数值分析-第四版-课后习题答案-李庆扬

数值分析-第四版-课后习题答案-李庆扬

第一章

1、设0x，x的相对误差为，求xln的误差。

[解]设0*x为x的近似值，则有相对误差为)(*xr，绝对误差为**)(xx，从而xln的误差为*****1)()(ln)(lnxxxxx，

相对误差为****lnln)(ln)(lnxxxxr。

2、设x的相对误差为2%，求nx的相对误差。

[解]设*x为x的近似值，则有相对误差为%2)(*xr，绝对误差为**%2)(xx，从而nx的误差为nnxxnxnxxnxxx**1***%2%2)()()()(ln*，

相对误差为%2)()(ln)(ln***nxxxnr。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

1021.1*1x，031.0*2x，6.385*3x，430.56*4x，0.17*5x。

[解]1021.1*1x有5位有效数字；0031.0*2x有2位有效数字；6.385*3x有4位有效数字；430.56*4x有5位有效数字；0.17*5x有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,xxxx均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1xxx；

[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(xxxxxfxxxenkkk；

（2）*3*2*1xxx；

[解]52130996425.01009964255.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*xxxxxxxxxxxfxxxenkkk；

（3）*4*2/xx。

[解]53232323*42*4*2*2*41***4*2*1088654.01021)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(xxxxxxxfxxenkkk。

5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？

[解]由3*3**3**)(34))(34())(34(%1RRRr可知，

)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**RRRRRR，

从而***31%1)(RR，故300131%1)()(*****RRRr。

6、设280Y，按递推公式),2,1(78310011nYYnn计算到100Y，若取982.27783（五位有效数字，）试问计算100Y将有多大误差？

[解]令nY表示nY的近似值，nnnYYYe)(*，则0)(0*Ye，并且由

982.2710011nnYY，78310011nnYY可知，

)783982.27(100111nnnnYYYY，即

)783982.27(1002)()783982.27(1001)()(2*1**nnnYeYeYe，从而982.27783)783982.27()()(0*100*YeYe，

而31021982.27783，所以3100*1021)(Y。

7、求方程01562xx的两个根，使它至少具有四位有效数字（982.27783）

[解]由78328x与982.27783（五位有效数字）可知，

982.55982.2728783281x（五位有效数字）。

而018.0982.2728783282x，只有两位有效数字，不符合题意。

但是22107863.1982.55178328178328x。

8、当N充分大时，怎样求1211NNdxx？

[解]因为NNdxxNNarctan)1arctan(1112，当N充分大时为两个相近数相减，设)1arctan(N，Narctan，则tan1N，tanN，从而

11)1(1)1(tantan1tantan)tan(2NNNNNN，

因此11arctan11212NNdxxNN。

9、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm?

[解]由)(2)(])[())((*****2*2**lllll可知，若要求1))((2**l，则2001100212))(()(*2****lll，即边长应满足2001100l。

10、设221gtS，假定g是准确的，而对t的测量有1.0秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。

[证明]因为******1.0)()()()(gttgttdtdSS，

***2******51)(2)(21)()()(ttttgtgtSSSr，所以得证。

11、序列ny满足递推关系),2,1(1101nyynn，若41.120y（三位有效数字），计算到10y时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

[解]设ny为ny的近似值，nnnyyy)(*，则由110210nnyyy与

11041.110nnyyy可知，20*1021)(y，)(1011nnnnyyyy，即

)(10)(10)(0*1**yyynnn，

从而82100*1010*1021102110)(10)(yy，因此计算过程不稳定。

12、计算6)12(f，取4.12，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？6)12(1，3)223(，3)223(1，27099。

[解]因为1*1021)(f，所以对于61)12(1f，

2417*11*10211054.61021)14.1(6)4.1()(effe，有一位有效数字；

对于32)223(f，

1112*22*10211012.01021)4.123(6)4.1()(effe，没有有效数字；

对于33)223(1f，

2314*33*10211065.21021)4.123(6)4.1()(effe，有一位有效数字；

对于270994f，111*44*10211035102170)4.1()(effe，没有有效数字。

13、)1ln()(2xxxf，求)30(f的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式)1ln()1ln(22xxxx计算，求对数时误差有多大？

[解]因为9833.298991302（六位有效数字），4*1021)(x，所以

第二章 插值法

1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令

nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxV212110200110111),,,,(，证明)(xVn是n次多项式，它的根是121,,,nxxx，且)())(,,,(),,,,(101101110nnnnnxxxxxxxVxxxxV。

[证明]由101101101010110)(),,,()()(),,,,(njjnnnjjniijjinnxxxxxVxxxxxxxxV可得求证。

2、当2,1,1x时，4,3,0)(xf，求)(xf的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102xxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL。

3、给出xxfln)(的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

xln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144

[解]若取5.00x，6.01x，

则693147.0)5.0()(00fxfy，510826.0)6.0()(11fxfy，则

604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101xxxxxxxxxyxxxxyxL，

从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1L。

若取4.00x，5.01x，6.02x，则916291.0)4.0()(00fxfy，

693147.0)5.0()(11fxfy，510826.0)6.0()(22fxfy，则

217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL，

从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22L。