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3—DJulia集和Mandelbrot集的生成模型
柳朝阳
【期刊名称】《河南科学》
【年(卷),期】1995(013)002
【摘要】借助于复变函数理论，平面分形图得到了广泛的研究，借助于四维空间中的四元数，有了一些作为３－Ｄ于空间截面集的Ｊｕｌｉａ集，但有很大的局限性。
【总页数】5页(P99-103)
【作者】柳朝阳
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O174.5
【相关文献】
1.基于Mandelbrot集的Julia集分形图案设计 [J], 董洁;冯毅宏
2.Julia集和Mandelbrot集的反演变换 [J], 李劲菲;盛中平
3.Julia集和Mandelbrot集的反演变换 [J], 李劲菲;盛中平
4.基于Mandelbrot集的Julia集分形图案设计 [J], 董洁;冯毅宏
5.旋转对称加速算法绘制Mandelbrot集和Julia集 [J], 冯玲;张桂兰
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分形几何理论在图像处理中的应用随着计算机技术的不断发展，图像处理已经成为了一个日益重要的领域。
分形几何理论作为一种新兴的数学理论，在图像处理中得到了广泛的应用。
本文将介绍分形几何理论在图像处理中的应用，并探讨其在该领域中所发挥的作用。
一、分形几何理论的基本概念和原理分形几何理论是由法国数学家Mandelbrot提出的，它对不规则、复杂的自然物体和现象进行了研究。
分形是指具有自相似性的图形或物体，即整体的一部分与整体的形状相似。
分形几何理论提供了一种描述和分析复杂系统的数学工具。
二、分形几何在图像压缩中的应用图像压缩是图像处理中的一个重要环节，它可以将原始图像的数据进行压缩存储，从而减少存储空间和传输带宽的占用。
分形几何理论可以通过对图像的分解和重构，实现对图像的压缩。
其基本思想是将图像分解为一系列的分形图元，并利用放缩变换对其进行重构，从而实现对图像的压缩和恢复。
三、分形几何在图像增强中的应用图像增强是将原始图像进行处理，以改善图像质量和显示效果的过程。
分形几何理论可以通过对图像的细节进行分解和合成，实现对图像的增强。
其基本思想是通过分形细节的提取和重构，对图像进行增强，使其更加清晰、细腻。
四、分形几何在图像分类与识别中的应用图像分类与识别是图像处理中的一个重要任务，它可以将图像按照其内容进行分类和识别。
分形几何理论可以通过对图像的分形维数和分形特征的提取，实现对图像的分类和识别。
其基本思想是通过分形维数的计算和分形特征的提取，对图像进行特征描述和匹配，从而实现对图像的分类和识别。
五、分形几何在图像生成中的应用图像生成是利用计算机生成新的图像，以满足特定需求的过程。
分形几何理论可以通过对图像的分解和合成，实现对图像的生成。
其基本思想是通过分形的自相似性和可变性，对图像的形状和颜色进行生成，从而实现对图像的创造和设计。
六、分形几何在图像编辑中的应用图像编辑是对原始图像进行修改和处理的过程，以改变图像的外观和内容。
实验六：分形图的生成班级11信计2班学号20110502078 姓名刘昱丞分数一、实验目的理解分形图生成的基本原理，掌握几种常见的分形图生成算法，利用TurboC实现Koch 曲线和可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集)生成算法。
二、实验内容1.、利用Koch 曲线生成规则，在屏幕上生成一段Koch 曲线。
2/、利用Mandelbrot Set 生成规则，在屏幕上生成可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集)三、实验步骤（1）预习教材关于Koch 曲线和可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集)的生成原理。
（2）仿照教材关于Koch 曲线和可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集)生成算法生成算法，使用TurboC实现该算法。
（3）调试、编译、运行程序。
四、实验要求在下次实验时提交本次试验的实验报告（实验报告包括实验目的、实验内容、实验实现过程、源程序、实验结果、实验体会）。
五、实验过程( 1 ) Koch 曲线的生成规则它的构造是：迭代初始把原线段去掉中间的三分之一，代之以底边在被去线段上的等边三角形的两腰；以后每一步的迭代都是这样的重复。
从以上过程可以清楚地看出，Koch曲线（其它分形集也是如此）可以由简单的图，称为生成元，迭代产生。
在这里，Koch曲线的生成元是：六、实验代码1/、Koch曲线源程序：#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#include <conio.h>#include <graphics.h>#define rad 0.0174532925#define NUMBER 24koch(ax,ay,bx,by)int ax,ay,bx,by;{ float cx,cy,ex,ey,dx,dy,arf,le,c;c=1000; /*30000,20000,10000,5000,1000 tiao jie ci shu */if ((bx-ax)*(bx-ax)+(by-ay)*(by-ay)<c)line(ax,ay,bx,by);else{cx=ax+(bx-ax)/3;cy=ay+(by-ay)/3;ex=bx-(bx-ax)/3;ey=by-(by-ay)/3;koch((int)(ax),(int)(ay),(int)(cx),(int)(cy)); /* koch(ax,ay,cx,cy); */ koch((int)(ex),(int)(ey),(int)(bx),(int)(by));le=sqrt((ex-cx)*(ex-cx)+(ey-cy)*(ey-cy)); /* koch(ex,ey,bx,by); */ arf=atan((ey-cy)/(ex-cx));if((arf>=0 &&(ex-cx)<0)||(arf<=0 &&(ex-cx)<0))arf=arf+3.1415;dy=cy+sin(arf+3.1415/3)*le;dx=cx+cos(arf+3.1415/3)*le;koch((int)(cx),(int)(cy),(int)(dx),(int)(dy)); /*koch(cx,cy,dx,dy);*/ koch((int)(dx),(int)(dy),(int)(ex),(int)(ey)); /* koch(dx,dy,ex,ey); */ }}main(){float xa1,xb1,ya1,yb1;float xa,xb,ya,yb;float dex,dey,dx,dy;float x,y,s1,s2;int steps,k;int gdriver=DETECT,gmode;initgraph(&gdriver,&gmode,"C:\\JMSOFT\\DRV");cleardevice();setbkcolor(BLUE);/* line(400,400,600.4,540.6); */settextstyle(1,0,3);outtextxy(100,100,"Shijiazhuang University");/* koch(340,150,100,150) ; */koch(100,300,500,300) ;getch();closegraph();return 0;}输出结果为：2.、可以无穷放大的Mandelbrot Set (曼德布洛特集）源程序：#include <graphics.h>#include <conio.h>// 定义常量#define ITERATIONS 1000 // 迭代次数，越高，图像越精细#define MAXCOLOR 64 // 颜色数/////////////////////////////////////////////////// 定义复数及乘、加运算/////////////////////////////////////////////////// 定义复数struct COMPLEX{double re;double im;};// 定义复数“乘”运算COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re * b.re - a.im * b.im;c.im = a.im * b.re + a.re * b.im;return c;}// 定义复数“加”运算COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b){COMPLEX c;c.re = a.re + b.re;c.im = a.im + b.im;return c;}/////////////////////////////////////////////////// 定义颜色及初始化颜色/////////////////////////////////////////////////// 定义颜色int Color[MAXCOLOR];// 初始化颜色void InitColor(){// 使用HSL 颜色模式产生角度h1 到h2 的渐变色int h1 = 240, h2 = 30;for(int i=0; i<MAXCOLOR/2; i++){Color[i] = HSLtoRGB((float)h1, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);Color[MAXCOLOR-1-i] = HSLtoRGB((float)h2, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);}}/////////////////////////////////////////////////// 绘制Mandelbrot Set (曼德布洛特集)/////////////////////////////////////////////////void Draw(double fromx, double fromy, double tox, double toy){COMPLEX z, c;int x, y, k; // 定义循环变量for(x = 0; x < 640; x++){c.re = fromx + (tox - fromx) * (x / 640.0);for(y = 0; y < 480; y++){c.im = fromy + (toy - fromy) * (y / 480.0);z.re = z.im = 0;for(k = 0; k < ITERA TIONS; k++){if ( z.re * z.re + z.im * z.im > 4.0 ) break;z = z * z + c;}putpixel(x, y, (k >= ITERA TIONS) ? 0 : Color[k % MAXCOLOR]);}}}/////////////////////////////////////////////////// 主函数/////////////////////////////////////////////////void main(){// 初始化绘图窗口及颜色initgraph(640, 480);InitColor();// 初始化Mandelbrot Set(曼德布洛特集)坐标系double fromx, fromy, tox, toy;fromx = -2.1; tox = 1.1;fromy = -1.2; toy = 1.2;Draw(fromx, fromy, tox, toy);// 捕获鼠标操作，实现放大鼠标选中区域MOUSEMSG m;bool isLDown = false;int selfx, selfy, seltx, selty; // 定义选区while(!kbhit()){m = GetMouseMsg(); // 获取一条鼠标消息switch(m.uMsg){// 按鼠标中键恢复原图形坐标系case WM_MBUTTONUP:fromx = -2.1; tox = 1.1;fromy = -1.2; toy = 1.2;Draw(fromx, fromy, tox, toy);break;// 按鼠标左键并拖动，选择区域case WM_MOUSEMOVE:if (isLDown){rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);seltx = m.x;selty = m.y;rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);}break;// 按鼠标左键并拖动，选择区域case WM_LBUTTONDOWN:setcolor(WHITE);setwritemode(R2_XORPEN);isLDown = true;selfx = seltx = m.x;selfy = selty = m.y;rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);// 按鼠标左键并拖动，选择区域case WM_LBUTTONUP:rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);setwritemode(R2_COPYPEN);isLDown = false;seltx = m.x;selty = m.y;if (selfx == seltx || selfy == selty) break;// 修正选区为4:3int tmp;if (selfx > seltx) {tmp = selfx; selfx = seltx; seltx = tmp;} if (selfy > selty) {tmp = selfy; selfy = selty; selty = tmp;}if ( (seltx - selfx) * 0.75 < (selty - selfy) ){selty += (3 - (selty - selfy) % 3);selfx -= (selty - selfy) / 3 * 4 / 2 - (seltx - selfx) / 2;seltx = selfx + (selty - selfy) / 3 * 4;}else{seltx += (4 - (seltx - selfx) % 4);selfy -= (seltx - selfx) * 3 / 4 / 2 - (selty - selfy ) / 2;selty = selfy + (seltx - selfx ) * 3 / 4;}// 更新坐标系double f, t;f = fromx + (tox - fromx) * selfx / 640;t = fromx + (tox - fromx) * seltx / 640;fromx = f;tox = t;f = fromy + (toy - fromy) * selfy / 480;t = fromy + (toy - fromy) * selty / 480;fromy = f;toy = t;// 画图形Draw(fromx, fromy, tox, toy);}}getch();closegraph(); }输出结果为：。
基于Weierstrass-Mandelbrot函数的分形风速脉动仿真刘磊;胡非;李军;宋丽莉【摘要】实际风速脉动普遍具有自相似分形特征,而传统的谐波合成法和线性滤波法仿真的风速脉动均不具有自相似分形特征.因此,基于随机型Weierstrass-Mandelbrot函数,设计了一种能够仿真自相似风速脉动的方案.其中,表征风速脉动自相似特征的重要参数分形维度可与湍流惯性区能谱的幂指数建立联系.将该方案仿真的风速脉动与实际风速脉动一些重要的统计特征,如功率谱和概率密度函数等,进行了比较,结果表明提出的新方案能有效仿真风速脉动的中高频变化及其概率分布特征.【期刊名称】《气候与环境研究》【年(卷),期】2013(018)001【总页数】8页(P43-50)【关键词】风能技术;风速脉动;分形仿真;Weierstrass-Mandelbrot函数【作者】刘磊;胡非;李军;宋丽莉【作者单位】中国科学院大气物理研究所大气边界层物理和大气化学国家重点实验室,北京 100029;中国科学院大气物理研究所大气边界层物理和大气化学国家重点实验室,北京 100029;中国科学院大气物理研究所大气边界层物理和大气化学国家重点实验室,北京 100029;广东省气候中心,广州 510080【正文语种】中文【中图分类】P425.4+6如何设计仿真程度较高，并且简便和实用的风速脉动方案，是风工程和大气环境领域普遍关注的问题（Jiang et al.，1999；Burton et al.，2001）。
例如，在风能技术领域，作用在风力发电机上叶片上的载荷通常分为确定载荷和随机载荷两类，前者由变化缓慢的平均风速产生，后者由叠加在稳定风速上变化较为迅速的风速脉动（即湍流）产生。
随机载荷具有较为多样的分析方法，通常分为频域分析和时域分析两类。
人们目前已设计出了多种时域分析方法，这些方法均需要仿真的风速脉动时间序列作为输入。
因此，时间序列的仿真设计是风力发电机随机载荷分析的重要环节之一。
Mandelbrot集和Julia集的分形图之matlab实现基于逃逸时间算法1. Mandelbrot集function Mandelbrot(res,iter,xc,yc,xoom) %Mandelbrot% 党$是目标分辨率，iter是循环次数，(xc,yc)是图像中心，xoom是放大倍数x0=xc-2/xoom;x1=xc+2/xoom;y0=yc-2/xoom;y1=yc+2/xoom;x=linspace(x0,x1,res);y=linspace(y0,y1,res);[xx,yy]=meshgrid(x,y);z=xx+yy*1i;C=z;N=zeros(res,res); %初始化N，最终根据N，对各点进行染色tic %显示tic和toc间的程序运行时间for k=1:iterz = zJ2+C; %对空间上每点都进行迭代N(abs(z)>4)=k; %逃逸半径为4,诺某点逃逸，记录逃逸时间k,未逃逸则时间为0 z(abs(z)>4)=0;C(abs(z)>4)=0;endimshow(N,[]);toc end>>Mandelbrot(512,100,0,0,1)>>Mandelbrot(512,128,-1.478,0,300)2.Julia 集function Julia(c,res,iter,xc,yc,xoom)%Julia>%。
为参数，皿$是目标分辨率，iter是循环次数，(xc,yc)是图像中心，xoom是放大倍数x0=xc-2/xoom;x1=xc+2/xoom;y0=yc-2/xoom;y1=yc+2/xoom;x=linspace(x0,x1,res);y=linspace(y0,y1,res);[xx,yy]=meshgrid(x,y);z=xx+yy*1i;N=zeros(res,res);C=c*ones(res,res); for k=1:iter z=z.A2+C;N(abs(z)>2)=k;C(abs(z)>2)=0;z(abs(z)>2)=0; endcolormap jet ; image(x,y,N); axis square ; end上面两张图很好的反映分形的自相似性，右图是左图关于原点放大2000倍的情况。
分形的图像及应用吕克林【摘要】本文首先阐述了分形的基本概念，并具体介绍了一些典型的分形曲线和分形集，加深读者对分形的理解。
重点描述如何生成分形的计算机图像，以及分形主要的应用领域，强调计算机科学与其他学科之间的紧密联系。
【期刊名称】《创新科技》【年(卷),期】2014(000)024【总页数】3页(P94-96)【关键词】分形;自相似;迭代;Mandelbrot【作者】吕克林【作者单位】河南省科学技术信息研究院，河南郑州 450003【正文语种】中文【中图分类】TP391.4随着计算机图形学的发展，最近几年，分形作为一种艺术形式已经相当流行。
对分形有一个基本的了解，能提高人们的鉴赏力，帮助人们更好地体会分形艺术的美。
分形作为一门刚刚诞生的学科，正在许多领域开展应用和探索。
很多传统的科学难题，都由于分形的引入取得了显著的进展。
1.1 分形的出现。
中国的海岸线有多长？很明显，这取决于测量所用的标度单位。
若以公里为标尺，会遗漏大量的细节，标尺越小，测出的海岸线就越长。
随着计算机的迅速发展，人们在讨论和处理一系列问题的时候，逐渐感到无法描述一些自然界普遍存在的对象，如海岸线，树木，岩石，云团，闪电等等。
同样对于星系分布，凝聚生长，湍流等复杂现象，也需要一门新的学科来描述。
1973年，B.B.Mandelbrot在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
Fractal一词由他所创，其原意具有不规则，支离破碎等意义。
分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的学科，也被称为大自然的几何学。
1.2 自相似性。
自相似性是指部分与整体具有相似的性质。
在自然界中，具有自相似性的客观对象是非常多的。
除了山形的起伏，河流的弯曲，树木的分枝结构外，生物体内也有许多例子，如血管或气管的分岔，神经网络等。
抽象的自相似例子就更多了，例如数列0112122312232334…，这是一个去掉奇数项后，仍然得到自身的数列。
下文中将提到的Cantor集是一个更好，更有故事的例子。
3年第期（总第6期）具视觉美学形态的M andel br ot 集合分形图案具视觉美学形态的Man d elb ro t集合分形图案1.厦门地震勘测研究中心2.福州大学创意产业研究所蔡宗文1,2林建德2温国勋2[摘要]分形图案具有极高的视觉美学形态。
该文介绍了M andel br ot 集合分形图案的生成方法，根据复数平面逃逸时间算法生成分形图案，程序设计以V i s ual B as i c 2008程序语言及开发整合环境为发展工具，建立一个具有图案信息显示的工作系统。
应用所发展的程序，分析不同幕次M andel brot 集合所生成分形图案的形态，并据此提出色差控制与大色差控制两种分形图案的色差控制方法，产生具有极高视觉美学形态的分形图案。
[关键词]分形图案M andel br ot 集合视觉美学0引言分形几何（Fractal Geometry ）起源于19世纪，一些著名数学家对连续不可微曲线进行了研究，发现了存在一类结构及形态，与传统几何曲线有所不同的“病态”曲线，诸如Cantor 集合、Koch 曲线、Peano 曲线及Sierpinski 集合[1,2]。
到了20世纪70年代，Mandelbrot[1,2]透过对复数平面(ComplexPlane)的一个简单函数的迭代研究，得到了令人赞叹的复杂平面图案，称为Mandelbrot 集合。
该图案集合的边界具有复杂而精细的结构，在电脑的计算精度容许下，对其边界进行任意放大时，可以得到的局部图案与整体图案具有自相似性（Self-Similar ），亦即分形集合（Fractal Sets ）的自相似性结构[1,2]。
1982年，Mandelbrot 在其著作《自然界中的分形几何》中，将这类数学问题称为分形几何，而这些分形几何集合则称为分形艺术图案或分形图案（Fractal Art Pattern or Fractal Pattern ）[1-6]。
Mandelbrot集以及他的局部放大数学实验报告Mandelbrot集是二维复平面上的分形数集，1980前后发现，堪称人类认识数学存在的一个里程碑。
它是由一个简单复函数f(Z)=Z2+C迭代运算而形成的收敛数集（Z是迭代复变数，C是点位复常数），谁做这样的迭代运算都能得到形态一样的数集，见下图，这便是Mandelbrot集。
分形实在很美，于是读《分形理论与应用》尝试绘制Mandelbrot Set 曼德勃罗集。
naive idea: 空间上的分形和时间上的混沌有相似性。
一个动力方程是时间上的混沌，会收敛到吸引子，根据此画出的动力平面和参数平面是空间上的分形。
Mandelbrot Set1. 复迭代有一个关于z的复映射with 参数c如下：[公式]我们想要知道在参数平面中临界点[公式] 的轨迹是否有界，即对于一个c，根据迭代规则[公式]生成的序列[公式] ,则无界,[公式] 如果序列有界，则[公式]。
另外我们还想要知道在动力平面中[公式] ，不同z0 的值产生的轨迹是否有界，此时[公式] 如果序列有界，[公式] 如果序列无界。
2. Algorithm 逃逸时间算法为了绘制参数平面中的M集，我们需要确定每个c是否属于M 集，这里用到了逃逸时间算法。
逃逸准则对于一个复数[公式] , 模[公式] 。
我们claim：如果对于一个复数序列[公式] 有[公式] 则序列将逃逸到无穷大。
证明当[公式] , 则由[公式] 可知[公式] for [公式][公式]因此，我们得到[公式]那么在k次迭代后，我们得到[公式]序列趋于无穷如果[公式] ，可得[公式][公式] 因为[公式]那么对于任意[公式] , 假设[公式] , 我们有[公式] ，对于[公式]那么根据数学归纳法，我们知道序列趋于无穷。
z需要判断大于2来证明这是个无界序列吗？不用。
逃逸时间算法对于每个复参数平面上的点c，我们生成一个序列Z，怎么判断这个序列是否有界呢？根据逃逸准则，我们规定R为逃逸半径，在[公式] 里，如果[公式] ，判断有界（但其实也有可能这个序列是无界的），反之，这个序列无界。
