排列组合典型例题(课堂PPT)

(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
简定易辅理导 1:
C C m
nm
n
n
1
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
证明:
Cmn
Cm1 n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表示组数。
简易辅导
5
点拨提高
一、均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
142C
84C
4 4
A
3 3
12! 8! 1 5775
4!·8! 4!·4! 3!
解:（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个， 然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，
每班至少一个.由（1）可知共有 C62 种15分法
注：第一小题也可以先给每个班一个指标，
然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两
个班、三个班、四个班进行分类，共有
C61
3C62
3C63
C 4
简易6辅导
126
种分法. 18
C
2 4
C
2 2
=90
简易辅导
7
三、部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五 个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列

邻, 共有多少种不同的排法.
解：要可求先将某甲几乙个两元元素素必捆须绑排成整在体一并起看的成问题,
一个复合元素，同时丙丁也看成一个
可以复用合捆元绑素法，来再解与决其问它元题素.即进将行排需列要，相
邻的同元时素对合相并邻为元一素个内元部进素行,再自与排。其它元 素一起作排列甲,同乙时要丙注丁意合并元素内
取出的4点不共面情形复杂，故采用间接 法。取出的4点共面有三类：
（1）过四面体的一个面有4C64 种；
（2）过四面体的一条棱上的三个点和对棱
的中点的平面有6种；
（3）过四面体的四条棱的中点且与另两条棱平
行的平面有3种；
故取4个不共面的点有
C4 10
-
(4C64 + 6 + 3) = 141
练习8
以一个正方体的顶点为顶点，能 组成多少个不同的四面体？
班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成
将n个在一相９排同个。的空相元档邻素中名分选额６成之个间m份位形（置成n插９，个个m隔空为板隙正，。 整数）可,把每名份额至分少成一７份个，元对素应,可地分以给用７m-个
11块个隔空班共板隙级有， 中，__插 ，每__入 所一_C_有n种_96个_分插__元板_法种素方数分排法为法成对。一应Cn一m排--11种的分n-法
解： ( CA52C22 32 ).A33 90
分配问题
练习2：
隔板法
（1）7个相同的小球，任意放入4个不 同的盒子中，共有多少种不同的方法？
解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份
解：小球数 隔板数 7 3 10 共有不同方法数C130
分配问题
隔板法
练习（2： 2）7个相同的小球，任意放入4个 不同的盒子中，每个盒子至少有1个 小球的不同放法有多少种？

例2 求证:
(1 )C m n 1 C m n 1 C m n 1 C m n 1 1 ;
(2 )C m n 1 C m n 1 2 C m n C m n 2 1 .
( 2)
Cm1 n

Cm1 n

2Cmn
(1) (Cmn C1 mnC1 mn )Cmn(1CmnCmnC11 mn 1)
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac
你发现a了dc cda dca 什么b?cd cbd dbc
bdc cdb dcb
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
A 求3可 分 两 步 考 虑 ：
求4P
3 4
可分两步考虑：
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
A 第 二 步 ，3（ 6 ） 个 ； 3
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
的组合数 C
m n
．
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数A
m n
．
根据分步计数原理，得到： AnmCnmAm m
因此：C n mA A m n m mnn 1 n2 m !nm 1
这里m、nN，*且 mn，这个公式叫做组合
数公式．
概念讲解 从 n 个不同元中取出m个元素的排列数

(1)从三个口袋里任取一个小球有多少中不同 的取法?
(2)从三个口袋里各取一个小球有多少中不同 的取法?
例2.判断下列问题是排列问题,还是组合问题?
(1)从某小组10 (2)从某小组10
个人中选一名正 个人中,选两名
组长和一名副组 代表参加年级的
长共有多少种不 学生代表会 .共
同的选法?
有多少种不同的
练习一
6名同学排成一排,其中甲乙两人必须排在一
起的不同排法有( c )种.
(A) 720 (B) 360 (C) 240 (D) 120
例4.a,b,c,d,e,f共6人站成一行, (1)a站在排头,有多少种站法？ (2)a不站在排头也不站在排尾,有多少种站法？ (3)a 站在排头b不站在排尾,有多少种站法？
(2)弄清问题的限制条件确定特殊元素特 殊位置,考虑
(3)平面内有10个点,无任 (4)平面内有10个点,无任
何3点共线,由这些点可连 何3点共线,由这些点可连
射线多少条?
直线多少条?
例3.有a,b,c,d,e,f,g,h8个不同的元素排成 一列,
(1)其中a,b必须排在一起,有多少种排法?
(2)其中a,b不能排在一起,有多少种排法?
(3)其中a,b,c3个元素要排在一起,另外e,f不 能排在一起,有多少种排法?
ab c
a eb
f
e
ab
a
b
c ba
f
点评:一般地,要求某些元素必须排在一起的 排列问题,通常称为相邻问题,解这类题的基本 方法是:先将要求连排的特殊元素看作与其余 一般元素等同的一个元素,然后再考虑特殊元 素的内部排列.我们称为“捆绑法”或“合一 法”.
要求某些元素中任何两个不能排列在一 起的排列问题,通常称为不相邻问题.解这类问 题的基本方法是:先将一般元素按要求排列, 然后将要求间隔排的特殊元素插入可“占取” 的空格中通常称这种方法为“插入法”.