初一数学一题多解

一题多解的数学题初一在初一的数学课堂上，我们常常会遇到一些有趣又具有挑战性的数学题目。

其中，一题多解的数学题更是考验我们的思维能力和创造力。

本文将以初一学生常见的一题多解题目为例，探讨不同的解题思路和方法，旨在帮助初一学生掌握灵活运用知识解决问题的能力。

题目：小明有10元钱，他要买苹果和香蕉，苹果每个0.5元，香蕉每个0.2元，他至少要买多少个水果？解法一：列方程法我们可以通过列方程的方法解决这个问题。

设小明买了x个苹果，y个香蕉，根据题意得到以下方程：0.5x + 0.2y ≤ 10其中，0.5x表示苹果的总价值，0.2y表示香蕉的总价值，10表示小明的总资金。

此方程实际上是一条直线方程，我们需要找到方程的解集。

解法二：逐个尝试法我们可以从最小值开始逐个尝试，找到满足条件的解。

苹果和香蕉的价格分别为0.5元和0.2元，所以我们可以从价格小的水果开始买，直到累计价值超过10元为止。

通过不断尝试，我们可以得到满足条件的解。

解法三：数学推理法我们可以通过数学推理的方法来解决这个问题。

假设小明买了a个苹果，b个香蕉，那么他所花费的总价值为0.5a + 0.2b。

由于小明至少要买一个水果，所以a和b的取值范围分别为1至20和0至50。

我们可以穷举所有可能的取值组合，并计算总价值是否超过10元。

通过以上三种解法，我们可以发现一题多解的数学题可以有不同的解决方法。

每个方法都有其独特的思路和特点，可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识。

除了以上的解题方法，还有一些其他的解法。

例如，我们可以通过图形表示法将题目转化为图形问题，并通过图形的几何性质来解决。

我们还可以运用数列和集合的知识，将题目转化为求解等差数列或等比数列的问题。

通过多样的解题方法，不仅可以锻炼我们的数学思维能力，还可以拓宽我们的思维视野，培养我们的逻辑思维和创造力。

因此，在解题过程中，我们要敢于尝试，善于思考，灵活运用各种数学知识和解题方法，以达到更好的解题效果。

初中数学一题多解（试题）1、若()16x 3-m 2x 2++ 是关于x 的完全平方公式（或完全平方数），则m=2、4的平方根为 ，16的平方根为 3、若2a =时， a 为 。

在数轴上，到原点的距离为3个单位的数有 。

4、若64x 1x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，则代数式=+x 1x 5、若关于x 的方程16-x 3m 4x m 4-x 12+=++无解，则m 的值为 6、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （3,4），点P 在x 轴上，若△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标是7、在一个等腰三角形中，有一个角为70°，则另两个角分别为8、已知直角三角形的两边长分别为5和12，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为9、 在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高为12，求BC 边的边长为10、在平行四边形ABCD 中，∠A 的角平分线把BC 边分为3和4的两条线段，则此平行四边形ABCD 的周长为11、若⊙O 的半径为5cm ，某个点A 到圆上的距离为2cm ，则圆心到点A 的距离为12、 若⊙O 中的某条弦AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 所对的圆周角为13、已知x满足62x1x22=+，则x1x+的值是14、当-2≤x≤1时，二次函数()1mm-x-y22++=有最大值4，则实数m 的值为15、在平面直角坐标系中有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标为16、若某条线段AB长为2，则该线段AB的黄金分割点离A点的距离为17、若△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标为（6,0），则点A的对应点C的坐标为18、如下图在△ABC中，AB=5，AC=4，点Q从点A出发向点B以2个单位/s的速度出发，点P从点C向点A以1个单位/s的速度出发，若要使△ABC 与△AQP相似，则运动的时间为s。

一题多解 与初中数学核心素养培养曾昭党(福建省三明市尤溪县第五中学ꎬ福建三明３６５１００)摘㊀要:文章详细介绍了一题多解㊁数学核心素养的概念ꎬ同时从目标融合㊁讨论教学㊁对比教学等不同层面提出 一题多解 融合数学核心素养的教学建议ꎬ供同行参考.关键词: 一题多解 ꎻ初中数学ꎻ核心素养中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２３－００４８－０３收稿日期:２０２３－０５－１５作者简介:曾昭党(１９７６.７－)ꎬ男ꎬ福建省三明人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.基金项目:本文系福建省尤溪县教育科研２０２０年度专项课题 核心素养视角下初中数学课堂 问题串 式教学策略研究 的阶段性研究成果(立项批准号:ｙｘｋｔ２００６０)㊀㊀传统教学注重对基础概念㊁常规解题方法的讲解ꎬ意在让学生掌握解题套路ꎬ从而应对相关数学题目.然而ꎬ初中数学题千变万化ꎬ若学生长期处于被动学习的状态ꎬ使用一成不变的套路解题ꎬ势必会影响学生逻辑推理㊁数学抽象㊁数学建模等核心素养的提高.教师应该认识到一题多解教学的必要性ꎬ并采取针对性的教学措施在一题多解教学中有效渗透核心素养ꎬ在活跃学生解题思维的同时ꎬ提高学生的数学解题能力.１概念界定１.１一题多解一题多解指的是呈现问题后ꎬ学生使用不同的方法解决问题ꎬ通过从不同的视角分析问题ꎬ培养学生发散思维与创新思维.在教学中ꎬ一题多解与一题多变教学存在深入关联ꎬ通过问题变式㊁问题关联等方式揭示数学概念㊁数学算理㊁数学算法的本质属性与非本质属性ꎬ从而提升学生的学习层次ꎬ开拓学生的解题思路[１].１.２数学核心素养数学核心素养指的是学生在数学学习过程中应具备的关键能力ꎬ包括数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁数学运算㊁直观想象㊁数据分析六项内容.其中ꎬ数学抽象指的是能够透过数学事物的表面属性总结出一般规律ꎬ并使用数学语言将其表达出来[２].逻辑推理指的是能够根据数学事实㊁数学命题按照具体的逻辑规则完成证明命题为真(或假)的能力.数学建模指的是应用数学语言㊁数学知识㊁数学方法构建数学模型并解决问题的一种能力ꎬ包括分析问题㊁模型构建等.直观想象指的是基于几何直观㊁空间想象的基础上联想数学事物的形态㊁变化过程的一种能力ꎬ包括图形描述㊁数形转化等.数学运算指的是基于明确的运算题目ꎬ按照具体的运算法则完成题目解析的能力ꎬ包括运算理解㊁运算应用等.数据分析指的是基于统计的相关知识分析㊁推理数据信息ꎬ并形成新的结论的一种能力ꎬ包括数据收集㊁数据整理等.２基于 一题多解 培养数学核心素养的策略２.１设计融合教学目标ꎬ奠定素养培养基础教学目标是对课堂教学的预设ꎬ对组织教学活动㊁衔接教学环节㊁填充教学内容具有指导意义.实８４际教学中ꎬ教师根据数学学科核心素养的教学要求融入一题多解的教学过程中ꎬ将两项教学目标融合ꎬ设计综合性的教学目标ꎬ为推动一题多解教学顺利进行和强化核心素养渗透奠定基础.目标设计过程中ꎬ教师需结合学生的最近发展区设计符合其学习需求的目标ꎬ确保教学目标发挥其导向作用[３].以 有理数的加减混合运算 这节课的教学为例ꎬ首先ꎬ教师分析教学目标:①了解代数和的概念ꎻ②理解有理数加减法可以相互转化ꎬ会进行加减混合运算ꎻ③渗透化归与转化思想.然后ꎬ教师挖掘解题目标中蕴藏的一题多解教学元素ꎬ同时找准教学目标与核心素养培养要求的契合点ꎬ如与运算素养㊁逻辑推理素养㊁数学抽象素养的契合点等.找准契合点后ꎬ教师再融合教学目标ꎬ预设一题多解教学思路与教学效果:①布置简单计算习题ꎬ让学生从有理数加的角度㊁有理数减的角度分别计算习题答案ꎬ激发学生的多解意识ꎬ并提升学生的数学运算素养ꎻ②布置有理数加减混合运算的应用题ꎬ让学生在解题时提炼有理数信息ꎬ并通过不同方式解决问题ꎬ使学生掌握多种解法的同时ꎬ形成良好的逻辑推理与数据分析素养.教师根据教学目标㊁教学设计有序组织解题教学活动ꎬ能够进一步提高一题多解的教学效率.上述案例ꎬ通过融合解题教学目标㊁核心素养培养目标找准一题多解的教学方向ꎬ并根据融合目标搭建教学框架ꎬ实现了一题多解教学与素养教学融合发展的教学目标ꎬ奠定了习题教学顺利展开的基础.２.２围绕问题发散讨论ꎬ培养学生的逻辑推理素养初中数学教学过程中ꎬ要使学生具备一题多解的能力ꎬ首先要解决传统灌输式教学造成的学生思维单向㊁思维僵化问题.针对某一类型题目展开一题多解教学时ꎬ教师首先要革新教学观念ꎬ将学生作为习题教学的主体ꎬ鼓励其围绕问题提出问题ꎬ主动与教师㊁其他学生展开讨论.通过组织师生互动㊁生生互动等多种讨论活动ꎬ在课堂上发散学生的思维ꎬ使其学会从不同角度分析㊁推理数学问题ꎬ在培养学生逻辑推理素养的同时活跃其解题思维.以 平行线的性质 一课的解题教学为例ꎬ完成基础知识点的教学后ꎬ教师呈现例题:如图１ꎬ已知ＣＤ是øＡＣＢ的平分线ꎬＤＥʊＢＣꎬøＢ＝７０ʎꎬøＡＣＢ＝５０ʎꎬ求øＡＤＥ㊁øＤＥＣ㊁øＥＤＣ三个角的度数.这一题目要求øＡＤＥ㊁øＤＥＣ㊁øＥＤＣ的度数ꎬ需要学生从不同角度分析这一题目ꎬ形成不同的解题思路.对此ꎬ教师可组织生生讨论活动ꎬ让学生以小组为单位结合已掌握知识点㊁已知信息确定解题思路.比如ꎬ有学生结合 两直线平行ꎬ同位角相等 的概念确定图中øＡＤＥ的度数ꎬ解出øＡＤＥ＝７０ʎ的答案.讨论时ꎬ学生通过提出自己的见解给其他学生启发ꎬ使学生联想两直线平行ꎬ同旁内角互补ꎻ两直线平行ꎬ内错角相等的知识ꎬ并从不同角度进行推理ꎬ确定解题思路.图１㊀例题用图上述案例ꎬ教师围绕典型例题组织生生讨论活动ꎬ让学生结合已掌握的知识点提出看法ꎬ以抛砖引玉的形式启发学生的一题多解思维ꎬ在广泛交流㊁深度思考的过程中发散学生的解题思维ꎬ提升学生的逻辑推理素养.２.３围绕问题对比分析ꎬ培养学生的数学抽象素养一题多解的教学目的并非 多解 ꎬ而在于培养学生多角度㊁多层次㊁多方位思考问题㊁探究问题的解题思维.教师在展开一题多解教学时ꎬ应拓宽教学思路ꎬ将围绕着某一题目的多种解法教学转向类型题的分析教学ꎬ使学生明确不同题目的异同处ꎬ题目中条件与结论的内在关联ꎬ使学生掌握从不同角度探究问题的方法[４].对此ꎬ教师有必要在解题教学中进行对比分析教学ꎬ使学生在题目对比的过程中总结规律ꎬ进一步培养学生的数学抽象素养.以 勾股定理的应用 一课的教学为例ꎬ为使学生灵活应用勾股定理㊁勾股定理逆定理解决多样化习题ꎬ教师整合习题教学资源ꎬ并使用ＰＰＴ呈现多种题型:(１)如果梯子的底端离建筑物９米ꎬ那么１５米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?９４(２)正方形ＡＢＣＤ中ꎬＥ是ＢＣ边上的中点ꎬＦ是ＡＢ上的一点ꎬ且ＦＢ＝１４ＡＢꎬ那么әＤＥＦ是直角三角形么?如果是ꎬ请说明理由.两类题目分别考查了勾股定理及其逆定理的相关知识ꎬ需要学生从不同角度分析题目.呈现题目后ꎬ教师组织学生对比㊁分析题目的特征及考查知识点ꎬ使学生在多层次分析过程中把握题目本质ꎬ总结习题规律.上述案例ꎬ教师结合教学内容的考点呈现多种类型题ꎬ让学生通过对比分析探究解题本质ꎬ既提升了学生解题思维的灵活性ꎬ又提升了学生的抽象素养.２.４围绕例题展开变式ꎬ培养学生的数学运算素养要真正摆脱解题方法单一的问题ꎬ使学生能够全面的㊁多角度地探究数学问题ꎬ需要教师围绕典型例题展开变式教学.在学生掌握问题的常规解法后ꎬ组织学生从其他角度探索问题的解决方法ꎬ使学生认识到问题解法的不唯一性ꎬ增强其灵活应变的解题意识.基于此ꎬ教师再出示类型变式题ꎬ让学生在读题㊁解题㊁运算的过程中总结一题多解的经验ꎬ同时提升其数学运算素养.以 一元一次不等式组 的教学为例ꎬ为使学生掌握多种计算方法ꎬ教师出示典型例题:解不等式组２ｘ＋１<３ｘ＋３２３(ｘ－１)ɤ１２(ｘ＋１３){的非负整数解.解决这一典型例题时ꎬ学生对解一元一次不等式组的方法形成了深刻认知ꎬ这时ꎬ教师再引入变式例题:(１)若关于ｘ的不等式(ｍ－２)ｘ>１的解集是ｘ<１ｍ－２ꎬ求ｍ的取值范围.(２)ｘ＝３－２ａ是不等式１５(ｘ－３)<ｘ－３５的解ꎬ那么ａ的取值范围是什么?通过呈现不同类型的变式问题ꎬ增强学生的灵活解题意识ꎬ提高其数学运算素养.２.５应用导图总结方法ꎬ培养学生的数学直观素养思维导图是一种直观㊁有效的思维教学工具ꎬ将其应用到初中数学的一题多解教学ꎬ可以使学生的解题思维更加清晰㊁直观ꎬ有助于在解题教学中培养学生的数学直观素养.应用导图时ꎬ教师可将待解决的数学题目作为导图的锚点ꎬ围绕问题搭建多解框架ꎬ组织学生将不同解题思路填充到思维导图的结构框图上ꎬ并总结这一方法的优缺点[５].这样ꎬ学生能够充分掌握题目的不同解法ꎬ一题多解的能力得到增强.以 一元二次方程的应用 一课的教学为例ꎬ教师出示典型例题:制造一种产品ꎬ原来每件的成本是１２０元ꎬ由于连续两次降低成本ꎬ现在成本为７８元ꎬ求平均每次降低成本百分之几?围绕这一问题设计思维导图ꎬ让学生将题目的已知量与未知量㊁列方程解应用题的步骤㊁解方程的方法(配方法㊁公式法㊁因式分解法)等内容填充到思维导图上.借助思维导图直观呈现不同解题方法及其解题依据ꎬ进一步强化一题多解教学效果.综上所述ꎬ初中数学一题多解教学与核心素养培养教学存在教学关联ꎬ融合两项教学工作对于提升初中学生的数学综合素养有着积极意义.实际教学中ꎬ教师应充分理解一题多解㊁数学核心素养的教学内涵ꎬ同时根据初中学生的认知发展规律采取多样化的解题教学方法ꎬ使学生在独立思考㊁综合讨论㊁对比分析的学习过程中形成灵活的解题思维ꎬ进一步提升学生的数学核心素养.㊀参考文献:[１]张婷丽.一题多解在初中数学教学中的应用[Ｊ].新课程教学(电子版)ꎬ２０２２(０８):３８－３９.[２]马伟军.关于初中数学发散性思维能力的培养方法[Ｊ].新课程ꎬ２０２２(１１):９６－９７.[３]贾永亮.拓展思路㊀一题多解:谈初中数学一题多解的教学研究[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(２６):１４－１５.[４]褚领群.一题多解与一题多变拓展学生思维能力的尝试[Ｊ].求知导刊ꎬ２０２１(３５):５５－５６.[５]陈琴.初中数学教学中一题多解激发学生创新思维的案例研究[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２１(０８):３９－４１.[责任编辑:李㊀璟]０５。

七年级上册数学一题多解在数学中，一题多解是非常有价值的学习方法，它不仅能提高学生的解题能力，还能培养学生的思维灵活性和创造性。

七年级上册的数学题目中，很多题目都可以采用多种解法来解答。

以下是对一题多解的简述：一题多解的意义加深理解：通过尝试不同的解题方法，学生可以更加深入地理解数学概念和原理。

培养思维：一题多解有助于培养学生的发散性思维，使他们能够从多个角度看待问题。

提高能力：学生在掌握多种解题方法后，能够更灵活地应对各种数学问题，提高解题效率。

示例：解一元一次方程以解一元一次方程为例，除了常规的移项、合并同类项等方法外，还可以采用以下方法：方法一：直接计算法对于简单的一元一次方程，如 2x=4，可以直接通过除法得到x=2。

方法二：移项法对于形如 3x+2=5x−3 的方程，可以通过移项将未知数集中在方程的一边，然后解出 x 的值。

方法三：合并同类项对于含有多个未知数项的方程，如 2x+3x=5，可以先合并同类项得到 5x=5，然后再解出 x。

方法四：乘除法对于系数不为1的一元一次方程，如 0.5x=2，可以通过乘法将系数化为1，从而解出 x。

实际应用在实际解题过程中，学生可以根据题目的特点和自己的掌握情况，选择最合适的解法。

通过一题多解的训练，学生可以逐渐提高解题的灵活性和准确性，为后续的数学学习打下坚实的基础。

总之，一题多解是数学学习中非常有价值的方法，值得学生在日常学习中多加实践和应用。

在数学中，一题多解是非常有价值的学习方法，它不仅能提高学生的解题能力，还能培养学生的思维灵活性和创造性。

七年级上册的数学题目中，很多题目都可以采用多种解法来解答。

以下是对一题多解的简述：一题多解的意义加深理解：通过尝试不同的解题方法，学生可以更加深入地理解数学概念和原理。

培养思维：一题多解有助于培养学生的发散性思维，使他们能够从多个角度看待问题。

提高能力：学生在掌握多种解题方法后，能够更灵活地应对各种数学问题，提高解题效率。

一题多解的数学题及答案例1：六年三班有女生24人，占全班人数的40%，这个班有学生多少人？【解法1】24÷40%=60（人）【解法2】24÷40×100=0.6×100=60（人）【解法3】设全班人数为XX×40%=24X=24-40%X=60【解法4】24×（1-40%）=60（人）【解法5】设全班人数为X24 : X=40 : 10040X=24×100X=2400-40X=60答：这个班有学生60人。

例2：一个钢厂去年产钢88万吨，今年计划比去年增产25%，今年计划产钢多少万吨？【解法1】今年计划比去年增产多少？88×25%=22（万吨）今年计划产钢多少万吨？88+22=110（万吨）综合算式：88×25%+88=22+88=110（万吨）【解法2】88×（1+25％）=110（万吨）【解法3】88-100×（100+25）=88+100×125=0.88×125=110（万吨）答：今年计划产钢110万吨。

例3:两个连续奇数的积是323，求出这两个数【方法一】设较小的奇数为x，另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19,或者-17,-19【方法二】设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19,或者-17,-19 【方法三】设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1 (2x-1)(2x+1)=323即 4x^2-1=323x^2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19,或者-17,-19 【方法四】设两个连续奇数为x-1,x+1则有x^2-1=323x^2=324=4×81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19,或者-17,-19。

题目：如图1，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，点P由点C出发以每秒2cm 的速度沿着线段CA向点A运动(不运动至A点)，⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，⊙O的半径是( )A、cmB、cmC、cmD、2cm一、相似三角形与面积解法一：在Rt△ABC中，∵AB=10cm，AC=8cm，∴BC=6cm。

∵PC=4cm，∴PA=4cm。

设OD=x，⊙O的半径为r，∵OD∥AC，∴。

∴x=4-r。

∵S△ABC=S△AOC+ S△BOC+ S△AOB∴×10r+×8r+×6r=×6×8。

∴5r+4r+3(4-r)=24，∴r=(图1) (图2)解法二：如图2，在Rt△ABC中，∵AB=10cm，AC=8cm，∴BC=6cm∵P是AC的中点，∴S△ABP=×S△ABC=12∴AB×PH=24，PH=∵OE∥BC，OF∥PH，∴由①+②得∴r=(图3) (图4)二、相似三角形与勾股定理解法三：如图3，设OD=x，⊙O的半径为r，∵OD∥AC，∴。

∴x=4-r ①∵AE=AF=8-x，∴BF=2+x∴OD2+BD2=OF2+BF2，∴x2+(6-x)2=r2+(2+x)2，∴x=8-3r ②由①、②得4-r=8-3r，解得r=.三、三角函数与勾股定理解法四：如图4，设PE=x，⊙O的半径为r∵tg∠CDB=，∴x=r，由勾股定理得：PO=r，∴BO=2，解得r=四、三角形内角平分线性质解法五：如右图，∵AE、AF是⊙O的切线，∴∠1=∠2，∴，∴∵OE∥BC，∴，∴r=。

数学解题之一题多解与多题一解浅谈一题多解培养学生发散思维摘要本文意在明确一题多解中学生思维能力的发展，从而使教师在数学解题教学过程屮更加重视解题方法对学生思维和发散思维的培养。

本文通过两道典型例题对一题多解型的讲解，通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。

通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；对一题多解灵活运用，对培养学生发散思维，启发学生独立思考具有较好的指导意义。

关键词：一题多解发散思维思维能力一题多解对学生思维能力的培养同一数学问题用不同的数学方法可以达到异曲同工之效，我们称之为“一题多解”。

其特点就是对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的思维方式去解答同一个问题。

一题多解能快速整合所学知识，重要的是培养学生细致的观察力、丰富的联想力和独立思考、解决问题的能力。

(-)提高分析、解决问题的能力•题多解，能够使学生开阔思维，把学过的知识和方法融合在•起，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生独立思考的能力。

例1.甲乙两地相距450千米。

客车和货车同时从两地相向而行，客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时，相遇时两车各行多少千米？解法一：用路程问题的解法。

根据速度二路程÷时间可以求出客车的速度为450÷10二45（千米/小时），货车的速度为450÷15二30 （千米/小时）。

（1）几小时后两车相遇：450÷（45+30）二6 （小时）（2）相遇时客车行了多少千米：45X6二270（千米）（3）相遇时货车行了多少千米：30X6二180（千米）解法二：用比例分配的方法。

两车所需的时间之比是：10:15,根据距离一定，速度与时间成反比例关系进行解答。

（1）两车所需的时间之比是：10:15=2:3所以两车速度之比是：3:2（2）两车运行时间相同，所以路程与速度成正比例，即两车行驶路程之比是：3:23（3）相遇时客车行了多少千米：450×（- ）=270（千米）52（4）相遇时货车行了多少千米:450×（- ）=180（千米）^ 5答：相遇时客车行了270千米，货车行了180千米。

初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=323即4x^2-1=323x^2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x^2-1=323x^2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得135992512433202x y z x y z ++=<>++=<>⎧⎨⎩.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。

1. 凑整法解1：<>+<>123，得5344153x y z ++=<>.<>+<>23，得7735().x y z ++=∴++=x y z 105. 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略） 解2：原方程组可变形为134292522320()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=⎧⎨⎩ 解之得：x y z ++=105.2. 主元法解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2>得x z =-0505..，y z =-05505.. ∴++=+-+=x y z z z 05505105...解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2>得y x z x =+=-00512.，∴++=+-+=x y z x x x 1052105..解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2>得x y z y =-=-005112..， ∴++=-++-=x y z y y y 005112105...3. “消元”法解6：令x =0，则原方程组可化为5992543320051y z y z y z +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩... ∴++=x y z 105.解7：令y =0，则原方程组可化为1399252332000511x z x z x z +=+=⎧⎨⎩⇒=-=⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.解8：令z =0，则原方程组可化为1359252432005055x y x y x y +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.4. 参数法解9：设x y z k ++=，则1359925124332023x y z x y z x y z k ++=<>++=<>++=<>⎧⎨⎪⎩⎪..∴<>-<>⨯123，得x y -=-<>0054.<>⨯-<>332，得x y k -=-<>3325.∴由<4>、<5>得332005k -=-..∴=k 105.即x y z ++=105.5. 待定系数法解10. 设x y z a x y z b x y z a b x a b y a b z ++=+++++=+++++<>()()()()()135924313254931则比较两边对应项系数，得1321541931121421a b a b a b a b +=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪⇒==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 将其代入<1>中，得x y z ++=⨯+⨯=⨯=121925421321212205105....附练习题1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０８初中数学一题多解与一题多变教学研究初中数学 一题多解与一题多变 教学研究Һ陈㊀斌㊀（昆山市新镇中学，江苏㊀苏州㊀２１５３００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解与一题多变 是数学教师所要关注的重要内容，这两种解题训练模式的构建可以突破原有解题教学的结构，帮助学生更加深入地认识数学习题的解题方法，这对其解题能力的提升与发展有着重要的意义．为了构建 一题多解与一题多变 教学课堂，教师需要对其价值进行分析研究，再从实际教学的开展出发探寻有效教学设计的方法，对初中数学 一题多解与一题多变 教学的开展方法进行探究．ʌ关键词ɔ初中数学；一题多解；一题多变；教学研究数学是初中阶段学生所要学习的重要学科，在中考中占有重要的分数比例，为了帮助学生成功通过中考的考验，教师需要从实际出发进行数学习题的筛选，引领学生进行 一题多解 的研究，带领学生思考解题的多种方法，再通过习题变形设计的研究，来设计变式问题，以此推动学生的解题思考，发展学生的解题能力．在实际教学中，教师可以围绕解析原题结构㊁融合数学思想㊁设置多解训练㊁构建多变训练㊁引领学生归纳五个方面来开展教学．一㊁ 一题多解与一题多变 的价值分析一题多解 是多元解题方法的显现，其可以让学生针对一道习题进行多种解题方法的思考．一般而言，每一种解题方法都印证着一条不同的解题思路．多解题的展示与引导解析，可以帮助学生了解习题的解法与其背后隐含的解题思维，进而开阔学生的解题视野，提升学生的思维灵活度，对学生的发展有着重要的意义．一题多变 是变式思想的显现，在 一题多变 的训练设计中，教师将选取典型的习题作为原式，通过题目条件调整㊁问题新拟㊁题目信息倒置等方法将原本的习题转化为多道表现形式不同的习题．此时，教师就可以从习题的不同特征出发引领学生进行训练，并发展学生的解题能力．在这一类习题的解题中，教师可以引导学生对习题的特征进行归纳，并围绕习题的快速解答进行建模设计，构建合理化的解题模型．二㊁ 一题多解与一题多变 教学的开展方法（一）解析原题结构，分析习题特征原题的解析与研究是帮助学生进行 一题多解或一题多变 的基础，教师要展示原题，帮助学生认识原题的突出特点，并引领学生深入解析原题．在实际的展示过程中，教师需要利用课前时间进行检索，搜集教学展示所需的习题，并在课上对习题进行展现，重点围绕习题的考查点进行分析，解析相关习题解答需要的条件．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下原题：例题㊀两个连续奇数的积是３２３，求出这两个数．分析㊀通过研究可以发现，习题考查的内容为一元二次方程的应用，习题的解题关键是条件中给出的描述语 两个连续奇数的积是３２３ ．学生可以从一元二次方程的不同未知数设列出发得出多种不同的解法．其中，教师可以为学生展示 将较小的奇数设为ｘ 将较大的奇数设为ｘ 将ｘ设为任意整数 将两个连续奇数设为ｘ－１和ｘ＋１ ，这四种设列方法可以对应四种不同的解题方法．四种解题方法看似都是对一元二次方程的应用，但其切入思考的角度存在差异．通过这一展示，教师便可以引导学生对题目进行系统的认识与理解，为之后 一题多解和一题多变 的思索研究做好铺垫．为了让学生了解 一题多变 的意义，使其了解相关题目的特点，教师可以选择原题进行调整，构建一些简单的变式题．在变式题的设计上，针对该习题，教师通过调整问法的形式即可生成多个变式，如教师可以将习题改制为 两个连续奇数的积是３９９，求出这两个数 ，通过调整题干的数字大小来实现对题目的简单变更，让学生进行解答．教师也可以将习题改制为 两个连续偶数的积是４４０，求出这两个数 ，通过题目条件的对应变更，生成与原题相似的变式题．在完成变式题的设计后，教师可将其展示给学生，让学生就变式题与原题的差别进行分析，使其探析题目发生的变化．（二）融合数学思想，研究解题方法解题方法的掌握与否直接关系到学生解题能力的发展，教师要关注 一题多解 的教学，从解题方法的内涵思想入手进行解析，让学生联系解题方法进行分析，找出方法中隐含的解题理念．在实际教学中， 一题多解 的研究需要教师为学生创建相应空间，帮助学生探寻解答题目的多种解法．在实际教学中，教师要从学生的发展出发选择适于学生进行多解探究的例题，并结合问题的解法分析进行多方面㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０８展示．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下习题，引导学生从习题的特点出发来研究相关题目的多种解法：例题㊀某人买１３个鸡蛋㊁５个鸭蛋㊁９个鹅蛋，共用去９．２５元；若买２个鸡蛋，４个鸭蛋，３个鹅蛋，则会用３．２０元，若每种蛋只买一个，需要用多少钱？分析㊀通过简要分析可以得出该题目考查的是三元一次方程组的内容，但由于题目中只提供了两组等量关系，因此若想分别求出三种蛋的单价是不现实的，但题目所求的内容为三种蛋的共价，所以可以通过式子的变形来求解．在明确了这一思路后，学生就可以围绕学过的数学方法选择方向，寻找有效列式解答的方法．方法一㊀凑整法解：设鸡㊁鸭㊁鹅三种蛋的单价分别为ｘ元㊁ｙ元㊁ｚ元，根据题意可以列出一个由两个式子组成的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{通过将方程式相加化简的方式可以得到新式子，①＋②３：５ｘ＋３ｙ＋４ｚ＝４．１５㊀③将②和③相加可以得到７ｘ＋７ｙ＋７ｚ＝７．３５，化简可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，这一方法应用了化归的数学思想，利用这一思想可以转换与调整题目的条件，让算式简化，从而得出可以计算解答的式子．在讲授这一解题方法时，教师要注意开展数学思想的拓展活动，让学生了解化归思想及其在解题中的实际应用．方法二㊀主元法这一方法是对函数方程思想与化归思想的融合运用，其核心在于将方程的三个未知数进行区别看待，将ｘ，ｙ作为未知数处理，将ｚ视为一个常数，以此对方程变形：通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{此时视ｘ，ｙ为主未知数，ｚ为常数，使用移项代数的方法可以得到ｘ＝０．５－０．５ｚ，ｙ＝０．５５－０．５ｚ，此时，ｘ＋ｙ＋ｚ＝（０．５－０．５ｚ）＋（０．５５－０．５ｚ）＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，主元法实质上是对函数与方程的运用，选择适当的字母作为主元可以起到化难为易的作用．在上述习题解答中所使用的主元法，其特征是将未知数进行区别看待，形成一个特殊的数学关系，符合方程思想的构成要求，即从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程（组）㊁不等式（组）㊁或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．在实际教学中，教师要为学生解读函数方程思想的构成，并展现函数方程思想在常见问题中的运用实例．方法三㊀参数法通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{再设ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ，此时可以得到新的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ㊀③ìîíïïï观察式子之间的关系，得①－②ˑ３可以消去ｚ，再化简可得ｘ－ｙ＝－０．０５㊀④③ˑ３－②可以得到ｘ－ｙ＝３ｋ－３．２０㊀⑤此时通过式子④和⑤可以得到３ｋ－３．２０＝－０．０５，所以ｋ＝１．０５，此时可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．解析㊀上述三种方法对应了三种解题思路，而每一种解题思路还可以延伸出新的解题方法，限于篇幅此处不再赘述，教师在进行解析教学时，可以让学生尝试着寻找额外的习题解答方法．参数法是指在解题过程中通过引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），再进行分析和综合，从而解决问题的方法．这一方法从数学思想的角度来看，其同样运用了化归的数学思想，通过参数的引入，用参数代指一部分数学量，从而将算式转换为有利于解答的形式，从而实现有效解答．通过上述三种解题方法与其对应数学思想的解读，学生就可以在不同解法的研究中认识数学思想的拓展应用价值，获得解题意识和认知的提升．为了发展学生的解题能力，让 一题多解 真正发挥作用，教师还需要为学生设计针对性的练习，用练习推动学生解题能力的提高与发展．（三）设置多解训练，推动学生探究一题多解 的训练其目的在于帮助学生认识多种解题方法，从解题方法的探究入手，带领学生认识数学习题解答的多种思想．在实际教学中，教师要考虑学生的发展情况，选取难度合理且解法较多的习题进行展示，构建有效的多解训练，帮助学生学习解答问题的多种解法．如，在实际教学中，教师便可以给学生展示如下习题：练习题１㊀已知ａ，ｂ满足ａｂ＝１，那么１ａ２＋１＋１ｂ２＋１＝．练习题２㊀已知ｘ＋ｙ＝１，求ｘ３＋ｙ３＋３ｘｙ的值．㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０８练习题３㊀甲㊁乙㊁丙三种货物，若甲３件㊁乙７件㊁丙１件共需３．１５元；若甲４件㊁乙１０件㊁丙１件共需４．２０元．请问：买甲㊁乙㊁丙各一件需要多少钱？在展示了上述练习题后，教师需要引导学生解答题目，并要求每名学生至少找出两种解法．在这一环节，为了渗透分层理念，教师可以要求发展较好的学生最少找出３种解题方法，并要求其对解题方法的思路进行整理分析，以便在班级中进行汇报与展示．在学生实际解题过程中，教师要关注学生的解题情况，分析学生的思维拓展能力发展情况，并借助引导性的语言对学生进行点拨，推动学生主动思考．（四）构建多变训练，促进学生拓展一题多变 的训练需要教师秉持 万变不离其宗 的核心思想，对习题的题干信息㊁提问方式㊁条件构成进行调整，并从学生的实际解答出发来引领学生分析相关的变式题组．在学生解答前，教师需要围绕解题模型的建立与公共解题思路的明确来提出问题，引导学生在解答问题的同时进行思考．为确保变式题具有较高的质量，教师在设计变式题时要从原式的各个角度思考延伸，选择不同的方向来设置对应的题目．如，在实际教学中，教师便可以展示如下习题：原式㊀依次连接任意四边形各边中点所得的四边形可称为中点四边形．求证平行四边形的中点四边形是平行四边形．变式一㊀按照原式所给条件，求证矩形的中点四边形是菱形．变式二㊀按照原式所给条件，求证正方形的中点四边形是正方形．变式三㊀一个四边形的中点四边形是平行四边形，请问这个四边形可能是什么图形？原式㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式一㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由２０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式二㊀一个宽为１００ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式三㊀一个宽为５０ｃｍ㊁长为１００ｃｍ的长方形图案由８个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．在实际教学中，教师在给出变式练习后，要引导学生对相关的题目进行分析㊁求解．在学生解答的过程中，教师要关注学生的解题情况，并予以帮助与引导，让学生总结各个变式题与原题的不同之处．对于学生给出的答案，教师要认真判定，并引导学生回顾与整理．在学生完成变式题的解答后，教师可以引导学生进行拓展思考，让其尝试着对原式进行变形，然后采用同桌互换的方式来完成相关习题的解答．在这一过程中，学生的思维会变得更为开阔，其创造能力也能得到培养与发展．（五）引领学生归纳，培养模型意识模型意识与能力是数学核心素养的关键构成，新课标强调对学生数学核心素养的培养．模型意识与能力的培养关系到学生解题能力的发展，具有较强建模能力的学生可以更好地实现一类习题的解答．为了培养学生的模型意识与能力，教师可以引导学生对一题多变习题进行分析思考，让其对比原式与变式题，逐一分析其差异，对相关习题进行二次分类．在分类完成后，教师可以引导学生对一类习题的解题方法进行系统总结与整理，构建解答相关题目的有效数学模型．如，在实际教学中，教师便可以依托一题多变教学的进行，引领学生对数学一题多变习题的原式与变式题进行归纳，从公共解答思路中总结出解题的通用方法，建立解题模型．在这一过程中，为了发挥学生群体的主动性，让其进行协作探究，教师可以从学生发展入手划分学生小组，并布置针对性的探究任务，让其合作完成整理探究任务．学生在探究思考中，其能力可以得到逐步的提升与发展．结㊀语综上所述， 一题多解与一题多变 是开展数学解题教学的一种有效模式．通过解题教学的进行，教师可以帮助学生实现解题理念的发展，有效地推动其解题能力水平的提升．在实际的教学中，教师需要进行习题的解析研究，从解题方法的多元介绍与习题的变式展示两个方面进行系统构建，帮助学生认识并掌握相关习题的有效解答方法．在学生了解了相关的内容后，教师还要依托教学的进行，推动学生进行归纳，发展并培养其模型意识．ʌ参考文献ɔ［１］黄跃惠．一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用［Ｊ］．试题与研究，２０１９（２８）：１４５．［２］王茁力．初中数学 一题多解 的教学价值［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１８（Ｚ３）：９９－１００．［３］罗春梅． 一题多解 与 一题多变 在初中数学教学中的应用 以‘人教版九年级上册第二十四章圆中两道习题“为例［Ｊ］．散文百家，２０１９（０１）：１６２．［４］秦小刚．初中数学一题多解教学策略分析［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２１（０１）：２１．［５］张秀霞．一题多解与 一题多变 在人教版初中数学教学中的应用［Ｊ］．智力，２０２０（１０）：５０－５１．。

初中数学的一题多解培养中学生创新思维能力数学是逻辑性极强的一门学科，从解题开始到得出答案，每一步的过程都需要经过层层的计算和推导,因此，学好数学从另一方面来说就是学好了一种思维能力和思维方法。

为了培养好中学生的创新思维,教师应从解题方面着手，强化学生一题多解的能力和水平，鼓励他们用发散式的思维解决同一道数学题,同时积极配合并解答学生在解题过程中提出的问题与困惑，帮助中学生营造一个活跃轻松的课堂环境,让他们能够尽自己最大的能力收集并处理不同的数学难题.1。

数学是创新教育的基础课程创新是促进一切事物进步发展的前提条件，创新教育是在新课改的标准下培养学生拥有创新精神和创新能力的新式教育,中学生创新能力的形成一般基于多种知识的学习与能力的培养，这种可检验中学生是否具有综合学习的能力。

中学生创新思维能力的培养主要包括对他们的学习意识、学习精神、学习思维以及学习技巧和方法这几个方面.中学阶段是学生思维最活跃的时期，同时也是学习能力与理解能力最好的时期，这些为培养中学生学习数学的创新思维打下了良好的基础,能够让他们在数学的学习中收到事半功倍的效果.而数学作为一门应用范围十分广泛并且作为能够培养学生创新思维与解决问题能力的逻辑性极强的基础课程，在培养中学生创新能力方面有着得天独厚的条件和优势。

因此，我们要在对中学生教授数学课程的同时,把培养学生的创新能力放在最关键的位置，更好的适应社会发展以及新课标改革的需要。

除此之外，在整体的中学生数学教学过程中应将一题多解的教学模式作为切入点,通过培养学生强化一题多解的能力和水平提升他们的创新思维能力。

2。

通过一题多解培养学生创新思维能力2.1 注重选题与课堂气氛。

一题多解的数学题可以培养中学生用发散式的思维解决问题，教师应在教学之初选择一些具有代表性的数学题，这些数学题既要包括大部分知识点，而且难度不能太高或太低，否则会打击学生学习数学的积极性或让学生觉得没有挑战性，因此教师在选择题型方面要十分仔细，尽可能的通过选题激发中学生的学习热情和潜力。

初中数学一题多解题选编（Ⅰ）1、已知抛物线y=ax 2经过点（2，-8），若点A 为抛物线y=ax 2上一点，直线AB 垂直于x 轴，线段AB=5，沿y 轴平移抛物线y=ax 2，使之过点B ，求平移后所得抛物线的函数表达式.（y=-2x 2+5或y=-2x 2-5）2、已知抛物线y=-x 2+ax-4的顶点在坐标轴上，求a 的值.（0，4，-4）3、若一抛物线形状与y=-5x 2+2相同，顶点坐标是（4，-2），则其对应的函数表达式是________________________.（y=-5(x-4)2-2或y=5(x-4)2-2）4、已知函数y=(m+2)42-+m m x +8x-1是关于x 的二次函数，则m=_________.（-3或2）5、若抛物线y=2x 2-mx-m 2与x 轴有两个不同的交点A 、B ，且点A （1，0），求点B 的坐标.（ （-2，0）或（-21，0） ） 6、已知函数y=mx 2-6x+1(m 是常数)（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值.（0或9）7、如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数xk k y 122++=的图象上，若点A 的坐标为（-2，-2），则k 的值为（ D ）A 、1B 、-3C 、4D 、1或-38、二次函数y=x 2-6x+c 的图象的顶点与原点的距离为5，则c=_________.（5或13）9、已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ，则d=________cm . （4，1或9）10、已知三个数1，2，3，请你再添上一个数，使它们能构成一个比例式，这个数可以是________.（32，23或6） 11、已知a=4，c=9，若b 是a 、c 的比例中项，求b 的值。

一题多解一题多变（二）1、一题多解，培养思维的发散性一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、从不同方位、用各种途径、多种方法思考问题，探求不同的解答方案，这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能够拓广学生思路，使学生熟练掌握知识的内在联系，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。

这方面的例子很多，尤其是几何证明题。

已知：点O是等边△ABC内一点,OA=4，OB=5，OC=3求∠AOC的度数。

练习：把此题适当变式:变式在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°OA=4，OB=6，OC=2求∠AOC的度数。

变式2：如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°, ∠BOC=135°试问:(1)以OA、OB、OC为边能否构成一个三角形?若能,请求出三角形各内角的度数;若不能,请说明理由.(2)如果∠AOB的大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时, 以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?2、一题多变，培养思维的灵活性一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。

一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。

例如：已知：C 为AB 上一点，△ACM 和△CBN 为等边三角形（如图所示）求证：AN=BM（分析：如对此题多做一些引申，既可以培养学生的探索能力，又可培养学生的创新素质）探索一：设CM 、CN 分别交AN 、BM 于P 、Q ，AN 、BM 交于点R 。

初中数学一题多解【一】圆的多解题型1、平面上一点到圆的最大距离、最小距离分别是6和2，求圆的直径。

〔分点在圆内和圆外两种情况，直径是6+2或6-2〕2、圆的两条弦长6和8，半径5，求两条弦的距离。

〔分弦在圆心的同旁和两旁两种情况，距离是4+3或4-3〕3、半径是4的圆中，长是4的弦所对的圆周角是多少度？〔分弦所对的优弧和劣弧对的圆周角两种情况，度数是30或150〕4、相切两圆半径分别是4和6，求圆心距。

〔分内切、外切两种情况，圆心距是6-4或6+4〕5、相交两圆半径分别是25和39，公共弦长30，求圆心距。

〔分两圆心在公共弦的同旁和两旁两种情况，是36-20或36+20〕6、三角形ABC的外接圆半径是4，BC=4，求角A的度数。

〔分圆心在三角形内部和外部两种情况，是30度或150度)【二】数的多解题型1、a的相反数是本身，b的倒数是本身，那么a-b的值是多少？〔倒数是本身的数有1和-1，结果是-1或1〕2、平方是本身的数是_____(是0或1〕3、a的立方根是2，a的平方根是几？〔正数的平方根都有两个，是正负2根号2〕4、a、b的平方相等，a+2=3，b-2的差是几？〔平方相等的数要么相等要么互为相反数，b是1或-1，差是-1或-3〕5、绝对值是5的数与平方根是3的数的和是几？〔绝对值是正数的数有两个，和是8或-2〕6、数轴上，与表示2的点距离等于6的点表示的数，是倒数等于1.5的数的多少倍？〔距离是6的点表示的数是原数加上6或减去6，结果是-6倍或12倍〕【三】三角形的多解题型1、等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求顶角。

〔分锐角三角形和钝角三角形两种情况，顶角30&deg;或150&deg;〕2、等腰三角形两边长5和6，求周长。

〔两边分别是腰和底两种情况，得周长16或17〕3、直角三角形两边长3和4，求第三边。

〔第三部边是斜边、直角边两种情况，是5或根号7〕4、三角形的一个30&deg;角对的边为5，一条邻边是8，求面积。

数学一题多解的方法及立体解析
题目：建业农具厂计划生产1040件农具，前8天生产了320件。

照这样计算，完成任务还要多少天？
解法一：先求工效和剩余农具，再求还要生产多少天。

（1040－320）÷（320÷8）=18（天）
解法二：先求工效，再求完成总任务所需天数，最后求还要生产多少天。

1040÷（320÷8）－8=18（天）
解法三：先求出未生产的农具数量是320件的几倍，再算还要生产多少天。

8×[（1040－320）÷320]=18（天）
解法四：先求出农具件总数是320的几倍，再算生产1040件共需多少天，最后算还要生产多少天。

8×（1040÷320）－8=18（天）
解法五：先求1040件是320件的几倍，再减去原来的1倍，最后求还要生产多少天。

8×（1040÷320－1）=18（天）
解法六：先求出生产一件农具所需天数，再求生产1040件共要多少天，最后减去已生产的8天。

8÷320×1040－8=18（天）
解法七：先求出生产一件农具所需天数和还剩件数，最后算还要生产多少天。

8÷320×（1040－320）=18（天）（何兵）。

一题多解题1.已知a、b为实数，且ab≠0＝.2.小明等五名同学四月份参加某次数学测验（满分为120）的成绩如下：100、100、x、x、80．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数x的值为．3.“五一”期间，某超市推出如下购物优惠方案：（1）一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内时一律享受九折的优惠；（3）一次购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠.在此期间某顾客一次性购物付款252元，那么该顾客比平时购买总价相同的商品（没有优惠的时候）优惠了元.4.已知，如图1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为.5.线段AB的两端点的坐标为A（-1，0），B（0，-2）现请你在坐标轴上找一点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是直角三角形，则满足条件的P点的坐标是6.如图2，在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（－1，－2）、C（2，－2）三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是7.已知矩形的长为3，宽为1，现将四个这样的矩形用不同的方式拼成一个面积为12的大矩形，那么这个大矩形的周长是8.如图4，在边长为1的正方形网格中画有一个圆心为O的半圆,请在网格中以O为圆心,画一个与已知半圆的半径不同,且面积相等的扇形．9. 题a：如图5，AB=AC，AD⊥BC于点D，请你在△ABC内部，仅用圆规确定E、F两点，使∠BEC=∠BFC=90°.题b：如图6，四边形ABCD是一个等腰梯形,请直接在图中仅用直尺,准确．．画出它的对称轴.10.把一个等边三角形分成四个等腰三角形，要求：1.除图a外再画出三种互不相同的分法，2.像图a一样，注明每个等腰顶角的度数.11..如图8是由三个小正方形组成的图形，现再给你一个同样的小正方形拼接在原图上，使原图形变为一个轴对称图形，请你分别在图a、b、c中画出不同的拼接方案，并画出对称轴.12.甲同学用如图9所示方法作出了C点，在△OA B中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC．（1）C点所表示的数是；（2）仿照甲同学的做法，在如下所给数轴上描出表示－29的点C．13.如图10，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．14.甲、乙两同学对关于y 、x 的抛物线f: 22222y x mx m m =-++进行探讨交流时，各得出一个结论.甲同学：当抛物线f 经过原点时，顶点在第三象限平分线所在的直线上;乙同学：不论m 取什么实数值，抛物线f 顶点一定不在第四象限.(1)请你求出抛物线f 经过原点时m 的值及顶点坐标，并说明甲同学的结论是否正确？(2)乙同学的结论正确吗？若你认为正确，请求出当实数m 变化时，抛物线f 顶点的纵横坐标之间的函数关系式，并说明顶点不在第四象限的理由；若你认为不正确，求出抛物线f 顶点在第四象限时，m 的取值范围.15.已知抛物线2141y x x =++的图象向上平移m 个单位（0m >）得到的新抛物线过点（1，8）.（1）求m 的值，并将平移后的抛物线解析式写成22()y a x h k =-+的形式；（2）将平移后的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y 的解析式，在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，并直接写出y 与1y 之间关系式.16. 已知抛物线m 、n 的解析式分别是关于y 与x 的关系式：2222m y x mx =--22222m y x mx +=--与. （1）对上述两个抛物线说法正确的序号是 ；①两条抛物线与y 轴的交点一定不在x 轴的上方②在抛物线m、n中，可以将其中一条抛物线经过向上或向下平移得到另一条抛物线③在抛物线m、n中，可以将其中一条抛物线经过向左或向右平移得到另一条抛物线④两条抛物线的顶点之间的距离为1（2）若这两条抛物线中，只有一条与x轴交于A、B（A点在左）两个不同的点，问是哪条抛物线经过A、B两点？为什么？并求出A、B两点的坐标.17. 某校七年级学生准备去购买《英汉词典》一书，此书的标价为20元，现A，B两书店都有此书出售，A店按如下方法促销：若只购1本则按标价销售，若一次性购买多于1本，但不多于20本时，每多购1本，每本售价在标价的基础上优惠2％(例如买两本,每本价优惠2％;买3本每本价优惠4％,依此类推)，若多于20本时，每本售价为12元；B书店一律按标价的7折销售.（1）试分别写出在两书店购此书总价y，B y与购书本数x之间的函数关系式；A（2）若某班一次性购买多于20本时，那么去哪家书店购买更合算，为什么？若要一次性购买不多于20本时，先写出y（y=y-B y）与购书本数x之间的函数式，画出其函数图象，再利用函数图象分析去哪家书店买更合算.。

课程篇在初中数学教学中引入“一题多解”这一教学策略是很有必要的，其对丰富教学方法，培养学生的发散式思维和多思路解题技巧能起到积极的作用，因此，在初中阶段，数学教师应当对此教学策略高度重视，以下是笔者结合“一题多解”教学策略浅谈的几点数学教学中常用的解题技巧，望对各位同仁有所帮助。

一、运用基础方程法解应用题的“一题多解”运用设未知数x 配置方程法求解应用题的思想，在初中数学教学实践中多为常见，并且这种方程法解题思想在初中阶段也是重要的数学教学思想，如果能做到活学活用，则可以得到多种解题思路。

例如，在解决三角形问题中，已知某一三角形的周长为80m ，并且知道这三条边的比值为：3∶4∶5，求解此三角形的三边之长分别为多少？解法一：首先，对题目进行分析，要想求出三条边的边长，必须设一个共同的未知数x ，那么，这三条边就相当于待定了，分别为3x ∶4x ∶5x ，除此之外知道三边总共的周长为80m ，如此，可得出待解方程式：3x +4x +5x =80，求解得到：x =203，如此，可知三边长分别为：20，803，1003。

解法二：可以设两个未知量代表三条边长中的其中两条，那么就可以得到：x ，y ，80-x-y 。

则根据题意可以列出二元一次方程组为x ∶y =3∶4（1）x ∶（80-x-y ）=3∶5（2）{通过求解可得三边长为：20，803，1003。

解法三：设立三个未知量，即三条边分别为：x ，y ，z ，则根据题意可得三元一次方程组，具体为：x+y+z =80（1）x ∶y ∶z=3∶4∶5（2）{，如此通过求解亦可得到：20，803，1003。

二、做辅助线分析图形法之“一题多解”在图上做相应的辅助线帮助学生理解题意的解题方法是中学数学教学中亦为常用的方法，通过结合图形来分析数据，将题目中抽象的数量关系转化为恰当的几何图形，继而从形象的图形中探索数量之间存在的对应关系，解决复杂的数学问题。

例如，如图1，学校教学楼前要新盖一栋实验教学用房，该教学楼的底楼部分是高6米的教师办公楼房，办公楼房以上是学生教室，将要新盖的实验教学用房在学校教学楼前10米处并且计划高度为20米，那么当阳光与地平线的夹角为30°时，在教室上课的学生是否会采光不足？并说明原因。

关于初中数学“一题多解”的分析发布时间：2022-06-27T09:13:48.097Z 来源：《中小学教育》2022年第463期作者：吕锐[导读] 在中考数学科目中，往往一道以正方形为背景的题，很多同学却找不到解题的突破口，不能综合运用所学数学知识，思维缺乏灵活性和连贯性。

为了解决这一问题，在此笔者以实践教学中的几种解法为例并作一分析，以期和各位同仁探索交流。

吕锐陕西省渭南市华州区电化教育中心714100摘要：在中考数学科目中，往往一道以正方形为背景的题，很多同学却找不到解题的突破口，不能综合运用所学数学知识，思维缺乏灵活性和连贯性。

为了解决这一问题，在此笔者以实践教学中的几种解法为例并作一分析，以期和各位同仁探索交流。

关键词：初中数学一题多解正方形图1 图2 图3 图4如图1，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2。

分析：图中阴影部分是不规则四边形，须作辅助线转化为规则四边形或三角形，才能运用规则四边形或三角形的面积公式求解。

也可考虑间接求解：先求出空白部分的面积，再用正方形的面积减去空白部分面积。

题目中重要的是要考虑中点如何运用。

解法一：如图2，连接AC、BD交于G，根据正方形性质，G是BD中点，显然，O是△BDC的重心，CG经过O点。

所以OG= CG，△BOG的面积等于△BCD的面积的，即S△BOD= S△BCD= × = ，阴影部分的面积=S△ABD+S△BOD= + = 。

点评：正方形常见的辅助线是正方形的对角线。

由正方形对角线的性质迅速得到O是三角形BCD的重心，利用三角形重心的性质使解答比较简捷。

解法二：如图3，连接OC，因为F分别是CD的中点，所以△DOF的面积和△COF的面积相等。

由FC=EC、BC=DC，得Rt△BCF≌Rt△DCE，∠EBO=∠FDO 。

由∠EBO=∠FDO、∠DOF=∠BOE、DE=BE得△DOF≌△BOE，OF=OE 。