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第2章-动量--角动量_守恒定律

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2-5角动量 角动量守恒定律

2-5角动量 角动量守恒定律

例：一个人站在转台（质量为M，半径为R）的边
缘，质量为m ，当人沿转台边缘行走一周时，人和转台
相对地面各转过了多少角度？
解：取人和转台为一系统，对整个系统而言，M 0
系统的角动量守恒。
取地面为参照系，人相对地面转动的角速度为 1，
转台相对地面转动的角速度为 2 ，人相对转台转动的
角速度为 。
(mR2 )1
12 v0
7l
由角动量定理
M dL d(I) dI
dt dt
dt
即
mgr cos d ( 1 ml2 mr2 ) 2mr dr
dt 12
dt
考虑到 t
dr g cost 7lg cos(12v0 t)
dt 2
24 v0
7l
§2.5角动量 角动量守恒定律 第2章 运动定律与力学中的守恒定律
§2.5角动量 角动量守恒定律 第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2.5.L2 质r点的p角动量定dp理
F,
dL ?
dL
d
(r
dt
p)
r dp
dt
dr
p
dt
dr v,
dt
v p 0
dt dL
dt r dp
r
F
dt
dt
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
得 LdL m2 gR3 cosd
L LdL m2gR3
cosd
0
0
L mR 3 2 (2g sin )1 2
L mR 2
( 2g sin )1 2
R
§2.5角动量 角动量守恒定律 第2章 运动定律与力学中的守恒定律

第二章 动量、角动量守恒-2

第二章 动量、角动量守恒-2
β
( )
' 2
= 0.32 m/ s
(
2
)
2 a' = an + at2 = 0.51 m 2 s
a
an
合加速度的方向与轮缘切线方向夹角
an β = arctan = 38.70 at
6
4、转动动能: 、转动动能
1 2 Ek = mv 2 i 刚体是有许多质点组成的,第 刚体是有许多质点组成的 第
2
2、刚体运动的角量描述: 、刚体运动的角量描述
角位置: 角位置 角位移: 角位移
θ1
θ2
p
'
∆θ = θ2 − θ1
0
∆θ
p
角位移是矢量 角速度: 角速度 平均角速度: 平均角速度 瞬时角速度 角加速度: 角加速度
θ1
x
∆θ ω = = t2 − t1 ∆t
θ2 − θ1
dθ ω= dr t r 2 r dω d θ = 2 α= r
( 2 m 1 + m / 2 )m 2 g T2 = m1 + m 2 + m / 2
(m1 − m2 )g a= m1 +m2 +m / 2
15
2.不计滑轮质量 m=0 不计滑轮质量
T1 =
2 m 2 m1 g + m1 M f / R m1 + m 2
a= (m1 − m2 )g − M f / R m1 +m2
J=
∑
i =1
n
∆mi ri2
如果刚体是连续分布的质点系
J = r dm
2
∫
例1、计算质量为 m , 长为 l 的均匀细杆的转动惯量 、 (1) 假定转轴通过杆中心并与杆垂直 假定转轴通过杆中心并与杆垂直; (2) 假定转轴通过杆的端点与杆垂直。 解: dm = m dx

02_动量角动量3

02_动量角动量3

瞬时功率：
A dA P lim dt t 0 t dA F dr F v P dt dt
i 1
i 1
b A lim Fi ri F dr
n r 0 i 1
F1
F2
a
b A F dr a
a
r1
1
2
功和能
合力的功：
A
L
F dr F1 F2 Fn dr
动量与角动量
一、质点的角动量 angular momentum
定义：
L r P r mv
——质点对O点的 角动量
L
z

O
x

mv
y
L rmv sin L Lx i Ly j Lz k
单位：kg · m2· s-1
动量与角动量
地球在椭圆的一个焦点上，则
(1)卫星的动量是否守恒？ (2)卫星的角动量是否守恒？
m
(3)卫星的动能是否守恒？
(4)开普勒面积定律的实质是什么？
动量与角动量
Example 质量为 m 小球系在绳子的一端，绳穿过铅 直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小 球一速度 v0 绕管心作半径为 r0 的圆周运动，然后向下 拉绳子，使小球运动半径变为 r1 。求小球的速度.
• 对质点系
dLi F2 M i外 M i内 dt f2 dLi (M i外 M i内 ) f1 d t i i d( L) dL F 1 M外 m1 dt dt t t0 M 外 dt L L0 t ——外力矩的冲量矩 M d t 外

力学2_习题

力学2_习题
角动量与角动量守恒
1、角动量和角动量守恒定律 (1) 角动量 r p r mv L
(2)两个质点的 角动量守恒定律
L1 L2 常矢量
2、角动量定理
(1)角动量的时间变化率 力矩
dL M r F dt
(2) 质点系的角动量定理
dL M外 r F dt (3)质点系的角动量守恒定律 dL M 外 0时, 0 dt
2 3m2v0 cos 1 M 3m M 2m gl
类似的例题
质量为m、半径为r的圆柱从一斜面的顶 端由静止滚下，斜面长为l，倾角为 ， 摩擦力为f, 求圆柱体在斜面底端的速度。
根据动能守恒
l

1 2 1 mgl sin fl mv J 2 2 2
（2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所作的功A。
（3）物体到达B时对槽的压力。
m
A R
M
B
解：
（1）取物体m、槽M和地球为系统。对地面参考系，设小球 离开槽底端时小球与槽的速度分别为v、V，由机械能守恒
1 1 2 mgR mv MV 2 2 2
又由水平方向动量守恒，有
mv MV 0
(2)保守力的判断
(3)势能
重力势能
弹性势能 引力势能
E p G
Ep mgh 1 2 E p kx 2 Mm
r
5、机械能守恒定律及能量守恒
1. 从一个半径为 R 的均匀薄圆板上挖去一个半径为 R/2 的圆板，所形 成的圆洞的中心在距圆薄板中心 R/2 处，所剩薄板的质量为 m 。求此时薄 板对通过圆中心与板面垂直的轴的转动惯量。
vc
棒和球组成的系统为研究对象。 碰撞后系统质心作匀速直线运动ห้องสมุดไป่ตู้同时 系统绕质心作匀速转动。

大学物理第2章-质点动力学基本定律

大学物理第2章-质点动力学基本定律
②保守力作功。
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b

第二章角动量

第二章角动量

定义冲量矩：

tb
ta
b Mdt dL Lb La
a
角动量定理的另一形式 在惯性参考系中，质点所受合外力在其任一运动过程 中对任一固定点的冲量矩等于质点对该点的角动量在 该过程中的增量。
1. r 为物体相对于指定参考点的位矢，所以求物体所受 的力矩时必须先指明参考点，相对于不同的参考点，对 应的位矢 r 不同。物体所受的力矩不同。
L
L mrvsin L0
S

L mrvsin L0
开普勒第二定律
L
F
v r

m
dr
L mvr sin
m dr r sin
dt 1 r dr sin dS 2 2m 2m dt dt
dr r dr r 三角形面积
t2 t1
F dt m v 2 m v1
角动量定理(冲量矩与角动量)
t2 t1
L2 M dt L1 d L L 2 L1
动量守恒：某一时间间隔内， 角动量守恒：对固定参考点而 质点系所受外力矢量和始终 言，质点受到的合力矩始终为 为零，… 零，…
dt
L r mv
2 2 mab k mab cos t k mab sin t k
【补充例】质量为 m 的质点，某时刻的位置如图， y 速度为 v 6 j 受力为 F 2 j （4，3） 求：该时刻质点对 0点的角动量 L ？ （SI）
o
x
dx
x
解： 如图，距O点为x，长为dx的质元dm m 的质量 dm dx
其所受阻力矩
M xdmg

大学物理-角动量定理和角动量守恒定律

大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
当系统所受外力矩为零时，系统内各物体角动量 之和保持不变。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。

第2章-2-动量-角动量守恒定律2019

第2章-2-动量-角动量守恒定律2019

3
4 105
（2）
I
Fdt
00.003
400

4 105 3
t

dt

400t

4105t 2 23
0.003
0.6 N s
0
（3） I mv 0
m I 0.6 0.002kg 2g v 300
2．质点系的动量定理
设有 n 个质点构成一个系统
（2）系统内所有质点的动量都必须对同一个惯性参考 系而言。 （3）若系统所受合外力不为零，但是合外力在某一方 向上的分量为零，则系统在该方向上的总动量守恒。
Fix 0 Px mivix 常量
（4）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统 的总动量守恒。（如：碰撞，打击，爆炸等过程）
称为“冲量矩”
质点系的角动量定理的推导：

m1
m2
质点系的角动量定理：
质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于 质点所受的所有外力对同一参考点力矩的矢量和。
质点系角动量定理的积分式：
t2
t1
Mdt

L2

L1
作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内
的角动量的增量 。
质点系的z轴的角动量定理：

第 i 个质点： 质量mi

内力 fi
初速度 末速度
外力
vviio
Fi
由质点动量定理：
Fi
i
fi
t
to
Fi
fi
dt mivi
mi vio
t




to Fi fi dt mivi mi vio

大学物理上第2章2-动量--角动量 守恒定律

大学物理上第2章2-动量--角动量 守恒定律
（2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认 为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）
动量守恒的分量式：
Px mivix 常量 Py miviy 常量 Pz miviz 常量
动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律 之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。
力矩 ( Moment of Force /Torque )

j)
2．质点系的动量定理
设有 n 个质点构成一个系统

第 i 个质点： 质量mi

Fi
内力 fi
初速度 末速度
外力
vviio
Fi
i
由质点动量定理：
fi
t
to
Fi
fi
dt mivi
mi vio
t




to Fi fi dt mi vi mivio
车辆超速容易 引发交通事故
结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物 体的质量有关。
动量（Momentum） ：运动质点的质量与
速度的乘p 积。mv
单位：kg·m·s-1
由n个质点所构成的质点系的动量：
p
n
pi
n
mivi
i1
i1
2-2-2 动量定理
1．质点的动量定理
冲量：作用力与作用时间的乘积
⑴ 恒力的冲量：
I F (t2 t1)
⑵ 变力的冲量：

I
t2
F
(t)

dt
t1
单位：N·s
⑶ 平均力的冲量：
牛顿运动定律：
F

角动量守恒原理及讲解

角动量守恒原理及讲解

角动量守恒原理及讲解一、角动量的基本概念1. 定义- 对于一个质点，角动量→L=→r×→p，其中→r是质点相对于某参考点的位置矢量，→p = m→v是质点的动量（m为质点质量，→v为质点的速度）。

- 在直角坐标系中，如果→r=(x,y,z)，→p=(p_x,p_y,p_z)，那么L_x = yp_z - zp_y，L_y=zp_x - xp_z，L_z = xp_y - yp_x。

2. 单位- 在国际单位制中，角动量的单位是千克·米²/秒（kg· m^2/s）。

二、角动量定理1. 表达式- 对单个质点，→M=(d→L)/(dt)，其中→M是作用在质点上的合外力矩。

- 对于质点系，→M_{外}=(d→L)/(dt)，这里→M_{外}是系统所受的合外力矩，→L是系统的总角动量。

2. 物理意义- 角动量定理表明，作用于质点（系）的合外力矩等于质点（系）角动量对时间的变化率。

三、角动量守恒定律1. 内容- 当系统所受合外力矩→M_{外} = 0时，系统的角动量→L保持不变，即→L=text{常量}。

2. 条件- 合外力矩为零是角动量守恒的条件。

这可能有多种情况，例如：- 系统不受外力矩作用。

- 系统所受外力矩的矢量和为零。

在有心力场（如地球绕太阳的运动，太阳对地球的引力是有心力，力的作用线始终通过太阳中心）中，物体所受的力矩为零，角动量守恒。

3. 举例说明- 花样滑冰运动员的旋转- 当花样滑冰运动员双臂伸展时开始旋转，此时他具有一定的角动量。

由于冰面的摩擦力矩很小可以忽略不计，运动员所受合外力矩近似为零。

- 当他将双臂收拢时，他的转动惯量I减小（转动惯量I=∑ m_ir_i^2，双臂收拢时，身体各部分到转轴的距离r_i减小）。

根据角动量守恒定律L = Iω=text{常量}（ω为角速度），转动惯量I减小，则角速度ω增大，运动员的旋转速度加快。

- 行星绕太阳的运动- 行星受到太阳的引力是有心力，引力对太阳中心的力矩为零。

第二章 角动量守恒定律

第二章 角动量守恒定律
v dS = 恒矢量 dt
v r
证毕
如图，两个质量相等的人分别抓住轻绳的两端。 例2. 如图，两个质量相等的人分别抓住轻绳的两端。 设开始时两人在同一高度上，此时左边的人从静止 设开始时两人在同一高度上 此时左边的人从静止 同一高度 开始往上爬，右边的人抓住绳子不动， 开始往上爬，右边的人抓住绳子不动，如不计滑轮 的摩擦，问哪个人先到达滑轮？ 的摩擦，问哪个人先到达滑轮？如果两人的质量不 等，情况又如何？ 情况又如何？ 解： 以O点为参考点 点为参考点 系统：人、绳子、滑轮 系统： 绳子、
角动量守恒定律是自然界的一条普遍 定律，它有着广泛的应用。
例1、证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线 、证明开普勒第二定律： 在相等时间内扫过的椭圆面积相等 。 证明
v 1v v dS = r ×dr 2
v dr
v v dS 1 v dr 1 v v = r × = r ×v dt 2 dt 2 v dS 1 v v 1 v = r ×mv = L 有心力作用下角动量守恒 dt 2m 2m
质点系的角动量 设各质点对O点的位矢分别为 设各质点对 点的位矢分别为
v L
v v v r1 , r2 , L, rn
γ
v LA
A
v v v 动量分别为 p1 , p2 , L, pn
n v n v v v L = ∑Li = ∑(ri × pi ) i =1 i =1
O
2-3-2 力矩
v v v v v dL d(r × p) dr v v dp = = × p+ r × dt dt dt dt v v v dr v v v dp 式中 × p = v× p = 0 =F dt dt dt
z
M = rF sin α

大学物理2-5 角动量 角动量守恒定律

大学物理2-5 角动量 角动量守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
A1 2 = Ek2 E k1
2–5 角动量 角动量守恒定律 5 一对作用力和反作用力的功
m1,m2组成一个封闭系统 在dt 时间内
m 1
r 1
f1
dr 1
dr2 dr1 m1 f1 r1 o r2 r21 f2 m2
m2 r2
f2 dr2
dA = f1 dr1 + f2 dr2
Z注意:不能先求合力,再求合力的功;只能先求每个力 注意:不能先求合力,再求合力的功; 注意 的功,再对这些功求和. 的功,2章 运动定律与力学中的守恒定律 第 再对这些功求和.
2–5 角动量 角动量守恒定律 5
质点系动能定理 质点系动能定理
A外 + A内非 + A内保 = Ek2 Ek1
质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保 守力的功和质点系内非保守力的功三者之和. 守力的功和质点系内非保守力的功三者之和.
注意
内力可以改变质点系的动能, 内力可以改变质点系的动能,但 内力不能改变质点系的总动量
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量守恒定律 5
功能原理
A内保 = E p = ( E p 2 E p1 )
Ep表示势能总和
A外 + A内非 = ( Ek2 Ek1 ) + ( Ep2 Ep1 )
的方向符合右手法则. L 的方向符合右手法则
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
= 90
mv
直角坐标系中角 动量的分量表示
Lx = ypz zpy Ly = zpx xpz
Lz = xpy ypx
2–5 角动量 角动量守恒定律 5

圆周运动中的动量守恒和角动量守恒定律

圆周运动中的动量守恒和角动量守恒定律

圆周运动中的动量守恒和角动量守恒定律在物理学中，圆周运动是指物体沿着一个圆形轨道运动。

当物体进行圆周运动时，存在着动量守恒和角动量守恒的定律。

动量守恒和角动量守恒是物理学中的基本原理之一，也是研究运动规律和力学原理的重要工具。

一、动量守恒定律动量守恒定律是指在没有外力作用的情况下，物体的总动量保持不变。

对于圆周运动而言，动量守恒定律可以适用于各个时刻。

动量是物体的质量乘以速度，即p=mv，其中p表示物体的动量，m 表示物体的质量，v表示物体的速度。

在圆周运动中，物体沿着圆形轨道做运动，速度的方向会不断改变，但动量的大小保持不变。

这是因为当物体在圆周运动中改变速度方向时，速度的变化会导致动量方向的改变，从而使得总动量保持不变。

二、角动量守恒定律角动量守恒定律是指在没有外力矩作用的情况下，物体的总角动量保持不变。

对于圆周运动而言，角动量守恒定律同样适用。

角动量是物体的转动惯量乘以角速度，即L=Iω，其中L表示物体的角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。

在圆周运动中，物体围绕圆心旋转，角速度的大小和方向会随着物体位置的变化而改变，但角动量的大小保持不变。

这是因为当物体在圆周运动中改变角速度时，角速度的变化会导致角动量的方向的改变，从而使得总角动量保持不变。

三、动量守恒和角动量守恒的应用动量守恒和角动量守恒定律在物理学中有着广泛的应用。

在圆周运动中，这两个定律具有重要的意义。

首先，动量守恒定律可以用来分析各个时刻物体的速度和动量之间的关系。

当物体进行圆周运动时，可以根据动量守恒定律计算物体在不同位置处的速度，从而探究物体在圆周运动中的动态变化。

其次，角动量守恒定律可以用来解释物体的稳定性和旋转运动的特点。

在圆周运动中，当物体的角动量守恒时，可以得出物体旋转的稳定性条件，进一步推导出绕心轴转动的物体的运动规律。

此外，动量守恒和角动量守恒还可以应用于机械装置和工程设计中。

通过分析物体在圆周运动中的动力学特性，可以优化设计并提高装置的效率和稳定性。

第2章 动量和角动量

第2章 动量和角动量

L
质点的动量p和 矢径r不互相垂直
L
O
m r
2
p
O
90
0
r
90 0
p
m
d


L pr mvr mr
L pd pr sin mvr sin 2 mr sin
用叉积定义
角动量
v
L

m r
p
r
方向用右手螺旋法规定 角动量方向
一、质点的动量定理
1、动量 （描述质点运动状态，矢量）
P＝m v
大小：mv 单位：kgm/s
方向：速度的方向 量纲：MLT－1
2、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量） I 方向：速度变化的方向 单位：Ns
（1） 常力的冲量
量纲：MLT－1
I Ft
（2） 变力的冲量
F1 t1
F2 t 2
Mv ( M dM )(v dv) dM(v u) Mv vdM Mdv dMdv vdM udM
Mdv udM 0 v M dM M0 v v0 u ln dv u M v0 M0 M
§3.5 质心**
n 个质点组成质点系的质量中心
Fz dt
t1
t2
4、质点的动量定理的应用
例：逆风行舟 f u
m
v
p1
p
p2
例1、质量为2.5g的乒乓球以
10 m/s 的速率飞来，被板推
v2 30o 45o n
挡后，又以 20 m/s 的速率飞
出。设两速度在垂直于板面 的同一平面内，且它们与板 面法线的夹角分别为 45o 和

大学物理 角动量守恒定律

大学物理 角动量守恒定律

mv
L r p r mv
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量守恒定律
3
L r p r mv
L 的方向符合右手法则.
大小z ຫໍສະໝຸດ L mvL rmv sin
2
r
单位：千克二次方米每秒（Kg ·m2 /s ）
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
Lx ypz zp y
i i 0 j i k k i j
2–5 角动量 角动量守恒定律
5
i j k j j 0 k j i y
j
i k j j k i k k 0
质点所受外力对某参考点的力矩为零，则质点 对该参考点的角动量守恒。这就是质点的角动 量守恒定律。
M r F
地球
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量守恒定律
9
例2.16 在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块， 木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧 的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击 中木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l， 此时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v 2 . 解 击中瞬间，在水平 面内，子弹与木块组成 的系统沿 v0 方向动量守 恒，即有
l0 (m M)v1 l (m M)v2 sin
2 k( l l ) m2 2 0 v2 v 0 (m M)2 mM
arcsin
l0 mv0
2 l m2 v0 k(l l0 )2 (m M)

第2章-角动量守恒定律

第2章-角动量守恒定律

2.质点系角动量定理
i 1 i 1 dL dri dpi 两边对时间求导： pi ri dt dt dt dri dpi pi 0 ri ri Fi f i 上式中 dt dt dL ri Fi ri f i dt 上式中 ri fi 0 合内力矩为零
dr
r
证毕
例2.匀速直线运动的小球m，以速度 运动，试 求： （1）对直线外一固定点O的角动量？ （2）问角动量是否守恒？ 解： （1） 大小： 方向： （2） 不论
的方向，即垂直纸面向里 d
O
如何变，合力矩为零
守恒
L 恒矢量
质点或质点系的角动量守恒定律：
当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始 终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。
质点系对z 轴的角动量守恒定律： 系统所受外力对z轴力矩的代数和等于零， 则质点系对该轴的角动量守恒。
Lz 恒量
M z 0
注意： 1) 同一质点相对于不同的点，力矩和角动量可以 不同。在说明质点的力矩和角动量时，必须指明 是对哪个点而言的。角动量定理中力矩和角动量 都是对于惯性系中同一固定点而言的。 2)有心力作用下，物体角动量守恒。 3)角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，它 有着广泛的应用。
质点对某一参考点的角动量随时间的变化率 等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。 角动量定理的积分式：
dL M0 dt
--质点的角动量定理微分式

t2
t1
M 0dt L2 L1

t2
t1
M 0 dt 称为“冲量矩”
作用于质点的冲量矩等于质点在作用时间内 的角动量的增量 。
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r1 p1 r2 p2
r1mv1 r2mv 2
v2 r1 v1 r2
根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有
Mm m G 2 0 r2
解得 考虑到
2 v2
b2 0 a
r1r2 a 0 b 2
r1 r2 2a ，最后求得
r2 a a b a c
t1
M 0dt L2 L1
M 0 dt 称为“冲量矩”
质点系角动量定理的积分式：

如果 M 0
t2
t1
Mdt L2 L1
作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时 间内的角动量的增量 。 则
L 恒矢量
质点或质点系的角动量守恒定律： 当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始 终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。
mv 2 mv 2 向心力： = 2 r = f (cos i sin j ) r r /2 d mv2 I f dt (cos i sin j) dt r 0
I mv ( sin |
/2 0
M
o
r
F
F
a
M 0 rF sin a
力矩的方向： 由右手螺旋关系 确定，垂直于 r 和 F 确定的平面
M
r
2．力对轴的矩
力 F 对点的力矩 M 0 在过点的
任一轴线上的投影。
M0
A

MA
M A M O cos
1) 力在转动平面内
O
M r F
§2-1 牛顿定律 §2-2 动量守恒定律 §2-2-1 §2-2-2 §2-2-3 §2-2-4 §2-2-5 动量 动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心与质心运动定理
§2-3 角动量守恒定律 §2-4 能量守恒定律 §2-5 守恒定律和对称性
§2-2 动量守恒定律
2-2-1 动量
车辆超载容易 引发交通事故
1,开普勒行星运动定律 (1)轨道定律：每个行星都各以太阳为在焦点的一个椭圆轨道
运行。
(2)面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过 的面积相等. (3)周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴a的立方正比 3 于公转周期T的平方.即 T a 2
证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相 等时间内扫过的椭圆面积相等 。


t to
Fi fi dt mi vi mi vio

其中：
fi 0
f12 f21 m2
系统总末动量： P mi vi
系统总初动量：
F2
P0 mi vio
F1
m1
合外力的冲量：

t
t0
Fi dt

2 2
这表明太阳位置坐标为（-c），这正是几何上的椭圆焦 点位置.这一结果与天文观测资料的一致，证认了牛顿力学 理论的正确性,最为重要的是一举同时证认了引力二次方反 比律和运动定律两者的正确性.
若m1 m2
系统受合外力矩不为 零，角动量不守恒
可应用质点系角动量定理进行具体分析 讨论。
开普勒三定律和万有引力定律
人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的观 察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe ,1546-1601）进 行了连续20年的仔细观测和记录，他的学生开普勒（Kepler Johamnes,1571-1630）则花了大约20年的时间分析这些数据， 总结出三条行星运动规律。
动量定理的微分式： 动量定理的积分式：
t p t d mv F v I F dt p p0 p mdt0
to
d(mv) dp F dt dt
F ma
po
to
例1：如图所示，质量 m、以速率 v 作匀速率圆周运动 的小球，求1/4周期内向心力对小球的冲量？ 法1：根据动量定理 mvi I p P P I mv(i j ) mv j 2 1 法2：根据冲量的定义
l
绳子对地面的压力为: N G 3 g (l y ) j 3G
2-2-3 动量守恒定律
质点系的动量定理：

t
t0
Fi dt P P0
有
当 Fi 0 时，
动量守恒定律：
P P0
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。
两人质量相等
既忽略 滑轮质量 终点线 又忽略 轮绳摩擦 终点线
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
同高从静态开始往上爬
两人质量相等
质点系
忽略轮、绳质量及轴摩擦
m1＝m 2
系统 的末 态角 动量
合外力矩为零，角动量守恒
系统的初 态角动量
m2v2 R m1v1R
得
不论体力强弱，两人等速上升
2
2
v2
设行星远日点和近日点的距离分别为 度为 v1、v2 .由机械能守恒，有
r、r2 ，对应的速 1
v1
1 2 Mm 1 2 Mm mv1 G mv 2 G 2 r1 2 r2
p
r2 r1
1 1 v v 2GM r r 2 1
2 2 2 1
v2
由角动量守恒，有
dL r F M dt
因是牛顿定律的推论，则只适用于惯性系。
2-3-3 角动量定理 角动量守恒定律
dL M0 dt
质点的角动量定理： 质点对某一参考点的角动量随时间的变化率 等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。 角动量定理的积分式：


t2 t1
t2
P mi vi 常矢量
条件： Fi 0
（1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个 说明： 质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。 （2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认 为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）
动量守恒的分量式：
Px mi vix 常量
o'
α
l
v
o
Lo L o ' L oo'
mvl sina ,
mvl ,
mvl sina ,
m
在讨论质点的角动量时，必须指明是对那 点或那个轴的角动量
问题的提出
地 球 上 的 单 摆 太 阳 系 中 的 行 星
变变
变
大小会变
大小未必会变，靠什么判断？
牛顿定律 角动量定理：
dL d r p d r d p pr dt dt dt dt dp dr 式中 F p v p 0, dt dt
动量分别为 p1 , p2 , , pn
r1 , r2 , , rn

O
LA
A
n n L Li (ri pi ) i 1 i 1
练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为 m，速率为v，求圆锥摆对o点,o'点,oo'轴的
角动量
L
P
设：t时刻质点的位矢 r ,
运动质点相对于参 考原点O的角动量 定义为：
质点的动量mv
r
L r p r mv
质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的 投影，称为质点对轴线的角动量。
LA L cos
质点系的角动量 设各质点对O点的位矢分别为
L
车辆超速容易 引发交通事故
结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物 体的质量有关。 动量（Momentum） ：运动质点的质量与 速度的乘积。
p mv
单位：kg· s-1 m·
由n个质点所构成的质点系的动量：
p pi mi vi
i 1 i 1
n
n
2-2-2 动量定理
F 对转轴 OA 的力矩同 F 对O点的力矩大小是相等的
M
O
A
r
d
F
2) 力不在转动平面内
M = r ×F = r × ( F 1+ F2 )
F1
F
M r F
= r × F 1+ r × F 2
转动 平面
r
F2
r × F11只能引起轴自身的 变形，而对转动无贡献。
练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重
证
dS 1 dr 1 r r v dt 2 dt 2 dS 1 1 r mv L 有心力作用下角动量守恒 dt 2m 2m
dS 恒矢量 dt
1 dS r dr 2
dr
r
由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零， 故角动量守恒，亦即
1．质点的动量定理
冲量：作用力与作用时间的乘积 ⑴ 恒力的冲量： 单位：N· s
I F (t2 t1 )
⑵ 变力的冲量：
t2 I F (t ) dt
t1
⑶ 平均力的冲量：
牛顿运动定律：
dp F dt 如果力的作用时间从 t0 t，质点动量从 p0 p
力mg和合力F对o' 点、o 点、oo' 轴的力矩
o'
L T 力矩 o'点 o点 拉力T 0 重力mg mgLsinθ × 合力F
θ o
FLcosθ ×
0
F
TLcosθ sinθ ⊙