初中三年级数学下册切线长定理习题课件北师大版

(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．
(1)证明：如图，连接OC. ∵BD是⊙O的切线， ∴∠ABD＝90°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠BCD＝90°. ∵点E是BD的中点， 1 ∴CE＝ BD＝BE. 2 ∴∠BCE＝∠CBE. ∵∠CBE＋∠ABC＝90°，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF. ∴∠EDF＝90°－60°＝30°. ∴∠DFE＝90°. ∴DF⊥CE.
∴CF＝EF.
(2)解： 相等．理由如下：
当点E运动至与点B重合时，BC是⊙O的切线， ∵⊙O的切线DF交BC于点F，
∴BF＝DF.
∴∠BDF＝∠DBF. ∵AB是直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. ∴∠FDC＝∠C. ∴DF＝CF. ∴BF＝CF.
DH＝BC＋AD，
即AB＋CD＝BC＋AD. (2)过点B作⊙O的切线，交AD于点M. 由(1)可知BM＋CD＝BC＋MD. ∵AB＜AM＋BM，
∴AB＋BM＋CD＜AM＋BM＋BC＋MD，
即AB＋CD＜BC＋AD.
∵AB＝2，∴OE＝DE.
∴△ODE是等边三角形． ∴∠ODE＝∠OED＝60°. ∵DE∥AB， ∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝∠OED＝60°.
∴△AOD和△BOE是等边三角形．
∴∠OAD＝∠OBE＝60°.
∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°. ∴△CDE是等边三角形．
BD BC 2 1 , ∵tan A＝ AB AC 4 2 1 1 5 . ∴BD＝ AB 5. CE BD 2 2 2
12.【中考•泸州】如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜 边AB分别相切于点C，D，与边BC相交于点F，OA与 CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G. (1)求证：DF∥AO；

切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切
点，可以度量.
预习导学
3.过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 相等 .
·导学建议·
在引入时，教师可找实物悠悠球，拆开球，出示球的剖面，
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成
线段.
预习导学
1.如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，若PB＝5
A.32°
B.48°
C.60°
D.66°
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径
的测量方法.(写出主要解题过程)
合作探究
解:(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)如图，连接OB、OA.
根据切线长定理，得∠OAB＝60°.
在直角三角形AOB中，OB＝ AB，
则只需测得AB的长，即可求得圆的直径.
合作探究
如图，P为☉O外一点，PA、PB为☉O的切线，A和B是切
学习.
预习导学
根据条件画出图形:已知☉O外一点P，过点P作☉O的切线，
可以画几条？
你有几种方法？
预习导学
切线长的概念
阅读教材本课时相关内容，并回答下列问题.
1.过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的 线段
叫做这点到圆的切线长.
预习导学
2.切线和切线长有何区别？
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
合作探究
(2)∵CD是☉O的切线，∴CA＝CE，DB＝DE，
∴AC＋BD＝CD，
△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋
PB＝20.
合作探究
如图，AB是☉O的直径，点C为☉O外一点，CA、CD

(1)判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
解：直线 CD 与⊙O 相切．理由如下： 连接 OC. ∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD， ∴△OCB≌△OCD(SSS)． ∴∠ODC＝∠OBC＝90°. ∴OD⊥CD.∴直线 CD 与⊙O 相切．
(2)若 BE＝2，DE＝4，求⊙O 的半径及 AC 的长． 解：设⊙O 的半径为 r.∴OE＝4－r. 在 Rt△ OBE 中，∵OE2＝OB2＋EB2，∴(4－r)2＝r2＋22. 解得 r＝1.5，即⊙O 的半径为 1.5.∵tan E＝OBEB＝CDDE， ∴12.5＝C4D.∴CD＝BC＝3. 在 Rt△ ABC 中，AC＝ AB2＋BC2＝ 32＋32＝3 2.
11．【2019·资阳】如图，AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A， PB 切⊙O 于点 B，且∠APB＝60°. (1)求∠BAC 的度数；
解：∵PA 切⊙O 于点 A，PB 切⊙O 于点 B， ∴PA＝PB，∠PAC＝90°. ∵∠APB＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴∠BAP＝60°， ∴∠BAC＝∠PAC－∠BAP＝30°.
4．将一把直尺，含 60°角的直角三角尺和光盘如图摆放，AB＝3， 则光盘的直径是( ) A．3 B．3 3 C．6 D．6 3
【点拨】如图，设三角尺与光盘的切点为 C，光盘所在圆的圆心 为 O，连接 OA，OB，则∠BAC＝120°. 易知 AO 平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，∴∠AOB＝30°， ∴在 Rt△ ABO 中，OA＝2AB＝6， ∴OB＝ OA2－AB2＝3 3.∴光盘的直径为 6 3，故选 D. 【答案】D
证明：如图，连接OD，OE.∵AB＝2， ∴OA＝OD＝OE＝OB＝1. ∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE.∴△ODE是等边三角形． ∴∠ODE＝∠OED＝60°.∵DE∥AB，∴∠AOD＝∠ODE＝60°， ∠ EOB ＝ ∠ OED ＝ 60°. ∴ △ AOD 和 △BOE 都 是 等 边 三 角 形．∴∠OAD＝∠OBE＝60°.∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠OAD＝ 60° ， ∠ CED ＝ ∠ OBE ＝ 60°. ∴ △ CDE 是 等 边 三 角 形 ． ∵ DF 是 ⊙O的切线，∴OD⊥DF.∴∠EDF＝90°－60°＝30°.∴∠DFE＝ 90°.∴DF⊥CE.∴CF＝EF.

A
O
P
B 图2
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1、如图， PA和PB分别与⊙O相切于点A、B ，点P到⊙O的切线长可以用哪一 条线段的长来表示？
A
2、思考：点P到⊙O的切线有几条？
O P
B 图2
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3、既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条 线段之间一定存在着某种关系，你能发现是什么关系呢？
A
D
C P
O
B
E
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中考 试题
1、如图，过⊙O外一点作⊙O的切线PA、PB，A、B为切点，C为弧AB
1 上一点，设∠APB= 求证：∠ACB= 90 2
A
.
O
C
P
B
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中考 试题
2．如图，PA、PB 切⊙O于A、B，PO 交AB 于E，下列等式
E
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问题3：如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三 角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？
O 图8
O
O
问题4：如果有一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料 ，并且使圆的面积尽可能最大？
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问题5：请同学们先在课堂练习本上作出有关已知⊙O的四条切线，如图9， 再互相交流与讨论四条切线围成的四边形（即圆的外切四边形）有什么性质， 发现结论并加以证明。 结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
A
O
P
B 图2
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连接 OD， ∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA＝50°.
∵∠CBA＝70°，∴∠ADC＝110°，∠ODC＝60
°.又∵OP⊥CD，∴∠OQD＝90°. ∴OQ＝OD·sin60°＝2× 23＝ 3. ∴DQ＝OD·cos60°＝1. ∵PD 是切线，∴∠PDO＝90°.∴∠PDC＝30°. ∴PQ＝DQ·tan30°＝1× 33＝ 33. ∴OP＝PQ＋QO＝4 3 3.
探究二：如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，
AB 分别相切于点 D，F，E，且 AB＝9 cm，BC＝14 cm， CA＝13 cm，求 AE，BD，CF 的长．
解：设 AE＝x，BD＝y，CF＝z，
由切线长定理列方程组xy＋ ＋yz＝ ＝91， 4，得xy＝ ＝45， ， x＋z＝13， z＝9.
∴OD＝CD＝4－x，∵∠A＝∠A，∠ADO＝∠ACB，∴
△ADO∽△ACB，∴AADC＝BODC，即x4＝4－6 x，∴x＝1.6.
7. (2018·绵阳)如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在 ⊙O 上(点 D 不与 A，B 重合)，直线 AD 交过点 B 的切
线于点 C，过点 D 作⊙O 的切线 DE 交 BC 于点 E. (1)求证：BE＝CE; (2)若 DE∥AB，求 sin∠ACO 的值．
∴BC＝2r，AC＝2 2r， 在 Rt△COB 中，∴OC＝ 5r，
又∵S△ACO＝21·AO·BC＝21·AC·OH，
∴r×2r＝2 2r×OH，∴OH＝ 22r，
在
Rt△COH
OH 中，∴sin∠ACO＝OC＝
225rr＝
1100.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10

︵ 过劣弧DE (不包括端点 D、E)上任一点作⊙O 的切线 MN 与 AB、BC 分别 交于点 M、N.若⊙O 的半径为 r，则 Rt△MBN 的周长为 2r .
12．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AB＝2，AD 和 BE 是圆 O 的两条切线，
A、B 为切点，过圆上一点 C 作⊙O 的切线 CF，分别交 AD、BE 于点 M、 3
解：(1)△ABC 为等腰三角形，∵△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、AC 分 别相切于点 D、E、F，∴∠CFO＝∠CEO＝∠BDO＝∠BEO＝90°，∵四边
︵︵ 形内角和为 360°，∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°，∵EF＝DE， ∴∠EOF＝∠DOE，∴∠B＝∠C，AB＝AC，∴△ABC 为等腰三角形；
切线长定理的综合运用． 【例 2】如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点 P 在 AC 上，AP＝2，若⊙O 的圆心在线段 BP 上，且⊙O 与 AB、AC 都相切，则⊙ O 的半径是( A )
A．1 C．172
B．45 D．94
【思路分析】如图所示，过点 O 作 OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分 别为 D、E、F，CP＝AC－AP＝8－2＝6，BC＝ AB2－AC2＝ 102－82＝6. ∴CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP＝45°，设⊙O 的半径为 r，则 OD＝OE＝DP ＝r，BF＝OF＝6－r，AD＝AE＝r＋2，BE＝8－r，在 Rt△BOE 中，由勾 股定理，得 BE2＋OE2＝BO2，而 BO2＝BF2＋OF2，即(8－r)2＋r2＝2(6－r)2， ∴r＝1.
⊙O 的切线条数为( C )
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条

15 、一切能激发生机的思想都是美好的。敌人只有一个，那就是自私，它能使生命的泉水变得浑浊而枯竭，它能使心灵的天空变得狭窄而阴 暗，它能使理想的星辰变得昏暗而模糊。努力激发你心中的光明和力量，激发那无私的爱和奉献的喜悦。
15、愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。 8、不是某人使我烦恼，而是我拿某人的言行来烦恼自己。 7 、思忆常会在夜静灯昏时翻开甜酸苦辣也成了一道最凄美的风景线，陈旧的美无法在代谢中泯灭。 20 、机会靠自己争取，命运需自己把握，生活是自己的五线谱，威慑呢们不亲自演奏好它? 让内心强大的句子
11、成长是一件很漫长的事。从你呱呱落地开始到你最终闭上眼睛那一刻为止，你无时无刻不在成长。成长不只是有身体的不断变化，还有 你知识的不断增加、感情的不断丰富和智慧的不断提高
5、不要为没有达到目标而沮丧，因为你在出发前就已经明白了挫折的意义。这成长的烦恼，也正是我成长快乐，我应该从容地面对它。唯 有挫折，才能让我进步，让我迈向成功的方向，为我修建成功的道路。
17、我觉得长大仿佛就在一念之间。落雨了，会自然而然的带一把伞，独自一人撑一把伞，漫步在迷蒙的细雨中，用心去感受着独特的浪漫
与温馨，而不会再像小时候一样一头扎进雨帘中嬉闹，满不在乎自己被浇成一支落汤鸡。当听到别人夸奖自己时脸上会突然飘来几朵红云，而 不像小时候一样只会歪着脑袋傻笑……哦!长大的感觉是什么?长大的感觉是雨后萌芽的翠绿的嫩芽，花瓣上滚动的羞涩的露珠儿。 13 、如果青春是醺人欲醉的海风，那么自信就是这和风前行的路标;如果青春是巍峨入云的高耸，那么拼搏就是这山脉层层拔高的动力;如果青 春是高歌奋进的谱曲，那么坚强就是这旋律奏响的最强音! 16 、在被动地生与死之间，种种美好的的愿望，让我们主动地去满足自己种种莫明其妙的反感，让我们去争取。总有一天，我们老了，面朝 大海，看千帆竞发，百舸争流，匆匆的来，也匆匆地去，我们不会伤感，也不应伤感。

如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为60°的 工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗？
若量出角的顶点到切点的距离为10cm，试求这个圆 半径的近似值。
三角形的外接圆： 三角形的内切圆：
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A
A
O
B
C
B
I C
D
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月4日星期一2022/4/42022/4/42022/4/4 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/42022/4/42022/4/44/4/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/42022/4/4April 4, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
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A
O
·
P
B
① PA=PB
连结OA、OB、
② PO平分∠APB ∵PA、PB与⊙O相切，点
A、B是切点
∴OA⊥AP，OB⊥BP
A O
·
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵OA=OB，OP=OP
1 ∴Rt△AOP≌Rt△BOP 2 P ∴PA=PB
∠1 =∠2
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切 线，
B
┐ E
C
【例题】
【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于
点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，

•
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
证明∵：PA、DC为⊙O的切线
∴DA=DE （切线长定理）
同理可证 CE=CB，PA=PB D
又∵C△PCD=PD+PC+CD
=PD+PC+DE+CE P
E
A ·O
=PA+PB =7+7
C B
=14 cm
练 一练 探究∠BOC与∠A有何数量关系？
4、如图，△ABC中，∠ ABC∠=A6=04°0°，∠ACB=80 °，点O
2、如果作辅助线把OP连接起
O
P
来,∠APO和∠ BPO又有何关系？
B
∠APO=∠ BPO
你能证明你的猜想吗？
推理论证
已知：从⊙O外的一点P引两条切线PA， PB，切点分别是A、B. 求证： AP=BP， ∠OPA=∠OPB
证明：连接OA，OB
A
∵PA，PB与⊙O相切，
点A，B是切点。
∴OA⊥PA，OB⊥PB
CE=9 cm
C
课堂小结
1、切线长概念 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的 线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
3、与三角形各边 都相切的圆 ，叫做三角形 的 内切圆.