虚阴极的单电荷层模型

虚阴极的单电荷层模型Ξ叶卫民 李传胪(国防科技大学应用物理系,长沙,410073) 摘　要　通过引入虚阴极振荡的单电荷层模型,得到了虚阴极振荡产生微波的线性色散关系。

同时,分析了入射、反射、透射束流中振荡成份与虚阴极振荡的两本征模式相互作用,得到非线性色散关系,并给出了虚阴极振荡产生微波的机制。

关键词　虚阴极　单电荷层 中图分类号　TN 752 虚阴极振荡产生高功率微波,已被许多实验证实。

在虚阴极理论,尤其是虚阴极自身振荡激励微波方面,仍然有许多工作需要做。

文献[1]用位于两块接地的无限大平行板导体之间的无限薄电荷层模型,给出了虚阴极运动的简单图象;文献[2]用虚阴极的薄电荷层近似,得到了空心束虚阴极激励微波的主模式关系。

但两者的不足之处,均在于没有考虑虚阴极电荷层与微波场的相互作用,因而无法得到虚阴极振荡激励微波的色散关系和模式增长率。

为此,我们利用虚阴极的薄电荷层模型,通过求解虚阴极电荷层在微波场作用下的运动方程,得到了虚阴极振荡激励微波的线性色散关系。

同时,考虑入射、反射、透射束中调制成份,与虚阴极振荡本征模相互作用,得到了非线性色散关系。

1　物理模型通常虚阴极(V C )振荡器中有两种激励微波的机制,即电子在阴极和虚阴极间往返振荡和虚阴极自身振荡。

这里主要分析虚阴极自身振荡机制;同时,在非线性分析时,把电子往返振荡作为入射或反射束流的一个调制成份,用三波相互作用处理方法得出它对虚阴极振荡影响。

模型假设:波导结构和电子束分布均具有圆柱对称,只考虑TM 0n 模;把虚阴极视为一薄电荷层,其电荷数密度为n (r ,z ,t )=N (t )(2Πr )f (r )∆(z -z vc (t ))(1)式中,∫R 0f (r )d r =1,R 为波导半径。

要说明的是:N (t )为虚阴极电荷层所带电荷数。

与以前文献不同的是,我们认为虚阴极电荷层所携带电荷数是变化的。

这与粒子模拟中发现虚阴极附近电荷密度振荡是一致;实际虚阴极应该是一个区域,由于此区域轴向线度相对其振荡产生的电磁波相位因子exp (i Βz )中2Π Β小很多,所以,此处可用∆函数,相当于考虑此区域中心位置振荡;同时,假设入射电子束流强度I i (z ,t ),反射电子束流强度I r (z ,t ),透射电子束流度I t (z ,t ),在瞬态虚阴极位置处z =z vc (t )满足I i -I r -I t =N -1eP (t )=N -1e ∑j =1,2,3∑k A jk (-i Ξjk )exp (-i Ξjk t )+c .c (2)式中,j =1,2,3分别对应入、反、透射束流,Ξjk 对应相应束中不同调制频率。

为简化,不考虑虚阴极电荷层中电子径向运动。

这在强导引磁场下显然成立。

　第10卷　第2期强　激　光　与　粒　子　束V o l .10,N o.2 1998年5月H IGH POW ER LA SER AND PA R T I CL E BEAM S M ay,1998　Ξ国家863激光技术领域资助项目1998年1月20日收到原稿,1998年3月31日收到修改稿。

叶卫民,男,1972年2月出生,在读博士 基本物理量:N 0,z 0,v c ,Μ0,v c 分别是为稳态时虚阴极电荷层的携带电荷数、z 向坐标、速度和电场;N 1(t ),z vc (t )分别为虚阴极电荷层携带的扰动电荷数和瞬态虚阴极电荷层z 向坐标;E 0z (z ,r )为稳态时虚阴极振荡器中z 向电场;E _1,R F (z ,r ,t )为虚阴极振荡器中扰动电场;n 1(z ,r ,t )J 1(z ,r ,t ),分别为虚阴极电荷层产生的扰动电荷数密度及z 向扰动电流密度。

定义:稳态时,v 0,vc =0,E 0,z z =z 0,vc =0,d N 0 d t =0;s (t )=∑j ,k A jk exp (-i Ξjk t )+c .c .;一阶小量Ε=N -1 N 0。

本文推导成立条件为Ε<1;若虚阴极电荷数振荡使Ε 1,推导不成立。

由连续性方程和(2)式可知:e d N (t ) d t =e d N 1(t ) d t =N -1eP (t ),则N (t )=N 0+N 1(t )=N 0(1+Εs (t ))。

利用Ε可将各物理量扰动形式写为:z vc (t )=z 0,vc +Εz 1(t ),z .vc =Εz .1(t );N 1=N 0Εs (t ),E 1,R F =ΕE (r ,z ,t );n 1=ΕN 0s (t )f (r ) (2Πr )∆(z -z vc (t ));J 1=-e N 0 (2Πr )f (r )∆(z -z v .c (t ))z .1Ε-Ε2N 0e(2Πr )f (r )∆(z -z vc (t ))z .1s (t )。

由于虚阴极振荡以轴向电流为主,E z ≠0,且简化考虑体系具有圆柱对称性,因此我们可以对E z (r ,z ,t )作贝塞尔-傅立叶展开,只考虑TM 0n 模,则有E 1z ,R F =Ε∑l m E ±l m J 0(Λ0m r R )exp (±i Βz -i Ξl t )+c .c .,Λ0m 是零阶B essel 函数的第m 个根,Ξl 为电磁场的不同频率成份。

进行M axw ell 方程变形,有2E 1z ,R F -(1 c 2)52E 1z ,R F 5t 2=Λ05J 1 5t -(e Ε0)(5n 1 5z )(3) 将上述n 1,J 1及E 1z ,R F 表达式代入(3)可得:Ε∑l m (Ξ2lc 2-Λ20m R 2-Β2)E ±l m J 0(Λ0m r R )exp (±i Βz -i Ξl t )+c .c .=-ΕΛ0N 0e (2Πr )f (r )∆(z -z vc (t ))z ..1-Ε(e N 0 Ε0)f (r )(2Πr )s (t )5∆(z -z vc (t )) 5z +Λ0N 0e (2Πr )f (r )[5∆(z -z vc (t )) 5z z .21-∆(z -z vc (t ))s .z .1-∆(z -z vc (t ))sz ..1]Ε2(4)式中,z vc (t ),z .1可由运动方程得出d (N (t )m z .vc )d t =-e N (t )E z (z vc (t ),r ,t )(5)z v .c (t )处电场E z (z v .c (t ),r ,t )=Ε[∑l m E ±l m J 0(Λ0m r R )exp (±i Βz vc (t )-i Ξl t )+c .c .+(-m e )Αz 1(t )],这里,Α=-e m5E 0z 5z z =z 0vc 。

2　虚阴极电荷层振荡的线性理论线性理论主要指在(4),(5)展开中准确到Ε一次项。

在(5)中展开,只考虑到线性项,则z 1=d 1exp (-Αt )+d 2exp (Αt )+e m ∑l m J 0(Λ0m r R )Ξ2l +Α[E ±l m exp (±i Βz 0,vc -i Ξl t )+c .c .](6) 由于exp (-Αt ),exp (Αt )两项是非稳定项,不能代表虚阴极的振荡效应,故不妨取d 1=d 2=0,将(6)代入(4),两边用1 L ∫L 0d z ∫R 0d rJ 0(Λ0m r R )r exp (-i Βz )作用,L 是腔长,可得∑l Ξ2lc 2-Λ20m R 2-Β2E +l m +1-e -2i ΒL 2i ΒL E -l m e -i Ξl t +E -+l m 1-e -2i ΒL 2i ΒL+E --l m e i Ξl t =-N 0Εe -i Βz 0,vc Λ0em ∑ln c m n (E ±l m e ±i Βz 0vc -i Ξl t +c .c .)-Ξ2l Ξ2l +Α+j Β Ε0B m ∑jk (A jk e -i Ξjk t +c .c )(7)式中B m =∫R 0f (r )J 0(Λ0m r R )d r [J 21(Λ0m )V ]-1;c m n =∫R 0f (r )J 0(Λ0m r R )J 0(Λ0n r R )d r [V J 21(Λ0m )]-1,962第2期叶卫民等:虚阴极的单电荷层模型V为波导体积。

令(7)式两边相同频率项的系数相等,定义行阵F l2m-1=E+l m,F l2m=E-l m,则(I-G l)F l=D l∆jk,l A jk,∆jk,l A jk=∑jkA jk Ξjk=Ξl(8) I为单位矩阵,式中, D l2m-1=-exp(-iΒz0,v.c) [(Ξ2l c2)-(Λ20m R2)-Β2]-1 (iΒN0e Ε0)B m; G l(2m-1)(2n-1)=(Λ0N0e2 m) c m n (Ξ2l c2-Λ20m R2-Β2) Ξ2l (Ξ2l+Α); G l(2m-1)(2n)=[exp(-2iΒL)-1] (2iΒL)∆m n+G l(2m-1)(2n-1)exp(-2iΒz0,v.c); D l2m=-D l2m-1; G l(2m)(2n-1)=G l3(2m-1)(2n); G l(2m)(2n)=G l(2m-1)(2n-1)。

(8)式可看作一非齐次线性方程组,可作如下讨论: 若考虑不同于Ξjk的虚阴极振荡产生电磁场本征频率,即Ξl≠Ξjk,由于(8)式化为齐次,Ξl 必须满足下式,即虚阴极振荡的本征色散关系det(I-G l)=0(9) 若存在Ξjk=Ξl,即微波场中有与入、反、透射束流调制频率一致的成份,则场量有有限解的条件是矩阵(I-G l)与矩阵(G l-I;D l A jk∆jk,l)秩相等,即秩(I-G l)=秩(G l-I;D l A jk∆jk,l)。

这可理解为受迫振荡过程,束流的某一频率调制成份引起虚阴极电荷数相应频率振荡,产生相应频率电磁场。

若存在Ξjk=Ξl,但秩(I-G l)<秩(G l-I;D l A jk∆jk),此时必有det(I-G l)=0,对非齐次线性方程组(8)而言是一无解条件。

它也可以理解为求出解为无穷大量;这就相当于一个“无阻尼”的共振过程;即若束流的某一频率成份与虚阴极振荡本征频率相同,则可产生大幅度的相应频率电磁场。

由此可见,对入射束流进行调制,使它与虚阴极振荡本征频率一致,是提高虚阴极效率,减小虚阴极振荡产生微波频带的有效手段。

在具体实验中,可利用反馈机制,让产生微波场对入射束进行调制;或直接用外部手段对入射束进行预调制。