习题课6-力矩与角动量

力矩和角动量的积分计算题目及解析
摘要：
I.引言
A.力矩和角动量的概念
B.力矩和角动量积分的应用
II.力矩和角动量的积分计算方法
A.力矩的定义和计算公式
B.角动量的定义和计算公式
C.力矩和角动量积分的计算方法
III.力矩和角动量积分计算题目解析
A.计算题目的类型
B.解题的步骤和方法
C.需要注意的计算细节
IV.结论
A.力矩和角动量积分计算的重要性
B.计算中的常见问题和解决方法
C.展望未来的研究方向
正文：
力矩和角动量是物理学中非常重要的概念，它们在许多物理问题的研究中都有着广泛的应用。

在实际问题中，我们常常需要对力矩和角动量进行积分计算，以便更好地理解和分析物理现象。

因此，掌握力矩和角动量积分的计算方
法是非常必要的。

首先，我们需要了解力矩和角动量的定义和计算公式。

力矩是一个向量，它的方向垂直于力的作用线，大小等于力的大小与力臂的乘积。

角动量是一个矢量，它的方向沿着物体绕某个轴旋转的方向，大小等于物体的质量、速度和旋转半径的乘积。

在此基础上，我们可以推导出力矩和角动量的计算公式，并利用这些公式进行积分计算。

在实际计算中，我们需要注意一些细节问题。

例如，在进行积分计算时，我们需要根据题目的要求选择合适的积分方法。

此外，我们还需要注意公式的适用范围，避免在计算过程中出现错误。

总之，力矩和角动量积分计算在物理学中有着广泛的应用，掌握其计算方法对于解决物理问题具有重要意义。

在实际计算中，我们需要注意细节问题，选择合适的计算方法，并灵活运用公式。

第六讲角动量及综合课后练习1.质量为m的小球在(x1，0，0)点由静止释放,设重力加速度沿-z方向。

试求：(1)小球受到的重力相对于原点O的力矩(2)小球相对于原点O的角动量随时间的变化关系。

2.一圆锥摆的摆球以恒定角速度ω作圆周运动,圆周半径为R,摆线长l,分别求摆球相对圆心O和悬挂点O′的角动量3.光滑水平面上有一小球A被一轻绳拴住,轻绳穿过平面上小孔O与小球B连接,开始时A球在水平面上绕O做匀速圆周运动,B球静止地向下垂挂着,如图所示,今使小球B的质量缓慢增加,直到A球绕O点做匀速圆周运动的半径缩短一半,试问此时B球的质量为初始质量的多少倍?4.在光滑水平面上,一个质量为m的质点系于一根原长为a的轻橡皮绳的一端,橡皮绳的另一端系于桌面上一个固定点O,橡皮绳拉伸时的劲度系数为k,若质点在开始时被拉至距O点距离为2a处,并给质点在垂直于橡皮绳方向以初速度V。

(1)为使质点绕O点作圆周运动,求V的大小(2)为使橡皮绳不松弛,V的最小值V m(3)当0<V<V m时,质点在运动中距O点的最小距离为多大5.一质量为m的物体栓在穿过小孔的轻绳的一端,在光滑的水平台面以角速度ω0作半径为r0的圆周运动,自t=0时刻开始,手拉着绳子的另一端以匀速v向下运动,使半径逐渐减小,试求:(1)角速度与时间关系ω(t);(2)绳中的张力与时间关系。

6.如图所示,质量为m的小球系在绳子的一端,绳穿过一铅直套管,使小球限制在一光滑水平面上运动。

先使小球以速度v0绕管心作半径为r0的圆周运动,然后向下慢慢拉绳,使小球运动轨迹最后成为半径为r1的圆,求(1)小球距管心r1时速度大小(2)由r0缩到r1过程中,力F所作的功7.在一根长为3l的轻杆上打一个小孔,孔离一端的距离为l,再在杆的两端以及距另一端为l处各系一质量为M的小球,然后通过此孔将杆悬挂于一光滑的水平细轴O上,如图所示,开始时,轻杆静止,一质量为m的小球以水平速度v0射入中间的小球,并留在里面,试求杆在以后摆动中的最大摆角。

专题六：力矩和角动量例1．如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A ，与环面接触点为B 。

已知两个物体的质量线密度均为ρ，直杆与地面的夹角为θ，圆环半径为R ，所有接触点的摩擦力足够大。

求:（1）地给圆环的摩擦力；（2）求A 、B 两点静摩擦因数的取值范围。

例2．有一轻质木板AB 长为L ，A 端用铰链固定在竖直墙上，另一端用水平轻绳CB 拉住。

板上依次放着A 、B 、C 三个圆柱体，半径均为r ，重均为G ，木板与墙的夹角为θ，如图所示，不计一切摩擦，求BC 绳上的张力。

例3．有一质量为m =50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数μ=0.3，杆的上端由固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ=300，如图所示。

（1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离h 1=2L /5（L 为杆长），要使杆不滑倒，力F 最大不能超过多少？（2）若将作用点移到h 2=4L /5处时，情况又如何？例4．如图所示，矩形板N 上有两个光滑的圆柱，还有三个小孔A 、B 、C ，通 过小孔可以用销钉把此板固定在光滑的水平面M 上。

一柔性带按图示方式绕过 两圆柱后，两端被施以拉力T'=T =600 N ，且T'∥T ，相距40 cm ；已知AB = 30 cm ，AC =145 cm ，BC =150 cm 。

为了保持物块静止，(1)若将两个销钉分别插入A 、B 中，这两个孔将受受怎样的力？(2)将两个销钉插入哪两个孔才最省力？此时所插的销钉受力多大？例5. 如图所示，质量为 m 的小球 B 放在光滑的水平A B θ槽内，现以一长为l 的细绳连接另一质量为m 的小球A ，开始时细绳处于松弛状态, A 与B 相距为l /2。

球A 以初速度v 0在光滑的水平地面上向右运动。

当A 运动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B 球开始运动时速度v B 的大小。

力矩与角动量的概念和计算方法在物理学中，力矩和角动量是两个非常重要的概念，它们在理解物体的旋转运动方面起着关键作用。

接下来，让我们逐步深入了解这两个概念以及它们的计算方法。

一、力矩力矩，简单来说，就是使物体绕着某个轴转动的力的效果。

想象一下，当我们试图转动一扇门时，我们施加在门把手上的力就是产生力矩的力。

力矩的大小等于力的大小与力臂的乘积。

力臂是从转动轴到力的作用线的垂直距离。

如果用 M 表示力矩，F 表示力，L 表示力臂，那么力矩的计算公式就是 M ＝ F × L 。

为了更清楚地理解力矩，我们来看一个例子。

假设我们有一个水平放置的杠杆，杠杆的一端施加一个垂直向下的力F ，杠杆的长度为L ，转动轴位于杠杆的中点。

那么力臂就是杠杆长度的一半，即 L ／ 2 ，此时的力矩 M ＝ F ×（ L ／ 2 ）。

力矩的方向也很重要。

根据右手定则，当右手的四指沿着力绕轴的转动方向弯曲时，大拇指所指的方向就是力矩的方向。

在实际生活中，力矩的概念有着广泛的应用。

比如螺丝刀的使用，我们通过施加在手柄上的力产生力矩，从而拧紧或松开螺丝。

汽车的方向盘也是利用力矩来控制车轮的转向。

二、角动量角动量是描述物体绕轴旋转状态的物理量。

它类似于描述物体直线运动状态的动量。

角动量的大小等于转动惯量与角速度的乘积。

转动惯量取决于物体的质量分布和旋转轴的位置。

角速度则是物体旋转的快慢程度。

如果用 L 表示角动量，I 表示转动惯量，ω 表示角速度，那么角动量的计算公式为 L ＝I × ω 。

转动惯量的计算相对复杂一些，对于一个质点，其转动惯量 I ＝ m × r²，其中 m 是质点的质量，r 是质点到转轴的距离。

对于一个连续分布的物体，需要通过积分来计算转动惯量。

角动量也有方向，其方向同样可以通过右手定则来确定。

右手弯曲的四指沿着物体的转动方向，大拇指所指的方向就是角动量的方向。

角动量在很多自然现象和工程应用中都起着重要作用。

力矩与角动量的关系
力矩与角动量的关系
力矩是量度力对物体产生转动效应的物理量，可分为力对点的矩和力对轴的矩。

下面是小编为大家整理的力矩与角动量的关系，仅供参考，欢迎阅读。

力矩与角动量的关系
某质点对参考系的角动量M对时间的变化率等于作用于该质点的合力对这个质点的力矩L，就是角动量定理，M=dL/dt。

就是L对时间t的微分就是M，M和L都是有方向的。

力矩
力矩表示力对物体作用时所产生的转动效应的物理量。

力和力臂的乘积为力矩。

力矩是矢量。

力对某一点的力矩的'大小为该点到力的作用线所引垂线的长度（即力臂）乘以力的大小，其方向则垂直于垂线和力所构成的平面用力矩的右手螺旋法则来确定。

力对某一轴线力矩的大小，等于力对轴上任一点的力矩在轴线上的投影。

国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米。

常用的单位还有千克力·米等。

力矩能使物体获得角加速度，并可使物体的动量矩发生改变，对同一物体来说力矩愈大，转动状态就愈容易改变。

L定义为r与p的矢积，并不是非常直观的物理量这就是为了研究转动而人为定义的力学量。

所以我觉得这是为了理论研究而人为定义的物理量，α是角加速度，形式上和牛顿第二定律完全一致，M定义为r与F的矢积;dt。

再定义转动惯量以后，转动方程就能写成M=Jα=dL
某质点对参考系的角动量M对时间的变化率等于作用于该质点的合力对这个质点的力矩L,就是角动量定理,M=dL/dt（就是L对时间t 的微分就是M,M和L都是有方向的,算式上标不出来）。

力矩定理与角动量的计算力矩定理和角动量是力学中非常重要的概念，它们在解释物体运动和力的作用时起着至关重要的作用。

本文将探讨力矩定理和角动量的计算方法，并探讨它们在实际生活中的应用。

力矩定理是描述物体受力矩作用时的平衡条件的定理。

力矩是由力在物体上施加的力臂引起的，力臂是力作用点到物体某一点的垂直距离。

力矩定理的数学表达式是：力矩 = 力 ×力臂。

根据力矩定理，当物体受到的力矩之和为零时，物体将保持平衡。

要计算力矩，我们需要知道作用力的大小和方向，以及力臂的长度。

例如，考虑一个杆子，上面有一个质量为5千克的物体。

如果有一个力以20牛的大小施加在杆子上，使得物体保持平衡，我们可以计算出力矩。

假设力臂的长度为1米，那么力矩 = 20牛 × 1米 = 20牛米。

这意味着物体受到的力矩为20牛米，因此保持平衡。

角动量是描述物体旋转运动的物理量。

它是由物体的质量、速度和旋转半径决定的。

角动量的数学表达式是：角动量 = 质量 ×速度 ×旋转半径。

当物体受到外力或扭矩的作用时，角动量会发生变化。

根据角动量守恒定律，当物体在没有外力作用下旋转时，角动量守恒。

要计算角动量，我们需要知道物体的质量、速度和旋转半径。

例如，考虑一个半径为2米的转盘，上面有一个质量为10千克的物体。

如果物体以5米/秒的速度沿着转盘旋转，我们可以计算出角动量。

角动量 = 10千克 × 5米/秒 × 2米 = 100千克米/秒。

这意味着物体的角动量为100千克米/秒。

力矩定理和角动量的计算方法在实际生活中有广泛的应用。

在机械工程中，我们可以使用力矩定理来计算机械装置的平衡条件。

例如，在设计一个平衡杆时，我们可以使用力矩定理来确定所需的力矩，以保持杆的平衡。

在物理学中，我们可以使用角动量来解释天体运动。

例如，地球绕太阳旋转时，地球的角动量守恒，这解释了地球保持在轨道上的原因。

此外，力矩定理和角动量的计算方法还可以应用于运动力学和动力学的研究中。

碰撞就是两个或两个以上的物体在相遇的极短促时间内产生非常之大的相互作用力，而其他的相互作用力相对来说显得微不足道的过程。

关于碰撞的实例和特征请看一段录相。

从录相中我们可知：碰撞的最主要特点是：碰撞时间极短，作用力变化快和作用力峰值大等，因而其他外力可以忽略不计。

如碰撞是对心碰撞，则系统满足动量守恒，即(1)当两球相碰时相互作用的内力仅是弹性力，且在碰撞过程中，两球之间弹性势能与动能在相互转换着。

碰撞除满足动量守恒定律外，碰撞开始和末了动能之和相等，这种碰撞称为弹性碰撞。

弹性碰撞过程一般可分为两个阶段，即压缩阶段和恢复阶段。

弹性碰撞两物体的动能之和完全没有损失可表示为(2)由(1)和(2)得请看一个弹性碰撞示例的动画。

1．恢复系数e牛顿总结实验结果，提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速率与碰撞前两球的接近速率成正比，比值e由两球的材料决定，即(3)e称为恢复系数。

利用恢复系数e可以对碰撞进行分类。

２. 非弹性碰撞这种碰撞被压缩的物体不能恢复原状而有一部分残留的形变，碰撞前后的系统的动能不相等，则称为非弹性碰撞。

非弹性碰撞中0<e<1，分离速率小于接近速率，弹性碰撞中e＝1，分离速率等于接近速率。

如e＝0，,则属于完全非弹性碰撞。

由（1）和（3）式可解出完全非弹性碰撞中(4) 完全非弹性碰撞中的机械能损失为而对于一般的非弹性碰撞这样的表示也可用于力对点的力矩定义上。

如图所示，力F 对O 点的力矩M 为方向也用右手螺旋法则判定。

由图示，因F ，对O 点的力矩分别为则力偶的合力矩（力偶矩）为力矩是描述外力改变刚体转动状态物理量。

注意：质点的角动量L 不仅取决于它的运动状态，还与它相对于参考点的位矢r 有关．对不同的参考点而言，同一质点的位矢r 不同，其角动量亦不同．因此，在说到角动量时，必须指明是对哪个参考点而言的．注意：,与m v 共线， 所以，1． 力对轴的力矩图1是刚体的一个横截平面，z 轴为刚体的转轴，它与横截面的交点为O 。

定义1 向量的向量积设a和b为两个向量，a与b之间的夹角为θ（0 ≤θ≤π），则存在向量c，满足（1）向量c的模|c| = |a||b|sinθ；（2）向量c与向量a和b分别垂直，c的方向与a和b的方向按照由a转向b的右手螺旋法则确定（图1.1）。

这样规定的向量c定义为向量a和b的向量积（也称叉积或外积），记为c = a × b注意，对于两个向量a和b，与a和b的数量积a ? b不同，a和b的向量积a ×b也是一个向量，如果向量a和b不平行，则a ×b与向量a和b构成的平面垂直，即a ×b 与a和b都垂直。

向量a和b的向量积a ×b满足以下运算性质：（1）反交换律：a ×b = ? b ×a；图1.1 向量的向量积（2）分配律：(a + b) × c = a ×c + b ×c；（3）数乘结合律：(λa) × b = a ×(λb) = λ(a ×b)（λ为任意实数）。

根据向量积的定义和运算性质，容易得到（这里0表示零向量）：（1）a ×a = 0；（2）设a和b为两个非零向量，则有a ×b = 0 ? a∥b。

设i，j，k为空间直角坐标系中的基向量（单位向量），则有（1）i ? i = j ? j = k ? k = 1，i ? j = j ? k = k ? i = 0；（2）i ×i = j ×j = k ×k = 0；（3）i ×j = k，j ×k = i，k ×i = j，图1.2 基向量之间的关系j ×i = ? k，k ×j = ? i，i ×k = ? j。

向量积可以根据运算性质计算，设向量a和b在空间直角坐标系中的形式分别为a = axi + ayj + azk = (ax，ay，az)，b = bxi + byj + bzk = (bx，by，bz)，则（运算过程略）a ×b = (axi + ayj + azk) × (bxi + byj + bzk)= (aybz ? azby)i + (azbx ? axbz)j + (axby ? aybx)k= (aybz ? azby，azbx ? axbz，axby ? aybx)向量积也可以用三阶行列式展开成二阶行列式进行形式上的计算：a ×b ==i ?j +k= (aybz ? azby)i ? (axbz ? azbx)j + (axby ? aybx)k计算时可按第一行展开，先去掉三阶行列式中基向量所在的行和列的元素，把余下的二阶行列式（称为余子式）的元素按对角线的乘积相减，然后把结果写成向量形式。

力矩与角动量的概念和计算方法力矩和角动量是物理学中重要的概念，它们在描述物体运动和力学性质方面起着重要的作用。

本文将介绍力矩和角动量的概念以及它们的计算方法，并探讨它们在实际应用中的意义。

一、力矩的概念和计算方法力矩是物体受到的力对于某一点或轴的转动效果的度量。

在物理学中，力矩的计算方法为力矩=力的大小 ×力臂的长度。

力臂是力作用点到旋转轴的垂直距离。

当力矩为正时，物体将以顺时针方向转动；当力矩为负时，物体将以逆时针方向转动。

力矩的计算方法可以通过以下实例来说明。

假设有一个长杆，杆的一端固定在支点上，另一端挂着一个质量为10kg的物体。

如果我们用一个力F=50N施加在离支点2m的位置上，力矩可以通过力矩=力的大小 ×力臂的长度来计算。

在这个例子中，力矩=50N × 2m = 100Nm。

这意味着物体将以顺时针方向转动。

力矩在实际生活中有着广泛的应用。

例如，当我们开关门把手时，我们施加的力产生一个力矩，使得门绕着铰链旋转。

另一个例子是当我们使用螺丝刀拧紧螺丝时，我们施加的力产生一个力矩，使得螺丝旋转。

二、角动量的概念和计算方法角动量是描述物体旋转状态的物理量。

它是由物体的质量、旋转轴和旋转速度共同决定的。

角动量的计算方法为角动量=质量 ×速度 ×旋转半径。

其中，质量是物体的质量，速度是物体的旋转速度，旋转半径是物体绕旋转轴旋转的半径。

角动量的计算方法可以通过以下实例来说明。

假设有一个质量为2kg的物体以角速度为5rad/s绕着一个半径为3m的旋转轴旋转。

角动量可以通过角动量=质量×速度 ×旋转半径来计算。

在这个例子中，角动量=2kg × 5rad/s × 3m = 30kg·m²/s。

角动量在物理学中有着重要的应用。

例如，在天文学中，角动量解释了行星和恒星的旋转运动。

此外，在机械工程中，角动量也被用于设计和分析旋转机械系统，如发动机和涡轮机。