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九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.5 三角函数的应用课件 (新版)北师大版

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北师大版九年级下册数学《利用三角函数测高》直角三角形的边角关系教学说课复习课件

北师大版九年级下册数学《利用三角函数测高》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
解：过点 A 作 AM⊥EF 于 M，过点 C 作 CN⊥EF 于 N，∴MN＝0.25 m，∵∠EAM＝45°， ∴AM＝ME，设 AM＝ME＝x m，则 CN＝(x＋6)m，EN＝(x－0.25)m，∵∠ECN＝30°，∴tan ∠ECN＝CENN＝x－x＋0.625＝ 33，解得：x≈8.8，则 EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(m)．答：旗杆 的高 EF 为 10.3 m
• 如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
M
1、在测点A处安置测倾器，测 得此时M的仰角∠MCE=α；
C αD β
E
AB
N
ME ME b, MN ME a
tan tan
2、在测点A与物体之间B处安置 测倾器，测得此时M的仰角 ∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度 AC=BD=a，以及测点A,B之间 的距离AB=b.根据测量数据,可 求出物体MN的高度。
2 米
第一章 直角三角形的边角关系
利用三角函数测高
课件
学习目标
1.能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行 实地测量以及撰写活动报告的过程； 2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正；(重点) 3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际 问题．(难点)
导入新课
情境引 入
如果不告诉你这些高楼大厦的高度，你能想到办法 测出它们的高度吗？通过这节课的学习，相信你就行.
讲授新课
解：如图，作EM垂直CD于M点,
根据题意，可知
∠DEM=30°,BC=EM=30m,
M
CM=BE=1.4m 在Rt△DEM中，
DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)，
CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m).

北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》直角三角形的边角关系PPT教学课件

北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》直角三角形的边角关系PPT教学课件

∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
当堂练习
4. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员
为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与
今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往
东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货
轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？
北
【分析】这船继续向东航行是
A
否安全，取决于灯塔C到AB航
线的距离是否大于 10 n mile.
B
C
D
东
讲授新课
解：由点A作AD⊥BC于点D, 设AD= x ,
54°45° D 40m C
∴AB=AC－BC=55.1－40=15.1
讲授新课
三 利用坡角解决实际问题 例. 4 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽（精确到0.1米, 3 1.732, 2 1.414 ）.
D 12米
分析：求AC，无论是在Rt△ACD中，还 是在Rt△ABC中，只有一个角的条件， 因此这两个三角形都不能解，所以要用 方程思想，先把AC看成已知，用含AC 的代数式表示BC和DC，由BD＝1000m 建立关于AC的方程，从而求得AC.
讲授新课
解：在Rt△ABC中，
AC BC
=
tan
B
=
tan 30

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系230°,45°,60°角的三角函数值教学课件(新版)北师大版

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系230°,45°,60°角的三角函数值教学课件(新版)北师大版

【解析】如图所示,BC=7m，
B
∠A=30°
BC 7 1， sinA=
AB AB 2
C
A
∴AB=14 m.
即扶梯的长度为14 m.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c. c
求证:sin2A+cos2A=1.
A
b
【证明】在Rt△ABC中，a2 b2 c2，
∵E,F分别是AB,DC的中点，
∴EF= 1 ( AD BC ) 1 (8 16)=12.
2
2
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °角的三角函数值及推导方 式，可以提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结 合三角函数灵活运用.
c 直角三角形三边的关系.
A
D
B
C
【解析】（1）∵∠B＝60°，
∴∠BCD=60°，又∵AB＝AD＝DC， ∴∠DAC=∠DCA， ∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA， ∴∠DCA=∠BCA.
∴∠ACB=30°. cos∠ACB=cos 30°= 3. 2
（2）∵AB＝AD＝DC＝8，∠ACB=30°，∴BCA
b
直角三角形边与角之间的关系.
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
互余两角之间的三角函数关系.
同角之间的三角函数关系
45°
B
a ┌
C
30°
45° ┌ 60° ┌
真理的大海，让未发现的一切事物躺卧在 我的眼前，任我去探寻。
——牛顿
C．1 2
D． 2 2
【解析】选B.
3．（眉山·中考）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，

北师大版初中九年级下册数学课件第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用PPT模板

北师大版初中九年级下册数学课件第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用PPT模板

CD
解：根据题意可知：BAD 55，CAD 25
tan 550 BD , tan 250 CD ,
x
x
BD x tan 550 ,
CD x tan 250.
B
x tan 550 x0 tan 550 tan 250
20 1.4281 0.4663
α┌
D
C
β
A
翻 折
B
α
D
┌ C
β
A
【课堂小结】
E
B
B
β αA
D
┌
α
CD
β
A
B
B
D aαA β
┌ C
α
D
β
A
翻 折
B
α
D
β
A
【布置作业】
必做：1.课本：P19 想一想 2.课本：P21 习题1.6 4
选做：三角函数在建筑设计、航海、国防、天气预报等方面都有广 泛的应用，请查阅资料，了解“三角学”的发展史及应用.
课堂检测
【快速反应】
为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点P，在河南岸选 相距200米的A、B两点，分别测得∠PAB=42°,∠PBA=65°.要求这段河 的宽度，若设河宽PC为x米，可列方程_________________.
x
【典型例题】 ——建筑应用
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的 400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长 多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
仰角、俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所
1
成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水

北师大版九年级数学下册 (三角函数的计算)直角三角形的边角关系教学课件

北师大版九年级数学下册 (三角函数的计算)直角三角形的边角关系教学课件

新课讲解
当缆车继续从点B到达点D时,它又 走过了200m.缆车由点B到点D的行 驶路线与水平面的夹角为∠β=420,由 此你还能计算什么?
新课讲解
为了方便行人推车过天桥，某市政府要在10 m高的天桥两端修建40m长 的斜道。请问这条斜道的倾斜角是多少?（如下图所示）
∠A是多少度呢？
可以借助于科学计算器.
cosA=0.8607 tanA=0.1890
cos-10.8607=30.60473007 tan-10.1890=10.70265749
上表的显示结果是以“度”为单位的，再按 为单位的结果。
，即键可显示以“度、分、秒”
新课讲解
按键顺序为
，显示结果为：sin-10.25=14.47751219°，
例3：如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米， ∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B 两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?
讲授新课
(1)求改直后的公路AB的长； 解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)， AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)， ∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)． 所以，改直后的公路AB的长约为13.3千米；
中考链接
C
中考链接
2. （2017•威海）为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了

九年级数学下册 1.5 方向角问题(第1课时)课件 (新版)北师大版

九年级数学下册 1.5 方向角问题(第1课时)课件 (新版)北师大版

外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的( D )
A．南偏东50° B．南偏东40°
C．北偏东50° D．北偏东40°
2．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得
有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°的500 m处，那么水塔所在的位
置到公路的距离AB是( A )
A．250 m B．250 3 m
4．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北 偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏 东30°方向走，恰能达目的地C(如图)，那么，由此可知，B，C两地 相距_2_0_0___m.
5．如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南，北两端A和 B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD＝6 km，则 AB＝__3__ km.
13．(2015·攀枝花)如图所示，港口B位于港口O正西方向120 km 处，小岛C位于港口O北偏西60°方向，一艘游船从港口O出发， 沿OA方向(北偏西30°)以νkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇 从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60 km/h的速度驶向小岛C， 在小岛C用1 h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送 去．
(2)在 Rt△PCA 中，PA＝sin3P6C.5°＝100 海里，在 Rt△PCB 中， PB＝sinP4C5°＝60 2海里，t 甲＝2.5(小时)，t 乙＝2 2(小时)，故救助船 A 先到达 P 处
12．如图所示，MN 表示引水工程一段设计路线，从 M 到 N 的 走向为南偏东 30°，在 M 的南偏东 60°方向上，有一点 A，以 A 为 圆心，500 m 为半径的圆形区域为居民区，取 MN 上另一点 B，测得 BA 的方向为南偏东 75°，已知 MB＝400 m，通过计算，回答如果不 改变方向，输水路线是否穿过居民区？(参考数据： 3≈1.73)

《三角函数的计算》直角三角形的边角关系PPT课件


5.一个人由山底爬到山顶，需先爬坡角为40°的山坡300 m，
再爬坡角为30°的山 坡100 m，求山高（结果精确到0.1m).
解：如图，过点C作CE⊥AE于点E，
过点B作BF⊥AE于点F，
过点B作BD⊥CE于点D，则BF＝DE.
在Rt△ABF中，BF＝AB sin 40°；
在Rt△CDB中，CD＝BC sin 30°.
BC 10 1
如图，在Rt△ABC中，sinA=

，
AC 40 4
那么∠A是多少度呢?
要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.
已知三角函数值求角度，要用到
“sin”、“cos”、“tan”键
的第二功能“sin‫־‬¹，cos‫־‬¹，
tan‫־‬¹ ”和2ndf 键。
以“度”为单位
按键顺序
sinA=0.9816
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
议一议
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D
的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°
，由此你还能计算什么?
想一想
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端
修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
故选A．

)
2.下列各式中一定成立的是（ A ）
A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°
B. tan75°﹤tan48°﹤tan15°
C. cos75°﹥cos48°﹥cos15°
D. sin75°﹤sin48°<sin15°
3．某款国产手机上有科学计算器，依次按键： = ，显示
合作学习
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°

《解直角三角形》直角三角形的边角关系PPT-北师大版九年级数学下册


知2－讲
例5 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠A, ∠B, ∠C的对边分 别为a, b, c, 且c＝100, ∠A＝26°44′．求这个三角形 的其他元素.(长度精确到0．01)
导引: 已知∠A, 可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小.而
解: 已知斜边, 必然要用到正弦或余弦函数.
∵∠A＝26°44′, ∠C＝90°,
例6 如图,
在△ABC中,
AB＝1,
AC＝
2，sin
B＝
2 4
，
求BC的长.
导引:要求的BC边不在直角
三角形中, 已知条件中
有∠B的正弦值, 作BC边上的高,
将∠B置于直角三角形 中, 利用解直角三角形就可
解决问题.
知3－讲
解: 如图, 过点A作AD⊥BC于点D．
2，
∵AB＝1, sin B＝ 4 2
2.
4
4
∴AD＝AB·sin B＝1×
AB2 AD2
＝
12
2 2 4
14 ,
4
∴BD＝ AC 2 AD2
2 2 2
30
2
4
. 4
CD＝ CD BD
30 4
14 4
30 14 .
4（来自《点拨》）
总结
知3－讲
通过作垂线(高), 将斜三角形分割成两个直角三角 形, 然后利用解直角三角形来解决边或角的问题, 这 种 “化斜为直”的思想很常见.在作垂线时, 要结合已知 条件, 充分利用已知条件, 如本题若过（B来点自作《A点C拨的》垂） 线,
（角度精确到1° )：
(1) 已知 a = 4， b =8；
解: 在Rt△ABC中, 由勾股定理得c＝ 42 82

北师版九年级数学下册作业课件 第一章 直角三角形的边角关系 三角函数的应用


离为 20 39 m
解：安全，理由如下：过点 C 作 CD 垂直 AB，交 AB 的延长线于点 D，由题意
可得，∠CA D＝90°－60°＝30°，∠CB D＝90°－45°＝45°，A B ＝30×1＝30(k m )，在
Rt△CBD 中，设 CD＝BD＝x km，则 AD＝(x＋30)km，在 Rt△ACD 中，tan 30°＝CADD ，
即x x＋30
＝
3 3
，解得 x＝15
3 ＋15≈40.98，∵40.98>40，∴这艘轮船继续向正东方
向航行是安全的
知识点2：仰角、俯角在三角函数中的应用 3．(宁波中考)如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量 人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米， 且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 _1_2_0_0_(__3__－__1_)__ 米．(结果 保留根号)
BD ＝76.6(海里)，∴AC＝AD＋CD＝64.3＋76.6≈141(海里)，∴此时货轮与 A 港 tan 45° 口的距离约为 141 海里
9．(泸州中考)如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90 m，且乙建筑 物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰角为 30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C，D间的距离(计算结果用根号 表示，不取近似值).
4．(2022·天津)如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条 直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔 BC的高度为32 m，求这座山AB的高度(结果取整数).
参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90.

三角函数的应用-九年级数学下册课件(北师大版)

【详解】
解：设 = 米，由题意得： ⊥ ，∠ = 30°，∠ = 45°，
∴∠ = ∠ = 90°，∴ =
∵ + = = 100米，∴
3
3
3
3
=
3
3
米， = = 米，
+ = 100，解得： = 150 − 50 3，
参考数据： ≈1.414， ≈1.732
【详解】
解：在Rt△CDE中，


∵sin∠C= ，cos∠C=，
1
3
2
∴DE=sin30°×DC=2×14=7 m ，CE=cos30°×DC= ×14=7 3≈12.124≈12.12 m ，
∵四边形AFED是矩形，∴EF=AD=6m，AF=DE=7m，
解法2:如图,根据题意知,∠A=30º,∠DBC=60º,AB=50m.
则∠ADC=60º,∠BDC=30º, ∴∠BDA=30º
∴∠A=∠BDA∴BD=AB=50
在Rt△DBC中,∠DBC=60º则sin60º=
∴DC=50×sin60º=25 3 ≈43 m
答:该塔约有43m高

50
30º
50 m
∵直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半∴AC=240 m
∴设BD=x,则AB=2x，由勾股定理得2 = 2 + 2
B
α
A β
D
解得x= 40 3 m，同理求得DC= 120 3 m
则BC=BD+DC=160 3≈277 m 答：楼高277米
俯角
C
水平
线
情景引入
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，
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A
图K－6－4
9
5 三角函数的应用
[解析] A 如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于点H， 则∠EHG＝∠HEF＝90°.∵∠AEF＝143°， ∴∠AEH＝∠AEF－∠HEF＝53°，∠EAH＝37°. 在Rt△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2米， ∴EH＝AE·sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72(米)． ∵AB＝1.2米，∴AB＋EH≈1.2＋0.72＝1.92≈1.9(米)．故选A.
4
5 三角函数的应用
2．2017·泰安期中 如图 K－6－2，港口 A 在观测站 O 的正东方向，
OA＝4 km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行一段距离后
到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60°的方向，则
该船航行的距离(即 AB 的长)为( A )
A．2 2 km
6
5 三角函数的应用
3．如图K－6－3所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高
20 cm、宽30 cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡．台阶的
起始点为A，斜坡的起始点为C，若将坡角∠BCA设计为30°，则
AC的长度应为( B )
A．60 3 cm C．60 cm
B．60( 3－1)cm D．60( 3＋1)cm
5 三角函数的应用
[解析] 在Rt△ABC中，AC＝AB·sin34°≈500×0.56≈280(米)， ∴这名滑雪运动员的高度下降了280米． 故答案为280.
12
5 三角函数的应用
6．如图K－6－7，一艘船向正北方向航行，在A处看到灯塔S在船 的北偏东30°的方向上，航行12海里到达点B，在B处看到灯塔S在 船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行的过程中距 灯塔S的最近距离是__6___3___海里(结果不作近似计算).
10
5 三角函数的应用
二、填空题
5．2017·宁波 如图K－6－6，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34° 的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度 下降了___2_8_0___米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83， tan34°≈0.67)
图K－6－6 11
图K－6－3
7
5 三角函数的应用
[解析] B 如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D， 根据题意，得 AD＝2×30＝60(cm)，BD＝20×3＝60(cm)． ∵坡角∠BCA＝30°， ∴BD∶CD＝1∶ 3， ∴CD＝ 3BD＝ 3×60＝60 3(cm)， ∴AC＝CD－AD＝60 3－60＝60( 3－1)cm. 故选 B.
第一章 直角三角形的边 角关系
5 三角函数的应用
1
第一章 直角三角形的边角关系
5 三角函数的应用
课堂达标 素养提升
2
5 三角函数的应用
课堂达标
一、 选择题
1．如图 K－6－1，为测量某物体 AB 的高度，在点 D 处测得点 A 的仰
角为 30°，朝物体 AB 方向前进 20 米到达点 C，再次测得点 A 的仰角
图K－6－8 14
5 三角函数的应用
[解析] 如图所示，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E， ∵∠CDB＝90°，∠EBD＝90°，∴四边形 EBDC 是矩形， ∴BE＝CD＝10 米． ∵∠ECB＝11°48′，∴∠EBC＝78°12′，
EC EC 则 tan78°12′＝BE＝10≈4.8，解得 EC≈48(米)． 在 Rt△AEC 中，∵∠ACE＝45°，∴AE＝EC≈48 米， ∴此塑像的高 AB 为 AE＋BE≈48＋10＝58(米)． 故答案为 58.
8
5 三角函数的应用
4．某地下车库安装了“两段式栏杆”，如图K－6－4所示，点A是栏 杆转动的支点，点E是两段栏杆的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图②所示的位置，其示意图如图③所示(栏杆宽度 忽略不计)，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米， 那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin37°≈ 0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)( )
图K－6－7
13
5 三角函数的应用
7．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图K－6－8，张 三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得 塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上， 若CD＝10米，则此塑像的高AB约为____58____米(参考数据： tan78°12′≈4.8)．
15
5 三角函数的应用
8．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图K－6－9， 一人先在附近一楼房的底端点A处观测观光塔顶端C处的仰角是60°， 然后他爬到该楼房顶端点B处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知 楼房AB的高约是45 m，根据以上观测数据可求得观光塔的高CD约是 ____1_35___m.
பைடு நூலகம்
B．2 3 km
C．4 km
D．( 3＋1)km
图K－6－2 5
5 三角函数的应用
[解析] A 如图，过点 A 作 AD⊥OB 于点 D. 在 Rt△AOD 中，∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4 km，
1 ∴AD＝2OA＝2 km.在 Rt△ABD 中， ∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB－∠AOB＝75°－30°＝45°， ∴BD＝AD＝2 km，∴AB＝ 2AD＝2 2 km， ∴该船航行的距离(即 AB 的长)为 2 2 km. 故选 A.
为 60°，则物体 AB 的高度为 ( A )
A．10 3米
B．10 米
C．20 3米
D.20 3 3米
图K－6－1 3
5 三角函数的应用
[解析] A ∵在 Rt△ADB 中，∠D＝30°， ∴ABBD＝tan30°，∴BD＝tanA3B0°＝ 3AB. ∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝60°，∴BC＝tanA6B0°＝ 33AB. ∵CD＝20 米，∴CD＝BD－BC＝ 3AB－ 33AB＝20， 解得 AB＝10 3(米)．故选 A.
图K－6－9
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5 三角函数的应用
[解析] ∵在点 B 处观测观光塔底部 D 处的俯角是 30°，∴∠ADB＝30°. AB 45 3