考研高等数学部分综合竞赛试题

《考研数学试卷》2004高数部份一、填空题[2004.三.1.4][2004.四.1.4]若()0sin limcos 5xx x x b e a→-=-，则a =1，b=4-[2004.二.1.4]设()()21lim1n n xf x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为x =0[2004.一.1.4]曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为1y x =-[2004.二.2.4]设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩确定，则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为(,1]-∞[2004.四.3.4]设arctan lnxy e =-1x dy dx==211e e -+[2004.一.2.4]已知()x x f e xe -'=，且()10f =，则()f x =()21ln 2x[2004.三.3.4][2004.四.2.4]设()211,2211,2x xe x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，则()2121f x dx -=⎰12-[2004.二.3.4]1+∞=⎰2π[2004.三.2.4]函数(),f u v 由关系式()(),f xg y y x g y =+⎡⎤⎣⎦确定，其中函数()g y 可微，且()0g y ≠，则2f u v∂=∂∂()()2g v g v '-⎡⎤⎣⎦[2004.二.4.4]设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定，则3z z xy∂∂+=∂∂2[2004.一.3.4]设L 为正向圆周222x y +=在第一象限中的部分，则曲线积分2Lxdy ydx -⎰的值为32π[2004.一.4.4]欧拉方程()2224200d y dy xxy x dxdx++=>的通解为122c c yxx=+[2004.二.5.4]微分方程()320y x dx xdy +-=满足()615y =的解为315y x =+二、单项选择题[2004.三.7.4][2004.四.7.4]函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列那个区间内有界（A ）A.(1,0)-B.()0,1C.()1,2D. ()2,3 [2004.三.8.4][2004.四.8.4]设()f x 在(),-∞+∞内有定义，且()()1,0lim ,0,0x f x f x a g x x x →∞⎧⎛⎫≠⎪ ⎪==⎝⎭⎨⎪=⎩，则（D ） A.0x =必是()g x 的第一类间断点 B. 0x =必是()g x 的第二类间断点 C. 0x =必是()g x 的连续点 D. ()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关 [2004.一.7.4][2004.二.7.4]把0x +→时的无穷小量223cos ,tan,sin xxtdt tdt αβγ===⎰⎰⎰排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（B ）A ,,αβγB ,,αγβC ,,βαγD ,,βγα[2004.一.8.4][2004.二.10.4]设()f x 连续,且()00f '>，则存在0δ>，使得（C ） A. ()f x 在()0,δ内单调增加 B. ()f x 在(),0δ-内单调减少 C. 对任意()0,x δ∈有()()0f x f > D. 对任意(),0x δ∈-有()()0f x f >[2004.三.11.4][2004.四.11.4]设()f x '在[],a b 上连续，且()()0,0f a f b ''><，则下列结论种错误的是（D ）A. 至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f a >B. 至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f b >C. 至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x '=D. 至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x =[2004.二.8.4][2004.三.9.4][2004.四.9.4]设()()1f x x x =-，则（C ）A. 0x =是()f x 的极值点，但()0,0不是曲线()y f x =的拐点B. 0x =不是()f x 的极值点，但()0,0是曲线()y f x =的拐点C. 0x =是()f x 的极值点，且()0,0不是曲线()y f x =的拐点D. 0x =不是()f x 的极值点，()0,0也不是曲线()y f x =的拐点[2004.二.9.4]lim lnn →∞=（B ）A.221ln xdx ⎰ B.212ln xdx ⎰ C.212ln(1)x dx +⎰ D.221ln (1)x dx +⎰[2004.四.10.4]设()()()01,00,0,1,0xx f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，则（B ）A.()F x 在0x =点不连续。

高等数学竞赛一、 填空题⒈ 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a = ，b = ．⒉ 设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ．⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为．⒋ 已知xx xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ．⒌ 设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 ． ⒍ 设1ln arctan 22+-=xxxe e e y ，则==1x dx dy．⒎若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .⒏ 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则=-⎰221)1(dx x f ． ⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→nk n k n n122lim ． ⒑1+∞=⎰ ． 二、 单项选择题11．把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】(A)γβα,,. (B)βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,.12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 【 】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.（C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.14 .22lim ln (1)n nn→∞+于 【 】（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰. （C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰15 . 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【 】(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).16 . 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 【 】(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. 17 . 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是【 】(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.18 . 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则【 】(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导.(C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.三、解答题19．求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.20．设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.21．设 f （x ），g （x ）均在［a , b ］上连续，证明柯西不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dxx g x f )()()()(22222．设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-.23曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ) ()lim ()t S t F t →+∞.24．设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.25． 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、若2lim()01x x ax b x →∞--=+，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-2、设(),0()(0),0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ，其中()f x 在0x =处可导且'(0)0f ≠，(0)0f =，则0x =是()F x 的（A ） 连续点 （B ） 第一类间断点 （C ） 第二类间断点 （D ）以上都不是 3、设常数0k >，函数()ln xf x x k e =-+在(0,)+∞内零点的个数为 （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 34、若在[0,1]上有(0)(0)0,(1)(1)0f g f g a ====>，且''()0f x >，''()0g x <，则110()I f x dx=⎰，120()I g x dx =⎰，130I ax dx =⎰的大小关系为（A ） 123I I I ≥≥ （B ） 231I I I ≥≥ （C ） 321I I I ≥≥ （D ） 213I I I ≥≥5、由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为（A ）2()b aV xf x dx π=⎰ （B ） 2()b aV f x dx π=⎰（C ） 2()b aV f x dx π=⎰ （D ） ()baV f x dx π=⎰6、(1,3,4)P -关于平面320x y z +-=的对称点是 （A ） (5,1,0)- （B ）(5,1,0) （C ）(5,1,0)-- （D ）(5,1,0)-7、设D 为222x y R +≤，1D 是D 位于第一象限的部分，()f x 连续，则22()Df x y d σ+⎰⎰=（A ）128()D f x d σ⎰⎰ （B ）0 （C ）22()R R RRdx f x y dy --+⎰⎰（D ）1224()D f x y d σ+⎰⎰8、a为常数，则级数21sin()n na n ∞=⎡⎢⎣∑ （A ） 绝对收敛（B ）发散C ） 条件收敛（D ） 收敛性与a 的取值有关二、填空题1、340tan 2lim(1)1x x x xx e →-=- 。

考研数学综合试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足条件f(x+2)=f(2-x)的是（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = |x|D. f(x) = cos(x)2. 设函数F(x)在区间[a,b]上连续，且∫[a,b] F(x)dx存在，那么（）。

A. F(x)在[a,b]上必有最大值和最小值B. F(x)在[a,b]上必有根C. F(x)在[a,b]上单调递增D. F(x)在[a,b]上是常数函数3. 对于任意的x∈R，若不等式|x+1|+|x-1|≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）。

A. a≤-1B. a≤0C. a≤1D. a≤24. 设数列{an}满足an+1 = 1/2(an + 1/an)，若a1=2，则a5的值为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 设函数f(x)在点x=x0处取得极值，那么f'(x0)等于（）。

A. 0B. 1C. -1D. 不存在6. 若矩阵A可逆，则下列哪个选项是正确的？A. |A| = 0B. |A^T| = |A|C. A^2 = ID. det(A) = 17. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)等于（）。

A. λ^k * e^(-λ) / k!B. λ^k * e^(-λ)C. (λ^k / k!) * e^(-λ)D. (k * λ^k) / e^(λ)8. 对于二元函数z=f(x,y)，若偏导数f_x和f_y都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)的全微分dz等于（）。

A. f_x(x0,y0) * dx + f_y(x0,y0) * dyB. f_x(x0,y0) * dy + f_y(x0,y0) * dxC. f_x(x0,y0) * dx - f_y(x0,y0) * dyD. f_x(x0,y0) * dy - f_y(x0,y0) * dx9. 设函数f(x)在区间[a,b]上二阶可导，且f''(x)≥0恒成立，则f(x)在[a,b]上是（）。

2023年 天津市大学数学竞赛试题参照解答 (经管类)一. 填空题（本题15分，每题3分）:1. 设()f x 是持续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x xf x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3.1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ e ln .xx C + 4. 设(,)f x y 是持续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成, 则(,)f x y =1.12xy +5.ln 4ln 2x =⎰.6π二. 选择题（本题15分，每题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A)2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则(A) ()f x 在0x 旳某个邻域中单调增长, (B) ()f x 在0x 旳某个邻域中单调增少,(C) ()f x 在0x 处获得极小值, (D) ()f x 在0x 处获得极大值. 答: ( C)3. 图中曲线段旳方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a 上有持续旳导数, 则积分()d a x f x x '⎰表达(A) 直角三角形AOB 旳面积, (B) 直角三角形AOC 旳面积, (C) 曲边三角形AOB 旳面积, (D) 曲边三角形AOC 旳面积答: (D)4. 设在区间[,]a b 上旳函数()0,f x >且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令 1()d ,b aS f x x =⎰2()(),S f b b a =- 31[()()](),2S f a f b b a =+- 则 (A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S << 答: (C )5. 设函数(,)f x y 持续, 且011d (,)d d (cos ,sin )d b dx acx f x y x f r r r r θθθ-+=⎰⎰⎰⎰, 则,,,a b c d 取值为(A) 1,,,1;2sin cos a b c d ππθθ====+(B) 1,,,1;2sin cos a b c d ππθθ====-(C) 0,,sin cos ,1;2a b c d πθθ===+=(D) 0,,sin cos , 1.2a b c d πθθ===-=答: (B)三. (7分) 设函数()f x 在点0x 处可微, 求极限 002lim cos ()cos ().n n f x f x n →∞⎡⎤--⎢⎥⎣⎦解 由导数旳定义和复合函数旳求导法则00002cos ()cos ()2lim cos ()cos ()(2)lim 2n n f x f x n n f x f x n n→∞→∞--⎡⎤--=-⋅⎢⎥⎣⎦-000(2)[cos ()]2sin()().x x f x f x f x =''=-⋅=⋅四. (7分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ旳导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处旳持续性. 解 由已知旳极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有 (),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩由于()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→===因此, ()x ϕ在0x =处持续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x x ϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有200()(0)()()1(0)limlimlim (0)22x x x x f x f x f xx x ϕϕϕ→→→'-'''==== 因此,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而20000()()()()lim ()limlim lim lim 2x x x x x f x f x f x f x x x x xx ϕ→→→→→''''=-=- 001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''==== 故 ()x ϕ'在0x =处持续.五. (7分) 已知函数()((,))y f x x =∈-∞+∞旳导函数()y f x ''=是三次多项式，其图像如下图所示：（Ⅰ）有关函数()x f y =,填写下表:（Ⅱ）若还懂得()x f y =旳极大值为6，点()2,2在曲线()x f y =上，试求出()x f y =旳体现式. 解（Ⅰ）（Ⅱ）设32,y ax bx cx d '=+++ 则由(0)0,(2)0,(2)0,y y y '''=-== 得0,0,4,d b c a ===- 故34,y ax ax '=- 从而422.4a y x ax m =-+ 再由(0)6,(2)2,y y == 得 1, 6.a m == 因此 4212 6.4y x x =-+ 六. (7分)设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞旳单调性和曲线()y y x =旳凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim.x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+>故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增长. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增长. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸.(或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x→→→'+== []22011111lim (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有持续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证 令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]持续, 且对 (0,1)x ∈,30()2()()d [()]x F x f x f t t f x '=-⎰20()2()d ().xf x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上持续, 且()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈因此()0,(0,1),F x x '≥∈于是()F x 在[0,1]上单调增长, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 所证结论成立.八. (7分) (Ⅰ) 设函数(),()f x g x 在区间 [,]a a - 上持续(0)a >, ()g x 为偶函数, ()f x 满足条件()()f x f x c +-= (c 为常数). 证明:()()d ()d a aaf xg x x c g x x -=⎰⎰;(Ⅱ) 设 ()()sin ,u x x nx ϕ= 其中n 为正整数, 22,0,(),0.x x x x x x x ππϕππ⎧+-≤<=⎨-≤≤⎩计算定积分()arccot e d x I u x x ππ--=⎰.解 (Ⅰ)()()d ()()d ()()d .a aaaf xg x x f x g x x f x g x x --=+⎰⎰⎰对于上式右边旳第一种积分, 令,x t =- 有()()d ()()d (())()d a aaf xg x x f t g t t c f x g x x -=--=-⎰⎰⎰0()d ()()d aacg x x f x g x x =-⎰⎰因此()()d ()()d ()()d ()d .a aaaaf xg x x f x g x x f x g x x c g x x --=+=⎰⎰⎰⎰(Ⅱ) 由于 22e (arccot e arccot e )0,1e 1x xxxx xe e ----'+=+=++ 而当 0x =时, arccot 1arccot 1,2π+=因此, arccot e arccot e .2x x π-+=轻易验证,()u x 是偶函数. 应用(Ⅰ)旳结论20()arccot ed ()sin d 2xI u x x x x nx xπππππ--==-⎰⎰2011()cos (2)cos d 02x x nx x nx x n n πππππ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦⎰2212(2)sin sin d 02x nx nx x nn ππππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰33(1cos )[1(1)].nn nnπππ=-=--九. (7分) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上持续, 并且对任一[,]x a b ∈, 存在[,]y a b ∈使得1()|()|.2f y f x =证明: 存在[,],a b ξ∈ 使()0.f ξ= 证法一 应用闭区间上持续函数旳最值定理, 存在12,[,]x x a b ∈, 使 12[,][,]()min ()()max ().x a b x a b f x m f x f x M f x ∈∈====由题设, 对于 [,]x a b ∈, 存在[,]y a b ∈, 使得1()|()|0.2f y f x =≥ 可见 0.M ≥ 目前证明: 1[,]()min ()0.x a b f x m f x ∈==≤ 实际上, 假如1()0,f x m => 由题设, 存在0[,]x a b ∈, 使011111()()()()22f x f x f x f x ==<此与“1()f x 是()f x 在 [,]a b 上旳最小值 ” 矛盾.综上, 得到结论: 0.m M ≤≤ 于是, 应用介值定理, 存在[,],a b ξ∈ 使()0.f ξ= 证法二 任取一种0[,],x a b ∈ 由题设存在1[,],x a b ∈ 使101()().2f x f x =从而存在2[,],x a b ∈ 使210211()()().22f x f x f x ==如此继续下去, 可得数列{}[,],n x a b ⊂ 使01()()0().2n n f x f x n =→→∞ 由于有界无穷数列{}n x 必有一种收敛旳子数列{}kn x , 可设存在一种[,]a b ξ∈, 使lim .k kn x ξ→∞=由()f x 旳持续性, ()lim ()0.k kn f f x ξ→∞== 证毕.十. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''>直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处旳切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成旳图形绕y 轴旋转一周所得旋转体旳体积为().V a 试问 a 为何值时 ()V a 获得最小值.解 切线a L 旳方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+ 于是10()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰ 可见, ()V a 在[0,1]持续, 在(0,1)可导. 令1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=,由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一旳驻点2.3a =并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在23a =处获得最小值.十一. (7分) 设（1）闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和直线段 AO 构成， 其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ； （2）闭曲线Γ将其所在旳圆锥面z =∑是其中旳有界部分. ∑在xOy 面上旳投影区域为D .(Ⅰ) 求D 上认为∑曲顶旳曲顶柱体旳体积; (Ⅱ) 求曲面∑旳面积.解(Ⅰ) ∑在xOy 面上旳投影区域为D , 在极坐标系下表达为:0,02.r θθπ≤≤≤≤故所求曲顶柱体旳体积为d d V x y =⎰⎰220d d r r πθθ=⎰⎰234014d .33πθθπ==⎰(Ⅱ) Γ所在旳圆锥面方程为z =曲面上任一点处向上旳一种法向量为(,,1)x y n z z =--=故所求曲面∑旳面积d d d DDS x y x y ==⎰⎰⎰⎰2223d d d .23r r πθπθθθ===⎰⎰十二.(7分) 设圆 222x y y += 含于椭圆 22221x y a b +=旳内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆均有公共切线).(Ⅰ) 求 a 与 b 满足旳等式; (Ⅱ) 求 a 与 b 旳值, 使椭圆旳面积最小解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只也许相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆旳切线斜率等于圆旳切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+= (4)由 (3) 式得 2022.b y b a =- 代入(4) 式2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下旳最小值. 构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令2322242(24)0(6)(22)0(7)0(8)a b L b ab a L a a b b L a b a b λλλ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=--=⎩(6) ·a − (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入 (8) 式得 644220a a a --=, 故a =从而2b == 由此问题旳实际可知, 符合条件旳椭圆面积旳最小值存在,因此当2a b ==时, 此椭圆旳面积最小.。

考研数学一（高等数学）模拟试题2选择题题目1设f(x)二阶连续可导，，则( )．[A].f(2)是f(x)的极小值[B].f(2)是f(x)的极大值[C].(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点[D].f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点[答案]A解析：由＞0，即当x∈(2—δ，2)时，f'(x)＜0；当x∈(2，2+δ)时，f'(x)＞0，于是x=2为f(x)的极小点，选(A)．[题解]略题目2设f(x)在x=0的邻域内连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且=0，又f'(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt，则( )．[A].x=0是f(x)的极大值点[B].x=0是f(x)的极小值点[C].(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点[D].x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点[答案]C解析：由=0得g(0)=g'(0)=0，f'(0)=0，f'(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt=一2x2一∫0xg(x—t)d(x—t)=一2x2+∫0xg(u)du，f"(x)=一4x+g(x)，f"(0)=0，f"'(x)=一4+g'(x)，f"'(0)=一4＜0，因为f"'(0)==一4＜0，所以存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＜0，从而当x∈(一δ，0)时，f"(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f"'(x)＜0，选(C)．[题解]略题目3设f(x)二阶连续可导，且=1，则( )．[A].f(0)是f(x)的极小值[B].f(0)是f(x)的极大值[C].(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点[D].x=0是f(x)的驻点但不是极值点[答案]C解析：因为f(x)二阶连续可导，且＜0，即当x∈(一δ，0)时，f"(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f"(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选(C)．[题解]略题目4设函数f(x)满足关系f"(x)+f'2(x)=x，且f'(0)=0，则( )．[A].f(0)是f(x)的极小值[B].f(0)是f(x)的极大值[C].(0，f(0))是y=f(x)的拐点[D].(0，f(0))不是y=f(x)的拐点[答案]C解析：由f'(0)=0得f"(0)=0，f"'(x)=1—2f'(x)f"(x)，f"'(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f"'(x)＞0，再由f"(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选(C)．[题解]略题目5下列说法正确的是( )．[A].设f(x)在x二阶可导，则f"(x)在x=x0处连续[B].f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值[C].f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值[D].若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点[答案]D解析：令f'(x)=不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)．[题解]略题目6设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f'(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为( )．[A].0个[B].1个[C].2个[D].3个[答案]B解析：因为f'(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f'(a)(x一a)+=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f'(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f'(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．[题解]略题目7设k＞0，则函数f(x)=lnx一+k的零点个数为( )．[A].0个[B].1个[C].2个[D].3个[答案]C解析：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由f'(x)==0得x=e，当0＜x＜e时，f'(x)＞0；当x＞e时，f'(x)＜0，由驻点的唯一性知x=e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)=k ＞0，又=一∞，于是f(x)在(0，+∞)内有且仅有两个零点，选(C)．[题解]略题目8设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导数的图形如右图，则f(x)有( )．[A].两个极大点，两个极小点，一个拐点[B].两个极大点，两个极小点，两个拐点[C].三个极大点，两个极小点，两个拐点[D].两个极大点，三个极小点，两个拐点[答案]C解析：设当x＜0时，f'(x)与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；当x＞0时，f'(x)与x轴的两个交点为(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．当x＜x1时，f'(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f'(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大点；当x∈(x2，0)时，f'(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小点；当x∈(0，x3)时，f'(x)＜0，则x=0为f(x)的极大点；当x∈(x3，x4)时，f'(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小点；当x＞x4时，f'(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大点，即f(x)有三个极大点，两个极小点，又f"(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)．[题解]略2填空题题目9设f(x)=在x=1处可微，则a=___________，b=___________．[答案]a=2，b=一1[分值]3[题解]略题目10设F(x)= ∫0x (x2一t2)f'(t)dt，其中f'(x)在x=0处连续，且当x→0时，F'(x)～x2，则f'(0)=___________．[答案][题解]略题目11设f(x)在(一∞，+∞)上可导，[f(x)一f(x—1)]，则a=___________．[答案]1[分值]3[题解]略题目12设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f'x(1，2)=3，f'y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ'(1)=___________．[答案]47[分值]3[题解]略题目13曲线y=的斜渐近线为___________．[答案]y=2x—4[分值]3[题解]略3题目14设f(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．[1].(1)证明方程f(x)=1有唯一的正根x；[答案]令φn(x)=fn(x)一1，因为φn(0)=一1＜0，φn(1)=n—1＞0，所以φn(x)在(0，1)(0，+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在(0，+∞)内有一个根．因为φ'n(x)=1+2x+…+nxn—1＞0，所以φn(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φn(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程fn(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为xn．[分值]5[题解]略[1].(1)求．[答案]由fn(xn)一fn+1(xn+1)=0，得(xn一xn+1)+(xn2一xn+12)+…+(xnn一xn+1n)=xn+1n+1＞0，从而xn＞xn+1，所以{xn}xn+1∞单[分值]5[题解]略题目15设a＞0，讨论方程axx=x2根的个数．[答案]aex=x2等价于x2e-x一a=0．令f(x)=x2e-x—a，由f'(x)一(2x—x2)e-x=0得x=0，x=2．当x＜0时，f'(x)＜0；当0＜x＜2时，f'(x)＞0；当x＞2时，f'(x)＜0，于是x=0为极小点，极小值为f(0)=一a＜0；x=2为极大点，极大值为[分值]5[题解]略题目16就k的不同取值情况，确定方程x3一3x+k=0根的个数．[答案]令f(x)=x3一3x+k，=+∞．由f'(x)=3x2一3=0，得驻点为x1=一1，x2=1．f"(x)=6x，由f"(一1)=一6，f"(1)=6，得x1=一1，x2=1分别为f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为f(一1)=2+k，f(1)=k一2．(1)当k＜一2时，方程只有一个根；(2)当k=一2时，方程有两个根，其中一个为x=一1，另一个位于(1，+∞)内；(3)当一2＜k＜2时，方程有三个根，分别位于(一∞，一1)，(一1，1)，(1，+∞)内；(4)当k=2时，方程有两个根，一个位于(一∞，一1)内，另一个为x=1；(5)当k＞2时，方程只有一个根．[分值]5[题解]略题目17设k为常数，方程kx一+1=0在(0，+∞)内恰有一根，求k的取值范围．[答案][分值]5[题解]略题目18设f(x)在[一1，1]上可导，f(x)在x=0处二阶可导，且f'(0)=0，f"(0)=4．求[答案]所以原式=2．[分值]5[题解]略题目19设f(x)二阶连续可导且f(0)=f'(0)=0，f"(x)＞0．曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u，求．[答案]曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为Y一f(x)=f'(x)(X—x)，[分值]5[题解]略题目20设函数f(x)=其中g(x)二阶连续可导，且g(0)=1．(1)确定常数a，使得f(x)在x=0处连续爹(2)求f'(x)；(3)讨论f'(x)在x=0处的连续性．[答案][分值]5[题解]略题目21设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f'+(a)f'-(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得[答案]不妨设f'+(a)＞0，f'-(b)＜0，根据极限的保号性，由f'+(a)=＞0，则存在δ＞0(δ＜b—a)，当0＜x一a＞δ时，＞0，即f(x)>f(a)，所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)．同理由f'-(b)＜0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＞f(b)．因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x1)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b)内取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)为f(x)在[a，b]上的最大值，故f'(ξ)=0．[分值]5[题解]略题目22设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f'(1)=0，f(2)=．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"'(ξ)=2．[答案]先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得P(0)=f(0)=1，P'(1)=f'(1)=0，令g(x)=f(x)一P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g'(c1)=g'(1)=g'(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)(0，2)，使得g"(ξ)=0，而g"(x)=f"'(x)一2，所以f"'(ξ)=2．[分值]5题目23设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得=1．[答案]令h=，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)，所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n一1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性存在a＜c1＜c2＜…＜cn—1＜b，使得f(c1)=a+h，f(c2)=a+2h，…，f(cn—1)=a+(n一1)h，再由微分中值定理，得f(c1)一f(a)=f'(ξ1)(c1一a)，ξ1∈(a，c1)，f(c2)一f(c1)=f'(ξ2)(c2一c1)，ξ2∈(c1，c2)，…f(b)一f(cn—1)=f'(ξn)(b一cn—1)，ξn∈(cn—1，b)，从而有[分值]5[题解]略题目24设函数y=f(x)二阶可导，f'(x)≠0，且与x=φ(y)互为反函数，求φ"(y)．[答案]因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，[分值]5[题解]略题目25设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且=M．证明：f'(x0)=M．[答案]由微分中值定理得f(x)一f(x0)=f'(ξ)(x—x0)，其中ξ介于x0与x之间，则=M，即f(x0)=M．[分值]5[题解]略题目26设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=．[答案]令φ(x)=(x一1)2f'(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导．由f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f'(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ'(ξ)=0，而φ'(x)=2(x—1)f'(x)+(x一1)2f"(x)，所以2(ξ—1)f'(ξ)+(ξ一1)2f"(ξ)=0，整理得f"(ξ)=．[分值]5[题解]略题目27设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：[1].(1)存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；[答案]令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F'(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得[分值]2[题解]略[1].(1)存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f'(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；[答案]令h(x)=ef(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h'(ξ1)=h'(ξ2)=0，而h'(x)=ex[f'(x)+f(x)]且ex≠0，所以f'(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．[分值]2[题解]略[1].(1)存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=f(ξ)；[答案]令φ(x)=e-x[f'(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ'(ξ)=0，而φ(x)=e-x[f"(x)一f(x)]且e-x≠0，所以f"(ξ)=f(ξ)．[分值]2[题解]略[1].(1)存在η∈(a，b)，使得f"(η)一3f'(η)+2f(η)=0[答案]令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g'(η1)=g'(η2)=0，而g'(x)=e-x[f'(x)一f(x)]且e-x≠0，所以f'(η1)—f(η1)=0，f'(η2)一f(η2)=0．令φ(x)=e-2x[f'(x)一f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ'(η)=0，而φ'(x)=e-2x[f"(x)一3f'(x)+2f(x)]且e-2x≠0，所以f"(η)一3f'(η)+2f(η)=0．[分值]2[题解]略题目28设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得[答案]当c=ai(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a1，an)，结论成立；设c为异于a1，a2，…，an的数，不妨设a1＜c＜a2＜…＜an．令，构造辅助函数φ(x)=f(x)—k(x—a1)(x—a2)…(x—an)，显然φ(x)在[a1，an]上n阶可导，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由罗尔定理，存在ξ1(1)∈(a1，c)，ξ2(1)∈(c，a2)，…，ξn(1)∈(an—1，a1)，使得φ'(ξ1(1))=φ'(ξ2(1))=…=φ'(ξn(1))=，φ'(x)在(a1，an)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ(n—1)(x)在(a1，an)内至少有两个不同零点，设为c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n—1)(c1)=φ(n—1)(c2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，an)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)一n!k，所以f(n)(ξ)=n!k，从而有[分值]5[题解]略题目29设f(x)二阶连续可导，且f"(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f'(x+θh)h(0＜θ＜1)．证明：．[答案]由泰勒公式得[分值]5[题解]略题目30设平面曲线L上一点M处的曲率半径为ρ，曲率中心为A，AM为L在点M处的法线，法线上的两点P，Q分别位于L的两侧，其中P在AM上，Q在AM的延长线AN上，若P，Q满足｜AP｜．｜AQ｜=ρ2，称P，Q关于L对称．设L：y=．(1)求点M，使得L在M点处的法线经过点P，并写出法线的参数方程；(2)求点P关于L的对称点Q的坐标．[答案](1)设点M(x，y)∈L，则[分值]5[题解]略题目31设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f'(ξ)=2∫01f(x)dx．[答案]因为f'(x)在区间[0，1]上连续，所以f'(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(x)一f(0)=f'(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得∫01f(x)dx=∫01f'(c)xdx，由m≤f'(c)≤M得m∫01xdx≤∫01f'(c)xdx≤M∫01xdx，即m≤2∫01f'(c)xdx≤M或m≤2∫01f(x)dx≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f'(ξ)=2∫01f(x)d[C]. [分值]5[题解]略内容经博学易知考试学习平台授权。

1、设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = 0，f(b) = 1。

若存在ξ∈ (a,b) 使得 f'(ξ) = 2，则以下哪个结论必然成立？A. ∀x ∈ (a, b), f(x) ≤ 2x - aB. ∃x₁, x₂∈ (a, b), f(x₁) < f(x₂)C. ∀x ∈ (a, ξ), f(x) < (x - a)/(b - a)D. ∃x₀∈ (a, b), f(x₀) = 1/2 且 f'(x₀) = 0（答案）2、设数列 {a_n} 满足 a_1 = 1，a_{n+1} = a_n + 2/a_n，则以下关于数列 {a_n} 的说法正确的是？A. {a_n} 是递减数列B. 对任意正整数 n，有 a_n < n + 1C. 存在正整数 k，使得 a_k < k 但 a_{k+1} > k + 1D. 对任意正整数 n，有 a_n ≥√(2n + 1)（答案）3、设函数 f(x, y) = x2 + y2 - 2x - 2y + 1，则 f(x, y) 在区域 D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 2} 上的最小值为？A. -1B. 0C. 1 - √2（答案）D. 2 - 2√24、设向量 a = (1, 2)，b = (2, 1)，c = (1, -2)，若 (a + λb) ⊥ c，则实数λ的值为？A. -1/2B. 1/2（答案）C. -2D. 25、设函数 f(x) = x3 - 3x2 + 2，则 f(x) 的极值点个数为？A. 0B. 1C. 2（答案）D. 36、设矩阵 A = [1 2; 3 4]，B = [2 0; 1 1]，则 AB - BA =？A. [0 -2; 2 0]（答案）B. [2 2; -2 -2]C. [0 2; -2 0]D. [-1 -2; 3 4]7、设函数 f(x) = ex - x - 1，则不等式 ex > x2 + x + 1 的解集为？A. (-∞, 0)B. (0, +∞)（答案）C. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)D. (-1, 0) ∪ (0, 1)8、设函数 f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)，其中 a, b, c 是互不相等的实数。

2021研究生数学竞赛题目一、概述数学是一门深邃而又充满魅力的学科，它在科学研究和工程技术等领域都有着重要的应用。

为了激发研究生对数学学科的热爱和兴趣，促进数学研究的发展，各类数学竞赛活动日益受到重视。

2021年研究生数学竞赛题目的发布，也引起了广大研究生同学的关注和参与。

今天我们就来共享一下这些题目的一些情况和解题思路。

二、题目内容1. 数论（1）证明对于正整数n，n^2＋n+41一定是素数的个数问题。

（2）已知有一副国际象棋棋盘，问是否存在一条不重合的包含了每格仅访问一次的路径？2. 微积分（1）证明若对任意x，都有f''(x)+f(x)=0，则f(x)一定可以表示成f(x)=A*sin(x)+B*cos(x)的形式。

（2）已知函数f(x)在区间[0,1]上有连续二阶导数，证明对某个c∈(0,1)有f''(c)=3[f(1)-f(0)]。

3. 线性代数（1）假设A、B是n×m矩阵，证明rank(AB)≤rank(A)。

（2）证明任何实对称方阵A都可以写成A=BCB^T的形式，其中B 是n×r矩阵，r是A的秩。

4. 概率论与数理统计（1）在已知正态总体标准差未知、样本量充分大的情况下，如何基于样本估计总体均值的置信区间？（2）已知在一批产品中，次品率为0.05，若抽取20个产品检验，则次品率大于等于3的概率是多少？5. 动力系统（1）证明当λ>0时，微分方程组x'=-λx+y,y'=-x-λy的任意初始点都在椭圆轨迹上。

（2）已知向量场F=(y,2x)在平面上的流线是圆，求F的全体流线。

三、解题思路1. 对于数论题目中的n^2＋n+41一定是素数的个数问题，我们可以尝试分解n^2＋n+41为(n+20)^2-19^2的形式来证明它的素数性质。

对于国际象棋棋盘问题，我们可以运用图论中的欧拉回路和哈密顿回路的性质来进行分析，找出是否存在这样的路径。

考研数学高数部分模拟题时间180分钟 满分 150分姓名 分数一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）设函数()f x 在区间[-1,1]上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的 （ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点. ()D 震荡间断点.（2）曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 （ ） ()A 0. ()B 1. ()C 2. ()D 3.（3）设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义，在开区间(),a b 内可导，则 （ ）()A 当()()0f a f b <时，存在(),a b ξ∈，使()0f ξ=.()B 对任何(),a b ξ∈，有()()lim 0x f x f ξξ→-=⎡⎤⎣⎦. ()C 当()()f a f b =时，存在(),a b ξ∈，使()0f ξ'=.()D 存在(),a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.（4）设(,)f x y =则 （ ）()A ''(0,0)(0,0)x y f f 存在，存在. ()B ''(0,0)(0,0)x y f f 存在，不存在. ()C''(0,0)(0,0)x y f f 不存在，存在. ()D ''(0,0)(0,0)x y f f 不存在，不存在.（5）()22,1,2,3,ix y i D J edxdy i -+==⎰⎰其中(){}2221,D x y xy R =+≤，(){}2222,2D x y xy R =+≤，(){}3,,D x y x R y R =≤≤，则123,,J J J 之间的大小顺序为 （ ）()A 123.J J J << ()B231.J J J <<()C 132.J J J << ()D 321.J J J <<（6）设非齐次线性微分方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解)(1x y 和)(2x y ，C 为任意常数，则该方程的通解是 （ ）()A []12()()C y x y x -. ()B []112()()()y x C y x y x +-.()C []12()()C y x y x +.()D []112()()()y x C y x y x ++.(7) f (x )为二阶可导函数．设当),(b a x ∈时，)()('x g x f =，而)(x g y =的图形如图所示，则)(x f y =在),(b a 内 ()(A)有3个极值点，2个拐点． (B)有3个极值点，3个拐点． (C)有2个极值点，3个拐点．(D)有2个极值点，2个拐点．（8）设y ＝y (x )在[0，＋∞)可导，在∀x ∈(0，＋∞)处的增量△y ＝y (x ＋△x )－y (x )满足α++=+xxy y y 1)1(△△△，其中α当△x →0时是与△x 等价的无穷小，又y (0)＝1．则y (x )等于(A)(1＋x )[ln(1＋x )＋1]． (B)ln(1＋x )＋1． (C)⎪⎭⎫⎝⎛+++x x 11121． (D)1＋x .二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.） （9） 极限22lim sin1x xx x →∞=+ . （10）设曲线nxy e=在点)1,0(处的切线与x 轴的交点为)0(，ξn ，则________1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→n n f ξ． （11）方程2610ye xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则()0y '= .（12）已知方程09623=-+-k x x x 有且只有一个正根，则实数k 的取值范围是__________.（13）交换积分次序()()()⎰⎰⎰⎰--=+=12111022._____d ,d d ,d y y x y x f y x y x f y I(14) )(x f 满足0)0(=f ,2)0('-=f ，则()()._______cos 1sin d d lim00=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰→x x u t t u f xu x三、解答题（15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分10分）设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+≤-+-=.102,πcos 12＜2,322x x x x x x f试求()⎰--=38d 2x x f I .（16）（本题满分11分）设()(),F x -∞+∞在有一阶连续导数，且()00f =，并存在()0f ''.若()()(),00,0f x x F x xf x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩求()F x '，并证明()F x '在(),-∞+∞连续。

考研数学综合能力试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足R上单调递增的是（）A. y = x^2B. y = log(x)C. y = e^xD. y = sin(x)2. 设函数f(x)在点x=a处连续，且lim(x→a) [f(x) - f(a)]/(x-a) = 3，那么f'(a)的值为（）A. 0B. 3C. -3D. 不存在3. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=k)的值为（）A. λ^k / k!B. e^(-λ)λ^k / k!C. λ^k / (k+1)!D. e^(-λ)λ^(k+1) / (k+1)!4. 对于定积分∫(0,1) x^2 dx，其结果为（）A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/45. 设A、B为两个n阶方阵，若AB=BA，则称矩阵A和B可以交换。

若矩阵A可交换的矩阵B有无穷多个，则矩阵A必定是（）A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 可逆矩阵D. 零矩阵或单位矩阵6. 设函数f(x)在区间[a,b]上可积，且f(x)≥0，若∫(a,b) f(x) dx = 0，则f(x)在区间[a,b]上（）A. 恒等于0B. 恒小于0C. 恒等于1D. 非负但不一定恒为07. 设数列{an}满足an+1 = 2an + 1，且a1 = 1，则an的通项公式为（）A. an = 2^(n-1)B. an = 2^n - 1C. an = 2^nD. an = 2^(n+1) - 18. 若曲线y = x^2 - 4x + 3在点（2,1）处的切线与x轴平行，则该曲线在点（2,1）处的切线方程为（）A. y = 1B. y = 2C. y = -1D. y = 09. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 9，f(x)的最大值为（）A. 1B. 3C. 9D. 2710. 已知函数f(x) = ∑(k=1, 2, 3, ..., n) x^k，若f(x) = 0，则x的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题（每题4分，共20分）11. 设函数f(x) = ∫(0,x) e^t dt，则f(x)的导数f'(x) =_________。

考研高等数学部分综合竞赛试题 时间：240分 满分：250分一、选择题（每题2分，共32分）1、设()50sin xtx dt tα=⎰，()()1sin 01x t x t dt β=+⎰，则当0x →时，()x α是()x β的()A 高阶无穷小 ()B 低阶无穷小 ()C 同阶但不等价的无穷小 ()D 等价无穷小2、 函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界()A ()1,0- ()B ()0,1 ()C ()1,2 ()D ()2,33、 曲线()()2121arctan 12x x x y e x x ++=-+的渐近线有()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34、设函数()f x 区间[],a b 上连续，且()0f x >,则方程()()10xxabf t dt dt f t +=⎰⎰，在开区间(),a b 内的根有()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 35、设函数()f x 在区间(),δδ-内有定义，若当(),x δδ∈-时，恒有()2f x x ≤，则0x =必是()f x 的()A 间断点 ()B 连续而不可导的点 ()C 可导的点，且()'00f = ()D 可导的点，且()'00f ≠6、已知函数()y f x =对一切非零x 满足02()3[()]x x xf x x f x e e --''+=-00()0(0),f x x '==/则 （ ）（A ）0()f x 是()f x 的极大值（B ）0()f x 是()f x 的极小值（C ）00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点（D ）0()f x 不是()f x 的极值，但00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点 7、设函数()f x 连续，则在下列变上限的定积分定义的函数中，必为偶函数的是()A ()20x f t dt ⎰ ()B ()20xf t dt ⎰()C ()()0xt f t f t dt --⎡⎤⎣⎦⎰ ()D ()()0xt f t f t dt +-⎡⎤⎣⎦⎰8、下列广义积分中发散的是()A111sin x -⎰ ()B1-⎰()C 2x edx +∞-⎰ ()D22ln dxx x+∞⎰9、设函数()()()(),x yx yu x y x y x y t dt ϕϕψ+-=++-+⎰，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有()A 2222u u x y ∂∂=-∂∂ ()B 2222u u x y ∂∂=∂∂ ()C 222u u x y y ∂∂=∂∂∂ ()D 222u u x y x ∂∂=∂∂∂10、设函数(),f x y 连续，则二次积分()1sin 2,xdx f x y ππ=⎰⎰()A ()10arcsin ,y dy f x y dx ππ+⎰⎰ ()B ()10arcsin ,y dy f x y dx ππ-⎰⎰ ()C ()1arcsin 02,ydy f x y dx ππ+⎰⎰ ()D()1arcsin 02,ydy f x y dx ππ-⎰⎰11、设函数()f u 连续，区域(){}22,2D x y xy y =+≤，则()Df xy dxdy =⎰⎰()A ()11dx f xy dy -⎰ ()B ()2002dy f xy dx ⎰()C()2sin 20sin cos d f r dr πθθθθ⎰⎰()D()2sin 20sin cos d f r rdr πθθθθ⎰⎰12、设区域(){}22,4,0,0D x y xy x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为常数，则Dσ=()A ab π ()B 2abπ ()C ()a b π+ ()D()2a b π+ 13、设数列{}n a 单调递减，∑=∞→⋯===n k kn n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-nk nkx a 1)1(的收敛域为（ ）()A (]1,1- ()B [)1,1- ()C [)0,2 ()D (]0,214、已知()()()21cos 214,21n n xa x x n πππ∞=--=-≤≤-∑a 为常数，则a = （ ） ()A 2π-()B 2π()C π- ()D π 15、设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则 （ ）（A ）当1nn b∞=∑收敛时，1n nn a b∞=∑收敛. （B ）当1nn b∞=∑发散时，1n nn a b∞=∑发散.（C ）当1nn b∞=∑收敛时，221n nn a b∞=∑收敛. （D ）当1nn b∞=∑发散时，221n nn a b∞=∑发散.16、设随机变量X 与Y 相互独立，且X 是区间(0,1)是的均匀分布，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3二、填空题（每空1分，共49分）17、设()tan 21,0arcsin 2,0xx e x x ae x f x ->≤⎧⎪=⎨⎪⎩在0x =处连续，则a = ；18、函数()()tan 41xx f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭=+在区间()0,2π内的间断点为 ；其各个间断点的类型为 ；19、设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+， 则（1）()()lim ,y g x f x y →+∞== ；（2）()0lim x g x +→= ； 20、函数()()2ln 1f x x x =+在0x =处的n 阶导数()()0n f= ；21、已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某个领域内满足关系式()()()1sin 31sin 8f x f x x x α+--=+，其中()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小，且()f x 在1x =处可导，则曲线()y f x =在点()()6,6f 处的切线方程是 ； 22、设()1sin xy x =+，则x dyπ== ；23、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点()1,1处的法线方程为 ； 24、曲线{sin 1cos x t t y t=-=-在2t π=处的曲率半径R =25、设函数()y x 由参数方程{sin 2cos t t x e t y e t==确定，则曲线()y y x =向上凸的x 的取值范围为；26、函数y =12⎡⎢⎣⎦上的平均值为 ； 27、2ln sin sin xdx x =⎰ ；28、设()()2232,10,2,01,1xx x x x xe x e f x +-≤<≤≤+⎧⎪=⎨⎪⎩则函数()()1x F x f t dt -=⎰的表达式是 ； 29、设直线y ax =与抛物线2y x =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围成的图形的面积为2S ，并且1a <，（1）若要使12S S +达到最小，则a = ；其最小值为 ； （2）该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 ； 30、设函数()f x 连续，且()212arctan 2xtf x t dt x -=⎰，已知()11f =， 则()21f x dx =⎰ ；31、（1）21arctan xdx x +∞=⎰；（2）312=⎰ ；32、设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调、可导函数，且满足()()10cos sin sin cos f x xt tft dt tdt t t--=+⎰⎰，其中1f -是f的反函数，则()f x = ；33、已知()22,arctan arctan y x f x y x y x y=-，则2f x y ∂=∂∂ ； 34、设(),,u f x y z =有连续一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由2xye xy -=和0sin x zxt e dt t -=⎰两式确定，则dudx= ； 35、已知v z u =，arctan y u v x==，则dz = ；36、设()22,xyz f x y e=-，其中f 具有连续二阶偏导数，则2zx y∂=∂∂ ； 37、设椭圆2244x y +=上存在一点，且该点到直线2360x y +-=的距离最短，则该点的坐标为 ；38、已知函数(),f x y 具有二阶连续偏导数，且()()1,0,,10f y f x ==，⎰⎰=Da dxdy y x f ),(，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ，则二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy ==⎰⎰ 39、已知D 是由直线,1y x y ==-及1x =围成的平面区域，则二重积分()22121x y Dy xe dxdy +⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰40、设二元函数()2,1,2,,x x y x y f x y +≤<+≤⎧⎪=(){},2D x y x y =+≤，则二重积分(),Df x y d σ=⎰⎰41、已知(){}22,D x y xy π=+≤，则二重积分()()2222sin x y Dex y dxdy π-+-+=⎰⎰ 42、设(){}22,,1,x y z xy z Ω=+≤≤则Ω的形心坐标z = ；43、已知曲线(2:0L y xx =≤≤，则Lxds =⎰ ；44、已知,a b 为正常数，L 为从点()2,0A a沿曲线y =()0,0O 的弧， 则()()sin cos xxLI ey b x y dx e y ax dy ⎡⎤=-++-=⎣⎦⎰ ；45、已知L 是以点()1,0为中心，R 为半径的圆周()1R >，取逆时针方向， 则曲线积分224L xdy ydxI x y -==+⎰46、已知存在一常数λ，使在右半平面0x >上的向量()()()42242,2A x y xy x y i x x y j λλ=+-+为某二元函数(),u x y 的梯度，则λ= ；(),u x y = ；47、设L 是柱面方程为122=+y x 与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=++___________22dz y xdy xzdx ； 48、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z ρ为点()0,0,0O 到平面π的距离，则(),,SzdS x y z ρ=⎰⎰ ； 49、设Ω是锥面z =与半球面z =围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰ ；50、设∑是锥面)01z z =≤≤的下侧，则()231xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ ；51、设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面S ， 都有()()20xSxf x dydz xyf x dzdx e zdxdy --=⎰⎰，其中函数()f x 在()0,+∞内具有连续的一阶导数，且()0lim 1x f x +→=，则()f x = ； 52、设r =，则()()1,2,2div gradr -= ； 53、幂级数()()211112nnn x x n∞=+-<∑的和函数()f x = ；且()f x 的极大值为54、从点()11,0P 作x 轴的垂线，交抛物线2y x =于点()11,1Q ；再从1Q 作这条抛物线的切线与x 轴交于2P ，然后又从2P 作x 轴的垂线，交抛物线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;;,;.n n P Q P Q P Q 则（1）n OP = ；（2）级数1122n n Q P Q P Q P ++++的和为 ；55、设4sin cos ,0,1,2,,nn I x xdx n π==⎰则0n n I ∞==∑ ；56、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y （从海平面算起）与下沉速度v 之间的函数关系。