小学奥数仁华思维导引解析六年级

第17讲 赛况分析内容概述赛况分析是一些学校近年考试的热点，我们再给出几例，希望大家在掌握了下面的知识点以后，多多练习．常见的体育比赛模式：N 个队进行淘汰赛，至少要打N-1场比赛：每场比赛淘汰一名选手；N 个队进行循环赛，一共要打2N N N-1C 2=（）场比赛：每个队要打N-1场比赛． 循环赛中常见的积分方式：①两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分；核心关系：总积分=2×比赛场次；②三分制：胜一场得3分，平一场得1分。

负一场得0分；核心关系：总计分=3×比赛场次一1×赛平场次．典型问题2．一次围棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每队不少于2人，每个人都与其他的9人比赛，每盘胜者得2分，负者得0分，平居各得1分．结果乙队平均得分为5.2分，丙队平均分17分，试求甲队的平均分．【分析与解】 因为每队的总分均为整数，所以乙队为5人，那么乙队的总为26分．考虑丙队的情况：选手所能得到的最高分为18分，而丙队中的最高不少于17分．当最高分为18分，次高分至多为16分，第三名至多14分，……，前两名的平均分为17分． 当最高分为17分，次高分至多为17分，第三名至多14分，……，第一名/前两名的平均分为17分．因为丙队不少于2人，所以丙队2人，则丙队的总分为34分．所以甲队有10-5-2=3人，总分为210C 2263430⨯--=分，所以平均分为30÷3=10分．4．五支足球队进行单循环赛，每两队之间进行一场比赛．胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．最后发现各队得分都不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平，那么这五支球队的得分从高到低依次是多少?【分析与解】 每个队各赛4场，共赛5×4÷2：10场．第三名得7分，与第一名打平，那么剩下的3场，得6分，只能是3+3+0，即第二名的比赛输了，所以只能是1+0+／+3+3．那么，第一名为／+3+1+3+3，第二名为0+／+3+3+3，第三名为1+0+／+3+第四名为0+0+0+／+3，第五名为0+0+0+0+／．所以，这五支球队的得分从高到低依次是10、9、7、3、0．6. 有五支足球队进行循环赛，每两个队之间进行一场比赛，胜者得3分，平者各得1分，负者得0分．现在还有一些比赛没有进行，各个队目前的得分恰好是五个连续的偶数，其中甲队积2分，并且负于乙队，那么乙队现在积多少分?【分析与解】 最高分为3×4=12，而赛完后5支队伍的最高分为25C ×3=30分，因为出现2分，所以5个连续的偶数，可能是0、2、4、6、8；2、4、6、8、10．但是，2+4+6+8+10=30分，而还有些比赛没有进行，所以只能是0、2、4、6、8． 甲：1+0+1+1+～，乙：3+1+～，丙：1+～，丁：1+～，戊：～所以，只能是戊为0分．①当乙为8分时，只能是3+／+1+1+3，因为丙、丁在我们看来完全等价，当丁为6分时1+1+～+1+3，此时丙只能是4分，只能是1+1+～+1+1，而这时戊一定有得分．所以不满足．②当乙为6分时，只能是3+／+0+0+3，当丙为8分时1+3+／+1+3，此时丁只能是4分，但是只能是1+3+1+／+～，超过4分．所以不满足．③当乙为4分时，只能是3+／+l+0+～，当丁为8分时l+3+1+／+3，此时丙只能为6分，为1+1+／+l+3．满足．所以，乙的得分为4．8．五支足球队A、B、C、D、E进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场．每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．已知：(1)4队获得了冠军；(2)B队、C队和D队的得分相同，且无其它并列情况；(3)在C队参加的比赛中，平局只有一场，那场的对手是B队；(4)D队战胜了A队．请你根据上述信息，分析出每场比赛的胜、平、负情况．【分析与解】根据已知条件可以画出如下赛况图：C×2=20分．因为每场比赛2个队共得2分，所以5个队的总分为25(1)当B、C、D均得2分，而A最多得到6分，E最少得到20-2×3-6=8分，超过A，而A是冠军，所以不满足；(2)当B、C、D均得3分，此时E的得分最少为20-3×3-6=5分，所以此时只能是A得6分，B、C、D 均得3分，E得5分．于是，A的另外三场均是A胜E于是只能一场平，另外的2场为胜．由条件3知，E不可能与C平，所以只能是与B或D打平．①当E与D平，有，有如左下图的赛况表．②当E与B平，有，有如右上图的赛况表．(3)当B、C、D均得4分，因为C只能平一场得到1分，而其他情况，要么得到2分，要么不得分，所以不可能；(4)当B、C、D均得5分，那么只能是A得5分，E得0分，不满足．综上所述，有2种赛况表满足，。

THSHtWWff. fSttfiae VHMll VM3mI«S^S> t*t»<l ☆ I.b & ：cttJiati*nii tmut. e* A ・ LU AR . S9KM*/»cM»an*•■鼻《••4・ C4k» --■ . euyAVM ■细r«»<i ☆I ■・"：•汁,AS«・GH ・《 n-tAftVMII. SBIKWItta■aswwtn”人«nai«・n2个o ••■■■SA[«々*■] ☆ ☆K ■・•】・ H3WMi*eT<XJW. UBS 初•・ WRM —tt*Pi It^tfwnMUt WnW- ■i ・MH ■汪 RH 吟費・"f FRi »ix ・i -ttArtfl. natTm. ■«£2r 正乃DST ・ AfleRii^tum. ■!我 £W»«4>O. IMdCWri. ・*・f ■ lllMl -iltftCTJB. 妞方*上敬十 14KI •兰叙•*, 卄代I It«*«»<• •£徘MM 巧2下■，QHt 柑E*••丽4*4x ・》«««/■■«，■ tfl»«£rftwr. MW ・r ・・4 ・2»eMR ・fiT ・.■«" £杠z 心IW 卜HI孔Kom ☆4.tfWMinffiAAO ®^0 ® △ FMM 小 N 4 4 ZHIRIH 心9l«»«l ☆ ☆弘・U・■ ■自■- S-ffiCfA-MIft ■»$><*- rt««e-^atw金一<MM*卜匸力dtmr- nelwr* ••VMIS* ■ ■ t* 2^ ETamAteft ft 2• 3■•n・i ifiUKKM. wm lyb ・・0^14- ■冲、■m&9S7・・ > B. X. HU只**«Mil «*<u a・ fi. 5?*we> mu^uxe^iiUK^*nu± >e*n*T^BUe<-S・・・GZA・B・t・a处*4輸1. 1 4. s. Mtft- WfltftIH-wHtnSl・Bs4 «*evhii«Bx?»»-w»««. fta»«n*ft±BmtCMVTkIX MM AfSii*tr< iaB4R2R< 十：.：WttAR, snium—i jtM—■丰*从A««*. «i>Tii- • A •只lUM%■•}«• H CS«PiSw->-4. ・gr—i7y Mmftan-..■•»，niM rawaaVKL "MlWKlvrim*、t«*<l ☆7- ab7nM4w«. *~f^*2muNnHr ■丄atc*M«*n.9i»«^vi nrcio. • d ®weuM-+iw». MTHj.4<tttMjivnt-ul4A*at ☆☆L EtiMx# "rXirSitayh 呎最■・机》・4 «IUT*«i£Q><l4^U«IHxtt-1xUtll -»a- <H1■T^HNEnV "VIlW2/V-«tHBWKUm *<¥74WIUT»4a ms 找射丄■衣粉WSm： .qiHHlkS依■*■(«-t«a£B -WMhM4^=iDWV4*Kn -Wir-WT® g：mr・>aix・c—丄岑•七・■«i^Mt*fM(MU74^l«9irr«SH 3te—”*fJMU?•卜•BHTVtfZ祢卑yRFUV+卯•fW>9*^：4ilA*・^BK+-V苹Tit■01 eiI””lH.glMKMW «M«a«n«■・ W < '佢lea丄•审*W4<ltf ・・fel44«*<H -MU -*«44avW：fW(T«tH«ai ■■ WWeVZH '•«•(!>■甘■■vilfi IK««IZQ A OI < I ♦ Is5*aW«M«W ■y. 'FW I W积WC fc.XF 击"Ffl. •♦|4A,・1 ☆☆n. «Et^«iB3tmimiE：m. XMtMta <.«.*. ii. M m£fr£r»«M«»«9b«卜DM.r1*1nafrbDr»・《■”卜EM7WW>"gpf，aRWl ■■“■wi”• I aiw.mfr-fl "P卄卄,■« + 3号nMUWBranMX ”"OmMOtMT^d亠亠〜2.・5・1儿》4・“+4・^・II. e»-»tM・nn・TT >>iuw0f ffioat-tiQwwuMti 2上匕kK・■WaAIMK・i ・W・ >i.AI(•■•■I fliTB. m«M4a金N*er ■益««•上annH'EWiWttincch i»mx0«M-上MiFbe «««*■• M■上■■C«*+S枷h(M-& ftV ■••MhMUetr卜ZA*九«*-o-(*<*<1 ☆☆☆M. 一•4**A 篌蓦vM—««I••匕■} snvm n>»・RffiR♦•丄fnaa lUVCliHac育W・-c-A-r-r*9-*-r- 4«K*7・, l*4*al ☆☆☆Ik «■< IB - £RMA>c・a❷.KC<0© BPtfACZHfcCe. - %iafi/dC'i«e.知liWw—Mimi■祈t ■ueas苔9t・»v，BZAMK as斤MMTWMM，HwmusffSMM，Ktwtl■上■ mwnww-fi dJM.AleiAwv] «ii«mu-ABi»eti*%u- KWUIHWK■二IIC>4U・ HBdMtUI FU・OKQBnW. MKItfOMIft. «X<A. mrinjvnixnfiinw. a 瓠■Pt・vr 抄恠■■mH. M—t«K.ft-f <4, z赛it・iaMflMc・rTgaDauBMu»r・ym”《> ea«.。

仁华学校数学思维训练导引》解析（六年级）仁华思维导引解析１讲：计算综合仁华思维导引解析２讲：比例与百分数仁华思维导引解析３讲：工程问题仁华思维导引解析４讲：不定方程与整数分拆仁华思维导引解析５讲：数论综合之一仁华思维导引解析６讲：立体图形仁华思维导引解析７讲：几何综合之一仁华思维导引解析８讲：数字谜综合之三仁华思维导引解析９讲：计数综合之二仁华思维导引解析１０讲：逻辑推理之二仁华思维导引解析１１讲：方程与方程组仁华思维导引解析１２讲：行程与工程仁华思维导引解析１３讲：应用题综合之二仁华思维导引解析１４讲：数论综合之二仁华思维导引解析１５讲：数论综合之三仁华思维导引解析１６讲：几何综合之二仁华思维导引解析１７讲：计数综合之三仁华思维导引解析１８讲：最值问题仁华思维导引解析１９讲：构造与论证之二仁华思维导引解析２０讲：构造与论证之三仁华思维导引解析１讲：计算综合仁华思维导引解析２讲：比例与百分数仁华思维导引解析３讲：工程问题仁华思维导引解析４讲：不定方程与整数分拆仁华思维导引解析５讲：数论综合之一仁华思维导引解析６讲：立体图形仁华思维导引解析７讲：几何综合之一［分新与解I以下用E tS惡示E部舒播向的扶度・E菱表示EsE分竖向的长胆其曲下嫌富义粪饥耳f⅛%=E A tS B fl(T2.i^⅛+⅛=D fi+⅛,翩育吋D fll A m B fli="412∙HT1 A∣j+B橈+C1懂=E懂+州|对应为5+1 ~6＜那么C.对应⅛⅛3.而积CE积=1:2X 所以 A fi=B fi-C fi-^+c S対应肉岔所以桂=C整对应为3・那么快;⅛形的竖边渝^C S对应知，∙K方形笹也拘Eβ+!5*D fll对应天只6+4F5. 所以檢右形的妖导宽陆比丸5 9=5 3.第54页共179页仁华思维导引解析８讲：数字谜综合之三。

第二讲 几何之五大模型及其应用1． 回顾几何图形中的倍比关系； 2． 精讲五大模型及其应用。

【例1】 ★★★（思维训练导引）如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米，以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米。

求平行四边形ABCD 的面积。

解：BC ×14=CD ×16，BC ：CD=16：14， BC+CD=752，BC=752×161614=20 ABCD 面积=14×20=280（平方厘米）【例2】 ★★★（小学数学奥林匹克）如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为（ ）ABCDEF平面几何也是小升初考试的必考内容，而且常常以大题形式出现（分值一般在10分～16分），名牌中学的选拔考试面积题目，有逐步增加难度的趋势，这一部分的分值又较高，希望同学们重视并好好总结归纳，本讲重点研讨几何问题中直线型面积问题，尤其强调奥数几何题中的五大模型及应用。

教学目标专题回顾【解】如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b 所以 x=23+32+12x=67.【点评】本题渗透等量代换思想，方程中有相抵成份，不必害怕未知数太多。

【例3】 三个正方形ABCD ，BEFG ，HKPF 如图所示放置在一起，图中正方形BEFG 的周长等于14厘米。

求图中阴影部分的面积。

【解】如图，连接KF ，EG ，BD 。

设KG ，EF 相交于O ，DE ，BG 相交于V ，由KF ∥EG ∥BD ， S △KEG =S △FGE ，S △DEG =S △BGE 。

设阴影阴影的面积为S,则S= S △KGE + S △DEG = S △FGE + S △BGE = S BEFG正方形BEFG 的周长为14厘米，边长为3.5厘米。

所以S BEFG =3.52=12.25(平方厘米)【点评】等积变形方法的最常见形式是在一组平行线内，两个三角形同底等高的情况。

第28讲数论综合3内容概述具有相当难度，需要灵活运用各种整数知识，或与其他方面内容相综合的数论同题．典型问题2.有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除．那么这样的3个自然数的和的最小值是多少?【分析与解】设这三个自然数为A，B，C，且A=a×b，B=b×c,C=c×a，当a、b、c均是质数时显然满足题意，为了使A，B，C的和最小，则质数a、b、c应尽可能的取较小值，显然当a、b、c为2、3、5时最小，有A=2×3=6, B=3×5=15，C=5×2=10．于是，满足这样的3个自然数的和的最小值是6+15+10=31．4.对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30．那么在1，2，…，16这16个整数中，有“好数”多少对?【分析与解】设这两个数为a、b，且a<b，有a b=k×(a+b)，即111a b k +=.当k=2时，有1112a b+=，即(a-2)×(b-2)=22=4，有34,64a ab b==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，但是要求a≠b．所以只有36ab=⎧⎨=⎩满足；当k=3时，有1113a b+=，即(a-3)×(b-3)=32=9，有46,126a ab b==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，但是要求a≠b．所以只有412ab=⎧⎨=⎩满足；……逐个验证k的值，“好数”对有3与6，4与12，6与12，10与15．所以“好数”对有4个.6．甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数N，然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的一个填入图28-1的某个方格中，每一方格只能填一个数字，但各方格所填的数字可以重复．当6个方格都填有数字后，就形成一个六位数．如果这个六位数能被N整除，那么乙获胜；如果这个六位数不能被N整除，那么甲获胜．设N小于15，问当N取哪几个数时．乙能取胜?【分析与解】当N取2，4，6，8，10，12，14这7个偶数时，当甲将某个奇数放到最右边的方格中，则这个六位数一定是奇数，奇数显然不能被偶数整除，所以此时乙无法取胜；而当N取5时，当甲在最右边的方格内填人一个非0非5的数字时，则这个六位数一定不能被5整除，所以此时乙无法获胜：此时还剩下1，3，7，9，11，13这6个数，显然当N取l时，乙一定获胜；当N取3或9时，只要数字对应是3或9的倍数时，这个六位数就能被对应的3或9整除，显然乙可以做到；当N取7，1l或13时，只要前三位数字和与后三位数字和的差对应是7，11，13的倍数时，这个六位数就对应是7，11，13的倍数，乙可以做到．于是，当N取1，3，7，9，11，13时，乙适当的操作能保证自己一定获胜．8.已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300．那么满足上述条件的自然数a，b，c共有多少组?【分析与解】300=12×25，是a、b的倍数，而12是a、b的最大公约数，所以a、b有5种可能，即a12 12×5 12×25 12 12b 12 12 12 12×5 12×25由于a、b中总有一个为12，则c=2x×3y×5z，其中x可以取0、1、2中的任意一个，y可以取0、1中的任意一个，这样满足条件的自然数a、b、c共有5×3×2=30组．10．圆周上放有N枚棋子，如图28-2所示，B点的那枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A．当将要第10次越过A处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子?【分析与解】设圆周上余a枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿了2a枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子．．依次类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有32a枚棋子，…，在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有39a枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之间，小洪拿走了2(39a-1)+枚棋子，所以N=2(39a-1)+1+39a=310a-1．N=310a-1=59049a-l是14的倍数，N是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；又N=(7×8435+4) a-1=7×8435a+4a-1，所以4a-1必须是7的倍数．当a=21，25，27，29时，4a-1不是7的倍数，当a=23时，4a-1=91=7×13,是7的倍数．所以．圆周上还有23枚棋子．12．是否存在一个六位数A，使得A，2A，3A，…，500000A中任意一个数的末尾6个数码不全相同?【分析与解】显然A的个位数字不能为偶数，不然500,000A的后6位为000,000；而A的个位数字也不能为5，不然200，000A的后6位为000，000．于是A的个位数字只能为1，3，7，9．=，使得t×A≡111,111(mod 对于任何一个六位数A(个位数字为1，3，7，9)，均存在六位数t abcdef1,000,000).=>500,000,使得t×A≡111,111 (mod 1,000,000),那么那个A即为题中所求的如果存在t abcdef值.(说明见评注)当t=999,999,有A=888,889时,t A=888,888,111,111,显然满足上面的条件.所以888,889即为所求的A.= >500，000，使得t×A≡111，111(mod 1，000，000)，那么那个A即评注：如果存在t abcdef为题中所求的值．这是因为如果对于上面的A，还存在一个六位数B，使得B×A=111，111(mod 1,000，000)，那么有(t×A-B ×A)=0(mod 1，000，000)，即(t-B)×A≡0(mod 1，000，000)．因为A不含有质因数2、5，所以(t-B)为1，000，000的倍数，t-B≥1，000，000，那么t>1，000，000，与t为六位数矛盾．也就是说不存在小于等于500，000的t，使得t A的后六位为111，111，那么也不可能使得t A的后6位相同．14.已知m，n，k为自然数，m ≥ n ≥k，n2m+2n-2k是100的倍数,求m + n - k后的最小值．【分析与解】方法一：首先注意到100=22×52．如果n=k，那么2m是100的倍数，因而是5的倍数，这是不可能的．所以n-k≥1.m n k k m-k n-k2+2-2=2(2+2+1)被22整除,所以k≥2.设a=m-k，b=n-k，则a≥b，且都是整数．2a+2b-1被52整除，要求a+b+k=m+n-k的最小值．不难看出210+21-1=1025，能被25整除，所以a+b+k的最小值小于10+l+2=13．而且在a=10，b=1，k=2时，上式等号成立．还需证明在a+b≤10时，2a+2b-l不可能被25整除．有下表a≤3时，2a+2b-1<8+8=16不能被52整除．其他表中情况，不难逐一检验，均不满足a b2+2-1被25整除的要求．因此a+b-k即m+n-k的最小值是13．(2+2-2)．方法二：注意到有100=2×2×5×5，4∣m n km n k k m-k n-k m-k n-k因为所以k最小为2．2+2-2=2(2+2-1)2+2-l,(2+2-1)，令m-k=x, n-k=y还有25∣m-k n-k2+2≡l(mod 25)则有x y因为5去除2，22，23，24，25余数分别为2，4，3，1，2；余数是4个一周期.于是，x=4p+2，y=4q+1；或者是x=4P+3，y=4Q+3．(1)x=4p+2，y=4q+1时2+2-2=24+23-22=20不是100的倍数；当x=2，y=1，于是m n k2+2-2=28+23-22=260不是100的倍数；当x=6，y=l，于是m n k2+2-2=212+23-22=4100是 l00的倍数；当x=10，y=l，于是m n k(2)x=4P+3，y=4Q+32+2-2=25+25-22=60不是l00的倍数；当x=3，y=3，于是m n k2+2-2=29+25-22=540不是l00的倍数：当x=7，y=3，于是m n k其余的将超过(1)种情况，所以，最小为m+n-k=12+3-2=13．。

求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方式，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．补充说明：关于不定方程的解法，本讲要紧利用同余的性质来求解，关于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲 余数问题].解不定方程的4个步骤：①判定是不是有解；②化简方程；③求特解；④求通解．本讲讲解顺序：③⇒包括一、二、3题⇒④⇒②⇒①包括4、5题⇒③⇒包括六、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题．复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．整数分拆问题：1一、1二、13、14、15．1．在两位数中，能被其列位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?【分析与解】 设那个两位数为ab ，那么数字和为a b +，那个数能够表达为10a b +，有()()104a b a b +÷+=即1044a b a b +=+，亦即2b a =．注意到a 和b 都是0到9的整数，且a 不能为0，因此a 只能为一、二、3或4，相应地b 的取值为二、4、六、8．综上分析，知足题目条件的两位数共有4个，它们是1二、24、36和48．2．设A 和B 都是自然数，而且知足1711333A B +=,那么A+B 等于多少?【分析与解】 将等式两边通分，有3A+llB=17,显然有B=l ，A=2时满足，现在A+B=2+1=3．3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好能够买这两种不同的铅笔共多少支?【分析与解】设购买甲级铅笔x 支，乙级铅笔y 支．有7x +3y =50，那个不定方程的解法有多种，在那个地址咱们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方式：将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)：得x =2(mod 3)，因此x 能够取2，现在y 取12；x 还能够取2+3=5，现在y 取5； 即212x y =⎧⎨=⎩、55x y =⎧⎨=⎩,对应x y +为14、10 所以张明用5角钱恰好能够买这两种不同的铅笔共14支或10支．4．有纸币60张，其中1分、l 角、1元和10元各有假设干张．问这些纸币的总面值是不是能够恰好是100元?【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币别离有a 张、b 张、c 张和d 张，列方程如下：由()()601101001000100002a b c d a b c d +++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ (2)(1)得9999999940b c d ++=③注意到③式左侧是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元．5.将一根长为374厘米的合金铝管截成假设干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部份的管子最少是多少厘米?【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，因此截成假设干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，因此截完以后必有剩余．剩余管料长不小于2厘米．另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31．即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米．因此剩余部份的管子最少是2厘米．6．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，而且有寺的职工各带一个小孩参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每一个小孩种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?【分析与解】设男职工x 人，小孩y 人，那么女职工3y -x 人(注意，为何设孩子数为y 人，而不是设女职工为y 人)，那么有()131036x y x y +-+=216，化简为336x y +=216，即12x y +=72．有122436486054321x x x x x y y y y y ⎧=⎧====⎧⎧⎧⎪⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎪⎩⎩. 可是，女职工人数为3y x -必需是自然数，因此只有125x y =⎧⎨=⎩时，33y x -=知足． 那么男职工数只能为12名7．一居民要装修衡宇，买来长0.7米和O.8米的两种木条各假设干根．若是从这些木条中掏出一些接起来，能够取得许多种长度的木条，例如：+=1.4米，+=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪一种是不可能通过这些木条的适当拼接而实现的?【分析与解】设0.7米，0.8米两种木条别离x ，y 根，那么x +y =，…即7x +8y =34，36，37，38，39将系数，常数对7取模，有y ≡6，l ，2，3，4(mod 7)，于是y 最小别离取6,1,2，3，4．可是当y 取6时，8×6=48超过34，x 无法取值．因此3.4米是不可能通过这些木条的适当拼接而实现的．8.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?【分析与解】显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽可能寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信．可是挂号信、航空信的邮费都是整数角可不能产生几分．因此，2分，10n +2分应该为平信的邮费，n 最小取3，才是8的倍数，因此平信至少要寄4封，现在剩下的邮费为122-32=90，因此再寄4封挂号信，航空信1封即可．于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封．9.有三堆砝码，第一堆中每一个砝码重3克，第二堆中每一个砝码重5克，第三堆中每一个砝码重7克．此刻要掏出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?【分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码．130÷7：18……4，因此3克、5克的砝码应组合为4克，或4+7k 克重．设3克的砝码x 个，5克的砝码y 个，那么3547x y k +=+．当k =0时，有354x y +=，无自然数解；当k =1时，有3511x y +=，有x =2，y =1，现在7克的砝码取17个，因此共需2+1+17=21个砝码，有3克、5克和7克的砝码各二、一、17个．当k >1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取砝码情形．因此共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各二、一、17个．10．5种商品的价钱如表8—1，其中的单位是元．现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式?【分析与解】 设B 、C 、D 、E 、A 商品依次买了b 、c 、d 、e 、(10-b-c-d-e)件，那么有()2.910 4.77.210.614.9b c d e b c d e ----++++=60．184377120b c d e +++=310，显然e 只能取0，1，2． Ⅰ有184377b c d ++=310，其中d 可取0，1，2，3，4．(1)当d=0时，有1843b c +=310，将系数，常数对6取模得：c ≡4(mod 6)，于是c 最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b 不为自然数．因此d=0时。

小学奥数书推荐(2011-04-11 15:23:24)转载▼分类：教育标签：教育/s/articlelist_1918334024_0_1.html西工大李老师小升初超常教育实验班：最强、最牛、最给力的小学奥数经典教材介绍1. 《仁华学校奥林匹克数学课本》(俗称“课本”，一共六册，从一年级到六年级)这套书写的非常详细，把小学奥数基本内容都涵盖了，而且内容不太复杂，非常适合让孩子自学！。

如果孩子不太自觉，那可以报一个班儿，让老师来教，监督孩子扎实地掌握里面的内容。

里头每一讲都既有例题又有练习，而且练习不光有答案，还有解答。

大家可以学完例题，然后做练习。

注意，练习一定要做，而且要一道不落！因为光看是绝对学不会数学的！三年级孩子比较适合从这套书入手开始奥数的学习。

需要注意的是这套书一二年级两本书编排的相对差一些，比如二年级很多计算学校课堂还没有学，但是题目中却经常出现（这对孩子理解会造成非常大的障碍）；二年级仁华课本中经常有枚举类问题（比如整数拆分问题等等），这类问题逻辑严谨性很高，对二年级学生来讲比较难，但是课本中很前面就出现了。

所以我们建议如果低年级学生学习该课本时，应该在相应章节讲之前补充适当的基础知识，一些较难的章节应适当放在后面学习。

另外，这套书成书较早，很多内容相对简单。

作为基础教材，必须有一个超前使用的意识。

比如三年级的孩子，不要仅仅局限于学习三年级的课本，很多四年级课本的知识也可以给孩子学，比如整数的简便运算，四年级课本里就有，但三年级的孩子完全可以学。

一般到了五年级，在接触了分数的四则运算之后，学习六年级课本里的绝大多数内容是没有问题的了，所以五年级的孩子就应该当六年级的孩子来看待了。

不过话说回来，超前学是一方面，无论如何学踏实是一定要有的，绝对不能盲目追求速度，学得囫囵吞枣。

2. 《仁华学校数学思维训练导引》（俗称“导引”，一共两册，三、四年级一册，五、六年级一册）这套书是其实就是习题集，而且是难题集。

第30讲 几何综合2内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题．典型问题2．如图30-2，已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?【分析与解】 方法一：因为CEFG 的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形CEFG 的边长为x ，有：=1010=100,ABCD S ⨯正方形2=x ,S 正方形CEFG 21110x-x =DG GF=(10-x)x=,222DGF S ∆⨯ 又1=1010=50,2ABD S ∆⨯⨯2110x+x =(10+x)x=.22BEF S ∆ 阴影部分的面积为:DGF ABD BEF ABCD CEFG S S S S S ∆∆∆++--正方形正方形2221010100505022x x x x x -+=++--=(平方厘米). 方法二：连接FC ，有FC 平行与DB ，则四边形BCFD 为梯形．有△DFB 、△DBC 共底DB ，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBC 的面积11010502⨯⨯=(平方厘米)． 阴影部分△DFB 的面积为50平方厘米．4.如图30-4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I 等于多少度?【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有∠I=1800 -(∠1+∠2),而∠1=1800-∠3, ∠2=1800-∠4,有∠I=∠3+∠4-1800同理, ∠H=∠4+∠5-1800, ∠G=∠5+∠6-1800, ∠F=∠6+∠7-1800, ∠E=∠7+∠8-1800, ∠D=∠8+∠9-1800, ∠C=∠9+∠10-1800, ∠B=∠10+∠11-1800, ∠A=∠11+∠3-1800则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×(∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11)-9×1800而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为(9-2)×1800=12600．所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×12600-9×1800=90006．长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形．考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形．例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示．请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1<a2<a3<a4<a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a1,a2,a3,a4,a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一．【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出．第一类情况：以为特征的有7组：第二类情况：以为特征的有6组：第三类情况有如下三组：共有16组解，它们是：(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，2．5，5，14.5)．(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)．(1，2，5，5.5，6)，(1，2，5，6，11)，(1，2，2.5，4.5，7)，(1，2，2.5，4.5，14)，(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12). 1020251,,2,,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,2,2.4,4.8,5), 131025147813101,,,,,1,,,,636333313⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.8.如图30-8，ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E ，F 分别为边AB,BC 的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，连接EC ，并在某些点处标上字母，因为AE 平行于DC ，所以四边形AECD 为梯形，有AE:DC=1:2，所以:1:4AEG DCG S S ∆∆=,AGD ECG AEG DCG S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯,且有AGD ECG S S ∆∆=,所以:1:2AEG ADG S S ∆∆=,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG ：GD=1:2，同理FH ：HD=1:2．有AED AEG AGD S S S ∆∆∆=+,而111822AED ABCD S S ∆=⨯⨯=(平方厘米)有EG:GD=:AEG AGB S S ∆∆,所以1612AEG AED S S ∆∆=⨯=+(平方厘米) 21212AGD AED S S ∆∆=⨯=+(平方厘米) 同理可得6HFC S ∆=(平方厘米), 12DCH S ∆=(平方厘米) ,44624DCG AEG S S ∆∆==⨯= (平方厘米)又GHD DCG DCH S S S ∆∆∆=-=24-12=12(平方厘米)所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48(平方厘米)．10．图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG ．设△AEG 的面积为x ，显然△EBG 、△BFG 、△FCG 的面积均为x ，则△ABF 的面积为3x ，120101002ABF S ∆=⨯⨯=即1003x =，那么正方形内空白部分的面积为40043x =. 所以原题中阴影部分面积为400800202033⨯-= (平方厘米)．12．如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．【分析与解】 如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把左下图中的每一部分阴影称为A ，右下图中的每一部分阴影称为B ． 大半圆的面积为13332A B ++小圆的面积219322ππ=⨯⨯=.而小圆的面积为π，则9133223A B πππ⎛⎫+=-÷= ⎪⎝⎭， 原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A 、B 的面积和，即为5236πππ+=14.如图30-14，将长方形ABCD 绕顶点C 顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD 边扫过部分的面积．(π取3.14)【分析与解】 如下图所示，如下图所示，端点A 扫过的轨迹为AA A '''，端点D 扫过轨迹为DD D '''，而AD 之间的点，扫过的轨迹在以A 、D 轨迹，AD ，A D ''所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD 上某点扫过，所以AD 边扫过的图形为阴影部分．显然有阴影部分面积为A D C ACA ACD S S S S ''''∆∆+--直角扇形直角扇形CD D ,而直角三角形A D C ''、ACD 面积相等．所以=A D C ACA ACD ACA S S S S S S ''''''∆∆+---直角扇形直角扇形CD D 扇形扇形CD D 222290909=(54)7.065()36036044AC CD ππππ-=-==平方厘米即AD 边扫过部分的面积为7．065平方厘米．。

几何图形的设计与构造．涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题．1．今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】如下图所示，我们给出四种不同的排法．2．已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母，因为∠BAF=120°，而么∠IAF=180°-∠BAF=60°．又∠EFA=120°，而∠IFA=180°-∠EFA：60°，则△IAF为等边三角形．同理△BCG、△EHD、△IGH均为等边三角形．在△IAF中，有IA=IF=AF=9(厘米)，在△BGC中，有BG=GC=BC=1(厘米)，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19(厘米)．则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米)，在△EDH中，DH=EH=5(厘米)，所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(厘米)．于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米)．3．图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程．于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长．所以，最少的量出下列6段即可．4．将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2：3．已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少?【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此(1+2x)：(1+x)=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1．5．如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，在正六边形ABCDEF 中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为16÷12×(12+6)=24(平方厘米)．而通过下图，我们知道，正六边形ABCDEF 可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24÷6×12=48(平方厘米)．6．如图12-6所示，在三角形ABC 中，DC=3BD ，DE=EA ．若三角形ABC 的面积是1．则阴影部分的面积是多少?【分析与解】 △ABC 、△ADC 同高，所以底的比等于面积比，那么有33.44ADC ABC ABC DC S S S BC ∆∆∆=⨯=⨯=而E 为AD 中点，所以13.28DEC ADC S S ∆∆== 连接FD ，△DFE 、△FAE 面积相等，设,FEA S x ∆=则．FDE S ∆的面积也为x ，11.44ABD ABC S S ∆∆==12,4BDF ABD FEA FDE S S S S x ∆∆∆∆=--=-而3.8FDC FDE DEC S S S x ∆∆∆=+=+ 13:(2);()1:348BDF FDC S S x x ∆∆=-+=，解得356x =.所以，阴影部分面积为333.8567DEC FEA S S ∆∆+=+=7．如图12-7，P 是三角形ABC 内一点，DE 平行于AB ，FG 平行于BC ，HI 平行于CA ，四边形AIPD 的面积是12，四边形PGCH 的面积是15，四边形BEPF 的面积是20．那么三角形ABC 的面积是多少?【分析与解】 有平行四边形AIPD 与平行四边形PGCH 的面积比为IP 与PH 的比，即为12：15=4：5． 同理有FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5．如图12-7(a)，连接PC 、HD ，有△PHC 的面积为152△DPH 与△PHC 同底PH ，同高，所以面积相等，即152DPH S ∆=，而△DPH 与△EP H 的高相等，所以底的比即为面积的比，有::3:5DPH EPH S S DP PE ∆∆==，所以551525.3322EPH DPH S S ∆∆=⨯=⨯⨯如图12-7(b)所示，连接FH 、BP ，4108;5IFP EPH FBP IP IP S S S PH PH ∆∆∆===⨯=如图12-7(c)所示，连接FD、AP，396.42 DPG DFP APDPG PGS S SFP FP∆∆∆===⨯=有925122015872.22 ABC AIPD BEPF CGPH IFP DGP EHPS S S S S S S∆∆∆∆=+++++=+++++=8．如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的512，②号正方形的边长是长方形宽的18．那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】有①号正方形的边长为长方形长的512，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的712.而②号正方形的边长为宽的18，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的78.所以在长方形中有：712长=78宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12k，宽为8k，则①号正方形的边长为5k，又是整数，所以k为整数，有长方形的面积为962k,不大于100．所以k只能为1，即长方形的长为12，宽为8．于是，图中①号正方形的边长为5，②号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为：22212851721.⨯---=9．如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5．那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】以下用E横表示E部分横向的长度，E坚竖表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似．有E横：D横=5：4，A横：B横=l：2．而E横+A横=D横+B横，所以有E横：D横：A横：B横=5：4：1：2．而A横+B横+C横=E横+A横对应为5+1=6，那么C横对应为3．而A面积：B面积：C面积=1：2：3，所以A坚=B坚=C坚．有A坚+C坚竖对应为6，所以A坚=C坚对应为3．那么长方形的竖边为6+C坚对应为9，长方形横边为E横+6+D横对应为5+6+4=15．所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3．10．如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变．并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积．所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是．黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12．有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2．11．如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，C，D，E，F，其中AB=EF=130厘米．现在从4处沿45°方向打出一球，碰到桌边后又沿45°方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45°方向弹出，如此继续下去．假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中?【分析与解】将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为(0，150)，球经过的路线为：(0,150)→(150,0) →(260,110) →(220，150) →(70，0) →(0，70) →(80，150) →(230,0) →(260，30) →(140，150) →(0，10) →(10，0) →(160，150) →(260，50) →(210,0) →(60，150) →(0，90) →(90，0) →(240，150) →(260，130) →(130，0)．因此，该球最后落入E袋．12．长方形ABCD是一个弹子盘，四角有洞．弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止．如图12-12．当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞．问：若AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击BC边多少次?【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击BC边的点，每次由C向B移动2．因为第一次撞击BC边的点距C点1，第一次撞击AB边的点距A点为2，1994÷2=997．所以最后落人D洞，在此之前撞击BC边997次．13．10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状．过图中所示两个圆心A ，B 作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【分析与解】直线AB 的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆．那么直线AB 的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．14．在图12-14中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(π取3.14)【分析与解】有AO=OB ，所以△A OB 为等腰三角形，AO=OC ，所以△A OC 为等腰三角形.∠ABO=∠1=15°，∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°. ∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°. 所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°，所以扇形BOC 的面积为260942.39360π⨯⨯≈(平方厘米)．15．图12-15是由正方形和半圆形组成的图形．其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点．已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(π取3.14)【分析与解】 过P 做AD 平行线，交AB 于O 点，P 为半圆周的中点，所以0为AB 中点．有2ABCD DPC 101S 1010100S 12.522ππ=⨯==⨯⨯=半圆，（）. AOP OPQB 101101S 510+37.5S 105550.2222∆⎡⎤⎛⎫=⨯⨯==++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦梯形（）， 阴影部分面积为ABCD AOP DPC OPQB S S S S 10012.537.55012.512.551.75.ππ∆+-=+--=+≈半圆梯形-。

第1讲 分数数列计算内容概述建立抵消的思想，特别是灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．典型问题兴趣篇1．计算：⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1091981871761651541431321211 2．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯99972752532312 3．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯100981861641421 4．计算：.90172156142130120112161+++++++ 5．计算：⋅+++++97001130170128141 6．计算：⋅⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+1091099898878776766565 7．计算：⋅+-+-+-+-901972175615421330112091276523 8．计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10099982543243223212 9．计算：⋅++++++240239210209201912116521 10．计算：⋅+⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯-)911()911()311()311()211()211( 拓展篇1．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯200820071651541431321211 2．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯101983141131183853523 3．计算：⋅⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯1311241192097167512538314 4．计算：;90117721155611342111301920171215613211)1(++++++++ ⋅⨯-⨯-⨯+⨯++⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯42408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2( 5．计算：6．计算：⋅++++++4208393807592039122361123 7.计算： ⋅⨯⨯++⋅⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯1009799981079874654132 8.计算： ⋅+++++++++++++++206421864216421421219.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯5049481543143213211 10.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯109811543643253214 11.计算：⋅-⨯⨯⋅-⨯-)9911()311()211(222 12.计算：⋅⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+)2009200711()5311()4211()3111( 超越篇1.计算：⋅⨯++⨯+++⨯++⨯+20192019191819183232212122222222 2.计算：.1201201181181414121222222222⋅-++-+++-++-+ 3.已知算式)19189()17168()542()321(+⨯+⨯⨯+⨯+ 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？ 4.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯20191837543743253213 5.计算：!10099!43!32!21++++ （最后结果可以用阶乘表示） 6.已知22226411019181,81++++== B A ，请比较A 和B 的大小。

目录第1讲 分数数列计算 (1)第2讲比例解应用题 (3)第3讲方程解应用题 (6)第4讲浓度问题与经济问题 (10)第5讲立体几何 (12)第6讲逻辑推理二 (16)第7讲几何综合一 (20)第8讲数论综合一 (24)第9讲计算综合二 (27)第十讲 行程问题六 (31)第11讲不定方程 (34)第12讲进位制与取整符号 (37)第13讲应用题综合一 (39)第14讲计数综合三 (44)第15讲几何综合二 (46)第16讲最值问题二 (50)第17讲应用题综合二 (53)第18讲数论综合二 (57)第19讲数字谜综合二 (59)第20讲计数综合四 (63)第21讲构造论证二 (66)第22讲数论综合三 (70)第23讲概率初步 (72)第1讲 分数数列计算内容概述建立抵消的思想，特别是灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．典型问题兴趣篇1．计算：⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1091981871761651541431321211 2．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯999727525323123．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯100981861641421 4．计算：.90172156142130120112161+++++++ 5．计算：⋅+++++97001130170128141 6．计算：⋅⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+1091099898878776766565 7．计算：⋅+-+-+-+-901972175615421330112091276523 8．计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10099982543243223212 9．计算：⋅++++++240239210209201912116521 10．计算：⋅+⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯-)911()911()311()311()211()211(拓展篇1．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯200820071651541431321211 2．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯101983141131183853523 3．计算：⋅⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯1311241192097167512538314 4．计算：;90117721155611342111301920171215613211)1(++++++++ ⋅⨯-⨯-⨯+⨯++⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯42408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2( 5．计算：)10921()921(10)4321()321(4)321()21(3)21(121++++⨯++++++++⨯+++++⨯+++⨯+ 6．计算：⋅++++++4208393807592039122361123 7.计算： ⋅⨯⨯++⋅⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10097999810798746541328.计算：⋅+++++++++++++++206421864216421421219.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯504948154314321321110.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯109811543643253214。