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5.1 导数的概念及其意义——高二数学人教A 版（2019）选择性必修二课后习题及变式训练（一）教材课后习题1.一个物体从10 m 高处做自由落体运动，t s 时该物体距离地面的高度(单位：m)为2() 4.910h t t =-+.求该物体在1t =时的瞬时速度，并解释此时物体的运动状况.2.圆的面积S (单位：2cm )与半径R (单位：cm)的关系为2πS R =.求5cm R =时面积关于半径的瞬时变化率.3.某质点沿直线运动，位移y (单位：m)与时间t (单位：s)之间的关系为2()56y t t =+.求：（1）23t ≤≤这段时间内的平均速度； （2）2s t =时的瞬时速度.4.已知车轮旋转的角度θ(单位：rad)与时间t (单位：s)之间的关系为225π()8t t θ=.求车轮转动开始后第3.2s 时的瞬时角速度. 5.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( ).A. B.C. D.6.如图，试描述函数()f x 在5x =-，-4，-2，0，1附近的变化情况.7.求曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角.8.一个质量为3kg m =的物体做直线运动，设位移y (单位：m)与时间t (单位：s)之间的关系为2()1y t t =+，并且物体的动能2k 12E mv =.求物体开始运动后第5s 时的动能.9.已知函数()f x 的图象，试画出其导函数()f x '图象的大致形状.10.在高台跳水运动中，t s 时运动员的重心相对于水面的高度(单位：m)是2() 4.9 4.811h t t t =-++.高度h 关于时间t 的导数是速度v ，速度v 关于时间t 的导数v '的物理意义是什么？试求v ，'关于时间t 的函数解析式.11.根据下列条件，分别画出函数()y f x =的图象在这点附近的大致形状： (1)(1)5f =-，(1)1f '=-； (2)(5)10f =，(5)15f '=； (3)(10)20f =，(10)0f '=. （二）定点变式训练12.若函数()f x 在0x x =处存在导数，则()()000limh f x h f x h→+-的值( )A.与0x ，h 都有关B.与0x 有关，与h 无关C.与h 有关，与0x 无关D.与0x ，h 都无关13.设函数()f x 在点0x 附近有定义，且()()200()f x x f x a x b x +∆-=∆+∆，a ，b 为常数，则( ). A.()f x a '=B.()f x b '=C.()0f x a '=D.()0f x b '=14.我们常用函数()y f x =的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量y ∆等于( ) A.()0f x x +∆B.()0f x x +∆C.()0f x x ⋅∆D.()()00f x x f x +∆-15.已知1y x =-与曲线ln()y x a =-相切，则实数a 的值为( ). A.-1B.0C.1D.216.已知定义在R 上的函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线为直线l ，如图所示，则( )A.(1)(1)(2)f f f '+<B.(1)(1)(2)f f f '+>C.(1)(1)(2)f f f '+=D.(1)(1)f f '+与(2)f 的大小关系不确定17.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为________________. 18.已知函数()e ln x f x x =+,则函数()f x 在1x =处的切线方程为__________. 19.函数()e e x f x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________. 20.已知函数3()f x x =. （1）求函数()f x 的导函数；（2）过点2,03P ⎛⎫⎪⎝⎭作函数()f x 的图象的切线，求切线方程.答案以及解析1.答案：物体在1s t =附近大约以9.8 m/s 的速度下落解析：该物体在1t =时的瞬时速度为0(1)(1)(1)lim x h t h h t∆→+∆-'=∆220 4.9(1)10 4.9110lim x t t∆→⎡⎤⎡⎤-+∆+--⨯+⎣⎦⎣⎦=∆ 0lim (4.99.8)9.8m /s x t ∆→=-∆-=-.此时物体在1s t =附近大约以9.8 m/s 的速度下落. 2.答案：210πcm /cm解析：5cm R =时面积关于半径的瞬时变化率为2250π(5)π5limR x R S R=∆→+∆-⨯'=∆ 20lim (π10π)10πcm /cm x R ∆→=∆+=.3、（1）答案：25m /s解析：21≤≤这段时间内的平均速度()()2253652625m /s 32y v x ⨯+-⨯+∆===∆-.（2）答案：20m /s 解析：2s t =时的瞬时速度2225(2)6526lim t x t y t=∆→⎡⎤+∆+-⨯+⎣⎦'=∆2005()20lim lim (520)x x t t t t ∆→∆→∆+∆==∆+∆ 20m /s =.4.答案：20πrad /s 解析：依题意有225π8t θ=. 22025π25π()25π88()lim 4t t t tt tt θ∆→+∆-'==∆， 25π(3.2) 3.220π(rad /s)4θ'=⨯=， 即车轮转动开始后第3.2s 时的瞬时角速度为20πrad /s . 5.答案：C解析：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示距学校的距离，由此可知，图象应为下降趋势，A 不符合，排除选项A.由题意可知，小明骑车上学，开始时匀速行驶可知图象开始一段是沿直线下降，又途中停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x 轴平行，D 不符合，排除选项D.之后为了赶时间加快速度行驶，这一时间段图象下降速度的比一开始的下降速度快，因此B 选项不正确，C 选项正确. 6.答案：见解析解析：函数()f x 在5x =-处切线的斜率(5)0f ->，曲线是上升的，即函数()f x 在5y =-附近是单调递增的.函数()f x 在4x =-处切线的斜率(4)0f '->，曲线是上升的，即函数()f x 在4x =-附近是单调递增的.函数()f x 在2x =-处斜率为0，所以函数()f x 在2x =-附近几乎没有变化. 函数()f x 在0x =处切线的斜率(0)0f '<，曲线是下降的，即函数()f x 在0x =附近是单调递减的.函数()f x 在1x =处切线的斜率(1)0f '<，曲线是下降的，即函数()f x 在1x =附近是单调递减的. 7.答案：45α=︒解析：切线的斜率22011(1)21222lim x x k x∆→⎡⎤⎛⎫+∆--⨯- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=∆01lim 112x x ∆→⎛⎫=∆+= ⎪⎝⎭， 设切线倾斜角为α，则tan 1k a ==， 又[]0,180α∈︒︒，45α∴=︒. 8.答案：150 J 解析：()221()1()lim2t t t t s t t t∆→++∆-+'==∆，所以物体在第5s 时的瞬时速度为(5)10m /s s '=，所以物体开始运动后第5s 时的动能为22k 11310150(J)22E mv ==⨯⨯=. 9.答案：见解析解析：第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其函数()f x '的图象如图(1)所示.第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加(如图(2)所示).第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的増加，()f x '的值也在增加(如图(3)所示). 以下给出了满足上述条件的导函数图像中的一种.10.答案：见解析解析：0()()()lim x h t t h t v h t t∆→+∆-'==∆()220 4.9() 4.8()11 4.9 4.811lim x t t t t t t t∆→⎡⎤-+∆++∆+--++⎣⎦=∆ 9.8 4.8v t ∴=-+. 00[9.8() 4.8](9.8 4.8)limlim (9.8)9.8x x t t t v t∆→∆→-+∆+--+'==-=-∆，9.8v '∴=-.11.答案：见解析解析：由题意可知，函数()f x 的图象在点(1,)5-处的切线斜率为-1，所以此点附近曲线呈下降趋势，首先画出切线的图象，然后画出此点附近函数的图象. 同理可得(2)(3)某点处函数图象的大致形状. 下图是一种参考答案.12.答案：B解析：由导数的定义，知函数()f x 在0x x =处的导数与0x 有关，与h 无关. 13.答案：C解析：由题意得()()()00000limlim()x x f x x f x f x a b x a x∆→∆→+∆-'==+∆=∆，故选C.14.答案：D解析：自变量x 由0x 改变到0x x +∆，当0x x =时，()0y f x =，当0x x x =+∆时，()0y f x x =+∆，()()00y f x x f x ∴∆=+∆-，故选D.15.答案：B解析：由题意，设切点为()00,1x x -，所以()001ln x x a -=-，又因为1y x a'=-，所以00111x a x a=⇒-=-，所以010x -=，解得01x =，故0a =.故选B. 16.答案：A解析：如图，设(1,(1)),(2,(2))A f B f ，则(2)(1)(2)(1)21f f f f --=-表示直线AB 的斜率，(1)f '表示函数()f x 的图象在点A 处的切线的斜率，即直线l 的斜率. 由图可知，(1)(2)(1)f f f '<-，即(1)(1)(2)f f f '+<，故选A.17.答案：20x y -=解析：设切点为()00,x y ,对ln 1y x x =++求导得1'1y x=+,则曲线的切线的斜率为112x +=,解得01x =.所以0ln1112y =++=,则切点为()1,2,切线方程为()221y x -=-,即20x y -=.18.答案：(e 1)10x y +--=解析：因为1()e ,(1)e x f x f x'=+=,所以切点坐标为()1,e ,函数()f x 在1x =处的切线斜率(1)e 1k f ='=+,所以所求的切线方程为e (e 1)(1)y x -=+-,即(e 1)10x y +--=.19.答案：e e 0x y -+=解析：因为()e e x f x =+，所以()e x f x '=，故(1)2e,(1)e f f '==， 所以函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为e e 0x y -+=. 20.答案：（1）()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ 33()x x x x+∆-=∆ 3333()()x x x x x x x x +∆+∆+∆-=∆ 33()()x x x x x x ∆+∆+∆=∆ 23()()x x x x =+∆+∆，当0x ∆→时，23yx x∆→∆， 所以函数()f x 的导函数为2()3f x x '=.（2）设切点为()300,Q x x ，则由（1），可得切线的斜率()2003k f x x '==，则切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-.因为切线过点2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2300220x x -=，解得00x =或01x =，从而切线方程为0y =或32y x =-.解析：。
