅⋅ N −1)
jIm [ z ]
a (N −1) Re[ z]
0
(N = 8)
在 z = a 处，零极点抵消，使有限Z平面内 无极点。ROC : z > 0
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4. 右边序列的ROC是某个圆的外部，但可能 不包括 z = ∞ 。
设 x(n) 是右边序列，定义于 [ N 1 , ∞ )，
∞
∑ 由 x(n) ，N1 ≤ n < ∞，有 X (z) = x(n)z−n n= N1
∞
∑ 若 z = r0 ∈ ROC，则有
x(n)r0−n < ∞
n= N1
如果 r1 > r0， 则
∑ ∑ ∞
n= N1
x(n)r1−n
∞
=
n= N1
x(n)r0−n
2. 将 X (z)展开为部分分式；
3. 根据总的ROC，确定每一项的ROC；
4. 利用常用变换对和Z变换性质求出每一
项的反变换。
3 − 5 z−1
例：X (z) =
6
(1− 1 z−1)(1− 1 z−1)
4
3
1< z <1
4
3
将X (z) 展开为部分分式有：
25
X (z) = 1 + 2
1− 1 z−1 1− 1 z−1
n=−∞
n=1
=
−
1
a −
−1 z a −1
z
=
1 1− az−1
ROC: z < a
Z平面 Im 单位圆
Re
a1
7
例4. x(n) = (1)n u(n) − 2n u(−n −1)
2
∑ ∑ X (z) = ∞ ( 1 )n z−n − −1 2n z−n
n=0 2
n=−∞
=
1−
1 1
z −1
+
29
10.4. 由零极点图对离散时间傅立叶 变换几何求值
Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot
当ROC包括 z = 1 时，Z 变换在单位圆上的情 况就是 X (ejω ) ，因此也可以利用零极点图对其 进行几何求值。
如果在零极点图上同时标出ROC，则由该 零极点图可以唯一地确定一个信号。
零极点图对描述LTI系统和分析LTI系统的特 性，具有重要的用途。
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10.2 Z 变换的ROC
The Region of Convergence for the z-Transform ROC的特征： 1. X (z) 的ROC是Z平面上以原点为中心的环 形区域。 2. 在ROC内， X (z)无极点。
4
3
ROC1 : | z |> 1/ 4 ROC2 : | z |< 1/ 3
ROC1 ROC2
∴ x(n) = (1)n u(n) − 2(1)n u(−n −1)
4
3
2. 幂级数展开法:（长除法）
由X (z)的定义，将其展开为幂级数，有
∑ X (z) = ∞ x(n)z−n = ⋅⋅⋅ + x(−n)zn + ⋅⋅⋅ + x(−1)z n=−∞ +x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + ⋅⋅⋅ + x(n)z−n + ⋅⋅⋅ 26
⋅ ( r0 )n r1
16
∑ ≤
∞ n= N1
x(n)r0−n
⋅ ( r0 )N1 r1
<∞
∴ z = r1 ∈ ROC
当N1 < 0 时,由于X(z)的展开式中有若干个Z
的正幂项，此时 z 不能为 ∞ 。
5. 左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能 不包括 z = 0 。
若 r0 ∈ROC ， r1 < r0 ，则有
∑ ∑ N1
n=−∞
x(n )r1−n
N1
=
n=−∞
x(n )r0−n
⋅ ( r0 )n r1
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∑ ≤
N1 n=−∞
x ( n ) r0 − n
⋅ ( r0 )N1 r1
<
∞
∴r1 ∈ ROC
当 N1 > 0时，由于X (z)的展开式中包括有Z的
负幂项，所以 Z 不能为零。
6. 双边序列的Z变换如果存在，则ROC必是一 个环形区域。
9. 若 X (z) 为有理的，x[n] 为左边序列，则ROC在 最里层极点的里边。若 x[n]为反因果序列（即 n > 0 时 x[n] = 0），那么ROC也包括 z = 0 。
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例3. X (z) =
1
(1− 1 z−1)(1− 2z−1)
3
Im
(2)
0 1/3
Re 2
} 极点：z1
=
1 3
展开式中 z−n 项的系数即为 x(n)。当 X (z) 是
有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为