应用数值分析(第四版)课后习题答案第3章

第三章习题解答

1.试讨论a取什么值时，下列线性方程组有解，并求出解 。

123123123123212312311(1)1(2)1axxxaxxxxaxxxaxxaxxaxxxaxa

解：(1)111111111aAaa 经初等行变换化为1001/(2)0101/(2)0011/(2)aaa

当2a时，方程组有解，解为111(,,).222Txaaa

(2)21111111aAaaaa 经初等行变换化为2100(1)/(2)0101/(2)001(21)/(2)aaaaaa

当2a时，方程组有解，解为21121(,,).222Taaaxaaa

2.证明下列方程组Ax=b

12341123421233234432432385xxxxbxxxxbxxxbxxxb

当（1）(10,4,16,3).Tb时无解；（2）(2,3,1,3).Tb时有无穷多组解。

解：(1) r(A)=3r(A,b)=4 当(10,4,16,3).Tb时无解；

(2) r(A)=3,r(A,b)=3 当(2,3,1,3).Tb时有无穷多组解。

3.用列主元高斯消元法求解Ax=b

2233(1)477,12457Ab 1231(2)234,13462Ab

(1)x=(2,-2,1)T (2)x=(0,-7,5)T

4.证明上（下）三角方阵的逆矩阵任是上（下）三角方阵。

证明：设ijAa是上（下）三角方阵，即0,ijaij

设A的逆为,,jiijijABbbA其中jiA为jia的代数余子式，

由于ijAa是上三角方阵，所以0,ijAij

当ij时，0,jiijAbA所以B为上三角方阵。

5.用Gauss-Jordan法求解下列矩阵的逆矩阵。

1 2 0

(1)2 1 -1

3 1 1 A

解(1)

1 2 0 1 0 01 0 0 -0.25 0.25 0.25002 1 -1 0 1 00 1 0 0.625 -0.125 -0.12503 1 1 0 0 10 0 1 0.1125 -0.625 0.3750 -0.25 0.25 0.2500 0.625 -0.125 -0.1250 0.125 -0.625 0.3750A

6.以已知矩阵A=461561552621，试对A进行cholesky分解A=L1L1T,并利用分解因子阵L1求A的逆矩阵A-1=(L-1)T(L-1).

解: A=461561552621=112122313233000llllll111213222333000llllll

j=1时,l11=1,l21=2, l 31=6

j=2时, l 22=22221aL=1, l 32=(a32- l 31 l 21)/ l 32=3;

j=3时, l 33=22333132aLL=1 L=100210631 L-1=100210031

A-1=(L-1)T(L-1)=120013001

130121=1303102025

7.已知线性方程组

1232103(1)12130121xxx

12345 -4 1 02-4 6 -4 11(2)1 -4 6 -410 1 -4 52xxxx

试用Cholesky分解11TALL求解问题（1），用对称分解TALDL求解问题（2）。

解:

(8) A=210121012=1.4142 0 0-0.7071 1.2247 0

0 -0.8165 1.15471.4142 -0.7071 0 0 1.2247 -0.8165 0 0 1.1547=LLT

解Ly=b, 得 y=[2.1213,-1.2247,-0.0000]T

解LTx=y 得 x=[1,-1,0] T

（2）

A=5 -4 1 0-4 6 -4 11 -4 6 -40 1 -4 5=1.0000 0 0 0-0.8000 1.0000 0 00.2000 -1.1429 1.0000 0 0 0.3571 -1.3333 1.0000

5.0003 0 0 0 0 2.8001 0 0 0 0 2.1430 0 0 0 0 0.83341.0000 -0.8000 0.2000 0 0 1.0000 -1.1429 0.3571 0 0 1.0000 -1.3333 0 0 0 1.0000=LDLT

解Lz=b, 得 z=[ 2.0000,0.6000,-0.7143, 0.8334]T

解Dy=z, 得 y=[ 0.4000,0.2143,-0.3333,0.9999] T

解LTx=y 得 x=[1,1,1,1] T

8．设A是对称正定阵，试证明不选主元的Cholesky分解11TALL的计算过程是数值稳定的。

证明：

2111111112,3,...,;1,2,...,.1,,/,2,3,...,jkjjiilajnkjjlalalin于是有，

综合以上得到结论：在Cholesky分解中，不选主元的计算分解式的元素(2,3,...,;1,2,...,)jkljnkj的数量级不会增长，能得到控制，且(2,3,...,)jjljn恒正，因此，这是一个节省储存且计算过程是数值稳定的方法。

9. 求解以下三对角方程组

12342 -1 0 01-1 2 -1 02(1)0 -1 2 -120 0 -1 21xxxx

12342 -1 0 01-1 2 -1 02(2)0 0 2 -120 0 -1 21xxxx

(1)

解: A=2 -1 0 0-1 2 -1 00 -1 2 -10 0 -1 2= 1 0 0 0-0.5 1 0 0 0 -0.6667 1 0 0 0 -0.75 12 -1 0 00 1.4999 -1 00 0 1.3333 -10 0 0 1.25=LU

解Ly=b, 得 y=[1.0000，2.4999，-0.3333，-1.2500]T

解Ux=y 得 x=[1,1，-1,-1] T

(2)

解: A=2 -1 0 0-1 2 -1 00 0 2 -10 0 -1 2= 1 0 0 0-0.5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -0.5 12 -1 0 00 1.5 -1 00 0 2 -10 0 0 1.5=LU

解Ly=b, 得 y=[1，2.5，-2，-2]T

解Ux=y 得 x=[0.7778，0.5556，-1.6667，-1.3333] T

10. 112221,mmmBCABCAAACAB已知为块三对角阵非奇异，=，

11112222223111,2,,),immmmmmBimALUBCLIUABCRLIURCUABRLI其中均为方阵(设有分块分解式