人教版八年级数学上册 15章 分式计算中的“误区” 讲义

例1 计算：ab b a a b 34433⨯÷ 错解: 原式=13÷a b =a b 3. 剖析: 错解违背了运算顺序,乘除是同级运算,应按从左到右顺序依次计算.正解: 原式=a b a b a b 34343⨯⨯=332716ab . 例2 计算11-a ÷()2+a ·21+-a a 错解: 原式=11-a ÷()1-a =11-a ·11-a =()211-a 剖析: 乘、除法运算应从左到右按顺序进行，本例解法违反了这一运算顺序. 正解: 原式=11-a ·21+a ·21+-a a =()221+a 二、误用乘法分配律例3 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷b a ab 111 错解: 原式=b ab a ab 1111÷+÷=b ab a ab ⨯+⨯11=a b 11+=abb a +. 剖析: 乘法分配律为()ac ab c b a +=+,而除法却没有分配律,即()c a b a c b a ÷+÷≠+÷.正解: 原式=ab b a ab +÷1=b a ab ab +⨯1=ba +1. 例4 计算)313(33+--÷+-x x x x . 错解:)313(33+--÷+-x x x x =3133)3(33+÷+---÷+-x x x x x x =2)3(6+x . 剖析: 乘法对加法的分配律为a (b+c)=a b+a c ，但除法对加法没有分配律.正解: )313(33+--÷+-x x x x =1033103322--=+-÷+-x x x x x x .三、忽视分数线的括号作用例5 计算：ba ab a a --+22 错解: 原式=ba a a a --+22=0 剖析: 这里忽视了分数线的括号作用而出错.分式相减时,减式的分子如果是一个多项式,它应看作一个整体,加上括号再相减.正解: 原式=()b a a a a --+22=b a a a a +-+22=b a 2 例6 计算xx x x --+-11213 错解: 原式=11213----x x x x =1123---x x x =11--x x =1 剖析: 运算中加法转变成减法，减式的分子是一个多项式，而后面进行运算时没有注意到分数线的括号作用，所以出错正解: 原式=11213----x x x x =1123-+-x x x =11-+x x 四、结果不是最简分式例7 计算：bcc b ab b a +-+ 错解: 原式=abc ac ab bc ac --+=abc ab bc - 剖析: 分式计算结果中分子和分母还有公因式b ,应再约分,化成最简分式. 正解: 原式=abc ac ab bc ac --+=abc ab bc -=aca c - 五、通分时去分母 例8 计算111-++a a . 错解: 111-++a a =(a+1)(a-1)+1=a 2-1+1=a 2. 剖析: 分式通分是等值变形，不同于解方程时去分母的同解变形，两者不能混淆.正解: 111-++a a =111)1)(1(2-=-+-+a a a a a .。

学习分式四注意学习分式时，同学们要正确理解分式的概念和性质，它是学习分式有关内容的基础，并且已经成为各省市中考试的必考内容，因此学好这些内容时非常必要的.下面就针对基本的知识点和需要注意的地方进行一下分析，以此来帮助同学们打好基础.一、注意对分式概念的理解一般地，用A 、B 表示两个整式，A÷B 就可以表示成BA 的形式，并且B 中含有字母，像这样的代数式叫做分式;其中A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。

例1、在下列各式:π2,2,22,12-+x x x x a 中，其中分式的有 个。

分析：只要分母中含有字母的式子就是分式，而π只是一个以字母面孔出现的常数。

所以xx x a 22,22,1+是分式。

解:有3个。

二、注意分式有意义的条件分式有意义的条件是：当分式中的分母不为零时，分式有意义。

例2、使式子11-x 有意义的x 取值范围是（ ）. A 。

x ＞0 B 。

x≠1 C。

x≠—1 D. x≠±1 分析：要使分式有意义，只要分母不为零即可。

即x -1≠0,解得x≠±1。

解:选D.三、注意运用分式的基本性质 分式的基本性质是：BM AM B A =,MB M A B A ÷÷=（M≠0),运用此性质时，要特别注意M≠0这个条件,忽视这个条件就会出现错误。

例3、不改变分式xx 5.0212.0++的值，把它的分子和分母的各项系数都化为整数，则所得的结果正确的为（ ）A. x x 5212++ B 。

x x ++45 C. x x 520102++ D. xx ++212 分析:考查分式的基本性质时，要注意常数项同时扩大。

解：选C 。

四、注意分式的值为零的条件要使分式的值为零,必须同时满足两个条件：（1）分式的分子等于零；（2)分式的分母不等于零。

例4、当x= 时，分式11+-x x 的值为零。

分析：讨论分式的值为零需要同时考虑两点:(1)分子为零，（2）分母不为零。

警惕分式方程问题中的“陷阱”分式方程是初中代数中的重要内容，然而很多同学在解分式方程的过程中及对分式方程的增根的理解方面，常出现这样或那样的错误，落入“陷阱”．现将常见错误举例剖析，供大家参考．一、忽视对根的检验例1 解方程31322x x x--=-- 错解 原方程可变形为31322x x x -+=--． 去分母得x －3＋1＝3(x －2)，解得x ＝2．错因剖析 分式方程转化为整式方程，由于去分母使未知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根，因此在解分式方程时一定要验根，本题的错解正是忽略了这一点．正解 原方程可变形为31322x x x -+=-- 去分母，得x －3＋1＝3(x －2)，解得x ＝2．将x ＝2代入，使得分母x －2的值为0，所以x ＝2是原方程的增根，即原方程无解．二、忽视了增根情况例2 当a 为何值时，关于x 的方程()()12323x x x a x x x x ++-=-+-+的解为负数？ 错解 去分母，得5x ＝a －3，解得x ＝35a -．令x ＝35a -<0，得到a<3，即当a<3时，原方程的解为负数．错因剖析若x的取值使得原分式方程中的分母为零，即为增根，因此还必须考虑分式方程中的分式有意义的前提x≠0，且x≠－3，即35a-≠2，且35a-≠－3．正解当a<3且a≠－12时，原方程的解为负数．三、忽略不含分母的项例3 解方程455xx x---＝9．错解方程两边同乘以x－5，得x＋4＝9．解得x＝5．检验：当x＝5时，x－5＝0，所以方程无解．错因剖析错误的原因是去分母时，漏乘了不含分母的项9，造成所得方程与原方程的解不同．正解方程两边同乘以x－5，得x＋4＝9(x－5)．解这个方程，得x＝498．经检验x＝498是原方程的解．四、方程的两边同除以含有未知数的整式，造成失根例4 解方程2233x xx x--=+-．错解方程两边同除以x－2，得1133x x=+-，去分母，得x－3＝x＋3，所以原方程无解．错因剖析方程两边同除以x－2，相当于默认了x－2的值不等于零，而实际上x＝2是原方程的解，上述变形造成了失根．正解方程两边同乘以(x＋3)(x－3)得(x－2)(x＋3)＝(x－2)(x－3)，去括号，得x2＋x－6＝x2－5x＋6．解这个方程，得x＝2，所以原方程的解是x＝2．通过上面几例分析，我们发现，分式方程问题中出现错误的原因很大程度上取决于审题．因此同学们在解题时要认真审题，理清思路再下手解题，那么就会避免误解和漏解，从而远离分式方程解题的陷阱．。

八年级数学上册第十五章分式易错知识点总结单选题 1、解分式方程x 2x−1+21−2x=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )A ．x+2＝3B ．x ﹣2＝3C ．x ﹣2＝3(2x ﹣1)D ．x+2＝3(2x ﹣1) 答案：C分析：最简公分母是2x ﹣1，方程两边都乘以(2x ﹣1)，即可把分式方程便可转化成一元一次方程． 方程两边都乘以(2x ﹣1)，得 x ﹣2＝3(2x ﹣1)， 故选C ．小提示：本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．2、下列各式中，当m ＜2时一定有意义的是（ ） A ．1m−3B ．1m−1C ．1m+1D ．1m+3 答案：A分析：根据分式有意义的条件是分母不等于0判断即可． 解：A ．当m ＜2时，m ﹣3＜﹣1，故分式1m−3一定有意义，故本选项符合题意；B ．m ＜2，当m ＝1时，分式1m−1没有意义，故本选项不符合题意； C ．m ＜2，当m ＝﹣1时，分式1m+1没有意义，故本选项不符合题意； D ．m ＜2，当m ＝﹣3时，分式1m+3没有意义，故本选项不符合题意；故选：A ．小提示：本题主要考查的是分式有意义的条件，即分母不等于0． 3、某桑蚕丝的直径用科学记数法表示为1.6×10-5米，则这个数的原数是 A ．0.0000016B ．0.000016C ．0.00016D ．0.0016 答案：B分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10 n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.根据科学记数法的定义1.6×10﹣5=0.000016.故选 B小提示：本题考核知识点：科学记数法.解题关键点：理解科学记数法的定义.4、下列式子：−5x，1a+b ，12a2−12b2，310m，2π，其中分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．解：1a+b ，310m的分母中含有字母，属于分式，共有2个．故选：B．小提示：本题考查了分式的定义，熟悉相关性质，注意π是常数，是解题的关键．5、下列分式x2−2x2y−xy ，x+1x2+1，−2a2−2a，12xy9z3中，最简分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可．解：x2−2x2y−xy =x(x−2)y(2−x)=−xy，故原式不是最简分式；x+1x2+1是最简分式，−2a2−2a是最简分式，12xy 9z3=4xy3z3，故原式不是最简分式，最简分式有2个故选：B小提示：本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．6、关于x的分式方程2x−ax+1＝1的解为正数，则字母a的取值范围为（）A．a≥﹣1B．a＞﹣1C．a≤﹣1D．a＜﹣1答案：B分析：先求出带有a的分式方程的解，然后再根据解为正数求出a的取值范围即可. 解：分式方程去分母得：2x-a=x+1，解得：x=a+1．根据题意得：a+1＞0且a+1+1≠0，解得：a＞-1且a≠-2．即字母a的取值范围为a＞-1．故选B．小提示：本题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．7、已知8a3b m÷28a n b2=27b2，则m、n的值为（）A．m=4,n=3B．m=4,n=1C．m=1,n=3D．m=2,n=3答案：A分析：先运用单项式除法法则运算，然后令a的次数为0，b的次数为2解答即可．解：8a3b m÷28a n b2=27b28a3b m÷28a n b2=27a3−n b m−2令3-n=0，m-2=2，解得n=3，m=4．故答案为A．小提示：本题考查了单项式除法，灵活运用单项式除法法则是解答本题的关键．8、在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米，下坡时的速度为每小时v2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（）A．v1+v22千米B．v1v2v1+v2千米C．2v1v2v1+v2千米D．无法确定答案：C平均速度=总路程÷总时间，题中没有单程，可设单程为1，那么总路程为2．依题意得：2÷（1v1+1v2）=2÷ v1+v2v1v2= 2v1v2v1+v2千米．故选C．小提示：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．9、方程12x =2x+3的解为（）A．x=﹣1B．x=0C．x=35D．x=1答案：D分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．详解：去分母得：x+3=4x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故选D．点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．10、若x≠y，则下列分式化简中，正确的是（）A．x+2y+2=xyB．x−2y−2=xyC．3x3y=xyD．x2y2=xy答案：C分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：A. ∵当x=1，y=2时，x+2y+2=34，xy=12，∴x+2y+2≠xy，故不正确；B. ∵当x=1，y=3时，x−2y−2=−1，xy=13，∴x−2y−2≠xy，故不正确；C. 3x3y =xy，正确；D. ∵当x=1，y=2时，(x)2(y)2=14，xy=12，∴x2y2≠xy，故不正确；故选C．小提示：本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．填空题11、若方程3x+3=2x+k的根为负数，则k的取值范围是______。

庖丁巧解牛知识·巧学一、分式乘除法法则分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母.即D B C A DC B A ∙∙=∙.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.即CB D ACD D A D C B A ∙∙=∙=÷. 联想发散 1.分式的乘除运算法则是通过与分数的乘除运算法则类比得到的，分式的乘、除运算可以统一成乘法运算.2.分式的乘除运算与因式分解、分式的约分有着密切的联系.分式运算的结果通常要化成最简分式（即分子、分母不能再约分）或整式，至于最后结果中的分母，既可以是乘积的形式，也可以是多项式.例如，计算：aa a a 21222+∙-+. 有人这样计算，原式=)2)(2(22a a a a +-+，如果认为这是最后的结果，那就大错特错了.还要继续做下去，原式=)2(1)()2()2(2)2)(2(22-=+-+=+-+a a a a a a a a a a 约分,或者=a a 212-. 学法一得 在分式的乘除运算中，要注意以下几点：①分子、分母按同一字母的降幂排列，首项是负号时，要把负号提到分式的前面，便于因式分解和约分；②整式可以看成特殊的分式，即分母为1的分式. 如，计算：mm m 7149122-÷-. 分母49-m 2不是按m 的降幂排列，应该变形为-m 2+49=-(m 2-49).原式=mm m 71)49(122-÷--（降幂排列） mm m 7149122-÷--=（把负号提到分式的前面） =1749122m m m -∙--（除法变乘法） 1)7()7)(7(1-∙-+-=m m m m （分解因式） )7)(7()7(-+--=m m m m (分子相乘，分母相乘) 7+-=m m （约分）. 当然，等大家熟练以后，中间的一些步骤可以省略.①分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以应该约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分；②当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分.二、分式的乘方1.分式的乘方就是分式的分子、分母分别乘方，用式子表示为：（b a )n =n nba ，其中n 是正整数.误区警示 ①分式乘方时，一定要把分式加上括号，例如：(b a )n ≠ba n； ②分式乘方时，分式本身的符号也要乘方；③当分式的分子分母是多项式时，应避免出现类似(b c b +)2=222b c b +的错误. 三、分式的加减运算1.分式的加减运算分式的加减运算分两种情况：一种是同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.另一种是异分母的分式相加减，必须先把它化为同分母的分式（即通分），然后再加减. 分式的加减运算关键在于通分.学法一得 异分母分式的加减法步骤：1.正确地找出各分式的最简公分母.求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母为底的幂的因式都要取；（3）相同字母的幂的因式取指数最大的.取这些因式的积就是最简公分母.2.准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式.3.用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算.4.公分母保持积的形式，将各分子展开.5.将得到的结果化成最简分式（整式）.2.分式的混合运算分式的混合运算顺序与数的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，然后加减，这是进行分式运算的前提和关键.误区警示 分式的运算与分数的运算一样，结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简整式或分式，例如：2222b a b a -+就不正确，必须先约分，b a -2才是最后的结果. 四、整数指数幂的定义和运算1.负整数指数幂的出现有它的必然性我们知道，整数包括正整数、0和负整数，在a n 中，指数n 可以是正整数和0，它们的意义分别是：a n =an a a a a 个∙∙; a 0=1（a≠0）.那么我们自然要问，n 是负整数时，a n 表示什么意义呢？2.负整数指数幂的定义有它的合理性举例加以说明.当a≠0时，计算a 3÷a 5.一方面，a 3÷a 5=2233531a a a a a a =∙=;① 另一方面，a 3÷a 5=a 3-5=a -2.②②是根据a m ÷a n =a m-n 得到的.所以a -2=21a . 一般地，我们规定a -n =n a 1（a≠0），这样，a n 中指数n 的范围扩充到了整数. 3.正整数指数幂的运算性质对于整数指数幂同样适用如，a -3·a -5=a (-3)+(-5)=a -8，(a -3)-2=a (-3)(-2)=a 6等.4.负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法 如y x =x·y1=x·y -1. 深化升华 1.下面的两个公式是非常实用的，要理解，要记住！ ①（a b )-n =(b a )n （-n 与n 互为相反数，a b 与b a 互为倒数）. ②n nn n ba ab =--（分子中的b -n 变成分母中的b n ，分母中的a -n 变成分子中的a n ，分子变分母，-n 变n ）.上述的两个公式其实是一样的，但在用法上有所不同. 如（32）-2=(23)2=49,2323313123822byxac by c xa bc a xy ==----. 2.有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示成a×10-n 的形式，其中1≤a ＜10，n 是正整数.表示小于1的正小数时，有这样的规律：把0.001 08写成a×10-n 的形式.①∵1≤a ＜10，∴a=1.08.②∵第一个非0数字1前有3个0（包括小数点前面的那个0），∴n=3.那么，0.001 08=1.08×10-3. 通过计算检验一下，31008.11000100000108.0=⨯=1.08×10-3. 典题·热题 例1计算：（a y x 42)2÷(ax y 2-)2·(ayx 2-)4.思路分析：本题涉及分式的乘方、乘除运算，它的运算顺序是先乘方，后乘除.解：原式=441044422222444422222441641616416ya x y a x y x a a y x y a x x a y a y x =∙∙=∙÷ 误区警示 乘、除运算是同级运算，不能先乘法，后除法，应该把除法转化为乘法，再进行运算，否则，会出现下面的错解： 原式644161616416424226224262224444222224y x a x y a a y x y a x a y x y a x x a y a y x =∙=÷=∙÷ 例2计算：（1）a+2-a -24；（2）))(())(())((b c b a a c b a c a c b a c c b b a --+---+---+. 思路分析：整式可以看成是分母为1的分式，认真观察，你还会发现（a+2）与（a-2）相乘可以利用平方差公式，给计算带来方便，因此，最好把a+2看成一个整体.解：（1）原式=224424)2)(2(241222-=-+-=-+-+=-++a a a a a a a a a （2）原式=))(())(())((c b b a a c b a a c c b a c c b b a --++--++--+ ))()(())(())(())((a c c b b a a c a c c b c b b a b a ----++-++-+= ))()((222222a c c b b a a c c b b a ----+-+-==0. 方法归纳 整体方法是数学中常用的一种解题方法，会给我们带来许多方便. 例3先化简，再求值：(22+--x x x x )÷24-x x ，其中，x=2 005. 思路分析：直接按分式混合运算的顺序进行化简，再代值计算.解：原式=2142)2)(2(442)2)(2()2()2(+=-∙-+=-∙-+--+x x x x x x x x x x x x x x , ∴当x=2 005时，原式=20071. 巧解提示 此题还可以利用分配律进行化简:原式=(22+--x x x x )·xx 42- =21)2(44)2(4)2(2)2(4241422422+=+=+--+=+--=-∙+--∙-x x x x x x x x x x x x x x x ∴当x=2 005时，原式=20071.例4当2＜x ＜3时，化简xx x x -----2|2|3|3|. 思路分析：根据x 的取值范围，判断绝对值符号里面的式子的正负，再由绝对值的定义，去掉绝对值符号.解：∵2＜x ＜3，∴x-2＞0，x-3＜0.∴|x-2|=x-2，|x-3|=-(x-3).∴原式=)2(23)3(-------x x x x =-1+1=0. 方法归纳 与绝对值有关的问题，去掉绝对值符号是关键，这有赖于对绝对值定义的准确理解.例5已知x 2+y 2-6x-8y+25=0，求分式xy1的值. 思路分析：把已知式的左边配方，再根据非负数的性质求解.解：由已知条件，得(x 2-6x+9)+(y 2-8y+16)=0,∴(x-3)2+(y-4)2=0.根据非负数的性质，得⎩⎨⎧=-=-,04,03y x 即⎩⎨⎧==.4,3y x ∴1211=xy . 巧解提示 配方法是数学中常用的解题方法，利用非负数的性质解题，也是一种常用的技巧.所谓非负数的性质，即“若a 2+b 2=0，则a=0，b=0”，还有其他的形式，这里就不多说了. 例6若x+y+z=0，求x(z y 11+)+y(z x 11+)+z(yx 11+)的值. 思路分析：把所求的式子去括号后，会发现有三组同分母的分式，就从这里入手吧！ 解：原式=)()()(zy z x y z y x x z x y y z x z z y x y z x y x +++++=+++++ zy x y z x x z y +++++= ∵x+y+z=0,∴y+z=-x ，x+z=-y ，x+y=-z.∴原式=zz y y x x -+-+- =-1-1-1=-3.巧妙变式 原式=x·yz z y ++y·xz z x ++z·xyy x +=x·yz x -+y·xz y -+z·xyz - =xyzz y x xy z xz y yz x 333222)(++-=++-. 由上面的答案，可得xyzz y x 333++-=-3, x 3+y 3+z 3=3xyz.这样，我们得到了一个结论：若x+y+z=0，则x 3+y 3+z 3=3xyz.此种解法虽然没有解决问题，但也会让大家有所收获.问题·探究思想方法探究问题1 如果我们要比较2n m +与n m mn +2的大小,可以用什么方法? 探究过程：我们可以先假设一个数试一试，感受一下谁大谁小.如m=5，n=3，2352+=+n m =4. 353522+⨯⨯=+n m mn =3.75. ∵4＞3.75,∴2n m +>n m mn +2. 如何证明呢？比较大小有一种方法叫“作差法”（即若a-b ＞0，则a ＞b ）, ∵)(242)(24)(22222n m mn n mn m n m mn n m n m mn n m +-++=+-+=+-+ )(2)()(22222n m n m n m n mn m +-=++-= 又∵m ，n 是正数，m≠n,∴m+n ＞0，（m-n ）2＞0. ∴)(2)(2n m n m +-＞0.即2n m +>n m mn +2. 探究结论：)(2)()(22)(242)(24)(22222222n m n m n m n mn m n m mn n mn m n m mn n m n m mn n m +-=++-=+-++=+-+=+-+∵m ，n 是正数，m≠n,∴m+n ＞0，（m-n ）2＞0. ∴)(2)(2n m n m +-＞0.即2n m +>n m mn +2.问题2 设 a 、b 、c 、d 都不等于0，并且b a =d c ，两个分式dc d c b a b a -+-+和（a≠b,c≠d ）之间有什么关系？用什么方法可以证明你的结论?探究过程：要比较两个分式的大小关系,除了上面所说的赋值法与作差法之外,还能用其他很多方法,如作商、直接利用分式的基本性质变形等.但要说明的是用作商法时,一定要注意两个式子一定是同号的.(方法1)赋值法（用数字试验）3792161561537252561525==-+=-+=，，,猜想dc d c b a b a -+=-+.要注意的是,这只是一个猜想,结论是不严格的.(方法2)利用分式的基本性质d c d c dc d c ba b a b a b a -+=-+=-+=-+1111. (方法3)作差法 ∵))(()(2))(()())(())(())((d c b a ad bc d c b a bd ad bc ac bd bc ad ac d c b a b a d c d c b a d c d c b a b a ---=---+---+-=---+--+=-+--+. 由b a =dc ，得bc=ad,代入上式，得dc d c b a b a -+=-+=0, ∴d c d c b a b a -+=-+. (方法4）作商法 设b a =dc =k(k≠0且k≠1）,则 a=bk ，c=dk. ∵11)1()1(-+=-+=-+=-+k k k b k b b bk b bk b a b a ， 11)1()1(-+=-+=-+=-+k k k d k d d dk d dk d c d c ∴dc d c b a b a -+=-+. 探究结论：方法2、方法3、方法4任选一种即可.交流讨论探究问题3 分数的分子、分母都加上一个正数后，分数的值变大还是变小？探究过程：小聪：我发现分数的分子、分母都加上一个正数后，分数的值变大.例如，把21的分子、分母都加上1后变为32，比原来的21大. 小明：不完全对.如果把45的分子、分母都加上2，变成67，却比原来的45小.小聪：是啊！看来得分几种情况说明.小明：你说的是真分数的情况，我说的是假分数的情况，那就分真分数和假分数两种情况讨论吧！如何证明呢？两人都不会，只好去请教教他们数学的王老师. 王老师：你们用ab 表示分数，如果是正的真分数，那么就写上条件：a>b>0，分子、分母都加上正数m 后，变成m a m b ++，要比较两个数的大小，用作差法.你们试一下吧. 小聪和小明很快完成了证明过程.你学会了吗？ 解：)()()()()()()(m a a m b a m a a bm ab am ab m a a m a b m a a m b a a b m a m b +-=+--+=++-++=-++, ①当a>b>0时，a-b ＞0,)()(m a a m b a +-＞0,所以m a m b ++-a b ＞0,即m a m b ++>a b ； ②当b ＞a ＞0时，a-b ＜0,)()(m a a m b a +-＜0,所以m a m b ++-a b ＜0,即m a m b ++<a b .。

八年级上册期末复习——第十五章分式及分式方程复习讲义班级： 姓名： .考点1：分式有无意义、值为0的条件1．分式一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B才有意义.1.若分式242x x -+有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．=2xC ．=-2xD ．2x ≠- 答案：D解析：20,2x x +≠≠与分子无关2．当x ________时，分式11x -没有意义． 答案:x=1解析：当，即＝1时，分式11x -没有意义 3．若分式242x x --的值等于零，则＝_______； 答案：＝－2；解析：由＝0，得. 当＝2时－2＝0，所以＝－2； 考点2：分式的概念与基本性质 1.分式的基本性质 （M 为不等于0的整式）.2．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.1．在中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5答案：C ；解析：21(1)31,,,x x a x x x y m+++为分式，注意：π是数字，并不是字母 2．把分式2x y x y+的x,y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） 10x -=x x x 24x -2x =±x x x ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++πA.不变B.扩大为原来的3倍C.扩大为原来的9倍D.扩大为原来的2倍答案：C 解析：222(3)3279333()x y x y x y x y x y x y==+++,为原来的9倍 3．下列运算正确的（ ）A ．a a a b a b =----B ．0.220.33a b a b a b a b ++=++C ．221b a a b a b-=--+ D ．22a b a b a b +=-+ 答案：C解析：A:a a a b a b =---+,B:0.22100.3310a b a b a b a b++=++,C:正确，D ：22a b a b ++不能再化简约分 4.下列分式是最简分式是（ ）A ．22x x y +B ．23x xy xy -C ．224x x +-D ．2121x x x --+答案：A解析：B ．23(3)3x xy x x y x y xy xy y ---==，C ．22214(2)(2)2x x x x x x +-==--++，D ．2211121(1)1x x x x x x --==--+-- 考点3：分式的基本运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.a c acb d bd⋅=a b c d 、、、0bd ≠a c a d ad b d b c bc÷=⋅=a b c d 、、、0bcd ≠（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.A ．1m -B ．+1mC ．1m +D ．1m - 答案：D 解析：2211111(1)(1)(1)(1)1m m m m m m m m m -=+=---+-+- 2.计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-．答案：22(1)(2)(1)x x x +-+- 解析：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 3．计算： （1）332212b b a a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）2224222a a a a a a ⎛⎫⨯- ⎪+--⎝⎭； （3）6333a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭．答案：（1）822a b （2）a （3）13a + 解析：（1）3322326331122b b b b a a ab a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷=-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭268233322b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=--⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）2222244(2)(2)222(2)222a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫-+-⨯-=⨯=⨯ ⎪+--+-+-⎝⎭ (2)2a a a a =⨯+=+； （3）6333a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭= (3)a(3)3(3)(3)6a a a a a a a+---⨯+-， 631(3)(3)63a a a a a a -=⨯=+-+．4．先化简再求值：2222111a a a a a --⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭，其中2a =答案：原式=1a a -，当2a =时，原式=11=2a a -解析： 222222111(1)(1)=(1)(1)1a a a a a a a a a a a a a--⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭⎡⎤-+⎢⎥+-⎣⎦-=当2a =时，原式=11=2a a - 考点4：分式方程 1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.1．把分式方程311x x x -=+化为整式方程，去分母正确的事（ ） A ．23(1)1x x +-=B ．23(1)(1)x x x x +-=+C ．23(1)+1x x +=D ．23(1)(1)x x x x -+=+ 答案：B 解析：23113(1)(1)x x x x x x x -=+⇒+-=+2．如果关于x 的分式方程2122m x x x -=--无解，那么m 的值为（ ） A ．4B ．-4C ．2D ．-2 答案：A 解析：2122m x x x-=--解方程得：2x m =--，因为方程无解，所以22x m =--=，则4m = 3．如果关于x 的分式方程62033x m x x --=--有增根，则m 的值是（ ） A ．32 B ．32- C ．3 D ．3- 答案：A 解析：62033x m x x --=--，解方程得：62x m =-，因为有增根，所以623x m =-=，则32m =4.从-1,0,1,2,3,4,5,这7个数中随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式1253x a x x-<⎧⎨+≤⎩无解，且使关于x 的分式方程122x a x -=-的解为非负数，那么这7个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ） A ．6B ．8C ．9D ．10 答案：A解析：解不等式组得：15x a x <+⎧⎨≥⎩，因为不等式组无解，所以51,4a a ≥+≤， 分式方程解得：2222,233a a x --=≠且，所以：14a a ≥≠且 综上所述41a >≥，所以1,2,3a =，故答案选A5.解方程（1）23222x x x -=+- （2）()1231244x x x -=---答案：（1）27x =，（2）32x =- 解析：（1）解：23222x x x -=+- 方程两边同乘以()()22x x -+，得()()()()2232222x x x x x --+=+--72x =-27x =检验： 当27x =时，最简公分母()()22x x -+≠0， ∴27x =是原方程的解. （2）解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解． 考点5：分式方程实际应用1.县城建局对某一条街的改造工程要限期完成，甲工程队独做可以提前一天完成，乙工程队独做要延期6天，现由两个工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x 天，则所列方程正确的是（ ）A ．4116x x x +=+- B ．416x x x =-+ C ．4116x x x +=-- D ．4116x x x +=-+答案:D 解析：设总工作总量为1，工程期限为x 天，所以可列方程：4116x x x +=-+ 2.A 、B 两地相距36千米，一艘轮船从A 地顺流行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程为（ ）A ．3636944x x +=+- B ．3636944x x +=+- C ．3649x += D ．3636944x x -=+-答案:A解析：设轮船在静水中速度为x ，可列方程的：3636944x x +=+- 3．小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?答案：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．解析：解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ． 根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+． 解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．4．“抗击疫情，八方支援”截止2020年2月19日，全国已有278支医疗队、32395名医务人员从各地驰援湖北，小明和爸爸经过商量打算用自己的压岁钱购买A 、B 俩两种品牌消毒酒精捐赠当地医院，已知A 品牌消毒酒精每桶的价格比B 品牌消毒酒精每桶的价格多20元，用3000元购进A 品牌消毒酒精个用1800元购进B 品牌消毒酒精的数量相同.（1）A 品牌消毒酒精每桶的价格和B 品牌消毒酒精的每桶的价格各是多少元？（2）小明计划用不超过1560元的压岁钱购进A 、B 两种品牌消毒酒精共40桶，其中A 品牌的消毒酒精的数量不低于B 品牌的消毒酒精数量的一半，小明有几种购买方案？答案：（1）A ：50，B ：30（2）共5中方案。