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3.2 函数模型及其应用课时1 几类不同增长的函数模型(35分钟 100分)基础 达标 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义素养 突破通过函数增长变化情况提高学生的数学抽象,直观想象及数学建模的数学素养在区间(0,+∞)上,尽管函数y=a x (a>1),y=log a x (a>1)和y=x n (n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大,y=a x (a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x n (n>0)的增长速度,而y=log a x (a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x 0,当x>x 0时,就有log a x<x n <a x .题组一 单一函数型模型1.(7分)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x 倍,需经过y 年,则函数y=f (x )的图象大致是 ( )2.(7分)如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是 ( )A .711B .712C .√712-1D .√711-13.(7分)在某种金属材料的耐高温实验中,温度y (单位:℃)随着时间t (单位:min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示,现给出下列说法:①前5 min 温度增加越来越快;②前5 min 温度增加越来越慢;③5 min 后温度保持匀速增加;④5 min 后温度保持不变.其中说法正确的是 ( )A .①④B .②④C .②③D .①③4.(7分)某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂1次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4096个需经过小时.5.(7分)在不考虑空气阻力的情况下,火箭(除燃料外)的质量m kg、火箭的最大速度v m/s和燃).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的料的质量M kg的函数关系是v=2000ln(1+Mm最大速度可达12 km/s.6.(12分)一台机器原价20万元,由于磨损,该机器每年比上一年的价格降低8.75%,问大约经过多少年这台机器的价值为8万元?(lg 2≈0.3010,lg 9.125≈0.9602)7.(12分)对于5年可成材的树木,在此期间的年生长率为18%,以后的年生长率为10%.树木成材后,即可出售,然后重新栽树木,也可以让其继续生长.问:哪一种方案可获得较大的木材量(注:只需考虑10年的情形)?题组二综合函数型模型8.(7分)能使不等式log2x<x2<2x成立的x的取值范围可以是()A.x>0B.x>2C.x<2D.0<x<29.(7分)有一组实验数据如下表所示:x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是()A.y=log a x(a>1)B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0)D.y=log a x+b(a>1)10.(7分)如图所示给出了红豆生长时间t(单位:月)与枝数y(单位:枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A.指数函数y=2tB.对数函数y=log2tC.幂函数y=t3D.二次函数y=2t211.(7分)有一组数据如下表:t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似的表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是() tA.v=log2tB.v=lo g12C.v=t2-1D.v=2t-2212.(13分)某地区今年1月,2月,3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=p·q x+r,其中y为患病人数,x为月份数,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月,5月,6月份的患病人数分别为66,82,115,你认为谁选择的模型较好?3.2 函数模型及其应用课时1 几类不同增长的函数模型1.D 解析:本题考查对数型函数模型.设该林区的森林原有蓄积量为a ,由题意知ax=a (1+0.104)y ,即y=log 1.104x (x ≥1),所以y=f (x )的图象大致为选项D 中图象.2.D 解析:本题考查指数型函数模型.设月平均增长率为x ,1月份的产量为a ,则有a (1+x )11=7a ,则1+x=√711,故x=√711-1.3.C 解析:本题考查函数模型的增长速度.前5 min,温度y 随x 增加而增加,增长速度越来越慢;5 min 后,温度y 随x 的变化曲线是直线,即温度匀速增加,所以②③正确,故选C 项.4.3 解析:本题考查指数型函数模型.设1个细菌分裂x 次后有y 个细菌,则y=2x .令2x =4096=212,则x=12,即需分裂12次,需12×15=180分钟,即3小时.5.e 6-1 解析:本题考查对数型函数模型.设M=tm ,则有2000ln(1+t )=12000,即ln(1+t )=6,解得t=e 6-1.6.解析:本题考查指数型函数模型.设经过x 年,这台机器的价值为8万元,则8=20(1-0.0875)x ,即0.9125x =0.4,两边取以10为底的对数,得x=lg0.4lg0.9125=lg4-1lg9.125-1=2lg2-1lg9.125-1≈10年,所以约经过10年后这台机器的价值为8万元.7.解析:本题考查对数型函数模型.设新树苗的木材量为Q ,则10年后有两种结果:连续生长10年后,木材量N=Q (1+18%)5(1+10%)5;生长5年后重新栽树木,木材量M=2Q (1+18%)5.则M N =2(1+10%)5.∵(1+10%)5≈1.61<2,∴M N >1,即M>N.因此,生长5年后重新栽树木可获得较大的木材量.8.D 解析:本题考查指数、对数、幂函数型模型.在同一平面直角坐标系中,可以分别画出函数y=log 2x ,y=x 2,y=2x 的图象,根据图象可知,当0<x<2或x>4时,满足题意.9.C 解析:本题考查对数、一次函数、二次函数型模型.通过所给数据可知y 随x 增大,其增长速度越来越快,选项A,D 中的函数增长速度越来越慢,而选项B 中的函数增长速度保持不变,故选C 项.10.A 解析:本题考查指数、对数、二次函数、幂函数型模型.由散点图可知,与指数函数拟合的最贴切,故选A 项.11.C 解析:本题考查对数、二次函数、一次函数型模型.选项A 中,当t=1.99时,v=log 21.99<1,当t=4时,v=log 24,显然A 选项不满足;B 选项中v=lo g 12t ,当t=1.99,3.0,4.0,5.1,6.12时,v<0,故B 选项不满足;D 选项显然也不满足,故选C 项.12.解析:本题考查指数、二次函数型模型.依题意:得{a ·12+b ·1+c =52,a ·22+b ·2+c =54,a ·32+b ·3+c =58,即{a +b +c =52,4a +2b +c =54,9a +3b +c =58,解得{a =1,b =-1,c =52. ∴甲:y 1=x 2-x+52.又{p ·q 1+r =52, ①p ·q 2+r =54, ②p ·q 3+r =58, ③②-①,得p ·q 2-p ·q 1=2, ④ ③-②,得p ·q 3-p ·q 2=4, ⑤ ⑤÷④,得q=2,将q=2代入④式,得p=1,将q=2,p=1代入①式,得r=50, ∴乙:y 2=2x +50.计算当x=4时,y 1=64,y 2=66; 当x=5时,y 1=72,y 2=82; 当x=6时,y 1=82,y 2=114. 可见,乙选择的模型较好.。
第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型A级基础巩固一、选择题1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用() A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数解析：一次函数匀速增长，二次函数和指数型函数都是开始增长慢，以后增长越来越快，只有对数型函数增长先快后慢．答案：D2.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点解析：由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.答案：D3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析：验证可知选项B 正确． 答案：B4．某种产品每件定价80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为( )A ．y ＝－14x ＋50(0<x <200)B ．y ＝14x ＋50(0<x <100)C ．y ＝－14x ＋50(0<x <100)D ．y ＝14x ＋50(0<x <200)解析：设解析式为y ＝kx ＋b ，依题意有：⎩⎪⎨⎪⎧30＝k ·80＋b 20＝k ·120＋b .解得k ＝－14，b ＝50.∴y ＝－14x ＋50(0<x <200)．答案：A5．我国为了加强烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫作税率x %)，则每个销售量将减少10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为( )A ．2B ．6C ．8D ．10解析：由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x )·70·x 100，令104·(100－10x )·70·x 100≥112×104.解得2≤x ≤8.故x 的最小值为2.答案：A 二、填空题6．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2 016年的湖水量为m ，从2 016年起，经过x 年后湖水量y 与x 的函数关系为_________m.解析：设每年湖水量为上一年的q %，则(q %)50＝0.9，所以q %＝0.9150，所以x 年后的湖水量为y ＝0.9x50m.答案：y ＝0.9x507．某航空公司规定，乘客所携带行李的质量x (kg)与运费y (元)由下图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为________．解析：设y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(30，330)、(40，630)代入得y ＝30x －570，令y ＝0，得x ＝19，故乘客可免费携带行李的最大质量为19 kg.答案：19 kg8．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到__________．解析：由已知第一年有100只，得a ＝100. 将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)，得y ＝300. 答案：300 三、解答题9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m ．要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？解：因为长为x m ，则宽为50－x 3 m ，设面积为S m 2，则S ＝x ·50－x 3＝－13(x 2－50x )＝－13(x －25)2＋6253(12.5<x <50)，所以当x ＝25时，S 取得最大值， 即鸡场的长度为25米时，面积最大．10．复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法．某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息．(1)写出x 年后，需要还款总数y (单位：万元)和x (单位：年)之间的函数关系式；(2)计算5年后的还款总额(精确到元)；(3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x元，分5次还清，求每次还款的金额x(精确到元)．(参考数据：1.073＝1.225 0，1.074＝1.310 8，1.075＝1.402 551，1.076＝1.500 730)解：(1)y＝10·(1＋7%)x，定义域为{x|x∈N*}．(2)5年后的还款总额为y＝10×(1＋7%)5＝10×1.075＝14.025 5.答：5年后的还款总额为140 255元(或14.025 5万元)．(3)由已知得x(1＋1.07＋1.072＋1.073＋1.074)＝14.025 5.解得x＝2.438 9.答：每次还款的金额为24 389元(或2.438 9万元)．B级能力提升1．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为()A．y＝c－ac－b ·x B．y＝c－ab－c·xC．y＝a－cb－c ·x D．y＝b－cc－a·x解析：据题意有a%x＋b%yx＋y＝c%，所以ax＋byx＋y＝c，即ax＋by＝cx＋cy，所以(b－c)y＝(c－a)x，所以y＝c－ab－c·x.答案：B2.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝a t(t≥0，a>0且a≠1)的图象．有以下叙述：①第4个月时，剩留量就会低于15；②每月减少的有害物质量都相等；③若剩留量为12，14，18时，所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中所有正确叙述的序号是________．解析：根据题意，函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，49，故函数为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x.易知①③正确．答案：①③3．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为2.10元；当月用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费40.8元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．解：(1)当甲的用水量不超过4吨，即x ≤45时，乙的用水量也不超过4吨，y ＝(5x ＋3x )·2.1＝16.8x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即45<x ≤43时， y ＝4×2.1＋3x ·2.1＋3·(5x －4)＝21.3x －3.6； 当乙的用水量超过4吨，即x >43时，y ＝8×2.1＋3(8x －8)＝24x －7.2.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧16.8x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤45，21.3－3.6⎝⎛⎭⎪⎫45<x ≤43，24x －7.2⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43. (2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝13.44；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝24.8； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －7.2＝40.8，解得x ＝2. 故甲户用水量为5x ＝10吨， 付费S 1＝4×2.1＋6×3＝26.4(元)； 乙户用水量为3x ＝6吨，付费S 2＝4×2.1＋2×3＝14.4(元)．。
人教A 版高中数学必修一课后同步课时作业：3-2-1几类不同增长的函数模型一、选择题1．某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为( )A ．45元B ．55元C ．65元D ．70元 [答案] D[解析] 设每件商品定价为x 元，则一个月的销量为500－(x －50)×10＝1000－10x 件，故月利润为y ＝(x －40)·(1000－10x )＝－10(x －40)(x －100)，∵⎩⎪⎨⎪⎧x >401000－10x >0，∴40<x <100， ∴当x ＝70时，y 取最大值，故选D.2．某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )A ．B ，A ，CB ．A ，C ，B C ．A ，B ，CD ．C ，A ，B[答案] B[解析] A 种债券的收益是每100元收益3元；B 种债券的利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100(1＋51.4－5050)≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－97100，100元一年到期的本息和为100(1＋100－9797)≈103.09(元)，收益为3.09元． 3．某厂原来月产量为a ，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b ，则( )A ．a ＝bB ．a >bC ．a <bD ．a 、b 的大小无法确定 [答案] B[解析] 一月份产量为a (1＋10%)，二月份产量b ＝a (1＋10%)(1－10%)＝a (1－1%)，∴b <a ，故选B.4．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点[答案] D[解析]从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(S0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．5．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA＝1m，水从喷头A喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m，A离抛物线对称轴1m，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是()A．3.5m B．3mC．2.5m D．2m[答案] C[解析]建立如图坐标系，据题设y轴右侧的抛物线方程为y＝a(x－1)2＋2.∵抛物线过点A(0,1)∴将(0,1)点代入方程得a＝－1，∴y＝－(x－1)2＋2.令y＝0，得x＝1＋2，x＝1－2(舍)，故落在水面上的最远点B到O点距离为(1＋2)m，考虑合算，须达到要求条件下用料最少，∴选C.6．某市原来民用电价为0.52元/kw·h.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kw·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kw·h.对于一个平均每月用电量为200kw·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量() A．至少为82kw·hB．至少为118kw·hC．至多为198kw·hD．至多为118kw·h[答案] D[解析]①原来电费y1＝0.52×200＝104(元)．②设峰时段用电为x kw·h，电费为y，则y＝x×0.55＋(200－x)×0.35＝0.2x＋70，由题意知0.2x＋70≤(1－10%)y1，∴x≤118.答：这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kw·h.二、填空题7．英语老师准备存款5000元．银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元．[答案] 5514.99[解析] 根据题意，五年后的本息共5000(1＋1.98%)5＝5514.99(元)．8．设物体在8∶00到16∶00之间的温度T 是时间t 的函数：T (t )＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，其中温度的单位是°C ，时间的单位是小时，t ＝0表示12∶00，t 取正值表示12∶00以后，若测得该物体在8∶00的温度为8°C ，12∶00的温度为60°C,13∶00的温度为58°C ，则T (t )＝________.[答案] －3t 2＋t ＋60[解析] 将t ＝－4，T ＝8；t ＝0，T ＝60；t ＝1，T ＝58分别代入函数表达式中即可解出a ＝－3，b ＝1，c ＝60.三、解答题9．某物品的价格从1964年的100元增加到2004年的500元，假设该物品的价格年增长率是平均的，那么2010年该物品的价格是多少？(精确到元)[解析] 从1964年开始，设经过x 年后物价为y ，物价增长率为a %，则y ＝100(1＋a %)x ，将x ＝40，y ＝500代入得500＝100(1＋a %)40，解得a ＝4.1，故物价增长模型为y ＝100(1＋4.1%)x .到2010年，x ＝46，代入上式得y ＝100(1＋4.1%)46≈635(元)．10．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a 升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y ＝ae－nt ，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲的水只有a 8. [解析] 由题意得ae －5n ＝a －ae －5n ，即e －5n ＝12，设再过t 分钟桶甲中的水只有a 8，得ae －n (t ＋5)＝a 8，所以(12)t ＋55＝(e －5n )t ＋55＝e －n (t ＋5)＝18＝(12)3，∴t ＋55＝3，∴t ＝10.∴再过10分钟桶甲的水只有a 8. 11．某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖10000元1名，一等奖1000元2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售．请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的实惠大．面对问题我们并不能一目了然．于是我们首先作了一个随机调查．把全组的16名学员作为调查对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以．调查结果表明：甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？请给予说明．[解析] 在实际问题中，甲商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制．所以这个问题应该有几种情形：(1)若甲商厦确定每组设奖．当参加人数较少时，少于1＋2＋10＋200＝213人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客．(2)若甲商厦的每组营业额较多时，他给顾客的优惠幅度就相应的小．因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共10000＋2000＋1000＋1000＝14000元．假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为14000÷5%＝280000.所以由此可得：(1)当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多．(2)当两商厦的营业额都不足280000元时，乙商厦的优惠则小于1 4000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是1 4000元，优惠较大．(3)当两家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于14000元，而甲商厦的优惠仍保持14000元时，乙商厦所提供的优惠大．12．某种新栽树木5年成材，在此期间年生长率为20%，以后每年生长率为x %(x <20)．树木成材后，既可以砍伐重新再栽，也可以继续让其生长，哪种方案更好？[解析] 只需考虑10年的情形．设新树苗的木材量为Q ，则连续生长10年后木材量为：Q (1＋20%)5(1＋x %)5,5年后再重栽的木材量为2Q (1＋20%)5，画出函数y ＝(1＋x %)5与y ＝2的图象，用二分法可求得方程(1＋x %)5＝2的近似根x ＝14.87，故当x <14.87%时就考虑重栽，否则让它继续生长．*13.(湖南长沙同升湖实验学校高一期末)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n 是羊毛衫标价x 的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？[解析] (1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，则n ＝kx ＋b (k <0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝300k ＋b 75＝225k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝300， ∴n ＝－x ＋300.y ＝－(x －300)·(x －100)＝－(x －200)2＋10000，x ∈(100,300]∴x ＝200时，y max ＝10000即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得，－(x －300)·(x －100)＝10000×75%∴x 2－400x ＋30000＝－7500，∴x 2－400x ＋37500＝0，∴(x －250)(x －150)＝0∴x 1＝250，x 2＝150所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.14．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能使完成全部任务最快？[分析] 制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间，只要它最小，即完成任务最快．[解析] 设x 名工人制课桌，(30－x )名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，∴制作100张课桌所需时间为函数P (x )＝1007x， 制作200把椅子所需时间为函数Q (x )＝20010(30－x )， 完成全部任务所需的时间f (x )为P (x )与Q (x )中的较大值．欲使完成任务最快，须使P (x )与Q (x )尽可能接近(或相等)．令P (x )＝Q (x )，即1007x ＝20010(30－x )， 解得x ＝12.5，∵人数x ∈N ，考察x ＝12和13的情形有P (12)≈1.19，Q (12)≈1.111，P (13)≈1.099，Q (13)≈1.176，∴f (12)＝1.19，f (13)＝1.176，∵f (12)>f (13)，∴x ＝13时，f (x )取最小值，∴用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．[点评] 本题有几点需特别注意，人数x 必须是自然数，故P (x )与Q (x )不相等，f (x )是P (x )与Q (x )中的较大者，完成任务最快的时间是f (x )的最小值．。
2014年高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m解析： 设隔墙的长为x m ，矩形面积为S ，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，S 有最大值为18.答案： A2．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过( )A ．12 hB ．4 hC ．3 hD ．2 h解析： 设需经过x 次分裂，则4 096＝2x ，解得x ＝12，所以所需时间t ＝12×1560＝3(h)．故选C.答案： C3则关于x A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 2解析： 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律，故选C.答案： C4．如图所示是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是( )(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活费收入增长最快的一年是2009年；(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2010年；(4)虽然2011年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．A ．1项B ．2项C ．3项D ．4项解析： 由题意，“生活费收入指数”减去“生活费价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2009～2010年最陡，故(2)正确；“生活费价格指数”在2010～2011年最平缓，故(3)不正确；由于“生活费价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故(4)正确，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．生产某机器的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为________台．解析： 设该厂获利润为g (x )，则g (x )＝25x －y＝25x －(x 2－75x )＝－x 2＋100x ＝－(x －50)2＋2 500，当x ＝50时，g (x )有最大值2 500万元．答案： 506．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付电话费________元；(2)通话5分钟，需付电话费________元；(3)如果t ≥3，则电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式为____________． 解析： (1)由图象可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元．(2)由图象可知，当t ＝5时，y ＝6，需付电话费6元．(3)当t ≥3时，y 关于t 的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0. 故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t (t ≥3)．答案： (1)3.6 (2)6 (3)y ＝1.2t (t ≥3)三、解答题(每小题10分，共20分)7．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．(1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？解析： 设工厂生产x 件产品时，依方案1的利润为y 1，依方案2的利润为y 2，则 y 1＝(50－25)x －2×0.5x －30 000＝24x －30 000，y 2＝(50－25)x －14×0.5x ＝18x .(1)当x ＝3 000时，y 1＝42 000，y 2＝54 000.∵y 1<y 2，故应选择第1个方案处理污水．(2)当x ＝6 000时，y 1＝114 000元，y 2＝108 000元．∵y 1>y 2，故应选择第2个方案处理污水．8．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm 与60 cm ，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问：怎样剪，才能使剩下的残料最少？解析： 如图，剪出的矩形为CDEF ，设CD ＝x cm ，CF ＝y cm ，则AF ＝(40－y ) cm.∵△AFE ∽△ACB ， ∴AF AC ＝FE BC ，即40－y 40＝x 60. ∴y ＝40－23x .剩下的残料面积为 S ＝12×60×40－x ·y ＝23x 2－40x ＋1 200 ＝23(x －30)2＋600. ∵0<x <60，∴当x ＝30时，S 取得最小值为600，这时y ＝20.∴在边长为60 cm 的直角边CB 上截CD ＝30 cm ，在边长为40 cm 的直角边AC 上截CF ＝20 cm 时，能使所剩残料最少．尖子生题库☆☆☆9．(10分)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S (万元)与时间t (月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第八个月公司所获利润是多少万元．解析： (1)由二次函数图象可知，设S 与t 的函数关系式为S ＝at 2＋bt ＋c .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，25a ＋5b ＋c ＝2.5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，c ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝0.无论哪个均可解得a ＝12，b ＝－2，c ＝0， ∴所求函数关系式为S ＝12t 2－2t . (2)把S ＝30代入，得30＝12t 2－2t ， 解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)，∴截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元．(3)把t ＝7代入，得S ＝12×72－2×7＝212＝10.5(万元)， 把t ＝8代入，得S ＝12×82－2×8＝16(万元)， 则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)，∴第八个月公司所获利润为5.5万元．。
2021-2022年高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课时作业新人教A版必修11．设f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是( )．A．f(x)增长速度最快，h(x)增长速度最慢B．g(x)增长速度最快，h(x)增长速度最慢C．g(x)增长速度最快，f(x)增长速度最慢D．f(x)增长速度最快，g(x)增长速度最慢解析由三个函数的性质，可知：g(x)增长速度最快，h(x)增长速度最慢．答案 B2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )．A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2解析由散点图可知，与指数函数拟合的最贴切．答案 A3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设xx的湖水量为m，从xx起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )答案 C4．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·(0.5)x＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ·0.51＋b ，1.5＝a ·0.52＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x＋2，所以3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)． 答案 1.75万件5．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5 min 温度增加的速度越来越快；②前5 min 温度增加的速度越来越慢；③5 min 以后温度保持匀速增加；④5 min 以后温度保持不变． 其中正确的说法是________．解析 因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平，即5 min 前每当t 增加一个单位增量Δt ，则y 相应的增量Δy 越来越小，而5 min 后是y 关于t 的增量保持为0，则②④正确． 答案 ②④6．计算机的成本不断下降，若每隔5年计算机的价格降低现价格的1m，现在价格5 400元的计算机经过15年的价格为________元．解析 5年后的价格为5 400⎝⎛⎭⎪⎫1－1m 元，10年后的价格为5 400⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2元，15年后的价格为5 400⎝⎛⎭⎪⎫1－1m 3元．答案 5 400⎝⎛⎭⎪⎫1－1m 37．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q100成正比，且当Q ＝900时，V ＝1.(1)求出V 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数． 解 (1)设V ＝k ·log 3Q100，∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V ＝12log 3Q 100.(2)令V ＝1.5，则1.5＝12log 3Q100，∴Q ＝2 700，所以，一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位．能力提升8．如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )．解析 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢，与B 图象相吻合．答案 B9．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系式为：y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只． 解析 把x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得：a ＝100， 故函数关系式为y ＝100log 2(x ＋1)， ∴当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300. 所以到第7年这种动物发展到300只． 答案 30010．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L 水，t min 后剩余的水符合指数衰减函数y 1＝a e－n t，那么桶2中的水就是y 2＝a －a e－n t，假定5 min 后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有a4L?解 由题意，得a e －5n＝a －a ·e －5n， 即e－5n＝12.①设再过t min 后桶1中的水有a4，则ae－n (t ＋5)＝a4，e －n (t ＋5)＝14. ② 将①式平方得e－10n＝14，③比较②，③得－n (t ＋5)＝－10n ，∴t ＝5.即再过5 min 后桶1中的水只有a4L ．36531 8EB3 躳6 c27601 6BD1 毑237955 9443 鑃33937 8491 蒑 X '25091 6203 戃 20095 4E7F 乿。
不同函数增长的差异层级(一) “四基”落实练1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是( )A．y＝x2B．y＝log2xC．y＝2x D．y＝2x答案：D2．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严峻，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x解析：选C 将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算可知较为近似的是y＝2x10.3．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变更状况如下表：则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变更的变量依次为( )A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2解析：选C 通过比较指数型函数，对数型函数，直线型函数的增长规律可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变更符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变更符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变更符合此规律，故选C.4．如图所示是某条公共汽车路途收支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车票收入－支出费用)．由于目前本条路途在亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(1)是不变更车票价格，削减支出费用；建议(2)是不变更支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法中正确的是( )A ．①反映了建议(2)，③反映了建议(1)B ．①反映了建议(1)，③反映了建议(2)C ．②反映了建议(1)，④反映了建议(2)D ．④反映了建议(1)，②反映了建议(2)解析：选B 建议(1)是不变更车票价格，削减支出费用，也就是增大y ，车票价格不变，即平行于原图象，故①反映了建议(1)；建议(2)是不变更支出费用，提高车票价格，即图形增大倾斜度，提高价格，故③反映了建议(2)．故选B.5．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________． 解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快， 所以x 2要比x ln x 增长的要快． 答案：y ＝x 26．某企业常年生产一种出口产品，由于技术革新后，该产品的产量平稳增长．记2014年为第1年，且前4年中，第x 年与年产量f (x )(万件)之间的关系如下表所示：x 1 2 3 4 f (x )4.005.587.008.44若f (x )近似符合以下三种函数模型之一：f (x )＝ax ＋b ，f (x )＝2x ＋a ，f (x )＝log 12x ＋a .(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式(所求a 或b 的值保留1位小数)；(2)因遭遇某国对该产品进行反倾销的影响，从2024年起，年产量比预料削减30%，试依据所建立的函数模型，确定2024年的年产量．解：(1)符合条件的是f (x )＝ax ＋b .理由如下： 若模型为f (x )＝2x＋a ，则由f (1)＝21＋a ＝4，得a ＝2，即f (x )＝2x＋2，此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与已知相差太大，不符合． 若模型为f (x )＝log 12x ＋a ，则f (x )是减函数，与已知不符合．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.5，b ＝2.5，所以f (x )＝1.5x ＋2.5，x ∈N *.(2)2024年预料年产量为f (8)＝1.5×8＋2.5＝14.5(万件)， 2024年实际年产量为14.5×(1－30%)＝10.15(万件)．层级(二) 实力提升练1．下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝x -12在区间(0，＋∞)上的衰减状况说法正确的是( )A ．f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B ．f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C ．f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D ．f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快 解析：选C 视察函数f (x )＝log-12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝x -12在区间(0，＋∞)上的大致图象如图，可知：函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度渐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.2.高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是( )解析：选B v ＝f (h )是增函数，且曲线的斜率应当是先变大后变小，故选B. 3．同一坐标系中，画出函数y ＝x ＋5和y ＝2x的图象，并比较x ＋5与2x的大小．解：依据函数y ＝x ＋5与y ＝2x的图象增长差异得： 当x ＜3时，x ＋5＞2x； 当x ＝3时，x ＋5＝2x ； 当x ＞5时，x ＋5＜2x .4．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，假如不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？解：设树林最初栽植量为a ，甲方案在10年后树木产量为y 1＝a (1＋20%)5(1＋10%)5＝a (1.2×1.1)5≈4a .乙方案在10年后树木产量为y 2＝2a (1＋20%)5＝2a ×1.25≈4.98a .y 1－y 2＝4a －4.98a <0，因此，乙方案能获得更多的木材(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)．层级(三) 素养培优练某鞋厂从今年1月份起先投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售状况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，须要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，②二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，③指数型函数m (x )＝ab x＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产娴熟和理顺了生产流程，厂里也短暂不打算增加设备和工人，假如你是厂长，将会采纳什么方法估计以后几个月的产量？解：将已知前四个月的月产量y 与月份x 的关系记为A (1，1)，B (2,1.2)，C (3,1.3)，D (4,1.37)．①对于一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，将B ，C 两点的坐标代入，有f (2)＝2k ＋b ＝1.2，f (3)＝3k ＋b ＝1.3，解得k ＝0.1，b ＝1，故f (x )＝0.1x ＋1.所以f (1)＝1.1，与实际误差为0.1，f (4)＝1.4，与实际误差为0.03.②对于二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7，故g (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.所以g (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3， 与实际误差为0.07.③对于指数型函数m (x )＝ab x＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.故m (x )＝－0.8×0.5x＋1.4.所以m (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m (x )最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，起先随着工人技术、管理效益渐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到肯定时期后，设备不更新，那么产量必定要趋于稳定，而m (x )恰好反映了这种趋势，因此选用m (x )＝－0.8×0.5x＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．。
几类不同增长的函数模型班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________寒假作业【基础过关】1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图象大致为A. B. C. D.2．当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的是( )A.y=100xB.y=log100xC.y=x100D.y=100x3．某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来的价格相比,变化情况是 ( )A.增加7.84%B.减少7.84%C.减少9.5%D.不增不减4．已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,则当2<x<4时,有( )A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2D.y2>y3>y15．假设某商品靠广告销售的收入与广告费之间满足关系，那么广告效应D，当 时，取得最大广告效应，此时收入 .6．四个变量，，，随变量变化的数据如下表：05101520253051305051130200531304505594.4781785.2337335305580105130155 52.31071.42951.14071.0461 1.0151 1.005关于呈指数型函数变化的变量是 .7．试比较函数y=x200,y=e x,y=lg x的增长差异.8．有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内,年增长20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长10%,现有两种砍伐方案:甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次.请计算后回答:十年后哪一个方案可以得到较多的木材?(不考虑最初的树苗成本,只按成材的树木计算)【能力提升】已知桶1与桶2通过水管相连如图所示,开始时桶1中有a L水,t min后剩余的水符合指数衰减函数y1=a·e-nt,那么桶2中的水就是y2=a-a·e-nt,假定5 min后,桶1中的水与桶2中的水相等,那么再过多长时间桶1中的水只有 L?答案【基础过关】1．D【解析】由已知可推断函数模型为指数函数.2．D【解析】由于指数函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.3．B【解析】设该商品原价为a,则四年后的价格为a(1+20%)2(1-20%)2=0.921 6a,所以(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a,即四年后的价格比原来的价格减少了7.84%.4．B【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.5． 【解析】，∴，即时，D最大.此时.6．【解析】由于指数函数的增长呈“爆炸式”，结合表中数据可知，关于x呈指数型函数变化的变量是.7．增长最慢的是y=lg x,由图象(图略)可知随着x的增大,它几乎平行于x轴.当x较小时,y=x200要比y=e x增长得快;当x较大(如x>1 000)时,y=e x要比y=x200增长得快. 8．设最初栽植量为a,甲方案在10年后木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.1×1.2)5≈4a.乙方案在10年后木材产量为y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.∴y1-y2=4a-4.98a<0,则y1<y2.因此,十年后乙方案可以得到较多的木材.【能力提升】由题意,得a·e-5n=a-a·e-5n,即e-5n= ①.设再过t min桶1中的水只有 L,则a·e-n(t+5)=a,即e-n(t+5)= ②.将①式两边平方得e-10n= ③,比较②,③得-n(t+5)=-10n,∴t=5.即再过5 min桶1中的水只有 L.。
人教版A版高中数学必修一第3章 3.2.1几类不同增长的函数模型同步练习B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共5题；共10分)1. （2分）下列各组函数中表示同一函数的是（）A . 与B . 与C . 与D . 与2. （2分） (2019高一上·会宁期中) 下列命题中：①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=xn 的图象是一条直线；④当n＞0时，幂函数y=xn是增函数；⑤当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小。
其中正确的是（）A . ①和④B . ④和⑤C . ②和③D . ②和⑤3. （2分）已知函数是偶函数，其图像与x轴有四个不同的交点，则函数的所有零点之和为（）A . 0B . 8C . 4D . 无法确定4. （2分）下列函数中，图象如图的函数可能是（）A . y=B . y=C . y=D . y=5. （2分）建造一个容积为8米3 ，深为2米的长方体无盖水池，如池底和池壁的造价分别为120元/米2和80元/米，则总造价与一底边长x的函数关系式为（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)6. （1分）以下是三个变量y1 ， y2 ， y3随变量x变化的函数值表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y301 1.5852 2.322 2.585 2.8073…其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．7. （1分）(2017·山西模拟) 甲、乙两位打字员在两台电脑上各自输入A，B两种类型的文件的部分文字才能使这两类文件成为成品．已知A文件需要甲输入0.5小时，乙输入0.2小时；B文件需要甲输入0.3小时，乙输入0.6小时．在一个工作日中，甲至多只能输入6小时，乙至多只能输入8小时，A文件每份的利润为60元，B文件每份的利润为80元，则甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的最大利润是________元．8. （1分） (2016高一上·佛山期末) 某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在________年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）三、解答题 (共3题；共25分)9. （5分） (2017高一上·鞍山期中) 某水果店购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为，销售量Q（kg）与时间t（天）的函数关系式为Q=﹣2t+120．（Ⅰ）该水果店哪一天的销售利润最大？最大利润是多少？（Ⅱ）为响应政府“精准扶贫”号召，该店决定每销售1kg水果就捐赠n（n∈N）元给“精准扶贫”对象．欲使捐赠后不亏损，且利润随时间t（t∈N）的增大而增大，求捐赠额n的值．10. （10分） (2017高三上·烟台期中) 某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤12）满足：当1＜x≤4时，y=a（x﹣3）2+ ，（a，b为常数）；当4＜x≤12时，y= ﹣100．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大．（≈2.65）11. （10分） (2016高一上·闵行期中) 某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55 元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期待电价为0.4元/kW•h，下调电价后新增加的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K），该地区的电力成本为0.3元/kW•h．（注：收益=实际用电量×（实际电价﹣成本价）），示例：若实际电价为0.6元/kW•h，则下调电价后新增加的用电量为元/kW•h）（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系；（2）设K=0.2a，当电价最低为多少仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%？参考答案一、单选题 (共5题；共10分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、二、填空题 (共3题；共3分)6-1、7-1、8-1、三、解答题 (共3题；共25分)9-1、10-1、10-2、11-1、11-2、。
第 29 课时几类不一样样增添的函数模型课时目标1.掌握常有增函数的定义、图象、性质并意会其增添快慢．2．理解直线上涨、对数增添、指数爆炸增添的含义．识记增强1．三种函数模型的性质函数xy＝log a x( a>1)n性质y＝ a ( a>1)y＝ x ( n>0)在 (0 ，＋∞ ) 上的增增函数增函数增函数减性图象的变化随 x 增大逐渐与随 x 增大逐渐与 x随 n 值而不一样样y 轴平行轴平行2. 三种函数的增添快度比较x n(1)在区间 (0 ，＋∞ ) 上，函数y＝a ( a>1) ，y＝ log a x( a>1) 和y＝x ( n>0) 都是增函数，但增添快度不一样样，且不在同一个“品位”上．(2) 跟着x 的增大，y＝x( >1) 增添快度愈来愈快，会超出并远远大于y＝n(n>0) 的增a a x长速度，而y＝log a x( a>1)的增添快度愈来愈慢．x n(3)存在一个 x0，当 x>x0时，有 a >x >log a x课时作业( 时间： 45 分钟，满分： 90 分 )一、选择题 ( 本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分)1．下表是函数值y随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最切合的函数模型是()x34567yA. 一次函数B．二次函数C．指数型函数 D ．对数型函数答案： C解析：画出图形，以以以下图．跟着自变量x 的增添，函数值y 以“爆炸”式的速度增添，故为指数型函数模型．2．在某种新式资料的研制中，实验人员获取了以下一组实验数据．现准备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，此中最凑近的一个是( )x 23456A. ＝ log By2．＝ 2xyx yC ． y ＝1( x 2－ 1) D ． y ＝ x2答案： A解析： 解，关于 A ，函数 y ＝ log 2 x ，是对数函数，增添快度缓慢，且在＝ 2 时 y ＝ 1， xx＝4 时 y ＝ 2，基本切合要求；关于 B ，函数 y ＝ 2x 是指数函数，增添快度很快，且在x ＝ 21 2时 y ＝ 4， x ＝4 时 y ＝ 16，代入值误差较大，不切合要求；关于C ，函数 y ＝2( x － 1) 是二次 函数，且当 x ＝ 2 时 y ＝ ，x ＝ 4 时 y ＝ ，代入值误差较大，不切合要求；关于D ，函数 y ＝ x 是周期函数，且在 [2,3] 内是减函数， x ＝ 3 时 y ＜ 0，x ＝ 4 时 y ＜ 0，不切合要 求．应选 A.3．某种细菌在培育过程中，每 15 分钟分裂一次 ( 由一个分裂成两个) ，则这类细菌由 1个生殖成 4 096 个需经过 ( )A ． 12 小时B ．4小时C ．3 小时D ．2小时答案： C解析： 设共分裂了 x 次，则有 2x ＝ 4 096.x12∴ 2 ＝ 2 ，即 x ＝ 12. 又∵每次 15 分钟，∴共 15×12＝ 180 分钟，即 3 小时．4．某公司营销人员的月收入与其每个月的销售量成一次函数关系，已知销售 收入为 800 元，销售 3 万件时，收入为 1 600 元，那么没有销售时其收入为A ． 200 元B ．400 元C ． 600 元D ．800 元(1 万件时， )答案： B解析： 设月收入 y 元与销售量 x 万件之间的函数关系式为y ＝ kx ＋ b ( k ≠0) ，800＝ k ·1＋ bk ＝ 400将已知条件代入得，解得，1 600 ＝ k ·3＋ bb ＝ 400∴ y ＝ 400x ＋ 400，当 x ＝0 时， y ＝400.所以，营销人员在没有销售时的收入是400 元．5．据报导，某淡水湖的湖水在 50 年内减少了 10%，若年均匀减少率相等，按此规律，设 2013 年的湖水量为 m ，从 2013 年起，经过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关系为 ()xxA ． y ＝50B ．y ＝ (1 －50) mx50xC ． y ＝50m D ． y ＝ (1 －) m答案： C1解析： 设每年湖水量为上一年的q %，则 ( q %)50＝ ，所以 q %＝ 50 ，所以 x 年后的x湖水量 y ＝ 50 m .6.以以以下图的是某池塘中的浮萍延伸的面积y(m2)与时间 t (月)的关系： y＝ a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；2②第 5 个月时，浮萍面积就会超出；30 m③浮萍从 4 m2延伸到 12 m 2需要经过个月；④浮萍每个月增添的面积都相等；⑤若浮萍延伸到222t 1、 t 2、 t 3，则 t 1＋ t 2＝ t 3.此中正2m、 3 m 、 6m 所经过的时间分别为确的命题个数为 ()A．1 B ．2C．3 D ．4答案： C解析：由图象可知①②⑤正确．二、填空题 ( 本大题共 3 个小题，每题 5 分，共15 分)7．若＞ 1，＞ 0，那么当x足够大时，x，n，log a的大小关系是 ________．a n a x xx＞ x n a答案： a＞ log xx＞n＞ log a .解析：由教材结论易知a x x 8．一个水池每小时注入水量是全池的1y 随灌水时间 x 变10，水池还没灌水部分的总量化的关系式是 ________．1答案： y＝1－10x(0≤ x≤10)解析：依题意列出函数式即可．9．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x 的函数，则它的解析式为________．答案： y＝20－2x(5＜ x＜10)解析：周长＝ 20＝y＋ 2x，故得y＝ 20－2x，又y＞0，得x＜ 10. 又三角形两边之和大于第三边，有 2x＞y，即 2x＞ 20－2x，得x＞ 5. ∴ 5＜x＜ 10.三、解答题 ( 本大题共 4 小题，共 45 分 )10． (12 分 ) 某货物，假如月初售出可盈余100 元，再将本利都投资，已知投资获取的月利率为 2.4%. 假如月底售出可盈余120 元，但要付保留费 5 元．问这类货物是月初售出好，还是月底售出好？解：设这类货物的成本费为 a 元，则若月初售出，到月底可盈余y1＝100＋(a＋100) ×2.4%＝ 102.4 ＋0.024 ；a2元 ) ．若月底售出，可盈余 y ＝120－5＝115(又 y1－ y2＝ a－＝0.024( a－525)，所以当 a>525时， y1>y2；当 a＝525时， y1＝y2；当 a<525时， y1<y2.故看作本大于 525 元时，月初售出好；看作本为525 元时，月初售出与月底售出盈余相等；看作本小于525 元时，月底售出好．11．(13 分 ) 某工厂今年 1 月、2 月、3 月分别生产某产品 1 万件、万件、1.3 万件．为预计此后每个月的产量，以这三个月的产量为依照，用一个函数模拟该产品的月产量y(单位：万件 ) 与月份x 的关系，模拟函数可采纳二次函数或函数y＝·x＋ (a，，c为常数 ) ．已a b c b知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，请问：用以上哪个函数作模拟函数较好？并说明原由．解： 设二次函数 y ＝ Ax 2＋ Bx ＋ C ( A ≠0) ，则A ＋B ＋C ＝ 1A ＝－4A ＋ 2B ＋ C ＝ 1.2 ，解得 B ＝，9 ＋3 ＋ ＝＝AB CC所以二次函数为 y ＝－ x 2＋ x ＋ ，当 x ＝4 时， y ＝ ；若 y ＝ · x ＋ ( ， ， c 为常数 ) ，则a b c a b＋ ＝ 1a ＝－abcab 2＋ c ＝ ，解得 b ＝，ab 3＋ c ＝c ＝即 y ＝－ × x ＋ ，当 x ＝4 时， y ＝－ × 4＋ ＝1.35.由此可知，用函数 y ＝－ ×x＋作模拟函数比较好．能力提高此中12． (5 分 ) 拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费由 f ( m ) ＝m ＞ 0， [ m ] 是大于或等于 m 的最小整数，如 [4] ＝ 4， [2.7] ＝ 3，[3.8]×[m ] ＋ 1) 给出，＝ 4，则从甲地到乙地通话时间为A ． 3.71 B C ． 4.24 D5.5 分钟的话费为 ．．()答案： C解析： f (5.5) ＝ × ×[5.5] ＋ 1) ＝ × ×6＋ 1) ＝ 4.24.13． (15 分 ) 丛林拥有净化空气的功能，经研究发现，丛林净化空胸襟Q 与丛林面积SS的关系是 Q ＝ 50log 210.(1) 若要保证丛林拥有净化见效 ( Q ≥0) ，则丛林面积最少多少个单位？(2) 当某丛林面积为 80 个单位时，它能净化的空胸襟为多少个单位？解： (1) 由题，知当 Q ＝ 0 时，代入关系式可得 0＝ 5log 2S，解得 ＝ 10.10S由于 Q 随 S 的增大而增大，所以当 Q ≥0时， S ≥10，即丛林面积最少 10 个单位．(2) 将 S ＝ 80 代入关系式得80Q ＝ 50log 210＝ 50log 28＝ 150.即丛林面积为 80 个单位时，它能净化的空胸襟为150 个单位．。
课时作业(二十二) 几类不同增长的函数模型[学业水平层次]一、选择题1．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50 B ．y ＝1 000x C ．y ＝2x －1D ．y ＝11 000ln x 【解析】 指数函数模型增长速度最快，故选C. 【答案】 C2．今有一组数据如下：( ) A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2【解析】 ∵log 24＝2可排除A ；log 124＝－2，可排除B ；2×6－2＝10；可排除D.代入一些数据检验知C 最接近．【答案】 C3．若x ∈(0，1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x>x 12>lg x B ．2x>lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．lg x >x 12>2x【解析】 如图所示，由图可知当x ∈(0，1)时，2x>x 12>lg x .【答案】 A4．某商品降价20%，由于原材料上涨，欲恢复原价，则需提价( ) A ．10% B ．15% C ．20%D ．25%【解析】 设该商品原价为a ，需提价x ，依题意得a (1－0.2)(1＋x )＝a ，∴45＋45x ＝1， 得x ＝14＝25%，故选D.【答案】 D 二、填空题5．已知甲、乙两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50 km/h 的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s 表示为时间t 的函数，则此函数表达式为________．【解析】 当0≤t ≤2.5时s ＝60t ，当2.5＜t ＜3.5时，s ＝150，当35≤t ≤6.5时，t ＝150－50(t －3.5)＝325－50t ， 综上所述，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t （0≤t ≤2.5），150 （2.5＜t ＜3.5），325－50t （3.5≤t ≤6.5）.【答案】 s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t （0≤t ≤2.5），150 （2.5＜t ＜3.5），325－50t （3.5≤t ≤6.5）.6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒． 【解析】 当v ＝12 000时，2 000×ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000，∴ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，∴M m＝e 6－1. 【答案】 e 6－17．某航空公司规定，乘客所携带行李的质量x (kg)与运费y (元)由图324的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为________．图324【解析】 设y ＝kx ＋b ，将点(30，330)、(40，630)代入得y ＝30x －570，令y ＝0，得x ＝19.故最大质量为19 kg. 【答案】 19 kg 三、解答题8．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h (米)与生长时间t (年)的相关数据，选择h ＝mt ＋b 与h ＝log a (t ＋1)来刻画h 与t 的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.t (年) 1 2 3 4 5 6 h (米)0.611.31.51.61.7【解】由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．不妨将(2，1)代入到h＝log a(t＋1)中，得1＝log a3，解得a＝3.故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．9．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图325(1)、图(2)所示．图(1) 图(2)图325(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．【解】(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1，y2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29(x ≥0)，y 2＝12x (x ≥0)．(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623. 当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623时，y 1>y 2，即便民卡便宜；当x >9623时，y 1<y 2，即如意卡便宜．[能力提升层次]1．(2014·郑州高一检测)某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110x 2＋2xC ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x【解析】取x＝1，2，3代入各选项函数解析式中检验即可．【答案】 C2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是( )【解析】兔子在中间一段时间内路程是不变的，且当乌龟到达终点时兔子还差一点．故选B.【答案】 B图3263．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图326所示．现给出下列说法：①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．(填序号)【解析】因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量，则y相应的增量越来越小，而5min 后是y 关于t 的增量保持为0，则②④正确．【答案】 ②④4．(2014·阜阳高一检测)有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时5元；乙中心按月计算，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲中心健身活动x (15≤x ≤40)小时的收费为f (x )元，在乙中心健身活动x 小时的收费为g (x )元，试求f (x )和g (x )． (2)问：选择哪家比较合算？为什么？ 【解】 (1)f (x )＝5x ，15≤x ≤40，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤30，30＋2x ，30＜x ≤40.(2)当5x ＝90时，x ＝18， 即当15≤x ＜18时，f (x )＜g (x )； 当x ＝18时，f (x )＝g (x )， 当18＜x ≤40时，f (x )＞g (x )；所以当15≤x ＜18时，选甲比较合算；当x ＝18时，两家一样合算；当18＜x ≤40时，选乙比较合算．。
