数值方法课后习题答案第4章

第3章 课后习题解答

3.1 按照图示所选定的参考方向，电流i的表达式为)32314sin(20tiA，如果把参考方向选成相反的方向，则i的表达式应如何改写？讨论把正弦量的参考方向改成相反方向时，对相位差有什么影响？

解：若把电流的参考方向选成相反的方向时，解析式中的初相可加（或减）180°，即原式可改写为)3314sin(20)32314sin(20ttiA。当正弦量的参考方向改成相反方向时，原来的同相关系将变为反相关系；原来的反相关系变为同相关系；原来超前的关系将变为滞后；原来滞后的关系变为超前。

3.2 已知 314sin2220AtuV，)120314sin(2220BtuV。

（1）试指出各正弦量的振幅值、有效值、初相、角频率、频率、周期及两者之间的相位差各为多少？

（2）画出uA、uB的波形。

解：①uA的振幅值是311V，有效值是220V，初相是0，角频率等于314rad/s，频率是50Hz，周期等于0.02s；uB的幅值也是311V，有效值是220V，初相是－120°，角频率等于314rad/s，频率是50Hz，周期等于0.02s。uA超前uB120°电角。uA、uB的波形如图所示。

3.3 按照图示电压u和电流i的波形，问u和i的初相各为多少？相位差为多少？若将计时起点向右移π/ 3，则u和i的初相有何改变？相位差有何改变？u和i哪一个超前？

解：由波形图可知，u的初相是－60°，i的初相是30°；u滞后I的电角度为90°。若将计时起点向右移π/ 3（即60°），则u的初相变为零，i的初相变为90°，二者之间的相位差不变。

3.4 额定电压为220伏的灯泡通常接在220伏交流电源上，若把它接在220伏的直流电源上行吗？

答：灯泡可以看作是纯电阻负载，纯电阻负载在工频交流电下和直流情况下的电阻值变化很小，而额定电压值通常是指加在灯泡两端的长期、安全工作条件下的最高限值的有效值，有效值又与数值相同的直流电热效应相等，因此，把灯泡接在220V直流电源上是可以的。

1

第一章习题解答

1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。

3.14,7/100)4(143.0,7/1)2(

0031.0,1000/)3(1.3,)1(

====

====

xaxa

xaxa



试估计x的绝对误差和相对误差。

解：（1）0132.00416.01.3=−=−=

ae

exae

r

（2）0011.00143.0143.07/1=−=−=

ae

exae

r

（3）0127.000004.00031.01000/=−=−=

ae

exae

r

（4

）001.00143.03.147/100=−=−=

ae

exae

r

2、已知四个数：001.0,25.134,0250.0,3.26

4321====xxxx。试估计各近似数的有效

位数和误差限，并估计运算3211xxx=和1431/xxx=的相对误差限。

解：

2

11

11

12

1101901.0,10

21

,3,10263.06.23−−=====

xx

xxnx

r



2

22

14

21

2102.0,10

21

,3,10250.00250.0−−−=====

xx

xxnx

r



4

33

32

33

3103724.0,10

21

,5,1013425.025.134−−=====

xx

xxnx

r

 5.0,10

21

,1,101.0001.0

44

43

42

4======−−

xx

xxnx

r



由相对误差限公式：ir

in

ini

nn

ii

i

rx

xf

xxfx

xxfx

xf

u





=

=

==

1111

),,(),,()(

 所以有：2

321231132

11103938.0)(1

)(−++=xxxxxxxxx

r



2 4971.0)(1

)(

4

13

3

14

12

143

11++−=x

xx

x

xx

x

xxx

r



3、设精确数ａ>0，x是ａ的近似值，x的相对误差限是0.2，求㏑x的相对误差限。

解：设=()ufx，

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第1章 数值计算引论

1．1 内容提要

一、误差的来源

数值计算主要研究以下两类误差。

1． 截断误差

数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。这种误

差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。例如，要计算级数





1!1

!1

!31

!21

1

kkn

的值，当用计算机计算时，用前n项（有限项）的和



n

kkn

1!1

!1

!31

!21

1

来代替无穷项之和，即舍弃了n项后边的无穷多项，因而产生了截断误差



1!1

nkk

2． 舍入误差

由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍

入误差。例如，用3.141 59表示圆周率

时产生的误差0.000 002 6„,用0.333 33表示

1

3的运算结果时所产生的误差1

3-0.333 33 = 0.000 003 3„都是舍入误差。

二．近似数的误差表示

1． 绝对误差

设x*

是准值x的一个近似值，称

**

)(xxxe

为近似值x*

的绝对误差，简称误差。

令

|)(|*

xe的一个上界为*

，即

***

|||)(|

xxxe

把*

称为近似数*

x的绝对误差限，简称误差限。

2 / 233

2． 相对误差

设*

x是精确值x的一个近似值，称

xxx

xxe**

)(



为近似值x*

的相对误差。在实际应用中常取

**

*

)(

xxx

xe

r



为*

x的相对误差。

令相对误差绝对值

|)(|*

xe

r的一个上界为*

r，即

*

**

*

||||

|)(|

rr

xxx

xe





把*

r称为近似数*

x的相对误差限。

3． 有效数字

对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差

不超过末位的半个单位。

设数x的近似值m

nxxxx10.0

21*

，其中，

ix是0~9之间的任一个数，但

ix0，

ni,2,1是正整数，m是整数，若

数值分析复习试题

第一章绪论

一.填空题

1.为精确值的近似值；为一元函数的近似值；*

xx

**

xfy

xfy1

为二元函数的近似值，请写出下面的公式：：

**,*

yxfy

yxfy,2*

*exx

**

*rxx

e

x







*'

1**yfxx







'

***

1*

*rrxfx

yx

fx









**,**,*

2**fxyfxy

yxy

xy









*

***,***,**

2

22rfxyexfxyey

y

xy

yy





2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差

。

3、分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7

位；又取（三位有效数字），则。31.73-21

31.73 10

2

4、设均具有3位有效数字，则的相对误差限为 0.0055 。121.216,3.654xx

12xx

5、设均具有3位有效数字，则的误差限为 0.01 。121.216,3.654xx

12xx

6、已知近似值是由真值经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 .2.4560

Ax

Tx

7、递推公式如果取作计算,则计算到时,误差为

,







0

nn-1y=2,

y=10y-1,n=1,2,021.41y

10y

;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .81

10

2

8、精确值，则近似值和分别有 3 位和 14159265.3*



141.3*

1

1415.3*

2

4 位有效数字。

9、若,则x有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5 。*

2.71828xex

10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x

关于真值229.0x

有( 2 )位有效数字；

12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；