江苏省高三数学一轮复习专题突破训练：平面向量Word版含答案

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】第05章 平面向量班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、填空题：1. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知点P 是ABC ∆内一点（不包括边界），且AC n AB m AP +=,∈n m ,R ，则22(2)(2)m n -+- 的取值范围是 ▲ ．【答案】）（8,29【解析】2. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】向量(cos10,sin10)a =︒︒r ， (cos 70,sin 70)b =︒︒r，|2|a b -=r r．3【解析】试题分析：1cos70cos10sin 70sin10cos60,||||12a b a b ⋅=︒︒+︒︒====or r r r ，所以22|2|44142 3.a b a b a b -=+-⋅=+-=r r r r r r3. 【南京市2017届高三年级学情调研】设向量(1,4)a =-r ，(1,)b x =-r，3c a b =+r r r ，若//a c r r ，则实数x的值是 . 【答案】4 【解析】试题分析：由题意得(1,4)//(2,43x)843x x 4---+⇒=-+⇒=4. 【南京市2017届高三年级学情调研】在ABC ∆中，已知3AB =，2BC =，D 在AB 上，13AD AB =u u u r u u u r，若3DB DC •=u u u r u u u r，则AC 的长是 .【答案】10【解析】试题分析：1||1||=23AD AB AD DB=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r，；33cos2DB DC DCθ•=⇒=u u u r u u u r u u u r，所以222233(1)2(2)||1022AC AC-+=--⇒=u u u r u u u r5. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】已知点O为△ABC内一点，且230OA OB OC++=u u u r u u u r u u u r r，则△AOB，△AOC，△BOC的面积之比等于．【答案】3:2:1【解析】6. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，8AB=，6CD=，则MA MB⋅u u u r u u u r的取值范围是▲ ．【答案】[9,0]-【解析】试题分析：22216MA MB MO AO MO⋅=-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r，而222[,][7,16]O CDMO d r-∈=u u u u r，所以MA MB⋅u u u r u u u r的取值范围是[9,0]-C'COBA7. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】已知向量,a b rr 满足2,1,223a b a b ==-=r r r r ，则a r 与b r的夹角为____________．【答案】0120 【解析】试题分析:因为12)2(2=-b a,即12444=+⋅-b a ,也即21cos ->=⋅<b a ,所以a r 与b r 的夹角为0120,故应填答案0120.8. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=，E 为CD 的中点，若3332AC BE =u u u v u u u v g ，则AB 的长为___________． 【答案】14【解析】9. 【2017届高三七校联考期中考试】如图，在24⨯的方格纸中，若a →和b →是起点和终点均在格点的向量，则向量2a b +r r 与a b -r r的夹角余弦值是 ▲ ．【答案】10【解析】试题分析：(2,1),(3,2)a b →=-=r ，所以2(7,0)a b +=r r ，(1,3)a b -=--r r ，因此向量2a b +r r 与a b -r r 的夹角余弦值10710=⨯10. 【2017届高三七校联考期中考试】如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==， 若14AC BD ⋅=-u u u r u u u r ，则AD BC ⋅=uuu r uu u r▲ ．【答案】2- 【解析】11. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知向量()()1,,3,2a m b ==-r r，且()a b b +⊥r r r ，则m =_________.【答案】8 【解析】试题分析: 因为)2,3(),2,4(-=-=+b m b a ,所以由题设0)2(212=--m ,解之得8=m ,故应填答案8.12. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在ABC ∆中， ()30AB AC CB -=u u u r u u u r u u u rg，则角A 的最大值为_________. 【答案】6π【解析】试题分析:由题设可得0cos 3cos =+C ab B ac ,即C b B c cos 3cos -=,也即C B B C cos sin 3cos sin -=,故B C tan 3tan -=,由于C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,因此0tan tan 2tan tan 32=+-A B B A ,故0tan 1242≥-A ,所以33tan 33≤≤-A ,所以6max π=A ,应填答案6π. 13. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在平面内，定点,,,A B C D 满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，动点,P M 满足2,AP PM MC ==u u u r u u u u r u u u u r，则BM u u u u r的最大值是__________.【答案】321- 【解析】rMPDBCA2Oyx14. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ ．【答案】32 【解析】试题分析：设AB 中点为M,则22()()()2AC BC AO OC BO OC AO BO OC OC MO OC OC ⋅=+⋅+=+⋅+=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22222432OC OC OC OC =⋅+==⨯=uuu r uuu r uuu r uuu r二、解答题：15. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】（本题满分14分）已知三点()()()1,1,3,0,2,1,A B C P -，为平面ABC 上的一点，AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v 且 0,3AP AB AP AC ==u u u v u u u v u u u v u u u vg g .（1）求AB AC u u u v u u u v g ；（2）求λμ+的值. 【答案】(1)4；(2)13λμ+=. 【解析】16. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知向量)3,1m x =-u r，()2sin ,cos n x x =r.（1）当3x π=时，求m n ⋅u r r的值；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且312m n ⋅=-u r r ，求cos2x 的值.【答案】（1）（2）【解析】。

江苏专用高考数学一轮复习加练半小时专题5平面向量复数第40练平面向量小题综合练文含解析[基础保分练]1.如图，点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②AD →与BC →；③OA →与OC →；④CA →与DC →，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是________.2.(2019·苏州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若(a ＋b )∥(4b －2a )，则实数x 的值是________.3.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若(a －2b )⊥c ，则k ＝________.4.给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a 是单位向量，则|a |＝1；③a 与b 不平行，则a 与b 都是非零向量.其中真命题是________.(填序号)5.若AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，设BA →＝a ，BD →＝b ，则BC →＝________.6.两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量b 与a ＋b 的夹角为________.7.如图所示，在△ABC 中，AD →＝13AC →，P 是BD 上的一点，若AP →＝mAB →＋213AC →则，实数m 的值为__________.8.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，BC ＝8，M 为AB 边上的中点，则CM →·CA →＋CM →·CB →＝________.9.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________. 10.已知△OAB 是边长为1的正三角形，若点P 满足OP →＝(2－t )OA →＋tOB →(t ∈R )，则|AP →|的最小值为________.[能力提升练]1.(2018·南通调研)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是________.2.在△ABC 中，E 为AC 上一点，AC →＝3AE →，P 为BE 上任一点，若AP →＝mAB →＋nAC →(m >0，n >0)，则3m ＋1n的最小值是________.3.已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为________.4.在△ABC 中，D 为边BC 的中点，动点E 在线段AD 上移动时，若BE →＝λBA →＋μBC →，则s ＝λ·μ的最大值为________.5.(2018·盐城模拟)在△ABC 中，D 是边BC 上一点，且BD →＝DC →，点列P n (n ∈N *)在直线AC 上，且满足P n A →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →，若a 1＝1，则数列{a n }的通项a n ＝________.6.(2018·南京模拟)△ABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①b 为单位向量；②a 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →； ⑤(6a ＋b )⊥BC →.答案精析基础保分练1.①④2.23.－34.②③5.12a ＋b6.π47.713 8.50 9.内心 10.32解析 以O 为原点，以OB 为x 轴，建立平面直角坐标系， ∵△AOB 为边长为1的正三角形， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，B (1,0)， OP →＝(2－t )OA →＋tOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ，3－32t ，AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋12，32－32t ，|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32t 2＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34≥32. 能力提升练 1.2 2解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 2＝c 2＋t 2a 2＋1t 2b 2＋2t c ·a ＋2t c ·b ＋2a ·b ＝c 2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2t.∵c ·a ＝c ·b ＝1，∴c ·(a －b )＝0，∴|c |＝2， 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t . 令t ＋1t＝m ≥2(当且仅当t ＝1时，取等号)，∴⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＝(m ＋1)2－1≥8， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b ≥2 2.2.12解析 由题意可知AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋3nAE →，P ，B ，E 三点共线，则m ＋3n ＝1，据此有3m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n (m ＋3n )＝6＋9n m＋mn≥6＋29n m ×mn＝12，当且仅当m ＝12，n ＝16时等号成立.综上可得3m ＋1n的最小值是12.3.923 解析 取AD 的中点E ，连结CE ，BE ，则四边形ABCE 为平行四边形，如图所示，则有AE →＝BC →， 又AE →＝ED →， ∴BC →＝ED →，∴四边形BCDE 为平行四边形， 又BE 为等边△ABD 的中线，∴BE ⊥AD ，∴平行四边形BCDE 是矩形， ∴四边形ABCD 是直角梯形. 又BE ＝CD ＝3，∴AD ＝23，BC ＝12AD ＝3，∴四边形ABCD 的面积为S ＝12(BC ＋AD )·CD＝12×(3＋23)×3＝92 3. 4.18解析 因为A ，D ，E 共线，故存在0≤t ≤1，使得BE →＝tBA →＋(1－t )BD →＝tBA →＋1－t 2BC →，而BE →＝λBA →＋μBC →且BA →，BC →不共线，所以λ＝t ，μ＝12(1－t )，消去t 得到λ＋2μ＝1.s ＝λμ＝(1－2μ)μ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫μ－142＋18，μ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，当μ＝14时，s 有最大值18.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1解析 由BD →＝DC →，可知D 为BC 的中点， ∴P n D →＝P n B →＋BD →＝12BC →－BP n →，∵P n A →＝P n B →＋BA →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →， ∴BA →－BP n →＝a n ＋1P n B →＋a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →－BP n →，∴BA →＝(1－a n ＋1－a n )BP n →＋12a n BC →，又点列P n (n ∈N *)在直线AC 上， 即A ，P n ，C 三点共线，∴1－a n ＋1－a n ＋12a n ＝1，∴a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，－12为公比的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.6.②④⑤解析 因为△ABC 是边长为3的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，则a ＝13AB →，所以|a |＝13|AB →|＝1，因此a 为单位向量，故②正确；又AC →＝AB →＋BC →＝3a ＋b ，所以BC →＝b ， 因此|b |＝|BC →|＝3，故①不正确；对于③，由AC →＝3a ＋b 可得AC →2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ，故9＝9＋9＋6a ·b ，可得a ·b ＝－32≠0，所以a ⊥b 不成立，故③不正确；对于④，由AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，得BC →＝AC →－AB →＝b ，所以b ∥BC →，故④正确；对于⑤，因为(6a ＋b )·BC →＝(6a ＋b )·b ＝6a ·b ＋b 2＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋9＝0，所以(6a ＋b )⊥BC →，故⑤正确.综上可得②④⑤正确.。

§5.3 平面向量的数量积考情考向分析 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题．1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积定义：设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b . 3．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b |a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 . 知识拓展1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (2)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(4)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (5)若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 题组二 教材改编2．[P90习题T18]已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________. 答案 12解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3．[P90练习T19]设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值为________． 答案 －32解析 由已知得c ＝(1,2)＋k (1,1)＝(k ＋1，k ＋2)， 因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0， 因此k ＋1＋k ＋2＝0，解得k ＝－32.题组三 易错自纠4．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积是________．答案 52解析 a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)， 由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. 5．已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角的大小为________． 答案2π3解析 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案 －32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos 120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.题型一 平面向量数量积的运算1．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________. 答案 9解析 AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9.2. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．答案 18解析 如图，由条件可知 BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝⎛⎭⎫12AB →＋34AC → ＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形， 所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．题型二 平面向量数量积的应用命题点1 求向量的模典例 (1)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |＝________. 答案34解析 依题意得|a |＝2，a·b ＝2×2×cos 45°＝2， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝18＋12＋4＝34.(2)(2017·江苏沛县中学质检)已知AD 是△ABC 的中线，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AD →|的最小值是________． 答案 1解析 ∵AB →·AC →＝－2＝|AB →||AC →|cos A ，∠A ＝120°，∴|AB →||AC →|＝4， ∵|AD →|＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－4)≥14(2|AB →||AC →|－4)＝1， 当且仅当AB ＝AC ＝2时取等号，∴|AD →|min ＝1. 命题点2 求向量的夹角典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为______． 答案2π3解析 ∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a·b －b 2＝6， 又|a |＝2，|b |＝1，∴a·b ＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.(2)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 答案 2解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m,2m )＋(4,2)＝(m ＋4,2m ＋2)．根据题意可得c ·a |c ||a |＝c ·b|c ||b |，所以5m ＋85＝8m ＋2020，解得m ＝2.思维升华 (1)求解平面向量模的方法①把几何图形放到适当的坐标系中，写出有关向量的坐标，求向量的长度．如若向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可．②当向量坐标无法表示时，利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2. (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a·b |a||b |，其中两个向量的夹角θ的取值范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中，利用正、余弦定理和三角形的面积公式等进行求解．跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|. 又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.(2)(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2| ＝(3e 1－e 2)2 ＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22 ＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.题型三 平面向量与三角函数典例 (2017·江苏三市调研)如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B ，P 在单位圆上，且B ⎝⎛⎭⎫－35，45，∠AOB ＝α，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ →＝OA →＋OP →，四边形OAQP 的面积为S .(1)求cos α＋sin α；(2)求OA →·OQ →＋S 的最大值及此时θ的值θ0. 解 (1)∵B ⎝⎛⎭⎫－35，45，∠AOB ＝α， ∴cos α＝－35，sin α＝45，∴cos α＋sin α＝15.(2)由已知得，A (1,0)，P (cos θ，sin θ)， ∴OQ →＝(1＋cos θ，sin θ)， OA →·OQ →＝1＋cos θ， 又S ＝sin θ，∴OA →·OQ →＋S ＝sin θ＋cos θ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋1， 又0<θ<π，∴π4<θ＋π4<5π4，∴－22<sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1， 则OA →·OQ →＋S 的最大值为2＋1， 此时θ0＝π2－π4＝π4.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．跟踪训练 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.利用数量积求向量夹角典例 已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1,1)，B (3,3)．求使向量P A →与PB →夹角为钝角的充要条件． 错解展示：现场纠错解 错解中，cos θ<0包含了θ＝π，即P A →，PB →反向的情况，此时a ＝1， 故P A →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况．1．(2017·江苏天星湖中学月考)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________. 答案 1解析 由|a ＋b |＝10得a 2＋b 2＋2a ·b ＝10，① 由|a －b |＝6得a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.2．已知向量a ，b 满足a·(a －b )＝2，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 答案2π3解析 由a·(a －b )＝2，得a 2－a·b ＝2， 即|a |2－|a||b |cos 〈a ，b 〉＝1－2cos 〈a ，b 〉＝2. 所以cos 〈a ，b 〉＝－12，所以〈a ，b 〉＝2π3.3．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a·(a ＋b )＝________.答案 1解析 ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)， a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5， |2a －b |＝5，∴|2a －b |a·(a ＋b )＝55＝1.4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 32解析 在△ABC 中，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝9＋4－102×3×2＝14， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32.5．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝________. 答案109解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43， 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43， 所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.6．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为________三角形． 答案 等腰解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0， 因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形．7．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.8．(2017·江苏泰州中学期中)向量a ＝(cos 10°，sin 10°)，b ＝(cos 70°，sin 70°)，则|a －2b |＝________. 答案3解析 a ·b ＝cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°＝cos 60°＝12，|a |＝|b |＝1，所以|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－2＝ 3.9．已知非零向量a ，b 满足：2a·(2a －b )＝b·(b －2a )，|a －2b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为________．答案 90°解析 由2a ·(2a －b )＝b·(b －2a )，得4a 2＝b 2，由|a －2b |＝3|a |，得a 2－22a·b ＋2b 2＝9a 2，则a·b ＝0，即a ⊥b ，∴a 与b 的夹角为90°.10．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析 a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞. 11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3， 所以∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 12．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0.于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32， 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13．(2017·江苏四校联考)已知平面向量a ，b (a ≠0，a ≠b )满足|a |＝3，且b 与b －a 的夹角为30°，则|b |的最大值为________．答案 6解析 令OA →＝a ，OB →＝b ，则b －a ＝OB →－OA →＝AB →，如图，∵b 与b －a 的夹角为30°，∴∠OBA ＝30°，∵|a |＝|OA →|＝3，∴由正弦定理|OA →|sin ∠OBA ＝|OB →|sin ∠OAB得， |b |＝|OB →|＝6·sin ∠OAB ≤6.14．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA→＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案 78解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 的中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ， BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ， CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ， 则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292. 又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ， CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ， 则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.15．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值与最小值的和为________．答案 7解析 ∵a ⊥(a －2b )，∴a·(a －2b )＝0，即a 2＝2a·b ，又|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝12，a 与b 的夹角为60°.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝⎝⎛⎭⎫12，32，b ＝(1,0)． 设c ＝(x ，y )，则c －2a ＝(x －1，y －3)，c －b ＝(x －1，y )．又∵(c －2a )·(c －b )＝0，∴(x －1)2＋y (y －3)＝0.即(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝34， ∴点C 的轨迹是以点M ⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，32为半径的圆． 又|c |＝x 2＋y 2表示圆M 上的点与原点O (0,0)之间的距离，所以|c |max ＝|OM |＋32，|c |min ＝|OM |－32， ∴|c |max ＋|c |min ＝2|OM |＝2×12＋⎝⎛⎭⎫322＝7. 16．已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为________． 答案 ±4 3解析 由P A →＋PC →＝0知，P 是AC 的中点，由QA →＋QB →＋QC →＝BC →，可得QA →＋QB →＝BC →－QC →，即QA →＋QB →＝BQ →，即QA →＝2BQ →，∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点，∴S △APQ ＝23×12×S △ABC ＝13S △ABC ， ∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×23＝2. ∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝2， ∴sin A ＝12，∴cos A ＝±32， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝±4 3.。

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】专题5.1 平面向量的概念及线性运算【考纲解读】内 容要求备注ABC平面向量平面向量的概念√1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．2．理解向量的几何表示．3．掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义．4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．5．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 平面向量的加法、减法及数乘运算√【直击考点】题组一 常识题1． 化简(()()AB BM BO CB OM -+-+u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r的结果是________．【解析】原式＝()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r2． 若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则x ＝______________．【解析】由2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32x －23a －12b －12c ＋b ＝0，即72x ＝23a－12b ＋12c ， 所以x ＝421a －17b ＋17c .3． a 表示向东走1 km ，b 表示向南走1 km ，则a ＋b 表示向________方向走________km.【解析】易知a ＋b 表示向东南方向走 2 km.4．已知M 是△ABC 的边BC 上的中点，AB u u u r＝a ，AC u u u r ＝b ，则＝________．【解析11,()()22AB BM AM AC CM AM AM AB BM AC CM AB AC +=+=∴=+++=+=Q 12(a ＋b )． 题组二 常错题5．若四边形ABCD 满足12AD BC =u u u r u u u r，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】//,||||AD BC AD BC ≠u u u r u u u r u u u r u u u r，所以四边形ABCD 是梯形．6．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，且b 是非零向量，则a 与c 的关系是________． 【解析】由共线向量的概念知，向量a 与向量c 共线．注意：若b 是零向量，则向量a 与向量c 的关系不确定．7．已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝3，则|a ＋b |的取值范围是________．题组三 常考题8． 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则ED EF +=u u u r u u u r ________BE u u u r .【解析】因为D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，所以111,,()222ED BA EF BC ED EF BA BC BE =-=-∴+=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r .9． 设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 【解析】因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在唯一实数t ，使得λa ＋b ＝t (a ＋2b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得λ＝t ＝12.【知识清单】考点1 向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点2 平面向量的线性运算一．向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a b b a ＋＝＋；(2)结合律：( +()a b c a b c ＋)+＝＋减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差三角形法则1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①()()a a λμλμ＝；②() a a a λμλμ＋＝＋；③()a b a b λλλ＋＝＋.考点3共线向量共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa ..【考点深度剖析】本节内容是平面向量的基础，向量的加法和减法，实数与向量的积，两个向量共线的充要条件是本节的重点内容．但由于本章内容不会出现高难度的题目，所以复习时应以基本内容为主．【重点难点突破】考点1 向量的有关概念 【1-1】给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB u u u r ＝DC u u u r 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为________. 【答案】3【1-2】给出下列命题：①a b ＝的充要条件是||a b |＝|且a b //； ②若向量a 与b 同向，且||a b |>|，则a b >； ③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ④若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是________． 【答案】⑤【解析】①当a 与b 是相反向量时，满足||a b |＝|且a b //，但a ≠b ，故①假； ②向量不能比较大小，故②假； ③0与任意向量平行，故③假；④当a 与b 中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假； ⑤由相等向量定义知，⑤真； ⑥0的相反向量仍是0，故⑥假． 【思想方法】(1)准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．(2)几个重要结论①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； ②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．【温馨提醒】忽略 0与0的区别，把零向量 0误写成0而致误． 考点2 平面向量的线性运算在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD u u u r ＝2DB u u u r ，CD u u ur ＝13CA u u u r ＋λCB u u u r ，则λ等于________. 【答案】23【2-2】平行四边形OADB 的对角线交点为C ，＝13，＝13，＝a ，＝b ，用a 、b 表示、、.【答案】OM =16a ＋56b, ON =23a ＋23b ，MN ＝12a －16b . 【解析】BA ＝a －b ，BM ＝16BA ＝16a －16b ，OM OB BM =+＝16a ＋56b ，OD ＝a ＋b ，ON OC CN =+＝12OD ＋16OD ＝23OD ＝23a ＋23b ， MN ON OM =-＝12a －16b .【思想方法】1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．2.找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【温馨提醒】注意向量运算的几何意义 考点3共线向量【3-1】在ABC △中，E F 、分别为AC AB 、的中点，,BE CF 相交于G 点，设，试用a b ，表示.【答案】1133a b +【3-2】已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB λ=+，其中λ∈R ，则点P 一定在________.【答案】AC 边所在直线上【解析】由CB PA PB λ=+得CB PB PA λ-=，∴CP PA λ=.则,CP PA 为共线向量，又,CP PA 有一个公共点P C P A ∴，、、三点共线，即点P 在直线AC 上． 【思想方法】1．应用共线向量定理，可以证明向量共线，也可以由向量共线确定参数的值；2.若a b ,不共线，则0a b λμ=+的充要条件是0λμ==；这一结论是解决求参数问题的重要依据；3.若AB AC λ=，则,,A B C 三点共线.【温馨提醒】向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”这一条件【易错试题常警惕】向量线性运算应注意的问题(1)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点。

高考一轮复习备考试题(附参考答案) 平面向量一、填空题1、（2014年江苏高考）如图，在平行四边形ABCD 中，已知5,8==AD AB ，2,3=⋅=BP AP PD CP ，则AD AB ⋅的值是 ▲ ．2、（2013年江苏高考）设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+= （21λλ，为实数），则21λλ+的值为 。

3、（2012年江苏高考）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ， 则实数λ＝ ▲ ．5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知△ABC 中，∠C =90°，34CA CB ==，，D E 、分别为边CA CB 、上的点，且6BD CA ⋅=， 8A E C B⋅=，则AE BD ⋅= ▲ ． 6、（2015届江苏苏州高三9月调研）如图,AB 是半径为3的圆O 的直径,P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点,且4,AQ AB ⋅=则BQ BP ⋅的值为 ▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ▲ ．8、（南通市2014届高三第三次调研）在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ▲ ．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知平面内的四点O ，A ，B ，C 满足2OA BC ⋅=，3OB CA ⋅=，则OC AB ⋅ = ▲ ．10、（徐州市2014届高三第三次模拟）如图，在△ABC 中，已知π3BAC ∠=，2AB =，3AC =， 2DC BD =，3AE ED =，则BE = ▲ ．11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲12、（2014江苏百校联考一）如图，PQ 是半径为1的圆A 的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则CQ BP ∙的最大值为13、（2014南通二模）在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ▲ ． 14、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15AD AB AC =+λ()∈R λ，则λ的值为 ▲15、（兴化市2014届高三上学期期中）已知在ABC ∆中，3==BC AB ，4=AC ，设O 是ABC ∆的内心，若AC n AB m AO +=，则=n m :3:4．二、解答题1、（2013年江苏高考）已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，，παβ<<<0。

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】专题5.3 平面向量的数量积【考纲解读】 内 容要 求备注A B C平面向量平面向量的数量积√1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角．5．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．【直击考点】题组一 常识题1．已知在△ABC 中，B 是最大内角，AB →·BC →<0，则△ABC 的形状是____________． 【解析】设AB →与BC →的夹角为θ，则AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos θ<0，得cos θ <0，所以cos B ＝cos(π－θ)>0，所以B 为锐角．又B 是三角形的最大内角，所以△ABC 为锐角三角形．2．在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝60°，则AB →·AD →＝________．3．已知向量a ＝(4，2)，b ＝(1，－1)，则向量b 在向量a 上的投影为______． 【解析】∵向量a ＝(4，2)，b ＝(1，－1)， ∴向量b 在向量a 上的投影为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·b |a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－216＋4＝55.4．已知力F 1和F 2的合力为12 N ，F 1为24 N ，力F 2与合力F 的夹角为90°，则力F 1与F 2的夹角的大小为________．【解析】由向量加法的平行四边形法则知，α＝β＝90°，|F |＝12 N ，|F 1|＝24 N ，所以θ＝60°，所以β＋θ＝150°.题组二 常错题5．在△ABC 中，若AC →·AB→|AB →|＝1，BC →·BA→|BA →|＝2，则AB 边的长度为________．6．已知 AB →＝(2，－1)，CD →＝(3，3)，则向量AB →在CD →上的投影为________． 【解析】向量AB →在CD →上的投影为AB →·CD →|CD →|＝2×3＋（－1）×332＝22.题组三 常考题7． 已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则∠ABC ＝________．【解析】因为cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝－32，所以∠ABC ＝150°.8．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝7，则|b |＝________． 【解析】由|2a ＋b |＝7，两边同时平方得4a 2＋4a ·b ＋b 2＝7，即|b |2＋2|b |－3＝0，解得|b |＝1或|b |＝－3(舍去)．9． 已知向量a ＝(3，4)，b ＝(x ，1)，且(a ＋b )·b ＝|a |，则实数x ＝________．【知识清单】考点1 平面向量数量积的运算 一、两个向量的夹角 1．定义已知两个非零向量a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 二、平面向量数量积1．已知两个非零向量a 与b ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0. 2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 三、向量数量积的性质1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . 2．a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 3．a ·a ＝|a |2，|⋅a a a 4．cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)5．|a ·b |≤|a ||b |. 四、数量积的运算律 1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )． 五、数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则： 1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2．a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. 3．|a |＝a 21＋a 22. 4．cos θ＝||||⋅a b a b 112222221212a ab b ++θ为a 与b 的夹角)考点2 向量的夹角与向量的模 1. a ·a ＝|a |2，|⋅a a a 2．cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)3. a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.4.|a ·b |≤|a ||b |.考点3 向量数量积的综合应用 1. a ·a ＝|a |2，|⋅a a a 2．cos θ＝||||⋅a ba b .(θ为a 与b 的夹角)3. a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.【考点深度剖析】这部分知识是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是必考的重要内容之一．【重点难点突破】考点1 平面向量数量积的运算【1-1】已知||5,||3,12,a b a b ==⋅=-且则向量a 在向量b 上的投影等于 . 【答案】4-【解析】∵=|a|||cos<,>a b b a b ⋅⋅⋅，而a 在b 上的投影为-12|a|cos<,>===-43|b|a b a b ⋅⋅. 【1-2】已知平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则AD ·BD ＝ .【答案】8【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＋AD ＝AC ，∴AD ＝AC －AB ＝(－1，－1)．又BD ＝AD －AB ＝(－3，－5)，∴AD ·BD ＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8．【思想方法】1.平面向量数量积的计算方法①已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b|cos θ求解； ②已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算 【温馨提醒】平面向量的数量积计算问题，往往有有两种形式，一是利用数量积的定义式；二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.考点2 向量的夹角与向量的模【2-1】b a ,是两个向量，2,1==b a 且a b a ⊥+)(，则a 与b 的夹角为 . 【答案】 120【解析】由a b a ⊥+)(知，()a b a +⋅=2a ab +⋅=0，所以2a b a ⋅=-=-1，所以cos ,a b =||||a ba b ⋅=12-，所以a 与b 的夹角为 120.【2-2】若同一平面内向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且1a =，1b =，3c =，则a b c ++等于 .【答案】2或5【2-3】△ABC 中,|AB |=5,|AC |=8,AB ·AC =20,则|BC |为 . 【答案】7【解析】由|AB |=5,|AC |=8,AB ·AC =20,1cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅，又0A π<<， 3A π∴=，由余弦定理得222cos 7BC AB AC AB AC A =+-=【思想方法】利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．【温馨提醒】涉及几何图形问题，灵活应用勾股定理、余弦定理等，有助于模的确定. 考点3 向量数量积的综合应用【3-1】已知O 为坐标原点，向量()3sin ,cos OA αα=，()2sin ,5sin 4cos OB ααα=-，3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且OA OB ⊥，则tan α值为 .【答案】43-【3-2】已知A ，B ，C 三点的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，若AC BC ⋅＝－1，则21tan 2sin sin 2ααα++的值为 . 【答案】－95【解析】由AC ＝(cos α－3，sin α)，BC ＝(cos α，sin α－3)，得AC BC ⋅＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23，∴2sin αcos α＝－59，21tan 2sin sin 2ααα++＝2sin 1cos 2sin 2sin cos ααααα++⋅＝12sin cos αα⋅＝－95. 【3-3】已知函数()xxf x e e -=-，实数x ，y 满足22(2)(2)0f x x f y y -+-≥，若点()1,2M ，(),N x y ，则当14x ≤≤时，OM ON ⋅的最大值为 (其中O 为坐标原点)【答案】12【思想方法】对向量与三角函数的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题，从而可利用三角公式求解．【温馨提醒】在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．【易错试题常警惕】(1)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角.如在等边三角形ABC 中，与的夹角应为120°而不是60°.(2)在平面向量数量积的运算中，不能从a ·b ＝0推出a ＝0或b ＝0成立.实际上由a ·b ＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，a⊥b.(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c.(4)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c 不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.。

第五章⎪⎪⎪平面向量 第一节平面向量的概念及线性运算突破点(一) 平面向量的有关概念基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量 长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面向量的有关概念[典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |(2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3本节主要包括2个知识点： 1.平面向量的有关概念； 2.平面向量的线性运算.[解析](1)因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故a＝2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件．(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[答案](1)C(2)D[易错提醒](1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则u u u rAB＝u u u rDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．①④解析：选A①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵u u u r AB＝u u u rDC，∴|u u u rAB|＝|u u u rDC|且u u u rAB∥u u u rDC.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则u u u rAB∥u u u rDC且|u u u rAB|＝|u u u rDC|，因此，u u u rAB＝u u u rDC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．错误的命题有3个，故选C.3．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则图中与u u u rOC 相等的向量有________．答案：u u u r AB ，u u u r ED ，u u ur FO4．如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量u u u u rGH 相等的向量有________；(2)与向量u u u u rGH 共线，且模相等的向量有________；(3)与向量u u u rEA 共线，且模相等的向量有________．解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．答案：(1) u u u u r LB '，u u u u r HC (2)u u u u r EC '，u u u r LE ，u u u u r LB '，uuur GB ，u u u u r HC (3)u u u r EF ，u u u r FB ，u u u u r HA '，u u u u r HK ，u u u u r KB '突破点(二) 平面向量的线性运算基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ； 结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝|λ||a |，当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a ) ＝(λ μ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b ) ＝λa ＋λb2.平面向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面向量的线性运算[例1] (1)在△ABC 中，u u u r AB ＝c ，u u u r AC ＝b .若点D 满足u u u r BD ＝2u u u r DC ，则u u u rAD ＝( )A.13b ＋23c B.53c －23b C.23b －13c D.23b ＋13c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且u u u u r AN ＝12u u u r NC ，P 是BN 上一点，若u u u r AP ＝m u u u rAB ＋29u u u rAC ，则实数m 的值是________． [解析] (1)由题可知u u u r BC ＝u u u r AC －u u u r AB ＝b －c ，∵u u u r BD ＝2u u u r DC ，∴u u u r BD ＝23u u ur BC ＝23(b－c )，则u u u r AD ＝u u u r AB ＋u u u r BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c ，故选D.(2)如图，因为u u u u r AN ＝12u u u r NC ，所以u u u u r AN ＝13u u u r AC ，所以u u u r AP ＝m u u u rAB＋29u u u r AC ＝m u u u r AB ＋23u u u u r AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13. [答案] (1)D (2)13[方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较，观察可知所求．平面向量共线定理的应用[例2] 设两个非零向量a 和b 不共线．(1)若u u u rAB ＝a ＋b ，u u u r BC ＝2a ＋8b ，uuu r CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．[解] (1)证明：因为u u u rAB ＝a ＋b ，u u u r BC ＝2a ＋8b ，uuu r CD ＝3(a －b )，所以u u u r BD ＝u u u r BC ＋uuu r CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5u u u r AB ，所以u u u r AB ，u u u rBD 共线． 又u u u r AB 与u u u rBD 有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为ka ＋b 与a ＋kb 共线， 所以存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1. 即k ＝1或－1时，ka ＋b 与a ＋kb 共线． [方法技巧]平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使u u u r AB ＝λu u u r AC ，u u u r AB 与u u u rAC 有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]如图所示，下列结论正确的是( )①uuu r PQ ＝32a ＋32b ；②u u u r PT ＝32a －b ；③u u u r PS ＝32a －12b ；④u u u rPR ＝32a ＋b . A ．①② B ．③④ C ．①③D ．②④解析：选C 根据向量的加法法则，得uuu r PQ ＝32a ＋32b ，故①正确；根据向量的减法法则，得u u u r PT ＝32a －32b ，故②错误；u u u r PS ＝uuu r PQ ＋uuu r QS ＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；u u u r PR ＝uuu r PQ ＋uuu r QR ＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误．故选C.2.[考点二]已知a ，b 是不共线的向量，u u u rAB ＝λa ＋b ，u u u r AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，∴u u u r AB ∥u u u r AC ，设u u u rAB ＝m u u u r AC (m ≠0)，则λa ＋b＝m (a ＋μb )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ， ∴λμ＝1，故选D.3.[考点一]在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记u u u r AB ，u u u r BC 分别为a ，b ，则u u u u rAH ＝( )A.25a －45bB.25a ＋45b C ．－25a ＋45bD ．－25a －45b解析：选B 如图，过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，且u u u r GF ＝12u u u r EC ＝14u u u r BC ，∴u u u r GF ＝14u u u rAD ，则△AHD ∽△FHG ，从而u u u u r HF ＝14u u u u r AH ，∴u u u u r AH ＝45u u u r AF ，u u u r AF ＝u u u r AD ＋u u u rDF ＝b ＋12a ，∴u u u u r AH ＝45⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25a ＋45b ，故选B.4.[考点二]已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，tb ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.解析：∵a ，tb ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －tb与a －13(a ＋b )共线，即a －tb 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －tb ＝λ⎝⎛⎭⎫23a －13b ，∴⎩⎨⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，若a ，tb ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，则t ＝12.答案：12[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，u u u r BC ＝3uuu rCD ，则( )A ．u u u r AD ＝－13u u ur AB ＋43u u u r ACB ．u u u r AD ＝13u u u r AB －43u u u rACC ．u u u r AD ＝43u u u r AB ＋13u u u rACD ．u u u r AD ＝43u u u r AB －13u u u rAC解析：选A u u u r AD ＝u u u r AC ＋uuu r CD ＝u u u r AC ＋13u u u r BC ＝u u u r AC ＋13(u u u r AC －u u u r AB )＝43u u u r AC －13u u u r AB ＝－13u u ur AB ＋43u u u r AC ，故选A.2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则u u u r EB ＋u u ur FC ＝( )A ．u u u r AD B.12u u u r AD C ．u u u r BC D.12u u ur BC解析：选A u u u r EB ＋u u u r FC ＝12(u u u r AB ＋uuur CB )＋12(u u u r AC ＋u u u r BC )＝12(u u ur AB ＋u u u r AC )＝u u u r AD ，故选A. 3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：12[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设uuu r CB ＝a ，u u u r CA ＝b ，则u u u u rAM ＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：选A u u u u r AM ＝u u u r AC ＋u u u u r CM ＝－u u u r CA ＋12uuu r CB ＝－b ＋12a ，故选A.2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2u u u r AC ＋uuu r CB ＝0，则向量u u u rOC 等于( )A.23 uuu r OA －13uuu r OB B ．－13uuu r OA ＋23uuu r OB C ．2uuu r OA －uuu r OB D ．－uuu r OA ＋2uuu r OB解析：选C 因为u u u r AC ＝u u u r OC －uuu r OA ，uuu r CB ＝uuu r OB －u u u r OC ，所以2u u u r AC ＋uuu r CB ＝2(u u u rOC －uuu r OA )＋(uuu r OB －u u u r OC )＝u u u r OC －2uuu r OA ＋uuu r OB ＝0，所以u u u r OC ＝2uuu r OA －uuu r OB .3．在四边形ABCD 中，u u u rAB ＝a ＋2b ，u u u r BC ＝－4a －b ，uuu r CD ＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知得，u u u r AD ＝u u u r AB ＋u u ur BC ＋uuu r CD ＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2u u u r BC ，故u u u r AD ∥u u u r BC .又因为u u u r AB 与uuur CD 不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0解析：选D 依题意，设a ＋b ＝mc ，b ＋c ＝na ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝mc －na ，即a－c ＝mc －na .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.5．已知△ABC 和点M 满足u u u u r MA ＋u u u u r MB ＋u u u u r MC ＝0.若存在实数m 使得u u u r AB ＋u u u rAC ＝m u u u u rAM 成立，则m ＝________.解析：由u u u u r MA ＋u u u u r MB ＋u u u ur MC ＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则u u u u r AM ＝23u u u r AD ＝23×12(u u u r AB ＋u u u r AC )＝13(u u u r AB ＋u u u r AC )，所以u u u r AB ＋u u u r AC ＝3u u u u rAM ，故m＝3.答案：3[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且u u u u r MB ＋32u u u u r MA ＋32u u u ur MC ＝0，D 是AC 的中点，则|u u u u rMD ||u u u u r BM |的值为( ) A.13 B.12C ．1D ．2解析：选A ∵D 是AC 的中点，如图，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴u u u u r MD ＝12u u u u r ME ＝12(u u u u r MA ＋u u u u r MC )，∴u u u u r MA ＋u u u u r MC ＝2u u u u r MD .∵u u u u r MB ＋32u u u u r MA ＋32u u u u r MC ＝0，∴u u u u r MB ＝－32(u u u u r MA ＋u u u u r MC )＝－3u u u u r MD ，∴u u u u r BM ＝3u u u u r MD ，∴|u u u u r MD ||u u u ur BM |＝|u u u u rMD ||3u u u u r MD |＝13，故选A. 2．在△ABC 中，u u u r BD ＝3u u u r DC ，若u u u r AD ＝λ1u u u rAB ＋λ2u u u r AC ，则λ1λ2的值为( )A.116B.316C.12D.109解析：选B 由题意得，u u u r AD ＝u u u r AB ＋u u u r BD ＝u u u r AB ＋34u u u r BC ＝u u u r AB ＋34(u u u r AC －u u u r AB )＝14u u u r AB ＋34u u u r AC ，∴λ1＝14，λ2＝34，∴λ1λ2＝316.3．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且u u u r DC ＝2u u u rBD ， uuu r CE ＝2u u u r EA ，u u u r AF ＝2u u u r FB ，则u u u r AD ＋u u u r BE ＋u u ur CF 与u u u r BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得u u u r AD ＝u u u r AB ＋u u u r BD ＝u u u r AB ＋13u u u r BC ，u u u r BE ＝u u u r BA ＋u u u r AE ＝u u u rBA ＋13u u u r AC ，u u ur CF ＝uuu r CB ＋u u u r BF ＝uuu r CB ＋13u u u r BA ，因此u u u r AD ＋u u u r BE ＋u u u r CF ＝uuu r CB ＋13(u u u r BC ＋u u u r AC －u u u r AB )＝uuu r CB ＋23u u u r BC ＝－13u u ur BC ，故u u u r AD ＋u u u r BE ＋u u u r CF 与u u u r BC 反向平行．4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且uuu r OA ＋uuu r OB ＋u u u rCO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 由uuu r OA ＋uuu r OB ＋u u u r CO ＝0，得uuu r OA ＋uuu r OB ＝u u u rOC ，由O为△ABC 外接圆的圆心，可得|uuu r OA |＝|uuu r OB |＝|u u u rOC |.设OC 与AB 交于点D ，如图，由uuu r OA ＋uuu r OB ＝u u u r OC 可知D 为AB 的中点，所以u u u r OC ＝2u u u rOD ，D 为OC 的中点．又由|uuu r OA |＝|uuu rOB |可知OD ⊥AB ，即OC ⊥AB ，所以四边形OACB 为菱形，所以△OAC 为等边三角形，即∠CAO ＝60°，故A ＝30°.5．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且u u u u r AM ＝x u u u r AB ，u u u u r AN ＝y u u u r AC ，则xy x ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2 D.12解析：选B 由已知得M ，G ，N 三点共线，所以u u u r AG ＝λu u u u r AM ＋(1－λ)u u u u r AN ＝λx u u u rAB ＋(1－λ)y u u u r AC .∵点G 是△ABC 的重心，∴u u u r AG ＝23×12(u u u r AB ＋u u u r AC )＝13(u u ur AB ＋u u u r AC )，∴⎩⎨⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x，1－λ＝13y，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分得x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13.6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5u u u u r AM ＝u u u rAB ＋3u u u r AC ，则△ABM 与△ABC 的面积的比值为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C 设AB 的中点为D ，如图，连接MD ，MC ，由5u u u u rAM＝u u u r AB ＋3u u u r AC ，得5u u u u r AM ＝2u u u r AD ＋3u u u r AC ①，即u u u u r AM ＝25u u u r AD ＋35u u u r AC ，即25＋35＝1，故C ，M ，D 三点共线，又u u u u r AM ＝u u u r AD ＋u u u u r DM ②，①②联立，得5u u u u r DM ＝3u u u r DC ，即在△ABM 与△ABC 中，边AB 上的高的比值为35，所以△ABM 与△ABC 的面积的比值为35.二、填空题7．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且u u u r BC ＝a ，u u u rCA ＝b ，给出下列命题：①u u u r AD ＝12a －b ；②u u u r BE ＝a ＋12b ；③u u u r CF ＝－12a ＋12b ；④u u u r AD ＋u u u r BE ＋u u u r CF ＝0.其中正确命题的个数为________．解析：由u u u r BC ＝a ，u u u r CA ＝b 可得u u u r AD ＝12uuu r CB ＋u u u r AC ＝－12a －b ，u u u r BE ＝u u u r BC ＋12u u u r CA ＝a ＋12b ，u u u r CF ＝12(uuu r CB ＋u u u r CA )＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，u u u r AD ＋u u u r BE ＋u u u r CF ＝－12a －b ＋a ＋12b－12a ＋12b ＝0，所以①错，②③④正确．所以正确命题的个数为3. 答案：38．若|u u u r AB |＝|u u u r AC |＝|u u u r AB －u u u r AC |＝2，则|u u u r AB ＋u u u rAC |＝________.解析：∵|u u u r AB |＝|u u u r AC |＝|u u u r AB －u u u r AC |＝2，∴△ABC 是边长为2的正三角形，∴|u u u rAB ＋u u u r AC |为△ABC 的边BC 上的高的2倍，∴|u u u r AB ＋u u u r AC |＝2×2sin π3＝2 3.答案：2 39．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|uuu r OB －u u u r OC |＝|uuu r OB ＋u u u r OC －2uuu rOA |，则△ABC 的形状为________．解析：因为uuu r OB ＋u u u r OC －2uuu r OA ＝uuu r OB －uuu r OA ＋u u u r OC －uuu r OA ＝u u u r AB ＋u u u r AC ，uuur OB －u u u r OC ＝uuu r CB ＝u u u r AB －u u u r AC ，所以|u u u r AB ＋u u u r AC |＝|u u u r AB －u u u r AC |，即u u u r AB ·u u u r AC ＝0，故u u u r AB ⊥u u u r AC ，△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形10．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD上，若u u u r AE ＝u u u r AD ＋μu u u rAB ，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以u u u r AB ＝2u u u r DC .∵点E 在线段CD 上，∴u u u rDE ＝λu u u r DC (0≤λ≤1)．∵u u u r AE ＝u u u r AD ＋u u u r DE ，又u u u r AE ＝u u u r AD ＋μu u u r AB ＝u u u rAD ＋2μu u u r DC ＝u u u r AD＋2μλu u u r DE ，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 三、解答题11.如图，以向量uuu r OA ＝a ，uuu r OB ＝b 为邻边作▱OADB ，u u u u r BM ＝13u u u r BC ， u u u r CN ＝13uuu r CD ，用a ，b 表示u u u u r OM ， u u u r ON ，u u u u r MN .解：∵u u u r BA ＝uuu r OA －uuu r OB ＝a －b ，u u u u r BM ＝16u u u r BA ＝16a －16b ，∴u u u u r OM ＝uuu r OB ＋u u u u r BM ＝b ＋⎝⎛⎭⎫16a －16b ＝16a ＋56b . 又∵u u u rOD ＝a ＋b ， ∴u u u r ON ＝u u u r OC ＋13uuu r CD ＝12u u u r OD ＋16u u u r OD＝23u u ur OD ＝23a ＋23b ， ∴u u u u r MN ＝u u u r ON －u u u ur OM ＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，u u u u r OM ＝16a ＋56b ，u u u r ON ＝23a ＋23b ，u u u u r MN ＝12a －16b .12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，u u u rAE＝23u u ur AD ，u u u r AB ＝a ，u u u r AC ＝b . (1)用a ，b 表示向量u u u r AD ，u u u r AE ，u u u r AF ，u u u r BE ，u u u rBF ；(2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，使u u u r AD ＝12u u u r AG ，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，如图，所以u u u r AG ＝u u u r AB ＋u u u rAC ＝a ＋b ， u u u r AD ＝12u u u r AG ＝12(a ＋b )，u u u r AE ＝23u u u r AD ＝13(a ＋b )， u u u r AF ＝12u u u r AC ＝12b ，u u u r BE ＝u u u r AE －u u u r AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， u u u r BF ＝u u u r AF －u u u r AB ＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知u u u r BE ＝23u u u rBF ，又因为u u u r BE ，u u u rBF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．第二节平面向量基本定理及坐标表示突破点(一) 平面向量基本定理基础联通 抓主干知识的“源”与“流”平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”基底的概念[例1] 如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1[解析] 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．[答案] D本节主要包括2个知识点： 1.平面向量基本定理； 2.平面向量的坐标表示.[易错提醒]某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量．平面向量基本定理的应用[例2] (2016·江西南昌二模)如图，在△ABC 中，设u u u rAB ＝a ，u u u r AC ＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则u u u r AP＝( )A.12a ＋12b B.13a ＋23b C.27a ＋47b D.47a ＋27b [解析] 如图，连接BP ，则u u u r AP ＝u u u r AC ＋uuu r CP ＝b ＋u u u rPR ，① u u u r AP ＝u u u r AB ＋u u u r BP ＝a ＋u u u r RP －u u u rRB ，②①＋②，得2u u u r AP ＝a ＋b －u u u rRB ，③又u u u r RB ＝12uuu r QB ＝12(u u u r AB －uuu r AQ )＝12⎝⎛⎭⎫a －12 u u u r AP ，④ 将④代入③，得2u u u r AP ＝a ＋b －12⎝⎛⎭⎫a －12 u u ur AP ， 解得u u u r AP ＝27a ＋47b .[答案] C [方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二](2017·潍坊模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若u u u r AB ＝a ，u u u r AC ＝b ，则uuu r PQ ＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知uuu r PQ ＝u u u r PB ＋uuu r BQ ＝23u u u r AB ＋13u u u r BC ＝23u u u r AB ＋13(u u u r AC －u u u r AB )＝13u u u r AB ＋13u u u r AC ＝13a ＋13b ，故选A.2.[考点一](2016·泉州调研)若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是( )A ．a －2b 与－a ＋2bB ．3a －5b 与6a －10bC ．a －2b 与5a ＋7bD ．2a －3b 与12a －34b解析：选C 不共线的两个向量可以作为一组基底．因为a －2b 与5a ＋7b 不共线，故a －2b 与5a ＋7b 可以作为一组基底．3.[考点二]如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，uuu r OP ＝x uuu r OA ＋y uuu r OB ，且u u u r BP ＝2u u u rPA ，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知uuu r OP ＝uuu r OB ＋u u u r BP ，又u u u r BP ＝2u u u r PA ，所以uuu r OP ＝uuu r OB ＋23u u u r BA ＝uuur OB ＋23(uuu r OA －uuu r OB )＝23uuu r OA ＋13uuu r OB ，所以x ＝23，y ＝13. 4.[考点二](2017·绵阳诊断)在△ABC 中，u u u u r AN ＝12u u u r AC ，P 是BN 上一点，若u u u r AP ＝m u u u r AB ＋38u u u rAC ，则实数m 的值为________． 解析：∵B ，P ，N 三点共线，∴u u u r AP ＝t u u u r AB ＋(1－t )u u u u r AN ＝t u u u r AB ＋12(1－t )u u u r AC ，又∵u u u r AP ＝m u u u r AB ＋38u u u r AC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝t ，12(1－t )＝38，解得m ＝t ＝14. 答案：14突破点(二) 平面向量的坐标表示基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则u u u rAB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．2．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面向量的坐标运算[例1] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设u u u rAB ＝a ，u u u r BC ＝b ，u u u r CA ＝c ，且u u u u r CM ＝3c ，u u u rCN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量u u u u rMN 的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.即所求实数m 的值为－1，n 的值为－1. (3)设O 为坐标原点，∵u u u u r CM ＝u u u u r OM －u u u rOC ＝3c ， ∴u u u u r OM ＝3c ＋u u u rOC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，即M (0,20)．又∵u u u r CN ＝u u u r ON －u u u rOC ＝－2b ， ∴u u u r ON ＝－2b ＋u u u rOC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，即N (9,2)．∴u u u u rMN ＝(9，－18)．[方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．平面向量共线的坐标表示[例2] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若u u u rAB ＝2a ＋3b ，u u u r BC ＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．[解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)u u u rAB ＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， u u u rBC ＝a ＋mb ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线，∴u u u r AB ∥u u ur BC ，∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．(3)公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A.12a ＋b B.－12a －bC.32a ＋12b D.32a －12b 解析：选A 设c ＝xa ＋yb ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b .2.[考点一]已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若u u u u rMN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A u u u u rMN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则u u u u rMN ＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即N (2,0)．3.[考点二]已知向量uuu r OA ＝(k,12)，uuu r OB ＝(4,5)，u u u rOC ＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23 B.43 C.12 D.13解析：选A u u u r AB ＝uuur OB －uuu r OA ＝(4－k ，－7)，u u u r AC ＝u u u r OC －uuu r OA ＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴u u u r AB ，u u u r AC 共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.4.[考点二]已知梯形ABCD ，其中AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥DC ，∴u u u r DC ＝2u u u rAB .设点D 的坐标为(x ，y )，则u u u r DC ＝(4－x ，2－y )，u u u rAB ＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．答案：(2,4)5.[考点二]已知uuu r OA ＝a ，uuu r OB ＝b ，u u u r OC ＝c ，u u u r OD ＝d ， u u u rOE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，那么t 为何值时，C ，D ，E 三点共线？解：由题设知，uuu r CD ＝u u u r OD －u u u rOC ＝d －c ＝2b －3a ， uuu r CE ＝u u u r OE －u u u rOC ＝e －c ＝t (a ＋b )－3a ＝(t －3)a ＋tb .C ，D ，E 三点共线的充要条件是存在实数k ，使得uuu r CE ＝k uuu r CD ，即(t －3)a ＋tb ＝－3ka ＋2kb ， 整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b . 若a ，b 共线，则t 可为任意实数；若a ，b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，2k －t ＝0，解得t ＝65.综上，可知a ，b 共线时，t 可为任意实数；a ，b 不共线时，t ＝65.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量u u u r AC ＝(－4，－3)，则向量u u u rBC ＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：选A 设C (x ，y )，则u u u r AC ＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而u u u r BC ＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A. 2．(2016·全国甲卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－6[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若向量u u u rAB ＝(2,4)，u u u r AC ＝(1,3)，则u u u r BC ＝( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(3,7)D ．(－3，－7)解析：选B 由向量的三角形法则，u u u r BC ＝u u u r AC －u u u rAB ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故选B.2．(2017·丰台期末)已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )，若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0D ．4x －3y ＝0解析：选C 由平面向量共线基本定理可得3y ＋4x ＝0，故选C.3．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)． 4．若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，u u u r AB ＝(3,5)，u u u r AC ＝(2,4)，则u u u r AD ＝( )A ．(－1，－1)B ．(5,9)C ．(1,1)D ．(3,5)解析：选A 由题意可得u u u r AD ＝u u u r BC ＝u u u r AC －u u u rAB ＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．5．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．解析：u u u r AB ＝(a －1,3)，u u u r AC ＝(－3,4)，据题意知u u u r AB ∥u u u rAC ，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.答案：－54[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )，若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)解析：选B ∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．0解析：选B 因为a 与b 方向相反，所以b ＝ma ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.3．已知在平行四边形ABCD 中，u u u r AD ＝(2,8)，u u u rAB ＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则u u u u rAM ＝( )A.⎝⎛⎭⎫－12，－6 B.⎝⎛⎭⎫－12，6 C.⎝⎛⎭⎫12，－6 D.⎝⎛⎭⎫12，6解析：选B 因为在平行四边形ABCD 中，有u u u r AC ＝u u u r AB ＋u u u r AD ，u u u u r AM ＝12u u u rAC ，所以u u u u r AM ＝12(u u u r AB ＋u u u r AD )＝12[(－3,4)＋(2,8)]＝12×(－1,12)＝⎝⎛⎭⎫－12，6，故选B. 4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：选D 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6，20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)，又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．5．已知平行四边形ABCD 中，u u u r AD ＝(3,7)，u u u rAB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则u u u rCO 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D.⎝⎛⎭⎫－12，－5 解析：选D u u u r AC ＝u u u r AB ＋u u u r AD ＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴u u u r OC ＝12u u u r AC ＝⎝⎛⎭⎫12，5.∴u u u r CO ＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|u u ur OC |＝2，若u u u r OC ＝λuuu r OA ＋μuuu r OB ，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|u u u r OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又u u u r OC ＝λuuu r OA ＋μuuu r OB ，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.二、填空题7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且u u u r BP ＝2u u u r PC ，点Q 是AC 的中点，若 u u u rPA ＝(4,3)，uuu rPQ ＝(1,5)，则u u u r BC ＝________.解析：uuu r AQ ＝uuu r PQ －u u u rPA ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴u u u r AC ＝2uuu r AQ ＝2(－3,2)＝(－6,4)．u u u r PC ＝u u u r PA ＋u u u rAC ＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴u u u r BC ＝3u u u r PC ＝3(－2,7)＝(－6,21)．答案：(－6,21)8．已知向量u u u r AC ，u u u r AD 和u u u r AB 在正方形网格中的位置如图所示，若u u u r AC ＝λu u u rAB ＋μu u u rAD ，则λμ＝________.解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则u u u rAC ＝(2，－2)，u u u r AB ＝(1,2)，u u u rAD ＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3. 答案：－39．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{(－13，－23)}10．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若u u u r AB ＝λu u u u r AM ＋μu u u u rAN ，则λ＋μ＝________.解析：由u u u r AB ＝λu u u u r AM ＋μu u u u r AN ，得u u u r AB ＝λ·12(u u u r AD ＋u u u r AC )＋μ·12(u u u r AC ＋u u u r AB )，则⎝⎛⎭⎫μ2－1u u u r AB ＋λ2u u u r AD ＋λ2＋μ2u u u r AC ＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1u u u r AB ＋λ2u u u r AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫u u u r AD ＋12 u u u r AD ＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1u u u r AB ＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2u u u r AD ＝0.又因为u u u r AB ，u u u rAD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.答案：45三、解答题11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设u u u r BA ＝a ，u u u r BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量u u u r EF ，u u u rDF ，uuu r CD .解：u u u r EF ＝u u u r EA ＋u u u r AB ＋u u u r BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，u u u r DF ＝u u u r DE ＋u u u r EF ＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， uuu r CD ＝u u u r CF ＋u u u r FD ＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . 12.给定两个长度为1的平面向量uuu r OA 和uuu r OB ，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若u u u r OC ＝x uuu rOA ＋y uuu rOB ，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解：以O 为坐标原点，uuu rOA 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B －12，32，设∠AOC ＝αα∈0，2π3，则C (cos α，sin α)，由u u u r OC ＝x uuu r OA ＋y uuu rOB ，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.第三节平面向量的数量积及其应用突破点(一) 平面向量的数量积基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作uuu r OA ＝a ，uuu rOB ＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． (3)坐标表示：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面向量数量积的运算1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．本节主要包括3个知识点： 1.平面向量的数量积； 2.平面向量数量积的应用；3.平面向量与其他知识的综合问题.。

1．(2019·江西省临川第一中学模拟)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则m 的值为( )A ．1B ．3C ．1或3D ．4答案 B解析 因为a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，所以a －b ＝(2－m ,2)，因为a ⊥(a －b )，则a ·(a －b )＝2(2－m )＋2＝0，解得m ＝3.故选B.2．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋(t －3)2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.3．(2020·拉萨模拟)已知向量a ，b 的夹角为π2，且a ＝(2，－1)，|b |＝2，则|a ＋2b |等于( ) A ．2 3 B ．3 C.21 D.41答案 C解析 由已知|a |＝22＋(－1)2＝5，a ·b ＝|a ||b |cos π2＝0， ∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(5)2＋4×22＝21，∴|a ＋2b |＝21.故选C.4．(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|b ＋a |＝2，则向量a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.22 B.23 C.28 D.24答案 D解析 由题意可知，|b ＋a |2＝b 2＋2a ·b ＋a 2＝3＋2a ·b ＝4，解得a ·b ＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝122＝24，故选D. 5．(2019·东莞模拟)已知非零向量m ，n 满足|n |＝4|m |，且m ⊥(2m ＋n )，则m ，n 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 D解析 ∵|n |＝4|m |，且m ⊥(2m ＋n )，∴m ·(2m ＋n )＝2m 2＋m ·n ＝2|m |2＋|m ||n |cos 〈m ，n 〉＝0，且|m |≠0，|n |≠0，∴2|m |＋|n |cos 〈m ，n 〉＝0，∴cos 〈m ，n 〉＝－2|m ||n |＝－12， 又0≤〈m ，n 〉≤π，∴〈m ，n 〉＝2π3.故选D. 6．已知向量a ＝(sin θ，3)，b ＝(1，cos θ)，|θ|≤π3，则|a －b |的最大值为( ) A ．2 B. 5 C ．3 D ．5答案 B解析 由已知可得|a －b |2＝(sin θ－1)2＋(3－cos θ)2＝5－4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3.因为|θ|≤π3，所以0≤θ＋π3≤2π3，所以当θ＝－π3时，|a －b |2的最大值为5－0＝5， 故|a －b |的最大值为 5.7．(多选)设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为假命题的是( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |答案 ABD解析 对于A ，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |≠0，a 与b 不垂直，所以A 为假命题；对于B ，由A 解析可知，若a ⊥b ，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以B 为假命题；对于C ，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |，得a ·b ＝－|a ||b |，则cos θ＝－1，则a 与b 反向，因此存在实数λ，使得b ＝λa ，所以C 为真命题．对于D ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则a ·b ＝λ|a |2，－|a ||b |＝λ|a |2，由于λ不能等于0，因此a ·b ≠－|a ||b |，则|a ＋b |≠|a |－|b |，所以D 不正确．故选ABD.8．(多选)设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( )A ．(a ·b )c －(c ·a )b ＝0B ．|a |－|b |＜|a －b |C ．(b ·c )a －(a ·c )b 不与c 垂直D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2答案 BD解析 由于b ，c 是不共线的向量，因此(a ·b )c 与(c ·a )b 相减的结果应为向量，故A 错误； 由于a ，b 不共线，故a ，b ，a －b 构成三角形，因此B 正确；由于[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，故C 中两向量垂直，故C 错误； 根据向量数量积的运算可以得出D 是正确的．故选BD.9．(2020·景德镇模拟)已知两个单位向量a ，b 的夹角为30°，c ＝m a ＋(1－m )b ，b ·c ＝0，则m ＝________.答案 4＋2 3解析 b ·c ＝b ·[m a ＋(1－m )b ]＝m a ·b ＋(1－m )b 2＝m |a ||b |cos 30°＋(1－m )|b |2＝32m ＋1－m ＝0， 所以m ＝4＋2 3.10．(2019·镇江模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，点E ，F 分别在边AD ，DC上，BE →＝12(BA →＋BD →)，DF →＝13DC →，则BE →·BF →＝________. 答案 223 解析 连接AC ，BD 交于点O ，以O 为原点，以OC →，OD →的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立直角坐标系，如图所示，∵菱形边长为2，∠ABC ＝60°，∴A (－1,0)，B (0，－3)，C (1,0)，D (0，3)，∵BE →＝12(BA →＋BD →)， ∴E 为AD 的中点，∴E ⎝⎛⎭⎫－12，32， ∵DF →＝13DC →，∴F ⎝⎛⎭⎫13，233， ∴BE →＝⎝⎛⎭⎫－12，332，BF →＝⎝⎛⎭⎫13，533， ∴BE →·BF →＝－16＋152＝223. 11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13. (3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3， 所以∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 12．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0，于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13．(2019·衡阳模拟)在△ABC 中，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－3，点G 是△ABC 的重心，则|AG →|的最小值是( ) A.23 B.63 C.23 D.53答案 B解析 设BC 的中点为D ，因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)， 再令|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则AB →·AC →＝bc cos 120°＝－3，所以bc ＝6，所以|AG →|2＝19(|AB →|2＋2AB →·AC →＋|AC →|2) ＝19(c 2＋b 2－6)≥19(2bc －6)＝23， 所以|AG →|≥63， 当且仅当b ＝c ＝6时取等号，故选B.14．(多选)如图所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2，CD ＝1，BC ＝a (a＞0)，P 为线段AD (含端点)上一个动点，设AP →＝xAD →，PB →·PC →＝y ，对于函数y ＝f (x )，以下四个结论中正确的是( )A ．当a ＝2时，函数的值域为[1,4]B ．∀a ∈(0，＋∞)，都有f (1)＝1成立C ．∀a ∈(0，＋∞)，函数f (x )的最大值都等于4D ．若f (x )在(0,1)上单调递减，则a ∈(0，2]答案 BCD解析 如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2，CD ＝1，BC ＝a (a ＞0)，∴B (0,0)，A (－2,0)，D (－1，a )，C (0，a )．∵AP →＝xAD →(0≤x ≤1)．∴BP →＝BA →＋AP →＝(－2,0)＋x (1，a )＝(x －2，xa )，PC →＝PB →＋BC →＝－(x －2，xa )＋(0，a )＝(2－x ，a －xa )．∴y ＝f (x )＝PB →·PC →＝(2－x ，－xa )·(2－x ，a －xa )＝(2－x )2－ax (a －xa )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4(0≤x ≤1)．当a ＝2时，y ＝f (x )＝5x 2－8x ＋4＝5⎝⎛⎭⎫x －452＋45， ∵0≤x ≤1，∴当x ＝45时，f (x )取得最小值45； 又f (0)＝4，f (1)＝1，∴f (x )max ＝f (0)＝4.综上可得，函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤45，1，因此A 不正确．由y ＝f (x )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4.可得∀a ∈(0，＋∞)，都有f (1)＝1成立，因此B 正确；由y ＝f (x )＝(a 2＋1)x 2－(4＋a 2)x ＋4.可知对称轴x 0＝4＋a 22(a 2＋1). 当0＜a ≤2时，x 0≥1，∴函数f (x )在[0,1]上单调递减，因此当x ＝0时，函数f (x )取得最大值4.当a ＞2时，0＜x 0＜1，函数f (x )在[0，x 0)上单调递减，在(x 0，1]上单调递增．又f (0)＝4，f (1)＝1，∴f (x )max ＝f (0)＝4.因此C 正确．f (x )在(0,1)上单调递减，则a ∈(0，2]，因此D 正确．故选BCD.15．若向量a ，b ，c 满足a ≠b ，c ≠0，且(c －a )·(c －b )＝0，则|a ＋b |＋|a －b ||c |的最小值是( ) A. 3 B ．2 2 C ．2 D.32答案 C解析 设向量a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，则由(c －a )·(c －b )＝0得AC →·BC →＝0，即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 的中点M ，半径为12|AB →|， 因此|c |＝|OC →|≤|OM →|＋r ＝12|OA →＋OB →|＋12|AB →| ＝12|OA →＋OB →|＋12|OA →－OB →| ＝12|a ＋b |＋12|a －b |， 从而|a ＋b |＋|a －b ||c |≥2，故选C. 16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝3π4，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值； (2)若θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值． 解 (1)设D (t ,0)(0≤t ≤1)，由题意知C ⎝⎛⎭⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝⎝⎛⎭⎫t －222＋12， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，最小值为22.(2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4， 所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4取得最大值1，即m ·n 取得最小值1－ 2. 所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.。

江苏专用高考数学一轮复习考点 25 平面向量的数量积与平面向量应用举例必刷题含解析1．（江苏省徐州市2019届高三考前模拟检测）已知 e1，e2是夹角为 3的两个单位向量，向量ae12e 2，b ke1 e2 ，若 a b 0 ，则实数 k 的值为________.【答案】 5 4【解析】已知e1，e2是夹角为 3的两个单位向量，所以e1e2 1，得 e1e2 e1e2cos 3 1， 2 若 a b e1 2e2ke1 e22k e1 2k1 e1e22 2e2k1 2k21 20解得 k 5 4故答案为： 5 ． 42．（江苏省徐州市 2018-2019 学年高三考前模拟检测）已知 A ， B 为圆 O : x2 y2 5 上的两个动点，AB 4 ， M 为线段 AB 的中点，点 P 为直线 l : x y 6 0 上一动点，则 PM PB 的最小值为____．【答案】7 【解析】因为 AB 4 ， BM 2，取的中点 N ，连接 OM , PN ， 则 PM PB PN NB PN NB PN 2 1，又，故 OM 1，所以 ON 2 12 12 2 ， ON 2 ，006又 PN OP ON ，而 OP 3 2 ，所以 PN 2 2 ，当且仅当 OP 垂直于直线 l 且 O, N, P 三2点共线时等号成立，所以PM PB 的最小值为 8 1 7 ，填 7 .13．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）已知e1, e2是夹角为 3的两个单位向量，向量a e1 2e2 ， b ke1 e2 ，若 a b 0 ，则实数 k 的值为____． 【答案】 54【解析】 a b 0 e1 2e2 ke1 e2 ，因为2e1e221，e1 e21 2，所以 a b k 2 k 1 2k 5 0 ，22所以 k 5 ，填 5 . 444．（江苏省南通市 2019 届高三模拟练习卷四模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A x1, y1 ， B x2, y2 为圆x2y2 1 上两点，且x1x2y1 y21 2．若 C为圆上的任意一点，则 CACB的最大值为______．【答案】 3 2【解析】因为 C 为圆 x2+y2＝1 上一点，设 C （sinθ，cosθ），则CA x1 sin, y1 cos ,CB x2 sin, y2 cos ，∵ A x1, y1 ， B x2, y2 为圆 x2 y2 1 上两点，∴ x12 y12 1,x22y22 1，又x1x2y1 y21， 2∴ CACB x1x2 y1y2 x1 x2 sin y1 y2 cos sin2 cos2 1 2 x1 x2 2 y1 y2 2 sin( )11 2x12 y12 x22 y22 2x1x2 2 y1 y2 sin( )1 2 sin( ) ，其中 tany1 x1 y2 x2，∵ sin( ) ∈[﹣1，1]，∴当 sin()＝1时，CA CB的最大值为3 2．故答案为： 3 ． 25．（江苏省南通市 2019 届高三适应性考试）如图，在边长为 2 的正三角形 ABC 中， D 、 E 分别为边 BC 、CA上的动点，且满足CEmBD（m为定常数，且m(0,1]），若ADDE的最大值为3 4，则m ________.【答案】 1 2【解析】以 BC 中点为坐标原点 O ，OC 方向为 x 轴正方向，OA 方向为 y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系，因为正三角形 ABC 边长为 2，所以 B(1, 0) ， C(1, 0) ， A(0, 3) ，则 BC (2, 0) ， CA (1, 3) ，因为 D 为边 BC 上的动点，所以设 BD t BC ，其中 0 t 1，则 BD (2t, 0) ，所以 D(2t 1, 0) ；又 CE mBD tmBC ，所以 CE tmCA (tm, 3tm) ，因此 E(1 tm, 3tm) ，所以 AD (2t 1, 3) ， DE (2 tm 2t, 3tm) ，故 AD DE (2t 1)(2 tm 2t) 3tm 2(m 2)t 2 2(3 m)t 22(m2) t23m m2t 22(m2) t3m 2m 42 3m 2m 42 21(m2) t3m 2m 42 m2 10m 1 2m 4，因为m (0,1]，所以3m 2m 41 25 2m 41 3,3 4 ，又 0t1，所以当且仅当t3m 2m 4时，ADDE取得最大值，即 m2 10m 1 3 ，整理得 2m2 17m 8 0 ，解得 m 1 或 m 8 （舍）2m 442故答案为 1 26．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知ABC外接圆O的半径为2，且ABAC2AO，|AB||AO|，则CACB______.【答案】12【解析】因为ABAC2AO，所以点O是线段BC的中点，O是ABC外接圆的圆心，因此ABC是以BC为斜边的直角三角形，又因为 |AB|| AO |，所以AB2,BC4,因此 ACB 300 , AC 2 3 ，所以 CACB CA CB cos ACB 2 3 43 12.27．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校 2019 届高三第四次模拟考试）已知菱形 ABCD中，对角线 AC＝ 3 ，BD＝1，P 是 AD 边上的动点（包括端点），则 PB PC 的取值范围为_______． 【答案】[1 , 3]22【解析】1由 AC⊥BD 得，以对角线 BD，AC 分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的直角坐标系，∵AC＝ 3 ，BD＝1， ∴ A 0, 3 2 ,B 1 2,0 ,C 0,3 2 ，D 1 2,0 ,AD 1 2,3 2 ∵P是AD边上的动点，设P（x，y），0x1 2，AP x,y3 2 ，∵ APAD, 1 y 23 43 2x0，∵PC x,3 2y ,PB 1 2x,y ∴PBPC 1 2x,y x,3 2y 1 2xx23 y y2 4x2 4x 322根据二次函数的性质可知，当 x＝ 1 时，最小值为 1 .当 x＝ 0 时，最大值为 3 .222所以，PBPC的取值范围为 [1 2,3 2]故答案为：[1 , 3] 228．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019 届高三第三次调研考试）在平面四边形 ABCD 中， ____．，，．若，则的最小值为【答案】 【解析】 如图，以 的中点 为坐标原点，以 方向为 轴正向，1建立如下平面直角坐标系.则，，设，则，，因为 所以 整理得： 在 轴上取，即： ，所以点 在以原点为圆心，半径为 的圆上。

平面向量的综合应用分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.解析 由|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，可得|CA →|2＝|BC →|2＋|AB →|2，∠B ＝90°，∠C ＝60°，∠A ＝30°，所以a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2cos 120°＋23cos 150°＋0＝－4. 答案 －42．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________. 解析 由题知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案23．已知△ABO 三顶点的坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．解析 由已知得AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，即x ≤1，且y ≥2，所以OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3. 答案 34．已知平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，若(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状为________．解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0， 得[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝0，所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0.所以|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴|AB →|＝|AC →|，故△ABC 是等腰三角形． 答案 等腰三角形5.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝________. 解析 AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →，因为OA ＝OB ，所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|，所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2，同理AO →·AC →＝12|AC →|·|AC →|＝92，故AO →·BC →＝92－2＝52.答案 526．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且AB →·CD →＝BC →·AE →，则a 2，b 2，c 2成________数列．解析 由AB →·CD →＝BC →·AE →，得(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)，即CB →2－CA →2＝AC→2－AB →2，所以a 2－b 2＝b 2－c 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列．答案 等差二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·南京模拟)已知在锐角△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，定义向量m＝(sin B ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，4cos 2B2－2，且m ∥n .(1)求函数f (x )＝sin 2x cos B －cos 2x sin B 的单调递减区间； (2)若b ＝1，求△ABC 的面积的最大值．解 (1)因为m ∥n ，所以⎝⎛⎭⎪⎫4cos 2B2－2sin B ＋3cos 2B ＝2sin B cos B ＋3cos 2B ＝sin 2B＋3cos 2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝0，所以B ＝π3. 所以f (x )＝sin(2x －B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.于是由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋512π，k π＋1112π，k ∈Z .(2)当b ＝1时，由余弦定理，得1＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥ac ，所以S △ABC ＝12ac sin π3≤34，当且仅当a ＝c ＝1时等号成立，所以(S △ABC )max ＝34. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋c )·BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0. (1)求角B 的大小；(2)若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值． 解 (1)因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0， 所以(2a ＋c )ac cos B ＋abc cos C ＝0， 即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，所以(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0， 即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0， 因为sin(B ＋C )＝sin A ≠0， 所以cos B ＝－12，所以B ＝2π3.(2)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos2π3，所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4，所以AB →·CB →＝ac cos2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，所以AB →·CB →的最小值为－2. 分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·南京师大附中二模)已知点P 是边长为2的正三角形ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)＝________.解析 如图，因为AB →＋AC →＝AD →＝2AO →，△ABC 为正三角形，所以四边形ABDC 为菱形，BC ⊥AO ，所以AP →在向量AD →上的投影为AO →. 又|AO →|＝3，所以AP →·(AB →＋AC →)＝|AO →|·|AD →|＝6. 答案 62．(2012·天津卷改编)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝ －32，则λ＝________. 解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP →＝λAB →，得P (2λ，0)，由AQ →＝(1－λ)AC →，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ →·CP →＝(－λ－1，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)(2λ－1)－3×3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.答案 123．(2011·南京学情分析)设OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，ON →＝(0,1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OM→≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝y －x 的最小值是________．解析 由题得 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋12y ≤1，0≤y ≤1，所以可行域如图所示，所以当直线y －x ＝z 经过点A (1,0)时，z min ＝－1. 答案 －14．(2012·广东卷)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析 根据题中给定的两个向量的新运算可知a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a |×|b |×cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，b ∘a ＝|b |cos θ|a |，又由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4可得22<cos θ<1，由|a |≥|b |>0可得0<|b ||a |≤1，于是0<|b |cos θ|a |<1，即b ∘a ∈(0,1)，又由于b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z ，所以|b |cos θ|a |＝12，即|a |＝2|b |cos θ.① 同理|a |cos θ|b |>22，将①代入后得2cos 2θ>22，又由于a ∘b ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z ，所以a ∘b ＝2cos 2θ＝n 2(n ∈Z )，于是1<n 2<2，故n ＝3，∴cos θ＝32，|a |＝3|b |，∴a ∘b ＝3|b ||b |×32＝32. 答案 325．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解 (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC →2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，由|AC →|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(s in α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.6．已知M (0，－2)，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点P 在直线AB 上，且满足AP →＝PB →，MA →·AP →＝0.(1)当A 点在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过(－2,0)的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解 (1)设P (x ，y )，A (x A,0)，B (0，y B )， 则AP →＝(x －x A ，y )，PB →＝(－x ，y B －y )． 由AP →＝PB →得x A ＝2x ，y B ＝2y . 又MA →＝(x A,2)，AP →＝(x －x A ，y )， 即MA →＝(2x,2)，AP →＝(－x ，y )． 由MA →·AP →＝0得x 2＝y (y >0)． (2)易知直线l 的斜率必存在， 故设其直线方程为y ＝k (x ＋2)， 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，因为y ′＝2x ，故两切线的斜率分别为2x 1、2x 2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，y ＝k x ＋2，得x 2－kx －2k ＝0，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2k .由l 1⊥l 2时，4x 1x 2＝－1，∴k ＝18.∴直线l 的方程是y ＝18(x ＋2).。