安徽省2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷(四)

安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.中国海军第一艘国产航母001A 型航母在2017年4月26日下水，该航母的飞行甲板长约300米，宽约70米，总面积约21000平方米，将21000用科学记数法表示应为（ ）A ．50.2110⨯B ．42.110⨯C ．32110⨯D ．52.110⨯2.下列整式计算的结果为6a 是（ ）A ．33a a +B ．122a a +C ．23()aD ．24()a 3.如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4.用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5是指（ ）A ．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次B ．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次C.抛掷2n 次硬币，恰好有n 次“正面朝上”D ．抛掷n 次，当n 越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.55.分式11x --可变形为（ ） A ．11x -- B ．11x + C. 11x -+ D ．11x -6.不等式12x +≥的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C.D ． 7.已知实数755+的小数部分为a ，575-的小数部分为b ，则57a b +的值为（ ） A ． 4 B ．5 C. 6 D ．78.在抛物线223y ax ax a =--上有1(0.5,)A y -、2(2,)B y 、3(3,)C y 三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则1y 、2y 和3y 的大小关系为（ ）A ．312y y y <<B ．321y y y << C. 213y y y << D ．123y y y <<9.如图，在矩形ABCD 中，AB a =，AD b =，分别延长AB 至点E ，AD 至F ，使得()AF AE c b a c ==<<，连接EF ，交BC 于点M ，交CD 于点N ，则AMN ∆的面积为（ ）A ．1()2c a b c +-B ．1()2c b c a +- C. 1()2c a c b +- D ．1()2a b c a +- 10.挑棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走，如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走（ ）A ．②号棒B ．⑦号棒 C.⑩号棒 D ．⑧号棒二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11.分解因式：224ax ay -= ．12.已知集合{||2|3}A x R x =∈+<，集合{|()(2)0}B x R x m x =∈--<，且(1,)AB n =-，则m = ，n = ．13.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，以点A 为圆心，AB 长为半径画圆弧交边DC 于点E ，则BE 的长度为 ．14.如图，,AD AE 分别是ABC ∆的中线和交平分线，2AC =，5AB =，过点C 作CF AE ⊥于F ，连接DF ，有下列结论：①若将ACF ∆沿直线AE 折叠，则点C 恰好落在AB 上；②327AD <<；③若30B ∠=，15FCE ∠=，则55ACB ∠=；④若ABC ∆的面积为S ，则DFC ∆的面积为320S ． 其中正确的结论是 ．（把所有正确结论的序号都选上）三、解答题 （本大题共4小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.计算：01112cos 45(1)()42π--++. 16.已知函数2()426f x x ax a =+++.（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求a 的值；（2）若函数()f x 的函数值均为非负数，求()2|3|g a a a =-+的值域.17. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -.（1）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；（2）将ABC ∆绕着点B 顺时针旋转90后得到22A BC ∆，请在图中画出22A BC ∆，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）.18. 如图，在楼房AB 和塔CD 之间有一棵树EF ，从楼顶A 处经过树顶E 点恰好看到塔的底部D 点，且俯角α为45，从距离楼底B 点1米的P 点处经过树顶E 点恰好看到塔的顶部C 点，且仰角β为30，已知树高6EF =米，求塔CD 的高度.（结果保留根号）四、（本大题共2小题，每题6分，满分12分）19.在反比例函数6(0)y x x =>的函数图像上有点1231,,,,,n n P P P P P +，过点1231,,,,,n n P P P P P +分别作x 轴，y 轴的垂线段，构成若干个矩形，将图形中阴影部分面积从左至右依次记为123,,,,n S S S S .（1）若点1234,,,P P P P 的横坐标依次为1,2,3,4，则1S = ，2S = ，3S = ；（2）若点1231,,,,,n n P P P P P +的横坐标依次为2,4,6，…，则9S = ； 若点1231,,,,,n n P P P P P +的横坐标依次为,2,3,a a a ，则n S = .20.如图，圆O 与直线l 相离，OA l ⊥于点A ，OA 交圆O 于点C ，过点A 作圆O 的切线AB ，切点为B ，连接BC 交直线l 于点D .（1）求证：AB AD =；（2）若tan 2OCB ∠=，圆O 的半径为3，求BD 的长.五、（本大题共1小题，每题10分，满分10分）21.已知抛物线21222y x mx m =+--与x 轴交于,A B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点C . （1）当1m =时，求点A 和点B 的坐标；（2）抛物线上有一点(1,)D n -，若ACD ∆的面积为5，求m 的值；（3）P 为抛物线上,A B 之间一点（不包含,A B ），PM x ⊥轴于点M ，求AM BM PM•的值. 六、（本大题共1小题，每题12分，满分12分）22.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知8AB =.问题思考：如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以,AP BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE .（1）在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果是请求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.（2）分别连接,,AD DF AF ，AF 交DP 于点K ，当点P 运动时，在APK ∆、ADK ∆、DFK ∆中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点,P Q 在正方形ABCD 的边上运动，且8PQ =，若点P 从点A 出发，沿A B C D →→→的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长.（4）如图3，在“问题思考”中，若点,M N 是线段AB 上的两点，且1AM BM ==，点,G H 分别是边,CD EF 的中点，请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所经过的路径的长及OM OB +的最小值.安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题答案一、选择题1-5 B C A D D 6-10 D B A A C二、填空题11. )2)(2(y x y x a -+ 12.－1,1 13.π32 14. ①②④ 三、计算15.223+ 16.（1）－1或1.5 （2） g （a ）的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,419- 17.（1）略 （2）π413 18. 米)326(+ 四、 19.（1）3 121 （2） 151 （3） )1(6+n n 20.（1）证明：连接OB ，∵AB 是圆O 的切线，OA l ⊥，∴90OBA OAD ∠=∠=，又OB OC =，∴OBC COB ACD ∠=∠=∠，∴ADB ABD ∠=∠，∴AB AD =（2）∵tan tan 2AD OCB ACD AC ∠=∠==， 圆O 的半径为3，设AC a =，则2AB AD a ==，在Rt AOB ∆中，222OA AB OB =+，∴222(3)(2)3a a +=+，∴2a =过点A 作AE BD ⊥，则5BD BE ==，∴BD = 五、（1）∵m ＝1，∴ y ＝12x 2＋x －4． 当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0， 解之，得x 1＝﹣4，x 2＝2．∴A （﹣4，0），B （2，0）；（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．当y ＝0时，12x 2＋mx －2m －2＝0， ∴(x －2)(x ＋2m ＋2)＝0，x 1＝2，x 2＝﹣2m －2．∴点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），C （0，﹣2m －2）．∴OA ＝OC ＝2m ＋2，∴∠OAC ＝45°．∵D （﹣1，n ），∴OE ＝1，∴AE ＝EF ＝2m ＋1．又∵n ＝﹣3m －32， ∴DE ＝3m ＋32， ∴DF ＝3m ＋32－(2m ＋1)＝m ＋12． 又∵S △ACD ＝12DF ·AO ． ∴12(m ＋12)(2m ＋2)＝5． 2m 2＋3m －9＝0，(2m －3)(m ＋3)＝0，（3）点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），点B 的坐标为：（2，0）．设点P 的坐标为（p ，q ）．则AM ＝p ＋2m ＋2，BM ＝2－p ．AM ·BM ＝(p ＋2m ＋2)( 2－p )＝﹣p 2－2mp ＋4m ＋4．PM ＝﹣q ．因为，点P 在抛物线上，所以，q ＝12p 2＋mp －2m －2． 所以，AM ·BM ＝2 PM ．即，AM ·BM PM ＝2． 六、21.（1）不是定值，最小值32（2）存在设AP a =，则8PB BF a ==-，∵//PE BF ， ∴PK AP BF AB =，即88PK a a =-， ∴(8)8a a PK -=， ∴2(8)88a a a DK PD PK a -=-=-= ∴21(8)216APK a a S PK PA ∆-=•=，21(8)216DFK a a S DK EF ∆-=•=， ∴DFK APK S S ∆∆=（3）当点P 从点A 出发，沿A B C D →→→的线路，向点D 运动时，不妨设点Q 在DA 边上， 若点P 在点A ，点Q 在点D ，此时PQ 的中点O 即为DA 边的中点，若点Q 在DA 边上，且不在点D ，则点P 在AB 上，且不在点A ，此时，在Rt APQ ∆中，O 为PQ 的中点，所以142AO PQ ==， 所以点O 在以A 为圆心，半径为4，圆心角为90的圆弧上，PQ 的中点O 所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧，如图所示，所以PQ 的中点O 所经过的路径的长为32464ππ⨯⨯=， （4）点O 所经过的路径的长为3，OM OB +113安徽六校教育研究会2017级高一新生入学素质测试高一数学试题答案一、选择题1-5 B C A D D 6-10 D B A A C三、填空题12. )2)(2(y x y x a -+ 12.－1,1 13.π32 14. ①②④ 四、计算 16.223+ 16.（1）－1或1.5 （2） g （a ）的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,419- 17.（1）略 （2）π413 18. 米)326(+ 四、 22.（1）3 121 （2） 151 （3） )1(6+n n 23.（1）略 （2）5516 五、（1）∵m ＝1，∴ y ＝12 x 2＋x －4． 当y ＝0时，12x 2＋x －4＝0，解之，得x 1＝﹣4，x 2＝2．∴A （﹣4，0），B （2，0）；……………………………3分（2）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ．当y ＝0时，12x 2＋mx －2m －2＝0， ∴(x －2)(x ＋2m ＋2)＝0，x 1＝2，x 2＝﹣2m －2．∴点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），C （0，﹣2m －2）．……………………………4分 ∴OA ＝OC ＝2m ＋2，∴∠OAC ＝45°．∵D （﹣1，n ），∴OE ＝1，∴AE ＝EF ＝2m ＋1．又∵n ＝﹣3m －32， ∴DE ＝3m ＋32， ∴DF ＝3m ＋32－(2m ＋1)＝m ＋12．……………………………6分 又∵S △ACD ＝12DF ·AO ． ∴12(m ＋12)(2m ＋2)＝5． 2m 2＋3m －9＝0，(2m －3)(m ＋3)＝0，分（3）点A 的坐标为：（﹣2m －2，0），点B 的坐标为：（2，0）．设点P 的坐标为（p ，q ）．则AM ＝p ＋2m ＋2，BM ＝2－p ．AM ·BM ＝(p ＋2m ＋2)( 2－p )＝﹣p 2－2mp ＋4m ＋4．……………………………10分 PM ＝﹣q ．因为，点P 在抛物线上，所以，q ＝12 p 2＋mp －2m －2．所以，AM ·BM ＝2 PM ．即，AM ·BM PM ＝2．……………………………12分 六、24.（1）不是定值，最小值32（2）存在DFK APK DFK APK S S a a EF DK S a a PA PK S a a a a PK PD DK a a PK a a PK AB AP BF PK BFPE aBF PB a AP ∆∆∆∆=∴-=⋅=-=⋅=∴=--=-=∴-=∴=-=∴-===16)8(21,16)8(2188)8(8)8(888222，即，则设。

姓名______座位号______（在此卷上答题无效）高一数学（答案在最后）（人教版A ）本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}250A x x x =-=，则（）A.{}0A∈ B.5A∉ C.{}5A∈ D.0A∈【答案】D 【解析】【分析】用列举法表示出集合A ，再利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得.【详解】依题意，{0,5}A =，所以0A ∈，5A ∈，B 错误，D 正确；显然{}0A ⊆，{}5A ⊆，AC 错误.故选：D2.12+=（）A.4B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数运算、指数式与对数式的互化及换底公式计算即得.【详解】因为1222122log3log3log2==，所以22l11lo3og3g2223622++==⨯=⨯=.故选：B3.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（）A.01y x=-与0y=B.y=与y=C.y x=与z=D.2y x x=+与32x xyx+=【答案】C【解析】【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得.【详解】对于A，函数01y x=-的定义域为{R|0}x x∈≠，函数0y=的定义域为R，两个函数定义域不同，A不是；对于B，函数y=的定义域为{|2}x x≥，函数y=的定义域为{|2x x≤-或2}x≥，两个函数定义域不同，B不是；对于C，函数y x=的定义域为R，函数z=R，且z y==，两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是；对于D，函数2y x x=+的定义域为R，函数32x xyx+=的定义域为{R|0}x x∈≠，两个函数定义域不同，D不是.故选：C4.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点(1,P在角α的终边上，则5πsin(2)6α+=（）A.14 B.14- C.12D.12-【答案】C【分析】根据给定条件，利用正切函数定义求出tan α，再利用二倍角公式结合齐次式法及和角的正弦公式求解即得.【详解】依题意，tan α=，则2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 12ααααααααα====-++，22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin sin cos tan 12ααααααααα--=-===-++所以5π5π5π111sin(2sin 2cos cos 2sin (66622222ααα+=+=-⨯--⨯=.故选：C5.已知“0x ∃∈R ，200202420240x x a --<”为真命题，则实数a 的取值范围为（）A.506a >-B.506a -≥ C.506a -≤ D.506a <-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.【详解】“0x ∃∈R ，200202420240x x a --<”为真命题，则“0x ∃∈R ，20020242024a x x >-”为真命题，而2020012024()506506422022024x x x =≥----，当且仅当012x =时取等号，则506a >-，所以实数a 的取值范围为506a >-.故选：A6.函数()4e xf x x =-在[]3,3-上的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据给定函数的奇偶性，结合(0)1f =-即可判断得解.【详解】依题意，||||()()4||e 4||e x x x f x x f x -=-=---=，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AB ；又(0)1f =-，选项C 不满足，D 符合题意.故选：D7.《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：22ABl ⨯=+矢弦径.如图，公式中“弦”是指扇形中 AB 所对弦AB 的长，“矢”是指 AB 所在圆O 的半径与圆心O 到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O 的直径.若扇形的弦AB =，扇形的圆心角为2π3，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为（）A.16π13-B.8π13--C.16π132-D.8π132--【答案】B 【解析】【分析】利用等腰三角形性质求出圆半径及点O 到弦AB 的距离并求出 AB l ，再由弧长公式求出 AB 的实际值即可计算得解.【详解】取弧AB 的中点C ，连接OC 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，且OC AB ⊥，在等腰AOB中，2π3AB AOB =∠=，则π6OAB ∠=，圆O 半径124πcos 6ABR OA ===，122OD R ==，2CD R OD =-=，因此 2212AB CD l AB R=+=，而扇形弧长的实际值为2π8π33R =，所以该扇形的弧长的近似值与实际值的误差为8π13-.故选：B8.定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()50f -=，则不等式()()160x f x +-≤的解集是（）A.(][],11,11-∞-B.(],11-∞C.[]1,11- D.(][),111,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】利用()f x 的奇偶性与单调性得到()f x 在(0,)+∞上单调递增与()50f =，再分类讨论1x +的取值范围，结合偶函数的性质()()fx f x =即可得解.【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()50f -=，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，()()550f f =-=，因为()()160x f x +-≤，当10x +>，即1x >-时，()60f x -≤，即()()65fx f -≤，所以65x -≤，即565x -≤-≤，解得111x ≤≤，故111x ≤≤；当10x +≤，即1x ≤-时，()60f x -≥，即()()65fx f -≥，所以65x -≥，即65x -≤-或65x -≥，解得1x ≤或11x ≥，故1x ≤-；综上：1x ≤-或111x ≤≤.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分利用偶函数的性质()()fx f x =，从而简化运算得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知a b c >>，则下列结论错误的是（）A.33b c >B.22a c > C.> D.a c b->【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断A ；举例说明判断BCD.【详解】由b c >及3y x =在R 上单调递增，可得33b c >，A 正确；取1,2a c ==-，满足a c >，而2214a c =<=，B 错误；由a b >，知,a b 是否是非负数不确定，当0b <>C 错误；取3,2,1a b c ===，满足a b c >>，而2a c b -==，D 错误.故选：BCD10.已知集合{}29A x x =<，A B ⊆，则（）A.集合A B B ⋃=B.{}33A B x x ⋂=-<<C.集合A B ⋃可能是{}22x x -<<D.{}44x x -<<可能是B 的子集【答案】ABD 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，由已知结合集合运算逐项判断即得.【详解】集合29{|}{3}3|A x x x x ==<<<-，A B ⊆，则A B B ⋃=，{|33}A B A x x ==-<< ，AB 正确；显然()A A B ⊆ ，即{|33}()x x A B -<<⊆ ，而{}22x x -<<是{|33}-<<x x 的真子集，C 错误；由于{|33}x x B -<<⊆，{}{|33}44x x x x -<<⊆-<<，因此{}44x x -<<可能是B 的子集，D 正确.故选：ABD11.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移3π4个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A.1A =B.()g x 的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.7π,02⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心D.()g x 的单调递减区间是11π5π3π,3π44k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，Z k ∈【答案】ABD 【解析】【分析】先利用三角函数的图象求得()f x 的解析式，再利用三角函数平移的性质与正弦函数的性质即可得解.【详解】依题意，由图象可知1A =，3π5π3π43124T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则πT =，故A 正确；因为0ω>，所以2ππω=，则2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+，因为()f x 的图象过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 21π3ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则2ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，即π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，则π6ϕ=-，所以()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到2πsin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，纵坐标变为原来的2倍，得到2π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，向左平移3π4个单位长度，得到函数()23ππ2π2sin 2sin 34633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故B 正确；因为7π27ππ8π2sin 2sin 023233g ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；令3π2ππ2π2π,Z 2332k x k k -+≤+≤-+∈，解得11π5π3π3π,Z 44k x k k -≤≤-∈，所以()g x 的单调递减区间是11π5π3π,3π44k k ⎡⎤--⎢⎣⎦，Z k ∈，故D 正确.故选：ABD.12.已知函数21,0(),0ax x f x x bx x -≤⎧=⎨+>⎩，则下列结论中正确的是（）A.若函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，则0a >且2b ≤-B.若函数()f x 有2个零点，则a<0且0b <C.若函数()f x 有1个零点，则a<0且0b ≥D.若函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则a<0且32b ≤-【答案】AB 【解析】【分析】分类探讨分段函数()f x 的性质，再结合分段函数单调性、零点及最大值逐项分析判断即得.【详解】当0x ≤时，()1f x ax =-，当a<0时，()f x 单调递增，函数值集合为(,1]-∞，当0a =时，()1f x =，当0a >时，()f x 单调递减，函数值集合为[1,)+∞；当0x >时，2()f x x bx =+，当0b ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0b <时，()f x 在(0,)2b -上单调递减，在[,)2b-+∞上单调递增，对于A ，由函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，得012a b >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得0a >且2b ≤-，A 正确；对于B ，当0x >时，2()f x x bx =+，函数()f x 在(0,)+∞上最多一个零点，由函数()f x 有2个零点，得函数()f x 在(,0]-∞上有一个零点，在(0,)+∞上有一个零点，因此a<0且0b <，B 正确；对于C ，当0a ≤时，()1f x ax =-在(,0]-∞上无零点，当0b <时，()f x 在(0,)+∞上有一个零点，则当0a ≤且0b <时，函数()f x 也只有1个零点，C 错误；对于D ，由于函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则()f x 在(,0]-∞上不能单调递减，即0a ≤，且(0)1f =，当0b ≥时，()f x 在(0,2]上单调递增，(2)424f b =+≥，不符合题意，当0b <时，若22b-≥，即4b ≤-，则()f x 在(0,2]上单调递减，()0f x <，此时()f x 在(,2]-∞的最大值为1，因此4b ≤-，若22b -<，即40b -<<，则()f x 在(0,]2b -上单调递减，在[,2]2b-上单调递增，必有(2)421f b =+≤，解得32b ≤-，则342b -<≤-，此时()f x 在(,2]-∞的最大值为1，因此342b -<≤-，综上所述，函数()f x 在(,2]-∞的最大值为1，则0a ≤且32b ≤-，D 错误.故选：AB【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数的图象经过点1(243,)3，那么()f x 的解析式为______；不等式(|)3|f x ≤的解集为______.【答案】①.15()f x x-=②.11(,[,)243243-∞-+∞ 【解析】【分析】利用幂函数过的点求出()f x 的解析式，再利用单调性解不等式即可.【详解】设幂函数()f x x α=，依题意，12433α=，即5133α-=，因此51α=-，解得15α=-，所以函数()f x 的解析式为15()f x x -=；显然函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，且1()3243f =，于是不等式(|)3|f x ≤为：2(||)1()43f f x ≤，解得|4|123x ≥，即1243x ≤-或1243x ≥，所以不等式(|)3|f x ≤的解集为11(,][,)243243-∞-+∞ .故答案为：15()f x x -=；11(,][,)243243-∞-+∞ 14.若π02α<<，02βπ<<，()3cos 5αβ+=-，5cos 13β=，则cos()4πα+=______.【答案】232130-##【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式及和差角的余弦公式计算得解.【详解】由π02α<<，02βπ<<，得0παβ<+<，而()3cos 5αβ+=-，5cos 13β=，则4sin()5αβ+==，12sin 13β==，因此3541233cos cos[()]51351365ααββ=+-=-+=，56sin 65α==，所以πππ23356232cos()cos cos sin sin (44426565130ααα+=-=-=-.故答案为：130-15.已知函数())f x x =，若0m >，0n >，且41()(1)(0)f f f m n+-=，则16m n +的最小值为______.【答案】36【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的奇偶性及单调性，由此求出,m n 的关系式，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】函数())f x x =中，R x ∀∈||x x >≥，则函数()f x 的定义域为R ，而()()))ln10f x f x x x -+=++-==，则函数()f x 是奇函数，显然函数y y x ==-在(,0]-∞上都单调递减，则函数t x =-在(,0]-∞上单调递减，而函数ln y t =在(0,)+∞上单调递增，则函数()f x 在(],0-∞上单调递减，于是函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，因此函数()f x 在R 上单调递减，(0)0f =，由41((1)(0)f f f m n +-=，得411()(1)(1)f f f m n n =--=-，则411m n=-，即411m n +=，于是441616(16)2020236n m m n n m n m n m +++=+=+≥+，当且仅当64n mm n=，即812m n ==时取等号，所以16m n +的最小值为36.故答案为：3616.已知直线y a =与函数()()tan f x x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ<<）的图象所有交点之间的最小距离为2，且其中一个交点为()1,1-，则函数()y f x =的图象与函数223y x =-（3922x -<<）的图象所有交点的横坐标之和为______.【答案】6【解析】【分析】根据给定条件，结合正切函数的图象性质求出()f x ，确定函数()y f x =与223y x =-共同具有的性质，再借助图象求解即可.【详解】依题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的最小正周期为2，则π2ω=，解得π2=ω，于是π()tan()2f x x ϕ=+，由π(1)tan()12f ϕ=+=-，得π3ππ,Z 24k k ϕ+=+∈，而π02ϕ<<，取π0,4k ϕ==，因此ππ()tan()24f x x =+，显然33ππ()tan()0244f =+=，则函数()y f x =的图象关于点3(,0)2成中心对称，又函数223y x =-的图象关于点3(,0)2成中心对称，在同一坐标系内作出函数()y f x =和223y x =-的图象，观察图象知，两个函数在39(,)22-的图象共有4个公共点，且关于点3(,0)2成中心对称，所以4个交点的横坐标之和为3462⨯=.故答案为：6【点睛】思路点睛：给定)t )a ()(n(0f x x ωϕω=>＋的性质求解解析式，一般是求出周期定ω，由图象上特殊点求ϕ.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）1105448132()()πlog 816243-++-；（2）2log 33810log log 274lglg303-⋅---.【答案】（1）52；（2）212-.【解析】【分析】（1）利用指数运算法则、对数换底公式计算即得.（2）利用对数运算法则、对数换底公式计算即得.【小问1详解】2421111045355448132333335(()πlog 8[(][()]1log 2116243222222-++-=++-=+-=.【小问2详解】2log 3810log log 274lglg303-⋅---2312312log 332232310log 3log 3log 22lg(30)3=-⋅--⨯2log 32232)23321log 3log 2(2lg10013222=-⋅--=---=-.18.已知3πtan()74α-=.（1）求sin 2cos sin 3cos αααα+-的值；（2）若π(π,)2α∈--，求sin 2cos 2αα+的值.【答案】（1）119-；（2）24102510+.【解析】【分析】（1）利用差角的正切公式求出tan α，再利用齐次式法计算即得.（2）利用同角公式求出sin ,cos αα，再利用二倍角公式计算即得.【小问1详解】由3πtan()74α-=，得tan tantan 17n 3π1tan 1ta π4n 3t 4a αααα-+==-+，解得3tan 4α=，所以32sin 2cos tan 21143sin 3cos tan 3934αααααα+++===----.【小问2详解】由π(π,)2α∈--，得ππ(,)224α∈--，则sin 0,cos 0,cos 02ααα<<>，由3tan 4α=，得3sin cos 4αα=，而22sin cos 1αα+=，解得34sin ,cos 55αα=-=-，于是3424sin 22sin cos 2(()5525ααα==⨯-⨯-=，又21cos 1cos 2210αα+==，则cos 210α=，所以0sin 2cos224251αα++=.19.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立.若1x >时，()0f x <.（1）判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求解关于x 的不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集.【答案】（1）()f x 在()0,∞+上单调递减，证明见解析（2）()1,+∞【解析】【分析】（1）利用单调性的定义结合已知即可证明；（2）利用赋值法求出164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据已知结合函数的单调性，将不等式化得到关于x 的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】()f x 在()0,∞+上单调递减，证明如下：因为x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立，当1x >时，()0f x <，12,0x x ∀>，且12x x <，则211x x >，则()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.【小问2详解】因为因为x ∀，()0,y ∈+∞，总有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭成立，所以()()x f f y f x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()()()f x f y f xy +=，因为132f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以1116422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭可化为3144x f f x ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎡⎤⎣⎦⎭⎥，所以31440304x x x x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪⎪->⎪⎩，解得1x >.所以不等式()364f x x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集为()1,+∞.20.已知函数()22f x x ax =+-.（1）若关于()f x 的不等式()0f x <的解集为(),2b ，求a ，b 的值；（2）已知当[]1,2x ∈-时，()336xxf -≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =-，1b =-（2）43,3⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据已知结合三个二次之间的关系，列出关于,a b 的方程组，解之即可得解；（2）利用换元法将问题转化为41a t t -≥+在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，再利用对勾函数的性质求得max4t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而得解.【小问1详解】因为()22f x x ax =+-，且()0f x <的解集为(),2b ，所以b 和2是方程220x ax +-=的两个不等实根，且2b <，由韦达定理可得222b a b +=-⎧⎨=-⎩，解得11a b =-⎧⎨=-⎩，故1a =-，1b =-.【小问2详解】因为()22f x x ax =+-，所以()()23332x xx f a ⋅=+-，则()336xxf -≤可化为()233362x x x a ≤+--⋅，整理可得()()21334xx a +⋅≤-，令3x t =，[]1,2x ∈-，所以1,93t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则上式可化为()241t a t ≤+-⋅在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即41a t t -≥+在1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为44t t +≥=，当且仅当4t t =，即2t =时，等号成立，所以由对勾函数的性质可知4y t t =+在1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]2,9上单调递增，而当13t =时，7313343y +==⨯；当9t =时，485999y +==；所以max 4373t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3713a -≥，所以343a ≤-，所以实数a 的取值范围为43,3⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.21.某学校校园内有一个扇形空地AOB （πAOB ∠<），该扇形的周长为10π203+，面积为50π3，现要在扇形空地AOB 内部修建一矩形运动场馆CDEF ，如图所示.（1）求扇形空地AOB 的半径和圆心角；（2）取CD 的中点M ，记MOD θ∠=.（i ）写出运动场馆CDEF 的面积S 与角θ的函数关系式；（ii ）求当角θ为何值时，运动场馆CDEF 的面积最大？并求出最大面积.【答案】（1）扇形空地AOB 的半径为10，圆心角为π3；（2）（i）π200sin(23S θ=+-π(0,6θ∈；（ii ）π12θ=，200-【解析】【分析】（1）利用扇形弧长公式、扇形面积公式列出方程求解并验证即得.（2）（i ）借助直角三角形的边角关系求出函数关系式；（ii ）利用正弦函数的性质求解最值.【小问1详解】设扇形空地AOB 所在圆半径为r ，扇形弧长为l ，依题意，10π2203150π23r l rl ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1010π3r l =⎧⎪⎨=⎪⎩或5π320r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩，当5π320r l ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，圆心角12ππl AOB r ∠==>，不符合题意，当1010π3r l =⎧⎪⎨=⎪⎩时，圆心角ππ3l AOB r ∠==<，符合题意，所以扇形空地AOB 的半径为10，圆心角为π3.【小问2详解】（i ）由（1）知，π3AOB ∠=，则π(0,6θ∈，在Rt MOD △中，10cos ,10sin OM DM θθ==，则10sin EN DM θ==，在Rt EON △中，π6EON ∠=，tan ENON EONθ==∠，于是10cos MN OM ON θθ=-=-，所以220sin (10cos )S EN MN θθθ=⋅=-2200sin cos 100sin 2cos 2)θθθθθ=-=--π100(sin 22)200sin(23θθθ=+-=+-，π(0,)6θ∈.（ii ）由（i ）知，当π(0,)6θ∈时，ππ2π2(,)333θ+∈，则当ππ232θ+=，即π12θ=时，max 200S =-所以当π12θ=时，运动场馆CDEF 的面积最大，最大面积为200-【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.22.已知函数4(2)4log af x x xb -=+（0a >，1a ≠，2b ≠-）是定义在(2,2)-上的奇函数.（1）求(0)f 和实数b 的值；（2）若()f x 满足2(2)(32)0f t f t -+-<，求实数t 的取值范围；（3）若01a <<，问是否存在实数m ，使得对定义域内的一切t ，都有2(2)(10)f t f mt +++>恒成立？【答案】（1）(0)0f =，2b =；（2）当01a <<时，01t <<，当1a >时，413<<t ；（3）存在，116m =.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合奇函数的定义求解即得.（2）按01,1a a <<>分类，利用单调性解不等式即得.（3）利用奇函数及意识性脱去法则，转化为恒成立的不等式组，再借助二次函数分类求解.【小问1详解】依题意，420(0)log log 1004aa fb -⨯===⨯+，又()f x 是(2,2)-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即42()42log log ()44a a x xb x bx ---=--++，亦即424log log 442aa x bx bx x++=-+-，整理得22216416x b x -=-，于是24b =，而2b ≠-，所以2b =.【小问2详解】由（1）知，424288()log log log (1)(0,1)242424a a a x x f x a a x x x ---+===->≠+++，显然函数8124y x =-+在(2,2)-上单调递减，由奇函数性质及2(2)(32)0f t f t -+-<，得2(2)(32)(23)f t f t f t -<--=-，当01a <<时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，则()f x 在(2,2)-上单调递增，不等式化为222232t t -<-<-<，解得01t <<，当1a >时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(2,2)-上单调递减，不等式化为222322t t -<-<-<，解得413t <<，所以当01a <<时，01t <<；当1a >时，413<<t .【小问3详解】假定存在实数m ，对定义域内的一切t ，都有2(2)(10)f t f mt +++>恒成立，即2(1(2)()2)f mt f t f t +>-+=--恒成立，当01a <<时，由（2）知函数()f x 在(2,2)-上单调递增，不等式化为2212212222mt t mt t ⎧+>--⎪-<+<⎨⎪-<--<⎩，整理得22303140mt t mt t ⎧++>⎪-<<⎨⎪-<<⎩，于是有231mt -<<对任意40t -<<恒成立，则2231m t t-<<，当40t -<<时，223311(,),(,)1616t t -∈-∞-∈+∞，因此311616m -≤≤；有230mt t ++>对任意40t -<<恒成立，设2()3g t mt t =++，①当0m >时，函数2()3g t mt t =++的图象开口向上，对称轴102t m=-<，（i ）当1120m ∆=->，即112m <时，必有(4)1610142g m m-=-≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，则111612m ≤<；（ii ）当1120m ∆=-=，即112m =时，2211()3(6)01212g t t t t =++=+>在(4,0)t ∈-上恒成立，则112m =；（iii ）当1120m ∆=-<，即112m >时，()0g t >在(4,0)t ∈-上恒成立，则112m >；②当0m ≤时，(4)16110g m -=-≤-<，不满足()0g t >在(4,0)t ∈-上恒成立，综上得311616m -≤≤且116m ≥，所以存在116m =使得对定义域内的一切t ，都有()2(2)10f t f mt +++>恒成立.。

2023—2024学年安徽省部分学校高一上学期期末质量检测数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知幂函数的图象经过点，则（）A．B．C．D．(★★) 3. 若，则为（）A．第一、二象限角B．第二、三象限角C．第一、三象限角D．第一、四象限角(★★) 4. 已知函数是奇函数，则（）A．B．1C．D．2(★★) 5. 函数的值域为（）A．B．C．D．(★★★) 6. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，）A．33B．35C．37D．39(★★) 7. 已知函数，则（）A．4047B．4048C．4049D．4050(★★★) 8. 已知数若且，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 已知，则下列结论成立的是（）A．B．若．则C．若，则D．(★★★) 10. 下列计算结果正确的是（）A．B．C．若，则D．若，则(★★★)11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．的一个单调递增区间为C．函数的图象关于点对称D．若函数在上没有零点，则(★★★) 12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，有一个用其名字命名的“高斯函数”；设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如，则下列说法正确的是（）A．是周期函数B．函数在区间上单调递增C．关于x的不等式的解集为D．若函数，则函数的值域是三、填空题(★) 13. 已知集合，，若，则的取值范围是 ______ .(★★) 14. 已知实数m，n满足，则 _________ .(★★) 15. 已知，则 _________ .(★★★) 16. 已函数则函数的零点个数为 _________ .四、解答题(★★★)17. 设函数的定义域为集合A，集合．(1)求；(2)设函数的值域为集合C，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围.(★★★) 18. 已知，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．(1)求(2)设函数，求的最小正周期．(★★★) 19. （1）已知正数a，b满足，若．求的最小值；（2）求的解集．(★★★) 20. 已知函数分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足．(1)求的解析式；(2)设函数，求在上的最小值，并求对应的的值．(★★★) 21. 对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中.(1)若是函数的好区间，求实数m，n的值；(2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围.(★★★) 22. 已知函数在区间上单调递增，且直线和为函数的图象的两条对称轴．(1)求的一个解析式；(2)将的的象先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数p的取值范围．。

XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一数学试卷XXX2017-2018学年第一学期期末考试高一年级数学试卷第I卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知向量a=(2,1),b=(λ−1,2),若a+b与a−b共线,则λ=（）A.−2B.−1C.1D.2改写：向量a=(2,1)，向量b=(λ-1,2)，若a+b和a-b共线，则λ=（） A。

-2 B。

-1 C。

1 D。

22.已知3sinα+4cosα=2，则1-sinαcosα-cos2α的值是() A。

- B。

C。

-2 D。

2改写：已知3sinα+4cosα=2，求1-sinαcosα-cos2α的值，答案为() A。

- B。

C。

-2 D。

23.已知在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，则AB·AC=() A。

1/33 B。

- C。

-2 D。

-改写：在△ABC中，AB=AC=1，BC=3，求XXX的值，答案为() A。

1/33 B。

- C。

-2 D。

-4.在△ABC中，若AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定改写：在△ABC中，如果AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB，则△ABC是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5.已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanA-tanB=3，则△ABC的面积为() A。

3/33 B。

- C。

3 D。

33/2改写：已知△ABC中，内角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c，且c=7/11，a+b=22/3，XXX-tanB=3，求△ABC的面积，答案为() A。

3/33 B。

- C。

2023—2024学年第一学期高一年级期末检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上）1.已知集合{2,1,0,1,2}M =--，{(1)(3)0}N xx x =+->∣，则M N ⋂=（）A.{2,1,0,1}-- B.{2}- C.{2,1}-- D.{0,1,2}【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合N ，然后进行交集的运算即可.【详解】由{(1)(3)0}N xx x =+->∣解得：{3N x x =>∣或1}x <-，因为{2,1,0,1,2}M =--，所以M N ⋂={2}-.故选：B 2.“π2π,6k k α=+∈Z ”是“1sin 2α=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断.【详解】若π2π,6k k α=+∈Z ，则ππ1sin sin 2πsin ,662k k α⎛⎫=+==∈ ⎪⎝⎭Z 成立；若1sin 2α=，则π2π,6k k α=+∈Z 或5π2π,6k k α=+∈Z ，故π2π,6k k α=+∈Z 不一定成立；综上所述：“π2π,6k k α=+∈Z ”是“1sin 2α=”的充分不必要条件.故选：A.3.计算55log 42log 10-=（）A.2B.1- C.2- D.5-【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算公式可得答案.【详解】555552log 42log 10log 4log 1100l 5og 2-===--.故选：C.4.已知正数x ，y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是（）A.6B.16C.20D.18【答案】D 【解析】【分析】将所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为正数x ，y 满足811x y+=，则()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当16y xx y=，即12,3x y ==时等号成立.故选：D5.计算sin 50cos10sin 40sin10︒︒︒︒+=（）A. B.32C.12-D.12【答案】B 【解析】【分析】由两角和的正弦公式求解即可.【详解】因为sin 50cos10sin 40sin10︒︒︒︒+=sin 50cos10cos50sin10︒︒︒︒+()sin 5010=sin 602︒︒︒=+=.故选：B6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =-上，则πtan 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.17-B.17C.7D.7-【答案】C 【解析】【分析】先求解tan θ的值，结合倍角公式和和角公式可得答案.【详解】由题意tan 3θ=-，所以22tan 63tan 21tan 194θθθ-===--，所以πtan 21tan 2741tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭.故选：C.7.将函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移2π3个单位，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A.()cos g x x =-B.()cos g x x=C.π()cos 3g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()πcos 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数图象变化规律，即可判断选项.【详解】将函数π()cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移2π3个单位，得到()2ππcos 2cos 2πcos 233y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=-=- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，再将所得的函数图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()cos y g x x ==-的图象.故选：A.8.设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[0,1]x ∈时，2(2)f x x bx c =++．若(3)(2)6f f -=，则752f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.94B.32C.74-D.52-【答案】D 【解析】【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()2286f x x x =-+，进而利用周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()02f f c =-=，由②得：()()312f f b c ==++，因为(3)(2)6f f -=，所以26b c c +++=，即24b c +=，令0x =，由①得：()()()111020f f f b c =-⇒=⇒++=，解得：8,6b c =-=，所以()2286f x x x =-+．又因为()()()()()221111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=-+=--+=--+=-⎣⎦⎣⎦，即()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的函数，所以75331114911222222f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭115246242f ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭．75522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】结论点睛：复合函数的奇偶性：（1）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a -+=+；（2）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a -+=-+.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把正确答案涂在答题卡上）9.已知a ，b 为实数，且a b <，则下列不等式恒成立的是（）A.sin sin a b <B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b <D.()()22ln 1ln 1a b +<+【答案】BC 【解析】【分析】利用函数单调性和反例可得答案.【详解】对于A ，π2π23<，而π2πsin sin 23>，故A 不正确；对于B ，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，a b <，所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为3y x =为增函数，a b <，所以33a b <，故C 正确；对于D ，21-<，而()()ln 41ln 11+>+，故D 不正确.故选：BC.10.高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数[]()f x x =称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，[3]3=.下列结论正确的是（）A.对12,x x ∀∈R ，若12x x <，则()()12f x f x ≤B.函数()f x 是R 上的奇的数C.对任意实数m ，(2)2()f m f m =D.对任意实数m ，1()(2)2f m f m f m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】利用函数定义及单调性的定义判断A ；通过举例来判断BC ；设m n r =+，其中n 为m 的整数部分，r 为m 的小数部分，01r ≤<，分102r ≤<，112r ≤<讨论计算来判断D .【详解】对于A ：对12,x x ∀∈R ，若12x x <，则[][]12x x ≤，即()()12f x f x ≤，故A 正确；对于B ：例如()[]1.5 1.51f ==，()[]1.5 1.52f -=-=-，即()()1.5 1.5f f -≠-，故函数()[]f x x =不是奇函数，故B 错误；对于C ：取12m =，()[]121112f f ⎛⎫⨯=== ⎪⎝⎭，1122022f⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，不满足(2)2()f m f m =，故C 错误；对于D ：设m n r =+，其中n 为m 的整数部分，,n m n ≤∈Z ，r 为m 的小数部分，01r ≤<，则[][]1122m m n r n r ⎡⎤⎡⎤++=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，[][]222m n r =+，若102r ≤<，可得[]122m m n ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦，[]22m n =，若112r ≤<，可得[]1212m m n ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦，[]221m n =+，所以对任意实数m ，1()(2)2f m f m f m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：AD.11.已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.4ab ≤B.228a b +≥ C.228a b +≥ D.22log log 2a b +≥【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式及其变形式，结合指数运算判断ABC ，举反例根据对数函数的单调性判断D.【详解】对于A ：因为4=+≥a b 4ab ≤，当且仅当2a b ==时取等号，A 正确；对于B ：因为222222228a b a b ++≥=⋅=⋅=，当且仅当2a b ==时取等号，故B 正确；对于C ：因为()2222162a b a b ab ab +=+-=-，4ab ≤，所以221621688a b ab +=-≥-=，当且仅当2a b ==时取等号，故C 正确；对于D ：当10,30a b =>=>时，满足4a b +=，但是222222log log log 1log 3log 3log 42a b +=+=<=，故D 错误；故选：ABC.12.已知函数()cos(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于直线7π12=-x 对称，则（）A.(0)2f =B.函数()y f x =的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 在区间19π,π24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.函数()f x 在区间5,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】先根据对称轴求出函数解析式，结合选项逐个验证即可.【详解】因为()f x 的图象关于直线7π12=-x 对称，所以7ππ6k ϕ-=，即7ππ6k ϕ=+，Z k ∈；因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()cos(2π6=+f x x .π(0)cos 62f ==，故A 正确；2π3π(cos 032f ==，所以函数()y f x =的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确；令π26t x =+，由19π,π24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得21π13π,126t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为21π13π2π126<<，所以函数()f x 在区间19π,π24⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数，故C 不正确；令π26t x =+，由5,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得11,36t ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以cos 1,2t ⎡∈-⎢⎣⎦，所以()1,2f x ⎡∈-⎢⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．13.命题“()2R,ln 10x x ∀∈+>”的否定是_________．【答案】()2R,ln 10x x ∃∈+≤【解析】【分析】利用全称命题的否定方法可得答案.【详解】因为“()2R,ln 10x x ∀∈+>”的否定是“()2R,ln 10x x ∃∈+≤”故答案为：()2R,ln 10x x ∃∈+≤.14.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】2-【解析】【分析】先利用周期和奇偶性，把所求转化为已知区间内，代入可得答案.【详解】因为()f x 是周期为2的奇函数，所以511222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为当01x <<时，()4x f x =，所以1()22f =，所以522f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故答案为：2-15.已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f -=，若()2log 0f m >，则实数m 的取值范围是______.【答案】1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数单调性和奇偶性得到22log 2m -<<，利用对数函数单调性求解即可.【详解】因为偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f -=，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，()20f =，所以()2log 0f m >等价于()()2log2f m f >，所以2log 2m <，所以22log 2m -<<，解得144m <<.所以实数m 的取值范围是1,44⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,44⎛⎫⎪⎝⎭.16.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，区间[,]a b （,a b ∈R 且a b <）满足：()y f x =在区间[,]a b 上至少含有20个零点，在所有满足此条件的区间[,]a b 中，b a -的最小值为_________．【答案】55π6##55π6【解析】【分析】通过整体代换求解函数的零点通式，求出相邻零点之间的距离，即可求出满足零点个数的最小区间长度．【详解】令π()2sin 203f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得πx k =或ππ6x k =+，k ∈Z ，即()y f x =的相邻两零点间隔为π6或5π6，故若()y f x =在[],a b 上至少含有20个零点，则b a ﹣的最小值为π5π55π109666⨯+⨯=．故答案为：55π6四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数2()(2)2f x x k x k =++++，设集合{}122xA x=<<∣，集合{()0}B x f x =<∣．（1）若B =∅，求实数k 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数k 的取值范围．【答案】17.[]2,2-18.5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意可得()()2220f x x k x k =++++≥恒成立，即0∆≤求解；（2）化简()0,1A =，由题意A B ⊆得()()0010f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩求得答案.【小问1详解】由B =∅，即()()2220f x x k x k =++++≥恒成立，()()22420k k ∴∆=+-+≤，解得22k -≤≤.所以实数k 的取值范围为[]22-,.【小问2详解】由{}()1220,1xA x =<<=，x A ∈是xB ∈的充分条件，所以A B ⊆，得()()0010f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即20250k k +≤⎧⎨+≤⎩，解得52k ≤-.所以实数k 的取值范围为5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.18.已知函数π()2sin 6g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭周期为π，其中0ω>．（1）求函数()g x 的单调递增区间；（2）请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数()g x 在[0,]π上的简图．【答案】（1）πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先利用周期求出函数解析式，再利用单调性可得答案；（2）利用五点法画图可得答案.【小问1详解】由题意可得2ω=，所以π()2sin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令πππ2π22π262k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ63k x k -≤≤+，故函数()g x 的单调递增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】π26x -π6-π2π3π211π6x 0π12π37π125π6π()g x 1-022-1-描点，连线，其简图如下19.已知函数2()141x a f x =-+是奇函数．（1）求实数a 的值并判断函数单调性（无需证明）；（2）若不等式()()412250x x f f t ++-⋅+<在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1a =，减函数（2）5t >-【解析】【分析】（1）先根据奇偶性求出a ，再根据复合函数单调性可判定单调性；（2）利用奇偶性和单调性进行转化，再结合换元法可求答案.【小问1详解】因为2()141x a f x =-+是奇函数，所以(0)0f =，解得1a =；当1a =时，214()14141xx x f x -=-=++，定义域为R ，又1441()41)4(1x x x x f x x f ---+-==-+=-符合题意.所以1a =，因为41x y =+为增函数，所以()f x 为减函数.【小问2详解】()()412250x x f f t ++-⋅+<等价于()()41225x x f f t +<--⋅+，即()()41225x x f f t +<-+⋅-；因为()f x 为减函数，所以41225x x t +>-+⋅-，即4226x x t ⋅+->-；令20x m =>，则上式化为226m m t ⋅+->-，即()215m t -+>-；所以5t >-.20.中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产1台，需另投入成本()C x （万元），当年产量不足70台时，21()602C x x x =+（万元）；当年产量不小于70台时，8100()1212180C x x x=+-（万元），若每台设备售价为120万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？【答案】20.2160500,070281001680,70x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩21.90台时利润最大.【解析】【分析】（1）分070x <<、70x ≥两种情况分别求出函数关系式即可；（2）利用二次函数及基本不等式计算可得.【小问1详解】由题可知当070x <<时，2211120605006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当70x ≥时，8100810012012121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2160500,070281001680,70x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；【小问2详解】当070x <<时，()22116050060130022y x x x =-+-=--+，则60x =时，y 有最大值1300（万元）；当70x ≥时，81001680y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0x >时，8100180x x +≥=，当且仅当8100x x =，即90x =时取等号，所以8100168016801801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，所以当90x =时，y 有最大值1500（万元）；综上，年产量为90台时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.21.已知函数2())2cos 1(0,0π)2x f x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫=+-+><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2.（1）求()()sin cos h x f x x x =+-的最小值.（2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，记方程2()3g x =在4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到依次为1231,,,,,n n x x x x x - 试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++ 的值.【答案】21.2-22.85π12【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简()f x ，再根据周期及奇偶数性求出()f x 的解析式，再令sin cos t x x =-，利用二次函数性质求解最小值即可；（2）根据三角函数图像变换求得()g x ，利用换元法，结合三角函数图象与性质求得n 以及1231222n n x x x x x -+++++ 的值.【小问1详解】()()22cos 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()()πcos 2sin 6x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭.因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以πT =，可得2ω=，又由函数()f x 为奇函数，所以ππ,6k k ϕ-=∈Z ，因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，所以函数()2sin2f x x =.所以()()sin cos 2sin 2sin cos h x f x x x x x x =+-=+-，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=-=-∈ ⎪⎣⎝⎭，则22sin 24sin cos 22x x x t ==-，故原函数最小值为222,y t t t ⎡=-++∈⎣的最小值，其对称轴为14t =，在14t ⎡⎤∈⎢⎣⎦单调递增，在14t ⎡∈⎢⎣单调递减，且(222222-⨯+>--，所以t =222y t t =-++有最小值2-，所以()()sin cos h x f x x x =+-的最小值为2-.【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，得到ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()π22sin 433g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则π1sin 433x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4,5π33x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令3π4t x =-，则π,5π3t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数sin y t =在π,5π3t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，由图可知，sin y t =与13y =共有6个交点，所以方程2()3g x =在4π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上共有6个根，即6n =，因为()()()123456162345222222t t t t t t t t t t t t +++++=+++++5π3π7π2222225π222=⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以1234562222x x x x x x +++++()1234561π222210412t t t t t t =++++++⨯85π12=.22.对于函数()()f x x D ∈，D 为函数定义域，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≤成立，我们称函数()f x 为“T 同比不增函数”.（1）若函数()sin f x kx x =+是“π2同比不增函数”，求k 的取值范围；（2）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =---++为“T 同比不增函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22,π∞⎛-- ⎝⎦（2）存在，且4T ≥【解析】【分析】（1）由()()f x T f x +≤恒成立，分离常数k ，结合三角函数的最值来求得k 的取值范围.（2）结合()f x 的图象以及图象变换的知识求得T 的取值范围.【小问1详解】因为函数()sin f x kx x =+是“π2同比不增函数”，则()π2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，所以ππsin cos 24k x x x ⎛⎫≤-=- ⎪⎝⎭，即πsin π4k x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于πsin 14x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以πk ≤-.所以k的取值范围是,π∞⎛-- ⎝⎦.【小问2详解】存在，理由如下：2,1()11,112,1x x f x x x x x x x x --≤-⎧⎪=---++=-<<⎨⎪-+≥⎩，画出()f x的图象如下图所示，()f x T +的图象是由()f x 的图象向左平移T 个单位所得，由图可知，当4T ≥时，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≤成立，所以存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =---++为“T 同比不增函数”，且4T ≥.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义的理解和应用，解题的关键在于利用题中的定义，将问题转化为恒成立问题，本题第（2）问利用数形结合思想求解比较直观简单.。

2017-2018学年第一学期期末测试卷初二数学一、选择题（每小题2分，本题共16分）1．剪纸是古老的汉族民间艺术,剪纸的工具材料简便普及，技法易于掌握，有着其他艺术门类 不可替代的特性，因而，这一艺术形式从古到今，几乎遍及我国的城镇乡村，深得人民群 众的喜爱.请你认真观察下列四幅剪纸图案, 其中不是．．轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．2. 若代数式4xx -有意义，则实数x 的取值范围是 A ．0x = B ．4x = C ．0x ≠ D ．4x ≠3. 实数9的平方根是A ．3B ．±3C．3± D ．814. 在下列事件中，是必然事件的是A ．买一张电影票，座位号一定是偶数B ．随时打开电视机，正在播新闻C ．通常情况下，抛出的篮球会下落D ．阴天就一定会下雨5. 下列变形中，正确的是A. (23)2＝2×3＝6B.2)52(-＝－52C.169+＝169+ D. )4()9(-⨯-＝49⨯6. 如果把yx y322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值A ．扩大5倍B ．不变C ．缩小5倍D ．扩大4倍7. 如图，将ABC △放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么ABC △中BC 边上的高是A. B. C. D.8. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线按箭头方向向右对折，对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是A. B. C. D.二、填空题（每小题2分,本题共16分）9. 写出一个比3大且比4小的无理数：______________．10. 如图，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，欲证ΔACE ≌ΔDBF ，需要添加条件 ____________,证明全等的理由是________________________；AE P BCD11. 一个不透明的盒子中装有6张生肖邮票，其中有3张“猴票”，2张“鸡票”和1张“狗票”，这些邮票除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张邮票，恰好是“鸡票”的可能性为 .12. 已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为______________． 13.mn ＝______________． 14. 小明编写了一个如下程序：输入x →2x →立方根→倒数→算术平方根→21， 则x 为 .15. 如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，点E 是AC 边上的中点. 如果点P 是AD 上的动点，那么EP+CP 的最小值 为______________．16. 如图，OP =1，过P 作OP PP ⊥1且11=PP ，根据勾股定理，得21=OP ；再过1P 作121OP P P ⊥且21P P =1，得32=OP ；又过2P 作232OP P P ⊥且132=P P ，得 =3OP 2；…依此继续，得=2018OP ， =n OP （n 为自然数，且n ＞0）三、解答题（本大题共9小题，17—25小题，每小题5分，共45分） 17．计算：238)3(1230-+----π18. 计算：1)P 4P 3P 2PP 1O19. 如图，点A 、F 、C 、D 在同一条直线上. AB ∥DE ，∠B =∠E ，AF=DC. 求证：BC =EF .20. 解分式方程：3x 3x 211x x +=-+21. 李老师在黑板上写了一道题目，计算：23311x x x---- .小宇做得最快，立刻拿给李老 师看，李老师看完摇了摇头，让小宇回去认真检查. 请你仔细阅读小宇的计算过程，帮 助小宇改正错误．23311x x x ----=()()33111x x x x --+-- （A ） =()()()()()3131111x x x x x x +--+-+- （B ） = 33(1)x x --+ （C ） = 26x -- （D ）（1） 上述计算过程中， 哪一步开始．．出现错误？ ；(用字母表示) （2） 从（B ）到（C ）是否正确？ ；若不正确，错误的原因是 ； （3） 请你写出此题完整正确的解答过程．D22.如图：在△ABC 中，作AB 边的垂直平分线，交AB 于点E ，交BC 于点F ，连结AF （1（2）你的作图依据是 .（3）若AC=3，BC=5，则△ACF 的周长是23. 先化简，再求值：121112++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a aa ，其中13-=a ．24. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于 DE ⊥AB 于E, 当时，求DE 的长。

安徽省合肥一中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：①A∩B＝A；②A∪B＝A；③A∩（∁I B）＝A；④A∩B＝I．中与命题A⊆B等价的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．函数y＝sin（﹣+）的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．3．已知x，y均为正实数，且，则x+y的最小值为（）A．24B．32C．20D．284．已知，则sin2α＝（）A．B．C．D．5．给出下列命题：（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不论是用角度制还是用弧度制度量一个角的大小，它们与扇形半径的大小无关；（3）若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；（4）若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限角．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46．下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）＝x，g（x）＝（）2B．f（x）＝|x|，g（x）＝C．f（x）＝1，g（x）＝x0D．f（x）＝x2，g（x）＝（x+1）27．已知函数f（x）＝log3x的图象与函数g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数h（x）是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1，若函数y＝k•f（x）+ h（x）有3个零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，2log73）B．（﹣2，﹣2log53）C．（﹣2log53，﹣1）D．（﹣log73，﹣）8．设函数f（x）＝，则下列结论错误的是（）A．函数f（x）的值域为R B．函数f（x）是奇函数C．f（|x|）是偶函数D．f（x）在定义域上是单调函数二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A．的符号为正B．函数y＝的定义域为C．若θ∈（0，π），sinθ+cosθ＝，则tanθ＝﹣或tanθ＝﹣D．tan（π+α）＝﹣110．以下函数在区间上为单调增函数的有（）A．y＝sin x+cos x B．y＝sin x﹣cos xC．y＝sin x•cos x D．11．给出下列结论，其中正确的结论是（）A．函数的最大值为B．已知函数y＝log a（2﹣ax）（a＞0且a≠1）在（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2）C．函数f（x）满足f（x）﹣2f（﹣x）＝2x﹣1，则f（3）＝3D．已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）内有1010个零点，则函数f（x）的零点个数为202112．已知f（x）为R上的奇函数．且当x＞0时，f（x）＝lg x．记g（x）＝sin x+f（x）•cos x，下列结论正确的是（）A．g（x）为奇函数B．若g（x）的一个零点为x0，且x0＜0，则lg（﹣x0）﹣tan x0＝0C．g（x）在区间（﹣，π）的零点个数为3个D．若g（x）大于1的零点从小到大依次为x1，x2，…，则2π＜x1+x2＜3π三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题后的横线上.13．已知α，β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，则α+β的值为14．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a•e﹣kt.已知新丸经过50天后，体积变为a，若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为．15．已知函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f（x）在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f（x）为“半保值函数”，若函数且a≠1）是“半保值函数”，则t的取值范围为．16．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+ f（3）+⋯+f（2020）+f（2021）＝．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）设U＝R，A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x|＜0}，C＝{x|a≤x≤a+1，a∈R}．（1）分别求A∩B，A∪（∁U B）；（2）若B∩C＝C，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝b•a x（a，b为常数，a＞0且a≠1）的图象经过点A（1，8），B（3，32）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式﹣m≥0在x≤1时恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．20．（12分）已知函数f（x）＝sin2x+2，g（x）＝f（x）+2．（Ⅰ）若角θ满足tanθ+＝3，求f（θ）；（Ⅱ）若圆心角为θ，半径为2的扇形的弧长为L，且g（θ）＝2，θ∈（0，π），求L．21．（12分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和，由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：lg2≈0.3，lg15≈1.17）（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒t小时后空气中净化剂浓度为g（t）（毫克/立方米），其中0＜1≤3．①求g（t）的表达式；②求第二次喷洒后的3小时内空气中净化剂浓度的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x2﹣2e f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y＝f（x）+ln（2x﹣k）在区间（1，2）上有零点，求整数k的值；（Ⅲ）设m＞0，若对于任意，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），求m的取值范围．【参考答案】一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B【解析】由A、B是全集I的真子集，得：对于①，A∩B＝A⇔A⊆B，故①正确，对于②，A∪B＝A⇔B⊆A，故②错误，对于③，A∩（∁I B）＝A⇔A⊆（∁I B），故③错误，对于④，∵A、B是全集I的真子集，∴A∩B＝I不成立，故④错误．故选：B．2．C【解析】y＝sin（﹣+）＝﹣sin（﹣），由角函数的周期公式可得函数的周期T＝，故选：C．3．C【解析】∵x，y均为正实数，且，则x+y＝（x+2+y+2）﹣4＝（x+2+y+2）﹣4＝6﹣4≥﹣4＝20，当且仅当x＝y＝10时取等号．∴x+y的最小值为20．故选：C．4．B【解析】已知，所以sin2α＝＝＝；故选：B．5．A【解析】（1）因为﹣210°是第二象限角，10°是第一象限角，但﹣210°＜10°，故（1）错误，（2）根据角的定义可判断（2）正确，（3）当时，sinα＝sinβ，此时α，β的终边关于y轴对称，故（3）错误，（4）当θ＝π时，cosθ＝﹣1＜0，此时θ的终边在x轴的负半轴上，故（4）错误，故选：A．6．B【解析】选项A：f（x）＝x，定义域为R，图象为一条直线，g（x）＝（）2＝x定义域为[0，+∞），图象为一条射线，故选项A不对；选项B：f（x）＝|x|，g（x）＝＝|x|，f（x）与g（x）的定义域和对应关系都是一样的，所以函数的图象是相同的，故选项B是对的；选项C：f（x）＝1，g（x）＝x0＝1，（x≠0），两函数的定义域不同，f（x）的图象不一条直线，g（x）的图象为一条直线上除去一点（0，1），∴两函数的图象不相同，故选项C不对；选项D：将f（x）＝x2，的图象向左平移一个单位得到g（x）＝（x+1）2的图象，所以两函数的图象是不一样的，故选项D不对．故选：B．7．B【解析】由函数f（x）＝log3x的图象与函数g（x）的图象关于直线y＝x对称，得g（x）＝3x，函数h（x）是最小正周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1＝3x﹣1，函数y＝k•f（x）+h（x）有3个零点，即k log3x＝﹣h（x）有3个不同根，画出函数y＝k log3x与y＝﹣h（x）的图象如图：要使函数y＝k log3x与y＝﹣h（x）的图象有3个交点，则k＜0，且，即﹣2＜k＜﹣2log53．∴实数k的取值范围是（﹣2，﹣2log53）．故选：B．8．D【解析】x＞0时，f（x）单调递增，所以f（x）＞f（0）＝﹣1；x＜0时，f（x）单调递增，所以f（x）＜f（0）＝1，故f（x）的值域为（﹣∞，1）∪（﹣1，+∞）＝R，故A正确；当x＞0时，﹣x＜0，∴f（x）＝3x﹣2，f（﹣x）＝﹣3x+2＝﹣（3x﹣2）＝﹣f（x）；当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）＝﹣3﹣x+2，f（﹣x）＝3﹣x﹣2＝﹣（﹣3﹣x+2）＝﹣f（x），∴x≠0时，恒有f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故B正确；∵f（|﹣x|）＝f（|x|），且定义域关于原点对称，所以f（|x|）为偶函数，故C正确；∵x＜0时，f（x）单调递增，x＞0时，f（x）单调递增，且﹣30+2＞30﹣2，所以D错误．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．BD【解析】对于A，∵，∴tan4＞0，∵，∴cos2＜0，∵sin（﹣）＝sin（﹣6）＝sin＞0，∴的符号为负，故A错误；对于B，由cos x tan x≥0，得sin x≥0，且x不为y轴上的角，∴或2k，k∈Z，∴函数y＝的定义域为[2kπ，）∪（]，k∈Z，故B正确；对于C，由sin，得（sinθ+cosθ）2＝（）2，得sinθcosθ＝﹣，∵θ∈（0，π），sinθ＞0，∴cosθ＜0，∴sinθ﹣cosθ＞0，∴sinθ﹣cosθ＝＝＝＝＝＝，∴sinθ＝＝，cosθ＝＝﹣，∴tanθ＝＝﹣，故C错误；对于D，tan（π+α）＝＝﹣1，故D正确．故选：BD．10．BD【解答】在区间上，由于x+∈（，），故y＝sin x+cos x＝sin（x+）没有单调性，故排除A；在区间上，由于x﹣∈（﹣，），故y＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣）单调递增，故B满足条件；在区间上，由于2x∈（0，π），故y＝sin x•cos x＝sin2x没有单调性，故排除C；在区间上，由于故y＝＝tan x单调递增，故D满足条件，故选：BD．11．CD【解析】对于A，函数中，若令t＝﹣x2+1∈（﹣∞，1]，即有y＝∈[），所以函数的最小值为，故A错误；对于B，函数y＝log a（2﹣ax）（a＞0且a≠1）在（0，1）上是减函数，知：1＜a＜，即有a∈（1，2]，故B错误；对于C，因为函数f（x）﹣2f（﹣x）＝2x﹣1①，所以f（﹣x）﹣2f（x）＝﹣2x﹣1②，由①②消去f（﹣x）可得：f（x）＝x+1，所以f（3）＝3，故C正确；对于D，定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）内有1010个零点，由函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）内有1010个零点，即函数f（x）的零点个数为2021，故D正确．故选：CD．12．ABD【解析】由题意可知，g（x）的定义域为R，关于原点对称．∵g（﹣x）＝sin（﹣x）+f（﹣x）•cos（﹣x）＝﹣sin x﹣f（x）•cos x＝﹣g（x），∴g（x）为奇函数，故A正确；假设cos x＝0，即x＝，k∈Z时，sin x+f（x）•cos x＝sin（）＝cos kπ≠0，∴当x＝，k∈Z时，g（x）≠0，当x≠，k∈Z时，sin x+f（x）•cos x＝0⇔tan x＝﹣f（x），当x0＜0时，﹣x0＞0，则f（x0）＝﹣f（﹣x0）＝﹣lg（﹣x0），由于g（x）的一个零点为x0，则tan x0＝﹣f（x0）＝lg（﹣x0）⇒lg（﹣x0）﹣tan x0＝0，故B正确；当x＞0时，令y1＝tan x，y2＝﹣lg x，则g（x）大于0的零点为y1＝tan x与y2＝﹣lg x的交点，由图可知，函数g（x）在区间（0，π）上有2个零点，由于函数g（x）为奇函数，则在（，0）上有1个零点，且g（0）＝sin0+f（0）•cos0＝0，0是一个零点，∴g（x）在区间（﹣，π）的零点个数为4个，故C错误；由图可知，g（x）大于1的零点＜x1＜π，＜x2＜2π，∴2π＜x1+x2＜3π，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题后的横线上.13．【解析】已知α，β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，则：0＜α+β＜π，所以：＝＝1，故：．故答案为：．14．75【解析】由题意知，a•e﹣50k＝a，所以e﹣50k＝，解得e﹣k＝；设经过t1天后一个新丸体积变为a，则a＝a•，即＝，所以＝＝，即＝，所以＝3，解得t1＝75，所以需经过的天数为75．故答案为：75．15．（﹣，0）∪（0，）【解析】∵函数且a≠1）是“半保值函数”，由a＞1时，z＝a x+t2在R上递增，y＝log a z在（0，+∞）递增，可得f（x）为R上的增函数；当0＜a＜1时，z＝a x+t2在R上递减，y＝log a z在（0，+∞）递减，可得f（x）为R上的增函数；∴f（x）为R上的增函数，f（x）＝log a（a x+t2）＝x，∴a x+t2＝，令u＝，u＞0，即有u2﹣u+t2＝0有两个不同的正根，可得Δ＝1﹣4t2＞0，且t2＞0，解得t∈（﹣，0）∪（0，），故答案为（﹣，0）∪（0，）．16．2+【解析】根据函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象，可得A＝2，×＝4﹣2，∴ω＝．再结合五点法作图，×2+φ＝0，∴φ＝﹣，f（x）＝2cos（x﹣）＝2cos（x﹣2）．函数f（x）的最小正周期为＝8，f（1）+f（2）+f（3）+•+f（8）＝0，∴f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2020）+f（2021）＝252×0+[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）]＝0+（2+）＝2+，故答案为：2+．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：（1）A＝{x|x2﹣4x+3≤0}＝[1，3]，又由＜0，可得（x﹣2）（x﹣4）＜0，解得B＝（2，4），∴A∩B＝（2，3]，∁U B＝（﹣∞，2]∪[4，+∞），∴A∪（∁U B）＝（﹣∞，3]∪[4，+∞）．（2）∵B∩C＝C，∴C⊆B，∵C＝[a，a+1]，B＝（2，3），∴，解得2＜a＜3，∴a的取值范围（2，3）．18．解：（1）∵函数f（x）＝b•a x，（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A （1，8），B（3，32），∴，解得a＝2，b＝4，∴f（x）＝4•2x＝2x+2．（2）设g（x）＝（）x+（）x＝（）x+（）x，若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，则当x∈（﹣∞，1]时，m≤g（x）min，∵y＝g（x）在R上是减函数，∴当x≤1时，g（x）min＝g（1）＝．m≤，即m的取值范围是（﹣∞，]．19．解：（Ⅰ）∵f（x）＝4cos x sin（x+）﹣1＝4cos x（sin x+cos x）﹣1＝sin2x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+＝，即x＝时，f（x）取最大值2，当2x+＝﹣时，即x＝﹣时，f（x）取得最小值﹣1．20．解：（Ⅰ）由tanθ+＝3得＝3，得sin2θ＝，则f（θ）＝sin2θ+2＝＝．（Ⅱ）g（x）＝f（x）+2＝sin2x+2+cos2x＝2+2sin（2x+），则g（θ）＝2+2sin（2θ+）＝2，则sin（2θ+）＝0，得，2θ+＝kπ，k∈Z，得θ＝﹣，k∈Z，∵θ∈（0，π），∴k＝1时，θ＝，k＝2时，θ＝，则L＝2θ＝或．21．解：（1）根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度，则当0≤x≤3时，由，可得x≥0，所以0≤x≤3；当3＜x≤7时，由4（16﹣2x﹣3）≥4，可得2x﹣3≤15，（x﹣3）lg2≤lg15，解得x≤6.9，所以3＜x≤6.9．综上所述，0≤x≤6.9，所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达6.9小时；（2）①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后的浓度为（毫克/立方米），所以第二次喷洒t小时后空气中净化剂浓度为，②＝＝，当且仅当，即t≈2.3时取等号，答：第二次喷洒2.3小时时空气中净化剂浓度达到最小值28毫克/立方米．22．解：（Ⅰ）函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），∴ln（1+a）＝0，解得a＝0，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝ln x；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y＝ln x+ln（2x﹣k）＝ln（2x2﹣kx），x∈（1，2），令ln（2x2﹣kx）＝0，得2x2﹣kx﹣1＝0，①对称轴x＝≥2即k≥8时，h（x）在（1，2）递减，故只需，无解，②若1＜＜2即4＜k＜8时，函数在（1，2）先递减再递增，故，解得k＜1，不符合题意，舍去，，解得k，无解，③若≤1即k≤4时，h（x）在（1，2）递增，∴，解得：，综上所述：1＜k＜，∵k∈Z，∴k的取值为2，3．（Ⅲ）∵m＞0且，∴m＞1且，∵g（x）＝x2﹣2e f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴g（x）的最大值可能是g（m）或，∵＝＝＝，∴，只需g（x）max＜﹣ln（m﹣1），即m2﹣2m＜﹣ln（m﹣1），设h（m）＝m2﹣2m+ln（m﹣1）（m＞1），h（m）在（1，+∞）上单调递增，又h（2）＝0，∴m2﹣2m+ln（m﹣1）＜0，即h（m）＜h（2），∴1＜m＜2，所以m的取值范围是（1，2）．。

安徽省合肥六中、八中、168中学等校2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．440°角的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合{x∈N|x﹣2＜2}用列举法表示是（）A．{1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4}D．{0，1，2，3} 3．若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bc B．a﹣d＜b﹣c C．＜D．a3＞b34．函数y＝tan（x﹣），x∈（，）的值域为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（，1）5．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝x2+1，则f（0）＝（）A．﹣1B．1C．D．6．根据如表数据，可以判定方程ln x﹣＝0的根所在的区间是（）x12e34ln x00.691 1.10 1.393 1.5 1.1010.75 A．（3，4）B．（2，e）C．（e，3）D．（1，2）7．已知a＝1.80.8，b＝log25，c＝sin1﹣cos1，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a8．若函数f（x）＝sin（）（x∈[0，π]，ω＞0）的图象与x轴有交点，且值域M⊆[﹣，+∞），则a的取值范围是（）A．[]B．[，2]C．[，]D．[，]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列各式正确的是（）A．设a＞0，则＝aB．已知3a+b＝1，则＝3C．若log a2＝m，log a5＝n，则a2m+n＝20D．＝lg310．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则能够使得y＝2cos x变成函数f（x）的变换为（）A．先横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度C．先向右平移个单位长度，再横坐标变为原来的倍D．先向左平移个单位长度，再横坐标变为原来的2倍11．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．的最小值是4B．ab+的最小值是2C．2a+2b的最小值是2D．log2a+log2b的最小值是﹣212．已知f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增B．函数f（x）有2个零点C．不等式f（x）≤3的解集为[﹣，]D．方程f（f（x））﹣5＝0有6个不相等的实数根三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∃m∈R，使关于x的方程mx2﹣x+1＝0有实数解”的否定是．14．函数f（x）＝2cos（2x+φ）的图象关于原点对称，则φ＝．15．＝．16．函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x﹣1）是奇函数，且当0＜x≤1时，，则＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣8x+m＝0，m∈R}，B＝{x|ax﹣1＝0，a∈R}，且A∪B＝A．（1）若∁A B＝{2}，求m，a的值；（2）若m＝15，求实数a组成的集合．18．（12分）已知函数f（x）＝2|x|．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性（不必写出过程），并解不等式f（x+2）＞f（2x﹣1）．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（，）为单位圆上一点，射线OA 绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的横坐标为f（θ）．（1）求f（θ）的表达式，并求f（）+f（3）；（2）若f（）＝，θ∈（0，）求sin（）+cos（）的值．20．（12分）已知函数f（x）＝log4x．（1）求g（x）＝（f（x）﹣2）f（x）的值域；（2）当x∈[1，16]时，关于x的不等式mf（x）﹣f2（x）+f（x2）﹣3≥0有解，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sin x cos x．（1）求f（x）图象的对称轴方程；（2）若关于x的方程a|f（x）|+a﹣1＝0在x∈[0，]上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．22．（12分）如图所示，设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为20cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝x cm，AP＝y cm．（1）建立变量y与x之间的函数关系式y＝f（x），并写出函数y＝f（x）的定义域；（2）求△ADP的最大面积以及此时的x的值．【参考答案】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A【解析】∵440°＝360°+80°，∴440°角的终边落在第一象限．故选：A．2．D【解析】集合{x∈N|x﹣2＜2}＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}．故选：D．3．D【解析】对于A，∵a＞b，c＜0，∴ac＜bc，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，d＜c＜0，∴a+c＞b+d，即a﹣d＞b﹣c，故B错误，对于C，∵d＜c＜0，∴c﹣d＞0，cd＞0，∴﹣＝＞0，即＞，故C错误，对于D，∵f（x）＝x3在R上单调递增，a＞b，∴f（a）＞f（b），a3＞b3，故D正确．故选：D．4．A【解析】当x∈（，）时，x﹣∈（﹣，），所以y＝tan（x﹣）∈（﹣，1），故选：A．5．B【解析】根据题意，函数f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝x2+1，令x＝0可得：f（0）+2f（1）＝1，①令x＝1可得：f（1）+2f（0）＝2，②联立①②可得：f（0）＝1，故选：B．6．C【解析】令f（x）＝ln x﹣，由表格可知f（e）＝1﹣1.90＝﹣0.10＜0，f（3）＝1.10﹣1＝0.10＞0，可得f（e）f（3）＜0，所以函数的零点在（e，3）之间．故选：C．7．B【解析】∵1.80＜1.80.8＜1.81，∴1＜a＜1.8，b＝log25＞log24＝2，∵c2＝（sin1﹣cos1）2＝1﹣sin2＜1，∴0＜c＜1，∴b＞a＞c，故选：B．8．D【解析】当x∈[0，π]时，ωx∈[0，ωπ]，ωx∈[﹣，ωπ﹣]，要使f（x）的图象与x轴有交点，则ωπ﹣≥0，得ω≥，设t＝ωx∈[﹣，ωπ﹣]，∵y＝sin（﹣）＝﹣，sin（π+）＝﹣，∴要使值域M⊆[﹣，+∞），则ωπ﹣≤π+，即ω≤，综上≤ω≤，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．ABC【解析】对于选项A：∵a＞0，∴＝＝＝＝，故选项A正确，对于选项B：＝＝＝33a+b＝3，故选项B正确，对于选项C：∵log a2＝m，log a5＝n，∴a m＝2，a n＝5，∴a2m+n＝a2m•a n＝（a m）2•a n＝22×5＝20，故选项C正确，对于选项D：＝＝log94+log35＝log32+log35＝log310≠lg3，故选项D错误，故选：ABC．【解析】由图可知，A＝2，T＝4×（﹣）＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2cos（2x+φ），把点（，2）代入函数f（x）的解析式中，可得2＝2cos（2×+φ），所以+φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ﹣，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝﹣，所以f（x）＝2cos（2x﹣）＝2cos2（x﹣），方法一：将y＝2cos x先横坐标变为原来的倍，得到y＝2cos2x，再向右平移个单位，得到y＝f（x）；方法二：将y＝2cos x先向右平移个单位，得到y＝2cos（x﹣），再横坐标变为原来的倍，得到y＝f（x）．故选：AC．11．AC【解析】A：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴+＝（+）（a+b）＝++2≥2+2＝4，当且仅当＝，a＝b＝时取等号，∴+的最小值为4，∴A正确，B：∵ab+≥2＝2，当且仅当时取等号，∵无解，∴ab+＞2，∴B错误，C：∵a+b＝1，∴2a+2b≥2＝2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，∴2a+2b的最小值为4，∴C正确，D：∵a＞0，b＞0，∴1＝a+b≥2，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时取等号，∴log2a+log2b＝log2（ab）≤log2＝﹣2，∴log2a+log2b的最大值为﹣2，∴D错误，故选：AC．【解析】根据题意，f（x）的大致图像如图：依次分析选项：对于A，函数f（x）在（1，2）上单调递减，A错误；对于B，当x＞0时，f（x）＝，则f（x）在区间（0，+∞）上只有1个零点x＝2，又由f（x）为偶函数，则f（x）在区间（﹣∞，0）上有零点x＝﹣2，则函数f（x）有2个零点，B正确；对于C，不等式f（x）≤3，结合图象可得|4﹣x2|≤3且x≠0，解可得﹣≤x≤且x≠0，即不等式的解集为{x|﹣≤x≤且x≠0}，C错误；对于D，若f（f（x））﹣5＝0，即f（f（x））＝5，必有f（x）＝±3，若f（x）＝3，即|4﹣x2|＝3，解可得x＝±1或±，若f（x）＝﹣3，即log2|x|＝﹣3，解可得x＝±，故方程f（f（x））﹣5＝0有6个不相等的实数根，D正确；故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．∀m∈R，关于x的方程mx2﹣x+1＝0无实数根【解析】因为：“∃m∈R，使关于x的方程mx2﹣x+1＝0有实数根”是特称命题，所以其否定为全称命题；所以，其否定为：∀m∈R，关于x的方程mx2﹣x+1＝0无实数根．故答案为：∀m∈R，关于x的方程mx2﹣x+1＝0无实数根．14．kπ+（k∈Z）【解析】据题意，f（x）＝2cos（2x+φ）是奇函数，可得φ＝kπ+（k∈Z）．故答案为：kπ+（k∈Z）．15．【解析】＝＝cos30°＝．故答案为：．16．﹣1【解析】因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），可得f（﹣x﹣1）＝f（x+1），因为f（x﹣1）是奇函数，所以f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），所以f（x+1）＝﹣f（x﹣1），f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝f（x），所以f（x）为周期是4的周期函数，所以＝f（1）+f（）＝0+log2020＝﹣1．故答案为：﹣1．四、解答题：本题共6小题，共T0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）因为A＝{x|x2﹣8x+m＝0，m∈R}，B＝{x|ax﹣1＝0，a∈R}，且A∪B＝A，∁A B＝{2}，所以2∈A，2∉B，所以4﹣8×2+m＝0，所以m＝12，A＝{2，6}；所以6∈B，6a﹣1＝0，故a＝；（2）若m＝15，A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，a＝0，当B＝{3}，则a＝，当B＝{5}，则a＝，综上，a的取值集合为{0，，}．18．解：（1）f（x）是R上的偶函数，证明：依题意，函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R，都有f（﹣x）＝2|﹣x|＝2|x|＝f（x），所以f（x）是R上的偶函数．（2）函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+2）＞f（2x﹣1）等价于f（|x+2|）＞f（|2x﹣1|）．因为函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以|x+2|＞|2x﹣1|，即3x2﹣8x﹣3＜0，解得﹣＜x＜3，所以不等式f（x+2）＞f（2x﹣1）的解集为（﹣，3）．19．解：（1）∵A（，），∴∠xOA＝，由三角函数的定义得：f（θ）＝cos（θ+），∴f（）+f（）＝cos+cos＝﹣＝；（2）∵f（θ﹣）＝，∴cosθ＝，∵θ∈（0，），∴sinθ＝＝，∴sin（θ﹣）+cos（θ+）＝sin（θ+﹣）+cos（θ++π）＝﹣cos（θ+）﹣cos（θ+）＝﹣2cos（θ+）＝sinθ﹣cosθ＝．20．解：（1）令μ＝f（x）＝log4x，u∈R，则y＝g（x）＝（f（x）﹣2）f（x）＝（μ﹣2）μ，y＝（μ﹣2）μ＝（μ﹣1）2﹣1≥﹣1，故函数g（x）的值域为[﹣1，+∞）；（2）不等式mf（x）﹣f2（x）+f（x2）﹣3≥0可化为m log4x﹣（log4x）2+2log4x﹣3≥0，令μ＝log4x，∵x∈[1，16]，∴μ∈[0，2]，原不等式可化为mμ﹣μ2+2μ﹣3≥0，即mμ﹣μ2+2μ﹣3≥0在μ∈[0，2]上有解，显然0不是不等式mμ﹣μ2+2μ﹣3≥0的解，故mμ﹣μ2+2μ﹣3≥0在μ∈（0，2]上有解，故m≥μ+﹣2在μ∈（0，2]上有解，而μ+﹣2≥2﹣2（当且仅当μ＝，μ＝时，等号成立），故实数m的取值范围为[2﹣2，+∞）．21．解：（1）f（x）＝cos2x+2sin x cos x＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），由2x+＝，解得x＝，故函数f（x）的对称轴方程为x＝；（2）因为a|f（x）|+a﹣1＝0，当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，可得|f（x）|＝，画出函数|f（x）|在x∈[0，]上的图象，由图可知，或0，解得或，综上，实数a的取值范围为（））．22．解：（1）依题意有：AD＝10﹣x，DP＝x﹣y，在Rt△ADP中，有（10﹣x）2+（x﹣y）2＝y2，化简得：，即．由x＞10﹣x＞0可得函数f（x）的定义域为：（5，10）．（2）依题意有：＝＝，由基本不等式可得：，当且仅当即时取等号，于是，综上：△ADP的最大面积为，此时．。

2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．33．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣1286．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．201710．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．512．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1二、填空题：13． 1.028≈（小数点后保留三位小数）．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）∩C B．∁U（B∩C）∩A C．A∩∁U（B∪C）D．∁U（A∪B）∩C 【分析】阴影部分所表示的为在集合B中但不在集合A中的元素构成的部分，即在B中且在A的补集中．【解答】解：阴影部分所表示的为在集合A中但不在集合B，C中的元素构成的，故阴影部分所表示的集合可表示为A∩∁U（B∪C），故选：C．【点评】本题考查利用集合运算表示韦恩图中的集合、考查韦恩图是研究集合关系的常用工具．2．已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】利用实系数方程的虚根成对定理，列出方程组，求出a，b即可．【解答】解：1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a，b∈R）的一个根，一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）．．得：a=1，b=﹣2，a+b=﹣1．故选：A．【点评】本题考查实系数方程成对定理的应用，考查计算能力．3．已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y=2x，且该双曲线C经过点，则双曲线C的方程是（）A．B．C．D．【分析】设出双曲线方程代入点的坐标，然后求解双曲线方程即可．【解答】解：由题可设双曲线的方程为：y2﹣4x2=λ，将点代入，可得λ=﹣4，整理即可得双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，考查计算能力．4．已知：f（x）=asinx+bcosx，，若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则不等式g（x）＞2的解集是（）A．B．C．D．【分析】若函数f（x）和g（x）有完全相同的对称轴，则这两个函数的周期是一样的，即ω=1．通过解不等式g（x）＞2求得x的取值范围．【解答】解：由题意知，函数f（x）和g（x）的周期是一样的，故ω=1，不等式g（x）＞2，即，解之得：．故选：B．【点评】考查了正弦函数的对称性．根据函数的对称性求、求出ω是解决本题的关键．5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，若f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（0）=（）A．B．C．128 D．﹣128【分析】令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），利用函数的导数求解即可．【解答】解：令f（x）=x•g（x），其中g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），则f'（x）=g（x）+x•g'（x），故，各项均为正数的等比数列{a n}，a3•a5=2，，故．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，数列的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．6．已知：，则目标函数z=2x﹣3y（）A．z max=﹣7，z min=﹣9 B．，z min=﹣7C．z max=﹣7，z无最小值D．，z无最小值【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义，求解函数的最值即可．【解答】解：画出的可行域，如图：A（0，3），，C（4，5），目标函数z=2x﹣3y经过C时，目标函数取得最大值，z max=﹣7，没有最小值．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值考查数形结合的应用，是基础题．7．设f（x）=e1+sinx+e1﹣sinx，x1、，且f（x1）＞f（x2），则下列结论必成立的是（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．＞【分析】根据条件判断函数是偶函数，结合条件判断函数的单调性，进行判断即可．【解答】解：f（x）=f（﹣x），故f（x）是偶函数，而当时，f'（x）=cosx•e1+sinx﹣cosx•e1﹣sinx=cosx•（e1+sinx﹣e1﹣sinx）＞0，即f（x）在是单调增加的．由f（x1）＞f（x2），可得f（|x1|）＞f（|x2|），即有|x1|＞|x2|，即，故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=（）A．10πB．C．D．12π【分析】判断三视图复原的几何体的形状，通过已知的三视图的数据，求出该多面体的外接球的表面积．【解答】解析：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，HG=1，，故，∴该多面体的外接球的表面积．故选：B．【点评】本题考查多面体的外接球的表面积的求法，考查空间几何体三视图、多面体的外接球等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．执行如图的程序框图，若输出S的值是2，则a的值可以为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的S值即可得出该程序中a的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得：S=2，k=0；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=﹣1，k=1；满足条件k＜a，执行循环体，可得：，k=2；满足条件k＜a，执行循环体，可得：S=2，k=3；…，∴S的值是以3为周期的函数，当k的值能被3整除时，不满足条件，输出S的值是2，a的值可以是2016．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出正确的结论，是基础题．10．我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形ABCD；②以AD的中点E为圆心，以EC长为半径作圆，交AD延长线于F；③以D为圆心，以DF长为半径作⊙D；④以A为圆心，以AD长为半径作⊙A交⊙D于G，则△ADG为黄金三角形．根据上述作法，可以求出cos36°=（）A．B．C．D．【分析】根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理即可求出【解答】解：根据做法，图形如图所示，△ADG即为黄金三角形，不妨假设AD=AG=2，则，由余弦定理可得cos36°==故选：B．【点评】本题考查了黄金三角形的定义作法和余弦定理，属于中档题11．已知抛物线E：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线E于A、B=﹣tan∠AOB，则p的值是（）两点（点A在第一象限），若S△OABA．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用三角形的面积推出，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，通过，代入求解即可．【解答】解：，即，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=﹣3，即有，又因为，故：p=2．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．12．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1【分析】方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线，即可；方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），列出方程组求解即可．【解答】解：方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线y=x﹣1．方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），则有：，解之得：x0=1，y0=1，．故选：B．【点评】本题考查函数与方程的应用，求出方程的平方，直线与抛物线的位置关系的应用．二、填空题：13． 1.028≈ 1.172（小数点后保留三位小数）．【分析】根据1.028=（1+0.02）8，利用二项式定理展开，可得它的近似值．【解答】解：1.028=（1+0.02）8=+++×0.023+…+≈=+++×0.023=1+8×0.02+28×0.0004+56×0.000008=1.172，故答案为：1.172【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．14．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（+）=，则与的夹角为．【分析】设=（x，y），根据题中的条件求出x+2y=﹣，即=﹣，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．【解答】解：设=（x，y），由向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，且（+）=，可得﹣x﹣2y=，即有x+2y=﹣，即=﹣，设与的夹角为等于θ，则cosθ===﹣．再由0≤θ≤π，可得θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求出=﹣是解题的关键，属于中档题15．已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．【分析】由已知利用二倍角公式化简可求cos2α+cos2β=3（cosβ﹣sinα），由，得sinα的范围，从而可求，进而得解．【解答】解：∵，∴cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（sinα+cosβ）（cosβ﹣sinα）=3（cosβ﹣sinα），∵由，得，，易得：，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了正弦函数的性质及其应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，△ACD为等边三角形，则△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的公共弦长=1．【分析】以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，分别求出△ABC的外接圆与△ACD的内切圆的方程，联立求得交点，利用两点间的距离公式求得两圆公共弦长．【解答】解：以AC为x轴，AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A（﹣1，0），C（1，0），B（0，1），D（0，﹣），∴△ABC的外接圆的方程x2+y2=1，①△ACD的内切圆方程为，即，②联立①②可得两圆交点坐标为（，﹣），（，﹣），∴两圆的公共弦长为．故答案为：1．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，是中档题．三、解答题：17．（12.00分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2S n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n﹣1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n=1时计算可知a1=﹣1，当n≥2时将a n=2S n+1与a n﹣1=2S n﹣1+1作差可知a n=﹣a n﹣1，进而可知数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列；（2）通过（1）可知，分n为奇偶两种情况讨论即可．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1=﹣1．当n≥2时，有：a n=2S n+1，a n﹣1=2S n﹣1+1，两式相减、化简得a n=﹣a n﹣1，所以数列{a n}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，从而．（2）由（1）得，当n为偶数时，b n+b n=2，；﹣1当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1﹣b n+1=（n+1）﹣（2n+1）=﹣n．所以数列{b n}的前n项和．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（12.00分）如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A11沿CC1折起如图2所示，连接B1C、B1A、B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB 1﹣A1的正弦值．【分析】（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，说明AO⊥CC1，OB1⊥CC1，推出CC1⊥平面OAB1，然后证明AB1⊥CC1；（2）证明AO⊥OB1，以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量，平面A1B1A的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值即可．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴△ACC1，△BCC1为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥CC1，又∵AO∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1；…4分（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C、C1分别为AB、A1B1的中点，∴AC=2，，∵，则，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，…6分以O为原点，以OC，OB1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则则，=（0，，），=（1，0，），设平面AB 1C的法向量为，则，令z=1，则y=1，，则，设平面A 1B1A的法向量为，则，令z=1，则x=0，y=1，即，…8分则…10分∴二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是．…12分．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查计算能力与空间想象能力．19．（12.00分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值μ=65，标准差=2.2，以频率值作为概率的估计值．（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（p表示相应事件的频率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于等于μ﹣2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品（i）从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．【分析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；（ⅱ）确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望E （Z）．【解答】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P （58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（4分）（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，），于是E（Y）=2×=；…（8分）（ⅱ）由题意可知Z的分布列为故E（Z）=0×+1×+2×=．…（12分）【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12.00分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆的左、右顶点，若过点P（﹣2，0）的直线与椭圆相交于不同两点M，N．（i）求证：∠AFM=∠BFN；（ii）求△MNF面积的最大值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合a，b，c的关系解得a，b，可得椭圆的方程；（II）方法一、（i）讨论直线AB的斜率为0和不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，运用直线的斜率公式求斜率之和，即可得证；（ii）求得△MNF的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值．方法二、（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由直线的斜率公式，求得即可得证；（ii）求得弦长|MN|，点F到直线的距离d，运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由题意可得，令x=﹣c，可得y=±b=±，即有，又a2﹣b2=c2，所以．所以椭圆的标准方程为；（II）方法一、（i）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，整理得（m2+2）y2﹣4my+2=0，则△=16m2﹣8（m2+2）=8m2﹣16＞0，所以m2＞2．，可得==．则k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii）当且仅当，即m2=6．（此时适合△＞0的条件）取得等号．则三角形MNF面积的最大值是．方法二（i）由题知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x+2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，则△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=8﹣16k2＞0，所以．，可得=∴k MF+k NF=0，即∠AFM=∠BFN；（ii），点F（﹣1，0）到直线MN的距离为，即有==．令t=1+2k2，则t∈[1，2），u（t）=，当且仅当，即（此时适合△＞0的条件）时，，即，则三角形MNF面积的最大值是．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21．（12.00分）已知函数，且函数f（x）的图象在点（1，﹣e）处的切线与直线x+（2e+1）y﹣1=0垂直．（1）求a，b；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．【分析】（1）由f（1）=﹣e，得a﹣b=﹣1，由f'（1）=2e+1，得到a﹣4b=2，由此能求出a，b．（2）f（x）＜﹣2，即证，令g（x）=（2﹣x3）e x，，由此利用导数性质能证明f（x）＜﹣2．【解答】解：（1）因为f（1）=﹣e，故（a﹣b）e=﹣e，故a﹣b=﹣1①；依题意，f'（1）=2e+1；又，故f'（1）=e（4a﹣b）+1=2e+1，故4a﹣b=2②，联立①②解得a=1，b=2；（2）由（1）得，要证f（x）＜﹣2，即证；令g（x）=（2﹣x3）e x，，g'（x）=﹣e x（x3+3x2﹣2）=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）令g'（x）=0，因为x∈（0，1），e x＞0，x+1＞0，故，所以g（x）在上单调递增，在单调递减．而g（0）=2，g（1）=e，当时，g（x）＞g（0）=2当时，g（x）＞g（1）=e故当x∈（0，1）时，g（x）＞2；而当x∈（0，1）时，，故函数所以，当x∈（0，1）时，ϕ（x）＜g（x），即f（x）＜﹣2．【点评】本题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]（本小题满分10分）22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位），且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．【分析】（I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程；（II）先根据（I）得出圆C的普通方程，再根据直线与交与交于A，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义，表示出|PA|+|PB|，最后根据三角函数的性质，即可得到求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣s inα）t﹣7=0．由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以，又直线l过点（1，2），故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|====2．所以|PA|+|PB|的最小值为2．【点评】此题主要考查参数方程的优越性，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综合性试题有一定的难度．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值为2．（1）求a+b的值；（2）证明：a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为a+b，即可得到所求最小值；（2）运用反证法，结合二次不等式的解法，即可得证．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|a+b|=a+b，∴f（x）min=a+b，由题设条件知f（x）min=2，∴a+b=2；证明：（2）∵a+b=2，而，故ab≤1．假设a2+a＞2与b2+b＞2同时成立．即（a+2）（a﹣1）＞0与（b+2）（b﹣1）＞0同时成立，∵a＞0，b＞0，则a＞1，b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾，从而a2+a＞2与b2+b＞2不可能同时成立．【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，考查反证法的运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．。