数学课件：1.1 直角坐标系 平面上的伸缩变换

2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。

伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。

伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。

通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。

伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。

数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。

通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。

计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。

通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。

02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。

例如，点A的坐标为(3,4)。

点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。

原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。

坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。

例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。

向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。

例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。

距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。

平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。

1．1直角坐标系，平面上的伸缩变换1．1.1直角坐标系1．1.2平面上的伸缩变换基础达标π??2x＋??) 的图象的变换是sin 2x的图象变成y＝sin(1．把函数y＝3??ππB．向右平移A．向左平移66ππD．向右平移C．向左平移33A答案：π??的图象所作的变换为＋2x??sin的图象得到y＝sin 解析：由函数y＝2x3??π?，－X＝xπ6?故是向左平移个单位．6?，yY＝2．已知?ABCD 中三个顶点A、B、C的坐标分别是(－1,2)、(3,0)、(5,1)，则点D的坐标是()－3,1) (B．A．(9，－1)(2,2)D ．(1,3) C．C答案：，由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D点坐标．设D(x解析：，y)?1y2－0－，＝?3－－1?5x－，k＝k?DCAB?则即??，k－y2－01＝k??BCAD＝.?x－1－5－3．?，1x＝?．D(1,3)∴，故??3.＝y?) sin X的伸缩变换是(＝．在同一坐标系中，将曲线y3sin 2x变为曲线Y＝3xX＝2Xx＝2?????? A. B. 11yYY ＝y＝??33??X＝22Xxx＝???? D. C.Y＝3y＝3Yy??B答案：?ax＝X?1＝yax，即X得by＝sin 代入第二个方程Y＝sin ?，ax解析：设sin b?by＝Y?1?，＝b3?比较系数可得?2.＝a4．在△ABC中，已知B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为____________________________．22yx答案：＋＝1 (y≠0) 59解析：∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4，即有|AB|＋|AC|＝6>4.∴A点轨迹为椭圆除去长轴两顶两点，且2a＝6,2c＝4.∴a＝3，c＝2，b＝5.222yx∴A点的轨迹方程为＋．0)≠y1 (＝59．22＝1所对应的图形经过伸缩变换x＋y5．在平面直角坐标系中，方程，x ＝2X??．后的图形所对应的方程是____________y3Y＝?22YX1＋＝答案：9422YX1.＋＝代入公式可得解析：94 ．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换61?，x′＝x?2?后的图形．1??yy′＝322＝yx1. ＋2y＝0；(2)(1)5x＋解：根据变换公式，分清新旧坐标代入即可．1?，xx′＝?2? (1)由伸缩变换1??.y′＝y3′，xx＝2??得到经过伸缩变换后的图形的方程是，＝05x＋2得到y将其代入.′3yy＝?经过伸缩变换后，直线仍然是直线．′＝0.x′＋3y5′，x′＝x2?22?，得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋y(2)将1代入x＝.y′＝3′y?2′x′y＝＋1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆．1194综合提高，xX＝5??变为曲线后，曲线7．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换Cy3Y＝?22)的方程为(X＋4YC＝1，则曲线22221 ＝y9＋36y＝1 x＋100．B x．A2582221 ＋ 1 y24＋10．C x＝x D.＝y925．答案：A?，xX＝5?的方C1，为所求曲线x＋36y＝25代入X＋4Y＝1，得2222?将解析：?y3Y＝?程．，则满足条件的＝90°CB(3,1)，点在坐标轴上，∠ACB8．已知点A(－1,3)，) (点C的个数是2 ．．1 BA4D．C．3C答案：，BC||AC|＋|＝222|AB，得|90°轴上可设点点在xC(x,0)，由∠ACB＝解析：若Cx，解得－3)＋1(＋－1－3)(3－1)＝(x＋1)＋3＋x∴有(222222. ＝＝0，x21 (0,0)，(2,0)．∴C点为||BC|)，由∠ACB＝90°，得|AB|＝|AC＋(0若点C在y轴上可设点C 为，y222.(0)＋－3)＋(y－1)，＋(3∴有(－1－3)＋－1)＝(0＋1)(3－y222222y解之得．，(0,4)4.故C点的坐标为(0,0)0＝或y＝21 3个点．(2,0)，(0,4)共有∴这样的点C(0,0)，，X＝3x??变为曲线后，曲线9．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换CyY＝?22 X．＋9Y＝9，则曲线C的方程是__________221＝＋y答案：xA ，则过5,0,2)6)，C(－B(210．已知三角形的三个顶点为A，－1,4)，(3,2，－________点的中线长为．7答案：2222．＋|AD|)|2(|BD||ABCD．已知11?，求证：AC＋||＝AB所坐标法解：法一：()以O为坐标原点，ABA，xOy轴，建立平面直角坐标系x在的直线为则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，bc则AC的中点E(，)，由对称性知D(b－a，c)，2222222，＋c＝(b－所以|AB|a＝a)，|AD|222222，＋c(b－b2＋ca，|BD|)＝|AC|＝22222－4cab2b＋|BD|＋＝4a2＋|AC|222－2ab)＋c，＝2(2a＋b22222－2ab，＋c|AD| ＝2ab|AB|＋＋2222)．| ＋|＋|BD|AD＝2(|AB∴|AC||→→→，法二：(向量法)＋AD在?ABCD中，AC＝AB→→→→→→2222，两边平方得AD·AC＋＝|AC2|AB＝ABAD＋→→→→→→2222，同理得BD2＝|BD＋|BA＝BABC·＋BC以上两式相加，得→→→→→→→2222) |AC·(＋＋|ADBA|)＋||＋BD2|BC＝2(|AB|AB→→22)，＝|2(||AB ＋|AD2222)．＋|BD|AD＝2(|AB||即AC||＋|12．(创新拓展)在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．，λxx′＝??设变换为代入第二个方程，解：′μyy′＝? 2比较，－2y＝＝得2λx－μy4与x，y4＝4将其变成2x－4. ＝，μ1比较系数得λ＝，′＝xx??∴伸缩变换公式为.4y′＝y?倍可得4＝y2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2x即直线－4. yx到直线2′－′＝。

1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解一.直角坐标系1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。

这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。

它使直线上任意一点P 都可以由惟一的实数x 来确定。

2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为x 、y 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。

这样我们就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任意一点P 都可以由惟一的二元有序实数对),(y x 来确定。

3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为x 、y 、z 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。

这样我们就建立了空间直角坐标系。

它使空间中任意一点P 都可以由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确定。

事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对),(y x 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全体三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应.二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移。

若以向量a表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a平移．在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =，平移后的对应点为),(y x P '''.则有：),(),(),(y x k h y x ''=+即有：⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x .因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x 所确定的变换是一个平移变换。

因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。