下载文档原格式
求近似值或整数部分等需要进行估算的计算题，估算的关键在于确定已知数据具有恰当精度的近似值．与分数和小数比较有关的问题．用通分后再约分，或者裂项后再相消的方法解的长分式计算题．1.除式12345678910111213÷31211101987654321 计算结果的小数点后前三位数字是多少?【分析与解】对于除法算式，我们将被除数和除数同时扩大或缩小若干倍，所得的商不变，所以可以将被除数和除数的小数点同时向左移动若干位，所得的商不变．因为要求计算小数点后前三位数字，所以只用保留小数点后前四位数字即可．12345678910111213÷3121110198765432l=1234．56789101l1213÷3121．110198765432l≈1235÷3121≈0.3957所以，原除式所得结果的小数点后前三位数字是 395．2．计算下式的值，其中小数部分四舍五入，答案仅保留整数：33．3332-3.1415926÷0.618⎛ 100 ⎞2【分析与解】33.3332 ≈⎜⎟= 10000≈ 1111.1⎝3 ⎠93．1415926÷0.618≈3.14÷0.62≈5.1．所以33.3332-3.1415926÷0.618≈1111．1-5.1=1106．即原式的运算结果的整数部分为 1106．1 1 1 1 1 3．在1, , , ,⋯, ,2 3 4 99 100中选出若干个数使它们的和大于 3，最少要选多少个数? 【分析与解】 为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数．1 1 1 1 1 有1, , , ,⋯, ,234 99 100 有1+依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择．925而1+ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11≈ 3.015所以最少选择 11 个即可使它们的和大于 3.4.数 1 1 + 1 + 1 +⋯ + 1 10 11 12 19的整数部分是几?【分析与解】 我们可以先算出连 10 个分数的值所得的商的整数部分即为所求．1 + 1 + 1 +⋯ + 1 10 11 12 1911 1 1，然后用所得的结果去除 l ，现在问题在于如何在我们所需的精度内简单的求出 + + +⋯ +10 11 12 19的值． 因为 1 + 1 + 1 +⋯ + 110 11 12 19即 ＜ 1 + 1 + 1 +⋯ + 1 ＝11�0�1�0��10���1�0 10个分数即 1 + 1 + 1 +⋯ + 110 11 12 1910 的值在1910个分数19 ～l ，那么它的倒数在 l ～ 10之间，显然所求的数的整数部分为 1．评注：本题中的放(扩大)缩(缩小)幅度不易确定，可多次尝试修正使得放缩的结果满足要求．5．8.01×1.24+8.02 ×1.23+8.03×1.22 的整数部分是多少?【分析与解】8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22≈3×8.0×1.2=28.8，与 29 很接近，所以我们需要 进一步的提高近似计算的精度．(8.01，1.24)，(8.02，1.23)，(8.03，1.22)这三组数的和相等，当每组内的两个数越接近它们的积越大，所以 8.01×1.24 在三组数中乘积最大，8.03×1.22 在三组数中乘积最小．所以 8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22<3×8.01×1.24<3×8.00×1.25=30； 8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22>3×8.03×1.22=29.3898．1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1≈ 2. 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 1 + 7 1 + 8 9 1 + 1+ 10 1 + 11 + 1 +1 +⋯ + 1 1 1 1 ＞ + + +⋯ + 1 ＝ 10 10 11 12 19 1�9�1�9��19 ���1 �9 19̇ ̇≈< < 显然 8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22 的整数部分是 29．6．(1)如果 A =111111110 222222221 ， B =444444443 888888887,那么 A 与 B 中较大的数是哪一个?(2)请把 656 , 52 , 2679 ,8 657 53 2680 9这 4 个数从大到小排列。
第11讲几何图形剪拼教师版内容概述与图形的剪切、拼接有关的问题，学会利用对称性和面积计算对剪拼问题进行分析；了解某些特殊的剪拼办法.典型问题兴趣篇1. 如图11-1，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的方法. （如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 观察图11-2，ABCDEF是正六边形，O是它的中心，画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF分成了两个形状、大小都相同的五边形. 能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？3. 如图11-3，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞. 现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么办？4. 请把图11-4中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形.5. 请把图11-5沿格线分成形状、大小都相同的三部分，使得每部分都恰好含有一个“○”.6. 如图11-6，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来.7. 如图11-7，左图是由五个相同大小的小正方形拼成的，右图是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的. 请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形.8. 如图11-8，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形.（1）如果要求两种小正方形一共有6个，应该怎么分？（2）如果要求两种小正方形一共有7个，应该怎么分？9. 如图11-9，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更大的正方形，要求如下：（1）如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？（2）如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？10. 图11-10是由若干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗？拓展篇1. 请在图11-11中标出分割线，把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分，（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 把图11-12沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，请在图中画出具体的分割办法.3. 将图11-13分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出4种不同的分法.4.如图11-14，从一张边长为7厘米的正方形纸片中，最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的长方形纸条？请画图说明剪裁方法.5. 将图11-15分成大小、形状都相同的四块，使得每一块中都有A、B、C、D.6. 将边长分别为3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形，请在图11-16中画出切割线和拼接线.7. 请将图11-17剪成三块，再拼成一个正方形.8. 将图11-18分割成四个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼接成一个正方形，请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼接图.9. 图11-19中长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请把这个长方形剪成两块再拼成一个正方形.10. 有一张长方形纸片，按图11-20所示剪成了三块，已知这三块纸片可拼成一个正方形，那么正方形的边长为多少？请画出具体的拼法.11.把七个长为4厘米、宽为3厘米的长方形既互不重叠又不留空隙地拼成一个大长方形，那么这个大长方形的周长最小是多少厘米？请画出具体的拼法.12. 用若干个边长为1、2、3、4的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为5的大正方形，那么最少需要纸片多少张？请画出具体的拼法.。
《仁华学校数学思维训练导引》解析（三年级） 仁华思维导引解析1讲：加法与减法
仁华思维导引解析2讲：基本应用题
仁华思维导引解析3讲：和差倍问题之一
仁华思维导引解析4讲：盈亏与比较
仁华思维导引解析5讲：数列规律
仁华思维导引解析6讲：加减法填空格
仁华思维导引解析7讲：乘除法填空格
仁华思维导引解析8讲：几何图形认知
仁华思维导引解析9讲：枚举法
仁华思维导引解析10讲：智巧趣题
仁华思维导引解析11讲：乘法与除法
仁华思维导引解析12讲：等差数列
仁华思维导引解析13讲：和差倍问题之二
仁华思维导引解析14讲：鸡兔同笼
仁华思维导引解析15讲：间隔与方阵问题
仁华思维导引解析16讲：数字问题
仁华思维导引解析17讲：算符、括号与算式
仁华思维导引解析18讲：数阵图初步
仁华思维导引解析19讲：长度与角度
仁华思维导引解析20讲：简单抽屉原则
仁华思维导引解析１讲：加法与减法
仁华思维导引解析２讲：基本应用题
仁华思维导引解析３讲：和差倍问题之一
仁华思维导引解析４讲：盈亏与比较
仁华思维导引解析５讲：数列规律
仁华思维导引解析６讲：加减法填空格
仁华思维导引解析７讲：乘除法填空格
仁华思维导引解析８讲：几何图形认知
仁华思维导引解析９讲：枚举法。
第9讲比较与估算内容概述与小数和分数相关的比较问题，涉及多个数之间的比较，以及算式之间的比较，需要进行估算的计算问题，例如求近似值或求整数部分等，估算的关键是进行恰当的放缩。
典型问题兴趣篇1.分别比较下面每组中两个数的大小：（1）0.375与719；（3）0.423与37；（3）1.347与3123。
2.有8个数，0.51、23、59、0.51、2447、1325是其中的6个，如果按从小到大的顺序排列，第4个数是0.51，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？3.在不等式25334＜＜的方框中填入一个自然数，使得不等式成立。
4.在大于17且小于311的最简真分数中，分子不超过3的共有多少个？5.111129A=+，111327B=+，111426C=+，11931D=+，11733E=+，请将A B C D E、、、、按从小到大的顺序排列起来。
6.下面的4个算式中，哪个算式的结果最大？①11201719⎛⎫+⨯⎪⎝⎭；②11302429⎛⎫+⨯⎪⎝⎭；③11403137⎛⎫+⨯⎪⎝⎭；④11504147⎛⎫+⨯⎪⎝⎭。
7.计算：0.160.1428570.1250.1+++，结果保留三位小数。
8.某次考试中，13名同学的平均分四舍五入到十位后等于85.4，且每名同学的得分都是整数。
请问：这13名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？9.求下述算式计算结果的整数部分：111111385 23571113⎛⎫+++++⨯⎪⎝⎭。
10.算式1010101012311100101102110++++的计算结果的整数部分是多少？拓展篇1.分别比较下面每组中两个数的大小：（1）0.135与319；（2）0.409与1537；（3）0.97与19492008。
2.现有7个数，其中5个是3.14，137，11637，3.15，373273，如果将这7个数按照从小到大排列，第三个数是11637。
华数思维训练导引五下华数思维训练导引——计算问题（六）估算与比较通分与裂项《思维训练导引》五年级下学期第11讲计算问题第06讲估算与比较通分与裂项1.除式12345678910111213÷31211101987654321计算结果的小数点后前三位数字是多少？解法一：A大于1234÷3122=0.3952??，A小于1235÷3121=0.3957??，0.3952小于A小于0.3957 答：计算结果的小数点后前三位数字是395。
解法二：1234÷3121≈0.3953≈0.395 答：计算结果的小数点后前三位数字是395。
2．计算下式的值，其中小数部分四舍五入，答案仅保留整数：33.333 -3.1415926÷0.618.解：33.333 -3.1415926÷0.618≈（100/3） -5=10000/9-5≈1111-5=1106 答：保留整数约等于1106。
3.在1,1/2,1/3,1/4,??。
1/99，1/100中选出若干个数使它们的和大于3，最少要选多少个数？解法一：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/101+(1/2+1/3+1/6)+(1/4+1/8)+(1/5+ 1/10)+1/8+(1/9+1/11) =1+1+(3/8+1/8)+3/10+20/99=2+4/8+3/10+20/99 >2+1/2+3/10+20/100 =3答：最少要选出11个数。
解法二：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6=1+（1/2+1/3+1/6）+1/4+1/5=2+1/4+1/5=2.453 答：最少要选出11个数。
4．数1/（1/10+1/11+1/12+??+1/19）的整数部分是几？解：1/10+1/11+1/12+??+1/1910*1/20=1/2所以1/1656/657大于52/53大于8/9. 7．24/31小于80/□0，所以（4）最小，3/8+8/20=31/40 答：（4）式最小，（4）=31/40。
第1讲：分数计算与比较大小内容概述：理解分数的概念，熟练掌握分数四则运算中的通分、约分等技巧，了解分数运算中的一些速算方法；学会比较分数大小的各种方法，包括通分母、通分子、交叉相乘、倒数比较法、间接比较法等等。
典型问题：兴趣篇1.计算：（1）220200373737++；（2）1111220200---。
2.计算：8153 1332114114⎛⎫-+-⎪⎝⎭。
3.计算：1151411 451312⎛⎫-÷⨯+÷⎪⎝⎭。
4.计算：43615416273 7575⨯-⨯+⨯+⨯。
5.计算：8888888888 9999999999 9999999999+++。
6.计算：（1）123403124⨯；（2）113155156⨯。
7.计算：567891234556789⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯。
8.将下列分数由小到大排列起来：1419，1324，1423，1519，1323。
9.比较下列分数的大小：（1）313与940；（2）79320与2079。
10.比较下列分数的大小：（1）9899与19941995；（2）1111022221与4444388887。
拓展篇：1.计算：12317 36182434320⎛⎫⎛⎫+++⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
2.计算：2121 215315353⎛⎫+⨯÷-⎪⎝⎭。
3.要使算式1512(0.7)2467--⨯=成立，方框内应填入的数是多少？4.计算：724 124182525⨯+⨯。
5.计算：111111111111 133557799111113 363636363636⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
6.计算：111111 762353235353762376⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯+-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
7.比较：200420062005⨯与200320052004⨯的大小，并计算它们的差。
求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方式，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．补充说明：关于不定方程的解法，本讲要紧利用同余的性质来求解，关于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲 余数问题].解不定方程的4个步骤：①判定是不是有解；②化简方程；③求特解；④求通解．本讲讲解顺序：③⇒包括一、二、3题⇒④⇒②⇒①包括4、5题⇒③⇒包括六、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题．复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．整数分拆问题：1一、1二、13、14、15．1．在两位数中，能被其列位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?【分析与解】 设那个两位数为ab ，那么数字和为a b +，那个数能够表达为10a b +，有()()104a b a b +÷+=即1044a b a b +=+，亦即2b a =．注意到a 和b 都是0到9的整数，且a 不能为0，因此a 只能为一、二、3或4，相应地b 的取值为二、4、六、8．综上分析，知足题目条件的两位数共有4个，它们是1二、24、36和48．2．设A 和B 都是自然数，而且知足1711333A B +=,那么A+B 等于多少?【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l ，A=2时满足，现在A+B=2+1=3．3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好能够买这两种不同的铅笔共多少支?【分析与解】设购买甲级铅笔x 支，乙级铅笔y 支．有7x +3y =50，那个不定方程的解法有多种，在那个地址咱们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方式：将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)：得x =2(mod 3)，因此x 能够取2，现在y 取12；x 还能够取2+3=5，现在y 取5； 即212x y =⎧⎨=⎩、55x y =⎧⎨=⎩,对应x y +为14、10 所以张明用5角钱恰好能够买这两种不同的铅笔共14支或10支．4．有纸币60张，其中1分、l 角、1元和10元各有假设干张．问这些纸币的总面值是不是能够恰好是100元?【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币别离有a 张、b 张、c 张和d 张，列方程如下：由()()601101001000100002a b c d a b c d +++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ (2)(1)得9999999940b c d ++=③注意到③式左侧是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元．5.将一根长为374厘米的合金铝管截成假设干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部份的管子最少是多少厘米?【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，因此截成假设干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，因此截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．因此剩余部份的管子最少是2厘米．6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，而且有寺的职工各带一个小孩参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每一个小孩种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?【分析与解】设男职工x 人，小孩y 人，那么女职工3y -x 人(注意，为何设孩子数为y 人，而不是设女职工为y 人)，那么有()131036x y x y +-+=216，化简为336x y +=216，即12x y +=72．有122436486054321x x x x x y y y y y ⎧=⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎪⎩⎩. 可是，女职工人数为3y x -必需是自然数，因此只有125x y =⎧⎨=⎩时，33y x -=知足． 那么男职工数只能为12名7．一居民要装修衡宇，买来长0.7米和O.8米的两种木条各假设干根．若是从这些木条中掏出一些接起来，能够取得许多种长度的木条，例如：+=1.4米，+=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪一种是不可能通过这些木条的适当拼接而实现的?【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条别离x ，y 根，那么x +y =，…即7x +8y =34，36，37，38，39将系数，常数对7取模，有y ≡6，l ，2，3，4(mod 7)，于是y 最小别离取6,1,2，3，4．可是当y 取6时，8×6=48超过34，x 无法取值．因此3.4米是不可能通过这些木条的适当拼接而实现的．8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽可能寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信．可是挂号信、航空信的邮费都是整数角可不能产生几分．因此，2分，10n +2分应该为平信的邮费，n 最小取3，才是8的倍数，因此平信至少要寄4封，现在剩下的邮费为122-32=90，因此再寄4封挂号信，航空信1封即可．于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．9.有三堆砝码，第一堆中每一个砝码重3克，第二堆中每一个砝码重5克，第三堆中每一个砝码重7克．此刻要掏出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18……4，因此3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7k 克重．设3克的砝码x 个，5克的砝码y 个，那么3547x y k +=+．当k =0时，有354x y +=，无自然数解；当k =1时，有3511x y +=，有x =2，y =1，现在7克的砝码取17个，因此共需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各二、一、17个．当k >1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取砝码情形．因此共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各二、一、17个．10．5种商品的价钱如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式?【分析与解】 设B 、C 、D 、E 、A 商品依次买了b 、c 、d 、e 、(10-b-c-d-e)件，那么有()2.910 4.77.210.614.9b c d e b c d e ----++++=60．184377120b c d e +++=310，显然e 只能取0，1，2． Ⅰ有184377b c d ++=310，其中d 可取0，1，2，3，4．(1)当d=0时，有1843b c +=310，将系数，常数对6取模得：c ≡4(mod 6)，于是c 最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b 不为自然数．因此d=0时。
