人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理]_《《推理与证明》全章复习与巩固(文)

学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2课时教学课题人教版选修1-2第二章推理与证明章节复习教学目标理解合情推理和演绎推理；理解直接证明和间接证明思想；掌握归纳法、类比法、综合法、分析法、反正法和数学归纳法；教学重点与难点合情推理和演绎推理步骤；直接证明和间接证明步骤：数学归纳法；教学过程知识梳理1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．(1)归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．(2)数学归纳法(1)数学归纳法：设{P n}是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题P1(或P0)成立；②在假设P k成立的前提下，推出P k＋1也成立，那么可以断定{P n}对一切正整数成立．(2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：①归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时命题成立；②归纳递推：假设n＝k，(k∈N*，k≥n0)时，命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；③由①②得出结论．例题精讲【题型一、类比推理】【例1】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，______，T 16T 12成等比数列． 【方法技巧】(1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．【题型二、归纳推理】【例2】观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．【方法技巧】所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论．巩固训练1、已知：2223sin 30sin 90sin 1502++=ooo，2223sin 5sin 65sin 1252++=o o o。

第二章推理与证明本章概要推理与证明是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.它贯穿于高中数学的整个体系，它的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用.推理一般包括合情推理和演绎推理.推理与证明的学习,有利于培养学生的逻辑思维能力,形成和发展理性思维.本章的学习,是对以前所学知识点的总结和归纳,所以说本章的知识在整个高中数学阶段有着特别重要的地位.本章我们主要学习两种基本推理——合情推理与演绎推理.合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理的常用思维方法.合情推理具有猜想和发现新结论、探究和提供解决问题思路的作用，有利于创新意识的培养.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.演绎推理具有证明结论，整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法.合情推理和演绎推理紧密联系、相辅相成，它们的学习有利于培养逻辑思维能力和创新思维能力，形成和发展理性思维，使学生体会并认识合情推理在数学发展中的作用，体会证明的功能和特点及在数学和生活中的作用，养成言之有理、论之有据的习惯.本章我们还将学习证明的两类基本方法——直接证明方法(包括分析法、综合法)和间接证明方法(反证法)，从中体会证明的功能和特点，掌握数学证明的方法.证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论.本章的重点是合情推理中的归纳推理与类比推理，演绎推理中的假言推理、三段论推理、关系推理、完全归纳推理，以及证明中的综合法、分析法、反证法.其中类比推理也是难点. 在日常生活，科技实践中，人们需要进行各种各样的推理.通过本章的学习，去体会和感受逻辑证明在数学学习和日常生活中的作用，养成言之有理，论之有据的好习惯.学习策略在数学中，可以变隐性为显性、分散为集中，结合以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确数学公式，同时通过新内容的学习，感受和体验如何学会数学思考方式，体会推理和证明在数学学习和日常生活中的定义和作用，提高自身数学素养.应通过实例，运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想.学习的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述.学习本章时要注意基本数学思想，如归纳、类比、演绎推理以及综合法、分析法、反证法思想的理解和应用.在学习的过程中要准确把握概念，通过具体实例理解合情推理，演绎推理的联系与区别；理解直接证明与间接证明的方法、步骤.要对命题进行观察、比较、分析、类比、归纳，不断提高自己的逻辑思维能力，体会数学的美学意义.。

《推理与证明》章末知识梳理与能力提升考点1 合情推理真题1（2016山东，12，5分，★☆☆）观察下列等式：2224sin sin 12;333ππ--⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222344sin sin sin sin 23;55553ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22222364sin sin sin sin 34;77773ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22222384sin sin sin sin 45;99993ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ······ 照此规律，2222232sin sin sin sin 21212121n n n n n ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭_____. 考点2 演绎推理真题2（2017课标全国II ，4，5，★☆☆）设非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则（ ） A.a b ⊥ B.a b = C.//a b D.a b >真题3（2017课标全国I ，12，5，★★☆）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则m 的取值范围是（ ） A.(][)0,19,⋃+∞B.([)9,⋃+∞ C.(][)0,14,⋃+∞D.([)4,⋃+∞真题4（2017北京，14，5，★★☆）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(i)男学生人数多于女学生人数； (ii)女学生人数多于教师人数；(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_____； ②该小组人数的最小值为_____.真题5（2017课标全国III ，16，5分，★★☆）设函数()1,0,2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 取值范围是_____.真題6（2016北京，14，5分，★★☆）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有_____种； ②这三天售出的商品最少有_____种.真题7（2016四川，15，5分，★★☆）在平面直角坐标系中，当(),y P x 不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222,y x P x y x y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是_____(写出所有真命题的序号).真题8（2017课标全国II ，17，12分，★★☆）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=. (1)若335a b +=，求{}n b 的通项公式； (2)若3=21T ，求3S .真题9（2017课标全国II ，18，12分，★★☆）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ︒∠=∠=. (1)证明：直线//BC 平面PAD ； (2)若PCD ∆的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.真题10（2017北京，19，14分，★★☆）已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：BDE ∆与BDN ∆的面积之比4:5.考点3 直接证明与间接证明真题11（2017课标全国I ，6，5分，★☆☆）如图，在下列四个正方体中A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）真题12（2017课标全国I ，18，12分，★★☆）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=； (1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA PD AB DC ===，90APD ∠=，且四棱锥P ABCD -的体积为38，求该四棱锥的侧面积.真题13（2017课标全国III ，19，12分，★★☆）如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，AD CD =. (1)证明：AC BD ⊥，(2)已知ACD ∆是直角三角形，AB BD =.若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE EC ⊥,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.真题14（2017课标全国III，20,12分，★★☆）在直角坐标系；xOy中，曲线220,1.当m变化时，解答下y x mx=+-与x轴交于A，B两点，点C的坐标为()列问题：(1)能否出现AC BC⊥的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.参考答案真题1.答案：见解析解析：观察前个等式，由归纳推理可知222sin sin 2121n n ππ--⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()2241324sin sin 1212133n n n n n n n ππ--+⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯⨯+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 解题关键 本题是关于归纳推理的题目，根据题设条件，找出其中的规律是阶梯的关键. 真题2. 答案：A解析：由a b a b +=-，得22a b a b +=-，即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，所以=0a b ⋅，所以a b ⊥，故选A. 真题3. 答案：A解析：依题意得tan ,203,AMB m ⎧∠≥<<⎩或tan ,23,AMBm ∠≥>⎩所以tan 60,03,m ⎧≥<<⎩或tan 60,3,m ≥>⎩解得01m <≤或9m ≥.故选A. 真题4.答案：见解析解析：设男学生人数为m ，女学生人数为n ，教师人数为a ，m ，n ，*a N ∈.则由题意可得2a m n a >>>，①当4a =时，有84m n >>>，要使n 最大，则m 应取最大值7，n 的最大值为6.②若要使总人数最少，即m n a ++最小，由2a m n a >>>，且m ，n ，*a N ∈，则当a 最小且1n a =+，12m n a =+=+时，总人数最少，此时若=1a ，则2n =，3m =，而22a m =<，不符合题意；若=2a ，则3n =，4m =，而24=a m =，不符合题意；若=3a ，则4n =，5m =，而265a =>，符合题意，所以该小组人数的最小值为34512++=. 真题5.答案：见解析解析：解法一：当12x >时，原不等式化为12221222x xx x -+>⇔>-⇔>()21log 222-<，因为()21log 222-<，所以()2log 22x >-在12x >时恒成立，所以12x ≥；当0x ≤时，原不等式化为32142x x +>⇔>，所以104x <≤；当102x <≤时，原不等式化为1121222x x x x ++>⇔>-+，因为(212x ⎤∈⎦，，110,22x ⎡⎫-+∈⎪⎢⎣⎭，所以122x x >-+在102x <≤时恒成立，所以102x <≤.综上可知，x 的取值范围是14⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.解法二:因为函数()f x 在R 上是增函数，设()()12F x f x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()F x 为R 上的增函数，原不等式为()1F x >，因为()3012F =>，()11F -<，112F ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，1=14F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以原不等式等价于()14F x F ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即x 的取值范围是14⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，. 真题6.答案：见解析 解析：设第一天售出的商品种类构成集合A ，第二天售出的商品种类构成集合B ,第三天售出的商品种类构成集合C ,关系如图.①第一天售出但第二天未售出的商品有16种.②若这三天售出的商品种类最少，只需令第三天售出且未在第二天售出的14种商品全在第一天售出的且未在第二天售出的16种商品中，此时共有1636429+++=种. 真题7.答案：见解析解析：①设()1,0A ，则A 的“伴随点”为()'0,1A -，'A 的“伴随点”为()''1,0A -∴①是假命题.②在单位圆上任取一点()cos ,sin P θθ，则P 的“伴随点”为'2222sin cos ,cos sin cos sin P θθθθθθ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭, 即()'sin ,cos P θθ-，仍在单位圆上，∴②是真命题.③设(),y M x ，M 关于x 轴的对称点为(),y N x -，则M 的“伴随点”为'2222,y x M x y x y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ N 的“伴随点”为'2222,y x N x y x y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 'M ∴与'N 关于y 轴对称，∴③是真命题.④取直线1y x =+，在该直线上取三个不同的点()0,1D ，()1,2E ，()2,3F ， 则D 的“伴随点”为()'1,0D ，E 的“伴随点”为'21,55E -⎛⎫⎪⎝⎭，F 的“伴随点”为'32,1313F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，通过计算可知'D ，'E ，'F 三点不共线， 故④是假命题. 真题8.答案：见解析解析：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则()11n a n d =-+-，1n n b q -=. 由222a b +=得3d q +=.① (1)由335a b +=得226d q +=.②联立①和②解得30,d q =⎧⎨=⎩，（舍去），或12,d q =⎧⎨=⎩，因此{}n b 的通项公式为12n n b -=. (2)由11b =，3=21T 得2200q q +-=. 解得5q =-或4q =.当5q =-时，由①得8d =，则3=21S . 当4q =时，由①得1d =-，则3=6S -. 真题9.答案：见解析解析：在平面ABCD 内，因为90BAD ABC ︒∠=∠=，所以//BC AD .又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故//BC 平面PAD . (2)如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM.由12AB BC AD ==及//BC AD ，90ABC ︒∠=得四边形ABCM 为正方形，则CM AD ⊥.因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PM AD ⊥，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM CM ⊥. 设，则BC x =，CM x =，2CD x =，3PM x =，2PC PD x ==. 取CD 的中点N ，连结PN ，则PN CD ⊥，所以142PN x =. 因为PCD ∆的面积为27，所以1142=2722x 解得2x =-(舍去）或2x =.于是2AB BC ==，=4AD ，23PM =.所以四棱锥P ABCD -的体积()224132V ⨯+=⨯⨯=真题10.答案：见解析解析：（1)设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>.由题意得2,,2a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得c =2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)证明:设(),M m n ，则(),0D m ，(),N m n -.由题设知2m ≠±，且0n ≠.直线AM 的斜率2AM n k m =+，故直线DE 的斜率2DE m k n+=-，所以直线DE 的方程为()2m y x m n +=--.直线BN 的方程为()22ny x m=--.联立()()222m y x m n n y x m +⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，，解得点E 的纵坐标()22244E n m y m n-=-+.由点M 在椭圆C 上，得2244m n -=所以45E y n =-.又1225BDE E S BD y BD n ∆=⋅=⋅，12BDN S BD n ∆=⋅，所以BDE ∆与BDN ∆的面积之比4:5.解题关键演绎推理的一般模式为三段论的形式，应用三段论推理解决问题时，首先明确什么是大前提，什么是小前提,然后再找结论，解题时要注意推理的严密性，书写格式的规范性.真题11.答案：A解析：B 选项中，//AB MQ ，且AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，则//AB 平面MNQ ；C 选项中，//AB MQ ，且AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，则//AB 平面MNQ ；D 选项中，//AB NQ ，且AB ⊄平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ，则//AB 平面MNQ ；故选A.真题12.答案：见解析解析：（1）证明：由已知90BAP CDP ∠=∠=，得AB AP ⊥，CD PD ⊥. 由于//AB CD ，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD .又从AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD .设AB x =，则由已知可得2AD x =，22PE x =. 故四棱锥P ABCD -体积31133V AB AD PE x =⋅⋅=. 由题设得31833x =，故2x =. 从而2PA PD ==，22AD BC ==22PB PC ==.可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111sin 606232222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+=+真题13.答案：见解析解析：（1)证明：取AC 的中点O ，连结DO ，BO .因为AD CD =，所以AC DO ⊥.又因为ACD ∆是正三角形，所以AC BO ⊥.从而AC ⊥平面DOB ，故AC BD ⊥.(2)连结EO.由（1)及题设知90ADC ∠=，所以DO AO =.在Rt AOB ∆中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，90DOB ∠=. 由题设知AEC ∆为直角三角形，所以12EO AC =. 又ABC ∆是正三角形，且AB BD =，所以AC BD =，所以12EO BD =. 故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，故四面体仙ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:1.真题14.答案：见解析解析：（1)不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设()1,0A x ，()2,0A x ，则1x ，2x 满足220x mx +-=，所以12=2x x -. 又C 的坐标为()0,1，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为12111=2x x --⋅-，所以不能出现AC BC ⊥的情况.(2)证明:BC 的中点坐标为21,22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()2,0A x 的中垂线方程为22122x y x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 由（1）可得12=x x m +-，所以AB 的中垂线方程为=2m x -.联立22=2122m x x y x x ⎧-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，，又22220x mx +-=，可得=212m x y ⎧-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，， 所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为122m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，半径2r =. 故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.解题关键（1)在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根据条件的结构特点去转化结论.一般情况下，用分析法寻找思路，用综合法证明.(2)在证明实际问题时，我们往往同时从已知条件与结论出发，寻求它们之间的联系.具体来说，一方面从问题的已知条件出发，用前进型分析法经逻辑推理导出中间结果；另一方面从问题的结论出发，用追溯型分析法回溯到中间，即导出同一个中间结果，从而使问题得到解决.。

第二章推理与证明讲义2.1合情推理与演绎推理学习目标：1・了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；2・了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理•重点：用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题难点：用归纳和类比进行合情推理，做出猜想。

学习策略：①合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势②合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理•不论是由大量的实例，经过分析、概括、发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类比，它们的共同点是，结论往往超出前提所控制的范围，所以它们是“开拓型”或“发散型”的思维方法•也正因为结论超出了前提的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理.③演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是“封闭型”或“收敛型”的思维方法只要前提真实，逻辑形式正确，结论必然是真实的知识要点梳理知识点一：推理的扌既念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理•从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论.知识点二：合情推理根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等) 、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。

其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。

1.归纳推理(1 )定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳) 。

(2 )一般模式：部分一整体，个体一一般(3)一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；③检验猜想.(4)归纳推理的结论可真可假归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠•由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的2・类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)(2 )一般模式：特殊一特殊(3) 类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.(4)一般步骤：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题(猜想) ；③检验猜想・(5)类比推理的结论可真可假类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相尖，那么类比得出的命题就越可靠类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。

人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。

2．理解复数相等的充要条件。

3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。

5. 会进行复数乘法和除法运算。

【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。

要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。

要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。

分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。

） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。

⼈教版⾼中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理]框图（1）⼈教版⾼中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习框图【学习⽬标】1．通过具体实例，进⼀步认识程序框图，了解⼯序的流程图。

2．能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作⽤。

3. 能画出简单问题的结构图，能解读结构图。

【要点梳理】要点⼀、框图的分类本节概念分类如右图：要点⼆、流程图的概念、分类及其关系1. 流程图：由⼀些图形符号和⽂字说明构成的图⽰称为流程图，它常⽤来表⽰⼀些动态过程，通常会有⼀个“起点”，⼀个或多个“终点”．2. 流程图的分类：流程图可分为程序框图与⼯序流程图．3. 程序框图：程序框图就是算法步骤的直观图⽰，算法的输⼈、输出、条件、循环等基本单元构成了程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流程线来建⽴。

要点诠释：程序框图主要⽤于描述算法，⼀个程序的流程图要基于它的算法。

在设计流程图的时候要分步进⾏，把⼀个⼤的流程图分割成⼩的部分，按照三个基本结构，即顺序结构、选择结构、循环结构来局部安排，最后把流程图进⾏部分之间的组装，从⽽完成完整的程序流程图．4．⼯序流程图：流程图可⽤于描述⼯业⽣产的流程，这样的流程图称为⼯序流程图．要点诠释：⼯序流程图（统筹图）⽤于描述⼯业⽣产流程。

每⼀个矩形框代表⼀道⼯序，流程线则表⽰两相邻⼯序之间的关系，这是⼀个有向线，⽤于指⽰⼯序进展的⽅向，因此画图时要分清先后顺序，判断是⾮区别，分清流向．特别注意：在程序框图中可以有⾸尾相接的圈图或循环回路，⽽在⼯序流程图上，不允许出现⼏道⼯序⾸尾相接的圈图或循环回路．要点三、程序框图、⼯序流程图的画图与识图1.程序框图的画法：最基本的程序框有四种：起⽌框，输⼊输出框，处理框（执⾏框），判断框．画法要求：（1）使⽤标准的框图符号；（2）框图⼀般按照从上到下、从左到右的顺序画；（3）除判断框外，⼤多数程序框只有⼀个进⼊点和⼀个退出点，判断框是具有超过⼀个退出点的唯⼀符号；（4）⼀种判断框是“是”与“否”两分⽀的判断，⽽且有且仅有两个结果；另⼀种是多分⽀判断，有⼏种不同的结果；（5）在框图符号内描述的语⾔要⾮常简练、清楚．2.⼯序流程图的画法：将⼀个⼯作或⼯程从头⾄尾依先后顺序分为若⼲道⼯序（即⾃顶向下），每⼀道⼯序⽤矩形框表⽰，并在该矩形框内注明此⼯序的名称或代号．两相邻⼯序之间⽤流程线相连．有时为合理安排⼯程进度，还要在每道⼯序框上注明完成该⼯序所需的时间．开始时⼯序流程图可以画得粗疏，然后再对每⼀框逐步细化。

人教版高中数学选修1-2知识点第一章统计案例1.线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；②制作散点图，判断线性相关关系；③线性回归方程：a bx y +=∧(最小二乘法)。

其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑注意：线性回归直线经过定点),(y x .2.相关系数(判定两个变量线性相关性)：∑∑∑===----=ni ni iini i iy yx xy y x xr 11221)()()((注意：(1)r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；(2)①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率.记为P (A |B ),其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4.相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A 、B 相互独立.(2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立.5.独立性检验(分类变量关系)：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B =通过观察得到下表所示数据：并将形如此表的表格称为2×2列联表(2)独立性检验根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验。

(3)统计量χ2的计算公式：χ2=n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）第二章推理与证明1.推理(1)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

知识点总结选修1-2知识点总结第一章 统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关； ⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P (A |B ) , 其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立． (2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝_ P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．5．独立性检验（分类变量关系）： (1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B =通过观察得到右表所示数据：并将形如此表的表格称为2×2列联表．(2)独立性检验根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验． (3) 统计量χ2的计算公式χ2=n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法:它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础； B.假设在n=k 时命题成立 C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。

第二章推理与证明章末小结一、知识梳理1．思维导图2．知识梳理1.归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论其正确性有待于去证明．2．演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确．3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据．4．综合法、分析法、反证法都是数学证明的基本方法．综合法常用于由已知出发进行推理较易找到思路的问题；分析法常用于条件复杂，思考方向不明确的问题，但单纯用分析法证明的情形较少，通常是“分析找思路，综合写过程”；分析法的证明过程充分体现了转化的思想，而反证法则是正难则反思想的体现．另外用反证法证题时，原命题的反面不止一种情形时，要注意分类讨论．二、重难点突破1.进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想．3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步．4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，后者结论可能为真！合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据．5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式．6．分析法的过程仅需要寻求某结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性．一般地，用分析法书写解题步骤的基本格式是：要证：……，只需证……，只需证……，……，……显然成立，所以……成立．三、题型探究（一）合情推理与演绎推理运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最后用演绎推理的方法进行验证．例1观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是S n.••••，• • •• •• • •，• • • •• •• •• • • •，…，n＝2，S2＝4；n＝3，S3＝8；n＝4，S4＝12；…，按此规律，推出S n与n的关系式为________．【知识点：归纳推理】详解：依图的构造规律可以看出：S2＝2×4－4，S3＝3×4－4，S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．…猜想：S n＝4n－4(n≥2，n∈N*)．答案：S n＝4n－4(n≥2，n∈N*)例2 若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则有数列n b =b (n ∈N *)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列{}n c 是等差数列，则有数列n d =________也是等差数列． 【知识点：类比推理】 详解 ：12n c c c n +++L 类比猜想可得12nn c c c d n+++=L 也成等差数列，若设等差数列{}n c 的公差为x ，则12nn c c c d n+++=L 11(1)2(1)2n n xnc x c n n -+==+-g可见{d n }是一个以c 1为首项，x 2为公差的等差数列，故猜想是正确的．答案：12nc c c n +++L ．例3 已知函数1133()5x x f x --=，1133()5x x g x -+=(1)证明f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算(4)5(2)(2)f f g -g 和(9)5(3)(3)f f g -g 的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．【知识点：函数的奇偶性，函数的单调性，指数的运算，不等式的性质】 详解：(1)证明：函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又11113333()()()()55x x x x f x f x -------==-=-，∴f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2，1111113333112233121211331211()()()1555x x x x f x f x x x x x --⎛⎫-- ⎪-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭g ， ∵1133120x x -<，113312110x x +>g ，∴12()()0f x f x -<∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)解析：计算得(4)5(2)(2)0f f g -=g ，(9)5(3)(3)0f f g -=g ． 由此概括出对所有不等于零的实数x 有2()5()()0f x f x g x -=g ． ∵221111222233333333332()5()()5055555x x x x x x x x x x f x f x g x -------+---=-=-=g g g∴该等式成立．点评：问题(1)的大前提为函数奇偶性和单调性的定义．问题(2)实际上是合情推理在高考中的体现，有一定的创新性． （二）直接证明与间接证明 1．综合法和分析法综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用． 例4 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.【知识点：不等式的证明，综合法与分析法】 详解：证法一(综合法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4. 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.证法二(分析法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b ≥4，即证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4，即证b a ＋a b ≥2.由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab ≥2成立，∴原不等式成立． 2．反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑的角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则¬q ”由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则¬q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．例5 求证：两条相交直线有且只有一个交点．【知识点：反证法，两条直线的位置关系；数学思想：分类的思想】 详解：假设结论不成立，即有两种可能：①无交点；②不只有一个交点．(1)若直线a 、b 无交点，那么a ∥b 或a 与b 异面，与已知矛盾；(2)若直线a 、b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A 、B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾． 综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．点拔：结论本身是否定形式或关于唯一性的命题、存在性的命题时，常用反证法． 例6 已知0<a ≤3，函数3()f x x ax =-在区间[1，＋∞)上是增函数，设当x 0≥1，f (x 0)≥1时，有00(())f f x x =.求证：f (x 0)＝x 0.【知识点：反证法，函数的单调性；数学思想：分类的思想】 证明：假设f (x 0)≠x 0，则必有f (x 0)>x 0或f (x 0)<x 0.若f (x 0)>x 0≥1，由于f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则00(())f f x x >． 又00(())f f x x =，∴00()x f x >，与假设矛盾． 若00()1x f x >≥，则00()(())f x f f x >． 又00(())f f x x =，∴f (x 0)>x 0，也与假设矛盾．综上所述，当x 0≥1，f (x 0)≥1且00(())f f x x =时有f (x 0)＝x 0.点拔： (1)对于f (f (x 0))的性质知之甚少，直接证明有困难，因而用反证法来证明，增加了反设这一条件，为我们利用函数的单调性创造了可能． (2)反设中有两种情况，必须逐一否定． 四．课后作业（一）选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( )A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一致D ．“两个整数”概念不一致 【知识点：演绎推理】解：A 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( ) A ．假设2是有理数 B ．假设3是有理数 C ．假设2或3是有理数D ．假设2＋3是有理数【知识点：反证法】解析：D假设应为“2＋3不是无理数”，即“2＋3是有理数”．3．下列推理过程属于演绎推理的为()A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32…得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列【知识点：归纳推理，类比推理，演绎推理】解析：D A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．4．用反证法证明命题“已知x，y∈N*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内容是()A．x，y都不能被7整除B．x，y都能被7整除C．x，y只有一个能被7整除D．只有x不能被7整除【知识点：反证法】解析：A用反证法证明命题时，先假设命题的否定成立，再进行推证．“x，y至少有一个能被7整除”的否定是“x，y都不能被7整除”．5．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．试求第n个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2【知识点：归纳推理】解：C观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.6. 函数f(x)在[－1,1]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式正确的是( )A ．f (cos α)>f (sin β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (cos α)<f (cos β)D ．f (sin α)<f (sin β)【知识点： 函数的单调性，三角函数的单调性，演绎推理】解：A α，β是锐角三角形的两个内角，这就意味着α，β为锐角，另外第三个角π－(α＋β)为锐角．所以0<α<π2，0<β<π2，π2<α＋β<π，所以π2>β>π2－α>0.，所以0<cos β<cos(π2－α)＝sin α<1， 1>sin β>sin(π2－α)＝cos α>0，又因为f (x )在[－1,1]上为减函数，所以f (sin β)<f (cos α)．故选A.7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0【知识点：不等式的性质，不等式的证明，演绎推理】解：D 法一：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， 所以ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ca ＝0，否则a 、b 异号，所以ab ＋bc ＋ca ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选项D 正确．8．已知对正数a 和b ，有下列命题：①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤( )A ．2 B.92 C ．4D ．5【知识点：归纳推理】解：B 从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为12，32，62，所以，若a ＋b ＝9，则ab ≤92.9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为m ＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0【知识点：归纳推理】解：A 所求的平面方程为－1×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0.化简得x ＋2y －z －2＝0.10．下列不等式中一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【知识点：不等式的性质，不等式的证明，演绎推理】 解：C A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；B 项中sin x ＋1sin x ≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.11．已知f (x )＝sin x ＋cos x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′(n ∈N *)，经计算，f 1(x )＝cos x －sin x ，f 2(x )＝－sin x －cos x ，f 3(x )＝－cos x ＋sin x ，…，照此规律，则f 100(x )＝( )A ．－cos x ＋sin xB ．cos x －sin xC ．sin x ＋cos xD ．－sin x －cos x【知识点：归纳推理】解：C 根据题意， f 4(x )＝[f 3(x )]′＝sin x ＋cos x ，f 5(x )＝[f 4(x )]′＝cos x －sin x ，f 6(x )＝[f 5(x )]′＝－sin x －cos x ，…，观察知f n (x )的值呈周期性变化，周期为4，所以f 100(x )＝f 96＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ＋cos x .12．请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，求证：a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数a1，a2，…，a n满足a21＋a22＋…＋a2n＝n时，你能得到的结论是()A．a1＋a2＋…＋a n≤2n B．a1＋a2＋…＋a n≤n2C．a1＋a2＋…＋a n≤n D．a1＋a2＋…＋a n≤n【知识点：归纳推理】解：C构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋n，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0；即4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n2≤0，所以a1＋a2＋…＋a n≤n.（二）填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是________．【知识点：演绎推理】解：菱形的对角线互相垂直且平分大前提是“菱形的对角线互相垂直且平分”．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时：甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可以判断乙去过的城市为________．【知识点：反证法；数学思想：分类思想】解：A易知三人同去的城市为A，又甲去过城市比乙去过的城市多，且甲没去过B城，∴甲去过A城，C城，乙只去过A城．15．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为________．【知识点：类比推理】解：半径为R的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为839R3. “圆中正方形的面积“类比为“球中正方体的体积”，可得结论．16.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．【知识点：归纳推理】解：14 根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1，∴{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. （三）解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x >0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式．【知识点：归纳推理，函数的解析式】 解：依题意得，f 1(x )＝xx ＋2，f 2(x )＝x x ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x（22－1）x ＋22f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x（23－1）x ＋23，…，由此归纳可得f n (x )＝x（2n －1）x ＋2n(x >0)．18．(本小题满分12分)已知A ＋B ＝π3，且A ，B ≠k π＋π2(k ∈Z )．求证：(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝4.【知识点：演绎推理，诱导公式，两角和的正切】证明：由A ＋B ＝π3得tan(A ＋B )＝tan π3，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，所以tan A ＋tan B ＝3－3tan A tan B.所以(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝1＋3(tan A ＋tan B )＋3tan A tan B ＝1＋3(3－3tanA tanB )＋3tan A tan B ＝4.故原等式成立．19．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．【知识点：类比推理，反证法，直线与平面平行的性质】解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的，证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β.又α∥β，所以α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，所以必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．20．(本小题满分12分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．【知识点：演绎推理，等差数列的前n 项和，等比 中项】证明：由题意得，S n ＝na ＋n （n －1）2d . 由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b 为正实数．(1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23； (2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.【知识点：不等式的证明，分析法，反证法】证明：(1)欲证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，即证b a ＋2b ＋a b ＋2a ≤23，只要证a 2＋b 2＋4ab 2a 2＋2b 2＋5ab ≤23. 因为a ，b 为正实数，只要证3(a 2＋b 2＋4ab )≤2(2a 2＋2b 2＋5ab )，即a 2＋b 2≥2ab ， 因为a 2＋b 2≥2ab 显然成立，故原不等式成立．(2)假设af (b )＝a b ＋2≤12，bf (a )＝b a ＋2≤12， 由于a ，b 为正实数，所以2＋b ≥2a ，2＋a ≥2b ，两式相加得：4＋a ＋b ≥2a ＋2b ，即a ＋b ≤4，与条件a ＋b >4矛盾，故af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.22．(本小题满分12分)如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值．【知识点：演绎推理，线面垂直的判定，面面垂直的性质，锥体的体积】(1)证明：在图①中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点， ∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1O C.又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1O C.(2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)知，A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE ， 则A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高．由图①知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2.从而四棱锥A 1-BCDE 的体积V ＝13×S ·A 1O ＝13a 2·22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6.。