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高二数学《导数》知识点总结【一】1、导数的定义：在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3.常见函数的导数公式：①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,的为值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存有，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这个点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这个点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数实行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存有，则称其在这个点可导，否则称为不可导。
不过，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，xf'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数。
高二数学《导数》知识要点总结导数：导数的意义-导数公式-导数应用1、导数的定义：在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/表示过曲线y=f上P)切线斜率。
V=s/表示即时速度。
a=v/表示加速度。
3.常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f 的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'或df/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f，x↦f'也是一个函数，称作f的导函数。
导数是高二上册吗知识点高等数学中的导数是高中数学的内容，通常在高二上学期开始学习。
导数是微积分的一个重要概念，用于研究函数的变化率和函数的局部性质。
在本文中，我们将介绍导数的定义、求导法则以及一些应用。
一、导数的定义在数学中，导数描述了函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用极限来定义：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
这个定义可以直观地理解为，当x在无限接近于给定点时，函数f(x)在该点的斜率逐渐趋近于某个特定值。
二、求导法则求导法则是计算函数导数的一套规则和方法，便于我们在实际应用中进行计算。
以下是常见的求导法则：1. 基本导数法则：a. 常数导数法则：如果c是一个常数，那么dc/dx = 0。
b. 幂函数导数法则：对于函数f(x) = x^n，其中n是一个实数，则f'(x) = nx^(n-1)。
c. 指数函数导数法则：对于函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1，则f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数导数法则：对于函数f(x) = logₐ(x)，其中a是一个正实数且不等于1，则f'(x) = 1/(x * ln(a))。
2. 导数的四则运算法则：a. 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
b. 积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
c. 商法则：(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。
3. 复合函数导数法则：如果y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
第十讲 导数的概念与运算教学目标：1、了解导数概念的实际背景．2、理解导数的几何意义．3、能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.一、知识回顾 课前热身知识点1、导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．知识点2、几种常见函数的导数①(C )′＝ 0 (C 为常数)； ②(x n )′＝ nx n －1 ；(n ∈Q)③(sin x )′＝ cos_x ； ④(cos x )′＝ －sin_x ；⑤ (e x )′＝ e x ； ⑥(a x )′＝ a x ln_a ；⑦(ln x )′＝ 1x .⑧(log a x )′＝ 1x ln a知识点3、导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．知识点4、复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．二、例题辨析 推陈出新例1、 求下列函数的导数(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.[解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x 12-－x 12，∴y ′＝(x 12-)′－(x 12)′＝－12x 32-－12x 12-.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln xx 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4”如何求解？ 解：∵y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x ∴y ′＝－12cos x ． 变式练习1．求下列函数的导数(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x ；(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x . 解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 32-＋x 3＋sin x x2，∴y ′＝(x 32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′ ＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. (4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x＝cos x －sinx ，∴y ′＝－sin x －cos x .例2、 求下列复合函数的导数：(1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ；(3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成， ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4. (2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′＝12u －12(－1)＝－12u 12-＝－123－x＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.变式练习2．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝lnx 2＋1；(3)y ＝1(1－3x )4；(4)y ＝x1＋x 2.解：(1)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′＝2(1＋sin x )·cos x . (2)y ′＝(lnx 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12(x 2＋1)12-·(x 2＋1)′＝xx 2＋1.(3)设u ＝1－3x ，y ＝u －4.则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3)＝12(1－3x )5.(4)y ′＝(x1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x ()1＋x 2′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2. 三、归纳总结 方法在握归纳1、求导之前，应先对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量；归纳2、复合函数求导必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．四、拓展延伸 能力升华例1、 (1)(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．(2)已知曲线y ＝13x 3＋43. ①求曲线在点P (2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．[解答] (1)y ＝x 22，y ′＝x ，∴y ′|x ＝4＝4，y ′|x ＝－2＝－2.点P 的坐标为(4,8)，点Q 的坐标为(－2,2)，∴在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得A (1，－4)，则A 点的纵坐标为－4.(2)①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.②设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4，x 0＝±2.切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎫－2，－43， ∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0.若将本例(2)①中“在点P (2,4)”改为“过点P (2,4)”如何求解？解：设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2，4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋\f(4,3)，即x 30－3x 20＋4＝0.∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0. ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0. ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2. 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.变式练习3．已知函数f (x )＝2x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝⎛⎭⎫－23，233，求△AOB 的面积．解：(1)f ′(x )＝1x ＋1，则f ′(x 0)＝1x 0＋1，则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线方程为 y －f (x 0)＝1x 0＋1(x －x 0)，即y ＝xx 0＋1＋x 0＋2x 0＋1 .所以当x 0＝1时，切线l 的方程为x －2y ＋3＝0. (2)当x ＝0时，y ＝x 0＋2x 0＋1；当y ＝0时，x ＝－x 0－2. S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2x 0＋1·(x 0＋2)＝(x 0＋2)22 x 0＋1，∴S △AOB ＝⎝⎛⎭⎫－23＋222－23＋1＝839.例2、已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C.[)－1，＋∞ D.(]－∞，－1 [解答] 由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0. 综上，a ≥－12.[答案] A归纳:导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)；(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．变式练习4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________. 解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ，∴f ′(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ.于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋θ＋π2＝2cos(3x ＋θ)， 由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2. 答案：π2练习1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x (sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′⎪⎪⎪4x π=＝12.∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. 选B 2．已知函数f (x )＝x 3＋f ′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，则函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线方程是________． 解析：由f (x )＝x 3＋f ′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，可得f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝⎛⎭⎫23x －1，∴f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2f ′⎝⎛⎭⎫23×23－1， 解得f ′⎝⎛⎭⎫23＝－1，即f (x )＝x 3－x 2－x .则f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫233－⎝⎛⎭⎫232－23＝－2227，故函数f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线方程是y ＋2227＝－⎝⎛⎭⎫x －23，即27x ＋27y ＋4＝0. 答案：27x ＋27y ＋4＝0 五、课后作业 巩固提高1．曲线y ＝sin xx在点M (π，0)处的切线方程是________．答案：x ＋πy －π＝02．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.解析：由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2 3．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )解析：选D 据函数的图象易知，x <0时恒有f ′(x )>0，当x >0时，恒有f ′(x )<0. 4．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定 解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6，∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1，∵当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f ′(x )>0， ∴f (x )＝cos x ＋x 是⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的增函数，注意到－π3<π3，于是有f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3. 5．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12 D ．2解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4，f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝12.6．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x ＋2，则曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为y ′|x ＝0，故曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y ＝3x －1.7．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 由已知，令x ＝0得2f (0)>0，排除B 、D 两项；令f (x )＝x 2＋14，则2x 2＋12＋x ⎝⎛⎭⎫x 2＋14′＝4x 2＋12>x 2，但x 2＋14>x 对x ＝12不成立，排除C 项．8．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－49．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝010．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)11．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0，∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)． 又f ′(x )＝(ax －6)′(x 2＋b )－(ax －6)(x 2＋b )′(x 2＋b )2＝－ax 2＋12x ＋ab(x 2＋b )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝2x －6x 2＋3.12．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程； (2)求△ABD 的面积S 1.解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点． ∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4.所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋2＝0. (2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)，点D 的坐标为(a ，－4a －2)，∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|×|－1－a|＝|(a＋1)3|＝－(a＋1)3.13．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.解：(1)设点P k－1的坐标是(x k－1,0)，∵y＝e x，∴y′＝e x，∴Q k－1(x k－1，e x k－1)，在点Q k－1(x k－1，e x k－1)处的切线方程是y－e x k－1＝e x k－1(x－x k－1)，令y＝0，则x k＝x k－1－1(k＝2，…，n)．(2)∵x1＝0，x k－x k－1＝－1，∴x k＝－(k－1)，∴|P k Q k|＝e x k＝e－(k－1)，于是有|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)＝1－e－n1－e－1＝e－e1－ne－1，即|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|＝e－e1－ne－1.。
高二数学《导数与微分》知识点概述导数与微分是高二数学学科中的重要内容，对于学生来说，掌握这些知识点不仅能够帮助他们理解数学的基本概念，还能够为后续学习奠定坚实的基础。
第一部分：导数的概念及性质导数作为微积分的重要概念之一，其本质是函数在某点处的变化率。
导数的定义是通过极限的方法得到的，即函数在一点处的导数等于函数在该点附近变化最快的直线的斜率。
导数的性质主要有如下几个方面：1. 导数的存在性和唯一性：对于任意一个函数，只要它在某一点上可导，那么它在该点上的导数就是唯一确定的。
2. 导数的几何意义：导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率，因此导数的大小与斜率的大小成正比。
3. 导数与函数的关系：如果一个函数在某点处可导，则该函数在该点的导数可以作为函数的局部性质的判断标准，如函数的增减性、极值点等。
第二部分：导数的计算方法为了更好地应用导数的概念解决实际问题，在计算导数时，我们可以根据导数的定义以及一些基本的导数性质来进行计算。
下面是一些常见的导数计算方法：1. 常数函数的导数：常数函数的导数为0，即导数与自变量无关。
2. 幂函数的导数：对于幂函数$x^n$，它的导数为$nx^{n-1}$。
3. 反比例函数的导数：反比例函数$y=\frac{1}{x}$的导数为$y'=-\frac{1}{x^2}$。
4. 指数函数的导数：自然对数函数$y=e^x$的导数为$y'=e^x$。
5. 对数函数的导数：自然对数函数的逆函数$y=\ln x$的导数为$y'=\frac{1}{x}$。
第三部分：微分的概念及应用微分是导数的一个重要应用，它包含了更多的几何和物理背景。
微分的概念是函数在某点局部的线性近似，同时也可以理解为函数值的微小变化量。
微分的性质和计算方法与导数类似。
微分的应用广泛，尤其在物理学和工程学中有着重要的地位。
比如在速度和加速度的分析中，微分可以帮助我们计算物体在某一瞬间的速度和加速度。
高二数学第一次月考知识点一、导数与函数的连续性在高二数学的第一次月考中，导数与函数的连续性是非常重要的知识点之一。
导数概念是微积分的基础，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义是通过求极限得到的，可以用来求函数的切线斜率或函数的增减性等问题。
函数的连续性则是指函数在某一点或某一区间内没有断点，可以用连续函数的极限性质进行判断和证明。
二、函数的极值与最值另一个重要的考点是函数的极值与最值。
极值是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点，通过导数的求解可以确定函数的极值点。
最值则是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值，通过数学推理和求解可以确定函数的最值。
三、函数与方程的图像在月考中，可能会涉及到函数与方程的图像。
掌握函数与方程的图像特征，包括图像的对称性、增减性、零点、极值、拐点等，对于分析和解题是非常有帮助的。
四、平面向量与坐标系平面向量是高二数学中的一个重要的知识点。
平面向量的概念、加法、数量积等基本操作都需要掌握。
与平面向量相关的坐标系也是月考的考察内容之一，包括直角坐标系和极坐标系。
五、数列与数列的极限数列是高二数学中非常常见的一类问题，月考也会考察数列的性质与求解。
数列的概念、通项公式、通项求和等内容都需要熟练掌握。
数列的极限是数列的重要性质，也需要了解与运用。
六、概率与统计概率与统计是高二数学中的一大板块内容。
概率的基本概念、事件的概率、条件概率等都是需要掌握的知识点。
统计是指通过对样本进行观察与分析，对总体的某些特征进行推断与描述。
以上便是高二数学第一次月考的主要知识点，希望同学们在备考中能够重点关注和复习这些内容，取得好成绩！。
高二数学导数知识点导数是数学中非常重要的概念，被广泛应用于各个领域。
在高二数学学习中，导数是一个重要的知识点。
本文将介绍一些高二数学导数的知识点，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
一、导数的定义导数可以理解为函数在某一点上的变化率。
设函数y=f(x)，在点x处的导数记为f'(x)，其计算公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h二、导数的几何意义导数的几何意义是函数图像上某一点处的切线斜率。
可以通过计算导数来确定函数曲线上某点的切线方程。
三、导数的运算法则1. 常数法则：常数的导数为0。
2. 基本初等函数导数法则：a. 幂函数：(x^n)' = n*x^(n-1)b. 指数函数：(a^x)' = ln(a) * a^xc. 对数函数：(log_a(x))' = 1 / (x * ln(a))d. 三角函数：(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)3. 乘积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)4. 商积法则：[f(x) / g(x)]' = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] / [g(x)]^25. 复合函数求导法则：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)四、导数的应用导数广泛应用于微积分、物理学、经济学等领域。
以下是几个常见的应用：1. 极值问题：对于一个函数，极大值和极小值出现在导数为0或不存在的点。
2. 斜率问题：导数可以计算函数图像上某一点处的斜率，用于解决相关的问题。
3. 函数图像的变化：通过分析导数的正负变化来判断函数的递增和递减区间，从而得到函数图像的特征。
高二新高考数学导数知识点在高中数学课程中，导数是一个非常重要且必不可少的知识点。
导数的概念最早出现在十七世纪，由数学家伽利略和弗洛林提出，并在后来得到了众多数学家的深入研究和发展。
导数不仅在数学理论研究中有重要作用，更在实际应用中发挥着重要的作用。
导数的定义是函数在某一点上的变化率。
在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某点处的切线斜率。
具体说来，如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，那么我们可以通过求出极限lim(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)来计算导数。
导数具有许多重要的性质和运算法则。
其中，最基本的导数法则包括常数规则、幂函数规则、和、差、积、商等规则。
在具体计算导数时，我们可以根据这些法则来简化计算过程。
导数在函数的图像研究中能够提供很多重要的信息。
首先，导数可以帮助我们确定函数的增减性。
具体来说，如果函数f(x)的导数f'(x)在某一区间内大于0，那么函数在该区间内是单调递增的；如果导数在某一区间上小于0，则函数在该区间上是单调递减的。
此外，导数还能帮助我们确定函数的极值点和拐点。
如果函数的导数在某点发生变号，那么该点就有可能是函数的极值点或拐点。
在实际应用中，导数也起到了重要的作用。
以物理学为例，导数可以帮助我们描述物体的速度和加速度。
对于给定的物体运动规律方程，我们可以通过对其位置函数求导，得到物体的速度函数和加速度函数。
同样，导数在经济学、生物学等领域也有广泛的应用。
除此之外，导数还与积分有重要的关系。
根据导数的定义和一些基本性质，我们可以得到导数与原函数之间的关系。
具体来说，如果一个函数f(x)在某一区间上连续，并且在该区间上的导数存在，则我们可以通过求导操作得到函数f(x)的一个原函数F(x)。
这个过程被称为积分。
在高二新高考数学中，导数是一个非常重要且难度较高的知识点。
要想在这个知识点上取得好成绩，学生需要掌握导数的定义和性质，熟练运用导数的运算法则，理解导数的几何意义，并能够将导数运用到实际问题的求解中。
高中数学导数知识点总结高中数学导数知识点总结导数是高中数学中的重要内容,教学难度相对较大,以下是小编跟大家分享高中数学导数知识点总结，希望对大家能有所帮助！(一)导数第一定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量△y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f'(x0) ,即导数第一定义(二)导数第二定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有变化△x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数变化△y = f(x) - f(x0) ;如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为f'(x0) ,即导数第二定义(三)导函数与导数如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可导。
这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的.导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数，记作 y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。
导函数简称导数。
(四)单调性及其应用1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤(1)求f(x)(2)确定f(x)在(a，b)内符号 (3)若f(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数;若f(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤(1)求f(x)(2)f(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; f(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间学习了导数基础知识点，接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。
导数的概念及运算[必备知识]考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δ x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δ x →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0ΔyΔx ＝lim Δ x →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 考点2 基本初等函数的导数公式若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 考点4 复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论]1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 2．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) 3．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )4．对于函数f (x )＝－x 2＋3x ，由于f (1)＝2，所以f ′(1)＝2′＝0.( )5．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，则该物体在t ＝0时刻的瞬时速度是0.( ) 6．若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a ＞0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x .( )答案 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ 二、例题练习1．已知函数()y f x =，那么下列说法错误的是( ) A.()()00y f x x f x +∆=∆-叫做函数值的增量 B.()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫做函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率 C.()f x 在0x 处的导数记为y ' D.()f x 在0x 处的导数记为()0f x '【答案】C【解析】由导数的定义可知C 错误．故选C.2. 已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.【答案】 －12【解析】 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 3.设函数()f x 在1x =处可导，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆--∆等于（）A ．()1f 'B ．()112f '- C ．()21f '-D ．()1f '- 【答案】B【解析】函数()f x 在1x =处()()()0111limx f x f f x ∆→+∆-'=∆()()0112lim 2x f x f x∆→+∆-=--∆，所以()()()0111lim122x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．4．若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()f x '=4，则()()0002limh f x f x h h→--的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】C【解析】由函数()y f x =在某一点处的导数的定义可知()()()()()000000022lim2lim 282h h f x f x h f x f x h f x h h→→----'===5.若()()0003lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=__________．【答案】13【解析】由于()()()()()000000033lim 3lim 313x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆，所以()013f x '=． 6．[课本改编]曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程是( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0答案 D 解析 ∵y ′＝2x ，∴k ＝y ′| x ＝1＝2；故所求切线方程为：y －1＝2(x －1)即2x －y－1＝0，故选D.7．函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2. 8．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2e x B ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e答案 D解析 函数y ＝x ·e x 的导函数是f ′(x )＝e x ＋x e x ，在点(1，e)处，把x ＝1代入f ′(x )＝e x ＋x e x ，得k ＝f ′(1)＝2e ，点斜式得y －e ＝2e(x －1)，整理得y ＝2e x －e.9．已知函数2()cos 3g x x x =+，则2()πg'=_______________．【答案】13． 【解析】因为2()sin 1g x x '=-+，所以2()πg'=2π21sin 113233-+=-=．故填13．10=')1(f _______________．【答案】e【解析】0x =得(0)1f =，∴(1)e f '=．11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ．12．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为_______________． 【答案】(2,)+∞【解析】由()224ln f x x x x =--，得()()4220f x x x x'=-->，则由不等式()42200x x x-->>，得()2200x x x -->>，从而可解得2x >．故()0f x '>的解集为(2,)+∞．13.求下列函数的导数：(1)y ＝e x sin x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)＝xx ln ；[解] (1)y ′＝(e x )′sin x ＋e x (sin x )′＝e x sin x ＋e x cos x . (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x 3.(3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝1－12cos x .14．[2015·天津高考]已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析 因为f (x )＝ax ln x ，所以f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)．由f ′(1)＝3得a (ln1＋1)＝3，所以a ＝3.15．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 【答案】C【解析】因为f ′(x )＝x ′·[]x －a 1x －a 2…x －a 8＋[]x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋ []x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.17．[2016·襄阳调研]曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°答案 B 解析 由y ′＝3x 2－2得y ′| x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°，故选B.18．[2016·大同质检]一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 B 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 19．[2016·深圳中学实战考试]函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是( ) A.π4B.π6C.5π6D.3π4答案 D 解析 由于y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，据导数的几何意义得－1≤tan α<0，当tan α＝－1时，α取得最小值，即αmin ＝3π4. 20．[2016·山西师大附中质检]已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2，所以在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4.所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20.所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.21．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 备用：1.函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.2.[2014·江西高考]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)解析 令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． 答案 －3解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.3. [2016·沈阳模拟]若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( ) A ．1 B.164C ．1或164D ．1或－164[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.[答案] C[2016·沈阳模拟]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7答案 A解析 ∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为：y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，得a ＝－1. 综上，a ＝－1或a ＝－2564.故选A.。
高二数学上期中考试知识点一、函数与导数在高二数学上期中考试中，函数与导数是一个重要的考点。
涉及到函数的定义、性质以及导数的计算和应用等内容。
1. 函数的定义与性质函数是数学中的一种基本概念，代表着两个变量之间的依赖关系。
在考试中，我们需要了解函数的定义以及常见的函数类型，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
此外，还需要掌握函数的性质，如奇偶性、单调性和周期性等。
2. 导数的计算导数是函数的一个重要概念，表示函数在某一点的变化率。
在考试中，我们需要学习导数的计算方法，包括基本导数公式、链式法则和常见函数的导数计算等。
同时，还需要了解导数的几何意义和物理意义，如切线方程和速度、加速度等。
3. 导数的应用导数在实际问题中有广泛的应用，在考试中常常会涉及到导数的应用题目。
例如，求函数的极值和最值、优化问题和曲线的图像分析等。
为了顺利解答这类问题，我们需要对导数的应用进行深入理解和掌握。
二、概率与统计概率与统计也是高二数学上期中考试的重要内容之一。
考察内容包括概率、统计以及相关的计算方法和应用。
1. 概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学工具，我们需要了解概率的基本定义和概念，如样本空间、事件、概率的计算和性质等。
2. 计数原理与排列组合计数原理和排列组合是概率计算中的重要工具，涉及到事件发生次数的计算。
在考试中，我们需要学习使用计数方法解决问题，如乘法原理、加法原理、排列和组合等。
3. 统计与图表分析统计与图表分析是指对实际数据进行描述、分析和推断的过程。
在考试中，我们需要掌握统计的基本方法与概念，如均值、中位数、标准差以及误差的计算和解释。
同时，还需要学习图表的绘制和解读，如折线图、柱状图、饼图以及相关分析等。
三、数列与数列极限数列与数列极限是高二数学上期中考试的核心知识点之一。
考察内容包括数列的概念、数列的性质以及数列极限的计算和应用。
1. 数列的概念与性质数列是一种按照一定规律排列的数的集合，我们需要了解数列的概念、通项公式和递推公式等。
高二数学选修2知识点总结高二数学选修2是高中数学课程中的一部分，主要内容涵盖了高等数学的基础知识以及数学问题的解题技巧和方法。
本文将对高二数学选修2的知识点进行总结，以帮助同学们复习和提高数学成绩。
一、函数与导数1. 函数的概念：函数是一种映射关系，将一个自变量映射到一个因变量上。
2. 函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、有界性等。
3. 导数的定义：导数表示函数在某一点处的变化率，可以用极限的概念来定义。
4. 导数的计算：常见函数的导数求法，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
5. 函数的应用：利用导数解决最值、单调性、弦切线、曲线图形等问题。
二、不定积分与定积分1. 不定积分的概念：不定积分是导数的逆运算，表示函数的一族原函数。
2. 不定积分的基本积分公式：常见函数的不定积分求法。
3. 定积分的概念：定积分表示函数在一定区间上的累积量。
4. 定积分的性质：线性性、区间可加性、保号性等。
5. 定积分的计算：利用基本积分公式、换元积分法、分部积分法等方法求解。
三、向量与立体几何1. 向量的运算：向量的加法、数乘、模长以及内积、外积等。
2. 空间直线与平面：直线的方向向量、点向式方程、平面的法向量、点法式方程等。
3. 空间立体几何：平面与直线的位置关系、两个平面的位置关系、空间中的距离等。
四、概率与统计1. 概率的基本概念：样本空间、随机事件、概率的定义等。
2. 概率的计算：加法定理、乘法定理、全概率公式、贝叶斯公式等。
3. 随机变量与分布：离散随机变量、连续随机变量、常见分布的特点和应用。
4. 统计的基本概念：总体、样本、频数分布、统计量等。
5. 参数估计与假设检验：点估计、区间估计、正态总体的假设检验等。
总结：高二数学选修2是深化数学学习的重要课程，它涵盖了函数与导数、不定积分与定积分、向量与立体几何、概率与统计等知识点。
同学们在学习过程中要掌握各个知识点的概念、性质和计算方法，并能够熟练运用于解题。
高二数学导数有关的知识点在高二数学学习中，导数是一个非常重要的概念，它是微积分的基础。
导数的概念最初由英国数学家牛顿和莱布尼茨独立提出，并且成功地解决了许多与变率和曲线有关的问题。
导数的概念和应用在现代科学和工程领域也有着广泛的应用。
本文将介绍高二数学中与导数有关的一些重要知识点。
一、导数的定义1. 一元函数的导数定义对于一元函数$f(x)$，在点$x=a$处的导数表示函数在该点处的变化率。
导数的定义如下：$$f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$其中，$h$是自变量$x$的增量。
2. 导数的几何意义导数也可以理解为函数在某一点处的切线斜率。
对于函数$y=f(x)$，在点$(a, f(a))$处的切线的斜率等于该点的导数：$$k = f'(a)$$二、导数的基本性质1. 常数函数的导数对于常数$c$，常数函数的导数等于0：$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$2. 幂函数的导数对于幂函数$y=x^n$，其中$n$为常数，它的导数为：$$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$$3. 指数函数的导数对于指数函数$y=a^x$，其中$a$为常数且$a>0, a≠1$，它的导数为：$$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \cdot \ln{a}$$4. 对数函数的导数对于对数函数$y=\log_a{x}$，其中$a$为常数且$a>0, a≠1$，它的导数为：$$\frac{d}{dx}(\log_a{x}) = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}$$三、导数的运算法则1. 和差法则对于两个函数$u(x)$和$v(x)$，它们的导数的和（差）等于它们的导数的和（差）：$$\frac{d}{dx}(u(x) \pm v(x)) = \frac{du(x)}{dx} \pm\frac{dv(x)}{dx}$$2. 乘法法则对于两个函数$u(x)$和$v(x)$，它们的导数的乘积等于第一个函数的导数乘以第二个函数本身再加上第一个函数本身乘以第二个函数的导数：$$\frac{d}{dx}(u(x) \cdot v(x)) = \frac{du(x)}{dx} \cdot v(x) + u(x) \cdot \frac{dv(x)}{dx}$$3. 除法法则对于两个函数$u(x)$和$v(x)$，它们的导数的商等于第一个函数的导数乘以第二个函数的倒数再减去第一个函数本身乘以第二个函数的导数再除以第二个函数的平方：$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) =\frac{\frac{du(x)}{dx} \cdot v(x) - u(x) \cdot\frac{dv(x)}{dx}}{v(x)^2}$$四、高阶导数1. 高阶导数的定义高阶导数是指多次对函数进行求导得到的导函数。
高二数学导数重点知识点导数是高中数学中的一个重要概念，它在很多数学问题的解答中扮演着重要角色。
通过求解导数，我们能够计算函数在不同点上的斜率，进而研究函数的变化规律。
本文将介绍高二数学中的导数重点知识点，帮助大家更好地理解和应用这一概念。
一、导数的定义和性质导数的定义是：对于函数y=f(x)，在x点处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示一个无穷小的增量。
导数表示函数变化率的大小，可以用来研究函数的增减性、极值等性质。
导数的性质包括：1. 基本导数公式：对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数，有相应的导数公式可以直接使用。
2. 运算法则：导数具有线性性质，即求导数的和（或差）等于函数对应的和（或差）的导数；求导数的常数倍等于函数对应的常数倍的导数。
3. 导数的乘积法则：两个函数相乘的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
4. 导数的商法则：两个函数相除的导数等于分子的导数乘以分母再减去分母的导数乘以分子，最后再除以分母的平方。
5. 高阶导数：导数的导数称为高阶导数，可以通过多次求导获得。
二、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 切线和法线：导数可以用来求解曲线在某一点的切线和法线。
切线的斜率等于该点的导数值，而法线的斜率等于切线的相反数。
2. 函数的极值：导数可以帮助我们找到函数的极大值和极小值。
在导数为零或不存在的点处，函数可能有极值。
3. 函数的凹凸性：通过导数的变化可以研究函数的凹凸性。
如果导数的值递增，则函数的曲线凸向上；如果导数的值递减，则函数的曲线凹向上。
4. 函数的图像：导数可以揭示函数的图像特征。
通过分析导数的正负变化可以确定函数的增减性，通过分析导数的零点可以确定函数的极值点。
5. 近似计算：导数可以用来进行数值的近似计算。
高二数学导数知识点归纳高二数学导数知识点归纳在平平淡淡的学习中，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。
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以下是店铺整理的高二数学导数知识点归纳，希望对大家有所帮助。
导数基础导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的'极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。
1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
高二数学导数知识点归纳很多高二的学生对导数复习感觉学起来很困难不想了解导数，导数其实没有这么难!以下是作者整理导数知识点归纳，希望给大家学习导数提供帮助。
导数基础导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’(x0)或df/dx(x0)。
;1-x10.y=arccosx y’=-1/√1-x11.y=arctanx y’=1/1+x12.y=arccotx y’=-1/1+x在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y’=f’[g(x)]g’(x)『f’[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g’(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y’=u’v-uv’/v3.y=f(x)的反函数是7.y=tanx=sinx/cosxy’=[(sinx)’cosx-sinx(cos)’]/cos x=(cos x+sin x)/cos x=1/cos x8.y=cotx=cosx/sinxy’=[(cosx)’sinx-cosx(sinx)’]/sin x=-1/sin x9.y=arcsinxx=sinyx’=cosyy’=1/x’=1/cosy=1/√1-sin y=1/√1-x10.y=arccosxx=cosyx’=-sinyy’=1/x’=-1/siny=-1/√1-cos y=-1/√1-x11.y=arctanxx=tanyx’=1/cos yy’=1/x’=cos y=1/sec y=1/1+tan x=1/1+x12.y=arccotxx=cotyx’=-1/sin yy’=1/x’=-sin y=-1/csc y=-1/1+cot y=-1/1+x另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与4.y=u土v,y’=u’土v’5.y=uv,y=u’v+uv’均能较快捷地求得结果。
高二数学导数的概念导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正.一、教材分析1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效.1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.1.3 教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表：表表2. 知识迁移类比（导数像速度）通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法.1.4 重、难点剖析重点：导数的概念的形成过程. 难点：对导数概念的理解.为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f (x )在点x 0可导→f (x )在开区间（a ，b ）内可导→f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f (x )在点x 0处的导数是这一点x 0到x 0+△x 的变化率xy∆∆的极限，是一个常数，区别于导函数. （2）f (x )的导数是对开区间内任意点x 而言，是x 到x +△x 的变化率xy∆∆的极限,是f (x )在任意点的变化率，其中渗透了函数思想. （3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义f (x )在x 0处可导、再定义f (x )在开区间（a ，b ）内可导、最后定义f (x )在开区间的导函数. （4）y = f (x )在x 0处的导数就是导函数)(x f '在x =x 0处的函数值，表示为0|x x y ='这也是求f ′(x 0)的一种方法.初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个关键词．．．．．的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f (x )在点x 0可导”、“f (x )在开区间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好方法就是类比！用“速度与导数”进行类比.二、目的分析2.1 学生的认知特点. 在知识方面，对函数的极限已经熟悉，加上两个具体背景的学习，新知教学有很好的基础；在技能方面，高三学生，有很强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度.2.2 教学目标的拟定. 鉴于这些特点,并结合教学大纲的要求以及对教材的分析,拟定如下的教学目标:知识目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.③领悟函数思想和无限逼近的极限思想.能力目标：①培养学生归纳、抽象和概括的能力.②培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.情感目标：通过导数概念的学习，使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点.接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度.三、过程分析设计理念：遵循特殊到一般的认知规律，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成,发展和应用过程，帮助学生主动建构概念.3.1 引导激趣设计意图：创设情景，提出课题.演示曲线的割线变切线的动态过程，为学生提供一个联想的“源”，从变量分析的角度，巧妙设问，把学习任务转移给学生.问题：割线的变化过程中， ①△x 与△y 有什么变化？②xy ∆∆有什么含义？③x y∆∆在△x →0时是否存在极限？3.2 概括抽象设计意图：回顾实际问题，抽象共同特征，自然提出：f (x )在x 0处可导的定义．．，完成“导 数”概念的第一层次.曲线的切线的斜率 抽象⇓舍去问题的具体含义归结为一种形式相同的极限0limx yx∆→∆∆ 即f ′(x 0)= 0lim x yx ∆→∆∆=0000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆（在黑板上清晰完整的板书定义，并要求学生表述、书写，以培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.）3.3 互动导标设计意图：设置两个探究问题，分析不同结果的原因，并引导学生提出新的问题或猜想，鼓励学生进行数学交流，激发学生进一步探究的热情，从而找到推进解决问题的线索——提出：f (x )在开区间（a ，b ）内可导的定义，完成“导数概念”的第二个层次..①研究：函数y =2x +5在下列各点的变化率：（1）x =1，（2）x =2，（3）x =3 ②研究：函数y =x 2在下列各点的变化率： （1）x =1，（2）x =2，（3）x =3定义：函数f (x )在开区间．．(a ，b )内每一点可导．．．．．．，就说f (x )在开区间．．．．(a ，b )内可导．．．. 3.4 类比拓展设计意图：回顾“瞬时速度的概念”，渗透类比思想和函数思想．．．．．．．．．．．.让学生产生联想，拓展出：f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数的定义，完成“导数”概念的第三层次. 已有认知：物体在时刻t 0的速度： 00000()()limlim .t t s t t s t sv t t∆→∆→+∆-∆==∆∆物体在时刻t 的速度．． 00()()lim lim .t t s s t t s t v t t∆→∆→∆+∆-==∆∆新认知：函数f (x )在开区间．．(a ，b )内每一点可导．．．．．．，就说f (x )在开区间．．．．(a ，b )内可导．．．. ⇓点拨：映射→函数对于（a ，b ）内每一个确定的值x 0，对应着一个确定的导数值)(0x f '，这样就在开区间（a ，b ）内构成一个新函数⇓导函数（导数）00()()()limlim x x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-''===∆∆3.5 概念导析设计意图：引导学生用辨析和讨论的方式，反思导数概念的实质，从而突破难点，促成学生形成合理的认知结构.辨析：（1）f ′(x 0)与0(())f x '相等吗？（2）000(2)()limx f x x f x x∆→+∆-∆与f ′(x 0) 相等吗？试讨论:f ′(x 0)与)(x f '区别与联系.反思：“f (x )在点x 0处的导数”，“f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数”和“导数”之间的区别和联系.板书：导数概念主体结构示意图f (x )在点x 0处可导↓f (x )在开区间（a ，b ）内可导↓f (x )在开区间（a ，b ）内的导函数↓ 导数3.6 回归体验——体现“导数”的应用价值设计意图：通过随堂提问和讨论例题，增强师生互动，让学生在 “做”中“学”，体验求导的结果表示的实际意义，体验导数运算的作用,体会用导数定义求导的两种方法,产生认可和接受“导数”的积极态度,并养成规范使用数学符号的习惯.想一想：（1）导数的本质是什么？你能用今天学过的方法去解决上次课的问题吗？（第109页练习1、2，第111页练习1、2）有什么感想？（2）“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质都是什么？怎样表示？ k =00|)(x x y x f ='='或k =)(x f ' v 0＝00|)(t t s t s ='=' 或 v =)('t s（3）导数还可以解决实际生活中那些问题？你能举例说明吗？例题A 组：①已知S =πr 2，求rS ' ②已知V =34π3R ，求RV ' ③已知y =x 2+3x 求（1）y '；(2) 求y '︱x =2 例题B 组：④已知y =，求y '，并思考y '的定义域与函数在开区间可导的意义3.7引导小结设计意图：引导学生进行自我小结，用联系的观点将新学内容在知识结构、思想方法等 方面进行概括，巩固新知，形成新的认知结构.知识结构：（1）导数的概念（语言表达；符号表示；“f (x )在点x 0处的导数”，“导函数”和“导数” 之间的联系和区别.）；（2）主要数学思想：极限思想、函数思想； （3）用定义求导的方法，步骤； （4）导数的作用.3.8分层作业设计意图：注意双基训练与发展能力相结合,设计递进式分层作业以满足不同学生的多样化学习需求，使他们得到最全面的发展.把教材的第112页的关于“可导必连续”的命题调整为选做题既不影响主体知识建构,又能满足学生的进一步的探究需求.必 做 题:1.教材第114页，第2，3，4题. 2．若f ′(x 0)=a ， （1）求0000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆的值.（2）求000()()limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值.思 考 题：1.已知y =x 3求 （1）y '；（2）y '︱x =0；（3）求曲线在（0，0）处的切线方程. 2.讨论y =|x |在x =0处是否可导？ 选 做 题：求证：如果函数y =f (x )在x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续. 四、教法分析依据：循序渐进原则和可接受原则.设计理念:把教学看作是一个由教师的“导”、学生的“学”及其教学过程中的“悟”为三个子系统组成的多要素的和谐整体.教法：支架式过程法，即：a ×b =学习a ：教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架，把学习的任务转移给学生.b ：学生接受任务，探究问题，完成任务.a ×b ：以问题为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、揭示和探究，组织和推动教学.图3：a ×b =“导”×（“学”+“悟”）=“教”ד学”=学习 图4：“学”接 受诱 组 推 探 导 织 动 究 | |激 完 励 成可接受原则 认知规律4.1 “导” ——引导学生用变量观点去认识△x ，△y和xy ∆∆, ——引导学生用函数的思想去认识f ′(x 0)向 f ′(x )拓展的过程. ——引导学生联系的观点弄清导数概念之间的区别和联系 “学”——通过具体的导数背景提出问题．．．．. ——通过类比、联想分析问题．．．．. ——通过交流，体验，反思解决问题．．．．“悟”——通过教师的“导”，学生的“学”，“悟”出导数的本质.4.2 借助多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化，向学生渗透无限逼近的极限思想，为抽象出导数的概念作必要的准备.4.3 板书设计§3.1.3 导数的概念（主线）1. 定义：函数y=f(x)在x 0处可导 ①研究②研究辨析2. 定义：函数y=f(x)在（a ，b ）可导 例题A 组： 例题B 组：3. 定义：函数y=f(x)在（a ，b ）内的导函数（导数）4. 区别与联系5. 用导数的定义求f(x)在（a，b）内的导数的方法比较与鉴别6. 小结（知识，方法，思想）区别与联系作业五、评价分析评价模式：围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性评价为辅，采取及时点评、延时点评与学生自评三结合.既充分肯定学生的思维，赞扬学生的思路，激励学生的思辨，又必须以科学的态度引导学生服从理性，追求真理.主要手段：1．通过“概念导析”，“回归与体验”，进行点评和互评，考察学生对“导数概念”及“导数运算”的掌握情况；考察学生归纳，抽象和概括的能力是否形成，并进行有争对性的及时调整和补充.2．通过引导小结情况，考察学生是否突破了难点,及时调整“问题”导向.3．通过分层作业的完成情况，考察的总体知识结构的同化过程是否完成；通过B组例题和思考题的完成情况，考察学生的数学符号表示和解决实际问题的能力是否形成.调整和补充下一课时的教程.对选做题的完成情况，主要评价优生的个体发展情形.这就是我对这一课时的理解、涉及观点和方法，可能有不当之处，敬请各位专家批评与斧正，谢谢大家！几点说明.本次说课有如下几个基本的特点.1．“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.对学生学习与发展的关系作了认真思考.强调学生的“经历”，“体会”，“感受”的过程学习；从学生的发展出发，通过对学生的“情感”，“态度”，“理性精神”的关注与培养，来优化学生的思维品质.在作业设计方面尽量满足多样化的学习需求.2．在难点的突破上采取了有效的分解策略．．．．．．．.2.1．通过对学生已有的认知结构和学生最近发展区的剖析，充分利用挖掘教材的背景材料，找准了“瞬时速度”与“导函数”，“速度”与“导数”的类比，为学生对导数的理解创设了先机，打开学生从．．．．．情感上认可和接受．．．.．．”．的通道．．．．．．．．“．导数2.2．对导数概念中的几个“重要的关键词．．．．．．”的理解作了恰当的引导和作了精准的导析，搞清它们之间的区别和联系，才能使学生真正的理解“导数”，为学生同化“导数的概念”指明了方向.2.3．在过程分析中设计了“回归体验”，强调注重学生对新知的体验，突出了导数的应用价值，有利于实现情感目标，加快了学生同化概念的进程.2.4．在引导学生小结的过程中，考察学生是否突破了难点，以便进行及时的纠正和补充，分层作业中专门设计突破难点的习题，使突破难点得到了保证.3．形式和内容得到统一，具有很强的操作性.3.1．通过对教材内容、学生情况的分析，较好地解决了“教什么？”--设计中明确指出了知识、能力、情感方面的三维目标；选择了较为恰当的支架过程教法并设计了有操作性的，说出了“怎么教”的具体措施. 教师的组织者、引导者、合作者的身份没有动摇学生的主体地位，更没有否定学生智力发展需要有意识的培养.既不高估学生的理解力，也不抹杀学生所具有创造性.3.2．在教学的第一环节借助了多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化，向学生渗．透极限思想．．．．．，为抽象出导数的概念做了积极的准备，这是传统的黑板和粉笔难以做到的.二OO六年九月湖北利川。
