2020高考押题卷及答案(数学)

I←1

S←0

While S <20

I←I+2

S←2I+1

End While

Print I

End

第5题图 2020届高三数学高考押题试卷

数学Ⅰ试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．．

1.已知集合{13,}AxxxZ，B={2，m，4}，若A∩B={2,3}，则实数m= .

2.若复数2(1aaiiR)的实部与虚部互为相反数，则a的值等于 .

3.两根相距6m的木杆上系一根水平绳子，并在绳子上随机挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率为 .

4．为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中若干株树木的底部周长(单位：cm)，其数据绘制的频率分布直方图如图，则估计该片经济林中底部周长在[98，104)中的树木所占比例为 .

5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 .

6. 已知数列是}{na等比数列，若456,1,aaa成等差数列，且71a，则10a= .

7.投资生产A，B两种产品需要资金，场地，以及所获利润如下表所示。

资金（百万元） 场地（百平方米） 利润（百万元）

A产品（百吨） 2 2 3

B产品（百米） 3 1 2

限制 14 9

现某工厂可使用资金1400万元，场地900m2，若选择投资A，B产品最佳组合方案，则获利最大值为 百万元. 96 98 100 102 104 106 0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

周长(cm) 频率/组距

第4题图 FEGHDCBAS4S2S3S113题图 8.在△ABC中，已知BC＝4，AC＝3，且cos(A－B)= 1718，则cosC＝ .

9.设向量a，b满足2ab，6ab，则a与b夹角的最大值为 .

10.若函数2(0)1yaxax的最小值为4，则a的值为_______．

11. 底面半径为2cm的圆柱形容器里放有四个半径为1cm的实心铁球，使得四个球两两相切，其中底层两球与容器底面也相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm3.

12. 已知点12,FF分别为双曲线22221(0)xyabab的左、右焦点，点P为该双曲线左支上的任意一点．若221PFPF的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是 .

13.如图，线段EF和GH把矩形ABCD分割成四个小矩形，记四个

小矩形的面积分别为(=1,2,3,4)iSi.已知AB=1，11S，21S，

31S，42S，则BC的最小值是 .

14.若方程logxaax(1)a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 .

二、解答题: 本大题共6小题， 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．， 解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．

15．设(,1)ax，(2,1)b，(,1)cxmm（,xmRR）．

（1）若a与b的夹角为钝角，求x的取值范围；

（2）解关于x的不等式acac．

16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为1DD的中点．

（1）求证：1BD面EAC；

（2）求四面体1EACB的体积．

17．如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点EF、分别在BCCD、上），根据规划要求ECF的周长为2km．

（1）试求EAF的大小；

（2）欲使EAF的面积最小，试确定点EF、的位置．

18．如图，线段AB两端点分别在x轴，y轴上滑动，且ABab（ab）．M为线1D

A 1B

D E 1A 1C

B C

FEDCBA段AB上一点，且MBa，MAb．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）已知圆O：221xy，设P为轨迹C上任一点，若存在以点P为顶点，与圆O外切且内接于轨迹C的平行四边形，求证：22111ab．

19．已知数列na的各项均为整数，其前6项依次构成等比数列，且从第5项起依次构成等差数列．

（1）设数列na的前n项和为nS，且44a，81a．

①求满足0nS的n的最小值；

②是否存在正整数m，使得221mmmmaaaa成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

（2）设数列na的前6项均为正整数，公比为q，且(1,2)q，求6a的最小值．

A B

x y

O M O2O1BCDPA

20．已知函数2)(xxaeexf，2)(xxeexg，(,)xaRR.

⑴当1a时，试用)(),(),(),(ygxgyfxf表示)(yxf；

⑵研究函数)(xfy的图象发现：取不同的a值，)(xfy的图象既可以是中心对称图形，也可以是轴对称图形（对称轴为垂直于x轴的一条直线），试求其对称中心的坐标和对称轴方程；

⑶设函数)(xh的定义域为R，若对于任意的实数yx,，函数)(xh满足

)()()()()()(xyhyxhxyfxyfyxfxyh，且1)()(xfxh．证明：)()(xfxh

数学附加题部分

（考试时间30分钟，试卷满分40分）

21．【选做题】在A，B，C，D四个小题中只能选做2个小题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4-1：几何证明选讲

如图，1O和2O外切于点P，延长1PO交1O于点A，延长2PO交2O于点D，若AC与2O相切于点C，且交1O于点B. 求证：

（1）PC平分BPD； （2）2PCPBPD.

B．选修4-2:矩阵与变换

已知矩阵2113A将直线:10lxy变换成直线l.

（1）求直线l的方程；

（2）判断矩阵A是否可逆？若可逆，求出矩阵A的逆矩阵1A；若不可逆，请说明理由．

C．选修4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知点P为圆22sin70上任一点.求点P到直线cossin70的距离的最小值与最大值.

D．选修4-5：不等式选讲

设2()13fxxx，实数a满足1xa，求证：()()2(1)fxfaa．

22. 必做题

（1）用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？

（2）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．. ①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；

②记花圃中红色鲜花区域的块数为，求的分布列及其数学期望()E．

23．必做题

已知抛物线xy2的焦点为F，点),(00yxM（与原点不重合）在抛物线上．

（1）作一条斜率为021y的直线交抛物线于HG,两点，连接MHMG,分别交x轴于BA,两点，（直线MHMG,与x轴不垂直），求证MBMA；

（2）设DC,为抛物线上两点，过DC,作抛物线的两条切线相交于点P，（DC,与M不重合，与M 的连线也不垂直于x轴），求证:PFCPFD．

命题人员：鲍立华 王正军 陆明明

图一 图二 数学试题参考答案

一、填空题

1．3 2．0 3． 4． 75% 5．11 6．18 7．14．75 8．16

9．120 10．1 11．8423 12．(1,3] 13．322 14．11eae

二、解答题

15．（1）由题知：210abx，解得12x；又当2x时，a与b的夹角为，

所以当a与b的夹角为钝角时， x的取值范围为1(,2)(2,)2．…………………6分

（2）由acac知，0ac，即(1)[(1)]0xxm；……………………8分

当2m时，解集为{11}xmx；………………………………10分

当2m时，解集为空集；………………………………12分

当2m时，解集为{11}xxm．………………………………14分

16．（1）连接BD交AC于O点，连接OE．

由题知，O为BD中点．

∴在1BDD中，OE为中位线，

∴OE∥1BD………………………………4分

又OE面EAC，1BD面EAC

∴1BD∥面EAC．………………………………6分

（2）连接1OB．

∵O为AC中点，EA=EC，11BABC

∴EOAC，1BOAC

∴1BOE为二面角1EACB的平面角

由正方体的棱长为2，得3EO，16OB，13EB

∴22211EOOBEB，即12BOE

∴EO面1ABC，即EO为四面体1EABC的高………………………………12分

∴1113EABCABCVEOS113226232………………………………14分

17．解：（1）设,BAEDAF，,(01,01)CExCFyxy，

则tan1,tan1xy，

由已知得：222xyxy，即2()2xyxy…………………………………4分