有理数

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。

整数也可看做是分母为一的分数。

不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

有理数集可以用大写黑正体符号Q代表。

但Q并不表示有理数，有理数集与有理数是两个不同的概念。

有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。

命名由来“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。

事实上，这似乎是一个翻译上的失误。

有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。

中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。

但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。

所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。

与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

有理数的认识有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称 [2] 。

正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

有理数集是整数集的扩张。

在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。

有理数a,b的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，则称当a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。

任何两个不相等的有理数都可以比较大小。

有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是稠密的，而整数集是密集的。

将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性。

有理数的概念有理数是数学中的一种特殊数。

它包括整数、分数以及它们之间的数。

有理数是在实数范围内的一部分，可以表示为分子和分母都是整数的分数形式。

在本文中，我们将探讨有理数的定义、性质和应用。

一、有理数的定义有理数可以表示为 p/q 的形式，其中 p 和 q 是整数，q ≠ 0。

p 是分子，q 是分母。

例如，2/3、-5/2、1/1 都是有理数。

类似地，整数也是有理数，例如，3、-7、0 都属于有理数的范畴。

有理数有两个重要的特征：可以是正数或负数，可以是绝对值大于1 的数或绝对值小于 1 的数。

有理数是实数的一个子集，简而言之，所有可以表示为分数形式的数都是有理数。

二、有理数的性质1. 封闭性：有理数是封闭的，即两个有理数的四则运算或乘方运算仍然是有理数。

例如，两个有理数相加或相乘的结果仍然是有理数。

2. 密度性：有理数在实数轴上是密度分布的。

对于任意两个有理数a 和b (a < b)，存在一个有理数 c，使得 a <c < b。

3. 唯一性：对于每一个有理数，它们的分数形式是唯一的。

例如，1/2 和 2/4 是相等的，但它们的分数没有唯一性。

4. 有序性：有理数可以按照大小进行排序。

例如，-5/3 < -1/2 < 0 < 1/2 < 5/3。

三、有理数的应用有理数在我们日常生活和数学领域广泛应用，其中一些应用包括：1. 分数的运算：有理数的分数形式使得我们能够进行准确的分数运算，如加减乘除。

2. 财务计算：有理数在财务领域的应用非常重要。

例如，计算货币兑换、计量单位之间的转换等。

3. 比例和比例关系：比例是有理数的一个重要应用。

它们用于解决许多比例关系的问题，如地图的比例尺、比例模型等。

4. 温度计量：在温度度量方面，有理数的应用很常见。

例如，华氏度和摄氏度之间的转换。

总结：有理数是数学中重要的数学概念之一，它包含了整数和分数，是实数的一个子集。

有理数具有封闭性、密度性、唯一性和有序性等性质。

有理数知识点总结一、有理数的定义有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

整数可以看作是分母为 1 的分数。

正整数、0、负整数称为整数；正分数、负分数称为分数。

有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。

二、有理数的分类1、按定义分类有理数可分为整数和分数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数和负分数。

2、按性质分类有理数可分为正有理数、0、负有理数。

正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。

三、数轴1、数轴的定义规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2、数轴的三要素原点、正方向、单位长度，缺一不可。

3、数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不一定表示有理数。

在数轴上，右边的数总比左边的数大。

正数都大于 0，负数都小于0，正数大于负数。

四、相反数1、相反数的定义只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

例如，5 和－5 互为相反数，0 的相反数是 0。

2、相反数的性质互为相反数的两个数的和为 0。

即若 a 和 b 互为相反数，则 a ＋ b ＝ 0。

五、绝对值1、绝对值的定义一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作｜a|。

2、绝对值的性质正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。

即当 a ＞ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＝ 0 时，｜a| ＝ 0；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a 。

绝对值具有非负性，即｜a| ≥ 0 。

六、有理数的大小比较1、正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。

2、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例如，比较－5 和－3 的大小。

因为｜－5 ｜＝ 5 ，｜－3 ｜＝ 3 ，5 ＞ 3 ，所以－3 ＞－5 。

七、有理数的加法1、有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

例如，－3 ＋（－2) ＝（3 ＋ 2) ＝－5 。

（2）异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

有理数知识点总结一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比的数，形式为a/b，其中a和b是整数，且b不为零。

有理数集合包括所有的整数、分数和它们的负数。

二、有理数的分类1. 正有理数：大于零的有理数。

2. 负有理数：小于零的有理数。

3. 零：唯一的非正非负的有理数。

三、有理数的性质1. 封闭性：有理数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）都是封闭的。

2. 有序性：任何两个有理数都可以比较大小。

3. 稠密性：任意两个有理数之间，都存在另一个有理数。

4. 可数性：有理数集合是可数的，即存在一种方法，可以将所有有理数列成一个列表。

四、有理数的运算规则1. 加法：- 同号有理数相加，取相同的符号，并将绝对值相加。

- 异号有理数相加，取绝对值较大的数的符号，并将绝对值相减。

- 任何数与零相加，结果为该数本身。

2. 减法：- 减去一个数等于加上这个数的相反数。

3. 乘法：- 正数与正数相乘得正数，负数与负数相乘得正数，正数与负数相乘得负数。

- 任何数与零相乘，结果为零。

4. 除法：- 除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数。

- 零除以任何非零的数，结果为零。

- 除数不能为零，否则除法无意义。

五、有理数的简化1. 化简分数：通过找到分子和分母的最大公约数，并将分子和分母都除以这个数，得到最简分数。

2. 约分：在进行有理数的乘法和除法运算后，需要将结果约分为最简形式。

六、有理数的混合运算在进行有理数的混合运算时，需要遵循运算的优先级顺序，即先乘除后加减，同级运算从左到右进行。

七、有理数的比较1. 正数大于零，负数小于零。

2. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

八、有理数的四则运算应用1. 可以解决实际问题中的计算问题，如购物、计算面积和体积等。

2. 在数学问题中，有理数的运算是解决更复杂数学问题的基础。

九、有理数的限制有理数不能表示无理数，如圆周率π和黄金分割比等。

十、结论有理数是数学中最基本的数之一，它在日常生活和科学研究中都有着广泛的应用。

有理数是指哪些数字
文/陶凯月
有理数包括整数和分数。

整数就是像-5,-3,-1,0,1,3,5等这样的数，包括正整数，0，负整数。

分数是一个整数a和一个正整数b的不等于整
数的比。

整数也可看做是分母为一的分数。

有理数的小数部分是有限或为无限
循环的数。

不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不
循环的数。

是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛
的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、
统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

正整数和正分
数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

因而有理数集的数
可分为正有理数、负有理数和零。

由于任何一个整数或分数都可以化为十
进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

初中数学什么是有理数有理数是指可以表示为两个整数的比例的数，包括整数、分数和小数。

下面我将为你详细解释有理数的定义、性质和运算规则。

一、有理数的定义：有理数是指可以表示为两个整数的比例的数。

它们可以用分数形式表示，其中分子和分母都是整数，且分母不等于零。

二、有理数的性质：1. 有理数的加法和乘法封闭性：两个有理数的和或积仍然是有理数。

2. 有理数的加法和乘法结合律：对于任意三个有理数a、b和c，满足(a + b) + c = a + (b + c)和(a × b) × c = a × (b × c)。

3. 有理数的加法和乘法交换律：对于任意两个有理数a和b，满足a + b = b + a和a × b = b × a。

4. 有理数的加法和乘法的零元素：对于任意有理数a，满足a + 0 = a和a × 1 = a。

5. 有理数的加法的逆元素：对于任意有理数a，存在一个有理数-b，使得a + (-b) = 0。

6. 有理数的乘法的逆元素：对于任意非零有理数a，存在一个有理数1/a，使得a × (1/a) = 1。

三、有理数的运算规则：1. 有理数的加法：对于任意两个有理数a/b和c/d，其中a、b、c、d都是整数且b和d不等于零，它们的和可以通过分数的通分和分子相加得到：(a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd)。

2. 有理数的减法：有理数的减法可以转化为加法，即(a/b) - (c/d) = (a/b) + (-c/d)。

3. 有理数的乘法：对于任意两个有理数a/b和c/d，它们的乘积可以通过分数的分子相乘和分母相乘得到：(a/b) × (c/d) = (ac)/(bd)。

4. 有理数的除法：有理数的除法可以转化为乘法，即(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)。

有理数的定义有理数是数学中的一个概念，包括整数和分数。

在数轴上，有理数是可以用有限或无限循环小数表示的数。

有理数可以表示为一个分子与一个非零分母之比。

下面将详细介绍有理数的定义及其性质。

有理数的表示有理数可以用分数的形式表示，分子是一个整数，而分母是一个非零整数。

例如，1/2、-3/4、5/1都是有理数。

有理数也可以用小数的形式表示，比如1.5、-0.75等。

有理数也可以用无限循环小数的形式表示，循环小数是指小数部分的某些数字循环出现。

例如，1/3可以表示为0.333…，其中3不断地循环出现。

同样地，1/7可以表示为0.142857142857…，其中142857不断地循环出现。

有理数的性质1. 有理数的加法和减法有理数的加法和减法遵循以下性质：•加法交换律：对于任意的有理数a和b，a + b = b + a。

•加法结合律：对于任意的有理数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。

•加法单位元：存在一个数0，使得对于任意的有理数a，a + 0 = a。

•加法逆元：对于任意的有理数a，存在一个数-b，使得a + b = 0。

2. 有理数的乘法和除法有理数的乘法和除法遵循以下性质：•乘法交换律：对于任意的有理数a和b，a * b = b * a。

•乘法结合律：对于任意的有理数a、b和c，(a * b) * c = a * (b * c)。

•乘法单位元：存在一个数1，使得对于任意的有理数a，a * 1 = a。

•乘法逆元：对于任意的有理数a（a ≠ 0），存在一个数1/a，使得a * (1/a) = 1。

3. 有理数的比较有理数的比较遵循以下性质：•反对称性：对于任意的有理数a和b，如果a > b，则b < a；如果a < b，则b > a；如果a = b，则b = a。

•传递性：对于任意的有理数a、b和c，如果a > b且b > c，则a > c。

有理数的概念有理数是数学中的一个重要概念，指的是可以用两个整数的比例来表示的数。

在数学中，有理数包括整数、分数和小数。

有理数的概念对我们在日常生活中的计算和理解数字有着重要的意义。

本文将介绍有理数的定义及其性质。

一、有理数的定义有理数是指可以由两个整数的比例来表示的数。

它们可以用分数的形式表示，形如a/b，其中a和b都是整数，且b不等于0。

例如，2/3、-4/5、7/2都是有理数。

有理数可以是正数、负数或零。

二、有理数的性质1. 有理数的四则运算有理数的加法、减法、乘法和除法都能够应用于有理数。

例如，当我们对两个有理数进行加法运算时，只需将它们的分子相加，分母保持不变。

例如，1/2 + 1/3 = (1+1) / 2 = 2/3。

同样地，减法、乘法和除法也可按照相应的规则进行。

2. 有理数的比较我们可以利用有理数的大小来进行比较。

如果两个有理数的分数形式的分子和分母满足一定的大小关系，那么这两个有理数的大小关系也相同。

例如，2/3 > 1/2，因为2乘以2大于1乘以3。

3. 有理数的绝对值有理数的绝对值是该数到0的距离，总是非负的。

对于正数，它的绝对值等于这个数本身；对于负数，它的绝对值等于这个数去掉负号。

例如，|-5| = 5，|3| = 3。

4. 有理数的相反数有理数的相反数是指与其绝对值相等但符号相反的数。

例如，3的相反数是-3，-5的相反数是5。

有理数的相反数与原有理数相加等于0。

三、有理数在实际生活中的应用有理数在实际生活中有着广泛的应用。

例如，在商业交易中，我们需要计算利润和亏损，这时就需要用到有理数的加法和减法运算。

在日常生活中，我们也常常使用有理数来表示时间、温度、海拔高度等。

有理数的概念帮助我们理解和处理这些实际问题。

总结：有理数是可以用两个整数的比例来表示的数，包括整数、分数和小数。

有理数的四则运算、比较、绝对值和相反数都有着相应的规则。

有理数在实际生活中有着广泛的应用。