等比数列及其前n项和二

等比数列及其前n 项和考点与题型归纳一、基础知识1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n 可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q ，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总——规律多一点设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .考点一 等比数列的基本运算[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. (2)若a n＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n1－2＝2n －1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6. [题组训练]1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C.2D ．22解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4. 2．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：32考点二 等比数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a n a n ＋1－2a n ＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法]1．掌握等比数列的4种常用判定方法 定义法 中项公式法 通项公式法前n 项和公式法2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可．[题组训练]1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列． 证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6.由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n ，即a n＋1＝2a n ＋2n，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n )＝2(a n ＋1－2a n )， 又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列．2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质考法(一) 等比数列项的性质[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－2 C.2D ．－ 2 或2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.(2)由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A. [答案] (1)B (2)A考法(二) 等比数列前n 项和的性质[典例] 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16[解析] 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30. [答案] B [解题技法]应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．[题组训练]1．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( )A.12 B ．－12C ．－29D ．－19解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B.2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.答案：2[课时跟踪检测]A 级1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2D.12解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C.2．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.4．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )A ．22 018－12B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 018C ．22 019－12D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 019解析：选A 由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4.又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝12(1－22 019)1－2＝22 018－12，故选A.5．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝21，a 2＋a 4＋a 6＝42，则S 9＝( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．512解析：选C 设等比数列的公比为q ，由等比数列的定义可得a 2＋a 4＋a 6＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＝q (a 1＋a 3＋a 5)＝q ×21＝42，解得q ＝2.又a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝a 1×21＝21，解得a 1＝1.所以S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝1×(1－29)1－2＝511.故选C.6．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1 B ．a 1<0，q >1 C ．a 1>0,0<q <1D ．a 1>0，q >1解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0，又数列{a n }为递增等比数列，∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|， 则－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1－a n ∈(0,1)，∴a 1<0,0<q <1.故选A.7．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________． 解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2， 所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.答案：1278．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. 答案：12,489．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.答案：2n －110．已知等比数列{a n }为递减数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10， 得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， 得2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝12()q ＝2舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝12n .答案：12n11．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1， 而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12．(2019·甘肃诊断)设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128， 则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024， 可得a 5＋1＝32，即a 5＝31. (2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1，利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .B 级1．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．3n－1 B.1－(－3)n 2C.1＋3n 2D.3n 2＋n 2解析：选A 由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1>0，∴a n －3a n －1＝0，即a na n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.2．(2019·郑州一测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.解析：因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.答案：1003．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解：(1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。

等比数列前n项和公式大全等比数列前n项和公式：Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。

推导如下：因为an = a1q^(n-1)所以sn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1) (1)qsn =a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n (2)（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。

把（1）式的第二项乘以（2）式的第一项。

把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。

以此类推,把（1）式的第n项乘以（2）式的第n-1项。

（2）式的.第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

于是获得(1-q)sn = a1(1-q^n)即sn =a1(1-q^n)/(1-q)。

等比数列的性质①若 m、n、p、q∈n*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每 k项之和仍成zhi等比数列.“g就是a、b的等比中项”dao“g^2=ab（g≠0）”.③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则（a2n），（a3n）…就是等比数列，公比为q1^2，q1^3…（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

(5) 等比数列前n项之和sn=a1(1-q^n)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)=(a1q^n)/(q-1)-a1/(q-1)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.特别注意：上述公式中a^n则表示a的n次方。

(6)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

等比数列通项公式和前n项和公式等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，则其通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中n 为项数。

在等比数列中，前n项和的公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。

英文：Geometric progression is a sequence in which the ratio of any two consecutive terms is the same. Let the first term of the geometric sequence be a, and the common ratio be r, then its general term formula is: an = a * r^(n-1), where n is the number of terms. In a geometric sequence, the formula for the sum of the first n terms is: Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r).等比数列通项公式an= a1 * q^(n-1)，其中q为公比。

英文：The general term formula of a geometric sequence is an=a1 * q^(n-1), where q is the common ratio.在等比数列中，首项为a1，通项公式为：an= a1*q^(n-1)。

其中an表示第n项，q为公比。

英文：In a geometric sequence, the first term is a1 and the general term formula is: an= a1*q^(n-1). Where an represents the nth term, and q is the common ratio.当公比小于1时，等比数列是一个收敛的数列。

等比数列的前n 项和（二）[学习目标] 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n 项和有关的问题．知识点一 等比数列的前n 项和的变式1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1－a n q 1－q ＝a 1q nq －1－a 1q －1； 当q ＝1时，S n ＝na 1.2．当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·qn＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 思考 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 等于________．答案 －13解析 由题{a n }是等比数列， ∴3n 的系数与常数项互为相反数， 而3n 的系数为13，∴k ＝－13.知识点二 等比数列前n 项和的性质1．连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数) 2．S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．3．若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .思考 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210 D ．520答案 A解析 S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80， ∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.题型一 等比数列前n 项和的性质例1 (1)等比数列{a n }中，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝______.(2)等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝____. 答案 (1)28 (2)2解析 (1)∵数列{a n }是等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也是等比数列， 即7，S 4－7,91－S 4也是等比数列， ∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)， 解得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2·(1＋q 2)＞0， ∴S 4＝28.(2)由题S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴S 奇＝－80，S 偶＝－160， ∴q ＝S 偶S 奇＝2.跟踪训练1 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( )A ．2 B.73 C.83 D ．3答案 B解析 方法一 因为数列{a n }是等比数列，所以S 6＝S 3＋q 3S 3，S 9＝S 6＋q 6S 3＝S 3＋q 3S 3＋q 6S 3，于是S 6S 3＝(1＋q 3)S 3S 3＝3，即1＋q 3＝3，所以q 3＝2.于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73.方法二 由S 6S 3＝3，得S 6＝3S 3.因为数列{a n }是等比数列，且由题意知q ≠－1，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，解得S 9＝7S 3，所以S 9S 6＝73.(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式．解 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇、S 偶，由题意知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，即a 1＝12. 故所求通项公式为a n ＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1. 题型二 等比数列前n 项和的实际应用例2 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．解 方法一 设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为A k 元，则： A 2＝5 000×(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0082－x ， A 4＝A 2(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0084－1.0082x －x ， …A 12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x ＝0， 解得x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5 000×1.008121－(1.0082)61－1.0082≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．方法二 设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为A k 元，则： A 2＝x ；A 4＝A 2(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082)； A 6＝A 4(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082＋1.0084)； …A 12＝x (1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)． ∵年底付清欠款，∴A 12＝5 000×1.00812，即5 000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， ∴x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．跟踪训练2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n的表达式．解 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元，所以总投入a n ＝800＋800×⎝⎛⎭⎫1－15＋…＋800× ⎝⎛⎭⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n (万元)．同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝⎛⎭⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元．所以总收入b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋400× ⎝⎛⎭⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1.综上，a n ＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n ，b n ＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1. 题型三 新情境问题例3 定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数． (1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方数列”的前n 项之积为T n ，则T n ＝(2a 1＋1)(2a 2＋1)·…·(2a n ＋1)，求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；(3)对于(2)中的T n ，记b n ＝log 2a n ＋1T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞4 024的n 的最小值．(1)证明 由条件得a n ＋1＝2a 2n ＋2a n ，2a n ＋1＋1＝4a 2n ＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2.∴数列{2a n ＋1}是“平方数列”．∵lg(2a n ＋1＋1)＝lg(2a n ＋1)2＝2lg(2a n ＋1)， 且lg(2a 1＋1)＝lg 5≠0， ∴lg (2a n ＋1＋1)lg (2a n ＋1)＝2，∴{lg(2a n ＋1)}是首项为lg 5，公比为2的等比数列． (2)解 ∵lg(2a 1＋1)＝lg 5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1lg 5.∴2a n ＋1＝125n -，∴a n ＝12(125n -－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1) ＝lg 5(1－2n )1－2＝(2n －1)lg 5， ∴T n ＝25n－1.(3)解 ∵b n ＝log 12n a +T n ＝lg T nlg (2a n ＋1)＝(2n－1)lg 52n －1lg 5＝2n －12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴S n ＝2n －⎣⎡⎦⎤1＋12＋⎝⎛⎫122＋…＋⎝⎛⎫12n －1 ＝2n －1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n.由S n ＞4 024，得2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n ＞4 024， 即n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＞2 013.当n ≤2 012时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＜2 013； 当n ≥2 013时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＞2 013. ∴n 的最小值为2 013.跟踪训练3 把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图(1))；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2))；如此继续下去，则：(1)图(3)共挖掉了________个正方形；(2)第n 个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________． 答案 (1)73 (2)8n －17 1－⎝⎛⎭⎫89n解析 (1)8×9＋1＝73.(2)设第n 个图形共挖掉a n 个正方形，则a 1＝1，a 2－a 1＝8，a 3－a 2＝82，…，a n －a n －1＝8n －1(n ≥2)，所以a n ＝1＋8＋82＋…＋8n －1＝8n －17(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1也满足上式，所以a n ＝8n －17.原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×⎝⎛⎭⎫132＋8×⎝⎛⎭⎫134＋82×⎝⎛⎭⎫136＋…＋8n －1×⎝⎛⎭⎫132n ＝19[1－⎝⎛⎭⎫89n ]1－89＝1－⎝⎛⎭⎫89n .1．等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 等于( ) A ．2n－1 B.4n －13C.1－(－4)n 5D.1－(－2)n 32．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．等比数列{a n }的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是( ) A ．28 B ．48 C ．36 D ．524．已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列．求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．162．等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项的和是( )A.1S B ．Sq n －1 C ．Sq 1－n D.q n S3．已知等比数列{a n }的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q 等于( ) A.12B ．1C ．2D ．4 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零的常数且a ≠1)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列5．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( ) A ．1 025 B ．1 024 C ．10 250D ．20 2406．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 1＝8，S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( ) A ．S 1 B ．S 2 C ．S 3 D ．S 47．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a n ＋1a n －1B.S 5S 3C.S 5a 3D.S n ＋1S n二、填空题8．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝________.9．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________.10．设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，则公比q ＝________.11．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )．若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.三、解答题12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是等比数列，求实数t 的值；(2)设各项均不为0的数列{c n }中，所有满足c i ·c i ＋1＜0的整数i 的个数称为这个数列{c n }的“积异号数”，令c n ＝na n －4na n (n ∈N *)，在(1)的条件下，求数列{c n }的“积异号数”．13．某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量m(m＞0)万吨．(1)从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量(万吨)依次构成数列{a n}，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；(2)证明：数列{a n－10m}是等比数列；(3)若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．当堂检测答案1．答案 B解析 由a 1a 2a 3＝1得a 32＝1， ∴a 2＝1， 又∵a 4＝4， ∴a 4a 2＝4. ∴数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为1， 公比为4的等比数列．∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝4n －13.2．答案 D解析 设每天植树棵数为{a n }，则{a n }是等比数列， ∴a n ＝2n (n ∈N *，n 为天数)． 由题意得2＋22＋23＋…＋2n ≥100， ∴2n －1≥50， ∴2n ≥51， ∴n ≥6.∴需要的最少天数n ＝6. 3．答案 A解析 易知S m ＝4，S 2m －S m ＝8， ∴S 3m －S 2m ＝16， ∴S 3m ＝12＋16＝28.4．证明 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2a 7＝a 1＋a 4， 即2a 1·q 6＝a 1＋a 1·q 3， ∴2q 6－q 3－1＝0.令q 3＝t ，则2t 2－t －1＝0， ∴t ＝－12或t ＝1，即q 3＝－12或q 3＝1.当q 3＝1时，2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．当q 3＝－12时，2S 3＝2×a 1(1－q 3)1－q ＝2a 1×321－q ＝3a 11－q，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝3a 141－q ， S 12－S 6＝a 7(1－q 6)1－q ＝a 1·q 6(1－q 6)1－q ＝a 14×341－q ， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．综上可知，2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．课时精练答案一、选择题1．答案 C解析 由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4(a 1q )＝4a 1＋a 1·q 2，∴q ＝2，∴S 4＝1·(1－24)1－2＝15. 2．答案 C解析 易知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，首项为1，公比为1q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1－(1q )n 1－1q＝q (1－q n )(1－q )q n ＝1－q n 1－q ·1q n －1＝S qn －1＝S ·q 1－n . 3．答案 C解析 S 3＝1，S 6＝9，∴S 6－S 3＝8＝a 4＋a 5＋a 6＝q 3(S 3)＝q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.4．答案 B解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a －1，也满足上式．∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *. ∴a n ＋1a n＝a ，为常数．∴数列{a n }一定是等比数列．5．答案 C解析 ∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n ＞0，∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，故选C.6．答案 C解析 由题S 1正确．若S 4错误，则S 2、S 3正确，于是a 1＝8，a 2＝S 2－S 1＝12，a 3＝S 3－S 2＝16，与{a n }为等比数列矛盾，故S 4＝65.若S 3错误，则S 2正确，此时，a 1＝8，a 2＝12.∴q ＝32，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝8⎣⎡⎦⎤1－(32)41－32＝65，符合题意． 7．答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0，得8a 2＋a 2q 3＝0，∵a 2≠0，∴q 3＝－8，∴q ＝－2，∵a n ＋1a n －1＝q 2＝4， S 5S 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1－q 51－q 3＝113， S 5a 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1q 2＝1－q 5q 2(1－q )＝114， 而D 中S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n 与n 有关，故不确定． 二、填空题8．答案 12(9n －1) 解析 {a n }的首项为2，公比为3，∴{a 2n }也为等比数列，首项为4，公比为9，∴{a 2n }的前n 项和为4(1－q n )1－q＝12(9n －1) 9．答案 16解析 方法一 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， ∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)．又∵S 3＝2，S 6＝6，∴S 9＝14.再由S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，即(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)，求出S 12－S 9＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.方法二 由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16. 10．答案 12解析 由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.又S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10＝(12)10. 又{a n }为正项等比数列，∴q ＝12. 11．答案 1－12n 解析 令x ＝n ，y ＝1，则f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，又a n ＝f (n )，∴a n ＋1a n ＝f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝a 1＝12， ∴数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列， ∴S n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n . 三、解答题12．解 (1)由题意，当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝2S n ＋1a n ＝2S n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，所以，当n ≥2时{a n }是等比数列，要使n ≥1时{a n }是等比数列，则只需a 2a 1＝2t ＋1t＝3，从而得出t ＝1.(2)由(1)得，等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝3，∴a n ＝3n －1， ∴c n ＝na n －4na n ＝n ·3n －1－4n ·3n 1＝1－4n ·3n 1， ∵c 1＝1－41＝－3，c 2＝1－42×3＝13， ∴c 1c 2＝－1＜0，∵c n ＋1－c n ＝4n ·3n －1－4(n ＋1)·3n ＝4(2n ＋3)n (n ＋1)·3n＞0， ∴数列{c n }递增．由c 2＝13＞0得，当n ≥2时，c n ＞0. ∴数列{c n }的“积异号数”为1.13．(1)解 由已知得，a 1＝40×0.9＋m ，a n ＋1＝0.9a n ＋m (n ≥1)．(2)证明 由(1)得：a n ＋1－10m ＝0.9a n －9m ＝0.9(a n －10m )， 所以数列{a n －10m }是以a 1－10m ＝36－9m 为首项，0.9为公比的等比数列．(3)解 由(2)得a n －10m ＝(36－9m )·0.9n －1， 即a n ＝(36－9m )·0.9n －1＋10m . 由(36－9m )·0.9n －1＋10m ≤55，得 m ≤55－36×0.9n －110－9×0.9n －1＝5.5－4×0.9n 1－0.9n ＝ 1.51－0.9n ＋4 恒成立(n ∈N *)，解得m ≤5.5，又m ＞0，综上可得m ∈(0,5.5]．。