排列组合典型例题
典型例题一
例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？
分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：
如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是
2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．
如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．
如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．
解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3
A个；
9
当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，
则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有2
8181
4
A A A ⋅⋅（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有
2296
179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个．
解法2：当个位数上排“0”时，同解一有3
9
A
个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：)
(28391
4
A A A -⋅个
∴ 没有重复数字的四位偶数有
2296
1792504)(28391439=+=-⋅+A A A A 个．
解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有
2
81
515A A A ⋅⋅个
干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有
2
81414A A A ⋅⋅个
∴ 没有重复数字的四位偶数有
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有6
6
A 种不
同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33
A 对种不同的排法，因此共有4320
3366
=⋅A A
种
不同的排法．
（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有5
5
A 种不同排法，对于其中任
意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有3
6
A 种方法，因此共有14400
3655
=⋅A A
种
不同的排法．
（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，
有25
A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，
其余六位都有66
A 种排法，所以共有14400
6625=⋅A A
种不
同的排法．
解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有8
8
A 种不同的排法，从中扣除女生排在首
位的77
13A A
⋅种排法和女生排在末位的77
13A A
⋅种排法，
但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有66
2
3A A
⋅种不同的排法，所以共有
14400
26623771388=+-A A A A A 种不同的排法．
解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有36
A 种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有
5
5A 种不同的排法，所以共有14400
553
6=⋅A A
种不同的排
法，
（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有77
15A A
⋅种不同的排法；如果首位排
女生，有1
3
A 种排法，这时末位就只能排男生，有15
A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余
6位都有66
A 种不同的排法，这样可有66
1513
A A A ⋅⋅种不
同排法．因此共有36000
6615137715=⋅⋅+⋅A A A A A 种不同的排
法．
解法2：3个女生和5个男生排成一排有8
8
A 种排法，从中扣去两端都是女生排法66
2
3A A ⋅种，就能
得到两端不都是女生的排法种数． 因此共有36000
6
62388
=⋅-A A A
种不同的排法．
说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．
若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件． 若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．
间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快．
捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．
典型例题三
