高中数学选修1 2知识点总结

数学高二选修一知识点归纳高二数学选修一知识点归纳一、数列与数列的通项公式数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。

常见的数列有等差数列和等比数列。

等差数列中，相邻两项之间的差值是一个常数，称为公差；等比数列中，相邻两项之间的比值是一个常数，称为公比。

数列的通项公式是通过观察数列规律得到的一个表示第n项与n的关系的公式。

掌握求解数列的通项公式，并能灵活运用。

二、函数与函数的图像函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素对应到另一个集合的元素。

常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数等。

函数的图像是函数在坐标系中的表示，通过画出函数的图像，可以更加直观地了解函数的性质，如增减性、奇偶性、单调性等。

在绘制函数图像时，需要注意的是选择适当的坐标轴范围、标注关键点和曲线的趋势。

三、三角函数与三角恒等式三角函数是描述角度和边长之间关系的一组函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们在几何、物理、工程等领域具有广泛的应用。

三角恒等式是指在三角函数中满足恒等关系的式子，例如正弦函数的平方加余弦函数的平方等于1。

掌握三角函数的定义、性质以及三角恒等式的推导和应用。

四、数列和矩阵的和与积数列的和是指将数列中所有元素相加的结果，常用的有等差数列的和公式和等比数列的和公式。

矩阵的和是指将两个矩阵中对应位置的元素相加得到的新矩阵。

数列和矩阵的积是指将数列中所有元素相乘的结果，常用的有等比数列的积公式和矩阵的乘法规则。

熟练掌握计算数列和矩阵的和与积的方法。

五、解三角函数方程和解二次方程三角函数方程是指含有三角函数的方程，解三角函数方程的关键是找到方程的解集。

解二次方程是指求解形式为ax^2 + bx + c = 0的方程。

根据二次方程的特点，可以使用求根公式或配方法来求解。

熟练掌握解三角函数方程和解二次方程的方法，并能灵活运用以解决实际问题。

六、平面向量的运算与坐标表示平面向量是指具有大小和方向的量，可以表示为带箭头的线段。

高中数学选择性必修一
第一章空间向量与立体几何
1.2空间向量基本定理
知识点一：空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得p=x a+y b+z c，其中{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。

知识点二：空间向量的正交分解
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。

由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量x i，y j，z k，使a=x i+y j+z k。

像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。

如图，设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量，
且表示它们的有向线段有公共起点O。

对于任意
一个空间向量p，存在唯一的有序实数组
（x，y，z），使得
p=x i+y j+z k
1。

高中数学选修一第2章-2.4抛物线-知识点1、抛物线：平面内到一个定点F (焦点)和到一条定直线l(准线)的距离相等的点的轨迹。

2、抛物线的标准方程/焦点和准线方程/焦点/准线图形方程/焦点/准线图形方程：y2=2px,(p>0）焦点：(p/2,0)，准线：x=-p/2。

方程：y2=-2px,(p>0）焦点：(-p/2,0)，准线：x=p/2。

方程：x2=2py,(p>0）焦点：(0,p/2)，准线：y=-p/2。

方程：x2=-2py,(p>0）焦点：(0,-p/2)，准线：y=p/2。

3、抛物线的性质[以y2=2px(p>0）为例进行说明].①范围：x≥0,抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，抛物线向右上方和右下方无限延伸。

②对称性：关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

③顶点：坐标原点。

④顶点是（0，0），⑤离心率e=1 。

4、抛物线的方程，多用定义法，通过数形结合来确定，或建立方程求出参数 p。

5、抛物线与二次函数的关系：①当焦点在x轴上时，抛物线不是函数，②当焦点在y轴上时，抛物线是二次函数。

6、求弦长：①若AB过抛物线焦点，则AB=x1+x2+p （p>0时）；②若不过焦点，则必须用弦长公式。

7、与抛物线有关的最值问题的两个转化策略：①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”。

②将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，构造出“与直线上所有点的连线段中垂线段最短”。

8、直线与抛物线的位置关系(以直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0）为例).①k=0时,相交;②k≠0时,联立方程组,若△>0,则相交;△=0，则相切;△<0,则相离。

9、“设而不求”思想：在研究直线与曲线相交的相关问题时，我们通常把两个交点的坐标设出来（却又不求出），利用韦达定理及相关已知（弦长/中点/距离等）得到与参数相关的方程，从而解决问题。

高中数学选修1知识点总结1. 两点间的距离公式在平面直角坐标系中，两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)之间的距离可以通过以下公式计算：AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)2. 圆的方程2.1 标准方程设圆心为C(h, k)，半径为r，则圆的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²2.2 一般方程设圆的方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中D、E、F为实数常数，则圆的一般方程为上述形式。

3. 对数函数3.1 定义对数函数以常数b（b > 0且b ≠ 1）为底的对数函数定义为：y = logₓ(b)其中x为自变量，y为函数值。

3.2 基本性质•logₓ(1) = 0•logₓ(x) = 1•logₓ(x * y) = logₓ(x) + logₓ(y)•logₓ(x / y) = logₓ(x) - logₓ(y)•logₓ(x^a) = a * logₓ(x)4. 幂函数4.1 定义幂函数定义为：y = a^x其中a为常数且a > 0。

4.2 基本性质•幂函数的定义域为全体实数。

•当a > 1时，幂函数呈现增长趋势；当0 < a < 1时，幂函数呈现下降趋势。

•幂函数的图像经过点(0, 1)。

•幂函数在底数为1时，始终为1。

5. 三角函数5.1 正弦函数正弦函数以周期2π为基础，定义为：y = sin(x)5.2 余弦函数余弦函数以周期2π为基础，定义为：y = cos(x)5.3 正切函数正切函数的定义为：y = tan(x)5.4 基本性质•三角函数的周期都为2π。

•正弦函数和余弦函数的取值范围为[-1, 1]。

•正切函数的定义域为全体实数，值域为(-∞, +∞)。

6. 反三角函数与三角函数相对应，反三角函数常用的包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。

选修一数学知识点归纳高二高中数学是学生们学习的一门重要科目，其中数学知识点繁多而又复杂。

在高二阶段，学生们需要加深对数学知识的理解与掌握，为此，本文将对高二数学中的几个重要的选修一知识点进行归纳总结。

1. 不等式与数轴图在选修一数学中，不等式与数轴图是一个基础而又重要的概念。

对于不等式的理解，我们可以通过数轴图进行可视化表示。

数轴图以数轴为基础，通过在数轴上标记并绘制不等式的解集，帮助我们更好地理解不等式的性质。

在解决不等式问题时，可以通过数轴图的方法来推理和推导解集，从而得到准确的答案。

2. 三角函数三角函数是选修一数学中必不可少的部分。

它们以角度作为自变量，输出对应的函数值。

在高二阶段，我们将主要学习正弦函数、余弦函数和正切函数。

熟练掌握这些函数的定义、性质和图像有助于我们解决与三角函数相关的各类问题。

同时，还需要注意掌握三角函数的基本公式与变换规律，以及如何应用它们来解决实际问题。

3. 平面向量平面向量是高二数学中的另一重要知识点。

它们具有大小和方向的特点，并可以进行向量的加法、减法和数乘等运算。

在学习平面向量时，重点掌握向量的表示方法、向量之间的几何关系和向量的数量积等概念。

理解这些概念后，我们可以应用平面向量来解决平面几何、力学以及物理等领域中的各类问题。

4. 导数与函数的变化率导数是数学中的一个重要概念，即函数在某一点处的变化率。

在选修一数学中，我们将深入学习函数的导数以及导数的应用。

通过学习导数，我们可以了解函数的变化趋势、极值点、凹凸性以及函数与其导函数之间的关系。

理解导数的概念和性质对于我们解决各类数学问题至关重要，如求曲线的斜率、优化问题以及曲线的图像分析等。

5. 解析几何在高二数学的选修一中，解析几何是一个重要而又实用的数学工具。

它是利用坐标系统中的代数方法来进行几何证明和计算的一种方法。

在学习解析几何时，我们需要掌握平面坐标系和空间坐标系的表示方法，了解直线和曲线的方程以及它们的几何性质。

人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。

2．理解复数相等的充要条件。

3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。

5. 会进行复数乘法和除法运算。

【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。

要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。

要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。

分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。

） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。

高中数学选修12知识点高中数学选修12是数学高中课程中一个非常重要的部分，主要涵盖了高等数学的一些基础知识和方法。

在学习这门课程时，学生将会接触到一些高级的数学概念和技巧，例如微积分、解析几何、复数等等。

下面将详细介绍高中数学选修12的一些知识点。

一、微积分微积分是高中数学选修12中一个非常重要的内容。

它是研究函数的变化规律和求解极限、导数、积分等问题的一门数学分支。

学生在学习微积分时，需要掌握函数的极限、导数和积分的定义和性质，能够灵活运用微积分的方法解决实际问题。

二、解析几何解析几何是高中数学选修12中另一个重要的内容。

它是将几何问题用代数的方法进行分析和解决的一门数学分支。

学生在学习解析几何时，需要掌握直线、圆、圆锥曲线的方程和性质，能够利用解析几何的方法研究几何问题。

三、复数复数是高中数学选修12中的一个基础知识点。

它是在实数的基础上引入的一个新的数系，其中包括实部和虚部。

学生在学习复数时，需要了解复数的基本性质、运算法则和应用，能够运用复数的方法解决代数方程和几何问题。

四、数列数列是高中数学选修12中的另一个重要知识点。

它是由一系列按照某一规律排列的数构成的有序集合。

学生在学习数列时，需要掌握等差数列、等比数列的性质和求和公式，能够应用数列的方法解决数学和实际生活中的问题。

五、概率统计概率统计是高中数学选修12中的一门应用数学课程。

它是研究随机现象的规律和运算的一门数学分支。

学生在学习概率统计时，需要了解概率理论的基本概念、概率分布和统计分析的方法，能够分析和解决实际问题。

六、函数函数是高中数学选修12中的一个基础知识点。

它描述了一个变量如何依赖于另一个变量的规律。

学生在学习函数时，需要了解函数的定义、性质和图像，能够求函数的极限、导数和积分，应用函数的方法解决数学和实际问题。

七、数域数域是高中数学选修12中一个重要的内容。

它是由满足一定四则运算规律的数所构成的集合。

学生在学习数域时，需要了解有理数、无理数、整数、实数、复数等不同数域的性质，能够灵活运用数域的知识解决问题。

高二选修一数学全章知识点数学是一门基础学科，对于高中生来说，学好数学是非常重要的。

在高二选修一的数学课程中，涵盖了许多重要的知识点。

本文将对高二选修一数学的全章知识点进行详细介绍。

一、函数与方程1. 函数的概念与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性等。

2. 一次函数：函数的概念、斜率与截距的关系、函数图像、应用问题等。

3. 二次函数：标准形式与一般形式、顶点、对称轴、判别式、函数图像、应用问题等。

4. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义与性质、函数图像、解三角方程等。

二、数列与数学归纳法1. 数列的概念与常见数列：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

2. 数列的通项公式与求和公式。

3. 数学归纳法的原理与应用。

三、二次函数与三角函数的综合应用1. 二次函数与三角函数的复合函数。

2. 二次函数与三角函数的图像叠加问题。

3. 综合应用题：包括角度问题、最值问题、优化问题等。

四、平面向量与解析几何1. 平面向量的概念与性质：向量的表示、向量的运算、向量共线与垂直等。

2. 向量的数量积与向量的夹角。

3. 直线与圆的方程：点斜式、一般式、圆的标准方程、一般方程等。

五、概率论1. 随机事件与样本空间。

2. 概率的基本概念与性质：事件的概率、互斥事件、相互独立事件等。

3. 排列组合与概率：排列、组合、二项式定理等。

4. 条件概率与贝叶斯定理。

六、三角恒等变换1. 三角函数的基本关系与三角函数的诱导公式。

2. 三角恒等式与比值恒等式。

3. 三角函数的和差化积。

七、导数与微分1. 函数的导数与导数的基本运算法则。

2. 极限与连续性。

3. 函数的极值与最值。

4. 曲线的凸凹性与拐点。

5. 函数的图像与导数关系。

八、不等式与线性规划1. 解不等式的基本方法。

2. 线性规划的基本概念与步骤。

以上就是高二选修一数学全章知识点的概要介绍。

在学习数学的过程中，要理解每个知识点的概念与性质，并能够熟练运用到解题中。

只有通过反复练习和思考，才能真正掌握这些知识点，为高考打下坚实的基础。

新教材高二数学选修一知识点总结高中数学是一门重要的学科，在学习中培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

作为高中数学选修课程之一，高二数学选修一涵盖了一系列的知识点，帮助学生进一步掌握和应用数学知识。

本文将对新教材高二数学选修一的知识点进行总结，旨在帮助学生复习和加深对这些知识的理解。

1. 二次函数二次函数是高中数学中的重要内容之一。

在高二数学选修一中，我们学习了二次函数的基本概念、性质和图像特征。

二次函数的标准形式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。

在解析几何中，二次函数的图像为抛物线。

我们学习了求二次函数的顶点坐标、对称轴以及与x轴交点等重要概念。

同时，我们也学习了如何根据给定的条件，利用二次函数解决实际问题，例如最值问题和方程求解等。

2. 三角函数三角函数是与三角学紧密相关的知识点。

在高二数学选修一中，我们学习了正弦函数、余弦函数和正切函数等基本三角函数的定义和性质。

通过对三角函数的学习，我们可以了解三角函数在数学和物理中的应用。

在解析几何中，三角函数可以描述平面上点的坐标与线与坐标轴之间的关系。

我们学习了三角函数的周期性、图像特征以及三角函数的基本变换等重要知识。

3. 指数函数与对数函数指数函数与对数函数是高中数学的另一个重要内容。

在高二数学选修一中，我们学习了指数函数和对数函数的定义、性质和图像特征。

指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。

而对数函数是指数函数的逆运算，定义域为正实数集，值域为实数集。

我们学习了指数函数和对数函数的基本变换规律，例如平移、伸缩和翻折等。

同时，我们也学习了如何应用指数函数和对数函数解决实际问题，如复利、半衰期等。

4. 三角恒等变换三角恒等变换是高中数学中的重点和难点之一。

在高二数学选修一中，我们学习了多种三角恒等变换，并且了解了这些变换的证明方法。

通过学习三角恒等变换，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为简单的形式，从而方便计算和求解。

1高中数学选修一第2章-2.2椭圆-知识点1、椭圆：平面内到两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数2a (2a ﹥F 1F 2)的点的轨迹。

定点F 1,F 2是椭圆的焦点，F 1F 2=2c 叫做焦距。

★注意：①当a ﹥c 时，轨迹是椭圆，②当a = c 时；轨迹是线段F 1F 2；③当a ﹤c 时，轨迹不存在。

2、椭圆的标准方程及性质： 标准方程12222=+b y a x (a>b>0)12222=+b x a y (a>b>0)图形焦点在x 轴上焦点在 y 轴上性 质对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点焦点 F 1(-c,0),F 2(c,0) F 1(0,-c),F 2(0,c) 顶点 A 1(-a ，0)，A 2(a ，0)， B 1(0，-b )，B 2(0，b )。

A 1(0，-a )，A 2(0，a )，B 1(-b ，0)，B 2(b ，0)。

轴 长轴A 1A 2的长为 2a ，短轴B 1B 2的长为 2b 。

范围 x ϵ[-a,a]，y ϵ[-b,b]。

x ϵ[-b,b],y ϵ[-a,a]。

离心率 e= c/a ，（ 0<e<1 )a,b,c 的关系 a 2=c 2+b 23、求椭圆方程，一般用待定系数法，先确定焦点位置，然后再建立关于a ，b 的方程组，如果焦点位置不确定，可设为mx 2+ny 2=1,m>0, n>0,m ≠n 。

4、焦点三角形：椭圆上点P 与椭圆两焦点构成的三角形。

若∠F 1PF 2=θ，△F 1PF 2的面积S=b 2·tan(θ/2)。

5、点P(x 0,y 0)与椭圆12222=+b y a x 位置关系:①PF 1+PF 2﹤2a ⇔点在椭圆内⇔2222b y a x +﹤1；②PF 1+PF 2 = 2a ⇔点在椭圆上⇔2222b y a x + =1；③PF 1+PF 2﹥2a ⇔点在椭圆外⇔2222b y a x +﹥1。

⼈教版⾼中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理]框图（1）⼈教版⾼中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习框图【学习⽬标】1．通过具体实例，进⼀步认识程序框图，了解⼯序的流程图。

2．能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作⽤。

3. 能画出简单问题的结构图，能解读结构图。

【要点梳理】要点⼀、框图的分类本节概念分类如右图：要点⼆、流程图的概念、分类及其关系1. 流程图：由⼀些图形符号和⽂字说明构成的图⽰称为流程图，它常⽤来表⽰⼀些动态过程，通常会有⼀个“起点”，⼀个或多个“终点”．2. 流程图的分类：流程图可分为程序框图与⼯序流程图．3. 程序框图：程序框图就是算法步骤的直观图⽰，算法的输⼈、输出、条件、循环等基本单元构成了程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流程线来建⽴。

要点诠释：程序框图主要⽤于描述算法，⼀个程序的流程图要基于它的算法。

在设计流程图的时候要分步进⾏，把⼀个⼤的流程图分割成⼩的部分，按照三个基本结构，即顺序结构、选择结构、循环结构来局部安排，最后把流程图进⾏部分之间的组装，从⽽完成完整的程序流程图．4．⼯序流程图：流程图可⽤于描述⼯业⽣产的流程，这样的流程图称为⼯序流程图．要点诠释：⼯序流程图（统筹图）⽤于描述⼯业⽣产流程。

每⼀个矩形框代表⼀道⼯序，流程线则表⽰两相邻⼯序之间的关系，这是⼀个有向线，⽤于指⽰⼯序进展的⽅向，因此画图时要分清先后顺序，判断是⾮区别，分清流向．特别注意：在程序框图中可以有⾸尾相接的圈图或循环回路，⽽在⼯序流程图上，不允许出现⼏道⼯序⾸尾相接的圈图或循环回路．要点三、程序框图、⼯序流程图的画图与识图1.程序框图的画法：最基本的程序框有四种：起⽌框，输⼊输出框，处理框（执⾏框），判断框．画法要求：（1）使⽤标准的框图符号；（2）框图⼀般按照从上到下、从左到右的顺序画；（3）除判断框外，⼤多数程序框只有⼀个进⼊点和⼀个退出点，判断框是具有超过⼀个退出点的唯⼀符号；（4）⼀种判断框是“是”与“否”两分⽀的判断，⽽且有且仅有两个结果；另⼀种是多分⽀判断，有⼏种不同的结果；（5）在框图符号内描述的语⾔要⾮常简练、清楚．2.⼯序流程图的画法：将⼀个⼯作或⼯程从头⾄尾依先后顺序分为若⼲道⼯序（即⾃顶向下），每⼀道⼯序⽤矩形框表⽰，并在该矩形框内注明此⼯序的名称或代号．两相邻⼯序之间⽤流程线相连．有时为合理安排⼯程进度，还要在每道⼯序框上注明完成该⼯序所需的时间．开始时⼯序流程图可以画得粗疏，然后再对每⼀框逐步细化。

知识点总结选修1-2知识点总结第一章 统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关； ⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P (A |B ) , 其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立．(2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝_ P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．5．独立性检验（分类变量关系）：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B =通过观察得到右表所示数据：并将形如此表的表格称为2×2列联表．(2)独立性检验根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．(3) 统计量χ2的计算公式χ2=n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法:它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础； B.假设在n=k 时命题成立 C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。

高中数学选修1-2知识点总结第一章 统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧〔最小二乘法〕其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .2．相关系数〔判定两个变量线性相关性〕：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P (A |B ) , 其公式为P (A |B )＝P 〔AB 〕P 〔A 〕4相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，那么称A 、B 相互独立． (2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么有P (A 1A 2…A n )＝_ P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．5．独立性检验〔分类变量关系〕：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B = 通过观察得到右表所示数据： 并将形如此表的表格称为2×2列联表．(2)独立性检验 根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．(3) 统计量χ2的计算公式χ2=n 〔ad －bc 〕2〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕1．(2021·山东)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x /万元 4 2 3 5 销售额y /万元49263954根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( )．A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析 ∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋544＝42，又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)，∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案 B2．(2021·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x /cm 174 176 176 176 178 儿子身高y /cm175175176177177那么y 对x 的线性回归方程为 ( )． A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝88＋12x D.y ^＝176解析 因为x －＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y －＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y －)， 所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案 C3．(2021·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的选项是( )．A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(x －，y －)解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的 绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回 归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确，所以选D. 答案 D4．(2021·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：6号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y －＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间x －＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^＝ 0.47，故回归直线方程为y ^＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的 投篮命中率约为0.53. 答案 0.5 0.535．(2021·辽宁)调查了某地假设干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析 由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254. 答案 0.2546．(2021·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是局部统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2021年的粮食需求量．解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2.b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ^＝y －－b x －＝3.由上述计算结果，知所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 006)＋a ^＝6.5(x －2 006)＋3.2， 即y ^＝6.5(x －2 006)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2021年的粮食需求量为 6．5×(2021－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．7．(2021·新课标全国)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？ 说明理由． 附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解 (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)K 2＝500×(40×270－30×160)270×300×200×430≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据 能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此 在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两 层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．8．(2021·辽宁)为了比拟注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm 2)表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表(2)完成下面2×2列联表，并答复能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异〞．表3：疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于70 mm2总计注射药物A a＝b＝注射药物B c＝d＝总计n＝附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001 k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828 解(1)从频率分布直方图中可以看出注射药物A 后皮肤疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后皮肤疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数． (2)表3：K 2＝200×(70×65－35×30)100×100×105×95≈24.56.由于K 2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异〞．。

第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

全国版高中数学选修一知识点梳理高中数学选修一是高中阶段的一门选修课程，主要包括函数与方程、空间向量与立体几何和数列与数学归纳法三个模块。

下面将对这三个模块的知识点进行梳理。

一、函数与方程1.函数的概念：自变量、因变量、定义域、值域、图像等基本概念。

2.函数的性质：奇偶性、周期性等基本性质。

3.初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数。

4.逆函数：定义、性质以及求法。

5.函数的四则运算：加法、减法、乘法和除法。

6.复合函数：定义、性质以及求法。

7.函数的图像与变换：平移、伸缩、翻折等基本变换。

8.方程与不等式：一元一次方程、一次不等式、二次方程和二次不等式等基本方程与不等式的解法。

二、空间向量与立体几何1.空间向量的概念：矢量的定义、位移、共线与共面等基本概念。

2.空间向量的运算：加法、减法、数乘、点乘和叉乘等基本运算。

3.向量的坐标表示：向量的坐标表示、向量共线与线性相关等相关概念。

4.空间直线：直线的方向向量、点向式方程、两直线关系等基本概念。

5.平面与空间曲线：平面的法向量、点法式方程、平面与直线的关系、空间曲线参数方程等基本概念。

6.空间几何变换：平移、旋转、镜像等基本变换。

三、数列与数学归纳法1.等差数列：概念、通项公式、求和公式及其应用。

2.等比数列：概念、通项公式、求和公式及其应用。

3.求和与数学归纳法：求和公式的推导、归纳法的基本原理及其应用。

4.数列极限：数列极限的概念、极限存在的判定、常用极限等基本概念。

这里只是对整个高中数学选修一的知识点进行了简要梳理，具体每个知识点所包括的内容比较广泛。

高中数学选修一作为高中数学中的选修课，对学生的数学素养和解决实际问题的能力提出较高要求，需要学生能够熟练掌握和灵活运用这些知识点。

在学习过程中，需要注重理论学习与实际应用相结合，通过大量的练习和实例的分析，加深对知识点的理解和掌握。

选 修 1-2 知 识 点 总 结第一章：统计案例一．回归分析的基本思想及其初步应用1.正相关：如果点散布在从左下角到右上角的区域，则称这两个变量的关系为正相关。

2.负相关：如果点散布在从左上角到右下角的区域，则称这两个变量的关系为负相关。

3.回归直线方程的斜率和截距公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====xb y a xn x yx n yx x x y yx x b n i i ni ii n i i ini i1221121)()()(（此公式不要求记忆）。

4.最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法。

e ：我们把线性回归模型e a bx y ++=，其中b a ,为模型的未知参数，e 称为随机误差。

随机误差a bx y e i i i --=eˆ：我们用回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的y ˆ估计a bx +，随机误差)(a bx y e +-=， 所以y y e ˆˆ-=是e 的估计量，故a x b y y y e ii i i i ˆˆˆˆ--=-=，e ˆ称为相应于点),(i i y x 的残差。

2R ：∑∑==---=ni ini iy yyy R 12122)()ˆ(1，2R 的表达式中21)(∑=-ni i y y 确定，（1）2R 越大,残差平方和21)ˆ(∑=-ni i yy 越小,即模型的拟合效果越好； （2）2R 越小,残差平方和21)ˆ(∑=-ni i yy 越大,即模型的拟合效果越差。

2R 越接近1,表示回归效果越好。

二．独立性检验的基本思想及其初步应用1.分类变量：这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量。

2.列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表。

22⨯列联表：2K 的观测值：))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n k ++++-=。

0k 表：如果0k k ≥，就推断“Y X ,有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α； 否则，在样本数据中没有发现足够证据支持结论“Y X ,有关系”。

上海数学选修一高二知识点数学是一门让许多学生头疼的学科，而在高中数学中，选修一就显得尤为重要。

作为上海地区高中生的必修课程，上海数学选修一高二知识点涵盖了各个方面的数学内容。

在本文中，我将带领大家了解上海数学选修一高二知识点，并给出相应的示例和解析，帮助大家更好地掌握这些知识。

1.函数与方程在高中数学中，函数与方程是数学学习的基础，也是数学中最常见的概念之一。

在上海数学选修一高二知识点中，我们将学习各类函数的性质、图像和应用，以及方程的解法和相关概念。

例如，我们要学习一次函数的性质和图像。

一次函数是形如y= mx + c的函数，其中m和c分别为实数。

我们可以通过给定的m和c来画出一次函数的图像，并利用其性质求解一些实际问题。

2.数列与数学归纳法数列是一种按照一定规律排列的数字序列。

在上海数学选修一高二知识点中，我们将学习数列的定义、求和公式以及常见数列的性质。

例如，我们要学习等差数列和等比数列的性质和求和公式。

等差数列是指相邻两项之差相等的数列，而等比数列是指相邻两项之比相等的数列。

我们可以利用等差数列和等比数列的性质来解决一些实际问题，比如计算一段时间内物体的位移或者利润的增长率。

3.几何与三角函数在上海数学选修一高二知识点中，我们将学习几何与三角函数的相关概念和性质。

几何是研究空间和图形性质的数学分支，而三角函数则是研究三角形和角度的函数。

例如，我们要学习正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和图像。

这些三角函数在数学和物理等学科中有着广泛的应用，比如用于计算三角形的边长和角度。

4.概率与统计概率与统计是数学中非常实用的分支，它们研究的是随机事件和数据的规律性。

在上海数学选修一高二知识点中，我们将学习概率的基本概念和计算方法，以及统计的相关概念和统计图表的绘制方法。

例如，我们要学习事件的概率和条件概率的计算方法。

概率可以帮助我们预测事件发生的可能性，并在实际生活中做出决策。

而统计则可以帮助我们处理和分析大量的数据，并进行合理的推断和判断。

高中数学选修2-1、2-2知识点小结高中数学选修2-1、2-2知识点小结一、函数的概念和性质1. 函数的定义：函数是一个集合，它与另一个集合之间建立了一种特殊的对应关系，其中每一个输入元素对应唯一的输出元素。

2. 函数的性质：a. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

b. 奇偶性：函数的奇偶性取决于其对称性，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

c. 单调性：函数单调递增或单调递减等取决于导数的符号。

d. 周期性：函数的周期是指输入变量在一个范围内发生改变，输出值也以某种规律重复出现。

e. 增减性：函数增减性是指函数的导数的正负性质，导数大于0时函数增加，导数小于0时函数减少。

二、函数的基本类型1. 幂函数：y = x^a，其中a为常数，a>0时为增函数，a<0时为减函数。

2. 指数函数：y = a^x，其中a为常数，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数。

3. 对数函数：y = loga(x)，其中a为对数底，a>0且a≠1，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数。

4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

三、函数的图像与性质1. 函数的图像：通过计算函数的各个点的坐标，可以绘制出函数的图像。

2. 函数的对称性：可以通过判断函数的定义域和图像是否关于某条直线对称来确定函数的对称性。

3. 函数的周期性：可以通过计算函数在一个周期内的取值来确定函数的周期。

4. 函数的最值：可以通过计算函数的导数来确定函数的最值点。

四、函数的运算1. 函数的四则运算：可以通过加减乘除四则运算来得到新的函数。

2. 函数的复合：可以将多个函数合并成一个新函数，合并后的函数相当于依次将原函数的输出作为下一个函数的输入。

五、函数的导数1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h，表示函数的变化速率。

高二数学选修一笔记整理一、知识点梳理1. 集合概念及其表示方法集合是数学中的一个基本概念，它表示具有某种特定属性的一组对象。

通常用大括号{}来表示一个集合，集合中的元素用逗号隔开。

表示集合的常用方法有列举法和描述法。

2. 函数概念及表示方法函数是高中数学中的一个核心概念，它是两个数集之间的对应关系。

通常用符号f(x)来表示函数，其中x是自变量，函数值由给定的对应关系来决定。

函数也可以用表格、图象和解析式来表示。

3. 三角函数的性质与图像高中数学中的三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们具有一些重要的性质，如周期性、单调性、奇偶性等。

通过图像可以更直观地理解这些性质。

二、例题分析1. 集合的运算例题及解析（问题）求下列集合的并集和交集：（1）A={1, 2, 3}，B={4, 5, 6}；（2）C={x|x<3}，D={x|x≥1且x<4}。

（分析）根据集合的运算法则，逐一进行运算，即可得到答案。

（解答）解：（1）A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}；A∩B={3}；（2）C∪D={x|x<4}。

通过这个例题，我们可以掌握集合运算的方法和技巧，为后续的学习打下基础。

三、习题演练1. 求下列函数的单调区间和极值（如果有的话）：（1）y=3x²+2x；（2）y=sin(x+π/3)；（3）y=cos(2x-π/6)。

（解答）略。

2. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它在[0, +∞)上单调递增，若a=f(log3(4))=f(log3(8))，求使f(x)≤a成立的x的取值范围。

（解答）解：由已知得$f(\log_{3}4) = f(\log_{3}8)$，即$f(\log_{3}(2 \times 2 \times 2)) \leq f(\log_{3}2^{4})$。

由题意知$f(x)$在$( - \infty,0\rbrack$上单调递减，故有$log_{3}(2 \times 2 \times 2) \geq - \log_{3}2^{4}$，即$0 < x \leqslant 8$。