考点34 等比数列及前n项和作业2

2.3.2 等比数列的前n 项和(二)一、基础达标1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A ．2n ＋1－2B ．3n C ．2n D ．3n －1答案 C解析 ∵数列{a n }为等比数列，∴a n ＝2q n －1，又∵数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1.即a n ＝2，所以S n ＝2n .故选C.2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( )A ．1B ．0C ．1或0D ．－1答案 A解析 ∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列，∴q ＝a n a n －1＝1. 3．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析 由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.4．命题1：若数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋b (a ≠1)，则数列{a n }是等比数列；命题2：若数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c (a ≠0)，则数列{a n }是等差数列；命题3：若数列{a n }的前n 项和S n ＝na －n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列．上述三个命题中，真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A解析 命题1：a 1＝a ＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1.若{a n }是等比数列，则a 2a 1＝a ，即a (a －1)a ＋b＝a ， 所以只有当b ＝－1且a ≠0时，此数列才是等比数列；命题2：a 1＝a ＋b ＋c ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2na ＋b －a ，若{a n }是等差数列，则a 2－a 1＝2a ，即2a －c ＝2a ，所以只有当c ＝0时，数列{a n }才是等差数列；命题3：a 1＝a －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a －1，显然{a n }是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a －1≠0，即a ≠1时数列{a n }是等比数列．5．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案 2解析 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160.∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 6．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________. 答案 323(1－4-n ) 解析 ∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12，a 1＝4，∴a n ·a n ＋1＝4·(12)n －1·4·(12)n ＝25－2n ， 故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n ＝8(1－14n )1－14＝323(1－4-n )． 7．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，求S 20的值． 解 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 10)1－q ＝10，a 1(1－q 30)1－q ＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q ＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.二、能力提升8．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于()A.152B.314C.334D.172答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q 2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列． 又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝错误!∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.10．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6， 则a 10＋a 11＋a 12＝________.答案 16解析 由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16. 11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n －1. 12．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，即2(a 1q 2＋2)＝a 1q ＋a 1q 3，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0.∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n .(2)b n ＝2n ·log 22n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n . ①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.② ①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1. ∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.三、探究与创新13．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13， (1)若S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n 2. (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．(1)证明 ∵a n ＝13×(13)n －1＝13n ， S n ＝13(1－13n )1－13＝1－13n 2. ∴S n ＝1－a n 2. (2)解 ∵log 3a n ＝log 33(－n )＝－n ，∴b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋3＋…＋n )＝－n (n ＋1)2. ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.。

专题7.3 等比数列及其前n 项和1．（2021·全国高考真题（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【解析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案.【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列∴24S =，42642S S -=-=∴641S S -=，∴641167S S =+=+=.故选：A.2．（2021·山东济南市·）已知S n 是递增的等比数列{a n }的前n 项和，其中S 3＝72，a 32＝a 4，则a 5＝（ ）A ．116B ．18C ．8D ．16【答案】C 【解析】设等比数列的公比为q ，根据题意列方程，解出1a 和q 即可.【详解】解：设递增的等比数列{a n }的公比为q ，且q >1，∵S 3＝72，234a a =，∴1a （1+q +q 2）＝72，21a q 4＝1a q 3，解得1a ＝12，q ＝2；1a ＝2，q ＝12（舍去）．练基础则5a ＝4122⨯=＝8．故选：C ．3．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列{}n a 的前n 项和为271,8,4n S a a =-=，则6S =（ ）A ．212-B ．152C ．212D ．632【答案】C 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，由572a a q =结合已知条件求q 、1a ，再利用等比数列前n 项和公式求6S .【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则572a a q =，又2718,4a a =-=，∴12q =-，故116a =，又1(1)1-=-nn a q S q ，即666311616[1()]216421321()22S ⨯⨯--===--.故选：C4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列{}n a 满足12451,8a a a a +=+=，则7a ＝（ ）A ．643B ．643-C ．323D ．323-【答案】A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则345128a a q a a +==+，所以2q =，又()11121+11,3a a a a q =+==，所以6671123643a a q ==⨯⨯=，故选：A.5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ）A ．6里B ．24里C ．48里D ．96里【答案】D 【解析】根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解可得，则；即此人第二天走的路程里数为96；故选：D ．6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】由112n n n S S S -++>可得出1n n a a +>，取10a <，由101n n q a a +<⇔，进而判断可得出结论.【详解】若112n n n S S S -++>，则11n n n n S S S S +-->-，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为递增数列，若10a <，101n n q a a +<<⇔>，所以，“1q >”是“112n n n S S S -++>”的既不充分也不必要条件.故选：D.7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列{}n a 中，44a =，且22n n a a +=，则{}n a {}n a 12q =6378S =6161[1()]2378112-==-a S 1192a =211192962a a q =⨯=⨯=21nni a==∑___________.【答案】122n +-【解析】由44a =，22n n a a +=，得到22a =且22n na a +=，得出数列{}2n a 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由22n n a a +=，可得22n na a +=，又由44a =，可得4224a a ==，所以22a =，所以数列{}2n a 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以1212(12)2212n nn n i a +=-==--∑.故答案为：122n +-.8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则1a =_____，n S =_______．【答案】1 21n -【解析】利用1n n n a S S -=-求通项公式，再求出n S .【详解】对于21n n S a =-，当n =1时，有1121S a =-，解得：1a =1；当2n ≥时，有1121n n S a --=-，所以()112121=n n n n n a S S a a ----=--，所以1=2nn a a -，所以数列{}n a 为等比数列，111=2n n n a a q--=，所以122112nn n S -==--.故答案为：1，21n -.9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则3a =________，n S =________．【答案】4 21n -【解析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出数列的通项公式，再代入求出n S ．【详解】解：因为21n n S a =-当1n =时，1121S a =-，解得11a =；当2n …时，1121n n S a --=-，所以111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=于是{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=．所以34a =，11212212n nn n S a -=-⨯-==-故答案为：4；21n -；10.（2018·全国高考真题（文））等比数列{a n }中，a 1=1 ， a 5=4a 3．（1）求{a n }的通项公式；（2）记S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63，求m ．【答案】（1）a n =(―2)n―1或a n =2n―1 .（2）m =6.【解析】（1）设{a n }的公比为q ，由题设得a n =q n―1．由已知得q 4=4q 2，解得q =0（舍去），q =―2或q =2．故a n =(―2)n―1或a n =2n―1．（2）若a n =(―2)n―1，则S n =1―(―2)n3．由S m =63得(―2)m =―188，此方程没有正整数解．若a n =2n―1，则S n =2n ―1．由S m =63得2m =64，解得m =6．综上，m =6．1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】由等比数列的性质可得： ，，结合可得： ，结合等比数列的性质可得： ，即：本题选择B 选项.2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第i 行第j 个数为12j -(其中i ，*j N ∈，且i j ≥).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列{}n a ，设{}n a 的前n 项和为n S .若1020n S =，则n =（）A ．46B ．47C ．48D ．49【答案】C 【解析】{}n a 2234764a a a a =-=-46tan 3a a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭32343364,4a a a a a ==-∴=-4730a a q =<2764a =78a =-463732a a a a ==463222tan tan tan 10tan 3333a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅==+== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭练提升根据“数塔”的规律，可知第i 行共有i 个数，利用等比数列求和公式求出第i 行的数字之和，再求出前m 行的和，即可判断1020n S =取到第几行，再根据每行数字个数成等差数列，即可求出n ；【详解】解：“数塔”的第i 行共有i 个数，其和为211212222112i i i --++++==-- ，所以前m 行的和为()()()123121222222212m m m m m m +-++++-=-=-+- 故前9行所有数学之和为102111013-=，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为10131241020+++=，易知“数塔”前m 行共有()12m m +个数，所以9103482n ⨯=+=故选：C3．（2021·江苏高三其他模拟）已知数列{}n a 满足11a =，()1lg 1091n an a +=++，其前n 项和为n S ，则下列结论中正确的有（ ）A ．{}n a 是递增数列B ．{}10n a +是等比数列C ．122n n n a a a ++>+D ．(3)2n n n S +<【答案】ACD 【解析】将递推公式两边同时取指数，变形得到1110109n n a a +-=+，构造等比数列可证{}1010n a+为等比数列，求解出{}n a 通项公式则可判断A 选项；根据()()()2132101010a a a ++≠+判断B 选项；根据{}n a 的通项公式以及对数的运算法则计算()122n n n a a a ++-+的正负并判断C 选项；将{}n a 的通项公式放缩得到()lg 2101n n a n <⨯<+，由此进行求和并判断D 选项.【详解】因为()1lg 1091n an a +=++，所以()11lg 109n an a +-=+，从而1110109n n a a +-=+，110101090n n a a +=⨯+，所以()11010101010n n a a ++=⨯+，所以11010101010n na a ++=+，又1101020a +=，{}1010n a +是首项为20，公比为10的等比数列，所以110102010210n a n n -+=⨯=⨯，所以1021010n a n =⨯-，即()lg 21010nn a =⨯-，又因为21010n y =⨯-在[)1,,*n n N ∈+∞∈时单调递增，lg y x =在定义域内单调递增，所以{}n a 是递增数列，故A 正确；因为1231011,10lg19010lg1911,10lg199010lg19911a a a +=+=+=++=+=+，所以()()()()()222213101010lg191111lg19911lg 1922lg1911lg199a a a +-++=+-+=+-，所以()()()2222213361101010lg 1911lg1911lg199lg 1911lg0199a a a +-++=+-=+>，所以()()()2132101010a a a ++≠+，所以{}10n a +不是等比数列，故B 错误.因为()()()()121222lg 21010lg 21010lg 21010n n n n n n a a a ++++-+=⨯--⨯--⨯-()()()()()()2211211210102101 lglg210102101021012101n n n n n n +++-+⨯-⨯-=⨯-⨯-⨯-⨯-=，而()()()211221121012101210141041014102102101n n n nnn n n -++-⨯--⨯-⨯-=⨯-⨯+-⨯+⨯+⨯-20100.21041016.2100nnnn=⨯+⨯-⨯=⨯>，从而()()()211210121012101nn n -+⨯->⨯-⋅⨯-，于是，122n n n a a a ++>+，故C 正确.因为()()lg 21010lg 210lg 21nnn n a n =⨯-<⨯=+<+，所以()()21322nn n n n S +++<=，故D 正确.故选：ACD.4. （2019·浙江高三期末）数列的前n 项和为，且满足，Ⅰ求通项公式；Ⅱ记，求证：．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析【解析】Ⅰ，当时，，{}n a n S 11a =()11.n n a S n N ++=+∈()n a ()12111n n T S S S =++⋯+31222n n T -≤<(1) 2n n a -=()(1)1n n a S +=+Q ①∴2n ≥11n n a S -=+②得，又，，数列是首项为1，公比为2的等比数列，；证明：Ⅱ，，时，，，同理：，故：．5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，()122n n a xa n n -=+-≥，其中x ∈R .（1）若1x =，求出n a ；（2）是否存在实数x ，y 使{}n a yn +为等比数列？若存在，求出n S ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2382n n n a -+=；（2）存在，()21242n n n n S ++=--.【解析】（1）将1x =代入，由递推关系求出通项公式，并检验当1n =时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数x ，y 满足题意，结合已知条件求出满足数列{}n a yn +是等比数列的实数x ，y 的值，运用分组求∴-①②()122n n a a n +=≥2112a S =+=Q 212a a ∴=∴{}n a 12n n a -∴=(1)2nn a += 21n n S ∴=-2n ≥Q 111122n n n S -≤≤1121111113142112212n n n n T S S S -⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=++⋯+≥+=--11111221221212n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭≤+=-<-31222n n T -≤<和法求出n S 的值.【详解】（1）由题可知：当1x =时有：12n n a a n --=-，当2n ≥时，()()()()()()121321213012232n n n n n a a a a a a a a n ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=++++⋅⋅⋅+-=+，又13a =满足上式，故()()22138322nn n n n a ---+=+=.（2）假设存在实数x ，y 满足题意，则当2n ≥时，由题可得：()()111n n n n a yn x a y n a xa xy y n xy --+=+-⇔=+--⎡⎤⎣⎦，和题设12n n a xa n -=+-对比系数可得：1xy y -=，22xy x -=-⇔=，1y =.此时121n n a na n -+=+-，114a +=，故存在2x =，1y =使得{}n a yn +是首项为4，公比为2的等比数列.从而()()1112121224122nn n n n n nn n a n a n S a a a ++-++=⇒=-⇒=++⋅⋅⋅+=--.所以()21242n n n n S ++=--.6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列{}n a ，满足11a =，121n n a a n +=+-，设n n b a n =+，n n c a n λ=+（λ为实数）．（1）求证：{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若{}n c 是递增数列，求实数λ的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）2nn a n =-；（3）()1,-+∞．【解析】（1）由121n n a a n +=+-，变形为()11222n n n a n a n a n +++=+=+，再利用等比数列的定义证明；（2）由（1）的结论，利用等比数列的通项公式求解；（3）根据{}n c 是递增数列，由10n n c c +->,*n N ∈恒成立求解.【详解】（1）因为121n n a a n +=+-，所以()11222n n n a n a n a n +++=+=+，即12n n b b +=，又因为11120b a =+=≠，所以0n b ≠，所以12n nb b +=，所以{}n b 是等比数列．（2）由1112b a =+=，公比为2，得1222n n n b -=⋅=，所以2nn n a b n n =-=-．（3）因为()21nn n c a n n λλ=+=+-，所以()()11211n n c n λ++=+-+，所以1122121n n n n n c c λλ++-=-+-=+-，因为{}n c 是递增数列，所以*10,n n c c n N +->∈成立，故210n λ+->，*n N ∈成立，即12n λ>-，*n N ∈成立，因为{}12n-是递减数列，所以该数列的最大项是121-=-，所以λ的取值范围是()1,-+∞．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：2，4，6，8，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：2，4，8，16，….122344468858121616记第n 行第m 个数为(),f n m .（Ⅰ）若3n ≥，写出(),1f n ，(),2f n ，(),3f n 的表达式，并归纳出(),f n m 的表达式；（Ⅱ）求第10行所有数的和10S .【答案】（Ⅰ）(),1f n n =，()(),221f n n =-，()(),342f n n =-，()()12,1m m m f n n --+=；（Ⅱ）102036=S .【解析】（I ）由数阵写出(),1f n n =，()(),221f n n =-，()(),342f n n =-，由此可归纳出()()12,1m m m f n n --+=.（II ）()()()()1010,110,210,310,10S f f f f =++++ 291029282 1 =+⨯+⨯++⨯ ，利用错位相减法求得结果.【详解】（Ⅰ）由数阵可知：(),1f n n =，()(),221f n n =-，()(),342f n n =-，由此可归纳出()()12,1m m m f n n --+=.（Ⅱ）()()()()1010,110,210,310,10S f f f f =++++ 291029282 1 =+⨯+⨯++⨯ ，所以231010220292821S =+⨯+⨯++⨯ ，错位相减得291010102222S =-+++++ ()102121012-=-+-2036=.8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12n n S na +=，*n ∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11b =，12nn n b b +=，*n ∈N ，按照如下规律构造新数列{}n c ：123456,,,,,,a b a b a b ，求{}n c 的前2n 项和.【答案】（1）n a n =，*n ∈N ；（2）数列{}n c 的前2n 项和为1222++-n n .【解析】（1）由()12n n n a S S n -=-≥可得1(2)1n na a n n n+=≥+可得答案；（2）由12nn n b b +=得1122n n n b b +++=，两式相除可得数列{}n b 的偶数项构成等比数列，再由（1）可得数列{}n c 的前2n 项的和.【详解】（1）由12n n S na +=，12(1)(2)n n S n a n -=-≥，得12(1)n n n a na n a +=--，所以1(2)1n na a n n n +=≥+.因为122S a =，所以22a =，所以212n a an ==，(2)n a n n =≥.又当1n =时，11a =，适合上式.所以n a n =，*n ∈N .（2）因为12nn n b b +=，1122n n n b b +++=，所以*22()n nb n b +=∈N ，又122b b =，所以22b =.所以数列{}n b 的偶数项构成以22b =为首项､2为公比的等比数列.故数列{}n c 的前2n 项的和()()21321242n n n T a a a b b b -=+++++++ ，()122212(121)22212nn n n n T n +-+-=+=+--所以数列{}n c 的前2n 项和为1222++-n n .9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，， （1）令，求证：数列是等比数列；{}n a ()110,2*n n a a a n n N +==+∈+11n n n b a a =-+{}n b（2）令 ，当取得最大值时，求的值.【答案】（I ）见解析（2）最大，即【解析】（1）两式相减，得 ∴即：∴ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知， 即也满足上式令，则 ，3nn n a c =n c n 3,n n c =3k =121221n n n n a a n a a n +++=+=++Q ，211221n n n n a a a a +++-=-+()211121n n n n a a a a +++-+=-+12n nb b +=21120a b ==≠Q 又，{}n b 2nn b =121nn n a a +-=-2121a a -=-23221a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅()11212n n n a a n ---=-≥()211222121n n n a a n n -∴-=++⋅⋅⋅+--=--2,21n n n a n ∴≥=--11,0n a ∴==21n n a n ∴=--111212233n n n n n n n n c c +++----=∴=11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=()212nf n n =+-()11232n f n n ++=+-()()122n f n f n ∴+-=-∴ 最大，即10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}n a 满足112a =，123n n a a ++=，数列{}n b 满足11b =，()211n n nb n b n n +-+=+.（1）数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()1n n n n c b b a +=-，求使[][][][]1222021n c c c c +++⋅⋅⋅+≤成立([]n c 表示不超过n c 的最大整数)的最大整数n 的值.【答案】（1）112nn a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，2n b n =；（2）最大值为44.【解析】（1）由题得数列{}1n a -是等比数列，即求出数列{}n a 的通项；由题得{}n b n 是一个以111b=为首项，以1为公差的等差数列，即得数列{}n b 的通项公式；（2）先求出[]()*1,16,2,2,21,21,22n n n c k N n n k n n k =⎧⎪=⎪=∈⎨=+⎪⎪+=+⎩，再求出[][][][]()2*12221,1,3,2,231,2122n n c c c c n n n k k N n n n k ⎧⎪=⎪⎪++++=+=∈⎨⎪⎪+-=+⎪⎩即得解.【详解】解：（1）由123n n a a ++=得()11112n n a a +-=--，所以数列{}1n a -是等比数列，公比为12-，()()()()()()12,234f f f f f f n ∴=>>>⋅⋅⋅>()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<Q 123345...c c c c c c ∴>，3,n n c =3k =解得112nn a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.由()211n n nb n b n n +-+=+，得111n nb b n n+-=+，所以{}n b n 是一个以111b=为首项，以1为公差的等差数列，所以1(1)1n bn n n=+-⨯=，解得2n b n =.（2）由()1n n n n c b b a +=-得()12121121(1)22n nn n n c n n ⎛⎫+⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记212n n n d +=，1112321120222n n n n n n n nd d +++-++-=-=<，所以{}n d 为单调递减且132d =，254d =，3718d =<，所以[]()*1,16,2,2,21,21,22n n n c k N n n k n n k =⎧⎪=⎪=∈⎨=+⎪⎪+=+⎩，因此[][][][]()2*12221,1,3,2,231,2122n n c c c c n n n k k N n n n k ⎧⎪=⎪⎪++++=+=∈⎨⎪⎪+-=+⎪⎩，当2n k =时，2320212n n +≤的n 的最大值为44；当2+1n k =时，231202122n n +-≤的n 的最大值为43；故[][][][]1222021n c c c c +++⋅⋅⋅+≤的n 的最大值为44.1．（2021·全国高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件练真题B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．2.（2020·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ）A ．2n –1B ．2–21–n C ．2–2n –1D ．21–n –1【答案】B 【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-.故选：B.3.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）{}n a 53134a a a =+3a =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为，则，解得，，故选C ．4．（2019·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若，则S 4=___________．【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，即解得，所以．5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.【答案】（1）2nn a =；（2）2382(1)55n n +--【解析】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩，整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >== ，q 2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩11,2a q =⎧⎨=⎩2314a a q ∴==13314a S ==，58q 223111314S a a q a q q q =++=++=2104q q ++=12q =-441411()(1)521181()2a q S q ---===---数列的通项公式为：1222n n n a -=⋅=.(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512n n n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----.6．（2021·浙江高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33(4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-，当2n ≥时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n na a +=122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列，1933(3(444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)(34n n n n b a n -=-=-，所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭ ，2413333333321(5)(4)444444n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减得234113333333(4)4444444n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334((4)(44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤；4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-；所以31λ-≤≤.。

4.3.2 第1课时 等比数列前n 项和公式[A 级 基础巩固]1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( ) A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D ．323(1－2－n ) 2．在等比数列{a n }中，a 3＝32，其前三项的和S 3＝92，则数列{a n }的公比q ＝( ) A ．－12 B ．12C ．－12或1 D ．12或1 3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－114．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1 B ．a 7a 9<1C ．T n 的最大值为T 7D ．S n 的最大值为S 7 5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( )A ．8B ．12C ．16D ．246．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.7．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．8．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13. (1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n 2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．[B 级 综合运用]11．(多选)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则( )A ．数列{a n }的公比为2B ．数列{a n }的公比为8 C.S 6S 3＝8 D ．S 6S 3＝9 12．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．19313．已知{a n }是递减的等比数列，且a 2＝2，a 1＋a 3＝5，则{a n }的通项公式为________，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)＝________.14．在数列{}a n 中，若a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，a n －1＋12，n ≥2，求数列{}a n 的前n 项和．[C 级 拓展探究]15．设a 1，a 2，…，a n 成等比数列，且S ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，R ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n，P ＝a 1·a 2·…·a n . 求证：(1)S R＝a 1·a n ； (2)P 2R n ＝S n .【参考答案】[A 级 基础巩固]1．【解析】由a 5＝a 2q 3，得q 3＝18，所以q ＝12， 而数列{a n a n ＋1}也为等比数列，首项a 1·a 2＝8，公比q 2＝14， 所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8(1－4－n )1－14＝323(1－4－n )． 【答案】C2．【解析】由题意，可得a 1q 2＝32，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝92， 两式相除，得1＋q ＋q 2q 2＝3，解得q ＝－12或q ＝1. 【答案】C3．【解析】设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0.所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0.因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q＝1－q 51－q 2＝1＋321－4＝33－3＝－11.故选D. 【答案】D4．【解析】∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0，∴a 7>1,0<a 8<1，∴0<q <1，故A 正确．a 7a 9＝a 28<1，故B 正确；T 7是数列{T n }中的最大项，故C 正确；因为a 7>1，0<a 8<1，S n 的最大值不是S 7，故D 不正确；故选A 、B 、C.【答案】ABC5．【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q n S n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16.【答案】C6．【解析】设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1， 偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇，由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇，即S 偶＝2S 奇，因为数列{a n }的项数为偶数，所以q ＝S 偶S 奇＝2. 【答案】27．【解析】由a 2＋a 4＋…＋a 100a 1＋a 3＋…＋a 99＝q ，q ＝2，得a 2＋a 4＋…＋a 100150＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450.【答案】4508．【解析】由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q，解得q ＝2， 故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列， 其前5项和为1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116. 【答案】31169．解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3. 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.10．解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ， S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n 2. (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2. 所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2. [B 级 综合运用]11．【解析】因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，所以a 6a 3＝q 3＝8，解得q ＝2，所以S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝9，故选A 、D. 【答案】AD12．【解析】设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7， 由a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1271－12＝381，解得a 1＝192. 【答案】C13．【解析】由a 2＝2，a 1＋a 3＝5，{a n }是递减的等比数列，得a 1＝4，a 3＝1，a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1是首项为8、公比为14的等比数列的前n 项和． 故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8＋2＋12＋…＋8×⎝⎛⎭⎫14n －1＝8×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝323×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n .【答案】a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1 323×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n14．解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝1.当n ≥2时，若a ＝0，有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12，n ≥2.则S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12. 若a ＝1，有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 ，n ＝1，32，n ≥2，则S n ＝1＋32(n －1)＝3n －12. 若a ≠0且a ≠1，则S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12＋a ＋⎝⎛⎭⎫12＋a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫12＋a n －1 ＝1＋12(n －1)＋(a ＋a 2＋…＋a n －1)＝n ＋12＋a －a n 1－a. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，n ＋12，a ＝0且n ≥2，3n －12，a ＝1且n ≥2，n ＋12＋a －a n 1－a ，a ≠0且a ≠1且n ≥2.[C 级 拓展探究]15．证明：本题分q ≠1和q ＝1两种情形进行讨论． 情形1：q ≠1.(1)显然，此时S ＝a 1(1－q n )1－q ，R ＝1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q n 1－1q＝1－q na 1q n －1(1－q )， P ＝a 1·(a 1q )·(a 1q 2)·…·(a 1q n －1)＝a n 1q n (n －1)2. ∴S R＝a 21q n －1＝a 1(a 1q n －1)＝a 1a n .(2)由(1)，得⎝⎛⎭⎫S R n ＝(a 21q n －1)n ＝⎝⎛⎭⎫a n 1q n (n －1)22＝P 2，∴P 2R n ＝S n . 情形2：q ＝1.(1)显然，此时S ＝na 1，R ＝n a 1，P ＝a n 1，∴S R＝a 21＝a 1a n . (2)由(1)得⎝⎛⎭⎫S R n ＝a 2n 1＝P 2，即P 2R n ＝S n . 故两式均成立．综上所述，不论q 是否为1，两式都成立．。

第二课时 等比数列前n 项和的性质及应用基础达标一、选择题1.等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项的和是( )A.1SB.Sq n －1C.Sq 1－nD.q n S解析 易知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，首项为1，公比为1q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n 1－1q＝q （1－q n ）（1－q ）q n ＝1－q n 1－q ·1q n －1＝S q n －1＝S ·q 1－n . 答案 C2.我国数学巨著《九章算术》中，有如下问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？其大意为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是( )A.2B.3C.4D.1解析 依题意，每天的织布数构成一个公比q ＝2的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ，则S 5＝5，S m ＝3531，∵S 5＝a 1（1－25）1－2＝5，解得a 1＝531.∴S m ＝531（1－2m ）1－2＝3531，解得m ＝3.故选B.答案 B3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B.－18C.578D.558解析 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案 A4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( ) A.12B.2C.1716D.17解析 a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12. ∴S 8S 4＝S 4＋（S 8－S 4）S 4＝1＋S 8－S 4S 4＝1＋q 4＝1716. 答案 C5.某市利用省运会的契机，鼓励全民健身，从2018年7月起向全市投放A ，B 两种型号的健身器材.已知7月投放A 型健身器材300台，B 型健身器材64台，计划8月起，A 型健身器材每月的投放量均为a 台，B 型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A ，B 两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a 的最小值为( )A.243B.172C.122D.74解析 设B 型健身器材这6个月投放量构成数列{b n }，则{b n }是b 1＝64，q ＝32的等比数列，其前6项和S 6＝64×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3261－32＝1 330，∴5a ＋300＋1 330≥2 000，解得a ≥74，故选D.答案 D二、填空题6.正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于________.解析 由S 30＝13S 10，知q ≠1，由⎩⎨⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，得⎩⎨⎧S 10＝10，S 30＝130，由等比数列的前n 项和的性质得S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，则(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(130－S 20)，解得S 20＝40或S 20＝－30(舍去).答案 407.一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是________米.解析 设小球每次着地后跳回的高度构成数列{a n }，则数列{a n }为等比数列，a 1＝128，q ＝12，S 5＝128×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝248，共经过的路程为256＋2S 5＝752(米).答案 7528.设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，则公比q ＝________.解析 由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.又S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1210. 又{a n }为正项等比数列，∴q ＝12.答案 12三、解答题9.(1)设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，记{x n }的前n 项和为S n ，求S 20.(2)设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求ba 1＋ba 2＋ba 3＋…＋ba 6.解 (1)∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n >0，∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250.(2)设数列{b n }的公比为q ，则q ＝2，∵ba n ＋1ba n＝b 1·qa n ＋1－1b 1·qa n －1＝qa n ＋1－a n ＝2， ∴{ba n }是首项为b 2，公比为2的等比数列.∴ba 1＋ba 2＋…＋ba 6＝b 2（1－26）1－2＝126. 10.已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).证明 法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1，当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).当q ≠1时，S n ＝a 11－q(1－q n )， S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )， ∴S 2n ＋S 22n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n ). 又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2(1－q n )(2－q 2n －q 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ). 法二 根据等比数列的性质有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )，S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n ).∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).能力提升11.设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y ).若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 令x ＝n ，y ＝1，则f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，又a n ＝f (n )，∴a n ＋1a n＝f （n ＋1）f （n ）＝f (1)＝a 1＝12， ∴数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n .答案 1－12n12.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式.解 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1万元， 所以总投入a n ＝800＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋…＋800× ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n (万元).同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1万元. 所以总收入b n ＝400＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋…＋400× ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1. 综上，a n ＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ， b n ＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1. 创新猜想13.(多选题)如果有穷数列a 1，a 2，a 3，…，a m (m 为正整数)满足a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，即a i ＝a m －i ＋1(i ＝1，2，…，m )，我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.设{b n }是项数为2m (m >1，m ∈N *)的“对称数列”，且1，2，22，23，…，2m －1依次为该数列中连续的前m 项，则数列{b n }的前100项和S 100可能的取值为( )A.2100－1B.251－2C.226－4D.2m ＋1－22m －100－1解析 由题意知数列{b n }为1，2，22，23，…，2m －1，2m －1，…，23，22，2，1.若m ＝50，则S 100＝2×1×（1－250）1－2＝251－2，B 正确； 若51≤m <100，则S 100＝2×1×（1－2m ）1－2－1×（1－22m －100）1－2＝2m ＋1－22m －100－1，故D 正确.若m ≥100，则S 100＝1×（1－2100）1－2＝2100－1，故A 正确. 答案 ABD14.(多空题)已知集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，将P ∪Q 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则a 29＝________，使得S n <1 000成立的n 的最大值为________.解析 数列{a n }的前n 项依次为1，2，3，22，5，7，23，….利用列举法可得，当n ＝35时，P ∪Q 的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n }，所以数列{a n }的前35项分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…，57，59，2，4，8，16，32，故a 29＝47.S 35＝30＋30×（30－1）2×2＋2×（25－1）2－1＝302＋26－2＝962<1 000. 因为26＝64>61，所以S 36＝S 35＋61＝1 023>1 000，所以n 的最大值为35.答案 47 35。

4.3.2等比数列的前n 项和公式【题组1等比数列的前n 项和与基本量】1、设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321238S a a =+，则公比=q （）A．2B．32-C．2或32-D．2或32【答案】A【解析】由321238S a a =+，有123212()38a a a a a ++=+，即321260a a a --=，由等比数列的通项公式得2111260a q a q a --=，即2260q q --=，解得2q =或32q =-，由数列为正项等比数列，∴2q =.故选：A2、记正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2373S S =，则该数列的公比q =（）A．13B．12C．2D．3【答案】C【解析】正项等比数列{}n a 中，0q >，由2373S S =得()()1212373a a a a a +=++，整理得3213440a a a --=，即23440q q --=，解得2q =，所以数列{}n a 的公比2q =.故选：C3、设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则公比q =（）A．5B．4C．3D．2【答案】D【解析】设公比为q ，因为23S =，415S =，所以4212S S -=，所以1234312a a a a +=⎧⎨+=⎩，即112311312a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩两个方程左右两边分别相除，得24q =，因为数列是正项等比数列，所以2q =，故选：D.4、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34S =，612S =，则12S =______．【答案】60【解析】设等比数列的公比为q ，因为34S =，612S =，所以1q ≠，则()313141a q S q-==-，()6161121a q S q-==-，所以63131q q-=-，解得32q =，所以()()()()12661121211112126011a q a q q S qq--+===⨯+=--；故答案为：605、在等比数列{}n a 中，16a =，2312a a =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，若66m S =，求m .【答案】（1）()162n n a -=⋅-或6n a =；（2）5m =或11【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由2312a a =-得：21112a q a q =-，即26126q q =-，解得：2q =-或1q =，()162n n a -∴=⋅-或6n a =.（2）当2q =-时，()()6126612mm S --==+，解得：5m =；当1q =时，1666m S ma m ===，解得：11m =；综上所述：5m =或11.【题组2等比数列片段和性质及应用】1、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若812S =，2436S =，则16S =（）A．24B．12C．24或－12D．－24或12【答案】A【解析】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以8S ，168S S -，2416S S -成等比数列，因为812S =，2436S =，所以()()21616121236S S -=⨯-，解得1624S =或1612S =-，因为816880S S q S -=>，所以160S >，则1624S =．故选：A2、若等比数列{}n a 的前n 项和为n S，22S =，46S =+78a a +=（）A．32+B．32+C．16+D．16+【答案】D【解析】1222a a S +==34424a a S S +=-=+，由等比数列片段和的性质：2S ，42S S -，64S S -，86S S -，…成等比数列，所以568a a +=+，则7816a a +=+3、n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且721143,18,S S S x ===，则（）A．23450x x +-=B．23630x x --=C．23450x x --=D．23630x x +-=【答案】C【解析】因为730S =≠，所以71472114,,S S S S S --成等比数列，所以()()272114147S S S S S -=-，即()2318(3)x x -=-，整理得23450x x --=.故选：C.4、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若842S S =，则1284S S S -的值是（）A．4-B．3C．3-D．4【答案】B【解析】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，842S S =，由等比数列的性质得：484128,,S S S S S --成等比数列，且公比不为-1即24144,,2S S S S -成等比数列，44122S S S ∴-=，2413S S ∴=，12844433S SS S S ∴==-.故选：B.5、一个等比数列共有3m 项，若前2m 项之和为15，后2m 项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为（）A．63B．72C．75D．87【答案】A【解析】由题意知215m S =，360m m S S -=，又()()()2232260m m m m m m m m S S S S S S S S -=-=+-，解得3m S =，所以360363m S =+=.故选：A.【题组3等比数列奇偶项和的性质应用】1、已知等比数列{}n a 共有32项，其公比3q =，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{}n a 的所有项之和是（）A．30B．60C．90D．120【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的奇数项之和为1S ，偶数项之和为2,S 则311531a a S a a =++++，()2463213531123a a a a q a a a a S S ++++=++++==又1260S S +=，则11603S S +=，解得1230,90S S ==，故数列{}n a 的所有项之和是3090120+=.故选：D2、已知等比数列{}n a 的公比2q =，前100项和为10090S =，则其偶数项24100a a a +++L 为（）A．15B．30C．45D．60【答案】D【解析】设1399S a a a =+++L ，则()2410013992a a a a a a q S +++=+++=L L ，又因为1001210090S a a a =+++=L ，所以39030S ,S ==，所以24100260a a a S +++==L .故选:D3、已知项数为奇数的等比数列{}n a 的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（）A．5B．7C．9D．11【答案】A【解析】根据题意，数列{}n a 为等比数列，设111·n n n a a q q --==，又由数列{}n a 的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则211210q -==，故1(1)2110213151n n n a q S n q-=+=⇒-=⇒=-；故选：A 4、已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】设这个等比数列{}n a 共有()2k k N *∈项，公比为q ，则奇数项之和为132185k S a a a -=+++=奇，偶数项之和为()2421321170n n S a a a q a a a qS -=+++=+++==奇偶，170285S q S ∴===偶奇，等比数列{}n a 的所有项之和为()212212211708525512kkk a S -==-=+=-，则22256k =，解得4k =，因此，这个等比数列的项数为8.故选：C.5、等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则2462020+++a a a a 的值为（）A．()20203318-B．()20201318-C．()20203312-D．()10103312-【答案】A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵11a =，427a =，∴327q =，解得11a =，3q =.∴13-=n n a ，23a =，29q =，1239n n a -=⋅()()202010102462020319+++193318a a a a -==--，故选：A.【题组4等比数列前n 项和的其他性质】1、设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（）A．681a a >B．01q <<C．n S 的最大值为7S D．nT 的最大值为7T 【答案】B【解析】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾，若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾，所以01q <<，故B 正确；因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误；因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误；因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误；故选：B.2、已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（）A．若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B．若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C．若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D．若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥【答案】D【解析】A：由20222021S S >，得20220a >，即202110a q >，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则{}n a 不是递增数列，故A 错误；B：由20222021T T >，得20221a >，即202111a q >，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则数列{}n a 不是递增数列，故B 错误；C：若等比数列11a =，公比12q =，则11()122(1)1212nn n S -==--，所以数列{}n S 为递增数列，但20222021a a <，故C 错误；D：由数列{}n T 为递增数列，得1n n T T ->，所以1n a >，即1q ≥，所以20222021a a ≥，故D 正确.故选：D3、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件1202120221,1a a a >⋅>，()()20212022110a a -⋅-<，则下列结论中不正确的有（）A．q >1B．20222021S S >C．202120231a a ⋅<D．2021T 是数列{}n T 中的最大项【答案】A【解析】因为()()20212022110a a -⋅-<，所以20212022101a a >⎧⎨<<⎩或20212022011a a <<⎧⎨>⎩，而{}n a 为等比数列1202120221,1a a a >⋅>，于是01q <<，20212022101a a >⎧⎨<<⎩，则A 错误；2022202120222021S S a S =+>，则B 正确；22021202320221a a a ⋅=<，则C 正确；因为122021202220231,1,,1,01,01,a a a a a >>><<<<，所以2021T 是数列{}n T 中的最大项，则D 正确.故选：A.4、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若135a a+=，420S =，则846422S S S S S -=--（）A．9B．10C．12D．17【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为412341324S a a a a a a a a =+++=+++()()131313(1)5(1)20a a a a q q a a q =++=+=+++=.所以3q =，则()()44844284442264262444211101S S S S S q S S q q S S S S S S q S S q -----====+=------.故选：B 【题组5等比数列中Sn 与an 的关系】1、已知等比数列{}n a 的前n 项和23n n S m +=-，则m a =（）A．93B．1023⨯C．103D．923⨯【答案】B【解析】因为数列{}n a 的前n 项和23n n S m +=-，所以1127a S m ==-，221812754a S S m m =-=--+=，33224381162a S S m m =-=--+=，又数列{}n a 为等比数列，所以数列{}n a 的公比32162354a q a ===，所以2154327a a m ==-，所以9m =，118a =，所以1118323n n n a -+=⨯=⨯，故10923m a a ==⨯，故选：B.2、等比数列{}n a 的前n 项和23nn S m =+⨯，则m =（）A．2-B．2C．1D．1-【答案】A【解析】116a S m ==+，当2n ≥时，1143n n n n a S S --=-=⨯，因为{}n a 是等比数列，所以11436m -⨯=+，得2m =-，所以A 正确.故选：A.3、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n S a n =-+，则10S =（）A．11223-B．10219-C．103223⨯-D．93219⨯-【答案】C【解析】当1n =时，111221S a a ==-+，解得11a =.当2n ≥时，11223n n S a n --=-+，所()11221223n n n n n a S S a n a n --=-=-+--+，即122n n a a -=+，所以()1222n n a a -+=+，即1222n n a a -+=+，所以数列{}2n a +是首项为3，公比为2的等比数列，则1232n n a -+=⨯，从而3223n n S n =⨯--，故10103223S =⨯-.故选：C4、设n S 为数列{}n a 的前n 项和．若23n n S a =-，则5a =（）A．48B．81C．96D．243【答案】A【解析】由23n n S a =-，当1n =时1123a a =-，即13a =，当2n 时，1123n n S a --=-，则122n n n a a a -=-，即12n n a a -=(2)n ．∴数列{}n a 是以3为首项，以2为公比的等比数列，则132n n a -=⨯，∴453248a =⨯=．故选：A．5、已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =________.【答案】1122n --.【解析】由21n n S =-得当2n ≥时1121n n S --=-，所以112(2)n n n n a S S n --=-=≥，又因为01112a S ===，所以12n n a -=，1112n n a -=，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公比的等比数列，所以11111221212n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，【题组6等比数列前n 项和的实际应用】1、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九匹三丈.问日益几何？”意思是：女子从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则该女子第5天所织的布的尺数为（）A．7B．10715C．21931D．20929【答案】D【解析】设第n 天织布n a 尺，∵每天比前一天多织相同数量的布∴数列{}n a 为等差数列，设其公差为d，又第1天织5尺布，∴15a =，∵一月（按30天计）共织390尺布，∴30=390S ，∴3029305+3902d ⨯⨯⨯=，∴1629d =，∴516209542929a =+⨯=，即第该女子第5天所织的布的尺数为20929，故选：D.2、在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈）A．42B．56C．63D．70【答案】C【解析】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q =的等比数列，由()2121199912nn S ⨯-+=+=-，可得121000n +=，解得2500n =，两边取对数得lg 2lg 500n =，则lg 23lg 2n =-，所以33118.979lg 20.3010n =-=-≈=，故需要的天数约为9763⨯=.故选：C3、《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”，则前6天两只老鼠一共穿城墙________尺．【答案】207932【解析】由题意可知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以12为公比的等比数列，前6天打洞之和为611()21321263-=-；大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前6天打洞之和为6126312-=-．所以两只老鼠前6天打洞穿墙的厚度之和为632079633232+=．4、如图，一个小球从10m 高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的13，若已知小球经过的路程为530m 27，则小球落地的次数为______．【答案】4【解析】设小球从第（n-1）次落地到第n 次落地时经过的路程为n a m，则12321110,102,10233a a a ==⨯⨯=⨯⨯，，当2n ≥时，得出递推关系12120,33n n a a a +==，所以数列{}n a 是从第2项开始以首项为203，公比为13的等比数列，所以221120((2)33n n n a a n --=⋅=≥，且110a =，设小球第n 次落地时，经过的路程为530m 27，所以12n n S a a a =+++211111020()(333n -⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦110203n -=-，所以11053020327n --=，解得4n =，5、某中学有在校学生2000人，没有患感冒的同学．由于天气骤冷，在校学生患流行性感冒人数剧增，第一天新增患病同学10人，之后每天新增的患病同学人数均比前一天多9人．由于学生患病情况日益严重，学校号召同学接种流感疫苗以控制病情．从第8天起，新增病患的人数均比前一天减少50%，并且每天有10名患病同学康复．（1）求第n 天新增病患的人数()113,N n a n n *≤≤∈；（2）按有关方面规定，当天患病同学达到全校人数的15%时必须停课，问该校有没有停课的必要？请说明理由．【答案】（1）()139117N 2813n nn n a n n *-+≤≤⎧=∈⎨≤≤⎩；（2）该学校不用面临停课的危险；理由见解析【解析】（1）当17,N n n *≤≤∈时，∵110a =，公差为9，∴10(1)991=+-⋅=+n a n n 当813,N n n *≤≤∈时，∵764a =，公比为12，∴71313711222---⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭n n nn a a∴()139117N 2813n nn n a n n *-+≤≤⎧=∈⎨≤≤⎩（2）设n S 为第n 天患病总人数，则当27n ≤≤时，10n n n S S a --=>当813≤≤n 时，13110210---=-=-n n n n S S a ，令1321009--≥⇒≤n n ，()()17912789897102202n a a S S a a a a a a a +==+++++-⨯=++-最大值()5471064222002%3⋅+==<⨯=++-.所以该学校不用面临停课的危险．。

课时功课(十) 等比数列前n 项和公式[练根底]1．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋t , 那么t ＋a 3的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．17 D ．182．等差数列{a n }公差不为零 , 首项a 1＝1 , a 1 , a 2 , a 5成等比数列 , 那么数列{a n }的前10项和是( )A ．90B ．100C ．145D ．1903．[庄子·全国篇]中有一句话 : 〞一尺之棰、日取其半 , 万世不竭〞假设是经由n 天 , 该木锤剩余的长度为a n (尺) , 那么a n 与n 的干系为( )A ．a n ＝1－12n －1B ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12nD ．a n ＝1－12n4．(多项选择题)已知等比数列{a n }的各项均为正数 , 且3a 1 , 12a 3,2a 2成等差数列 ,那么以下说法准确的选项是( )A ．a 1>0B ．q >0C.a 3a 2＝3或－1D.a 6a 4＝95．有如许一首诗 : 〞有个门生资性好 , 一部[孟子]三日了 , 逐日添增一倍多 , 问君逐日读几多 ？〞(注 : [孟子]全书约34 685字 , 〞一倍多〞指一倍) , 由此诗知该君第二日读了________字．6．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }知足a 1＝b 1＝1 , a 2＋a 4＝10 , b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式．(2)乞降 : b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. [提本领]7. (多项选择题)在[增减算法统宗]中有如许一那么故事 : 〞三百七十八里关 , 初行健步不尴尬 ; 越日脚痛减一半 , 云云六日过其关〞．那么以下说法准确的选项是( )A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的旅程比后五天走的旅程多六里C ．此人第二天走的旅程占全程的14D ．此人走的前三天旅程之和是后三天旅程之和的8倍8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n , 个中a 2＝2 , a 5＝16 , 那么S 2n ＋S n ＋662n的最小值是________．9．在①q ·d ＝1 , ②a 2＋b 3＝0 , ③S 2＝T 2这三个前提中任选一个 , 增补在下边题目中 , 假设题目中的λ存在 , 求出λ的取值规模 ; 假设不存在 , 申明来由．假设S n 是公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和 , T n 是公比为q 的等比数列{b n }的前n 项和 , ________ , a 1＝1 , S 5＝25 , a 2＝b 2 , 能否存在正数λ , 使得λ|T n |<12?[战疑难]10．(多项选择题)界说在(－∞ , 0)∪(0 , ＋∞)上的函数f (x ) , 假设是对付恣意给定的等比数列{a n } , {f (a n )}还是等比数列 , 那么称f (x )为〞保等比数列函数〞 , 现有界说在(－∞ , 0)∪(0 , ＋∞)上的以下函数 , 个中是〞保等比数列函数〞的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝ln|x |课时功课(十) 等比数列前n 项和公式1．剖析 : 由题意可得a 1＝S 1＝3＋t , a 2＝S 2－S 1＝6 , a 3＝S 3－S 2＝18 , 由等比数列得36＝(3＋t )·18. 解得t ＝－1.∴t ＋a 3＝－1＋18＝17. 应选C. 谜底 : C2．剖析 : 设等差数列{a n }的公差为d , 那么d ≠0 , 由于a 1 , a 2 , a 5成等比数列 ,以是a 22＝a 1a 5 , 又由于首项a 1＝1 ,以是(1＋d )2＝1×(1＋4d ) , 即d (d －2)＝0 , 由于d ≠0 , 以是d ＝2 ,以是S 10＝10×1＋10×92×2＝100.应选B.谜底 : B3．剖析 : 由题得天天取的木锤构成一个等比数列 ,以是a n ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.应选C. 谜底 : C4．剖析 : 设等比数列{a n }的公比为q , 由题意得2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝3a 1＋2a 2 , 即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q .由于数列{a n }的各项均为正数 , 以是a 1>0 , 且q >0 , 故A , B 准确 ; 由q 2－2q －3＝0 , 解得q ＝3或q ＝－1(舍) , 以是 a 3a 2＝a 1q 2a 1q＝q ＝3 , a 6a 4＝a 1q 5a 1q3＝q 2＝9 , 故C 错误 , D 准确 , 应选ABD.谜底 : ABD5．剖析 : 设第一日读的字数为a , 由〞逐日添增一倍多〞得此数列是以a 为首项 ,公比为2的等比数列 , 可求得三日共读的字数为a 1－231－2＝7a ＝34 685 , 解得a ＝4955 , 那么2a ＝9 910 , 即该君第二日读的字数为9 910.谜底 : 9 9106．剖析 : (1)设等差数列{a n }公差为d , 由于a 2＋a 4＝2a 3＝10 , 以是a 3＝5＝1＋2d , 以是d ＝2.以是a n ＝2n －1.(2)设{b n }的公比为q , b 2·b 4＝a 5⇒qq 3＝9 , 以是q 2＝3 ,以是{b 2n －1}是以b 1＝1为首项 , q ′＝q 2＝3为公比的等比数列 , 以是b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1·1－3n 1－3＝3n－12.7．剖析 : 凭据题意此人天天行走的旅程成等比数列 , 设此人第n 天走a n 里路 , 那么{a n }是首项为a 1 , 公比为q ＝12的等比数列．以是S 6＝a 11－q 61－q ＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378 , 解得a 1＝192.a 3＝a 1q 2＝192×14＝48 , 以是A 准确．由a 1＝192 , 那么S 6－a 1＝378－192＝186 , 又192－186＝6 , 以是B 准确．a 2＝a 1q ＝192×12＝96 , 而14S 6＝94.6<96 , 以是C 不准确．a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝192×(1＋12＋14)＝336 , 那么后3天走的旅程为378－336＝42并且42×8＝336 , 以是D 准确． 应选ABD. 谜底 : ABD8．剖析 : 由a 2＝2 , a 5＝16易得公比q ＝3a 5a 2＝2.故a 1＝a 2q＝1.故S n ＝11－2n1－2＝2n －1.S 2n ＝22n－1.故S 2n ＋S n ＋662n＝22n －1＋2n －1＋662n＝2n＋1＋642n ≥22n×642n ＋1＝17.当且仅当2n ＝642n ⇒2n＝8 , n ＝3时等号建立．故S 2n ＋S n ＋662n的最小值是17. 谜底 : 179．剖析 : ∵S 5＝25＝5a 3 , ∴a 3＝5 ,∴a 2＝a 1＋a 32＝1＋52＝3 ,∴b 2＝a 2＝3.∴d ＝a 2－a 1＝3－1＝2.假设选① , ∵q ·d ＝1 , ∴q ＝1d ＝12,∴b 1＝3×2＝6 ,∴T n ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ,由λ|T n |<12得λ≤1 , 又λ>0 , 以是λ的取值规模为(0,1]． 假设选② , ∵a 2＋b 3＝0 , ∴b 3＝－a 2＝－3 , ∴q ＝－1 , b 1＝－3 ,∴当n 为偶数时 , T n ＝0 , 那么λ>0 ;当n 为奇数时 , T n ＝－3 , 由λ|T n |<12得λ<4. 综上得λ的取值规模为(0,4)．假设选③ , 由S 2＝T 2得b 1＝a 1＋a 2－b 2＝1＋3－3＝1. ∴q ＝b 2b 1＝3.∴T n ＝1－3n1－3＝3n2－12,由指数函数的性子可知T n 无最大值 , ∴不存在正数λ , 使得λ|T n |<12.10．剖析 : 设数列{a n }的公比为q (q ≠0)．对付 A , f a n ＋1f a n ＝a 2n ＋1a 2n＝q 2, 是常数 ,故A 切合〞保等比数列函数〞的界说 ;对付B , f a n ＋1f a n ＝2a n ＋12a n＝21n n a a＋－ , 明显当公比q ≠1时 , 上式不是常数 , 故B 不切合〞保等比数列函数〞的界说 ;对付C , f a n ＋1f a n ＝|a n ＋1||a n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1a n ＝|q | , 是常数 , 故C 切合〞保等比数列函数〞的界说 ;对付D , f a n ＋1f a n ＝ln|a n ＋1|ln|a n |, 明显当公比q ≠±1时 , 上式不是常数 , 故D 不切合〞保等比数列函数〞的界说．应选AC. 谜底 : AC。

四、等比数列1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示（0q ≠）．递推式表示为1n na q a +=或1(2)nn a q n a -=≥． 例如：数列{}n a 满足12n n a a +=，则数列{}n a 是公比为2的等比数列．特别注意：等比数列中任何一项都不为0，公比0q ≠，若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，除了0,0,0,L 这样的常数列之外，其余的也都是等比数列． 注：10a >，1q >时，{}n a 是递增的等比数列；10a >，01q <<时，{}n a 是递减的等比数列； 10a <，01q <<时，{}n a 是递增的等比数列； 10a <，1q >时，{}n a 是递减的等比数列； 1q =时，{}n a 是非零常数列； 0q <时，{}n a 是摆动数列．2．等比中项若三个数a ，G ，b 成等比数列，则G 叫作a 与b 的等比中项． 此时2G ab =例如：2和8的等比中项为4±． 注：①一个等比数列，从第2项起，每一项都是它的前后两项的等比中项，即212n n n a a a ++=，每一项都是前后距离相同两项的等比中项，即2n n m n m a a a -+=．②当三个数成等比数列时，当四个数成等比数列时，常设这3．等比数列的通项公式等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则11n n a a q -=．4．等比数列的性质（1）等比数列{}n a 的第m 项为m a ，则n mn m a a q -=．★例如：7652812310a a q a q a q a q -=====L ．（2）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，若2m n p +=，则2m n p a a a =．★例如：2192837465a a a a a a a a a ====，12132n n n a a a a a a --===L ．（3）下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,L 组成公比为mq 的等比数列．例如：135721,,,,,,n a a a a a -L L 组成公比为2q 的等比数列；51015205,,,,,,n a a a a a L L 组成公比为5q 的等比数列．（4）{}n a 是公比为q 的等比数列，则{}n ka 也是等比数列，公比为q ． （5）{}n a ,{}n b 都是等比数列，则{}n ka ，{||}n a ，2{}n a ，1{}n a ，{}n n a b ，{}n na b 也是等比数列．5．判断一个数列是等比数列的方法 （1）定义法：1n na q a +=（常数）．★ （2）等比中项法：212+=n n n a a a +或211-+=n n n a a a ．★ （3）通项公式法：11=n n a a q-（公比为q ）．（4）前n 项和公式法：(0,0)nn S Aq A A q =-≠≠．练习题：答案解析：五、等比数列的前n项和1．等比数列前n项和公式注意：应用求和公式时，要先看q是否等于1，必要时需讨论．2．和的有关性质等比数列{}n a ，公比为q ，前n 项和为n S ，那么：（1）数列232,,,k k k k k S S S S S --L 是等比数列，公比为kq ．★ （2）m nm n m n n m S S q S S q S +=+=+．（3）S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则有：①当项数为偶数2n 时，S q S =偶奇；②当项数为奇数21n +时，1S a q S -=奇偶．练习题：答案解析：31263585659SSS S∴==．答案：D数学浪子整理制作，侵权必究。

高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册4.3.2第2课时 等比数列前n 项和公式的应用一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．162．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A ．152 B ．314 C ．334 D ．1723．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A ．150B ．－200C ．150或－200D ．4004．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10 ，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( ) A ．1 025B ．1 024C ．10 250D ．20 2405．已知公差d ≠0的等差数列{a n } 满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( ) A ．30B ．20C ．10D ．5或406．(多选题)已知S n 是公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和，若q ≠1，m ∈N *，则下列说法正确的是( ) A ．S 2m S m ＝a 2ma m ＋1B ．若S 6S 3＝9，则q ＝2C ．若S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则m ＝3，q ＝2D ．若a 6a 3＝9，则q ＝37．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．3n－1 B ．1－(－3)n 2C ．1＋3n 2D ．3n 2＋n 2二、填空题8．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________. 9．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________. 10．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和．已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.11．等比数列{a n }的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，则这个等比数列的公比q ＝________，又令该数列的前n 项的积为T n ，则T n 的最大值为________． 12．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的第n 项为a n ，前n 项和为S n ，则a n ＝________，S n ＝________. 三、解答题13．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．14．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．15．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．参考答案一、选择题 1．答案：C解析：由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2， ∴q ＝2，∴S 4＝1·(1－24)1－2＝15.]2．答案：B解析：显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314.]解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列， 因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)．即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，解得S 20＝－20或S 20＝30， 又S 20＞0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80，S 40＝150.故选A. 4．答案：C解析：∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n >0， ∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，故选C.] 5．答案：A解析：设等差数列的公差为d ，因为a 2，a 4－2，a 6成等比数列，所以(a 4－2)2＝a 2·a 6， 即(a 1＋3d －2)2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )，即(3d －1)2＝(1＋d )·(1＋5d )，解得d ＝0或d ＝3，因为公差d ≠0，所以d ＝3，所以a m －a n ＝a 1＋(m －1)d －a 1－(n －1)d ＝(m －n )d ＝10d ＝30，故选A.] 6．答案：ABC解析：[∵q ≠1，∴S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝1＋q m.而a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1qm －1＝q m ，∴A 正确；B 中，m ＝3，∴S 6S 3＝q 3＋1＝9，解得q ＝2.故B 正确；C 中，由S 2m S m ＝1＋q m ＝9，得q m ＝8.又a 2ma m ＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，得m ＝3，q ＝2，∴C 正确；D 中，a 6a 3＝q 3＝9，∴q ＝39≠3，∴D 错误，故选ABC.]7．答案：A解析：由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1＞0，∴a n －3a n －1＝0，即a n a n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2×(3n －1)3－1＝3n－1.]二、填空题解析：由a n ＋1＝ca n 知数列{a n }为等比数列．又∵S n ＝3n ＋k ， 由等比数列前n 项和的特点S n ＝Aq n －A 知k ＝－1.] 9.答案：2解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1， S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q ，S 奇＝a 1[1－(q 2)n ]1－q 2.由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2，∴1＋q ＝3，∴q ＝2.10．答案：2n －1解析：设等差数列{a n }的公差为d ，(d ≠0)， 则S 1＝5－2d ，S 2＝10－3d ，S 4＝20－2d ，因为S 22＝S 1·S 4，所以(10－3d )2＝(5－2d )(20－2d )，整理得5d 2－10d ＝0，∵d ≠0，∴d ＝2， a n ＝a 3＋(n －3)d ＝5＋2(n －3)＝2n －1.] 11．答案：122解析：设数列{a n }共有2m ＋1项，由题意得S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2m ＋1＝8532，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2m ＝2116，S 奇＝a 1＋a 2q ＋…＋a 2m q ＝2＋q (a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝2＋2116q ＝8532， ∴q ＝12，∴T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋n －1＝232n －n 22，故当n ＝1或2时，T n取最大值，为2.] 12．答案：2n －1 2n ＋1－n －2 解析：因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n－1， 所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 三、解答题13．解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇，S 偶， 由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，得a 1＝12.故所求通项公式为a n ＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1.14．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ， 所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.15．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，故a n ＝3n －1(n ≥2，n ∈N *)，又当n ＝1时也满足a n ＝3n －1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3.n ≥3时，T n ＝3＋9(1－3n －2)1－3－(n －2)(3＋n ＋4)2＝3n －n 2－5n ＋112.∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3， n ＝2，3n－n 2－5n ＋112，n ≥3.集合间的基本关系例1 确定整数x 、y ，使得{2,}{7,4}x x y +=.例2 例1 写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合. 例3 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x =->与{|250}B x x =-≥；（2）设集合A ={0,1}，集合{|}B x x A =⊆，则A 与B 的关系如何？ 说明 判断两个集合之间的关系时，（1）若能用列举法表示出集合，则可根据各个集合的元素构成情况直接判断；（2）若不能用列举法表示集合，则可以根据（集或真子集的）定义进行判断.空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.例4 已知集合{}2|(2)430,A x a x x x =-+-=∈R 有且仅有两个子集，求实数a 的取值范围，并写出集合A 的子集.说明 一般，若集合含有n 个元素，则共有2n 个子集（21n -个真子集），其中有一个是空集.例5 已知集合{}260P x x x =+-=∣，{10}Q x ax =+=∣.若Q P ⊆，求满足条件时实数a 的所有取值组成的集合.说明 解决此类问题的一般步骤有：第一步，化简集合，即尽可能地将给定的集合化简，这样我们就能搞清楚集合的元素是什么；第二步，根据子集或真子集的定义，分别写出子集或真子集（不要遗忘空集）； 第三步，根据子集或真子集的不同情况分别进行分类讨论.例5 已知集合{}510|<+<=ax x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=221|x x B .（1）若A B ⊆，求a 的取值范围. （2）若B A ⊆，求a 的取值范围.（3）集合A 与集合B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，说明理由.例6 已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ⊆，求实数p 、q 所满足的条件学习检测1.用适当的符号填空：{1,}1-________{}2|10,x x x -=∈R ； {0}________{}2|10,x x x +=∈R .2.集合{1,2,3}的子集共有________个.3.写出集合{(2,1),(1,2)}--的所有子集：________________________.4.已知集合{1,3,}{3,4}A m B =-=，.若B A ⊆，则实数m =________.5.已知集合{|12}{|}A x x B x x a =<<=>，，B={x |x >a }.若A ⫋B ，则实数a 的取值范围是_____________.6.满足{}a ⫋{,,}M a b c ⊆的所有集合M 共有_________个.7.已知集合A B A C ⊆⊆，，且{0,1,2,3,4,5}B =，{}0,2,4,6,8C =，则满足条件的所有集合A 共有______.8.已知a 、b ∈R ，集合{1,,}A a b a =+，0,,bB b a⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若A B =，则b a -的值是（ ） A.1； B.-1； C.2； D.-2.9.已知集合{}2230A y y y =--=∣，{}220B x x ax b =-+=∣（a 、b 均为实数）.若非空集合B A ⊆，则a b +的值是（ ）A.12或-2；B.-2或0；C.2或2或0；D.12或-2或010.若1,1x A A x∈∈-且,则称集合A 为“和谐集”.已知集合1122,1,,0,1,,,2,3,223M ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，则集合M 的子集中，“和谐集”的个数为11.已知集合{}52|≤<-=x x A ，{}121|-<≤+=m x m x B ，且B A ⊆.求实数m 的取值范围并用集合表示.12.给定集合A 和B ，定义运算“⊗”：{|,,}A B x x m n m A n B ⊗==-∈∈.若{}4,5,6A =，{}1,2,3B =：（1）写出A B ⊗，并求集合A B ⊗中的所有元素之和；（2）写出集合A B ⊗的所有子集.13.已知集合}),12(51{Z k k x x M ∈+==，},5154{Z k k x x N ∈±==,则集合NM ,之间的关系为（ ）A N M ⊆ B M N ⊆ C N M = D N M ≠14、已知集合B A ⊆，},)412({Z k k x x B ∈+==π,},)214({Z k k x x C ∈+==π,那么集合A 与C 的关系为_____15、设集合{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，A B ⊆求实数a的取值范围。

4.3.2等比数列的前n项和公式一、等比数列的前n 项和公式已知量首项1a 与公比q首项1a ，末项n a 与公比q公式()()()111111n n na q S a q q q⎧=⎪=-⎨≠⎪-⎩()()11111n n na q S a a qq q ⎧=⎪=-⎨≠⎪-⎩二、等比数列前n 项和的函数特征1、n S 与q 的关系（1）当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是()111nn a q S q-=-，它可以变形为1111n n a a S q q q =---，设11aA q=-，则上式可以写成n n S A Aq =-的形式，由此可见，数列{}n S 的图象是函数x y A Aq =-图象上的一群孤立的点；（2）当公比1q =时，等比数列的前n 项和公式是1n S na =，则数列{}n S 的图象是函数1y a x =图象上的一群孤立的点。

2、n S 与n a 的关系当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是11n n a a qS q-=-，它可以变形为111n na qS a q q=---设1qA q =--，11aB q=-，则上式可写成n n S Aa B =+的形式，则n S 是n a 的一次函数。

三、等比数列前n 项和的性质1、等比数列{}n a 中，若项数为2n ，则=S q 偶奇S ；若项数为21n +，则1=S a q S -奇偶.2、若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S ，2n n S S -，32n n S S -…成等比数列（其中n S ，2n n S S -，32n n S S -…均不为0）．3、若一个非常数列{}n a 的前n 项和()0,0,n n S Aq A A q n N *=-≠≠∈，则数列{}n a 为等比数列。

四、等比数列前n 项和运算的技巧1、在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：1a ，n a ，n ，q ，n S ，其中首项1a 和公比q 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如n q ，11a q-都可以看作一个整体。