2019-2020年高二数学导数与导函数的概念教案 苏教版

高二数学导数的运算知识精讲 苏教版一. 本周教学内容：导数的运算二. 本周教学目标：1、能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解。

2、能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数。

三. 本周知识要点： （一）常见函数的导数对于基本初等函数，有下面的求导公式：（1）0'=C ； （5）'()ln (0,1)x xa a a a a =>≠ （2）1)'(-=n nnxx ；（6）'11(log )log (0,1)ln a a x x a a x x a==>≠ （3）x x cos )'(sin =；（7）'()x xe e =（4）x x sin )'(cos -= （8）'1(ln )x x=（二）函数的和差积商的导数法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即 '')'(v u v u ±=±法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+ [()]'()Cu x Cu x '=两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不可导函数的和、差、积不一定不可导．法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭（三）简单复合函数的导数1、复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2、求函数2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-的复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得12x 183)2x 3(23u 2u y 'x 'u -=⋅-=⋅=， 从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y'x 时，就可以转化为求y u '和u'x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3、复合函数的导数：设函数u ＝ϕ(x)在点x 处有导数u'x ＝ϕ'(x)，函数y ＝f(u)在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f'(u)，则复合函数y ＝f （ϕ(x)）在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f'x （ϕ(x)）＝f ′(u)ϕ'(x).例1. 求 （1）（x 3）' （2）（21x）' （3）')x 解：（1）（x 3）'＝3x 3－1＝3x 2；（2）（21x）'＝（x －2）'＝－2x －2－1＝－2x －3（3）x21x 21x 21)x ()x (2112121==='='--例2. 求曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程．解：∵ x y sin = ∴ xcos )x (sin y ='='∴236cosy 6x =='=ππ ∴所求切线的斜率23k =∴所求切线的方程为 )6x (2321y π-=-，即036y 12x 36=-+-π答：曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程为0361236=-+-πy x ．例3． （1）求y ＝x 3+sinx 的导数.（2）求y ＝x 4－x 2－x+3的导数.（3）求453223-+-=x x x y 的导数．（4）求2(23)(32)y x x =+-的导数．（5）y ＝3x 2+xcosx ，求导数y ′解：（1）y'＝（x 3+sinx ）'＝（x 3）'+（sinx ）'＝3x 2+cosx（2）y'＝（x 4－x 2－x+3）'＝（x 4）'－（x 2）'－x'+3'＝4x 3－2x －1，（3）2'66y x x =-+（4）)'23)(32()23()'32('22-++-+=x x x x y 3)32()23(42⋅+++=x x x 98182+-=x x（5）y'＝（3x 2+xcosx ）'＝（3x 2）'+（xcosx ）'＝3·2x+x'cosx+x （cosx ）'＝6x+cosx －xsinx例4. 求y ＝xsin x 2的导数。

2019-2020年高中数学 3.1.2《导数与导函数的概念》教案 苏教版选修1-1教学目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义；2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。

教学重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用教学难点：1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用教学过程：一、情境引入在前面我们解决的问题：1、求函数在点（2，4）处的切线斜率。

x xx f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是，求时的瞬时速度。

t t tt v t t v t V o o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)()(，故斜率为4 二、知识点讲解上述两个函数和中，当()无限趋近于0时，()都无限趋近于一个常数。

归纳：一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称在处可导，并称A 为在处的导数，记作或，上述两个问题中：（1），（2）三、几何意义：我们上述过程可以看出在处的导数就是在处的切线斜率。

四、例题选讲例1、求下列函数在相应位置的导数（1）， （2），（3），例2、函数满足，则当x 无限趋近于0时，（1）（2）变式:设f(x)在x=x 0处可导，（3）无限趋近于1，则=___________（4）无限趋近于1，则=________________（5）当△x 无限趋近于0，xx x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与的 关系。

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

例3、若，求和注意分析两者之间的区别。

备课时间第周周月日学2020年1月日上课时间]] 学学班级节次课题教课目标教课重难点教课参照讲课方法教导数的观点及运算2总课时数第节1.利用导数研究函数的单一性，求函数的单一区间，B级要求；2.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值，B级要求。

利用导数研究函数的单一性各省高考题教课与测试多媒体自学指引类比教课协助手段专用教室教学二次备课一、引入新课学1.基本初等函数的导数公式过程设计(1)c'=;练习：(2)α;(x)'=教案1,2,3 (3)(sinx)'=;(4)(cosx)'=;(5)x(a>0且a≠1);1.函数f(x)=错(a)'=(6)(e x)'=;误！未找到引用源。

的导数为(7)(logax)'=(a>0且a≠1);(8)(lnx)'=.2.曲线f(x)=错误！未找2.导数的运算法例到引用源。

(1)[f(x)±g(x)]'=x-cosx在;(2)[f(x)g(x)]'=;x=错误！未找到(3错误！未找到引用'=引用源。

处的)源。

切(g(x)≠0).线方程为例题解析教教学二次备课32例1已知函数f(x)=x+bx+cx+d的图象过点P(0,2),且在学点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,求函数 y=f(x)的解过析式.程学生练习：设4，5计例2已知曲线y=错误！未找到引用源。

x3+错误！未找到板演，引用源。

.(1)若曲线的切线的斜率为1,求切线方程;已知直线y=错(2)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; 误！未找到引用(3)求曲线过点P(2,4)的切线方程.三、讲堂练习源。

x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,那么实数b=1.曲线y=2ln x在点(e,2)处的切线与y轴交点的坐标为.2.已知函数f(x)=x3-2x2+x+6,求f(x)在点P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.课外作业教课小结见教案。

2019-2020学年苏教版选修2-2 导数的概念及其几何意义 教案[例1] 求函数y ＝4x2在x ＝2处的导数．[思路点拨] 由所给函数解析式求Δy ＝f (Δx ＋x 0)－f (x 0)；计算Δy Δx ；求lim Δx →0 ΔyΔx . [精解详析] ∵f (x )＝4x2，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝42＋Δx2－1＝－4Δx －Δx 22＋Δx 2，∴Δy Δx ＝－4－Δx 2＋Δx2， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －4－Δx 2＋Δx2＝－1，∴f ′(2)＝－1. [一点通] 由导数的定义，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的方法： ①求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx；③取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx.1．函数y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2＋Δx C ．2D ．1解析：选C y ＝x 2在x ＝1处的导数为：f ′(1)＝lim Δx →01＋Δx2－1Δx＝2.2．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)＝________. 解析：函数f (x )＝ax ＋b 在x ＝1处的导数为f ′(1)＝li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0[a1＋Δx ＋b ]－a ＋b Δx＝lim Δx →0 a ΔxΔx ＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，有a ＋b ＝2，于是b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.答案：43．求函数f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数．解：Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2， 从而f ′(1)＝2.求曲线的切线方程[例2] 已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上的点A (1,2)处的切线斜率及切线方程． [思路点拨] 利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程． [精解详析] 因为 Δy Δx＝31＋Δx 2－1＋Δx －3×12－1Δx＝5＋3Δx ，当Δx 趋于0时，5＋3Δx 趋于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 所以切线方程为y －2＝5(x －1)， 即5x －y －3＝0.[一点通] 过曲线上一点求切线方程的三个步骤4．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选A f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 1＋Δx 2－1Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. 则曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.因为y ＝2x －1与坐标轴的交点为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以所求三角形的面积为S ＝12×1×12＝14.5．求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．解：∵点(－2，－1)在曲线y ＝2x上，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y ＝2x在x ＝－2处的导数．∴k ＝f ′(－2)＝lim Δx →0f －2＋Δx －f －2Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx －2－2Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.导数几何意义的综合应用[例3] (1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x －y －2＝0? (3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [精解详析] 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2. ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 趋于零时，ΔyΔx 趋于4x 0.即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴切线的斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴切线的斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴切线的斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．[一点通] 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．6．已知曲线y ＝x 3＋3x 在点P 处的切线与直线y ＝15x ＋3平行，则P 点坐标为( ) A ．(2,14) B ．(－2，－14) C ．(2,14)或(－2，－14) D ．以上都不对解析：选C 由题意可得 y ′＝li mΔx →0 x ＋Δx3＋3x ＋Δx －x 3－3x Δx＝3x 2＋3，又由题意得3x 2＋3＝15，所以x ＝±2. 当x ＝2时，y ＝23＋6＝14， 当x ＝－2时，y ＝(－2)3－6＝－14. 所以点P 的坐标为(2,14)或(－2，－14)．7．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义，易得f ′(1)＝12，由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：38．求经过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．解：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P (x 0，y 0)．由y ′|x ＝x 0＝li mΔ x →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx＝lim Δx →0 －ΔxΔx ·x 0＋Δx ·x 0 ＝lim Δx →0－1x 0x 0＋Δx ＝－1x 20.故所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在所求的直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线y＝1x上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1， 所以直线方程为x ＋y －2＝0.求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．1．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选A 因为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x －y ＋1＝0的斜率为2，所以f ′(x 0)>0.2．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选A f ′(2)＝lim Δx →0 142＋Δx 2－14×4Δx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14Δx ＋1＝1， ∴过点(2,1)的切线方程为y －1＝1·(x －2)， 即x －y －1＝0.故选A.3.已知y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为( ) A.13 B.23 C ．－23D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →02Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)． 答案：(3,30)6.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝________.解析：由导数的概念和几何意义知，lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－27．已知点P (2，－1)在曲线f (x )＝1t －x上．求： (1)曲线在点P 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 处的切线方程． 解：(1)将P (2，－1)的坐标代入f (x )＝1t －x ，得t ＝1， ∴f (x )＝11－x .∴f ′(2)＝lim Δx →0f 2＋Δx －f 2Δx＝lim Δx →011－2＋Δx －11－2Δx ＝lim Δx →011＋Δx＝1， 曲线在点P 处的切线斜率为1. (2)由(1)知曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝x ＋Δx 2＋1－x 2－1Δx ＝2x ＋Δx ，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝li mΔx →0 (2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， ∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)， 即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条， ∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。

高二数学导数的概念苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 导数的概念二. 教学目的：1. 理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法.2. 掌握导数的几何意义。

理解导数与瞬时变化率的关系。

教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，三. 内容梳理： 1. 曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点。

作割线PQ ，当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线。

2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了。

设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α，即0x ∆→时，0()()f x x f x x +∆-∆＝A yx∆→∆一个常数＝tan α 3. 瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度.4. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度。

瞬时速度00()()0s t t s t t v t+∆-∆→→∆时，。

5. 导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限，即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y=，即/000()()0()f x x f x x f x x+∆-∆→→∆当时，注意：（1）函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。

2019-2020学年苏教版选修2-2 常有函数的导数教课设计教课要点：基本初等函数的导数公式的应用．教课过程：一、问题情境1．问题情境．1）在上一节中，我们用割线迫近切线的方法引入了导数的观点，那么怎样求函数的导数呢？给定函数y＝f(x)计算y＝f(x＋x)－f(x)y x xzaa令x无穷趋近于0bbcc无穷趋近于f(x)xf(x)2）求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①求出P点的坐标；②利用切线斜率的定义求出切线的斜率；③利用点斜式求切线方程．3）函数导函数的观点2．研究活动．用导数的定义求以下各函数的导数：思虑由上边的结果，你能发现什么规律？二、建构数学1．几个常用函数的导数：1）(kx＋b)＝k；2）C＝0（C为常数）；3）(x)＝1；4）(x2)＝2x；15）(x3)＝3x2；21（6）(x)＝－x2；（7）(x)＝1．2 x思虑由上边的求导公式（3）～（7），你能发现什么规律？2．基本初等函数的导数：8）(x α)＝αx α1（α为常数）； 9）(a x )＝a x lna （a ＞0且a≠1）；（10）1 1a ＞0(log ax)＝log a e ＝）；xlnaa≠1x11）(e x)＝e x ；12）(lnx)＝1；x 13）(sinx)＝cosx ；14）(cosx)＝－sinx ．三、数学运用例1利用求导公式求以下函数导数．（1）＝；（2）y ＝xxx；(3)＝ π＝y； （ysin4）y4（5）＝log 3x；（6）y ＝sin(πc os(2π－x)．y ＋x)；（7）y2例2若直线y ＝－x ＋b 为函数y ＝1图象的切线，求b 及切点坐标．x评论求切线问题的基本步骤：找切点—求导数—得斜率．2变式1 求曲线y＝x在点(1，1)处的切线方程．评论求曲线“在某点”与“过某点”的切线是不同样的．变式3已知直线l：y＝x－1，点P为＝上随意一点，求在什么地点时yx到直线l的距离最短．练习：1．见课本P20练习．第3题：；第5题：（1）；（2）；（3）；（4）．2．见课本P26．第4题：（1）；（2）．3．见课本P27第14题（2）．f(4)＝；f(4)＝．四、回首小结1）求函数导数的方法．2）掌握几个常有函数的导数和基本初等函数的导数公式．五、课外作业1．课本P26第2题．2．增补．（1）在曲线＝4上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°．x2（2）当常数为什么值时，直线y＝x才能与函数2＋相切？并求出切点．y。

第1章导数及其运用1．1 导数的概念一、学习内容、要求及建议1．预习目标(1)本节主要通过对大量实例的分析，理解平均变化率的实际意义和数学意义，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．2．预习提纲(1)回顾必修2中用来量化直线倾斜程度的斜率的计算公式．(2)阅读教材，回答下列问题．1)平均变化率:怎样计算一个函数在一个给定的闭区间上的平均变化率?2)瞬时变化率的几何背景：曲线上一点处的切线的斜率①关于割线的斜率：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x ＋△x，f(x＋△x))，则割线PQ的斜率是多少?②关于点P(x，f(x))处的切线：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C 于另一点Q(x＋△x，f(x＋△x)) ．用运动的观点来看，在点P处的切线可以认为是过点P 处的割线PQ的当Q无限靠近点P的极限位置，那么你能计算出切线的斜率吗?说一说求曲线y=f(x)上任一点P(x0，f(x0))处的切线斜率的基本步骤．3) 瞬时变化率的物理背景：瞬时速度与瞬时加速度①回忆物理学中对瞬时速度与瞬时加速度所下的定义．t的瞬时速度?给出速度－位移方程，如何求物②给出位移－时间方程，如何求物体在时刻t的瞬时加速度?体在时刻4)导数：从上述几何背景和物理背景中抽象出的数学概念①请表述出函数在某一点处的导数的概念．②请表述出导函数的概念，并表述导函数的具体的对应法则．③求导数的步骤是什么?④导数的几何意义是什么?⑤说一说利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤．(3)阅读课本例题，思考下列问题．第7页上例4给我们的启示：一次函数f(x)=kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率等于多少?对比第6页上例3与第9页上例1，给你怎样的启示?第13页上例3是求函数在一点处的导数，要注意表述格式的规范化．3．典型例题例1 物体做直线运动的方程为s (t )=3t 2－5t (位移单位是m ，时间单位是s )，求物体在2s 到4s 的平均速度以及2s 到3s 的平均速度． 分析： 利用公式2121()()s t s t t t --．解： 2s 到4s 的平均速度()221(3454)(3252)13/42v m s ⨯-⨯-⨯-⨯==-； 2s 到3s 的平均速度()222(3353)(3252)10/32v m s ⨯-⨯-⨯-⨯==-例2 已知函数f (x )=2x 2＋1，图象上P (1，3)及邻近上点Q (1＋x ∆，3＋y ∆)，求y x∆∆ 分析： 应用公式y x ∆∆=11()()f x x f x x+∆-∆ 解： y x∆∆=22[2(1)1](211)24x x x +∆+-⨯+=∆+∆ 例3 已知函数f (x )=x 3，证明：函数f (x )在任意区间[],(0)m m δδ+>上的平均变化率都是正数． 分析： 应用公式y x ∆∆=11()()f x x f x x+∆-∆求出平均变化率，再进行配方． 解：y x ∆∆=()()f m f m δδ+-=332222()1333()24m m m m m δδδδδδ+-=++=++ 恒为正数．例4 已知曲线C ：3y x =，求(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点? 解：(1)将x =1代入曲线C 的方程得y =1，∴ 切点P (1，1)设Q(1＋x ∆，()31+x ∆)， PQ k =32(1)1()33x x x x+∆-=∆+∆+∆， 0x ∆→时，PQ k →3，∴过P 点的切线方程为y －1=3(x －1)，即3x －y －2=0(2)由33(1)1y x y x=-+⎧⎨=⎩，可得()()2120x x x -+-=，得121,2x x ==-从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)．点评：切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点．可见，直线与曲线相切不一定只有一个公共点． 例5 已知曲线313y x =上一点P (2，83)，求(1)点P 处的切线的斜率；(2)点P 处的切线方程．分析： 先求出切线的斜率，再由点斜式写出切线方程 解：(1)设P (2，83)，Q (2＋x ∆，31(2)3x +∆)， 则割线PQ 的斜率PQ k =3218(2)13342()3x x x x +∆-=+∆+∆∆， 当0x ∆→时，PQ k →4，即点P 处的切线的斜率为4．(2)点P 处的切线方程为84(2)3y x -=-，即123160x y --=． 点评： 本题若将“点P 处”改为“过点P ”，应该如何解答呢? 例6 自由落体运动方程为212s gt =，(位移单位：m ，时间单位：s )， (1)计算t 从3秒到3．1秒、3．01秒、3．001秒各时间段内的平均速度； (2)求t =3秒时的瞬时速度． 分析： 要求平均速度，就是要求st∆∆的值，为此需要求出s ∆、t ∆．当t ∆的值无限趋向于0时，其平均速度就接近于一个定值． 解：(1)设在3，3．1内的平均速度为1v ，则 1t ∆=3．1－3=0．1s 1s ∆=s(3．1)－s(3)= 21 3.12g ⋅－2132g ⋅=0．305gm所以1110.305 3.05(/)0.1s gv g m s t ∆===∆ 同理2220.03005 3.005(/)0.01s gv g m s t ∆===∆ 3330.0030005 3.0005(/)0.001s g v g m s t ∆===∆ (2)(3)(3)1(6)2s s t s g t t t ∆+∆-==∆+∆∆ 当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近于常数3g (m/s )．例7 求函数2(21)y x =-在3x =处的导数．分析： 根据导数的定义，应先计算函数的增量y ∆，再计算yx∆∆，最后求0x ∆→时，(3)f '的值． 解：00()()y f x x f x ∆=+∆-22[2(3)1](231)x =+∆--⨯- 24(3)4(3)125x x =+∆-+∆+- 24()20,x x =∆+∆24()20420y x x x x x∆∆+∆∴==∆+∆∆ 当0x ∆→时，yx∆∆→20， (3)20f '∴=．例8 某化工厂每日产品的总成本C (单位：元)是日产量x (单位：吨)的函数：()1000200[0,1000]C x x x =++∈．求当日产量为100吨时的边际成本(边际成本就是一段时间的总成本对该段时间产量的导数)．分析： 根据边际成本的定义，本题只要求出当x ∆无限趋向于0时Cx∆∆的值即可． 解：成本的增量为(100)(100)C C x C ∆=+∆-=1000200(100)(1000200100x ++∆++⨯+2005000x =∆+∴C x∆∆=2005000x x ∆+∆10)200x =+∆ =200当0x ∆→时，225,C x∆→∆即Cx ∆∆的极限为225．故当日产量为100吨时的边际成本为225元/吨．点评：本题计算过程中注意分子有理化的技巧． 4．自我检测(1)若函数f (x )=2x 2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx ，1＋Δy )，则xy ∆∆等于 ．(2)函数2()log f x x =在区间2，4上的平均变化率为 ． (3)若函数3)(x x f =，则[(2)]f '-＝ ．(4)已知函数2)(x x f =，由定义求()f x '，并求(4)f '．(5)如果函数)(x f y =在点0x 处的导数分别为：① 0()0f x '= ② 0()1f x '= ③0()1f x '=- ④ 0()3f x '= 试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角． 三、课后巩固练习A 组1．函数f (x )=－3x ＋1在区间[0，2]上的平均变化率为 ．2．设函数y =f (x )，当自变量由x 0变到x 0＋∆x 时，函数的改变量∆y 为 ．3．函数f (x )=x 2－2在区间[1，a ]的平均变化率为3，则a 的值为 ．4．在曲线y =x 2－x ＋2上取点P (1，2)及邻近上点Q(1＋∆x ，2＋∆y )，则yx∆∆= ． 5．1995年中国人口约为12亿，2005年中国人口约为13亿，则从1995年到2005年这10年中中国人口的平均变化率是 ；1995年到2005年的人口增长率是 ． 6．已知函数y =ax 2＋bx ，则yx∆∆= ． 7．某工厂8年来总产量c (万件)与时间t (年)的函数关系如图，则第一年内总产量c 的平均变化率是 ，第三年到第八年总产量的平均变化率是 ．8．函数f (x )=－x 2在点(1，－1)处的切线的斜率为 ．9．一物体运动方程是s =200＋213gt ，(g =9．8m/s 2)，则t =3时物体的瞬时速度为 ．10．若作直线运动的物体的速度(单位：m /s )与时间(单位：s )的关系为v (t )=t 2，则在前3s 内的平均加速度是 ，在t =3时的瞬时加速度是 ．11．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )，与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系式：h (t )=－4．9t 2＋6．5t ＋10．试分别计算00.5t s ≤≤及12t s ≤≤时间内的平均速度． 12．已知函数f (x )=1x，分别计算函数f (x )在区间[1，3]，[1，2]，[1，1．1]，[1，1．01]上的平均变化率．13．将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，求球体积的平均变化率．14．已知某质点按规律s =(2t 3＋2t )(米)作直线运动．求： (1)该质点在运动前3秒内的平均速度； (2)质点在2秒到3秒的平均速度； (3)质点在3秒时的瞬时速度．15．用割线逼近切线的方法，求曲线y = －x 2＋4x 在点A (4，0)和B (2，4)处的切线的斜率及切线方程．B 组16．(1)若温度T 在上升过程中关于时间t 的函数关系是T =f (t ) ，则()f t '的实际意义是 ．(2)若污染源扩散过程中污染面积S 关于时间t 的函数关系是S =f (t ) ，则()f t '的实际意义是 ．(3)若一水库在泄洪过程中水面的高度关于时间t 的函数关系是h =f (t ) ，则()f t '的实际意义是 ．17．曲线3y x =在点P 处切线的斜率为k ，当k =3时，P 点坐标为 ．18．已知曲线221y ax =+过点)，则此曲线在该点的切线方程是 ．19．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ．20．已知函数f (x )=k x 2＋d ，且(1)4f '-=，则k 的值为 ．21．已知函数1()f x m x=+，则(4f '-= ． 22．一个圆形铝盘加热时，随着温度的升高而膨胀．设该圆盘在温度t ℃时，半径为r =r 0(1＋at )(a 为常数)，求t ℃时，铝盘面积对温度t 的变化率．23．已知抛物线2(2)1y x =-+上三点P ，Q ，R 的横坐标分别为－1、－3和2． (1)求割线PQ 、PR 的斜率；(2)当Q 、R 分别沿抛物线向点P 移动，割线PQ 、PR 的斜率如何变化?24．求曲线y =9x在点M (3，3)处的切线的斜率及倾斜角． 25．用割线逼近切线的方法，求1y x=在1x =处的切线的斜率．26． 用割线逼近切线的方法，求y =12x =处的切线的斜率．27．设质点的运动方程是2321s t t =++，计算从t =2到t =2＋t ∆之间的平均速度，并计算当t ∆=0．1时的平均速度，再计算t =2时的瞬时速度．28．生产某种产品q 个单位时成本函数为205.0200)(q q C +=，求 (1)生产90个单位该产品时的平均成本；(2)生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率； (3)生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少?C 组29．已知)(0x f '存在，则当h 无限趋近于0时，下列式子各趋近于何值?(1)00(())()f x h f x h +---；(2) 00(2)()f x h f x h +-；(3)00()()f x h f x h h+--；(4) 00()(2)f x h f x h h --+．30．已知函数2()f x x =，记*12,2,2n n I n N ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦(1)求()f x 在区间n I 上的平均变化率n a ；(2)在数轴上画出数列{}n a 对应的点，并观察当n 不断增大时，有什么变化趋势?四、学习心得 五、拓展视野很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球的半径有如何变化?从数学角度如何解释这种现象?解 气球的半径增加得越来越慢．我们知道，气球的体积V (单位：L )与半径(单位：dm )之间的函数关系是34()3V r r π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么()r V =V 从0增加到1L 时，气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62(/)10r r dm L -≈-．类似地，当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(2)(1)0.16(/)21r r dm L -≈-．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的膨胀率逐渐变小了．1．1 导数的概念检测反馈：1． 4+2Δx ；2． 12；3． 0； 4． 解：22()2y x x x x x x x ∆+∆-==+∆∆∆，当0x ∆→时，2y x x∆→∆， 所以()2,(4)8f x x f ''==．5． （1）0α=；（1）4πα=；（1）34πα=；（1）3πα=．巩固练习：A 组1．-3 ； 2．00()()f x x f x +∆-； 3．2； 4．1x ∆+； 5．0．1，8．3%； 6．2ax a x b +∆+； 7． 3万件/年，0万件/年； 8．-2； 9．19．6m/s ； 10．223/,6/m s m s ； 11．当00.5t ≤≤时，平均速度1(0.5)(0)4.05(/)0.50h h v m s -==-；当12t ≤≤时，平均速度2(2)(1)8.2(/)21h h v m s -==--；12．1110100,,,3211101----；13．22433()3R R R R π⎡⎤+∆+∆⎣⎦； 14．（1）20米/秒；（2）40米/秒；（3）56米/秒；15．4,4160k x y =-+-=； 0,4k y ==B 组16．(1)温度上升的瞬时速度；(2)污染源扩散的瞬时速度；(3)水面高度下降的瞬时速度； 17．（-1，1）或（1，1）；18．41y x =-； 19．3； 20．-2； 21．-822．解：圆盘面积2220(1).S r r at ππ==+()()()222200201122,S r t t r t r t t t παπαπααα∆=++∆-+⎡⎤⎣⎦=++∆∆20(22),Sr t t tπααα∆=++⋅∆∆ ()20021,st r a at tπ∆∆+∆当无限趋近时，无限趋近于即为铝盘面积对温度t 的变化率.23．(1)8,3PQ PR K K =-=-,(2)PQ 逐步增大，PR 逐步减小；24．k = -1,倾斜角=1350； 25．令(1,1)p ，11,1Q x x ⎛⎫+∆ ⎪+∆⎝⎭，则1111111PQx k x x-+∆==-+∆-+∆，当0x ∆→时，1PQ k →-，从而曲线1y x=在1x =处切线斜率为1-．26．令12P ⎛ ⎝⎭，1(0)2Q x x ⎛ +∆∆≠ ⎝，则PQk ==，当0x ∆→时，3PQ k →-，故切线的斜率为3-．27．略 28．（1）12118；（2）192；（3）(90)9,(100)10C C ''==C 组29．（1）0000()()(())()f x f x h f x h f x h h--+--=-，当 h 无限趋近于0时，- h 也无限趋近于0，∴00(())()f x h f x h+---无限趋近于0()f x '；（2）0000(2)()(2)()22f x h f x f x h f x h h +-+-=⋅，当h 无限趋近于0时，2h 也无限趋近于0，∴00(2)()2f x h f x h+-无限趋近于0()f x '，∴00(2)()f x h f x h+-无限趋近于20()f x '；（3）00()()f x h f x h h+--= 0000()()()()f x h f x f x f x h h+-+--=0000()()()()f x h f x f x f x h h h +---+，当h 无限趋近于0时，00()()f x h f x h+-无限趋近于0()f x '，00()()f x f x h h--无限趋近于0()f x '，∴00()()f x h f x h h+--无限趋近于20()f x '；（4）00()(2)f x h f x h h--+=00()(2)(3)3f x h f x h h--+⋅--=当h 都无限趋近于0时，-3h 也无限地趋近于0，00()(2)f x h f x h h --+无限趋近于03()f x '-．30．（1）142n n a =+； （2）当n 不断增大时，n a 无限趋向于4（当n 无限增大时，区间长度无限趋近于0，此时的平均变化率趋近于函数在2x =时的导数）；。

2019-2020年高考数学导数函数的单调性公开课教案苏教版【教学目标】：理解函数的单调性与导数的关系，学会应用导数求函数单调区间，并由函数的单调性确定参数的取值范围。

通过含参函数的讨论让学生学会综合分析解决问题的能力。

【教学重点】：函数单调性与导数关系，由导数求函数的单调区间及参数的取值范围。

【教学难点】：含参数函数单调区间的求法及参数的取值范围。

【前置作业】1、不等式的解集；2、函数增区间；减区间；3、函数的单调增区间为；4、已知函数在上递减，则实数的取值范围；5、函数的导函数的图象如右图，则函数的单调递增区间为；【教学过程】【合作探究1】观察下列函数的单调性（如下图），并分析在相应区间上，函数的单调性与函数的导函数的符号有何关系？（1）在上 0，单调 ; (2) 在 0，单调在 0，单调（3）在 0，单调（4）在 0，单调在 0，单调在 0，单调【结论】【尝试应用】根据的图象，写出函数的单调区间。

【切块一】求函数单调区间典例1求下列函数的单调区间（1）；（2）.【小结】练习：（1）； （2）。

（3）【切块二】由函数单调性求参数的取值范围【合作探究2】试结合进行思考：如果在某区间上单调递增，那么在该区间上必有 > 0吗？【结论】典例2 已知函数2()(0).a f x x x a R x=+≠∈常数若函数在上是单调递增的，求 的取值范围。

变式【巩固练习】1、函数 的单调增区间是 ；2、函数的单调减区间是 ；3、函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是 ；4、三次函数在内是减函数，则实数的取值范围是 ；5、已知(]21()2,0,1.f x ax x x =-∈若在区间上是增函数，求的取值范围是 ； 6、如果函数恰有三个单调区间，那么实数的取值范围是 ；2019-2020年高考数学 导数及其应用导学案 新人教版一、考纲解读（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；（2）了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

2019-2020学年高二数学 极限与导数 导数的概念教案 苏教版教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。

教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。

虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。

由此我们引出下面导数的概念。

二、新授课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。

3.xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。

4.导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。

5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。

苏教版高中数学导数教案课题名称：导数的定义与求法适用对象：苏教版高中数学教材教学目标：1. 理解导数的定义及意义；2. 掌握导数的求法；3. 能够应用导数解决相关问题。

教学内容：1. 导数的定义：导数的概念和意义；2. 导数的求法：利用导数的定义和性质求导的基本方法；3. 导数的应用：解决相关问题。

教学重点：1. 导数的定义及求法；2. 导数的应用。

教学难点：1. 导数的概念和意义的理解；2. 导数的应用解题能力的培养。

教学准备：1. 教材资料：苏教版高中数学教材；2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、PPT等；3. 教学辅助：例题、习题、实例等。

教学步骤：一、导入：通过简单的例子引入导数的概念，让学生了解导数在数学上的重要性。

二、讲解导数的定义及意义：1. 通过导数的定义引导学生理解导数的概念；2. 解释导数的意义及其在数学和实际生活中的应用。

三、讲解导数的求法：1. 利用导数的定义和性质，介绍导数的求法；2. 讲解求导的基本方法和技巧。

四、导数的应用：通过综合例题和实例，引导学生掌握导数在不同情境下的应用方法，并培养解题能力。

五、巩固练习：布置相关习题或实例，让学生进行巩固练习，检验学生对导数的理解和掌握程度。

六、作业布置：布置相关作业，要求学生在家完成，以进一步巩固所学知识。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够初步了解导数的概念及意义，掌握导数的求法，并能够应用导数解决相关问题。

在教学中要注重培养学生的数学思维和解题能力，引导学生积极思考和探索。

高中数学苏教版函数与导数教案设计导语：本教案设计旨在帮助高中数学教师合理安排课堂教学内容，提供适用于苏教版的函数与导数的教学指导。

通过本教案的实施，学生将能够理解函数与导数的概念，并能够运用相关知识解决实际问题。

以下是本教案的详细设计。

一、教学目标1. 理解函数的定义和性质。

2. 掌握一次函数、二次函数的图像和性质。

3. 掌握函数的运算法则。

4. 理解导数的概念及其物理意义。

5. 掌握函数的导数的计算方法。

6. 运用函数与导数解决实际问题。

二、教学内容1. 函数的概念与性质a. 函数的定义b. 函数的性质：定义域、值域、单调性等2. 一次函数的图像与性质a. 一次函数的标准方程b. 斜率与函数图像的关系3. 二次函数的图像与性质a. 二次函数的标准方程b. 顶点、对称轴、最值等的性质4. 函数的运算法则a. 函数的加减、乘除运算b. 复合函数的概念及运算5. 导数的概念及其物理意义a. 导数的定义b. 导数的物理意义：速度、变化率等6. 函数的导数的计算方法a. 常数函数、幂函数、指数函数的导数计算b. 一次函数、二次函数的导数计算7. 函数与导数的应用a. 极值与最值问题b. 函数图像的凹凸性与拐点问题c. 变化率与相关率问题三、教学过程1. 导入环节a. 引入函数概念，通过举例让学生了解函数的基本定义和性质。

b. 带领学生思考，探讨函数在现实生活中的应用。

2. 函数的概念与性质a. 通过教师讲解和学生小组合作讨论，介绍函数的定义和性质。

b. 利用示意图和实例，帮助学生理解函数的定义域、值域、单调性等概念。

3. 一次函数的图像与性质a. 介绍一次函数的标准方程及图像特点。

b. 给出一些具体的例子和应用，帮助学生理解斜率与函数图像的关系。

4. 二次函数的图像与性质a. 介绍二次函数的标准方程及图像特点。

b. 利用实例和问题，引导学生发现二次函数的顶点、对称轴、最值等性质。

5. 函数的运算法则a. 教师讲解函数的运算法则，并通过例题进行讲解和练习。

《导数的观点》教课设计教课内容解析1．导数的地位、作用导数是微积分的中心观点之一，它是一种特别的极限，反应了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单一性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起侧重要作用．导数观点是我们此后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有宽泛的应用，是展开科学研究必不行少的工具.2．本课内容解析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限观点的．教材这样办理的原由，一方面是由于极限观点高度抽象，不合适在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生经过学习导数这个特别的极限去领会极限的思想，这为此后学习极限供给了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学观点，而导数是研究函数的有力工具，所以，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．鉴于学生已经在高一年级的物理课程中学习了刹时速度，所以，先经过求物体在某一时辰的均匀速度的极限去得出刹时速度，再由此抽象出函数在某点的均匀变化率的极限就是刹时变化率的的模型，并将刹时变化率定义为导数，这是切合学生认知规律的．进行导数观点教课时还应当看到，经过若干个特别时辰的刹时速度过渡到随意时辰的刹时速度；从物体运动的均匀速度的极限是刹时速度过渡到函数的均匀变化率的极限是刹时变化率，我们能够向学生浸透从特别到一般的研究问题基本思想．教课目标1．使学生认识到：当时间间隔愈来愈小时，运动物体在某一时辰邻近的均匀速度趋势于一个常数，而且这个常数就是物体在这一时辰的刹时速度；2．使学生经过运动物体刹时速度的探究，领会函数在某点邻近的均匀变化率的极限就是函数在该点的刹时变化率，并由此建构导数的观点；3．掌握利用求函数在某点的均匀变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．经过导数观点的建立，使学生领会极限思想，为未来学习极限观点累积学习经验；5．经过导数观点的教课教程，使学生领会到从特别到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教课要点经过运动物体在某一时辰的刹时速度的探究，抽象归纳出函数导数的观点．教课难点使学生领会运动物体在某一时辰的均匀速度的极限意义，由此得出函数在某点均匀变化率的极限就是函数在该点的刹时变化率，并由此得出导数的观点．教课准备1．查找实质测速中丈量刹时速度的方法；2．为学生每人准备一台Ti－nspireCAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教课流程框图教课流程设计充足尊敬学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数观点的表象，再经过表象抽象出导数观点，并经过运用导数观点解决实质问题使学生进一步领会导数的本质．教课的主要过程设计以下：复习准理解均匀速度与刹时速度备的差别与联系．领会模感觉当△t→0时，均匀速型度迫近于某个常数．提炼模从形式上达成从均匀速度型向刹时速度的过渡．教课过程设计估计时教课内容教师活动学生活动教课评论间（分）（1）发问：请说出函数从 x 1到 x 2的均匀变化率公式．（2）发问：假如用x 1与增量△x（ 表示均匀变化率的公式是如何的？（ 3）高台跳水的例子中，在时间段[0,65]里的均匀速度是零，而实质49上运动员其实不是静止的．这说明均匀1．复习准备 速度不可以正确反应他在这段时间里运动状态.设计企图： （4）发问：用一个什么样的量来让学生理解 反应物体在某一时辰的运动状态？ 均匀速度与 （5）发问：我们如何获取物体在刹时速度的 某一时辰的刹时速度？比如，要求物 5分钟 差别与联 体在2S 的刹时速度，应当怎么解决？系，感觉到 （6）我们一同来看物理中测即时均匀速度在 速度（刹时速度）的视频：时间间隔很小时能够近 似地表示瞬时速度．（ 7）发问：这里所测得的真的是刹时速度吗？（ 8）发问：如何使均匀速度更好的表示刹时速度？9）在学生回答的基础上叙述：真实的刹时速度根本没法经过仪回答以下问题后理解： （1）f(x 2)f(x 1)．x 2 x 1（2）f(x 1x)f(x 1)．x（ 3）学生在教师的叙述中思虑用什么量来反应运动员的运动状态．（（ （ （（ 4）让学生领会并明确刹时速度的作用．（ 5）学生思虑． （ （ （ （（ 6）学生观看视频并思虑． （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （（ 7）希望或指引答出“是均匀速度”．8）学生回答，得出“时间间隔越小越1）复习过程应使学生明确函数的均匀变化率表示．（2）应使学生明确均匀速度与刹时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫．器测定，我们将均匀速度作为刹时速好！”度的近似值；（9）学生领会教师所为了使均匀速度更好的表示刹时讲结论．速度，应当让时间间隔尽量小．2．领会模型设计意图：让学生在信息技术平台上，经过定分量解析钟感觉平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度迫近的过程．1）向学生提出数学实验任务：已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数h(t)=－4.9t2+6.5t+10，请你用计算器达成以下表格中t0=2秒邻近的均匀速度的计算并填补好表格，察看均匀速度的变化趋势．数学实验记录单（1）x＞0时，在内，x＜0时，在内，vh(2x)h(2)vh(2)h(2x)x xXvxv0.1－0.10.01－0.010.001－0.0010.0001－0.00010.00001－0.000010.000001－0.000001你以为运动员在t0=2秒处的刹时速度为m/s．（2）发问：x、g(x)的含义各是什么？（3）发问：察看你自己的实验记录单，你能发现均匀速度有什么变化趋势吗？先展现一个同学的实验结果，并让他谈谈他的发现，再将计算器的结果投影，指引同学们一起察看．（4）将学生疏四个组，让他们分别达成1）学生在TI－nspireCAS上达成以下操作：（1）应使学生在技术平台上（2）学生操作得出以下经过多结果，达成数学实验记次实验录单（1）的填写：感觉到均匀速度在t→0时趋近于一个常数，并理解这个常数的意义．（3）让学生讲他所发现（2）应的规律．使学生从感性上获取求刹时（4）学生疏4个组再次速度的实验，分别达成本组的方法．数学实验记录单（2）的填写，并察看均匀速度的变化趋势，回答教师的发问．t0=1.6、1.7、1.8、1.9时的实验记录单（2）的填写，说出他们察看的结果，并将4个结果写列在黑板上．t0=1.6 t0=1.7 t0=1.8 t0=1.9 t0=2v→－9.18 v→－10.16 v→－11.14 v→－12.12 v→－13.1在学生实验与察看的基础上指出：当t趋近于0时，均匀速度都趋近于一个确立的常数，这个常数就是刹时速度．（1）发问：你以为经过实验所得结果（常数）就（1）学生思是刹时速度吗？这个数据究竟是精准值仍是近似值？考，也能够讨应使学论．生经过（2）让学生动笔化简t0=2对应的平（2）学生化简着手计均速度的表达式．（化简结果为4.9t13.1）t0=2处对应的算，得均匀速度的表到均匀（3）指引学生从化简的表达式中发现当△t0时，达式，察看当速度在4.9t13.1－13.1．△t0时均匀t→0 3．提炼模型（4）让学生着手化简t0=1.6对应的均匀速度的表设计企图：使4.9t9.18达式．（化简结果为）学生认识到均匀速度当t0启迪学生归纳出结论：△时，均匀速度所趋时间间隔趋近的这个常数是能够获取的，它不是近似值，是一个精10向于零时的t没关，只与时辰t0相关．确值，它与变量△极限就是瞬t0=1.6、1.7、1.8、1.9（5）发问：我们获取了时速度，为给时的刹时速度，但这还不足以代表全部时辰的刹时速出导数观点t0时的刹时速度？度，能不可以用相同的方法，获取提炼出一个启迪学生化简均匀速度的表达式，并与学生一同详细的极限总结出：模型．fh(t0t)h(t0)t t9.8t04.9t 6.59.8t0 6.5(t0)．（6）教师解说：用lim ht0t ht0表示v所t0tht0tht09.8t06.5．今趋近的常数，即limtt0后把这个常数叫做在t t0处，当t趋近于0时，均匀速度表达式的时趋近变化趋势．于一个（3）学生化简常数，t0=1.6处对应而且这的均匀速度的个常数表达式，察看就是瞬当△t 0时平时速均速度表达式度．使的变化趋势．学生理解极限3）学生化简符号表随意时辰t0处示的意对应的均匀速义．度的表达式，察看当△t0时均匀速度表达式的变化趋势．4）学生依据教师的解说理速度v的极限．比方，－13.1是在t2处，当△t趋解均匀速度的h2t h2的极限．极限的意义．近于0时t（1）给出以下图示：4．形成观点（2）针对上述图示，教师在启迪后发问：设计意经过前方的学习，我们知道均匀速度就是函数h(t)的均匀变图：完化率．刹时速度就是函数h(t)的刹时变化率．同时，我们已经知成从运道：均匀速度在△t→0时的极限就是刹时速度．那么，你可否说动物体说，一般状况下，函数的均匀变化率与刹时变化率是一个什么关的刹时系？速度到5函数瞬（3）在学生理解了函数的均匀变化率与刹时变化率的关系时变化后发问：函数f(x)在x=x0处的刹时变化率如何表示？率的过教师介绍以下的的表示方法：渡，形函数f(x)在x=x0处的刹时变化率可表示为成导数lim f lim f(x0x)f(x0)．的观点x0x x0x并给出（4）教师给出导数的定义：定义．函数f(x)在x x0处的刹时变化率lim f(x0x)f(x0)lim fx0x x0x称为y f(x)在x x0处的导数，记作f(x0)或lim y f(x x)f(x) xx，即x0x f(x0)lim f(x0x)f(x0)．x0x （1）在应使学教师的生从“平启迪下均速度思虑函的极限数的平是刹时均变化速度”这率与瞬个详细时变化的模型率之间中抽象的关系．出导数的观点，（2）回并能理答教师解导数的发问．是一个极限，明（3）理确导数解函数的表示．导数的5．应用观点设计企图：让学生进一步5理解导数观点，领会导数的应用价值，熟习求导数的步骤．（1）发问：你能谈谈求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤吗？教师在学生说的基础上要总结出步骤．（2）解说例1：将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各样不一样产品，需要对原油进行冷却和加热．假如第x(h)时，原油的温度（单位:C）为:f(x)=x2-7x+15(0x≤8).计算第2（h)和第6（h）时，原油温度的刹时变化率，并说明它们的意义．重申：第2小时的刹时变化率为－3，说明在第2小时邻近，原油大概以3C/h的速度降落．．．．．（3）提出练习：计算3h时原油温度的刹时变化率，表述你所得结果的意义．观点与1）学生思导考数（的1）检查学并沟通求函数表示生方能否清楚在x0处的法导．求导数的步数的步骤．骤．（2）检查学（2）在教师讲生可否正确解完后达成教地求出函数师提出的练在某点的导习．数．（3）应使学（3）求出生能利用计f(3)后，回算结果解说导数（即刹时答f(3)的意变化率）的意义．义．（1）让学生小结并沟通．思虑本节课所（2）教师总结：学内容，能够本节课学习了导数的观点，在这个过程中我相互之间沟通6．小结作业们看到：数学使不行能的事情变为现实；自己的小结，设计企图：让导数的观点表示：当自变量的增量趋势于零回答教师提学生经过总时，函数在某点的均匀变化率的无穷地趋势于函问.结，进一步体数在该点的刹时变化率，这是特别重要的极限思1）使学生不单能从知识的角度看所学过的内容，还可以领会到寓于知识中的数学思会导数的意想．56义及极限的思想，训练学生的归纳能力．经过部署作业，稳固所学内容．求导数的步骤大概分为以下三步：第一步，求函数增量；第二步，求均匀变化率并化简；第三步，求均匀变化率的极限，即导数．A作业：B层：P10/2，3，4．C层：A层+增补．想与方法．2）分层次供给作业，是为了知足不一样层次学生的需求．（增补）已知y=x3．求：（1）y x0；（2）y x1．。

高二数学导数与导函数的概念教案教学目标：1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法； 理解导数的几何意义；理解导函数的概念和意义；2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。

教学重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用教学难点：1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用教学过程：一、情境引入在前面我们解决的问题：1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。

x xx f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。

t t tt v t t v t V o o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)()(，故斜率为4 二、知识点讲解上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ∆(t ∆)无限趋近于0时，t V ∆∆(x V ∆∆)都无限趋近于一个常数。

归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('，上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('=三、几何意义：我们上述过程可以看出)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。

四、例题选讲例1、求下列函数在相应位置的导数（1）1)(2+=x x f ，2=x（2）12)(-=x x f ，2=x（3）3)(=x f ，2=x例2、函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时， （1）=-+xf x f 2)1()1( （2）=-+x f x f )1()21( 变式:设f(x)在x=x 0处可导， 1.xx f x x f ∆-∆+)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________ （4）xx f x x f ∆-∆-)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=________________ （5）当△x 无限趋近于0，x x x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系。