3[1].2+矩形薄板单元

（范文素材和资料部分来自网络，供参考。

可复制、编制, 期待你的好评与关注）弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法•:纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为O二 0_ay 厂O二 0-0.纳维把挠度'的表达式取为如下的重三角级数:为了求出系数A mn ，须将式b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即q"4D 芸M C mn sin ^sin 也。

m ± n a b血x现在来求出式（（中的系数C mn 。

将式C ）左右两边都乘以n ,其中的a为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意=ox _0n ::A mn m 土 n 三sinsinab（a ）其中m 和n 都是任意正整数。

弹性曲面微分方显然，上列的边界条件都能满足。

将式 代入 程::n m 2 n 2冲％ Fl ，得讥注!^+尹 sin 叱 sin n y =q 。

（ b ）a b到（C ）Aya sin .0sin Adx a (m 护 i) (m = 4) 就得到 q sin ^Zdxa 再将此式的左右两边都艰以 土，其中的j 也是任意正整数，然后对积分, 从o 到b ，注意b f s Jo 就得到 sin ! Isin a ab -r C j因为i 和j 式任意正整数,可以分别换为m 和n ,所以上式可以换写为 b q sin abC 4 mn解出C mn ,代入式（），得到q 的展式 . m^x . njry q =才瓦送 f [qsin^sin bdxdy 分m 亠n 亠] U与式(b )頑匕，即得 m -1 ■ n -1- sin 叱 sin 口 a b ° (13-25) Amn4a 4 0bq sin4二 abDsin n Ldxdy abm 2. n 2~2当薄板受均布荷载时，q 成为常量q o ，式（d ）积分式成为q 0 sinsin:a=q 0q 0 sinam •:; x dx adxdy bb . n 二 y sin dy 0 bq 0 ab2 ------■：\ mn一 cos m 「jj 1 - cos n 丄 于是由式d ）得到 Amn 1 - cos n ■：!；4 q 0 1 一 cos m 尹 —y—-J 二6D mn A mn 16 q 0・ 2 2 I m_ . nJ 厂 .2 >,- b。

薄板弯曲问题的有限元法一、 薄板弯曲问题的基本方程什么是薄板？薄板就是指厚度t 远小于其长度、宽度的板。

1. 三个基本假设（克希霍夫假设）： (1) 法线假设，εz =0,γyz =γzx =0 (2) 正应力假设，σz <<σx ,σy ,τxy (3) 小挠度假设，w<t/4根据假设，可以得到位移分量()()()()()(),,,,,,,,,,, x y z u x y z z x x y z v x y z z y x y z x y ωωωω∂⎧=-⎪∂⎪∂⎪=-⎨∂⎪⎪=⎪⎩式4-1图 1 薄板弯曲后某点B 的位移2. 应变分量{}222222x y z x z y x y ωεωεεεω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-23. 曲率{}222222x y z x y x y ωχωχχχω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-3 22=x x ωχ∂-∂——薄板弹性曲面在x 方向的曲率22=y yωχ∂-∂——薄板弹性曲面在y 方向的曲率2=z x yωχ∂-∂∂——薄板弹性曲面在x 方向和y 方向的扭率4. 应力分量与应变分量间的关系：{}[]{}2222222222221 11D Ez xy Ez x y Ez x y σεωωμμωωμμωμ=⎧⎫⎛⎫∂∂-+⎪⎪ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫∂∂⎪⎪=-+⎨⎬ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪--∂∂⎪⎪⎩⎭式4-4 5. 线力矩{}()2222222101012110022x y z x M Et M M y M x y ωμωμμμω⎧⎫∂-⎪⎪⎡⎤∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂-⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂⎣⎦-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-5a广义应力与广义应变之间的关系式{}[]{}D M χ= 式4-5b式中：[D]—薄板弯曲问题的弹性矩阵6. 薄板弯曲问题的基本方程（双调和方程）()32222222121Et p xx y y ωωωμ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂∂-⎝⎭ 式4-6()32121Et μ-——薄板弯曲刚度 二、 矩形薄板单元分析 1、矩形薄板单元图 2 矩形薄板单元2、位移函数22123456322333789101112 a a x a y a x a xy a y a x a x y a xy a y a x y a xy ω=+++++++++++ 式4-73、形状函数[]{}k i i xi xi yi yi j j xj xj yj yj k kxk xk yk y l l xl xl yl yl N N N N N N N N N N N N N q ωωθθωθθωθθωθθ=+++++++++++= 式4-8式中：i,j,k,l ——节点号N i ，N xi ，N yi ，……，N yl ——形状函数()()()()()()()()()()2211128N 111 ,,,8111 8y i i i i i xi i i iyi i i i b N i i j h l N a x a b ξξηηξξηηξηηξξηηηξξξηηξξη⎧⎫++++--⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-++-=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪++-⎪⎪⎩⎭==， 式4-94、单元刚阵[][][][]S K TB D B dxdy =⎰ 式4-10式中：[]22222222222222222222 2222yi yl i xiyi yl ixi yi yl i xi N N N N x x x x N N NN B y y y y N N N N x yx yx yx y ⎡⎤∂∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂=⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦式4-11 5、节点力与节点位移的关系式{}[]{}F K q = 式4-12三、 三角形薄板单元分析1、三角形薄板单元当薄板具有斜交边界或曲线边界时，可采用三角形单元较好地反映边界形状。

第七章板的弯曲工程结构中常应用较多的平板构件，如楼房的地板、桥面、箱型结构的板件等。

在线弹性分析范畴内，薄板弯曲问题应满足以下几个条件。

1.几何条件几何条件要求结构属于薄板。

工程中将厚度尺寸小于其他两个方面尺寸的结构称为板，平分板厚度的面称为板的中面，平板的中面为平面。

设t表示板的厚度，l表示板中面的最小边长（圆板为直径）。

在通常的计算精度要求下，当15tl时则认为板为薄板。

否则便认为是厚板，厚板的变形和应力较复杂，应按空间问题进行处理。

2.载荷条件载荷条件要求结构仅承受垂直于中面的横向载荷作用。

一般情况下，薄板即可承受横向载荷作用，也可承受平行于板中面的膜载荷作用。

在两种载荷作用下，板内将产生薄膜应力和弯曲应力。

前者是作用在中面内拉、压力和面内切力（剪力），它使板产生面内变形。

后者是指弯矩、扭矩和横向剪力，它使板发生弯扭变形。

在小挠度情况下可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题的叠加便是一般载荷综合作用的结果。

3.小挠度条件在横向载荷作用下，薄板中面上各个点沿垂直中面方向 的横向变形成为挠度，记为ω。

大挠度与小挠度之间没有显著的界限，一般认为15t ω≤时为小挠度板，15tω<<时为大挠度板，5tω≥时为特大挠度板。

在大挠度的情况下，薄板面内变形和弯曲变形之间要相互影响，及横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。

这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更为复杂的理论分析方法。

第一节 薄板弯曲弹性力学基础在受到垂直于板面的载荷后，薄板将会产生弯曲。

对于薄板弯曲问题，研究时一般以未变形的板的中面为xoy 平面，厚度方向为z 轴方向。

一、克希霍夫（Kirchhoff ）假设分析薄板弯曲问题时，采用克希霍夫（Kirchhoff ）假设：（1）法线假设在变形前，垂直于中面的法线，在变形后仍垂直于薄板弯曲了的中面，且法线线段没有伸缩，板的厚度没有变化。

（范文素材和资料部分来自网络，供参考。

可复制、编制，期待你的好评与关注）弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为()00x ω==, 2200x x ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。

()0x aω==， 220x ax ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。

()0y ω==，220y y ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。

纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级数：11sinsin nmn m n m x n yA a bππω∞===∑∑，（a ）其中m 和n 都是任意正整数。

显然，上列的边界条件都能满足。

将式（a ）代入弹性曲面微分方程，得到为了求出系数mn A ，须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmn m n m x n y q D C a bπππ∞===∑∑。

（c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。

将式（c ）左右两边都乘以sin i xaπ，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意()0y bω==220y by ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭22242211sin sin b nm n m n m x n yD q ab a b πππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑。

（）ysinsin am x i ydx a aππ=⎰就得到1sinsin2ainn i y an yq dx Ca bππ∞==∑⎰。

再将此式的左右两边都乘以sin j x aπ，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，从0到b ，注意s i n s i n bon y j y dy b bππ=⎰就得到因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为sinsin 4a bmnm x n y abq dxdy C a b ππ=⎰⎰解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式。

（13-25）与式（b ）对比，即得当薄板受均布荷载时，q 成为常量0q ，式（d ）积分式成为()()00000002sinsin =q sin sin 1cos 1cos a ba b m x n y q dxdy a bm x n yq dx dya b q ab m n mnπππππππ=--⎰⎰⎰⎰于是由式（d ）得到()()022262241cos 1cos mn mn q m n A m n D ab πππ--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()222622161,3,5,;1,3,5,mn mnq A m n m n D ab π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

高等有限元法智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学第一章测试1.有限元各单元是通过什么连接在一起的（）。

答案:相邻节点2.有限元分析中通常用什么作为未知量来进行求解（）。

答案:节点位移3.第一次提出并使用“有限元方法”的名称时间是（）。

答案:1960年4.结构整体刚度矩阵是一个奇异矩阵，不能求逆矩阵。

（）答案:对5.建立单元刚度矩阵可利用虚位移原理或最小势能原理。

（）答案:对第二章测试1.有关形状函数的说法，下列哪些是正确的？（）答案:单元上所有节点的形函数之和等于1;形状函数矩阵本质是内插函数矩阵，实现了有限单元法在数学模型上的离散化;Ni在节点i等于1，在其它点等于0;形状函数矩阵建立了单元内位移与单元结点位移之间的相互关系2.有限元法中，单元分析的目的主要是为了（）。

答案:计算单元刚度矩阵3.局部坐标系下，若一杆单元的刚度矩阵为，则材料相同，杆长为其两倍的杆单元的刚度矩阵是（）答案:4.平面自由式梁单元的单元刚度矩阵大小是（）。

答案:6×65.如果单元上作用有分布弯矩，在计算等效结点集中载荷时，所采用的形状函数矩阵为（）。

答案:转角的内插函数矩阵第三章测试1.十节点三角形单元位移函数中包含有多少个待定系数（）。

答案:20个2.为了使位移解答收敛，位移函数应该满足下面哪些准则（）。

答案:多项式位移函数中包含常数项;位移函数应反映单元的常应变;位移函数必须保证在相邻单元在接触面上的应变是有限的;位移函数中须含有反映刚体运动的项数3.在插值函数多项式的阶次时，必须考虑下列因素是（）。

答案:多项式描述的位移形式与局部坐标系无关;a i的数目应等于单元结点自由度的数目;在不同局部坐标系中位移函数表达式满足几何等向性;插值多项式应当尽可能满足收敛性要求4.有限元的基本思想是分段逼近。

（）答案:对5.用多项式形式的插值函数来建立和计算有限元方程比较容易，特别是易于积分和微分（）答案:对第四章测试1.有一向下作用的集中力p作用在常应变三角形单元ijm的节点i处，则（）。

弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为()00x ω==, 2200x x ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。

()0x aω==， 220x ax ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。

()0y ω==， 2200y y ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。

纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级数：11sinsin nmn m n m x n yA a bππω∞===∑∑， （a ）其中m 和n 都是任意正整数。

显然，上列的边界条件都能满足。

将式（a ）代入弹性曲面微分方程 ，得到为了求出系数mn A ，须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmn m n m x n y q D C a bπππ∞===∑∑。

（c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。

将式（c ）左右两边都乘以sin i xaπ，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意sinsin am x i ydx a aππ=⎰，， 就得到1sinsin2ainn i y an yq dx Ca bππ∞==∑⎰。

()0y bω==220y by ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭22242211sin sin b nm n m n m x n y D q a b a bπππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑。

（）y再将此式的左右两边都乘以sin j x aπ，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，从0到b ，注意sin sin bon y j y dy b b ππ=⎰，jb ， j就得到因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为sinsin 4a bmnm x n y abq dxdy C a b ππ=⎰⎰解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式。

（13-25）与式（b ）对比，即得当薄板受均布荷载时，q 成为常量0q ，式（d ）积分式成为()()000000002sinsin =q sin sin 1cos 1cos a ba b m x n y q dxdya bm x n yq dx dya b q ab m n mnπππππππ=--⎰⎰⎰⎰于是由式（d ）得到()()022262241cos 1cos mn mnq m n A m n D ab πππ--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()222622161,3,5,;1,3,5,mn mnq A m n m n D ab π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭。