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专题研究排列组合的综合应用1.（2017 •湖北宜昌一中月考）从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有（ ）A . 18 种 B. 30 种 C. 45 种 D. 84 种答案 C解析 分两步：先从 & 9、10这三个数中选取一个数作最大的数有C 31种方法；再从1、2、3、4、5、6这六个数中选取两个比7小的数有C o 2种方法，故共有C 31C 62= 45种情况，应选择 C.2 •将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排 2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为 （ ）A . 10 B. 20 C. 30 答案 B解析 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排 2名学生，那么必然是一个宿舍 2名，而另一个宿舍3名，共有G 3G 2X 2 = 20（种），故选B.3 . （2018 •广东省实验中学月考 ）甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员 2名、1名、1名，现从10名 应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有 （ ）A . 1 260 种 B. 2 025 种 C . 2 520 种 D. 5 040 种答案 C解析 先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的 8人中选2人去乙、丙两个部门，有 C 102A 82= 2 520种不同的招聘方法.4 . （2017 •课标全国H,理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A . 12 种B. 18 种 D. 36 种答案 D的安排方式共有 6X 6= 36（种）.5 .将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放 2个，其中标号为1, 2 的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有 （ ）A . 12 种 B. 16 种 C . 18 种 D. 36 种答案 C1D. 40解析 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由 1人完成，所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组，即2, 1,1，有C 42C 21C 1A=6种，再分配给 3个人，有A 3= 6种，所以不同解析可先分组再排列，所以有= 18（种）放法.6. （2017 •安徽毛坦厂中学阶段测试）6名志愿者（其中4名男生，2名女生）义务参加宣传活动，他们自由分 成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多 A . 40 种 C. 60 种 答案 B解析 4, 2 分法：A 22(C 64- 1) = 14X 2= 28,3, 3 分法：C 3C 3= 20,「.共有 48 种.7•某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需 要进行比赛的场数为（）—2—2—2 —2—2—2A . C 6 C 5 C 8 B. G + C 5 + C 8 2 2 2 2C. A 6 A 5A 8D. C 19答案 B解析 依题意，高一比赛有 C 62场，高二比赛有 G 2场，高三比赛有C 82场，由分类计数原理，得共需要进行比2 2 2赛的场数为C s + C 5 + G ，选B.8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到 同一个班，则不同分法的种数为 （ ）A . 18 B. 24 C . 30 D. 36答案 C解析 排除法.先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有 C 2= 6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A 3= 6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有 A 3= 6种，所以共有 G 2A 3- A 33= 30种分法.故选C.9 . （2018 •西安五校）某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名 教师，则不同的分配方法有 （ ）A . 80 种 B. 90 种 C . 120 种 D. 150 种答案 D解析 有二类情况：（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有 C53A33 = 60（种）；（2）其中一1C 423所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有X A 3 = 90（种）.•••共有150种.故选D.10 . （2017 •河北唐山一中模拟）中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了 50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有（ ）99A . G1 B. C 384人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有 （B. 48 种 D. 68 种D. C 399答案 D解析 首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下 40台；将剩下的40台象排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空.对这39个空进行插空（隔板），比如说用C.9个隔板隔开，就可以隔成 10部分了 •所以是在 39个空里选9个空插入隔板，所以是C 399.11 •某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得-30分；选乙题答对得10分，答错得-10分•若4位同学的总分为0,则这4位 同学不同得分情况的种数是 （ ）A . 24 B. 36 C. 40 D. 44答案 D解析 分以下四种情况讨论：（1）两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一 个答对一个答错，此时共有C 2X 2X 2= 24（种）;（2）四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有 &C 2= 12（种）情况；（3） —人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有 C 41= 4（种）情况；（4） 一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对， 此时有C 41= 4（种）情况.综上所述，共有24+ 12 + 4+ 4= 44（种）不同的情况.故选 D.12. （2017 •湖南衡阳八中期末）有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加 两项，每项活动最多安排 4人，则不同的安排方法有 ___________ 种（用数字作答）. 答案 50解析 因为每项活动最多安排 4人，所以可以有三种安排方法，即 （4 , 2） , （3 , 3） , （2 , 4）.当安排4,2时，需要选出4个人参加第一个项目，共有C 64= 15种；当安排3, 3时，共有Q 3= 20种；当安排2, 4时，共有C 62= 15种，所以共有15+ 20+ 15= 50种. 13.（2017 •山东聊城重点高中联考 ）三位老师分配到 4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去 2个人，则不同的分配方法有 _________ 种. 答案 60解析 若每个村去一个人，则有A 3= 24种分配方法；若有一个村去两人，另一个村去一人，则有C 31A 42= 36种分配方法，所以共有 60种不同的分配方法.14. 某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中 学生A 不分配到甲班的分配方案种数是 ___________ . 答案 100解析 A 的分配方案有2种，若A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班112配到另外两个班级， 分配方法种数是 C4GA = 24；若A 分配到的班级再分配两名学生， 则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C 42A 22= 12.故总数为2X （14 + 24 + 12） = 100.15. （2017 •北京海淀区二模）某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10级，分配方法种数是 (C 43+ C 42C 2222= 14 ;若A 分配到的班级再分配一名学生，则把剩余的三名学生分组后分辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有_________ 种不同的抽调方法.答案84解析方法一：（分类法），在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分成三类：一类是从某 1 个车队抽调3辆，有C71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A72种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C种.故共有C71+ A72+ C73= 84（种）抽调方法.经典教育资源方法二：（隔板法），由于每个车队的车辆均多于__4辆，只需将10个份额分成 7份.可将10个小球排成一排， 在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成 7份，故共有C b 6= 84（种）抽调方法.16. （2017 •安徽皖北协作区联考）3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘 1人（4名大学毕业生不一定都能选聘上），则不同的选聘方法种数为 ____________ .（用具体数字作答） 答案 60C 41C 3133C 41G 1 3解析 当4名大学毕业生全选时有 p -A a 3,当选3名大学毕业生时有 A 3,即不同的选聘方法种数为 十心A c A 2+ A 3= 60.17. （2017 •人大附中期末）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 __________ 种（用数字作答）. 答案 60解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按2张，1张分给4个人中的2个人，种数为 G 2C 1A 2= 36;另一种将33张有奖的奖券分给 4个人中的3个人，种数为A 4 = 24，则获奖情况总共有 36 + 24 = 60种. 备选题| 1 . （2017 •安徽毛坦厂中学月考）今年，我校迎来了安徽师范大学数学系5名实习教师，若将这 5名实习教师分配到高一年级的 3个班实习，每班至少 1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）A . 180 种 B. 120 种 C. 90 种 答案 C3个班实习，每班至少一名，最多 2名，则将5名教师分成三组, 配方案•故选C.2 .计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在 4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2个的安排方案共有（）A . 60 种 B. 42 种 C. 36 种 D. 24 种答案 A3解析 若3个项目分别安排在3个不同的场馆，则安排方案共有 A 4 = 24（种）；若有两个项目安排在同一个场 馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有 A 2= 36（种）.综上，在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有 24 + 36= 60（种）.故选A.3.某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分 配方案种数为（）A . 144B. 72一组1个，另两组都是 2人，有 C 51 •C 42A 15（种）方法.再将3组分到3个班，共有15 • A 3= 90（种）不同的分D. 60 种解析 将5名实习教师分配到高一年级的C. 36D. 48答案CG C2 G解析 分两步完成：第一步将 4名调研员按2, 1, 1分成三组，其分法有 --7 -种；第二步将分好的三组分AA . 10 C . 30 答案 B解析 因为工程丙完成后立即进行工程丁，若不考虑与其他工程的顺序，则安排这6项工程的不同方法数为A 55,对于甲、乙、丙、丁所处位置的任意排列有且只有一种情况符合要求，因此，符合条件的安排方法总数 为戸=5X 4= 20. A 36 . （2018 •诸暨一模）在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别，同时为了方便接待，现将其中的 五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国的人员要在 a , b , c 三家酒店各选择一家，且每家酒店至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有 （ ）A . 96 种 B. 124 种 C . 130 种D. 150 种答案 D配到3个学校，其分法有 A 种•所以满足条件的分配方案有2 1 1C 4 C 2 C3X A 3 = 36(种)•4 . （2018 •衡水中学调研卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有A . 10 种 B. 20 种 C. 36 种D. 52 种答案 ACi C 2 1 3解析 将4个小球分2组，①〒-=3种；②GG= 4种.①中的这A 3种分组方法任意放均满足条件，•••3 X 2A = 6种放法. ②中的4种分组方法各只对应 1种放法.故总种数为6 + 4 = 10 种.5.某工程队有 6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完 成后才能进行, 工程丁必须在工程丙完成后立即进行.则安排这6项工程的不同方法总数为 （B. 20D. 40解析可以把五个参会国的人员分成三组，一种是按照1, 1 , 3分；另3分时，共有G3A3= 60种方法；当按照 1 , 2, 2分时，共有G2G2A3A22=90种方法.根据分类加法计数原理可得安排方法共有60 + 90= 150种.。
题组层级快练(八十八)1．下列函数是正态密度函数的是(μ、σ(σ＞0)都是实数)( ) A ．f(x)＝12πσe（x －μ）22σ2B ．f(x)＝2π2πe －x 22C ．f(x)＝12 2πe －x －σ4D ．f(x)＝－12πe x22答案 B解析 A 中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C 中的函数无对称轴，D 中的函数图像在x 轴下方，所以选B.2．(2018·甘肃河西五市联考)设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>2)＝p ，即P(－2<ξ<0)＝( ) A.12＋p B ．1－p C.12－p D ．1－2p答案 C解析 由对称性知P(ξ≤－2)＝p ，所以P(－2<ξ<0)＝1－2p 2＝12－p.3．(2017·广东佛山一模)已知随机变量X 服从正态分布N(3，1)，且P(2≤ξ≤4)＝0.682 6，则P(ξ>4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6 D ．0.158 5 答案 B解析 由正态曲线性质知，其图像关于直线x ＝3对称， ∴P (ξ>4)＝1－P （2≤ξ≤4）2＝0.5－12×0.682 6＝0.158 7，故选B.4．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P (ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.954 B ．0.977 C ．0.488 D ．0.477 答案 A解析 P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954.5．(2017·南昌调研)某单位1 000名青年职员的体重x(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5 kg 属于正常，则这1 000名青年职员中体重属于正常的人数约是( )A ．683B ．841C ．341D ．667答案 A解析 ∵P(58.5<X<62.5)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，∴体重正常的人数约为1 000×0.683＝683人．6．(2018·江西八所重点中学联考)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8，则落在(0，80)内的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2答案 B解析 ∵ξ服从正态分布N(100，σ2)，∴曲线的对称轴是直线μ＝100，∵ξ在(80，120)内取值的概率为0.8，ξ在(0，100)内取值的概率为0.5， ∴ξ在(0，80)内取值的概率为0.5－0.4＝0.1.故选B.7．(2017·河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( ) A ．0.3% B ．0.23% C ．1.5% D ．0.15%答案 D解析 依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92，140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1－99.7%2＝0.15%.故选D.8．(2018·云南大理统测)2016年1月某高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X ～N(100，σ2)(试卷满分150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为( )A ．80B ．100C ．120D ．200 答案 D解析 正态曲线的对称轴为X ＝100，根据其对称性可知，成绩不低于120分的学生人数约为1 600×(1－34)×12＝200.9．如果随机变量X ～N(μ，σ2)，且E(X)＝3，D(X)＝1，则P(0<X<1)等于( ) A ．0.210 B ．0.003 C ．0.681 D ．0.021 5答案 D解析 X ～N(3，12)，因为0<X<1，所以P(0<X<1)＝0.997 4－0.954 42＝0.021 5.10．(2017·皖南十校联考)在某市2017年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( ) A ．1 500 B ．1 700 C ．4 500 D ．8 000 答案 A解析 因为学生的数学成绩X ～N(98，100)，所以P(X ≥108)＝12[1－P(88<X<108)]＝12[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.158 7×9450≈1 500名，故选A.11.如图所示，随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________． 答案 0.7解析 由题意可知，正态分布的图像关于直线x ＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，又P (0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P (ξ<2)＝0.7.12．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人． 答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N(100，σ2)，作出正态分布图像，可以看出，图像关于直线x ＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝13；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)．又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16，∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．13．(2017·河北唐山二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8 kg 的概率为________．(精确到0.000 1) 注：P(μ－σ<x ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝0.954 4， P (μ－3σ<x ≤μ＋3σ)＝0.997 4 答案 0.022 8解析 因为袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10，0.12)，所以P(ξ<9.8)＝12[1－P(9.8<ξ<10.2)]＝12[1－P(10－2×0.1<ξ<10＋2×0.1)]＝12(1－0.954 4)＝0.022 8.14．已知随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)＝12πe－（x －1）22(x ∈R )的图像，若⎠⎛01f （x ）dx ＝13，则P(X<0)＝________． 答案 16解析 因为正态分布密度曲线为函数f(x)＝12πe－（x －1）22(x ∈R )的图像，所以总体的期望μ＝1，标准差σ＝1，故函数f(x)的图像关于直线x ＝1对称．又⎠⎛01f(x)dx ＝13＝P(0<X<1)，所以P(X<0)＝12－P(0<X<1)＝16.15．(2018·江西南昌一模)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)． 答案 (1)0.024 (2)E(ξ)＝1.2解析 (1)由题知，P(80≤X<85)＝12－P(X<75)＝0.2，P(85≤X<95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P ＝A 33×0.2×0.2×0.1＝0.024. (2)P(75≤X ≤85) ＝1－2P(X<75)＝0.4， 所以ξ服从二项分布B(3，0.4)， P (ξ＝0)＝0.63＝0.216， P (ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432， P (ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288， P (ξ＝3)＝0.43＝0.064.所以随机变量ξ的分布列为E(ξ)＝3×0.4＝1.2.16．(2018·广东三校联考)某市在2017年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10 000名学生的成绩服从正态分布N(120，25)．现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估计该校数学成绩的平均分数；(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的分布列和期望． 附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 4. 答案 (1)112 (2)E(X)＝1.2解析 (1)由频率分布直方图可知[125，135)的频率为1－(0.010×10＋0.024×10＋0.030×10＋0.016×10＋0.008×10)＝0.12.所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112. (2)由于1310 000＝0.001 3，根据正态分布得P(120－3×5<X<120＋3×5)＝0.997 4. 故P(X ≥135)＝1－0.997 42＝0.001 3，即0.001 3×10 000＝13.所以前13名的成绩全部在135分以上．根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125，145]的学生有50×(0.12＋0.08)＝10. 所以X 的取值为0，1，2，3.所以P(X ＝0)＝C 63C 103＝16，P(X ＝1)＝C 62C 41C 103＝12，P(X ＝2)＝C 61C 42C 103＝310，P(X ＝3)＝C 43C 103＝130.所以X 的分布列为E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.17．(2014·课标全国Ⅰ，理)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2. ①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)． 附：150≈12.2.若Z ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4. 答案 (1)x －＝200，s 2＝150 (2)①0.682 6 ②68.26解析 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N(200，150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.1．设随机变量X ～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(|x －μ|<3σ)将会( ) A ．单调增加 B ．单调减少 C ．保持不变 D ．增减不定答案 C解析 P(|x －μ|<3σ)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 4是一个常数．2．(2018·湖北襄阳四中周考)已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，P(0<X<4)＝0.8，则P(X>4)＝( ) A ．0.4 B ．0.2 C ．0.1 D ．0.05 答案 C解析 由于直线x ＝2是正态分布密度曲线的对称轴，因此P(X<0)＝P(X>4)＝12(1－0.8)＝0.1，故选C.3．某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X 服从正态分布N(75，121)(单位：分)，考生共有1 000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为(参考数据P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4)( ) A ．261 B ．341 C ．477 D ．683 答案 B解析 ∵X ～N(75，121)，∴μ＝75，σ＝11， 因为P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6， 所以P(64<X<86)＝0.682 6，又μ＝75，所以P(75<X<86)＝12P(64<X<86)＝12×0.682 6＝0.341 3，所以0.341 3×1 000≈341.即数学成绩在75分到86分之间的人数约为341，故选B.4．(2015·山东，理)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74% 答案 B解析 由已知μ＝0，σ＝3.所以P(3<ξ<6)＝12[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]＝12(95.44%－68.26%)＝12×27.18%＝13.59%.故选B. 5．把一条正态曲线C 1沿着横轴方向向右移动2个单位长度，得到一条新的曲线C 2，下列说法不正确的是( ) A ．曲线C 2仍是正态曲线B ．曲线C 1，C 2的最高点的纵坐标相等C ．以曲线C 2为正态曲线的总体的方差比以曲线C 1为正态曲线的总体的方差大2D ．以曲线C 2为正态曲线的总体的期望比以曲线C 1为正态曲线的总体的期望大2 答案 C解析 正态密度函数为f(x)＝12πσe －（x －μ）22σ2，正态曲线的对称轴x ＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ)＝12πσ.所以曲线C 1向右平移2个单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以期望值μ增大了2个单位长度．选项C 是错误的．6．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图像，且f(x)＝18πe －（x －10）28(x ∈R )，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( ) A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10答案 B解析 f(x)＝18πe －（x －10）28，所以σ＝2，μ＝10，即正态总的平均数与标准差分别为10与2.7．吉林大学的某系的大一(2)班共有55人，其中男生22人，女生33人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，女生抽取a 人．若随机变量ξ服从正态分布N(a ，σ2)，且P(ξ<2)＝0.3，则P(3<ξ<4)的值为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.6答案 A解析 用分层抽样，女生应抽取人数为33×555＝3，所以a ＝3.所以ξ服从正态分布N(3，σ2)，该正态曲线关于直线x ＝3对称．即P(ξ<2)＝0.3，所以P(ξ>4)＝0.3.方法一：所以P(3<ξ<4)＝12P (2<ξ<4)＝12(1－2×0.3)＝0.2.故选A.方法二：所以P(3<ξ<4)＝P(ξ>3)－P(ξ>4)＝0.5－0.3＝0.2.故选A.8．(2018·云南高三统考)某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N(90，σ2)．若分数在(70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为________． 答案 150解析 记考试成绩为ξ，则考试成绩的正态曲线关于直线ξ＝90对称．因为P(70<ξ≤110)＝0.7，所以P(ξ≤70)＝P(ξ>110)＝12×(1－0.7)＝0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1000×0.15＝150.9．(2017·沧州七校联考)2015年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆． 答案 180思路 首先根据题意确定正态分布的对称轴，利用正态曲线的对称性即可求得ξ>9的概率，利用概率来估计样本中满足条件的汽车数量．解析 由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35.而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．10．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14 2π. (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4，4]内的概率．答案 (1)φμ，σ(x)＝14 2πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞)(2)0.682 6解析 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图像关于y 轴对称，即μ＝0.由12πσ＝12π·4，得σ＝4.故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝14 2πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4＜ξ≤4)＝P(0－4＜ξ≤0＋4)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6.11．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝18 2π. (1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在72 mm ～88 mm 间的零件大约占总数的百分之几？ 答案 (1)φμ，σ(x)＝182πe －（x －80）2128(2)68.26%解析 (1)由于正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处取得最大值． 因此得μ＝80，12π·σ＝182π，所以σ＝8.故密度函数解析式是φμ，σ(x)＝182πe －（x －80）2128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88. 所以零件尺寸ξ位于区间(72，88)内的概率是0.682 6. 因此尺寸在72 mm ～88 mm 间的零件大约占总数的68.26%.12．某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A 箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B 箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B 箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金． (1)经统计，消费额X 服从正态分布N(150，625)，某天有1 000位顾客，请估计消费额X(单位：元)在区间(100，150]内并中奖的人数；(2)某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；(3)某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A 箱内摸奖机会；方法二：一次B 箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大． 附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4. 答案 (1)286 (2)略(3)这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．解析 (1)依题意得μ＝150，σ2＝625，得σ＝25，100＝μ－2σ，消费额X 在区间(100，150]内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6，人数约为1 000×P(μ－2σ<X ≤μ)＝1 000×0.954 42≈477，其中中奖的人数约为477×0.6≈286.(2)三位顾客每人一次A 箱内摸奖机会，且中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布B(3，35)， P(ξ＝k)＝C 3k (35)k ·(25)3－k ，k ＝0，1，2，3， ∴ξ的分布列为(3)A 箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5＋20×0.5＝35.方法一所得奖金的期望值为3×10.5＝31.5，方法二所得奖金的期望值为35，∴这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．13．(2018·湖北武汉模拟)已知某厂生产的电子产品的使用寿命X(单位：小时)服从正态分布N(1 000，σ2)，且P(X<800)＝0.2，P(X ≥1 300)＝0.02.(1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在[1 200，1 300)的概率；(2)现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品的使用寿命在[800，1 200)的件数为Y ，求Y 的分布列和数学期望E(Y)．答案 (1)0.18 (2)E(Y)＝1.8解析 (1)因为X ～N(1 000，σ2)，P(X<800)＝0.2，P(X ≥1 300)＝0.02，所以P(1 200≤X<1 300)＋P(X ≥1 300)＝P(X ≥1 200)＝P(X<800)＝0.2.所以P(1 200≤X<1 300)＝0.2－0.02＝0.18.故抽取的产品的使用寿命在[1 200，1 300)的概率为0.18.(2)因为P(800≤X<1 200)＝1－2P(X<800)＝1－2×0.2＝0.6，所以Y ～B(3，0.6)．P(Y ＝0)＝C 30×0.60×(1－0.6)3＝0.064，P(Y ＝1)＝C 31×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(Y ＝2)＝C 32×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(Y ＝3)＝C 33×0.63×(1－0.6)0＝0.216.所以Y 的分布列为所以E(Y)＝3×0.6＝。
第十一章计数原理、随机变量及分布列1. （选修23P9习题4改编）一件工作可以用两种方法完成，有18人会用第一种方法完成，有10人会用第二种方法完成.从中选出1人来完成这件工作，不同选法的总数是Ｗ.答案：28解析：由分类计数原理知不同选法的总数共有18＋10＝28（种）.2. （选修23P9习题8改编）从1到10的正整数中，任意抽取两个数相加所得和为奇数的不同情形的种数是Ｗ.答案：25解析：当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5＝25（种）.3. （改编题）一只袋中有大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个.从袋中随机取出（一次性）2个球，则这2个球为同色球的种数为Ｗ.答案：7解析：2个球为红色共3种，2个球为白色共3种，2个球为黑色共1种，由分类计数原理得共7种.4. （选修23P10习题12改编）以正方形的4个顶点中某一顶点为起点、另一个顶点为终点作向量，可以作出不相等的向量个数为Ｗ.答案：8解析：起点有4个，每一个起点都可选另外三个顶点中的某一个为终点，但正方形相对边且方向相同的向量为同一向量，故共有不相等的向量个数为4×3－4＝8.5. （选修23P10习题16改编）现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有种.答案：14解析：设两种不同颜色为a ，b ，则所有可能为（a ，a ，a ），（a ，a ，b ），（a ，b ，a ），（a ，b ，b ），（b ，a ，a ），（b ，a ，b ），（b ，b ，a ），（b ，b ，b ），共8种.其中满足条件的有（a ，b ，a ），（b ，a ，b ），共2种，∴ 所求概率为14.2. （必修3P 100例1改编）一个不透明的盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5个除序号外都相同的球，同时取出两个球，则两个球上的数字为相邻整数的概率为 Ｗ.答案：25解析：从5个球中同时取出2个球的基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个.记“两个球上的数字为相邻整数”为事件A ，则事件A 中含有4个基本事件：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）.所以P （A ）＝410＝25. 3. （必修3P 103练习2改编）小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数密码由4个数字2，4，6，8按一定顺序排列构成，小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，随机地输入由2，4，6，8组成的一个四位数，能打开锁的概率是 Ｗ.答案：124解析：四位数密码共有24种等可能的结果，恰好能打开锁的密码只有1种，故所求事件的概率为124.4. （必修3P 101例3改编）连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），记“两次向上的数字之和等于m”为事件A ，则P （A ）最大时，m ＝ Ｗ. 答案：7解析：m 可能取到的值有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，对应的基本事件个数依次为1，2，3，4，5，6，5，4，3，2，1，∴两次向上的数字之和等于7对应的事件发生的概率最大.5. （必修3P 103练习4改编）已知一个不透明的袋中有3个白球，2个黑球，第一次摸出一个球，然后放回，第二次再摸出一个球，则两次摸到的都是黑球的概率为 Ｗ.答案：425解析：把它们编号，白为1，2，3，黑为4，5.用（x ，y ）记录摸球结果，x 表示第一次摸到球号数，y 表示第二次摸到球号数.所有可能的结果为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种，两次摸到的都是黑球的情况为（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），共4种，故所求概率P ＝425.1. 概率的取值范围是0≤P（A ）≤1.当A 是必然发生的事件时，P （A ）＝1；当A 是不可能发生的事件时，P （A ）＝0；当A 是随机事件时，0<P （A ）<1Ｗ.2. 利用P （A ）＝mn计算古典概型的概率时，关键是求出m ，n ，其中n 是1次试验中等可能出现的结果数，m 是某个事件A 所包含的结果数，求n 时应注意n 种结果必须是等可能的Ｗ. 3. 在1次试验中，等可能出现的n 个结果组成一个集合I ，这n 个结果就是集合I 的n 个元素，各基本事件均对应于集合I 的含有1个元素的子集，包含m 个结果的事件A 对应于I 的含有m 个元素的子集A.因此，从集合的角度看，事件A 的概率是子集A 的元素个数与集合I的元素个数的比值，即P （A ）＝mn .[备课札记]1 古典概型与代数问题交汇)1) 若a ，b 为先后投掷一枚骰子所得的点数，函数f （x ）＝12ax 2＋bx ＋1.（1） 求f （x ）在区间（－∞，－1]上是减函数的概率； （2） 求函数f （x ）有零点的概率.（1） f′（x ）＝ax ＋b ，由题意f′（－1）≤0，即b≤a，符合条件的基本事件有21个，所以f （x ）在区间（－∞，－1]上是减函数的概率P 1＝2136＝712.（2） 因为函数f （x ）有零点，所以b 2－2a≥0，符合条件的基本事件有24个，所以函数f（x ）有零点的概率P 2＝2436＝23.变式训练一个均匀的正四面体面上分别标有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c.（1） 记z ＝（b －3）2＋（c －3）2，求z ＝4的概率；（2） 若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x∈{1，2，3，4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率. 解：（1） 因为是投掷两次，所以基本事件（b ，c ）共有4×4＝16（个）.当z ＝4时，（b ，c ）的所有取值为（1，3），（3，1），所以z ＝4的概率P 1＝216＝18.（2） ① 若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立；② 若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以b ＝1，c ＝2； ③ 若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以b ＝2，c ＝3； ④ 若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以b ＝3，c ＝4. 综上所述，（b ，c ）的所有可能取值为（1，2），（2，3），（3，4），共3种.所以，方程为“漂亮方程”的概率P 2＝316.2 几何背景的古典概型问题)2) 已知直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：ax －by ＋1＝0，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}.（1） 求直线l 1∩l 2＝∅的概率；（2） 求直线l 1与l 2的交点位于第一象限的概率.解：（1） 直线l 1的斜率k 1＝12，直线l 2的斜率k 2＝ab.设事件A 为“直线l 1∩l 2＝∅”.a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，5），（6，6），共36个.若l 1∩l 2＝∅，则l 1∥l 2，即k 1＝k 2，即b ＝2a.满足条件的实数对（a ，b ）有（1，2），（2，4），（3，6），共3种情况.∴ P（A ）＝336＝112.（2） 设事件B 为“直线l 1与l 2的交点位于第一象限”，由于直线l 1与l 2有交点，则b≠2a.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b ＋2b －2a ，y ＝a ＋1b －2a .∵ l 1与l 2的交点位于第一象限，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2b －2a>0，a ＋1b －2a>0.∵ a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，∴ b>2a.∵ 总事件数共36个，满足b>2a 的事件有（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），共6个，∴ P （B ）＝636＝16.备选变式（教师专享）若先后抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，求： （1） 点P （m ，n ）在直线x ＋y ＝4上的概率；（2） 点P （m ，n ）落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的概率. 解：（1） 由题意可知，（m ，n ）的取值情况有（1，1），（1，2），（1，3），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），共36种.而满足点P （m ，n ）在直线x ＋y ＝4上的取值情况有（1，3），（2，2），（3，1），共3种，故所求概率为336＝ 112.（2） 由题意可得，基本事件n ＝36.当m ＝1时，1≤n ≤3，故符合条件的基本事件有3个；当m ＝2 时，1≤n ≤4，故符合条件的基本事件有4个；当m ＝3时，1≤n ≤3，故符合条件的基本事件有3个；当m ＝4时，n ＝2，故符合条件的基本事件有1个.故符合条件的基本事件共11个，所以所求概率为1136.3 用概率解决生活中的决策问题)3) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖. （1） 用球的标号列出所有可能的摸出结果；（2） 有人认为：两个箱子中的红球总数比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由. 解：（1） 所有可能的摸出结果是（A 1，a 1），（A 1，a 2），（A 1，b 1），（A 1，b 2），（A 2，a 1），（A 2，a 2）， （A 2，b 1），（A 2，b 2），（B ，a 1），（B ，a 2），（B ，b 1），（B ，b 2）. （2） 不正确，理由如下：由（1）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23>13，故这种说法不正确.变式训练某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：① 若xy≤3，则奖励玩具一个；② 若xy≥8，则奖励水杯一个；③ 其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （1） 求小亮获得玩具的概率；（2） 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解：用数对（x ，y ）表示儿童参加活动两次记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{（x ，y ）|x∈N ，y ∈N ，1≤x ≤4，1≤y ≤4}一一对应，因为S 中元素个数是4×4＝16，所以基本事件总数n ＝16.（1） 记“xy≤3”为事件A.则事件A 包含的基本事件共有5个，即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）.所以P（A ）＝516，即小亮获得玩具的概率为516.（2） 记“xy≥8”为事件B ，“3<xy<8”为事件C.则事件B 包含的基本事件共有6个，即（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）.所以P （B ）＝616＝38.事件C 包含的基本事件共有5个，即（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1），所以P （C ）＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.1. （2017·苏北四市期末）从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取出2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为 Ｗ.答案：13解析：从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机地取出2个数，基本事件总数n ＝15，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共5个，所以所取2个数的和能被3整除的概率P ＝515＝13.2. 某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为 Ｗ.答案：910解析：从5名学生中随机选出3名学生共有10种选法，男女生都有的共9种（即去掉选的是3名女生的情况），则所求的概率为910.本题考查用列举法解决古典概型问题，属于容易题.3. 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色不同的概率为 Ｗ.5解析：从5只球中一次摸出2只球，共有10种摸法，摸到的2只球颜色不同的摸法共有6种，则所求的概率为35.4. （2016·新课标Ⅰ文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 Ｗ.答案：23解析：将4种颜色的花任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种法有4种，故概率为23.5. （2017·全国卷Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 Ｗ.答案：25解析：将第一次抽取的卡片上的数记为a ，第二次抽取的卡片上的数记为b ，先后两次抽取的卡片上的数记为（a ，b ），则有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种抽取方法，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的抽取方法有10种，所以所求概率P ＝1025＝25.1. （2017·扬州期末）已知A ，B ∈{－3，－1，1，2}且A≠B，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为 Ｗ.答案：13解析：所有的基本事件（A ，B ）为（－3，－1），（－3，1），（－3，2），（－1，1），（－1，2），（1，2），（－1，－3），（1，－3），（2，－3），（1，－1），（2，－1），（2，1）共12种，其中（－3，－1），（1，2），（－1，－3），（2，1）这4种能使直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率P ＝412＝13.2. （2016·上海卷文）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 Ｗ.答案：16解析：将四种水果每两种分为一组，有6种方法，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为16.3. （2017·山东卷）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 Ｗ.答案：59解析：每次抽取1张，抽取2次，共有9×8＝72（种）情况，其中满足题意的情况有2×5×4＝40（种），所以所求概率P ＝4072＝59.4. （2016·新课标Ⅲ文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 Ｗ.15解析：开机密码的前两位可能是M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5，共15种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115.1. 解以代数、几何等数学知识为背景的概率题的策略是：读懂题意，理解内涵，寻求关系，突破入口；尽力脱去背景外衣，回首重温概率定义；细心诊断事件类型，正确运用概率公式.2. 解较复杂的概率问题的关键是理解题目的实际含义，把问题转化为概率模型.必要时可考虑分类讨论、数形结合、正难则反等思想方法.[备课札记]第5课时几何概型与互斥事件（对应学生用书（文）166～168页、（理）168～169页）1. （必修3P 110习题1改编）在水平放置的长为5 m 的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2 m 的概率是 .答案：15解析：这是一个几何概型题，其概率就是相应的线段CD ，AB （如图）的长度的比值，∴ P ＝15.2. （必修3P 115练习1改编）把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 Ｗ.（填序号） ① 对立事件；② 不可能事件；③ 互斥但不对立事件. 答案：③解析：由互斥事件的定义可知，甲、乙不能同时得到红牌.由对立事件的定义可知，甲、乙可能都得不到红牌，即“甲或乙分得红牌”的事件可能不发生.故填③.3. （必修3P 115练习2改编）一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件. ① 恰有1件次品和恰有2件次品； ② 至少有1件次品和全是次品；③ 至少有1件正品和至少有1件次品； ④ 至少有1件次品和全是正品.以上几组事件中互斥事件有 组. 答案：2解析：①④中的两事件互斥，②③中的两事件不互斥.4. （必修3P 109练习3改编）在500 mL 的水中有一只草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 Ｗ. 答案：0.004解析：由于取水样的随机性，所求事件A“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比，即2500＝0.004.5. （必修3P 110习题4改编）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内任投一点，则此点落在阴影部分的概率是 Ｗ.答案：1－2π解析：设扇形的半径为2，则其面积为π×224＝π，如图，由两段小圆弧围成的阴影面积为S 1，另外三段圆弧围成的阴影面积为S 2，则S 1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12＝π2－1，S 2＝π4×22－2×π2×12＋π2－1＝π2－1，故阴影部分的总面积为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＝π－2，因此任投一点，此点落在阴影部分的概率为π－2π＝1－2π.1. 几何概型的定义对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型. 2. 概率计算公式在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P （A ）＝d 的测度D 的测度.3. 不能同时发生的两个事件称为互斥事件.4. 如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生的概率等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）Ｗ.5. 一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么P （A 1＋A 2＋…＋A n ）＝P （A 1）＋P （A 2）＋…＋P （A n ）Ｗ.6. 若两个互斥事件必有1个发生，则称这两个事件为对立事件；若事件A 的对立事件记作A －，则P （A ）＋P （A －）＝1，P （A －）＝1－P （A ）Ｗ.1 几何概型)1) （2017·全国卷Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 Ｗ.答案：π8解析：由于圆中黑色部分和白色部分关于正方形的中心（即圆心）对称，所以圆中黑色部分的面积为圆的面积的一半.不妨设正方形的边长为2，则所求的概率P ＝12π×122×2＝π8.变式训练在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率.解：如图，过点C 在∠ACB 内任作射线CM ，则射线CM 在∠ACB 内是等可能分布的，故基本事件的区域测度是∠ACB 的大小，即90°.在AB 上取AC′＝AC ，则∠ACC′＝180°－45°2＝67.5°.记“AM < AC”为事件A ，则事件A 的概率P （A ）＝67.590＝34，故AM < AC 的概率是34.2 古典概型与几何概型的区别与联系)2) 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.（1） 若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2） 若a 是从区间[0，3]中任取的一个数，b 是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a≥b. （1） 基本事件共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.事件A 中包含9个基本事件，故事件A 发生的概率P （A ）＝912＝34.（2） 试验的全部结果所构成的区域为{（a ，b ）|0≤a≤3，0≤b ≤2}.构成事件A 的区域为{（a ，b ）|0≤a≤3，0≤b ≤2，a ≥b}，即如图所示的阴影区域，所以所求的概率P （A ）＝3×2－12×2×23×2＝23.变式训练已知关于x 的二次函数f （x ）＝ax 2－4bx ＋1.（1） 设集合A ＝{－1，1，2，3，4，5}和B ＝{－2，－1，1，2，3，4}，分别从集合A ，B 中随机取一个数作为a 和b ，求函数f （x ）在区间[1，＋∞）上是增函数的概率；（2） 设点（a ，b ）是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x ＞0，y ＞0内的随机点，求函数f （x ）在区间[1，＋∞）上是增函数的概率.解：要使函数f （x ）在区间[1，＋∞）上是增函数，需a ＞0，且－－4b2a≤1，即a ＞0且2b≤a.（1） 所有（a ，b ）的取法总数为6×6＝36（个），满足条件的（a ，b ）有（1，－2），（1，－1），（2，－2），（2，－1），（2，1），（3，－2），（3，－1），（3，1），（4，－2），（4，－1），（4，1），（4，2），（5，－2），（5，－1），（5，1），（5，2），共16个，所以所求概率P ＝1636＝49. （2） 如图：求得区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x ＞0，y ＞0的面积为12×8×8＝32，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －2y ＝0求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83，所以区域内满足a ＞0且2b ≤a 的面积为12×8×83＝323，所以所求概率P ＝32332＝13.3 互斥事件)3) 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆（1）（2） 在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率. 解：（1） 设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率，得P （A ）＝1501 000＝0.15，P （B ）＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为P （A ）＋P （B ）＝0.15＋0.12＝0.27.（2） 设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100（辆），而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24（辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24.由频率估计概率得P （C ）＝0.24. 备选变式（教师专享）如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：12（2） 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径. 解：（1） 选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得：所用时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L 1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L 2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1（2121212L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站.由（1）知P （A 1）＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P （A 2）＝0.1＋0.4＝0.5，P （A 1）>P （A 2）， 所以甲应选择路径L 1；P （B 1）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P （B 2）＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P （B 2）>P （B 1）， 所以乙应选择路径L 2.1. （2016·新课标Ⅱ文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 s.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15 s 才出现绿灯的概率为 .答案：58解析：因为红灯持续时间为40 s.所以这名行人至少需要等待15 s 才出现绿灯的概率为40－1540＝58. 2. （2016·天津卷文）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为 Ｗ.答案：56解析：甲不输的概率为12＋13＝56.3. （2017·苏州市考前模拟）在区间[－1，1]上随机取一个数x ，cos πx 2的值介于0到12之间的概率为 Ｗ.答案：13解析：在区间[－1，1]上随机取一个数x ，即x∈[－1，1]时，要使cos πx 2的值介于0到12之间，需使－π2≤πx 2≤－π3或π3≤πx 2≤π2.∴ －1≤x≤－23或23≤x ≤1，区间长度为23.由几何概型知cos πx 2的值介于0到12之间的概率为232＝13. 4. （2017·南京、盐城一模）在数字1，2，3，4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 Ｗ.答案：56解析：在数字1，2，3，4中随机选两个数字，基本事件总数为6，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，所以选中的数字中至少有一个是偶数的概率P ＝1－16＝56.5. （2017·常州期末）男队有号码为1，2，3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1，2，3，4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为 Ｗ.答案：34解析：男队有号码为1，2，3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1，2，3，4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，基本事件总数为3×4＝12（个），出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，所以出场的两名运动员号码不同的概率P ＝1－312＝34.1. （2017·扬州市考前调研）在区间（0，5）内任取一个实数m ， 则满足3＜m ＜4的概率为 Ｗ.答案：15解析：根据几何概型的概率计算公式，得满足3＜m ＜4的概率为15.2. 设函数f （x ）＝log 2x ，在区间（0，5）上随机取一个数x ，则f （x ）<2的概率为 Ｗ.答案：45解析：因为log 2x ＜2，解得0＜x ＜4，所以P （f （x ）<2）＝45.3. 甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为 Ｗ.答案：89解析：从两盒中各取一个球的基本事件数为9，没有红球的基本事件数为1，则至少有一个红球的概率＝1－没有红球的概率＝1－19＝89.4. （2017·苏州期末）若一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全被击毁的概率为 Ｗ. 答案： 0.4解析：根据互斥事件的概率公式，得目标受损但未完全被击毁的概率为1－0.2－0.4＝0.4.1. 对于几何概型的应用题，关键是将实际问题转化为概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型问题，构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的测度来求随机事件的概率.2. 分清古典概型与几何概型的关键就是古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件是有限个，而几何概型则是无限个.3. 求较复杂的互斥事件的概率，一般有两种方法：一是直接求解法，即将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；二是间接求解法，先求出此事件的对立事件的概率，再用公式P （A ）＝1－P （A －）.若解决“至少”“至多”型的题目，用后一种方法就显得比较方便.解题时需注意“互斥事件”与“对立事件”的区别与联系，搞清楚“互斥事件”与“等可能性事件”的差异.[备课札记]答案：48解析：按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48（种）.1. 分类计数原理：如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2. 分步计数原理：如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.3. 分类和分步的区别，关键是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理，将种数相乘.[备课札记]1分类计数原理)1) 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解：（解法1）按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个）.（解法2）按个位上的数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.由分类计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）.变式训练有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？解：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4（种）方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.根据分类计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8（种）选派方法.2分步计数原理)2) 用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种.答案：108解析：把区域分为三部分，第一部分1，5，9，有3种涂法；第二部分4，7，8，当5，7同色时，4，8各有2种涂法，共4种涂法，当5，7异色时，7有2种涂法，4，8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6（种）涂法；第三部分与第二部分一样，共6种涂法.由分步计数原理，可得涂法共有3×6×6＝108（种）.变式训练有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有种.答案：9解析：分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：第1位教师监考的班的数学老师即第2位教师有3种选法；第三步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法.共有3×3×1×1＝9（种）监考的方法.3两个基本原理的综合应用)3) 已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B为集合M的非空子集.若对∀x∈A，y ∈B，x<y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有个.答案：17解析：A＝{1}时，B有23－1＝7（种）情况；A＝{2}时，B有22－1＝3（种）情况；A＝{3}时，B有1种情况；A＝{1，2}时，B有22－1＝3（种）情况；A＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B均有1种情况，故满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17（个）.备选变式（教师专享）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种.（用数字作答）答案：96解析：分为两类：第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48（种）；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48（种）.根据分类计数原理，共有方案48＋48＝96（种）.1. 只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有个.答案：18解析：由题意知，1，2，3中必有某一个数字重复使用2次，第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法.故这样的四位数共有3×3×2＝18（个）.2. 如果把个位数是1，且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有个.答案：12解析：当重复数字是1时，有3×3种；当重复数字不是1时，有3种.由分类计数原理，得满足条件的“好数”有3×3＋3＝12（个）.3. 由1，2，3，4可以组成个自然数，其中数字可以重复，最多只能是四位数字. 答案：340解析：组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个.第二类：两位自然数，可分两步来完成.先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16（个）.第三类：三位自然数，可分三步来完成.每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64（个）.。
专题研究排列组合的综合应用1．(2017·湖北宜昌一中月考)从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有() A ．18种 B ．30种 C ．45种D ．84种 答案 C解析 分两步：先从8、9、10这三个数中选取一个数作最大的数有C 31种方法；再从1、2、3、4、5、6这六个数中选取两个比7小的数有C 62种方法，故共有C 31C 62＝45种情况，应选择C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为() A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 答案 B解析 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C 53C 22×2＝20(种)，故选B.3．(2018·广东省实验中学月考)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名、1名、1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有() A ．1 260种B ．2 025种 C ．2 520种D ．5 040种 答案 C解析 先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C 102A 82＝2 520种不同的招聘方法．4．(2017·课标全国Ⅱ，理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有() A ．12种B ．18种 C ．24种D ．36种 答案 D解析 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有C42C21C11A22＝6种，再分配给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．5．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有() A ．12种B ．16种 C ．18种D ．36种 答案 C解析 可先分组再排列，所以有12C 42A 33＝18(种)放法．6．(2017·安徽毛坦厂中学阶段测试)6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有() A ．40种B ．48种 C ．60种D ．68种 答案 B解析 4，2分法：A 22(C 64－1)＝14×2＝28， 3，3分法：C 63C 33＝20，∴共有48种．7．某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为() A ．C 62C 52C 82B ．C 62＋C 52＋C 82C ．A 62A 52A 82D ．C 192答案 B解析 依题意，高一比赛有C 62场，高二比赛有C 52场，高三比赛有C 82场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C 62＋C 52＋C 82，选B.8．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为() A ．18 B ．24 C ．30 D ．36 答案 C解析 排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C 42＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A 33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A 33＝6种，所以共有C 42A 33－A 33＝30种分法．故选C. 9．(2018·西安五校)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有() A ．80种B ．90种 C ．120种D ．150种 答案 D解析 有二类情况：(1)其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C 53A 33＝60(种)；(2)其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C 51×C422×A 33＝90(种)．∴共有150种．故选D.10．(2017·河北唐山一中模拟)中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有() A ．C 419B ．C 389C ．C 409D ．C 399答案 D解析 首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台象排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空(隔板)，比如说用9个隔板隔开，就可以隔成10部分了．所以是在39个空里选9个空插入隔板，所以是C 399.11．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是() A ．24 B ．36 C ．40 D ．44 答案 D解析 分以下四种情况讨论：(1)两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有C 42×2×2＝24(种)；(2)四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有C 21C 42＝12(种)情况；(3)一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有C 41＝4(种)情况；(4)一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有C 41＝4(种)情况．综上所述，共有24＋12＋4＋4＝44(种)不同的情况．故选D.12．(2017·湖南衡阳八中期末)有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种(用数字作答)． 答案 50解析 因为每项活动最多安排4人，所以可以有三种安排方法，即(4，2)，(3，3)，(2，4)．当安排4，2时，需要选出4个人参加第一个项目，共有C 64＝15种；当安排3，3时，共有C 63＝20种；当安排2，4时，共有C 62＝15种，所以共有15＋20＋15＝50种．13．(2017·山东聊城重点高中联考)三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有________种． 答案 60解析 若每个村去一个人，则有A 43＝24种分配方法；若有一个村去两人，另一个村去一人，则有C 31A 42＝36种分配方法，所以共有60种不同的分配方法．14．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________． 答案 100解析 A 的分配方案有2种，若A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C 43＋C42C22A22)A 22＝14；若A 分配到的班级再分配一名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C 41C 31A 22＝24；若A 分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C 42A 22＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.15．(2017·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法． 答案 84解析 方法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 72种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 73种．故共有C 71＋A 72＋C 73＝84(种)抽调方法．方法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C 96＝84(种)抽调方法．16．(2017·安徽皖北协作区联考)3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人(4名大学毕业生不一定都能选聘上)，则不同的选聘方法种数为________．(用具体数字作答) 答案 60解析 当4名大学毕业生全选时有C41C31A22·A 33，当选3名大学毕业生时有A 43，即不同的选聘方法种数为C41C31A22·A 33＋A 43＝60. 17．(2017·人大附中期末)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． 答案 60解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按2张，1张分给4个人中的2个人，种数为C 32C 11A 42＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 43＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60种．1．(2017·安徽毛坦厂中学月考)今年，我校迎来了安徽师范大学数学系5名实习教师，若将这5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有() A ．180种B ．120种 C ．90种D ．60种 答案 C解析 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少一名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1个，另两组都是2人，有C51·C42A22＝15(种)方法．再将3组分到3个班，共有15·A 33＝90(种)不同的分配方案．故选C.2．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有() A ．60种B ．42种 C ．36种D ．24种 答案 A解析 若3个项目分别安排在3个不同的场馆，则安排方案共有A 43＝24(种)；若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C 32·A 42＝36(种)．综上，在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24＋36＝60(种)．故选A.3．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为() A ．144 B ．72 C ．36 D ．48 答案 C解析 分两步完成：第一步将4名调研员按2，1，1分成三组，其分法有C42C21C11A22种；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有C42C21C11A22×A 33＝36(种)．4．(2018·衡水中学调研卷)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有() A ．10种B ．20种 C ．36种D ．52种 答案 A解析 将4个小球分2组，①C42C22A22＝3种；②C 41C 33＝4种．①中的这3种分组方法任意放均满足条件，∴3×A 22＝6种放法．②中的4种分组方法各只对应1种放法．故总种数为6＋4＝10种．5．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．则安排这6项工程的不同方法总数为() A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 答案 B解析 因为工程丙完成后立即进行工程丁，若不考虑与其他工程的顺序，则安排这6项工程的不同方法数为A 55，对于甲、乙、丙、丁所处位置的任意排列有且只有一种情况符合要求，因此，符合条件的安排方法总数为A55A33＝5×4＝20. 6．(2018·诸暨一模)在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别，同时为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国的人员要在a ，b ，c 三家酒店各选择一家，且每家酒店至少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有() A ．96种B ．124种 C ．130种D ．150种 答案 D解析 可以把五个参会国的人员分成三组，一种是按照1，1，3分；另一种是按照1，2，2分．当按照1，1，3分时，共有C 53A 33＝60种方法；当按照1，2，2分时，共有C52C32A33A22＝90种方法．根据分类加法计数原理可得安排方法共有60＋90＝150种．。
题组训练88 专题研究 排列组合的综合应用1．下列函数是正态密度函数的是(μ、σ(σ＞0)都是实数)( ) A ．f(x)＝12πσe （x －μ）22σ2B ．f(x)＝2π2πe －x22C ．f(x)＝12 2πe －x －σ4D ．f(x)＝－12πe x 22答案 B解析 A 中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C 中的函数无对称轴，D 中的函数图像在x 轴下方，所以选B.2．(2018·甘肃河西五市联考)设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>2)＝p ，即P(－2<ξ<0)＝( ) A.12＋p B ．1－p C.12－p D ．1－2p答案 C解析 由对称性知P(ξ≤－2)＝p ，所以P(－2<ξ<0)＝1－2p 2＝12－p.3．(2017·广东佛山一模)已知随机变量X 服从正态分布N(3，1)，且P(2≤ξ≤4)＝0.682 6，则P(ξ>4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6 D ．0.158 5答案 B解析 由正态曲线性质知，其图像关于直线x ＝3对称，∴P (ξ>4)＝1－P （2≤ξ≤4）2＝0.5－12×0.682 6＝0.158 7，故选B.4．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P (ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.954 B ．0.977 C ．0.488 D ．0.477答案 A解析 P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954.5．(2017·南昌调研)某单位1 000名青年职员的体重x(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5 kg 属于正常，则这1 000名青年职员中体重属于正常的人数约是( )A ．683B ．841C ．341D ．667答案 A解析 ∵P(58.5<X<62.5)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，∴体重正常的人数约为 1 000×0.683＝683人．6．(2018·江西八所重点中学联考)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8，则落在(0，80)内的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2答案 B解析 ∵ξ服从正态分布N(100，σ2)，∴曲线的对称轴是直线μ＝100，∵ξ在(80，120)内取值的概率为0.8，ξ在(0，100)内取值的概率为0.5， ∴ξ在(0，80)内取值的概率为0.5－0.4＝0.1.故选B.7．(2017·河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( ) A ．0.3% B ．0.23% C ．1.5% D ．0.15%答案 D解析 依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92，140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1－99.7%2＝0.15%.故选D.8．(2018·云南大理统测)2016年1月某高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X ～N(100，σ2)(试卷满分150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为( ) A ．80 B ．100 C ．120 D ．200答案 D解析 正态曲线的对称轴为X ＝100，根据其对称性可知，成绩不低于120分的学生人数约为1 600×(1－34)×12＝200.9．如果随机变量X ～N(μ，σ2)，且E(X)＝3，D(X)＝1，则P(0<X<1)等于( ) A ．0.210 B ．0.003 C ．0.681 D ．0.021 5答案 D解析 X ～N(3，12)，因为0<X<1，所以P(0<X<1)＝0.997 4－0.954 42＝0.021 5.10．(2017·皖南十校联考)在某市2017年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( ) A ．1 500 B ．1 700 C ．4 500 D ．8 000答案 A解析 因为学生的数学成绩X ～N(98，100)，所以P(X≥108)＝12[1－P(88<X<108)]＝12[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.158 7×9 450≈1 500名，故选A.11.如图所示，随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________． 答案 0.7解析 由题意可知，正态分布的图像关于直线x ＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，又P (0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P (ξ<2)＝0.7.12．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人． 答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N(100，σ2)，作出正态分布图像，可以看出，图像关于直线x ＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝13；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)．又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16，∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)． 13．(2017·河北唐山二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8 kg 的概率为________．(精确到0.000 1) 注：P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝0.954 4， P (μ－3σ<x ≤μ＋3σ)＝0.997 4 答案 0.022 8解析 因为袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10，0.12)，所以P(ξ<9.8)＝12[1－P(9.8<ξ<10.2)]＝12[1－P(10－2×0.1<ξ<10＋2×0.1)]＝12(1－0.954 4)＝0.022 8.14．已知随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)＝12πe －（x －1）22(x∈R )的图像，若⎠⎛01f （x ）dx ＝13，则P(X<0)＝________． 答案 16解析 因为正态分布密度曲线为函数f(x)＝12πe －（x －1）22(x∈R )的图像，所以总体的期望μ＝1，标准差σ＝1，故函数f(x)的图像关于直线x ＝1对称．又⎠⎛01f(x)dx ＝13＝P(0<X<1)，所以P(X<0)＝12－P(0<X<1)＝16.15．(2018·江西南昌一模)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X<75)＝0.3，P (X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)． 答案 (1)0.024 (2)E(ξ)＝1.2解析 (1)由题知，P (80≤X<85)＝12－P(X<75)＝0.2，P (85≤X<95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P ＝A 33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85) ＝1－2P(X<75)＝0.4， 所以ξ服从二项分布B(3，0.4)， P (ξ＝0)＝0.63＝0.216， P (ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432， P (ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288， P (ξ＝3)＝0.43＝0.064. 所以随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P0.2160.4320.2880.064E(ξ)＝3×0.4＝16．(2018·广东三校联考)某市在2017年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10 000名学生的成绩服从正态分布N(120，25)．现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估计该校数学成绩的平均分数；(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的分布列和期望．附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 4. 答案 (1)112 (2)E(X)＝1.2解析 (1)由频率分布直方图可知[125，135)的频率为1－(0.010×10＋0.024×10＋0.030×10＋0.016×10＋0.008×10)＝0.12.所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112. (2)由于1310 000＝0.001 3，根据正态分布得P(120－3×5<X<120＋3×5)＝0.997 4.故P(X ≥135)＝1－0.997 42＝0.001 3，即0.001 3×10 000＝13.所以前13名的成绩全部在135分以上．根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125，145]的学生有50×(0.12＋0.08)＝10. 所以X 的取值为0，1，2，3.所以P(X ＝0)＝C 63C 103＝16，P(X ＝1)＝C 62C 41C 103＝12，P(X ＝2)＝C 61C 42C 103＝310，P(X ＝3)＝C 43C 103＝130.所以X 的分布列为x 0 1 2 3 P1612310130E(X)＝0×16＋1×12＋2×10＋3×30＝1.2.17．(2014·课标全国Ⅰ，理)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2. ①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)． 附：150≈12.2.若Z ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4. 答案 (1)x －＝200，s 2＝150 (2)①0.682 6 ②68.26解析 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N(200，150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.1．设随机变量X ～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(|x －μ|<3σ)将会( ) A ．单调增加 B ．单调减少 C ．保持不变 D ．增减不定答案 C解析 P(|x －μ|<3σ)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 4是一个常数．2．(2018·湖北襄阳四中周考)已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，P(0<X<4)＝0.8，则P(X>4)＝( ) A ．0.4 B ．0.2 C ．0.1 D ．0.05答案 C解析 由于直线x ＝2是正态分布密度曲线的对称轴，因此P(X<0)＝P(X>4)＝12(1－0.8)＝0.1，故选C.3．某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X 服从正态分布N(75，121)(单位：分)，考生共有1 000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为(参考数据P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4)( ) A ．261 B ．341 C ．477 D ．683答案 B解析 ∵X～N(75，121)，∴μ＝75，σ＝11， 因为P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6， 所以P(64<X<86)＝0.682 6，又μ＝75，所以P(75<X<86)＝12P(64<X<86)＝12×0.682 6＝0.341 3，所以0.341 3×1 000≈341.即数学成绩在75分到86分之间的人数约为341，故选B.4．(2015·山东，理)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74%答案 B解析 由已知μ＝0，σ＝3.所以P(3<ξ<6)＝12[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]＝12(95.44%－68.26%)＝12×27.18%＝13.59%.故选B.5．把一条正态曲线C 1沿着横轴方向向右移动2个单位长度，得到一条新的曲线C 2，下列说法不正确的是( ) A ．曲线C 2仍是正态曲线B ．曲线C 1，C 2的最高点的纵坐标相等C ．以曲线C 2为正态曲线的总体的方差比以曲线C 1为正态曲线的总体的方差大2D ．以曲线C 2为正态曲线的总体的期望比以曲线C 1为正态曲线的总体的期望大2 答案 C解析 正态密度函数为f(x)＝12πσe －（x －μ）22σ2，正态曲线的对称轴x ＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ)＝12πσ.所以曲线C 1向右平移2个单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以期望值μ增大了2个单位长度．选项C 是错误的．6．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图像，且f(x)＝18πe －（x －10）28(x∈R )，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10答案 B解析 f(x)＝18πe －（x －10）28，所以σ＝2，μ＝10，即正态总的平均数与标准差分别为10与2.7．吉林大学的某系的大一(2)班共有55人，其中男生22人，女生33人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，女生抽取a 人．若随机变量ξ服从正态分布N(a ，σ2)，且P(ξ<2)＝0.3，则P(3<ξ<4)的值为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.6答案 A解析 用分层抽样，女生应抽取人数为33×555＝3，所以a ＝3.所以ξ服从正态分布N(3，σ2)，该正态曲线关于直线x ＝3对称． 即P(ξ<2)＝0.3，所以P(ξ>4)＝0.3.方法一：所以P(3<ξ<4)＝12P (2<ξ<4)＝12(1－2×0.3)＝0.2.故选A.方法二：所以P(3<ξ<4)＝P(ξ>3)－P(ξ>4)＝0.5－0.3＝0.2.故选A.8．(2018·云南高三统考)某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N(90，σ2)．若分数在(70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为________． 答案 150解析 记考试成绩为ξ，则考试成绩的正态曲线关于直线ξ＝90对称．因为P(70<ξ≤110)＝0.7，所以P(ξ≤70)＝P(ξ>110)＝12×(1－0.7)＝0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1 000×0.15＝150.9．(2017·沧州七校联考)2015年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆． 答案 180思路 首先根据题意确定正态分布的对称轴，利用正态曲线的对称性即可求得ξ>9的概率，利用概率来估计样本中满足条件的汽车数量．解析 由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35.而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆． 10．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14 2π.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4，4]内的概率．答案(1)φμ，σ(x)＝14 2πe－x232，x∈(－∞，＋∞)(2)0.682 6解析(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图像关于y轴对称，即μ＝0.由12πσ＝12π·4，得σ＝4.故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝14 2πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4＜ξ≤4)＝P(0－4＜ξ≤0＋4)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6.11．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝18 2π.(1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的百分之几？答案(1)φμ，σ(x)＝182πe－（x－80）2128(2)68.26%解析(1)由于正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．因此得μ＝80，12π·σ＝182π，所以σ＝8.故密度函数解析式是φμ，σ(x)＝182πe－（x－80）2128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.所以零件尺寸ξ位于区间(72，88)内的概率是0.682 6.因此尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的68.26%.12．某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．(1)经统计，消费额X服从正态分布N(150，625)，某天有1 000位顾客，请估计消费额X(单位：元)在区间(100，150]内并中奖的人数；(2)某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；(3)某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B 箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4.答案 (1)286 (2)略(3)这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．解析 (1)依题意得μ＝150，σ2＝625，得σ＝25，100＝μ－2σ，消费额X 在区间(100，150]内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6，人数约为1000×P(μ－2σ<X≤μ)＝1 000×0.954 42≈477，其中中奖的人数约为477×0.6≈286. (2)三位顾客每人一次A 箱内摸奖机会，且中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布B(3，35)， P(ξ＝k)＝C 3k (35)k ·(25)3－k ，k ＝0，1，2，3， ∴ξ的分布列为 ξ0 1 2 3 P 8125 36125 54125 27125 (3)A B 箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5＋20×0.5＝35.方法一所得奖金的期望值为3×10.5＝31.5，方法二所得奖金的期望值为35，∴这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．13．(2018·湖北武汉模拟)已知某厂生产的电子产品的使用寿命X(单位：小时)服从正态分布N(1 000，σ2)，且P(X<800)＝0.2，P(X ≥1 300)＝0.02.(1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在[1 200，1 300)的概率；(2)现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品的使用寿命在[800，1 200)的件数为Y ，求Y 的分布列和数学期望E(Y)．答案 (1)0.18 (2)E(Y)＝1.8解析 (1)因为X ～N(1 000，σ2)，P(X<800)＝0.2，P (X≥1 300)＝0.02，所以P(1 200≤X<1 300)＋P(X≥1 300)＝P(X≥1 200)＝P(X<800)＝0.2.所以P(1 200≤X<1 300)＝0.2－0.02＝0.18.故抽取的产品的使用寿命在[1 200，1 300)的概率为0.18.(2)因为P(800≤X<1 200)＝1－2P(X<800)＝1－2×0.2＝0.6，所以Y ～B(3，0.6)．P(Y ＝0)＝C 30×0.60×(1－0.6)3＝0.064，P(Y＝1)＝C31×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(Y＝2)＝C32×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(Y＝3)＝C33×0.63×(1－0.6)0＝0.216.所以Y的分布列为Y 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216 所以E(Y)＝3×0.6＝。
