应用泛函分析解决桥梁工程中的一个问题
摘要：本文简单介绍泛函分析方法和在力学和桥梁工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法等。并通过两个例子来说明泛函在力学和桥梁工程当中的应用。
关键词：泛函变分法桥梁工程
中图分类号：U441.5
一泛函分析概述
泛函分析（Functional Analysis）其研究的主要对象是函数构成的空间，是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质力学等一类具有无穷多自由度的物理系统的有力工具。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和桥梁工程中常见的有：
1、度量空间：现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。
2、赋范线性空间
泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。
3、巴拿赫空间理论（Banach space）
巴拿赫空间理论是1920年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广sup
n
n
x x
，巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。
4、内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和桥梁工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导范数，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；
5、Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel 不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。
6、线性算子：泛函分析另一内容是算子理论。它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。其中对偶（共轭）空间尤为重要。据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。在初等分析中卓见成效的微分运算也可推广于泛函或算子。
例如ˆGatean 微分，Fr échet 微分和次微分等。为了剖析算子的结构和特性，谱分析
是重要的手段，全连续和正常算子的谱分析已成熟。除了上述各类泛函空间和算子理论外，目前仍在不断深入发展，有关新的尤其适用于非线性问题的函数空间可参阅。
出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。它是线性泛函分析研究的重要对象。
线性算子与线性泛函 设x 、Y 是两个（实数或复数域上的）线性空间，T 是x 到Y 的映射。T 的定义域和值域分别记为D (T )、R (T )。如果对任何数α、β和x 1、x 2∈D (T )，满足αx 1+βx 2∈D (T )，并且 ()1212T x x Tx Tx αβαβ+=+，则称T 是以D （T ）为定义域的x 到Y 的线性算子。特别当D (T )=x ，Y 是实数域或复数域时，称T 是x 上的线性泛函。例1,设x =C [α,b ]([α,b ]上的连续函数全体), K (t ,s)是[α,b ]×[α,b ]上的二元连续函数，定义()()()(),b
a Tx tt K t s x s ds =⎰，则T 是x 到x 的线性算子。例3,设x =C [α,b],则()1,b
a T x K t s dt =⎰,T 2x =x (t 0)(t 0是[α,
b ]中取定的一个点)都是x 上的线性泛函。 线性算子的运算 设T 1、T 2是x 到Y 的线性算子,它们的定义域分别是D (T 1)、D (T 2)。对任一数α,规定αT 1表示以D (T 1)为定义域，而对任何 x ∈D (T 1),(α T 1)x =α(T 1x )的算子规定T 1+T 2表示以D (T 1)∩D (T 2)
为定义域，而对任何()()()121212,x D T D T T T T x T x ∈+=+的算子。易知αT 1（称T 1的α倍）,T 1+T 2(称T 1与T 2的和)仍是线性算子。又设T 3是以D (T 3)为定义域的Y 到Z 的线性算子，规定T 3·T 1（也记作T 3T 1）表示以
为定义域
而对任何
的算子。
综上所述，泛函分析是测度论、代数、几何和分析（拓扑）的综合性学科，它的高度抽象性使该学科更深刻、更广泛地反应各种复杂的力学、桥梁工程和其它实用学科的规律。然而，借助几何工具，它们在Banach 空间，尤其在Hilbert 空间获得直观几何解释，使力学和桥梁工程人员较易接受。因此，该学科不仅为应用数学家所欣赏，也为广大力学人员所重视。后者的队伍中不仅包括理论工作者，也包括实验和设计人员。 二 泛函分析主要定理与特性
1. 一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质。
2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。
3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。
4. 开映射定理和闭图像定理。
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n 维空间可以用来描述具有n 个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。
