应用数值分析(第四版)课后习题答案第5章
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1 第五章习题解答
1、给出数据点:013419156iixy
(1)用012,,xxx构造二次Lagrange插值多项式2()Lx,并计算15.x的近似值215(.)L。
(2)用123,,xxx构造二次Newton插值多项式2()Nx,并计算15.x的近似值215(.)N。
(3)用事后误差估计方法估计215(.)L、215(.)N的误差。
解:(1)利用012013,,xxx,0121915,,yyy作Lagrange插值函数
2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()iiixxxxxxLxlxyxx
代入可得2151175(.).L。
(2)利用123134,,xxx,1239156,,yyy构造如下差商表：
ix iy 一阶差商 二阶差商
１ ９
３ １５ ３
４ ６ －９ －４
于是可得Newton插值多项式：
229314134196()()()()()Nxxxxxx
代入可得215135(.).N。
(3)用事后误差估计的方法可得误差为
1501511751350656304.(.)(..).R◆
2、设Lagrange插值基函数是
0012()(,,,,)njijijjixxlxinxx
试证明:①对x,有01()niilx 2 ②00110001211()()(,,,)()()nkiiinnklxknxxxkn
其中01,,,nxxx为互异的插值节点。
证明：①由Lagrange插值多项式的误差表达式101()()()()()!nniifRxxxn知，对于函数1()fx进行插值，其误差为0，亦即0()()niiifxlxf精确成立，亦即01()niilx。
②分别取被插值函数()kfxx，当kn时Lagrange插值多项式的误差表达式1001()()()()()!nniifRxxxn，即0()()niiifxlxf，亦即0()nkkiiilxxx，对于0k，由①可知结论成立；对于12,,,kn时，特别地取0x，则有000()nkiiilx；而当1kn时知其Lagrange插值误差为1001()()()()()()!nnniiiifRxxxxxn，于是有0()()()niiifxlxfRx，即1100()()nnkkiiiiixlxxxx，特别取0x可得1201010011()()()nknniinnilxxxxxxx，证毕。◆
3、试验证Newton插值多项式满足22()()nNxfx。
解：由Newton插值多项式0010012()()[,]()[,,]nNxfxfxxxxfxxx
101010()()[,,,]()nniixxxxfxxxxx
可知20012001220211021102110020202110202()()[,]()[,,]()()()()()()()()()()()()()()nNxfxfxxxxfxxxxxxxfxfxfxfxfxfxxxxxfxxxxxxxxxxxfx◆ 3 4、已知0101()()()()(,,,nifxxxxxxxxin互异,)，求函数()fx的p阶差商01[,,,],pfxxxpn。
解：由差商和函数值的关系式0100,()[,,,]()pjppjjiiijfxfxxxxx可知，当pn时总有
010[,,,]pfxxx ◆
5、若()()()fxuxvx，试证明：
01001011[,]()[,][,]()fxxuxvxxuxxvx
证明：由差商定义
10110001101011010100101010101010001011()()()()()()[,]()()()()()()()()()()()()()()()[,][,]()fxfxuxvxuxvxfxxxxxxuxvxuxvxuxvxuxvxxxuxuxvxvxvxuxxxxxuxvxxuxxvx ◆
6、若已知2nny，求4ny和4ny。
解：由向前差分、中心差分和函数值的关系可得
44440432143211464242624222()***kknnkknnnnnnnnnnnyCyyyyyy
444202112211221464242624222()***kknnkknnnnnnnnnnnyCyyyyyy
7、考虑构造一个函数01()([,])xfxex的等距节点函数表，要使分段线性插值的误差不大于41102，最大步长h应取多大？
解：由等距分段线性插值的误差表达式 4 222401110882()()max()xhhRxfxe
从而可得
221000121.he
8、考虑构造一个函数01()([,])xfxex的等距节点函数表，要使分段Hermite插值的误差不大于41102，最大步长h应取多大？
解：由等距分段Hermite插值的误差表达式
4444401110423842()()max()!xhhRxfxe
从而可得
141221002899.he
9、对函数()fx，取节点012,,xxx，且已知001122''(),(),()fxyfxyfxy；
①试对()fx构造二次插值多项式
2001122'()()()()Pxhxyhxyhxy
确定上式中基函数012(),(),()hxhxhx。
②若要使2()Px存在且唯一，插值节点012,,xxx应满足什么条件？
解：①依题意，二次多项式基函数012(),(),()hxhxhx应分别满足：
000010200'(),(),()hxyhxhx （1）
101111200''(),(),()hxhxyhx （2）
202122200'(),(),()hxhxhxy （3）
由（1）（2）（3）可得
212000210222()()()()()xxxxxyhxxxxxx，
02111022'()()()()xxxxyhxxxx， 5 010022012022()()()()()xxxxxyhxxxxxx
②由（1）（2）（3）可知欲使2()Px存在且唯一，只需且必须插值节点02,xx互异且0212xxx。
10、设301()[,],,[,]fxCabxxab，证明：
1010100210012012102'()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxfxfxfxxxxxxxfxRxxx
其中2010116'''()()()()()Rxxxxxfxx。
证明：令二次多项式
10101200210012012102'()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxPxfxfxxxxxxxfxxx
则易见2()Px满足：200200211''()(),()(),()()PxfxPxfxPxfx
于是2()()()RxfxPx满足：0010'()()()RxRxRx
因而201()()()()RxKxxxxx，引入辅助函数201()()()()()gtRtKxtxtx，则()gt共有01(,xxx二重),四个零点，依广义Rolle定理，存在01[,]xx满足：
26660'''''''''''''''()()()()()()()()gRKxfPKxfKx
从而6'''()()fKx，20116'''()()()()Rxxxxxf。证毕。
11、设(),()iihxhx为Hermite插值基函数，012(,,,,)in，试证明：
①01()niihx
②0(()())niiiihxxhxx 6 证明：由Hermite插值00'()()()()nniiiiiifxhxyhxyRx，其误差表达式
222022()()()()()!nniifRxxxn，故对于次数不高于一次的多项式函数()fx有0()Rx，从而00'()()()nniiiiiifxhxyhxy，特别地取1(),fxx，分别可得
①01()niihx；②0(()())niiiihxxhxx
12、试构造一个Hermite三次多项式3()Hx逼近函数()fx，满足以下条件。
3333000111003110''''()(),()()()(),()()HfHfHfHf
解：取0101,xx，由Hermite插值1100'()()()()iiiiiifxhxyhxyRx，11300'()()()iiiiiiHxhxyhxy，其中
22001122111001()()()xxhxxx，
2211012320110()()xxhxxx，
22010101()()()xhxxxx，
22101110()()()xhxxxx
代入可得323103593()()()Hxhxhxxxx。
13、试判断下面函数是否为三次样条函数：
①33301001112[,)()[,)()[,]xfxxxxxx
