小学奥数仁华思维导引解析五年级

2.定义新运算2023.10.29 教学目标：1.会理解特定的运算规则，会通过表达式寻找到运算规则。

2.培养学生自主思考，解题的能力。

感受到数学思维的逻辑性，唯美性。

教学重点：会通过表达式寻找到运算规则。

教学难点：特殊情况的表达式的理解。

教学准备：课件教学过程：一、导入1.揭示课题。

（1）加、减、乘、除这四种运算的意义和运算法则我们都很熟悉。

除了这四种运算之外，我们还可以人为的规定一些其他运算，并给出特定的运算规则。

这样的运算形式我们一般称之为定义新运算。

（2）定义新运算通常运用某种特殊符号来表示一种运算。

其运算规则中运用的计算方法与我们所学的四则运算方法相同。

解题的关键是通过表达式寻找到运算规则。

2.运算律。

新定义的运算中如果有括号，要先算括号里面的，但它在没有转化前是不适合用各种运算定律的。

二、新授1.例1如果2※3=2+3+4=9,5※4=5+6+7+8=26。

求：（1）9※5的值是多少？（2）解方程x※3=15。

（1）信号表示求连续自然数的和信号前面的数表示第一个数（首项）。

星号后面的数表示连续自然数的个数（项数）。

（2）9※5=9+10+11+12+13=55x※3=x+（x+1）+（x+2）=3x+33x+3=15，x=42.例2定义两种运算“©”“¤”，对于任意两个整数a、b。

都有：a©b=a+b-1，a¤b=a×b-1.若x©（x¤4）=33，求x的值。

（1）在有括号时，要先算括号内的，再算括号外的。

同时还要注意有两种运算。

（2）此题的运算方法是：先根据符号©所表示的意义。

将小括号里的式子改写成x×4-1。

再根据符号¤所表示的意义，将x©（x×4-1）改写成x+（x×4-1）-1，即原方程可变为x×5-2=33。

然后再求出未知数。

3.例3定义一种运算“*”，它的意义是a*b=a+aa+aaa+…+aaa…a(a,b都是非0自然数）。

1.765×213÷27＋765×327÷27解：原式=765÷27×(213+327)= 765÷27×540=765×20=153002.(9999＋9997＋...＋9001)-(1＋3＋ (999)解：原式=（9999-999）+（9997-997）+（9995-995）+……+(9001-1)=9000+9000+…….+9000 (500个9000)=45000003．19981999×19991998-19981998×19991999解：（19981998+1）×19991998-19981998×19991999=19981998×19991998-19981998×19991999+19991998=19991998-19981998=100004．(873×477-198)÷(476×874＋199)解：873×477-198=476×874＋199因此原式=15．2000×1999-1999×1998＋1998×1997-1997×1996＋…＋2×1解：原式＝1999×（2000－1998）＋1997×（1998－1996）＋…＋3×（4－2）＋2×1＝（1999＋1997＋…＋3＋1）×2＝2000000。

6．297＋293＋289＋…＋209解：（209+297）*23/2=58197．计算：解：原式=（3/2）*（4/3）*（5/4）*…*(100/99)*(1/2)*(2/3)*(3/4)*…*(98/99) =50*(1/99)=50/998.解：原式=（1*2*3）/(2*3*4)=1/49. 有7个数，它们的平均数是18。

求近似值或整数部分等需要进行估算的计算题，估算的关键在于确定已知数据具有恰当精度的近似值．与分数和小数比较有关的问题．用通分后再约分，或者裂项后再相消的方法解的长分式计算题．1.除式12345678910111213÷31211101987654321 计算结果的小数点后前三位数字是多少?【分析与解】对于除法算式，我们将被除数和除数同时扩大或缩小若干倍，所得的商不变，所以可以将被除数和除数的小数点同时向左移动若干位，所得的商不变．因为要求计算小数点后前三位数字，所以只用保留小数点后前四位数字即可．12345678910111213÷3121110198765432l=1234．56789101l1213÷3121．110198765432l≈1235÷3121≈0.3957所以，原除式所得结果的小数点后前三位数字是 395．2．计算下式的值，其中小数部分四舍五入，答案仅保留整数：33．3332-3.1415926÷0.618⎛ 100 ⎞2【分析与解】33.3332 ≈⎜⎟= 10000≈ 1111.1⎝3 ⎠93．1415926÷0.618≈3.14÷0.62≈5.1．所以33.3332-3.1415926÷0.618≈1111．1-5.1=1106．即原式的运算结果的整数部分为 1106．1 1 1 1 1 3．在1, , , ,⋯, ,2 3 4 99 100中选出若干个数使它们的和大于 3，最少要选多少个数? 【分析与解】 为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数．1 1 1 1 1 有1, , , ,⋯, ,234 99 100 有1+依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择．925而1+ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11≈ 3.015所以最少选择 11 个即可使它们的和大于 3.4.数 1 1 + 1 + 1 +⋯ + 1 10 11 12 19的整数部分是几?【分析与解】 我们可以先算出连 10 个分数的值所得的商的整数部分即为所求．1 + 1 + 1 +⋯ + 1 10 11 12 1911 1 1，然后用所得的结果去除 l ，现在问题在于如何在我们所需的精度内简单的求出 + + +⋯ +10 11 12 19的值． 因为 1 + 1 + 1 +⋯ + 110 11 12 19即 ＜ 1 + 1 + 1 +⋯ + 1 ＝11�0�1�0��10���1�0 10个分数即 1 + 1 + 1 +⋯ + 110 11 12 1910 的值在1910个分数19 ～l ，那么它的倒数在 l ～ 10之间，显然所求的数的整数部分为 1．评注：本题中的放(扩大)缩(缩小)幅度不易确定，可多次尝试修正使得放缩的结果满足要求．5．8.01×1.24+8.02 ×1.23+8.03×1.22 的整数部分是多少?【分析与解】8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22≈3×8.0×1.2=28.8，与 29 很接近，所以我们需要 进一步的提高近似计算的精度．(8.01，1.24)，(8.02，1.23)，(8.03，1.22)这三组数的和相等，当每组内的两个数越接近它们的积越大，所以 8.01×1.24 在三组数中乘积最大，8.03×1.22 在三组数中乘积最小．所以 8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22<3×8.01×1.24<3×8.00×1.25=30； 8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22>3×8.03×1.22=29.3898．1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 + 1≈ 2. 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 1 + 7 1 + 8 9 1 + 1+ 10 1 + 11 + 1 +1 +⋯ + 1 1 1 1 ＞ + + +⋯ + 1 ＝ 10 10 11 12 19 1�9�1�9��19 ���1 �9 19̇ ̇≈< < 显然 8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22 的整数部分是 29．6．(1)如果 A =111111110 222222221 ， B =444444443 888888887,那么 A 与 B 中较大的数是哪一个?(2)请把 656 , 52 , 2679 ,8 657 53 2680 9这 4 个数从大到小排列。

THSHtWWff. fSttfiae VHMll VM3mI«S^S> t*t»<l ☆ I.b & ：cttJiati*nii tmut. e* A ・ LU AR . S9KM*/»cM»an*•■鼻《••4・ C4k» --■ . euyAVM ■细r«»<i ☆I ■・"：•汁,AS«・GH ・《 n-tAftVMII. SBIKWItta■aswwtn”人«nai«・n2个o ••■■■SA[«々*■] ☆ ☆K ■・•】・ H3WMi*eT<XJW. UBS 初•・ WRM —tt*Pi It^tfwnMUt WnW- ■i ・MH ■汪 RH 吟費・"f FRi »ix ・i -ttArtfl. natTm. ■«£2r 正乃DST ・ AfleRii^tum. ■!我 £W»«4>O. IMdCWri. ・*・f ■ lllMl -iltftCTJB. 妞方*上敬十 14KI •兰叙•*, 卄代I It«*«»<• •£徘MM 巧2下■，QHt 柑E*••丽4*4x ・》«««/■■«，■ tfl»«£rftwr. MW ・r ・・4 ・2»eMR ・fiT ・.■«" £杠z 心IW 卜HI孔Kom ☆4.tfWMinffiAAO ®^0 ® △ FMM 小 N 4 4 ZHIRIH 心9l«»«l ☆ ☆弘・U・■ ■自■- S-ffiCfA-MIft ■»$><*- rt««e-^atw金一<MM*卜匸力dtmr- nelwr* ••VMIS* ■ ■ t* 2^ ETamAteft ft 2• 3■•n・i ifiUKKM. wm lyb ・・0^14- ■冲、■m&9S7・・ > B. X. HU只**«Mil «*<u a・ fi. 5?*we> mu^uxe^iiUK^*nu± >e*n*T^BUe<-S・・・GZA・B・t・a处*4輸1. 1 4. s. Mtft- WfltftIH-wHtnSl・Bs4 «*evhii«Bx?»»-w»««. fta»«n*ft±BmtCMVTkIX MM AfSii*tr< iaB4R2R< 十：.：WttAR, snium—i jtM—■丰*从A««*. «i>Tii- • A •只lUM%■•}«• H CS«PiSw->-4. ・gr—i7y Mmftan-..■•»，niM rawaaVKL "MlWKlvrim*、t«*<l ☆7- ab7nM4w«. *~f^*2muNnHr ■丄atc*M«*n.9i»«^vi nrcio. • d ®weuM-+iw». MTHj.4<tttMjivnt-ul4A*at ☆☆L EtiMx# "rXirSitayh 呎最■・机》・4 «IUT*«i£Q><l4^U«IHxtt-1xUtll -»a- <H1■T^HNEnV "VIlW2/V-«tHBWKUm *<¥74WIUT»4a ms 找射丄■衣粉WSm： .qiHHlkS依■*■(«-t«a£B -WMhM4^=iDWV4*Kn -Wir-WT® g：mr・>aix・c—丄岑•七・■«i^Mt*fM(MU74^l«9irr«SH 3te—”*fJMU?•卜•BHTVtfZ祢卑yRFUV+卯•fW>9*^：4ilA*・^BK+-V苹Tit■01 eiI””lH.glMKMW «M«a«n«■・ W < '佢lea丄•审*W4<ltf ・・fel44«*<H -MU -*«44avW：fW(T«tH«ai ■■ WWeVZH '•«•(!>■甘■■vilfi IK««IZQ A OI < I ♦ Is5*aW«M«W ■y. 'FW I W积WC fc.XF 击"Ffl. •♦|4A,・1 ☆☆n. «Et^«iB3tmimiE：m. XMtMta <.«.*. ii. M m£fr£r»«M«»«9b«卜DM.r1*1nafrbDr»・《■”卜EM7WW>"gpf，aRWl ■■“■wi”• I aiw.mfr-fl "P卄卄,■« + 3号nMUWBranMX ”"OmMOtMT^d亠亠〜2.・5・1儿》4・“+4・^・II. e»-»tM・nn・TT >>iuw0f ffioat-tiQwwuMti 2上匕kK・■WaAIMK・i ・W・ >i.AI(•■•■I fliTB. m«M4a金N*er ■益««•上annH'EWiWttincch i»mx0«M-上MiFbe «««*■• M■上■■C«*+S枷h(M-& ftV ■••MhMUetr卜ZA*九«*-o-(*<*<1 ☆☆☆M. 一•4**A 篌蓦vM—««I••匕■} snvm n>»・RffiR♦•丄fnaa lUVCliHac育W・-c-A-r-r*9-*-r- 4«K*7・, l*4*al ☆☆☆Ik «■< IB - £RMA>c・a❷.KC<0© BPtfACZHfcCe. - %iafi/dC'i«e.知liWw—Mimi■祈t ■ueas苔9t・»v，BZAMK as斤MMTWMM，HwmusffSMM，Ktwtl■上■ mwnww-fi dJM.AleiAwv] «ii«mu-ABi»eti*%u- KWUIHWK■二IIC>4U・ HBdMtUI FU・OKQBnW. MKItfOMIft. «X<A. mrinjvnixnfiinw. a 瓠■Pt・vr 抄恠■■mH. M—t«K.ft-f <4, z赛it・iaMflMc・rTgaDauBMu»r・ym”《> ea«.。

精品文档第二十讲应用题拓展1．如图20-1，在三角形ABC中，AD的长度是AB的3，AE的长度是AC的2．请4 3问：三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？2．如图20-2,AC的长度是AD的4，且三角形AED的面积是三角形ABC面(1) 5积的一半，请问：AE是AB的几分之几？3．如图20-3，深20厘米的长方形水箱装满水放在平台上．当水箱像图20-4这样倾斜，水箱中水流出1，这时AB长多少厘米？5如图20-5，当水箱这样倾斜到AB的长度为8厘米后，再把水箱放平，如图20-6，这时水箱中水的深度是多少厘米？4．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成4个局部．三角形AOB的面积是2平方千米，三角BOC形的面积是3平方千米，三角形COD的面积是1平方千米，如果公园由大小为平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？.精品文档5．如图20-8，在梯形ABCD中，三角形ABO的面积是6平方厘米，且BC的长是AD 的2倍．请问：梯形ABCD的面积是多少平方厘米？6．如图20-9，平行四边形ABCD的面积为72，E点是BC上靠近B点的三等分点，求图中阴影局部的面积，7．图20-10中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，求阴影局部的面积．8．如图20-11，梯形ABCD的对角线相互垂直．三角形AOB的面积是12，OD的长是4，求OC的长．9．在图20-12中，正方形ABCD的边长为5厘米，且三角形CEF的面积比三角形ADF 的面积大5平方厘米，求CE的长．10.如图20-13，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积〔单位：厘米〕．.精品文档111三角形DEF的面积1．如图20-14，AE=AC,CD=BC，BF=AB，试求345三角形ABC的面积的值？2．如图20-15，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是2，三角形ACF的面积是4．请问：三角形ABC的面积是多少？3．如图20-16，3个相同的正方形拼在一起，每个正方形的边长为6，求三角形ABC的面积．4．图20-17中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四.精品文档个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积．5．图20-18中四边形ABCD的对角线AC和BD交于点D，如果三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米．请问：三角形BOC的面积是多少？6．如图20-19，梯形ABCD中，三角形ABE的面积是60平方米，AC的长是AE的4倍，梯形ABCD的面积是多少平方米？7．如图20-20所示，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？8．如图20-21，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影局部的面积．9．如图20-22，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，正方形ABCD的面积为60平方厘米，求阴影局部的面积．.精品文档如图20-23所示，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，两块阴影局部的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长．如图20-24，D是BC的中点，E是AC的中点，三角形ABC由①至⑤这5局部组成，其中①的面积比④多6平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？根据图20-25中所给的条件，求梯形ABCD的面积．1．在图20-26中，SV OAB SV ABC SV BCD SV CDE SV DEF1，请问：SV CDF是多少？2．如图20-27，ABCDEF为正六边形．G、H、I、J、K、L分别为AB、BC、CD、.精品文档DE、EF、FA边上的三等分点，形成了正六边形GHIJKL.请问：小正六边形占大正六边形面积的几分之几？3．如图20-28，等腰直角三角形ABC的面积是8，AE=CF，四边形BEOF的面积比三角形AOC的面积大4，求AE的长．4．如图20-29，ABCD是正方形，AE=DF=4，三角形AEG与三角形DEF的面积比为2:3，求三角形EFG的面积．5．如图20-30，正方形ABCD的面积为1，BF=2FC，求阴影四边形FHJG的面积．6．如图20-31，四边形BCDE是正方形，三角形ABC是直角三角形．假设AB长3厘米，AC长4厘米，试求三角形ABE的面积．.精品文档7．如图20-32，一个长方形被分为面积比为5:6:7:8:9的A、B、C、D、E五块，其中A和B是长方形，且A的长等于B的周长的一半，请问：A、B、C、D、的周长比为多少？8．如图20-33，三角形ABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，P、Q为AB。

仁华学校数学思维训练导引》解析（六年级）仁华思维导引解析１讲：计算综合仁华思维导引解析２讲：比例与百分数仁华思维导引解析３讲：工程问题仁华思维导引解析４讲：不定方程与整数分拆仁华思维导引解析５讲：数论综合之一仁华思维导引解析６讲：立体图形仁华思维导引解析７讲：几何综合之一仁华思维导引解析８讲：数字谜综合之三仁华思维导引解析９讲：计数综合之二仁华思维导引解析１０讲：逻辑推理之二仁华思维导引解析１１讲：方程与方程组仁华思维导引解析１２讲：行程与工程仁华思维导引解析１３讲：应用题综合之二仁华思维导引解析１４讲：数论综合之二仁华思维导引解析１５讲：数论综合之三仁华思维导引解析１６讲：几何综合之二仁华思维导引解析１７讲：计数综合之三仁华思维导引解析１８讲：最值问题仁华思维导引解析１９讲：构造与论证之二仁华思维导引解析２０讲：构造与论证之三仁华思维导引解析１讲：计算综合仁华思维导引解析２讲：比例与百分数仁华思维导引解析３讲：工程问题仁华思维导引解析４讲：不定方程与整数分拆仁华思维导引解析５讲：数论综合之一仁华思维导引解析６讲：立体图形仁华思维导引解析７讲：几何综合之一［分新与解I以下用E tS惡示E部舒播向的扶度・E菱表示EsE分竖向的长胆其曲下嫌富义粪饥耳f⅛%=E A tS B fl(T2.i^⅛+⅛=D fi+⅛,翩育吋D fll A m B fli="412∙HT1 A∣j+B橈+C1懂=E懂+州|对应为5+1 ~6＜那么C.对应⅛⅛3.而积CE积=1:2X 所以 A fi=B fi-C fi-^+c S対应肉岔所以桂=C整对应为3・那么快;⅛形的竖边渝^C S对应知，∙K方形笹也拘Eβ+!5*D fll对应天只6+4F5. 所以檢右形的妖导宽陆比丸5 9=5 3.第54页共179页仁华思维导引解析８讲：数字谜综合之三。

目录第1讲 分数计算与比较大小 ....................................................................................................................... 1 第2讲 整除 ................................................................................................................................................... 5 第3讲 质数与合数 ....................................................................................................................................... 9 第4讲 包含与排除 ..................................................................................................................................... 13 第5讲 分数与循环小数 ............................................................................................................................. 17 第6讲 和差倍分问题 ................................................................................................................................. 21 第7讲 行程问题四 ..................................................................................................................................... 28 第8讲 直线形计算二 ................................................................................................................................. 32 第9讲 比较与估算 ..................................................................................................................................... 38 第10讲 几何计数 ....................................................................................................................................... 42 第11讲 约数与倍数 ................................................................................................................................... 46 第12讲 余数 ............................................................................................................................................... 49 第13讲 数字谜综合一 ............................................................................................................................... 52 第14讲 行程问题五 ................................................................................................................................... 56 第15讲 圆与扇形 ....................................................................................................................................... 61 第16讲 构造认证一 ................................................................................................................................... 66 第17讲 计算综合一 ................................................................................................................................... 71 第18讲 应用题拓展 ................................................................................................................................... 76 第19讲 工程问题 ....................................................................................................................................... 80 第20讲 直线形计算三 ............................................................................................................................... 85 第21讲 数字问题 ....................................................................................................................................... 89 第22讲 牛吃草问题与钟表问题 ............................................................................................................... 93 第23讲 计数综合二 ................................................................................................................................... 98 第24讲 抽屉原理二 (101)第1讲 分数计算与比较大小内容概述理解分数的概念，熟练掌握分数四则运算中的通分、约分等技巧，了解分数运算中的一些速算方法；学会比较分数大小的各种方法，包括通分母、通分子、交叉相乘、倒数比较法、间接比较法等等。

仁华学校 6 年级奥数思维导引上教师版
繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．
1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：
甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．
2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分
数．所以需将带分数化为假分数．
3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．
4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．
5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级
[第 1 讲循环小数与分数]．
7 4 1 1
7
1．计算：18 2 6 2 3 13 1 - 3 5 8
3 4 16
7 17 23
23 17
【分析与解】原式= 4 6 2 12 4 13 1 -12 8 4 8 128
3 3。

小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。

例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。

数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。

这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。

例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。

分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。

当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。

（5÷13-7）×（17+9）。

当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。

当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。

例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。

华数思维训练导引五下华数思维训练导引——计算问题（六）估算与比较通分与裂项《思维训练导引》五年级下学期第11讲计算问题第06讲估算与比较通分与裂项1.除式12345678910111213÷31211101987654321计算结果的小数点后前三位数字是多少？解法一：A大于1234÷3122=0.3952??，A小于1235÷3121=0.3957??，0.3952小于A小于0.3957 答：计算结果的小数点后前三位数字是395。

解法二：1234÷3121≈0.3953≈0.395 答：计算结果的小数点后前三位数字是395。

2．计算下式的值，其中小数部分四舍五入，答案仅保留整数：33.333 -3.1415926÷0.618.解：33.333 -3.1415926÷0.618≈（100/3） -5=10000/9-5≈1111-5=1106 答：保留整数约等于1106。

3.在1,1/2,1/3,1/4,??。

1/99，1/100中选出若干个数使它们的和大于3，最少要选多少个数？解法一：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/101+(1/2+1/3+1/6)+(1/4+1/8)+(1/5+ 1/10)+1/8+(1/9+1/11) =1+1+(3/8+1/8)+3/10+20/99=2+4/8+3/10+20/99 >2+1/2+3/10+20/100 =3答：最少要选出11个数。

解法二：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6=1+（1/2+1/3+1/6）+1/4+1/5=2+1/4+1/5=2.453 答：最少要选出11个数。

4．数1/（1/10+1/11+1/12+??+1/19）的整数部分是几？解：1/10+1/11+1/12+??+1/1910*1/20=1/2所以1/1656/657大于52/53大于8/9. 7．24/31小于80/□0，所以（4）最小，3/8+8/20=31/40 答：（4）式最小，（4）=31/40。

第四讲包含与排除1．暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”，他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的，如果小悦去过其中的十二景，那么冬冬去过其中的几景？2．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？3．五年级一班45个学生参加期末考试．成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．请问：语文成绩得满分的有多少人？4．某餐馆有27道招牌菜．小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的．请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？5．如图4-1，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2．请问：(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？(2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？6．在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？7．光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46人、36人．同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组的有10人，三组都参加的有2人．光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？8．卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E 的有50种，同时含这三种维生素的有25种，请问：(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素A的食物有多少种？9．操场上有50名同学在跑步或跳绳．其中女生有18名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名．跳绳的女生有多少名？10.学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项．根据报名的人数，学校决定对象棋的前9名、围棋的前10名和军棋的前11名发放奖品．请问：最少有几人获得奖品？1．在一个办公室中，有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？2．五年级二班有40名同学．其中有25"人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？3．在1至100这100个自然数中，既不能被2整除也不能被3整除的数有多少个？4．渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．参加长跑比赛的有150名男生和90名女生，参加游泳比赛的有120名男生和70名女生，有110名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑比赛的女生有多少人？5．森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种．爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜，如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？6．三位基金经理投资若干只股票，张经理买过其中66只，王经理买过其中40只，李经理买过其中23只．张经理和王经理都买过的有17只，王经理和李经理都买过的有13只，李经理和张经理都买过的有9只，三个人都买过的有6只．请问：这三位经理一共买过多少只股票？7．唐僧西天取经共经历了81难，其中单独渡过了3难，与孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与沙和尚一起渡过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60难．请问：师徒四人共同渡过的有多少难？8．培英学校有学生1000人，其中有500人订阅了《中国少年报》，有350人订阅了《少年文艺》，有250人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400人，订阅了三种报刊的有100人．请问：培英学校有多少人没有订报？9．五年级一班有46名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，还是三项小组都参加的人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的2倍，求参加文艺小组的人数．10.图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名，已知这100本书中有甲、乙、丙三人签名的分别有33本、44本和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问：这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？11.五年级三班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有22人，参加英语竞赛的有20人．如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？12.甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有100个故事．已知甲读了85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事．请问：(1)甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？(2)如果每个人都是从某一个故事开始，按顺序连续往后读，那么甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？1．森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜．其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的2倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍．它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？2．育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画．其他年级的画共有多少幅？3．巨人学校有105名男生和75名女生参加数学竞赛，有95名女生和85名男生参加作文竞赛．已知该校一共有280名学生参加了竞赛，其中只参加数学竞赛的男生人数与只参加作文竞赛的女生人数相同，请问：只参加数学竞赛的女生有多少人？4．冬冬和爸爸妈妈去芬兰旅游，他们照了很多照片，回家后，冬冬先把所有有自己像的照片放到自己的相册里，再把剩下的有妈妈像的照片放到妈妈的相册里，最后把剩下的照片放到爸爸的相册里．爸爸认为应该把所有有自己像的照片都放到自己相册里，于是从冬冬和妈妈的相册里一共拿出了37张照片放到了自己的相册，妈妈不同意，又把放在冬冬和爸爸的相册里所有有自己像的45张照片都拿出来放到了自己的相册．请问：究竟是妈妈和冬冬的合影多，还是爸爸和冬冬的合影多？多几张？5．一次测验共有5道试题．测试后统计如下：有81%的同学做对第1题，有85%的同学做对第2题，有91%的同学做对第3题，有74%的同学做对第4题，有79%的同学做对第5题，如果做对3道或3道以上试题的同学为考试合格．请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？6．五年级一班有22人参加语文竞赛，32人参加数学竞赛，27人参加英语竞赛，其中同时参加语文竞赛和数学竞赛的有12人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有14人，同时参加数学竞赛和英语竞赛的有15人．请问：五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？7．在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问：(1)恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？(2)恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？8．一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米划一个刻度，每隔3厘米划一个刻度，每隔5厘米划一个刻度，每隔7厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？。

◇第4讲◇ 数的整除【内容概述】能被2，3，4，5，8，9，11整除的数字特征，以及与此相关的整数的组成与补填问题，乘积末尾零的个数计算。

1. 整数ａ除以整数b （b ≠0），所得的商正好是整数而没有余数，我们就说ａ能被b 整除（也可以说b 能整除ａ），记作b|a 。

如：15÷5=3，所以15能被5整除（5能整除15），记作5|15.反之，则称为不能整除，用 表示，如7 15.如果整数a 能被整数b （b ≠0），则成a 是b 的倍数，b 是a 的约数。

如15是5的倍数，5是15的约数。

特别的，注意0÷b=0（b ≠0），所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数的倍数。

还有a ÷1=a ，所以说1能整除任何整数，1是任何整数的约数。

因为整除均在整数范围内考察，所以一下所指之数不特加说明均指整数。

2. 整除的性质：性质1.如果c|a ，c|b ，那么c|（a ±b ）。

如果a 、b 都能被c 整除，那么它们的和与差也能被c 整除。

性质2.如果bc|a ，那么b|a ，c|a ，如果b 与c 的积能整除a ，那么b 与c 都能整除a 。

性质3.如果b|a ，c|a ，且b 、c 互质，那么bc|a ，如果b 、c 都能整除a ，且b 和c 互质，那么b 与c 的积能整除a性质4.如果c|b ，b|a ，那么c|a 。

如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a 。

3.一些质数整除的数字特征（约数只有1和它本身的数，称为质数）：（1）能被2整除的数，其末位数字只能是0，2，4，6 ，8；（2）能被3整除的数，其各位的数字和能被3整除；（3）能被5整除的数，其末位数字只能是数字0，5；（4）能被7整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数的差（大减小）能被7整除（即cba qponm ...能被7整除，7|cba -...qponm或7|...qponm -cba ）； （5）能被11整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数的差（大减小）能被11整除（即cba qponm ...能被11整除，11|cba -...qponm或11|...qponm -cba ）或者，其奇数位数字之和减去偶数位数字之和所得的差能被11整除；cba qponm ...表示这是一个多位数，而不是q 与p 、o 、c 、b 、a 等数的乘积，下同。

第1讲 分数计算与比较大小内容概述理解分数的概念，熟练掌握分数四则运算中的通分、约分等技巧，了解分数运算中的一些速算方法；学会比较分数大小的各种方法，包括通分母、通分子、交叉相乘、倒数比较法、间接比较法等等。

兴趣篇1. 计算：⋅---++2001201211)2(;372003720372)1(2. 计算：⋅-+-43)1152413(118133. 计算：⋅÷+⨯÷-12111135)45141(4. 计算：.351762753165474⨯+⨯+⨯-⨯5. 计算：⋅+++9999888899999998889999988999896. 计算：⋅⨯⨯156113155)2(;124123403)1(7. 计算：⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯9876554321987658. 将下列分数由小到大排列起来：⋅2313,1915,2314,2413,19149. 比较下列分数的大小：⋅792032079)2(;409133)1(与与10. 比较下列分数的大小：⋅88887444432222111110)2(;199519949998)1(与与拓展篇1. 计算： ).2072()318431326413(-⨯+++2. 计算： ⋅-÷⨯+311523)5311522(3. 要使算式71265) □7.0(412=⨯--成立，方框内应填入的数是多少？4. 计算：⋅⨯+⨯2524182571245. 计算：).13361111()1136119()936117()736115()536113()336111(⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-6. 计算：).761231(53)761531(23)531231(76-⨯-+⨯+-⨯ 7. 比较200420032005200520042006⨯⨯与的大小，并计算它们的差。

8. 计算：).9575()927729)(2(;239238238238)1(+÷+÷9. 比较下列分数的大小：⋅289227)4(;17163533)3(;4112278)2(;19873)1(与与与与10. 比较大小：（1）把3个数5931,3518,2413由小到大排列起来；（2）把5个数10160,3320,2315,1912,1710由小到大排列起来；11. 比较下列分数的大小：⋅20062200522006200620052005)2(;56790123465678912345)1(与与12. 比较下列分数的大小：99999222299999922222)3(;99992222299999222222)2(;9992229999922222)1(与与与超越篇1. 计算：⋅⨯+⨯1911313219192131282. 计算：⋅⨯636363636636363363363636 3. 计算：)].20115110151()1611218141[()]121916131()81614121[(+++-+++÷+++-+++4. 计算：⋅+++++++++++++++109)10898()1035343()1024232()1013121(5. 已知⋅+=+=2006200520052006,2008200720072008B A 试比较A 、B 的大小。

《仁华黉舍数学思维练习导引》解析（三年级）之杨若古兰创作➢仁华思维导引解析1讲：加法与减法➢仁华思维导引解析2讲：基本利用题➢仁华思维导引解析3讲：和差倍成绩之一➢仁华思维导引解析4讲：盈亏与比较➢仁华思维导引解析5讲：数列规律➢仁华思维导引解析6讲：加减法填空格➢仁华思维导引解析7讲：乘除法填空格➢仁华思维导引解析8讲：几何图形认知➢仁华思维导引解析9讲：枚举法➢仁华思维导引解析10讲：智巧趣题➢仁华思维导引解析11讲：乘法与除法➢仁华思维导引解析12讲：等差数列➢仁华思维导引解析13讲：和差倍成绩之二➢仁华思维导引解析14讲：鸡兔同笼➢仁华思维导引解析15讲：间隔与方阵成绩➢仁华思维导引解析16讲：数字成绩➢仁华思维导引解析17讲：算符、括号与算式➢仁华思维导引解析18讲：数阵图初步➢仁华思维导引解析19讲：长度与角度➢仁华思维导引解析20讲：简单抽屉准绳仁华思维导引解析１讲：加法与减法仁华思维导引解析２讲：基本利用题仁华思维导引解析３讲：和差倍成绩之一仁华思维导引解析４讲：盈亏与比较仁华思维导引解析５讲：数列规律仁华思维导引解析６讲：加减法填空格仁华思维导引解析７讲：乘除法填空格仁华思维导引解析８讲：几何图形认知仁华思维导引解析９讲：枚举法仁华思维导引解析１０讲：智巧趣题仁华思维导引解析１１讲：乘法与除法仁华思维导引解析１２讲：等差数列仁华思维导引解析１３讲：和差倍成绩之二仁华思维导引解析１４讲：鸡兔同笼仁华思维导引解析１５讲：间隔与方阵成绩仁华思维导引解析１６讲：数字成绩仁华思维导引解析１７讲：算符、括号与算式仁华思维导引解析１８讲：数阵图初步仁华思维导引解析１９讲：长度与角度仁华思维导引解析２０讲：简单抽屉准绳。