2020高考模拟冲刺数学试卷含答案

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！

数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设全集为R，M = {x | f (x) ≠ 0}，N = {x| g(x) ≠0}.则集合{x | f（x）·g（x）= 0}= （ ）

A．M∪N B．M∩N C．M∪N

D．M∩N

2．函数f (x) = | x - 3 | - | x - 1|，x∈R，则f（x） （ ）

A．有最小值0，最大值4 B．有最小值-4，最大值0

C．有最小值-4，最大值4 D．没有最小值及最大值

3．已知a＞0，b＞0，且a + b = 1，若a2 + b2≥k，则k的最大值是

（ ）

A．1 B．21 C．41

D．81

4．已知f （cos x）= cos 2x，则f (sin12) = （ ） A．23 B．-23 C．21

D．-21

5．双曲线的两条渐近线的夹角为，则其离心率为 （ ）

A．sec2 B．tg2 C．tg2或ctg2

D．sec2或csc2

6．定义在（-∞, +∞）上的函数f（x）在（-∞，2）上是增函数，且函数f（x+2）为偶函数，则 （ ）

A．f（-1）＜ f （3） B．f（0）＞ f （3）

C．f（-1）= f （-3） D．f（2）＜ f （3）

7．正方体ABCD – A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、BC、CC1的中点，则过E、F、G的截面与底面ABCD所成二面角的正切值是

（ ）

A．33 B．22 C．1

D．2

8．设{an}是正数组成的等差数列，{bn}是正数组成的等比数列，且a1

= b1，a2n+1 = b2n+1,则有 （ ）

A．an+1≥bn+1 B．an+1≤bn+1

C．an+1＞bn+1 D．an+1＜bn+1

9．设集合A = {z | z = i5k-4，0＜k≤8且k∈N}，则A中所有元素之和为 （ ）

A．0 B．1 C．-1

D．4i

10．方程121||22mymx表示焦点y轴上的椭圆，则m的取值范围是

（ ）

A．m＜2 B．1＜m＜2

C．m＜-1或1＜m＜2 D．m＜-1或1＜m＜23

11．由父母及孩子组成的两个三口之家要分乘两辆小轿车外出游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能单独坐同一辆车，则不同的乘车方法共有 （ ）

A．40种 B．48种 C．60种

D．68种

12．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y =

3000 + 20x - 0.1x2，

其中0＜x＜240，x∈N，若每台产品的售价为25万元，则生产不亏本（销售收入不小于总成本）的最低产量是 （ ）

A．100台 B．120台 C．150台

D．180台

第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（每小题4分，共16分）

13．函数y = 2cos4sin3的最大值是____________。

14．正三棱锥S – ABC中，E为SA中点，F是△ABC的中点，且SA = BC，则直线EF与直线AB所成角的度数为___________。

15．过抛物线y2 = 8x焦点的弦AB长为12，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=_______。

16．已知a、b是常数，limbbabannnn11，则下面四个命题：①3|a|＜3|b| ②a3＜b3 ③a2＜b2 ④lga＜lgb，恒成立的题号是____________。

三、解答题（共6题，总分74分）

17．已知复数| z | = 1，且z2 +2z +z1＜0，求复数z。（本题12分）

18．定义在R上的函数f（x）对任意实数a、b都有f（a + b）+ f（a

- b）= 2f（a）·f（b）成立，且f（0）≠0。

（1）求f（0）; （2）证明f（x）的奇偶性；

（3）若存在常数c＞0使f（2c）=0，试问f（x）是否为周期函数。若是，指出它的一个周期，若不是请说明理由。（本题12分）。

19．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且A＜B＜C，tg A·tg

C = 2+3。

（1）求角A、B、C的大小；

（2）如果BC边长为43，求△ABC的AC边长及三角形的面积。（本题12分）

20．已知四棱锥P - ABCD 的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，PD = 6，M、N分别是PB、AB的中点。

（1）求证：MN⊥CD；

（2）求三棱锥P – DMN 的体积；

（3）求二面角M – DN – C的平面角的正切值。（本题13分）

21．直线PQ的方程为3x + 4y – 4 = 0，半圆O1、O2、… On、…依次外切且都与直线PQ相切，其中圆O1与y轴相切，圆心O1、O2，…

On …都在x轴正半轴上，设它们的半径依次为r1、r2、…、rn…，与直线PQ的切点依次为A1、A2、…An、…。

（1）求这一系列半圆半径组成的无穷数列{ rn }的通项公式rn；

（2）求这一系列三角形A1O1B1、A2O2B2，…，AnOnBn…的面积之和.（本题12分）

22．抛物线C的方程为y2 = p（x + 1），其中p＞0，直线l：x + y = m与x轴的交点在抛物线准线的右侧。

（1）求证l与C总有两个交点；

（2）若l与C的交点为Q、R，且OR⊥OQ（O为原点），求用m表示p的函数p = f（m）；

（3）在条件（2）下，若m变化，使得O到l的距离不大于22，求p的取值范围。（本题13分）

数 学 参 考 答 案

1 选择题

1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 9．A

10．D 11．B 12．C

二、填空题 13．43 14．60° 15．8 16．①、③

三、解答题

17．设z = a + bi(a，bR)，则a2 + b2 = 1. （1分）

由z2 + 2z + z1＜0

∴（a2 – b2 + 2abi）+ 2（a+bi）+bia1＜0 （2分）

∴（a2 – b2 + 3a）+（2ab+b）i＜0 （4分）

∴ （6分）

由②得b = 0或a = –21

当b = 0时，由a2 + b2 = 1得a2 = 1,代入①得 （8分）

1+3a＜0，a＜–1.31a （9分）

当a = –21时，由a2 + b2 = 1得b2 = 43，代入①得

b2＞–.23.45b （11分）

综上，z = –1或z = –2123i. （12分）

18．（1）令a = b = 0得f (0)+ f (0) = 2f (0)·f (0) （2分）

∴f (0)·[f (0)–1] = 0，∵f (0)≠0

∴f (0) =1. （4分） （2）令a = 0，b = x得f (x) + f (–x) = 2 f (0)·f (x) （5分）

由f (0) = 1，∴ f (–x) = f (x). （7分）

∴f (x)是R上的偶函数. （8分）

（3）令a = x + 2,2cbc 得

f [（x +2c）+2c]+f [(x +2c)–2c] = 2f (x +2c)·f (2c)

（9分）

由f（2c）=0

∴f (x+c)+f (x) = 0 （10分）

∴f (x+c) = –f (x)

∴f (x +2c) = –f (x+c) = –〔–f（x）〕=f (x) （11分）

∴f (x)是以2c为周期的周期函数. （12分）

19．（1）∵A、B、C成等差数列，∴A+B = 2B.

∵A+B+C = 3B =，∴B =3，A+C =32. （1分）

∵tg A + tg C = tg（A+C）（1– tg A·tg C）=

tg33)321(32

（3分） ∴  或 .

由A＜C知tg A＜tg C

∴tg A = 1，tg C = 2 +3 （5分）

即A = 125)34(,4BAC

故A = 4，B = 3，C = 125. （6分）

（2）由正弦定理4sin3sinBCAC

∴AC = 26222334 （8分）

由S△ABC= 21AC·BC·sin C

=21×6sin34275° （9分）

=126·sin（45°+30°） （11分）

=18+63.

故AC =62，S△ABC = 18 + 63. （12分）

20．（1）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥CD. （1分）

∵CD⊥DA，∴ CD⊥平面PDA.

∴CD⊥PA. （2分） ∵M、N是PB、AB中点，∴MN∥PA.