等比数列的前n项和 (2) PPT

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4．若等比数列的前n项和Sn＝5n＋m，则m＝ ( ) A．－1 B．1 C．－5 D．5 解析：a1＝5＋m，当n≥2时，an＝5n－5n－1＝ 4· 5n－1所以5＋m＝4，m＝－1. 答案：A
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释
等比数列前n项和性质
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课堂总结
灵活应用等比数列前n项和的性质解题，往往能 达到事半功倍的效果．
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误区解密
考虑不全面，导致错误
【例3】 设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，若 S3＋S6＝2S9，求数列{an}的公比q.
错解：因为 S3＋S6＝2S9，所以 a11－q3 a11－q6 a11－q9 ＋ ＝ 2× ， 1－q 1－q 1－ q 由于 a1≠0，整理，得 q3(2q6－q3－1)＝0. 因为 q≠0，所以(2q3＋1)(q3－1)＝0， 4 所以 q＝1 或 q＝－ . 2 3
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520 520 由题意知4 a－4x4 ＋4x≥4a，
令
520 y＝4 ，则
1g y＝20(1g 5－1g 4)＝20(1－31g 2 )≈2， ∴y＝100，∴100a－400x＋4x≥4a， 8 ∴x≤ a. 33 8 故每年砍伐量不能超过 a. 33
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1． 110a－ 1.19x－ 1.18x－…－ 1.1x－ x
10 1.1 －1 10 ＝ 1.1 a－ x＝ 2.6a－ 16x. 1.1－ 1
3 由题意， 得 2.6a－ 16x＝ 2a.解得 x＝ a(m2)． 80 a 3 － a× 10 2 80 1 (2)所求百分比为 ＝ ≈ 6.3%. 2a 16

课前训练
1 1 1 的前n项和 求等比数列 1, , , ,…的前 项和 n. 的前 项和S 2 4 8
例题1: 例题1: 变式1: 变式1:
n 17 3 5 9 2 +1 的前n项和 项和S 求数列 2 , , 8 , 16,… 2 n 的前 项和 n. 4
若数列{a 的通项a 项和S 若数列 n} 的通项 n =2n+n，求其前 项和 n. ，求其前n项和
变式2 学案与测评》 变式2：《学案与测评》P32 第7题 题
求数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1 ,…的前 求数列 的前 n项和 n. 项和S 项和
Байду номын сангаас
例题2: 例题2:
若数列{a 的通项a 求其前n项和 项和S 若数列{an} 的通项an =n2n，求其前n项和Sn.
变式1： 变式1
课外练习: 课外练习:
《学案与测评》P32 学案与测评》 “举一反三”第2题, ”能力提高”第8题, 举一反三” 能力提高” 举一反三 题 能力提高 题 ”拓展延伸”第9题 拓展延伸” 拓展延伸 题
课外作业
课本P61 课本P61 第4题
等比数列的前n项和
na1 等比数列{a 中 当公比 当公比q=1时,Sn=_________; 等比数列 n}中,当公比 时 n a1 an q a1（1-q ) （ 当公比q≠1时,Sn=________________=________________; 当公比 时 1-q 1 q
等比数列的前n项和 的公式推导过程中， 等比数列的前 项和Sn的公式推导过程中，用 项和 了什么方法?___________ 了什么方法 错位相减法

1
1


1
8
S8
2 2 1 1


255 256
2
练习
已知等比 an中 数 , 列
1 a 1 2 , S 3 1 . 则 q 4 2或-3
a 3

8或18
2 a 1 1 , a 4 2 则 q 1 -6 , S 4 6 185
sn=a1+a2+a3+ ······+an-1+an
Sn = a1 + a1q + a1q2 +……+a1qn-2 + a1qn-1 (*)
q n a s 1 q a 1 q 2 a 1 q 3 a n 1 q a 1 q n (*
两式相减有 ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
欢迎光临指导
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方

（3）求证：数列{bn }是等比数列； （4）记 dn
an bn ,求{dn }的前 n项和 Sn 。
6
探究1：
1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？
{an}是等比数列
Sn Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
1 1 2 例3. 求和 : ( x ) ( x 2 ) y y
练习： 求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。
5
0.999
n个9
99
1 (x n ) y
n
1 1 2 1 3 例4：求和Sn = 2( ) 3( ) 2 2 2
练习： 求和S n 1 3 2 5 2 7 2
-1 实数m＝__________.
7
探究2：
an 的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比 数 列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10 , S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
结论： S n 是等比数列an 的前n项和，
Sn≠0，
2 3
1 n n( ) 2
n 1
(2n 1) 2
a2 6, a5 18，数列{bn } 例5已知数列{an }是等差数列，
1 的前 n项和是 Tn ，且 Tn bn 1 。 2
（1）求数列{an } 的通项公式；
4 , 求{cn } 的前 n 项的和An ； （2）记 cn an an 1
2.5 等比数列的前n项和(2)

1 = 4.
4
所以 Sn=
1
1- 2
1
1+
2
8
3
= −
8
3
1
-2 .
8 8
= n3 3
·
8
8
= n+
3
9
1
2
1-
1
1- 2
1
1- 2
1
2
.
练习巩固
典例解析
反思感悟 数列综合问题的关注点
(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差
与等比数列的通项公式、前n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是
（2）将+1 − = ��( − )化成
+1 = − + . ②
比较①②的系数，可得
= 1.08,
− = −100.
解这个方程组，得
= 1.08,
= 1250.
新知探究
典例解析
所以（1）中的递推公式可以化为
（3）由（2）可知，数列{ -1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数
列，则
(1 −1250) + (2 −1250) + (3 −1250) + ⋯ + ( −1250)
−50 × 1 − 1.0810
=
≈ −724.8.
1 − 1.08
所以
10 =1 + 2 +3 + ⋯ +10 ≈ 1250 × 10 − 724.8 = 11775.7 ≈ 11776.
练习巩固
典例解析
题型一 等比数列前n项和的性质
例1(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=

§ 6.3.2 等比数列的 前n项和
8
7
6
5
4
陛下，赏小 人一些麦粒 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 子放 1 颗麦粒 子放 4 颗麦粒 就可以 。 请在第二个格 子放 8 颗麦粒 依次类推 ……
子放2颗麦粒
8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 3 什么样的 2 赏赐？ 1 3 2 1
①
30
两边同时乘以2，
2S30 2 2 2 2 2
2 3 29
②
由①-②得,
S30 1 2
'
30
30 10 S 2 1 1.0 10 . 即 30
而S30 3.0 10 ,显然S30比S30 大得多,
5 '
因此，建筑队队长最好不要同意这样的 条件,否则会亏大的.
n
错 位 4 相 减
由③- 4 得
(1 q) Sn a1 1 q n
(1 q) S n a1 1 q
n
S
？
n
a1 1 q n 1 q
等比数列的 通项公式
分类讨论 当 q 1时,
Sn
a1 1 q 1 q
n
a a q;
1 n
5 10
5
10
a1 an q 比数列的前n项和公式
a1 1 q n a1 an q Sn , q 1 1 q 1 q Sn na1 q 1
(2) 公式推导过程中用到的“错位相减” 方法; (3) 公式的运用.
a1 , q, n, Sn
作业布置 P25练习3.1，2习题6— 3A组3,4,5
(3)趣味题: 远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?

an 3 2(an1 3) (n 2) 即
an 3 2 (n 2)
an1 3
∴数列{an-3}是公比为2的等比数列.
an 3 (a1 3)2n1 (3 3)2n1 3 2n an 3(2n 1).
Q an 3(2n 1) 3 2n 3 ,
Sn a1 a2 a3 L an
,
求：（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II）a2 a4 a6 L a2n 的值.
解：
（I）由a1=1，an1
1 3
Sn
,
得
a2
1 3
S1
1 3 a1
1 3
,
a3
1 3
S2
1 3 (a1
a2 )
4 9
,
11
16
a4 3 S3 3 (a1 a2 a3 ) 27 ,
（II）a2 a4 a6 L a2n 的值.
解：（II）由（I）可知 a2 , a4 ,L
, a2n
是首项为
1 3
，
公比为( 4)2 , 项数为n的等比数列，
3
a2
a4
a6
L
a2n
1
1
( 4)2n 3
3 1 (4)2
3 [( 4 )2n 1]. 73
3
例5 设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*
即
n 1 2. Sn
故 { Sn } 是以2为公比的等比数列. n
n
例3 数列{an}的前n项和记为Sn，已知
a1
1, an1
n
n
2
Sn(n
1,2,3
).
（1）数列
{ Sn n

[提示] S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80 ＝140.
1．思考辨析
[基础自测]
(1)等比数列{an}共 2n 项，其中奇数项的和为 240，偶数项的和为 120， 则该等比数列的公比 q＝2.( )
(2)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a·3n－1－1，则 a＝1.( ) (3)若数列{an}为等比数列，则 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 也成等比数列．( ) (4)若 Sn 为等比数列的前 n 项和，则 S3，S6，S9 成等比数列．( )
等比数列前 n 项和公式的函数特征应用 例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a 是不为零且不等于 1 的常数)， 则数列{an}( ) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列
B [当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴aan＋n 1＝a， ∴数列{an}是等比数列．]
[解] 设 S2n＝x，S4n＝y，则 2，x－2,14－x，y－14 成等比数列，所以 x－22＝214－x， 14－x2＝x－2y－14， 所以xy＝ ＝63， 0 或xy＝ ＝－ －44，0 (舍去)，所以 S4n＝30.
2．(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶 数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间 两项的和为1238”求此等比数列的项数．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1． （2019 年金华模拟）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10∶S5＝1∶2，

1
Sn

a1 anq 1 q
,q
1
na1, q 1
na1, q 1
练习1.判断是非
（ 2）n
①1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n) 1 (2)
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2nn ) 12
③
c2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
, 14
,
1 8
,116
,
求前2n项中所有偶数项的和.
练习4
思考
资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达 7.4×108t，每吨占地1m2，环保部门每回收或 处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃 圾．如果环保部门2002年共回收处理了100t 废旧物资，且以后每年的回收量递增20%． (1)2010年能回收多少吨废旧物资？ (2)从2002年到2010年底，可节约土地多少m2?
小结：
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学
源于生活
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
na1
q 1
知三求二
a1 anq
Sn
1q
na1
数学 用于生活
q1
q1
分组求和
方
转
程
化
思
思
想
想
课后作业：
必做：P61 A组 1、4、6题 选做：
思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
等比数列的前n项和
选自人教A版必修5第二章第五节

的前８
项的和
解：由
a11 2,q1 41 21 2,n8得
1
1
1
8
S8
2 2 1 1
255 256
2
.
13
例2：某商场第1年销售计算机５０００台，如果平均每年的销售量比上一年增 加10%，那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到３００００台 （保留到个位）？ 分析：由题意可知，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起， 每年的销售量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n项和.
所以
当 q = 1 时 Sn = n a1.
9
等 比 数 列 前
n 项 和 公 式
.
10
等比数列前n项和公式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ推导方法三: 借助和式的代数特征进行恒等变形
S n a 1 a 2 a 3 .. a .n
a 1 q ( a 1 a 2 a 3 . .a . n 1 )
a1q(Snan)
当q≠1时，
16 17 18 19 20 21 22 23
22 2 2 2 2 2 2
24 25 26 27 28 29 30 31
2 2 2 2 2 2 2 2.
32 33 34 35 36 37 38 39
2 2 2 2 2 2 2 2..
40 41 42 43 44 45 46 47
2 2 2 2 2 2 2 2..
.
1
复习回顾
1、等比数列的定义：
an+1 a n . =q
(q=0)
2、等比数列的通项公式： a = a qn-1 n1
3、等比数列的性质: (1) 若 a , G , b成等比数列
G 2=a b