高中数学_平面向量的正交分解及坐标运算教学设计学情分析教材分析课后反思

4.2 平面向量教学设计（复习课）班级姓名使用时间编号专题审批人课题 4.2平面向量编制人审核人学习目标1.以平面图形为载体，掌握平面向量的线性运算及其几何意义2.会解决以平面向量基本定理为载体，与向量的坐标运算，数量积交汇的问题3.掌握数量积的有关坐标运算，平面向量与三角等知识交汇问题重点平面向量的线性运算，数量积的运用难点平面向量在平面几何中的综合应用以及新定义“自学质疑”阶段一、目标导学：该专题主要考查1.以平面图形为载体，借助向量考查响亮的线性运算及几何意义2.以平面向量基本定理为出发点，与向量的坐标运算，数量会计交汇3.向量的数量积的应用及向量在平面几何中的应用命题热点利用平面向量的基本运算解决数量积、夹角、模或垂直、共线等问题,与三角函数、解析几何交汇命题.二、文本自学1.平面向量的线性运算的几何意义（三角形法则）2.掌握平面向量的坐标运算公式3.掌握平面向量的几何意义及其坐标运算（夹角，垂直，等）公式4.平面向量在平面几何中的常用结论看资料知识回顾部分，记住（1）（2），1.必记公式(1)两个非零向量平行、垂直的充要条件若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则①a∥b⇔a=λb(b≠0，λ∈R)⇔__________.②a⊥b⇔a·b=0⇔__________.重要性质及结论(1)若a与b不共线，且λa+μb=0，则________.(2)已知(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是________.备考策略：1.数形结合方法，数形结合，等价转化.2.知识链接点：正余弦定理，平面几何有关知识学生活动：学生利用约5分钟的时间完成成本环节内容，要求先默写，后对照课件答案纠错.教师活动：教师展示答案；强调易错点.设计意图:明确目标和考点，回顾知识，形成知识链接。

研讨理解阶段一、真题再现演练1.(2015·课标Ⅰ，7，易)设D 为△ABC 所在平面内一点，→BC ＝3→CD ，则( )A.→AD ＝－31→AB ＋34→ACB.→AD ＝31→AB －34→ACC.→AD ＝34→AB ＋31→ACD.→AD ＝34→AB －31→AC2.(2015·，4，易)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则→BD ·→CD ＝( )A ．－23a 2B ．－43a 2 C.43a 2 D.23a 23.(2013·，15)已知向量→AB 与→AC 的夹角为120°，且|→AB |＝3，|→AC |＝2.若→AP ＝λ→AB ＋→AC ，且→AP ⊥→BC ，则实数λ的值为________．学生活动：对照教师给出的答案，纠错，订正.（单元组内交流，互相讲解）教师活动：针对错的较多的第4题，点拨讲评.设计意图：练真题感受高考，教学具有针对性。

《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》教案【教材分析】本节内容是平面向量一种新的表示方：向量的坐标表示，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.数学学科素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决.【教学重点和难点】重点：向量的坐标表示；难点：向量的坐标表示的理解.【教学过程】一、情景导入问题：由平面向量基本定理，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察，研探.二、预习课本，引入新课阅读课本27-29页，思考并完成以下问题1、怎样分解一个向量才为正交分解？2、平面向量怎样用坐标表示？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 (1)1 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作 (2)2 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．.特别地，，，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定. 设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.四、典例分析、举一反三 题型一 向量的减法运算例1 如图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________，________，__________.x y i j a x y yj xi a +=),(y x a ),(y x a =x a x y a y a ),(y x )0,1(=i )1,0(=j )0,0(0=a OA =A a yj xi OA +=OA ),(y x A A ),(y x OA【答案】a ＝(－4,0)； b ＝(0,6)；c ＝(－2，－5)．【解析】将各向量分别向基底i ，j 所在直线分解，则a ＝－4i ＋0·j ，∴a ＝(－4,0)；b ＝0·i ＋6j ，∴b ＝(0,6)；c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．例2 如图所示，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标．【答案】B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 【解析】由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由三角函数的定义，得x 1＝cos30°＝32，y 1＝sin30°＝12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. x 2＝cos120°＝－12，y 2＝sin120°＝32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. ∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.解题技巧（求点和向量坐标的方法）(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．跟踪训练一1．已知e 1＝(1,2)，e 2＝(－2,3)，a ＝(－1,2)，试以e 1，e 2为基底，将a 分解成λ1e 1＋λ2e 2的形式为____________．【答案】a ＝17e 1＋47e 2.【解析】设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝17，λ2＝47.∴a ＝17e 1＋47e 2.2. 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，(1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．【答案】（1）OA →＝(23，6)．(2)BA →＝ (3，7)．【解析】(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos60°＝23，y ＝43sin60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本37页习题6.3的15题. 【教学反思】本节内容是平面向量定理的一种延伸，比较简单，学生掌握起来较容易.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》导学案【学习目标】 知识目标1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.核心素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决. 【学习重点】：向量的坐标表示； 【学习难点】：向量的坐标表示的理解. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本27-29页，填写。

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算一、导1.轴上向量坐标及其运算2.平面向量基本定理3.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作向量的正交分解。

我们通常放在直角坐标系 中研究向量的正交分解。

4.以O 为起点,P(3,2)为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？二、思 （按照下面的导学提纲阅读教材，自学深思，完成下列问题。

）1.在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O 的向量如何用坐标来表示?2.如何判断两个向量是互相垂直？3.什么叫做正交基底？4.什么叫做正交分解？5.向量的直角坐标运算),a ,a (21=)b ,b (21=，=+_______；=-_______； =λ--------------1122a e e λλ=+6. 已知),y ,x (B ),y ,x (A 2211求向量的坐标。

7. 在直角坐标系中xOy 中，已知点),y ,x (B ),y ,x (A 2211求线段AB 中点的坐标。

8. 在直角坐标系xOy 中，已知点)4,2-(B ),2,3(A ，求向量+的坐标和长度。

9. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点,4,3C ,3,1-B ,12-A ）（）（），（求顶点D 的坐标。

三、议讨论“思”中的问题。

四、展我展示！我补充！我质疑！五、评1.如果两个向量的基线互相垂直，则称两个向量互相垂直。

2.若基底的两个基向量互相垂直，则称该基底为正交基底。

3.在正交基底下分解向量，叫做正交分解。

4.若)a ,a (A 21，)b ,b (B 21，则)a -b ,a -b (2211=，AB 中点坐标为)2b b ,2a a (2121++ 六．检 课本103页练习A 第2题、第4题七、练1、《同步练习册》 第52页基础巩固、第53页能力提升2、整理笔记当堂检测向量的正交分解与坐标运算1.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=( )A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b2设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为( )A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)3.已知2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4),求向量a+b的坐标。

《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。

正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。

二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。

学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。

六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________． 考点二 平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于 （ ）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计【教学设计构想】1.体现知识的发生、发展过程；本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示”，学生正确建构了向量的坐标表示，才能真正理解向量的“代数化”，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计,力图呈现平面向量坐标表示的发生、发展过程.2.将知识的数学形态转化为教学形态；教材中对本节内容的介绍只有本页之多，却内涵丰富,承前启后，不能以自己的想法代替学生的想法，不能简单地告诉学生定义、结论，通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。

3。

教学重心前移；对于本节课的知识,如果学生记住向量坐标表示的结论,学生也能解决一系列的问题，以往的教学，是将重心放在如何强化学生的解题训练上,注重解题的方法与技巧,在题的难度上和解法技巧上进行设计，本次教学的重心放在学生对向量坐标表示的意义理解上。

4。

还学生自主学习的空间与时间；在学生的“最近发展区内”设置有思考价值的问题,形成学生认知上的冲突,才是给学生提供学习的空间；在对学生设置好探究问题后,要舍得给学生独立思考，与同伴交流的时间。

【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示"，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算.2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容1.平面向量的基本定理,2。

平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示.本节教学的内容是本单元的第2节。

【目标与目标解析】知识与技能： 1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求:(1）能写出给定向量的坐标；（2)给出坐标能画出表示向量的有向线段;2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系,具体要求:（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；(2)向量的坐标等于终点减去起点坐标。

高中数学_《平面向量的正交分解及坐标表示,坐标运算》教学设计学情分析教材分析课后反思《平面向量的正交分解及坐标表示，坐标运算》教学设计一、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学4》（人教A版）第二章第三节的第二课时（2.3.2）《平面向量的正交分解及坐标表示》1.教材内容地位本节课内容包括“向量的正交分解及坐标表示”及“平面向量的坐标运算”两部分，其中向量的正交分解具有承上启下的作用，与上一节平面向量基本定理内容紧密关联。

本节课引出的向量的坐标表示，与坐标运算，实际上是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化。

这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．这将为后面三角函数学习，及之后的几何学习与代数紧密联系起来。

2.教学目标(1)了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示的定义：①能够写出给定向量的坐标。

②给出坐标能够画出表示向量的有向线段。

(2)掌握两个向量和（差）及向量数乘的坐标的运算法则：①知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标。

②一个向量坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。

二、学科核心素养本节课主要涉及以下三大类共六项，我将从以下几个方面设计本节课内容。

1、数学的一般特性(1)数学抽象：从物理方面的重力分解出发，舍去其相关物理属性，引出向量的正交分解，并在坐标系中用坐标表示出对应向量。

(2)直观想象：利用图、形结合的方式，展示向量在坐标系中的运算，以及向量与有向线段的关系。

2、数学思维的严谨性(1)逻辑推理：以i 、j为基底，根据向量的可以任意平移的特性，推导出向量的坐标表示。

(2)数学运算：通过向量线性运算的结合律和分配律，严谨的推导出向量的坐标运算，以及运用已有的向量加减的知识推导出，向量的坐标与表示此向量的有向线段的坐标的关系。

3、数学的实用性(1)数学建模：将向量与力与位移等矢量结合起来，通过坐标运算位移大小与力的大小等内容。

课题名称：8.3平面向量的分解定理（第一课时）课型：新授课一、教学目标1．理解和掌握平面向量的分解定理；2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性.4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想.二、教学重点及难点：1. 教学重点：平面向量分解定理的发现和形成过程；2. 教学难点：分解唯一性的说明.三、教学用具准备电脑，活动单，互动课堂等.四、教学过程设计（一）旧知回顾前面我们学习了向量的加减法及数乘运算，请同学回答黑板上的题目.1.如图，在平行四边形ABCD 中，记，则,2.两非零向量平行的充要条件：____________________展示“活动一”，体会向量的合成. （二）设置情景，引入课题 1.观察前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？ 下面让我们来看一个实例：实例：一盏电灯，可以由电线CO 吊在天花板上，也可以由电线OA 和绳BO 拉住.CO 所受的力F 与电灯重力平衡，拉力F 可以分解为AO 与BO 所受的拉力F1和 F2 .F 2F 1BCOAF思考：从这个实例我们看到了什么？答：一个向量可以分成两个不同方向的向量. （三）探索探究，主动建构概括讨论，提出新问题： 如果向量是同一平面内的两个不平行的向量，是该平面内的一个非零向量，是否能用向量表示向量？e ae 1数学实验1 1.实验设计：(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量，对于给定的非零向量是否能分解成方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？(2)实验报告：(由学生发言)分解步骤，得到结论可以分解，且分解的长度和方向唯一的.师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把和的关系表示出来？a=入1e 1 +入2e 2.ae 21MNOACB生：是不平行向量，是平面内给定的向量，在平面内任取一点O （1）作，；（2）过C 作平行于直线OB 的平行线与直线OA 相交于点M ； （3）过C 作平行于直线OA 的平行线与直线OB 相交于点N ； （4）四边形OMCN 为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数，使得，则2211e e ON OM a OC λλ+=+==.2.探究结果几何角度：平面内的任一向量都可以表示为给定的两个不平行向量的线性组合，即，且分解是唯一的.代数角度：说明唯一性： 证明：3．概括得出定理：平面向量分解定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使_______________.bMDCBA我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基.4.定理理解请学生讨论后回答下列问题. （1） 向量能否是零向量？不能（2）.什么样的两个向量可以作为基？ 不平行（3）一个平面有几组基？ 无数组 （4）已知是平面内的两个不平行向量 ①若，则 ②若，则．（帮助学生更好理解定理） 5.定理应用学生完成“活动二”，展示同学画图结果.（通过“活动二”，学生的动手作图能力得到提高，更好地理解定理）（四）例题分析例1（教材P66．例2）如图：平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且，分别用表示.解： 在平行四边形ABCD 中，,+=+= ,b a AD AB DB -=-=,2121)(2121b a b a AC MA --=+-=-=∴,2121)(2121b a b a DB MB -=-==∴ ，b a DB MB MD 212121+-=-=-=注：（1）把作为一组基，用向量表示平面内的任何一个向量 （2）平行四边形法则简化为三角形法则. 练习：学生完成活动单“变式”，一名学生板演.思考：由例1和变式思考平行四边形ABCD 中还有哪些线段可以作为一组基？哪些线段不可以作为一组基？为什么？（五）课堂小结：1.平面向量的分解定理. 对分解定理的理解：平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示. 这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.2.从基的角度认识几何图形，能够在具体问题中适当的选取基，使其它向量都能够统一用这组基来表达. （六）作业布置1.练习部分 8.32.预习课本例3，并思考：如下图，O 是直线AB 外一点，由平面向量分解定理得，满足什么条件时，A、B、P三点共线？五、教学设计说明本课主要是平面向量的分解定理及简单的应用.在课堂设计上做一种新的尝试，把数学实验带入课堂，让学生通过实验探究定理的内容.课堂组织形式比较新颖，引起学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，学生们积极的参与了整堂课的学习过程.通过实验的制作，培养了学生的动手作图能力，通过学生对实验结果的讨论，培养学生的抽象概括能力，语言表达能力.学生在原有知识的基础上，自主建构自己新的知识结构，充分体现了学生为主体，教学为主导的建构主义教学观.学生的学习效果很好，基本上掌握分解定理的实质内容，并能把定理的思想应用到具体的问题当中.学情分析本节课的授课对象是普通中学的高二学生。

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算教学目标：1、掌握平面向量的正交分解及坐标表示的概念，掌握平面向量的坐标运算。

2、经历观察、操作、交流等活动，增强学生观察能力，培养学生从一般到特殊的认知规律和数形结合的思想。

3、通过平面向量坐标的学习，让学生感受平面向量的正交分解与现实生活的联系，激发学生学习数学的兴趣，感受数学之美。

教学重点：平面向量的坐标运算。

教学难点：平面向量坐标表示的理解及坐标运算的准确性。

教学过程：一、复习回顾1.平面向量基本定理的内容？2.分别用给定的一组基底表示向量思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量进行分解比较简单？二、新知探究思考:1.光滑斜面上木块受到重力作用的分解特点？把一个向量分解为两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解思考:2.平面直角坐标系中点A可以用坐标来表示；平面向量是否也有类似的表示呢？课堂探究一：平面向量的坐标表示如图在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设→→==jOBiOA,填空：（1）|i |_____,|j |______,|OC |______;=== （2）若用 →→j i , 来表示OD OC ,，则： （3）向量 CD 能否由 →→j i , 表示出来？知识点1：平面向量的坐标表示概念如图， →→j i ,分别是与x 轴、y 轴方向相同的单位向量，若以 →→j i ,为基底，则对于该平面内的任一向量→a ，有且只有一对实数x,y,使得→→→+=j y i x a这样，平面内的任一向量→a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对（x,y ）叫做向量 →a 的坐标，记作()y x a ,=→显然，()()()0,00,1,0,0,1===→→→j i 。

知识点2：OA 的坐标就是点A 的坐标设 →→+=j y i x OA ，则向量OA 的坐标（x,y ）就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(x,y)也就是向量 OA 的坐标.例1.如图，分别用基底→→j i ,表示向量→→→→d c b a ,,,，并求出它们的坐标。

2．3．1-----2.3.2平面向量基本定理、正交分解及坐标表示一、教材分析：本节课是在学生学习了向量的概念及表示向量的线性运算后对向量知识的进一步学习。

平面向量基本定理和坐标表示及综合前面的向量知识，同时又是后续向量的坐标运算奠定了基础，起到了承前启后的作用。

过程与方法借助于由特殊到一般的方式得出平面向量基本定理及坐标表示的过程，培养分析问题和解决问题的能力。

二、学习目标1、理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。

2、理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示了。

情感态度价值观1、感受数学的精确性、概括性和同一性。

2、体会数形结合的思想 三、重点、难点教学重点：平面向量的基本定理及坐标表示[来源: 教学难点：平面向量的基本定理。

教学方法：引导探究式 教学手段：多媒体教学 四、教学过程：(一)复习提问：1．向量的加法运算（三角形法则、平行四边形法则）。

2．实数与向量的积3．向量共线定理设计意图：为让学生更好的理解问题做好铺垫。

（二）引入新知设计意图：使学生自然进入探索新知环节 （二）新课讲解1AB ，， 问题：已知非零向量那么对于同一平面内的任意向量是否能用线性表示？a a 2， 问题：如果平面内的向量不能由单个向量线性表示 又该如何具体表示呢？121233 、，问题：已知向量求作向量2e e e e向量的合成 向量的分解问题4、对于平面内任意向量，是不是都可以用 e 1 e 2 来表示呢 教师引导学生思考问题，引出本节课的教学内容并用幻灯片演示分解过程向量的合成与分解是互逆过程，向量的合成适用平行四边形法则，分解当然也适合平行四边形法则，进而引导学生用平行四边形分解向量。

设计意图：通过幻灯片演示分解过程；使学生理解平面内任意向量都可以按向量e1、e2进行分解 经过之前几节课的学习，学生已经基本掌握了向量的线性运算及加减法元算，此处的思考题意在使学生更深入地思考：是否任意的向量都可以用任意的两个向量来表示，进而说明了平面向量基本定理的必要性。

§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 教学建议（一）、复习引入：问题1、指出平面向量基本定理的内容及意义设计意图：复习旧知，为下一步将基底特殊化引出新课做准备。

指出注意：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 （二）、讲解新课： 1、平面向量的正交分解问题2、平面向量基本定理在物理学中有哪些作用？试举例说明。

设计意图：建立数学知识与物理知识的联系，感受数学定理的实际模型，有助于理解向量的正交分解概念及意义。

指出在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形，这样会给我们研究问题带来很大的方便。

2、平面向量的坐标表示问题3、平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示。

对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？设计意图：通过类比平面直角坐标系中点用有序实数对表示，提示学生思考在直角坐标系中表示一个平面向量的方法，培养学生的迁移能力和创新意识。

问题4、如图，取与x 轴，y 轴同向的单位向量、为基底，用、表示向量。

设计意图：让学生经历知识的形成过程，从具体问题中初步感受向量的坐标表示意义和向量坐标的求法，同时为学生抽象坐标表示的定义作铺垫。

问题5、更一般地，怎样定义平面内任意一个向量的坐标？设计意图：通过学生自身对定义的抽象建构过程，加深对所学知识的理解，同时渗透由具体到抽象、由特殊到一般的认知方法，问题6、写出、、的坐标；设计意图：巩固向量坐标表示的定义，明确相等向量坐标相等，体会向量与其坐标的一一对应关系，感悟向量的坐标与点的坐标一样有正负之分。

问题7、（1）如果A(x1, y1),O为坐标原点，那么的坐标是什么？（2）如果A(x1, y1),B(x2,y2),那么向量的坐标是什么？（1）（2）设计意图：使学生明确向量的坐标与表示该向量的有向线数起点和终点坐标之间的关系，感悟向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关。