下载文档原格式
§4.3 共同本征函数 1、测不准关系的严格证明在算符Aˆ的本征态中测量力学量A ，可以得到确定值，并不出现涨落。
如果测量B ，则不一定能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定≥∆⋅∆p x对于比较普遍的情况，设有Aˆ，B ˆ两个力学量，令A A A -=∆ˆˆ，B B B -=∆ˆˆ， （注意在经典力学中A A A -=∆）因为Aˆ，B ˆ是厄米算符，所以A ˆ∆，B ˆ∆也是厄米算符。
考虑积分⎰≥∆-∆=0d |)ˆˆ(|)(2τψξξB i AI ，ξ为实数，积分区间取为整个空间。
展开上式，有⎰⎰⎰⎰∆∆+∆∆-∆∆-∆∆=∆-∆∆-∆=τψψτψψψψξτψψξτψψξψψξξd )ˆ(ˆd ]ˆ)ˆ()ˆ(ˆ[d ˆ(ˆ(d ]ˆˆ[ˆˆ()(****2**BB B A A B i A A B i A B i A I ）（）（）（）））（）（）因为Aˆ∆，B ˆ∆均是厄米算符，所以有 ⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I （利用了厄米性）而A B B A A A B B B B A A A B B Aˆˆˆˆ)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(ˆˆˆˆ-=-----=∆∆-∆∆ 对⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I ，则 0ˆ)ˆˆˆˆ()ˆ()(222≥∆+--∆=）（B A B B A i A I ξξξ令K i A B B Aˆˆˆˆˆ=-，则 0ˆˆ)ˆ(222≥∆++∆）（B K A ξξ这是有关实参数的一元二次方程。
其有解的条件可由判别式给出，即4)ˆ()ˆ(222K B A ≥∆∆，简记为2||ˆˆK B A≥∆⋅∆，或|]ˆˆ[|21ˆˆB A B A ，≥∆⋅∆ 这就是测不准关系。
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
§4.3 共同本征函数 1、测不准关系的严格证明在算符Aˆ的本征态中测量力学量A ，可以得到确定值，并不出现涨落。
如果测量B ，则不一定能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定≥∆⋅∆p x对于比较普遍的情况，设有Aˆ，B ˆ两个力学量，令A A A -=∆ˆˆ，B B B -=∆ˆˆ， （注意在经典力学中A A A -=∆）因为Aˆ，B ˆ是厄米算符，所以A ˆ∆，B ˆ∆也是厄米算符。
考虑积分⎰≥∆-∆=0d |)ˆˆ(|)(2τψξξB i AI ，ξ为实数，积分区间取为整个空间。
展开上式，有⎰⎰⎰⎰∆∆+∆∆-∆∆-∆∆=∆-∆∆-∆=τψψτψψψψξτψψξτψψξψψξξd )ˆ(ˆd ]ˆ)ˆ()ˆ(ˆ[d ˆ(ˆ(d ]ˆˆ[ˆˆ()(****2**BB B A A B i A A B i A B i A I ）（）（）（）））（）（）因为Aˆ∆，B ˆ∆均是厄米算符，所以有 ⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（BA B B A i A I （利用了厄米性）而A B B A A A B B B B A A A B B Aˆˆˆˆ)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(ˆˆˆˆ-=-----=∆∆-∆∆ 对⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I ，则 0ˆ)ˆˆˆˆ()ˆ()(222≥∆+--∆=）（B A B B A i A I ξξξ令K i A B B Aˆˆˆˆˆ=-，则 0ˆˆ)ˆ(222≥∆++∆）（B K A ξξ这是有关实参数的一元二次方程。
其有解的条件可由判别式给出，即4)ˆ()ˆ(222K B A≥∆∆，简记为2||ˆˆK B A ≥∆⋅∆，或|]ˆˆ[|21ˆˆB A B A ，≥∆⋅∆ 这就是测不准关系。
简并情况下两个对易算符的共同本征函数
系的简单求解方法
简单求解两个对易算符的共同本征函数系是数学中一个重要的应用问题，也是量子力学和理论物理学中的一个重要研究课题。
本文将介绍两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法。
首先，要求解两个对易算符的共同本征函数系，需要先搞清楚每个易算符的本征函数是什么。
本征函数是一个线性无关的函数，它的变量不会受到线性变换的影响，而且它的值是这个函数的常数。
因此，在求解两个对易算符的共同本征函数系之前，需要先求解每个易算符的本征函数。
其次，要简单求解两个对易算符的共同本征函数系，需要采用变分法。
变分法可以将复杂的解析问题转换为简单的数值问题，从而使问题变得更容易求解。
需要注意的是，在采用变分法求解两个对易算符的共同本征函数系时，需要考虑到每个易算符的本征函数的变化率，以及其他相关变量的变化率。
最后，要求解两个对易算符的共同本征函数系，还可以采用矩阵方法。
矩阵方法是一种基于矩阵的技术，它可以将复杂的解析问题转换为简单的数值问题。
在采用矩阵方法求解两个对易算符的共同本征函数系时，需要构造一个矩阵，该矩阵包含了各个易算符的本征函数，以及其他相关变量。
总而言之，两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法主要有变分法和矩阵方法，在求解这一问题之前还需要先求解每个易算符的本征函数。
不管采用哪种方法，都需要考虑到各个变量的变化率，以便得到准确的结果。
第三章 力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。
用波函数描述粒子的运动状态。
本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。
§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称在量子力学中。
微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。
在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。
一般说来。
当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ 描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。
