第5课时数和代数—数的整除精品PPT课件

4
同学们认真审题，你能发现哪些数学信息？ 它们谁爬得快呢？ 谁能说说为什么呢？蜘蛛和蜗牛平均每分爬 行多少米？
5
解决问题
怎样解决这个问题呢？
73÷3＝
9.4÷11＝
思考： 像这种除不尽的题，我们可以先发现余
数怎样，就能确定它的商了。但是如何
表示商呢？
6
73÷3= 24.333…（米）
2 4.3 3 3
3 73 6 13 12
商的小数部分总 是重复出现“3”
蜘蛛平均每分爬 行多少米？
10 9
10 9 10 9
如果继续除下去，余 数会怎样？商呢？能 除尽吗？
1
答：蜘蛛平均每分爬行24.333米。
7
9.4÷11= 0.85454 …（米）
0.8 5 4 5 4 商的小数部分总
11 9.4 88 60 55
小数
14.2÷11= 1.290…
循环小数
4÷3= 10÷7= 2÷4= 1.33… 1.42… 0.5
循环小数 循环小数 小数
0.4÷9= 1÷9= 5÷6= 0.04… 0.11… 0.833…
循环小数 循环小数 循环小数
课堂练习
归纳新知
这节课学习了哪些内容？
循环小数：一个小数，从小数部分的某一位 起，一个数字或者几个数字依次不断地重复 出现，这样的小数叫做循环小数。 循环小数的写法：循环小数中重复出现的数 字循环节或者四舍五入法。
241km,算一算他们的速度分别是每时多少千米？
那些是循环小数？
飞鱼：
196÷3≈65.3（千米）循环小数
章鱼：
131÷5=26.2（千米） 小数
鲨鱼：
241÷6≈40.16（千米）循环小数

人教版 小升初 六年级
练1：数M的小数点向左移动一位后比原数减小了32.4，求数M。
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例5：一个小数的小数点向右移动一位与向左移动一位所得的 两数之差为34.65，则原来的数为_________。 解：用34.65÷9.9=3.5，原数是3.5。 方法：知道数A的小数点向右与向左各移动一位后的差值为 B，求原数A的方法：A=B÷9.9
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练1：一个减法算式中，被减数、减数与差之和是240，而减数 是差的2倍，则差是________
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练2：如果被减数、减数与差三个数相加的和为 3 1 ，那么被减
数的倒数是________
5
人教版 小升初 六年级
例7：甲乙两数的最大公因数是75，最小公倍数是450，若它 们的差最小，则两个数的和是_________。 解：因为450÷75=6,6=1×6=2×3 所以这两个数有两种情况：75×1=75、75×6=450； 75×2=150、75×3=225；又因为这两个数的差为最小， 所以这两个数为：150和225，它们的和为：375
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练1：某五年级（共3个班）的学生排队，每排排3人、5人或7人， 最后一排都只有1人，这个学校五年级有______名学生。
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练2：有一堆苹果，2个2个的数少1个，3个3个的数余1个，4个4
个的数余1个，5个5个的数却少4个，这堆苹果最少有（ ）个。
A、13
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练1：数A的小数点向右移动一位后比原数增大了229.5，求数A。
人教版 小升初 六年级
例4：某数的小数点向左移动一位后比原数减小了14.4，则原 数为_________。 解：用14.4÷0.9=16，原数是16。 方法：知道数A的小数点向左移动一位后与原数A减小的差 为B，求原数A的方法：A=B÷0.9

公约数 互质数
最小公倍数
最大公约数
整除
约数
质数

合数
质因数
分解质因数
奇数 偶数
能被2整除数的特征 能被5整除数的特征 能被3整除数的特征
退出
整数a除以整数b（b≠ 0），除得的商正好 是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除（也 可以说b 能整除a ）
填空：在12÷ 3＝ 4 4 ÷ 8＝ 0.5 2÷ 0.1＝ 20 3.2 ÷ 0.8＝ 4中，被除数能除尽除数的有（ 4 ）个， 被除数能整除除数的有（ 1）个，是（ 12÷ 3＝ 4）． 除尽 整除
北京版六年级数学下册
数的整除
教学目标
1．进一步理解和掌握有关“数的整除”的 知识。 2．在教师引导下，自主构建有关“数的整 除”的知识网络，搞清这部分知识的内在联系 与区别。 3．通过构建知识网络，培养学生分析、判 断、推理、概括等方面的能力，从而使学生养 成勇于探索和实践的良好品质。
倍数
公倍数
巩固练习
（一）填空。 1．一个数约数的个数是（ ），其中最 小的约数是（ ），最大的约数是（ ）； 一个数倍数的个数是（ ），其中最小的倍 数是（ ），最大的倍数（ ）。 2．质数的约数有（ ）个，分别是 （ ）和（ ）；一个合数至少有（ ） 个约数，其中最大的约数是（ ）。 3．如果a和b是互质数，那么a和b的最大公 约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
（二）判断。 1．因为3.2÷0.8=4，所以3.2能被0.8整除。 （ ） 2．有公约数1的两个数叫作互质数。（ ） 3．所有自然数不是奇数就是偶数。（ ） 4．所有自然数不是质数就是合数。（ ） 5．所有的奇数都是质数，所有的偶数都是 合数。（ ）
能除尽的不一定都能整除， 但能整除的一定能除尽．

3、 有一位同学说，任意一个三位数连着写两次得到的六 位数，一定能同时被7、11、13整除。这个说法对么?
设这个三位数为abc,连着写两次组成的六位数 是abcabc，只需确定abcabc是否能被7、11、 13整除就可以了。
因为: abcabc = abc x 1000 + abc
=abc x1001
6、在算式1abcde X 3 =abcde1中不同的字母表示不同 的数字，相同字母表示相同的数字，求abcde？
方法一:
用逐步推理的方法，利用末位数字的特点得出结论。 由于ex3的末位数字为1，所以e=7; dx3 +2=? 7,于是dx 3=? 5，确定d=5; (cx3+1=? 5,确
定c=8; bx3+2=? 8,确定b=2;i x3=? 2，确定a=4。所以abcde = 42857。
5、有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字，组成不同的四位数，如 果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数是几?
根据能被3整除的数的特征，选出的四个数字之和应是3的倍数。这样共有两种选 法: 0、1、4、7和1、4、7、9。 第一种选法组成的四位数从小到大依次为: 1047、1074、1407、1470、1700..... 第二种选法组成的四位数从小到大依次为: 1479、14971749、1 794、1947.. 所以第五个数是1479。
方法二:用置换法(前面计算题中讲过)。
设: abcde=X 那么1abcde = 100000 +x，abcdel1=10x +1，可得到方程:
( 100000 +x) x3=10x+ 1 300000 +3x= 10x + 1 7x = 299999 x =42857

数 倍 奇 位 质 位 又 数约数 位
数 数 奇 数 偶 是 又数
合
少数 大数 偶不
数
1
1
数是
的
的
的合
数
数
数数
的
2020年10月最大公约数
质数
质因数
互质数
只有两 个约数
独立
既是质数，
又是合数的 约数 不能独立
2020年10月2日
公约数 只有1的 两个数
4
分解质因数
方法1：塔 式分解法
可用公有质因数去 除，也可用公有约 数去除。
除到商是互质数为止。
36和48的最大公约数是： 2×2×3=12
把所有除数相乘。
2020年10月2日
9
特殊情况：
如果较小数是较大数的约 数，那么较小数就是这两个 数的最大公约数。
如果两个数是互质数，它 们的最大公约数就是1。
练习：
1：求下列两组数的最大公约数。
1 2020年10月2日
45=3×3×5×1
6
练习 66
2020年10月2日
108
7
求36 和48的最大公约数
1：分解质因数法 36= 22×22 ×33×3 48= 22×22 ×33×2×2
2 × 2×3 =12
2020年10月2日
8
2：短除法
2 36 48 2 18 24 3 9 12 34
54 72
96 58 84
2020年10月2日
11
2：一个数，既能整除60，又是78的约数，求 这个数最大是多少？
3：一个数除44和24，结果都余4，这个数最
大是多少？44－4=40
24－4=20

利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出两 个数的最大公因数。
例如：求24和36的最大公因数。 24 36 12 18 2 3 24和36的最大公因数是2×6 = 12。 2 6
两个数既不是互质数关系又不是倍数关系，先用这
两个数公有的因数连续去除（一般从最小的开始），一
直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘
1. 找出下面每组数的最大公因数。 6和9 3 15 和 12 30 和 45 34 和 17 15 和 16 3 15 17
如30÷5=6 30是5的倍数，也是6的倍数； 5是30的因数。6也是30的因数。
一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的。其中最小的倍数 是它本身，没有最大的倍数。
下面说法对吗？说说理由。 ×） 1、在13÷4=3……1中，13是4的倍数。（
1
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这个数叫 做质数（或素数）。最小的质数是2。 一个数，如果除了1和它本身以外还有别的因数， 这个数叫做合数。最小的合数是4。 1既不是质数，也不是合数。
质数和合数：
1 自然数 只有一个因数（只有1）。
质数 只有两个因数（1和它本身）。 合数 因数超过两个（除了1和它本身 以外还有别的因数）。
这个数是（
） 9。
2、3、5的倍数的特征：
2的倍数的特征： 个位上是0、2、4、6、8的数。
3的倍数的特征： 各个数位上的数字之和是3的倍数的数。
5的倍数的特征： 个位上是0或5的数。
2、3、5的倍数的特征：
能同时被2、5整除的数的特征： 个位上是0。 个位上是0、2、4、6、 能同时被2、3整除的数的特征： 8，并且各个数位上的数字之和能被3整除。 能同时被3、5整除的数的特征： 个位上是0或5，并且各 个数位上的数字的和能被3整除。 能同时被2、3、5整除的数的特征：个位上是0，并且各 个数位上的数字的和能被3整除。

质数与合数的整除性质
质数性质
质数是大于1的自然数，只能被1和它本身整除，不能被其他数整除。质数的个 数是无限的。
合数性质
合数是大于1的自然数，除了能被1和它本身整除外，还能被其他数整除。最小 的合数是4。
完全数与缺数
完全数性质
完全数是等于它所有因子之和的自然数。例如，6的因子有1、2、3和6，这些因 子之和正好等于6，因此6是完全数。
关的知识和应用，拓展自己的视野。
感谢您的观看
THANKS
应用领域
中国剩余定理在密码学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
同余方程
同余方程定义
同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a 、b、m是整数，x是未知数。
同余方程解法
求解同余方程的方法主要有模逆元法和欧拉准则 法等。
同余方程的应用
同余方程在密码学、数论等领域有着广泛的应用 。
05
通过整除，我们可以将大 问题分解为小问题来解决 ，提高计算速度和准确率 。
整除的意义3
在日常生活中，整除也具 有广泛的应用，例如时间 计算、货币交易等。
02
数的整除性质研究
奇数与偶数的整除性质
奇数性质
奇数可被2整除余1，因此奇数可以 表示为2n+1的形式，其中n为整数 。
偶数性质
偶数可被2整除，因此偶数可以表示为 2n的形式，其中n为整数。
缺数性质
缺数是大于2的偶数，不能表示为两个质数之和的自然数。例如，8不能表示为两 个质数3和5的和，因此8是缺数。
03
数的整除应用
最大公约数的求法
定义
最大公约数是指两个或多个整数 共有约数中最大的一个。
算法描述

质数是一个数 质因数是一个数，但必须是个质数，而且是另一 个合数的因数。
互质数和质数之间有什么区别？
互质数讲的是两个数的关系,这两个数的 公约数只有1. 质数是对一个自然数而言的,它只有1和它 本身两个约数.
把相对应的内容用线连接起来：
两个连续的自然数是 2、3、5 都 是 30=2×3 ×5是 2、3、5都是30的
两个数具有约倍关系,最小公倍数 就是较大的数.
思维拓展
有三根木棒，长度分别是1.5米， 2.4米，1最大限度的 利用材料，每小段最长多少厘米？ 一共可以截成多少段？
能除尽的不一定都能整除， 但能整除的一定能除尽．
明 白：
最 大 1 本身 最小 本身 —— 个 数 有限 无限
约数 倍数
× ） 因为15 ÷ 5＝ 3，所以15是倍数，5是约数（ 约数和倍数是相互依存的
因为4.6 ÷ 2＝ 2.3，所以4.6是2的倍数，2是4.6 的约数（ ×）
下面的数那些含有约数2？哪些是3的倍数？那些能同
分解质因数 质因数 互质数 质 数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数； 其中最大的一个叫做最大公约数． 特殊情况 两个数是互质数,它们的最大公约 数是1.
两个数具有约倍关系,最大公约数 就是较小的数.
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数； 其中最小的一个叫做最小公倍数． 特殊情况 两个数是互质数,最小公倍数 就是它们的乘积.
30 70 140
420
420
能同时被3、5整除： 30
能同时被2、3、5整除： 30 420
能被2整除的数叫做偶数
不能被2整除的数叫做奇数 一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的 数叫做质数（或素数）．
只有两个约数

8与4 14与2 9与4 17与3 110与2 250与1 125与6 87与87
你能把12分成两个数， 使其中一个数能整除另一个 数吗？（动手试着操作一下）
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一、口算下面各题 （请点击鼠标左键开始练习）
6÷2= 3
35 ÷5= 7
9 ÷4= 2……1 25 ÷7= 3……4
848 ÷8= 106
276 ÷9= 30……6
仔细观察上面这些算式你发现有什么不同了吗？
没有余数
6÷2= 3 35 ÷5=7 848 ÷8=106
有余数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9 ÷4= 2……1 25 ÷7=3……4 276 ÷9=30……6
6÷2= 3 35 ÷5= 7 这类算式就叫整除 848 ÷8= 106
6÷2=3 我们就说：6能被2整除
35 ÷5=7 我们就说：35能被5整除
848 ÷8=106 我们就说：848能被8整除
继续
9能被4整除吗？ 25能被7整除吗？ 27能被9整除吗？
想一想：哪一组的第一个数能被第二个数整除？

感。
下一步学习计划
深入学习数论中的其 他概念和定理，如质 数、合数、最大公约 数等。
尝试解决一些复杂的 数学问题，以提高自 己的数学素养和解题 能力。
通过阅读相关书籍和 论文，了解整除在数 学和其他领域的应用 。
2023-2026
END
THANKS
感谢观看
KEEP VIEW
REPORTING
综合练习题
总结词
整合知识、提升思维
详细描述
综合练习题是最具挑战性的题目，通常涉及多个知识点和解题技巧的整合运用。这些题 目旨在提高学生的思维能力和解决问题的能力，帮助他们将零散的知识点整合起来，形
成完整的数学知识体系。
PART 05
总结与回顾
本章重点回顾
01
02
03
整除的定义
如果一个数a除以另一个 数b得到的结果是整数， 那么我们说a能被b整除。
。
在几何中，整除的概念可以应用于解决 一些与图形和空间有关的问题。例如， 当我们需要计算一个图形的周长或面积 时，我们可以使用整除的方法来得到精
确的结果。
在日常生活中的应用
整除的概念在日常生活中也具有广泛的应用。例如，当我们需要将一个物品分成 若干等份时，我们可以使用整除的方法来计算每份的数量。
在商业中，整除的概念可以应用于计算折扣、优惠和促销活动。例如，当我们需 要计算商品的原价和折扣价格之间的差额时，我们可以使用整除的方法来得到精 确的结果。
在计算机科学中的应用
在计算机科学中，整除的概念也具有广泛的应用。例如，当 我们需要编写一个程序来处理整数时，我们可以使用整除的 方法来计算两个整数之间的商和余数。
在加密学中，整除的概念可以应用于一些加密算法的实现。 例如，RSA算法中就使用了整除的概念来生成公钥和私钥。